Soluzione - Istituto Romano Bruni

Liceo Scientifico Paritario “R. Bruni” Padova, loc. Ponte di Brenta, 25/02/2015 Verifica di Matematica Classe V Soluzione di simulazione della seconda prova di matematica
Problemi. Risolvi uno dei due Problemi
problemi: Esami di stato liceo scientifico 25 febbraio 2015
Lo studente deve svolgere un solo problema a sua scelta
Tempo massimo assegnato alla prove tre ore
Problema 1. Una collisione tra meteoriti Problema 1: Una collisione tra meteoriti
Marco e Luca, durante la visita guidata ad un museo scientifico interattivo, osservano su un moni-­‐
tor la simulazione collisione tra due effettuata da un osservano
videogioco. ul monitor sono Marco e Luca,della durante
la visita guidata
ad m
uneteoriti, museo scientifico
interattivo,
su un Smonitor
la
simulazione
della collisione
duemmeteoriti,
dadella un videogioco.
Sul imonitor
sonodel tem-­‐
rappresentate la traiettoria del ptra
rimo eteorite eeffettuata
il grafico sua velocità n funzione rappresentate
la
traiettoria
del
primo
meteorite
e
il
grafico
della
sua
velocità
in
funzione
del
tempo,
po, mostrato in figura. mostrato in figura.
1
1 di 8
In base alle loro conoscenze di matematica, discutono sul tipo di curva geometrica rappresentata dal grafico e cercano di determinarne l’equazione, necessaria per procedere nella simulazione. i.
Aiuta Marco e Luca a determinare l’equazione che rappresenta la curva, spiegando il pro-­‐
cedimento seguito. Dopo che Marco e Luca hanno scritto sul terminale l’equazione trovata, il videogioco si compli-­‐
menta con loro e sul monitor appare la seguente espressione: 1
s t = − t 3 +5t 2 +5t , t ≥ 0 . 3
()
Viene quindi chiesto loro di verificare se la funzione data rappresenta lo spazio percorso dal me-­‐
teorite in funzione del tempo (legge oraria del moto). ii.
Aiuta Marco e Luca a verificare che la funzione apparsa sul monitor rappresenta la legge oraria del moto, spiegando il procedimento seguito. A questo punto sul monitor appare un secondo meteorite, la cui traiettoria interseca quella del primo meteorite in un punto P. Il videogioco chiede quale condizione deve essere verificata affin-­‐
ché avvenga l’urto. iii.
Aiuta Marco e Luca a rispondere in modo qualitativo. Marco e Luca rispondono correttamente e il primo meteorite viene colpito dal secondo e devia dalla traiettoria originaria modificando il suo moto. Dopo l’urto il monitor indica che il primo me-­‐
teorite si muove ora con la nuova legge oraria: 5
s t = 2t 2 + t . 3
()
Il videogioco chiede quindi di determinare il tempo τ in cui è avvenuto l’urto. Aiuta Marco e Luca a: iv.
determinare il tempo τ ; v.
studiare la legge oraria del primo meteorite nell’intervallo tra 0 e 3·∙ τ secondi, evidenzian-­‐
do la presenza di eventuali punti di discontinuità e/o di non derivabilità e tracciandone il grafico. Risoluzione. i. Aiuta Marco e Luca a determinare l’equazione che rappresenta la curva, spiegando il pro-­‐
cedimento seguito. Marco e Luca possono vedere il grafico v-­‐t del moto del primo meteorite, nonché la sua traiettoria. Sapendo che il legame tra la velocità istantanea v t e la posizione s t è v t = ds t dt , dal tipo ()
()
()
()
di traiettoria i due ragazzi possono fare delle ipotesi verosimili su quale equazione possa rappre-­‐
sentare la curva visualizzata nel monitor. 2 di 8
Delle curve che conosco, quella più semplice fra quelle che potrebbero assomigliare c’è la parabo-­‐
2
la con direttrice parallelo all’asse t. Tale parabola P ha equazione v −vV = a t −tV , dove V tV ;"vV è (
)
(
)
il vertice e a ∈ R il coefficiente direttivo. Per determinare l’equazione della parabola, posso supporre che il vertice sia il punto V 5;#30 e (
2
)
2
che la curva passi per il punto A 0;#5 . P: v − 30 = a t −5 ; poiché A ∈ P ⇒ 5− 30 = a 0 −5 ⇒ a = −1 , ( )
( )
(
)
2
v − 30 = − t −5 ⇔ . Ovvero: ( )
P: v t = −t 2 +10t +5 . ()
Rimane da fare qualche prova per capire se l’equazione trovata potrebbe essere un buon rappre-­‐
sentante. Provo a sostituire dei punti: ?
?
?
?
B 1;#14 ∈ P ⇒ 14=−1+10 +5 sì (
)
(
D 3;#26 ∈ P ⇒ 26=− 9+ 30 +5 sì (
)
?
?
?
?
C 2;#21 ∈ P ⇒ 21=− 4 +20 +5 sì )
E 4;#29 ∈ P ⇒ 29=−16 + 40 +5 sì (
)
Noto infine che i rispettivi punti simmetrici B' 9;$14 , C ' 8;$21 , D' 7;$26 ed E' 6;$29 sono punti (
)
(
)
(
)
(
)
della curva. ii. Aiuta Marco e Luca a verificare che la funzione apparsa sul monitor rappresenta la legge oraria del moto, spiegando il procedimento seguito. Per quanto detto nel punto precedente, basta verificare che v t = ds t dt : ()
( ) = − 1 3t
ds t
dt
3
3−1
+5$2t 2−1 +5 ⇒
( ) = −t
ds t
dt
2
()
ds (t )
+10t +5 ⇒
= v (t ) . dt
iii. Aiuta Marco e Luca a rispondere in modo qualitativo. Poiché le traiettorie si intersecano nel punto P, nell’ipotesi semplificativa che le due meteoriti sia-­‐
no punti materiali, è necessario che esse si trovino nel punto P nello stesso istante di tempo τ . Detta σ = σ t la legge oraria della seconda meteorite, la condizioni per la quale avviene la colli-­‐
()
sione sarà s τ = σ τ . () ()
Senza considerare l’ipotesi semplificativa del punto materiale, posso supporre che le due meteoriti siano di forma sferica di raggio r la prima e ρ la seconda e che siano omogenee. In tal caso la con-­‐
dizione di collisione è che i centri delle due sfere, in un certo istante di tempo t, siano a una di-­‐
stanza d dal punto P tale che d ≤ r + ρ . Poiché il testo specifica che le traiettorie si intersecano, in questo caso le due meteoriti nell’urto si romperanno in modo tale che le traiettorie dei centri delle sfere passino per il punto P. Infine, se le meteoriti hanno forma qualunque, non è possibile dare una condizione di collisione semplice visto il moltiplicarsi delle variabili in gioco. 3 di 8
iv. Determinare il tempo τ . Per determinare l’istante di tempo nel quale avviene l’urto, basta determinare i punti di interse-­‐
zione della legge oraria prima dell’urto con quella dopo l’urto: "
1 3
" 2
2
$$ s = − t +5t +5t $t t − 9t −10 = 0 "$t = 0 "$t = −1 "$t = 10
3
⇔#
⇔#
∨ # 1 ∨ # 650 . #
$% s = 0 $ s =
$ s = 2t 2 + 5 t
$ s = 2t 2 + 5 t
$s =
% 3 %
3
%
3
$%
3
(
)
La prima soluzione va scartata altrimenti il grafico v-­‐t non sarebbe coerente. La seconda soluzione non è accettabile perché non soddisfa la condizione t ≥ 0 . La terza soluzione è accettabile, quindi τ = 10#s . v. Studiare la legge oraria del primo meteorite nell’intervallo tra 0 e 3·∙ τ secondi, evidenzian-­‐
do la presenza di eventuali punti di discontinuità e/o di non derivabilità e tracciandone il grafico. Pongo, per comodità, t = x ed s t = f x . Il testo richiede lo studio della funzione definita per casi: () ( )
# 1
% − x 3 +5x 2 +5x se'0 ≤ x < 10
%
y = f x =$ 3
% 2x 2 + 5 x
se'10 ≤ x ≤ 30
%&
3
. ()
Continuità: la funzione descrive il moto di un meteorite, per cui risulterà continua in !"0;#30#$ . Derivabilità: la funzione è derivabile in !"0;#30#$ \ {10} perché polinomiale. Verifico la derivabilità in 10: "
$ −x 2 +10x +5
$
y = f' x =#
$ 4x + 5
$%
3
()
se(0 < x < 10
. se(10 < x < 30
Poiché 5 = lim f ' x ≠ lim f ' x =
x→10
−
()
x→10
+
()
125
, la funzione non è derivabile in 10. Ivi la funzione ammette un 3
punto angoloso. • Dominio: D = { x|x ∈ R∧0 ≤ x ≤ 30} = $%0;%30&' . •
•
Parità: f x ≠ f −x ≠ − f x , ovvero la funzione non è né pari né dispari. () ( )
Segno di f ( x ) : ()
1
3
IF ≥ 0 : x ≥ 0 ; IIF ≥ 0 : x 2 −15x −15 ≥ 0 ⇔ x ≤
(
)
I caso: y = − x 3 +5x 2 +5x ≥ 0 ⇔ x x 2 −15x −15 ≤ 0 . 15− 285
15+ 285
≈ −0,9∨ x ≥
≈ 15,9 2
2
4 di 8
Dalla tabella dei segni si evince che la funzione, per 0 < x < 10 , risulta essere positiva. Si ha f x = 0 per x = 0 . ()
5
3
5
6
II caso: y = 2x 2 + x ≥ 0 ⇔ x 6x +5 ≥ 0 ⇔ x ≤ − ∨ x ≥ 0 , per cui la funzione sarà positiva per (
)
10 ≤ x ≤ 30 . In definitiva risulta che f x > 0 per 0 < x ≤ 30 e f x = 0 per x = 0 . ()
•
•
()
Limiti significativi ed eventuali asintoti: non ce ne sono. Segno di f ' x : ()
I caso: −x 2 +10x +5 ≥ 0 ⇔ x 2 −10x −5 ≤ 0 ⇔ −0,5 ≈ 5− 30 ≤ x ≤ 5+ 30 ≈ 10,5 . Quindi la funzione sarà crescente per 0 < x < 10 . 5
3
5
. Quindi la funzione sarà crescente per 10 < x < 30 . 12
In definitiva la funzione risulta crescente in 0 < x < 30 . II caso: 4x + ≥ 0 ⇔ x ≥ −
•
Grafico qualitativo di f x : ()
5 di 8
Problema 2: Un mappamondo prezioso Lavori in un laboratorio d’arte vetraria e il responsabile del museo civico della tua città ti chiede di progettare un espositore avente forma conica che possa contenere un prezioso e antico mappa-­‐
mondo. Il mappamondo ha raggio R e l'espositore deve essere ermeticamente chiuso, per impedi-­‐
re che il mappamondo prenda polvere. Il tuo collega Mario dice che, per costruire l’espositore, si potrebbe utilizzare il quarzo ialino ma, data la preziosità del materiale, per risparmiare è necessario determinarne le dimensioni ottimali. Inoltre per proteggere l'espositore dalla polvere decidete di ricoprirlo con una sottile pellicola tra-­‐
sparente di nuova generazione e piuttosto costosa. i.
Trascurando lo spessore dell’espositore e attraverso un’opportuna modellizzazione geome-­‐
trica, determina l’altezza h e il raggio di base r dell’espositore affinché sia minima la sua superficie totale, allo scopo di utilizzare una quantità minima di pellicola. ii.
Fornisci una spiegazione adeguata e convincente del procedimento seguito, eventualmente anche con rappresentazioni grafiche. Ora tu e Mario dovete scegliere la pellicola da sistemare sulla superficie esterna dell’espositore. La scelta va fatta tra due pellicole che hanno lo stesso costo unitario ma diverse proprietà: la prima ogni anno perde il 3% della resistenza all’usura che ha a inizio anno, mentre la seconda ogni anno perde il 2% della resistenza all’usura iniziale. iii.
Aiuta Mario nel capire quale pellicola convenga scegliere in funzione della durata, tenendo conto del fatto che entrambe hanno la stessa resistenza di partenza e che una pellicola va cambiata quando la sua resistenza all’usura risulta inferiore al 30% della sua resistenza di partenza. Risoluzione. i e ii. Trascurando lo spessore dell’espositore e attraverso un’opportuna modellizzazione geometrica, determina l’altezza h e il raggio di base r dell’espositore affinché sia mi-­‐
nima la sua superficie totale, allo scopo di utilizzare una quantità minima di pellicola. Affinché la superficie totale del cono sia minima, il mappamondo sferico di raggio R dato deve es-­‐
sere inscritto al cono. Siamo nella situazione descritta dalla figura seguente, la sezione laterale massima del cono: Dati: AN = r ; ON = OM = R ; CN = h . Condizioni: h > 2R ; r > R . 6 di 8
Determino una relazione che mi leghi l’altezza h al raggio r, così riesco a scrivere la relazione che mi dà la superficie totale del cono in dipendenza di un’unica variabile. Innanzitutto osservo che AM = r per il Teorema delle rette tangenti a una circonferenza. Considero il triangolo MOC e su di esso applico il Teorema di Pitagora: 2
2
2
(h − R) − R
CM = CO − MO ⇒ CM =
2
. Considero il triangolo ANC e su di esso applico il Teorema di Pitagora: 2
2
2
2
h=
(
"
$r +
#
2
( AM + MC ) = AN +CN ⇒
AC = AN +CN ⇒
⇒ 2r
2
2
2
(
2
%
h − R − R ' = r 2 + h2 ⇒ &
)
2
2
h≠0
h − R − R2 + h − R − R2 = h2 ⇒ r h2 −2hR = hR ⇒ r 2 h2 −2hR = h2R2 ⇒ hr 2 −2Rr 2 = hR2 , )
(
)
(
)
da cui 2Rr 2
. r 2 − R2
Ora, poiché S r,h = π r 2 + π r r 2 + h2 , ottengo: ( )
S r = πr2 + πr r2 +
()
4R2r 4
(r
2
− R2
)
2
⇒ S r = π r 2 + π r 2 1+
()
4R2r 2
(r
2
− R2
)
2
⇒ S r = πr2 + πr2
()
r 2 + R2
2π r 4
. ⇒
S
r
=
r 2 − R2
r 2 − R2
()
Per determinare il raggio r per il quale la superficie S è minima basta studiare il segno della deriva-­‐
ta della funzione S: ()
S' r =
(
)
8π r 3 r 2 − R2 −2π r 4 &2r
(r
2
− R2
)
2
()
⇒ S' r =
(
4π r 3 r 2 −2R2
(r
2
− R2
)
2
).
S' r ≥ 0 per r ≥ R 2 (r ed R sono reali positivi), ne consegue che per r = R 2 la superficie S risulte-­‐
()
rà essere minima. Rimane da determinare il valore di h per il quale S è minima: h =
2R"2R2
⇒ h = 4R . 2R2 − R2
iii.
Aiuta Mario nel capire quale pellicola convenga scegliere in funzione della durata, tenendo conto del fatto che entrambe hanno la stessa resistenza di partenza e che una pellicola va cambiata quando la sua resistenza all’usura risulta inferiore al 30% della sua resistenza di partenza. Indico con A la pellicola la cui usura annua è il 3% e con B la pellicola la cui usura annua è il 2% ri-­‐
spetto alla resistenza iniziale. Sia ρ A = ρ = ρ B la resistenza iniziale delle due pellicole. L’indice n indica il numero di anni. Per la pellicola A otteniamo la seguente successione: ρ0A = ρ , ρ1A = ρ − 0,03ρ = 0,97ρ , ρ2A = ρ1A − 0,03ρ1A = 0,97ρ1A = 0,972 ρ , … , ρnA = 0,97n ρ . Per la pellicola B otteniamo la seguente successione: ρ0B = ρ , ρ1B = ρ − 0,02ρ = 1− 0,02 ρ , ρ2B = ρ1B − 0,02ρ0B = 1− 0,02 ρ − 0,02ρ = 1− 0,02%2 ρ , … , (
)
(
ρnB = 1− 0,02%n ρ . (
)
7 di 8
)
(
)
Calcolo dopo quanti anni la pellicola A diminuisce la sua resistenza sotto il 30% rispetto a quella iniziale: poiché ρnA ≤ 0,3ρ ⇔ 0,97n ρ ≤ 0,3ρ ⇔ n ≥ log0,97 0,3 =
log0,3
≈ 39,5 , la pellicola A va sostituita dopo 40 log0,97
anni. Calcolo dopo quanti anni la pellicola B diminuisce la sua resistenza sotto il 30% rispetto a quella iniziale: poiché ρnB ≤ 0,3ρ ⇔ 1− 0,02&n ρ ≤ 0,3ρ ⇔ n ≥ 35 , la pellicola B va sostituita dopo 35 anni. (
)
Ne consegue, caro Mario, che la pellicola da acquistare è la A. 8 di 8