VII Foglio di Esercizi (distribuzioni uniforme, gaussiana ed

VII Foglio di Esercizi (distribuzioni uniforme, gaussiana ed esponenziale)
Esercizio 1 Calcolare la probabilità che un’apparecchiatura, la cui durata di vita X segua
una legge di tipo esponenziale, cessi di funzionare in un dato intervallo di tempo [x1 , x2 ].
Esercizio 2 Supponiamo che la v.c. X : ”peso (in kg) di una persona adulta di sesso
maschile”, estratta a caso da una popolazione, sia ben approssimata da una v.c. normale
con parametri µ = 79.035, σ 2 = 70.040. Si chiede di determinare la probabilità dei seguenti
eventi a) La persona abbia un peso compreso tra 70 e 90 kg; b) la persona pesi più di 95
kg; c) la persona pesi meno di 60 kg oppure più di 110 kg.
Esercizio 3 Sugli individui maschi adulti di un certo comune si sa che:
- la statura media è 174 cm.;
- il 99% degli individui ha statura compresa fra i 154 e i 194 cm.
- la statura segue la distribuzione normale.
Si chiede di valutare la varianza della v.c. statura di un individuo maschio e di individuare
l’intervallo [174 − h, 174 + h] in cui cade il 50% delle stature.
Esercizio 4 Le v.c. indipendenti X e Y√ sono distribuite normalmente, con media 0 e
varianza σ 2 > 0. Introdotta la v.c. R = X 2 + Y 2 si chiede: a) determinare la funzione
di ripartizione FR (r); b) dimostrare che nemmeno per Robin Hood il valore più probabile
della distanza dal centro del bersaglio può essere r = 0.
Esercizio 5 Due dispositivi identici A1 e A2 (chips, lampadine, ecc.) con probabilità
di guasto esponenziali (indipendenti, con eguale parametro λ) vengono posti in funzione
separatamente a partire dall’istante t1 = 0 e t2 = t > 0. Indicate con X1 e X2 le variabili
aleatorie ”istante di guasto di A1 e rispettivamente A2” si chiede: a) Rappresentare la
densità di probabilità congiunta f (x1 , x2 ); b) Calcolare la probabilità che A2 si guasti
prima di A1 (cioè P (X2 < X1)).
Esercizio 6 Un’apparecchiatura è costituita di due dispositivi stocasticamente indipendenti che sono posti in parallelo. Il tempo di guasto del primo è una variabile aleatoria
distribuita esponenzialmente con parametro λ, X, quello del secondo un v.a. uniforme Y
nell’intervallo [a,b] (con a, b > 0; a < b). Si chiede di calcolare: a) La funzione di ripartizione e la densità di probabilità della v.c. Z = max(X, Y ) (cioè il tempo di guasto del
sistema); b) La speranza matematica E[Z], nel caso a = 1, b = 2, λ = 1
Esercizio 7 Sia Y = aX + b (con a e b costanti reali). Si chiede a) calcolare la covarianza
di X e Y ; b) calcolare il coefficiente di correlazione di X ed Y .