TEST DI PREPARAZIONE ALLA 2a PROVA INTERMEDIA

TEST DI PREPARAZIONE ALLA 2a PROVA INTERMEDIA
(Variabili casuali multivariate, Funzioni di v.c., Teorema limite centrale.)
1) Le v.c. X e Y possono assumere solo i valori 0 e 1 (ad es. ingresso ed uscita di un canale di
comunicazione binario). Sapendo che
• X è una v.c. di Bernoulli con p = 1/2;
• P (Y = 1|X = 0) = ε e P (Y = 0|X = 1) = 2ε, con (0 < ε < 1/2),
si chiede:
a) Ricavare, in funzione di ε, la probabilità congiunta pik = P (X = i, Y = k), (i, k = 0, 1), la distribuzione
marginale di Y , le medie E(X) ed E(Y ) e la covarianza Cov(X,Y);
b) Esaminare se esistono valori di ε per i quali X e Y risultino non correlate.
2) Le v.a. X, Y hanno densità congiunta
 −y
e
0 ≤ x ≤ y < +∞
1  −x
e
0 ≤ y ≤ x < +∞
fXY (x, y) =
2
0 altrove
a) Ricavare le densità marginali di X e Y , le loro speranze matematiche e varianze;
b) Ricavare σXY ed il coefficiente di correlazione.
3) Le v.c. indipendenti
X e Y sono distribuite normalmente, con media 0 e varianza σ 2 > 0. Introdotta
p
2
2
la v.c. R = x + y si chiede:
a) Determinare la funzione di ripartizione FR (r);
b) Dimostrare che nemmeno per Robin Hood il valore più probabile della distanza dal centro del bersaglio
può essere r = 0.
4) Due dispositivi identici A1 e A2 (chips, lampadine, ecc.) con probabilità di guasto esponenziali
(indipendenti, con eguale parametro λ) vengono posti in funzione separatamente a partire dall’istante
t1 = 0 e t2 = t > 0.
Indicate con X1 e X2 le variabili aleatorie ”istante di guasto di A1 e rispettivamente A2 ” si chiede:
a) Rappresentare la densità di probabilità congiunta fX1 X2 (x1 , x2 );
b) Calcolare la probabilità che A2 si guasti prima di A1 (cioè P[X2 < X1 ]).
5) X1 e X2 sono variabili aleatorie indipendenti che seguono una distribuzione di Poisson, di parametri,
rispettivamente, λ1 e λ2 . Dimostrare che la probabilità condizionata P (X1 = k|X1 + X2 = n) ha una
distribuzione binomiale (k = 1, 2, ..., n) e calcolarne il parametro p.
6) Sia Y = sin X, ove X è distribuita uniformemente nell’intervallo (0, 2π). Si ricavi la funzione densità
fY (y) di Y.
7) Siano X e Y due v.c. esponenziali indipendenti, con parametro, rispettivamente α e β. Si chiede di
ricavare la funzione densità fZ (z) di:
a) Z = X − Y
;
b) Z = X/Y
1
;
c) Z = max(X, Y )
8) Siano X1 , X2 , ..., X15 , v.c. identicamente distribuite con legge di densità
½
3(1 − x)2 se 0 ≤ x ≤ 1
f (x) =
0
altrove
Calcolare, usando il teorema limite centrale, la probabilità che la media aritmetica delle v.c. assegnate
sia compresa tra 1/8 e 3/8.
9) Un’apparecchiatura è costituita di due dispositivi stocasticamente indipendenti che sono posti in
parallelo. Il tempo di guasto del primo è una variabile aleatoria distribuita esponenzialmente, X ∼ e(λ),
quello del secondo un v.a. uniforme Y ∼ U (a, b) (con λ, a, b > 0; a < b). Si chiede di calcolare:
a) La funzione di ripartizione e la densità di probabilità della v.c. Z = max(X, Y ) (cioè il tempo di
guasto del sistema);
b) La speranza matematica E(Z), nel caso a = 1, b = 2, λ = 1
10) Il tempo richiesto per completare un determinato lavoro può essere rappresentato dalla variabile
aleatoria Y = aX + b (a, b costanti > 0) con X avente la seguente funzione densità di probabilità
fX (x) = xe−x
per x ∈ (0, +∞) ; e zero altrove
Si chiede:
a) Ricavare la densità fY (y) e la media di Y ;
Adottando, poi, i valori numerici a = b = 1/2 (in ore) si chiede:
b) Ricavare la funzione di ripartizione di Y e calcolare la probabilità che il lavoro sia completato entro
2 ore.
11) Si indichi con Xi il numeroPdei meteoriti con cui un satellite entra in collisione (non fatale!) durante
n
l’orbita i − esima, con Yn = i Xi il numero di collisioni in n orbite. Assunto che le Xi siano v.c.
indipendenti di Poisson, tutte di costante λ si chiede:
a) Rappresentare E(Yn ) e σ 2 (Yn );
b) Per n = 100 e λ = 4 valutare approssimativamente P(Yn > 440).
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