La soluzione del primo problema

SOLUZIONE PROBLEMA 1
Problema 1: Una collisione tra meteoriti
Marco e Luca, durante la visita guidata ad un museo scientifico interattivo, osservano su un monitor
la simulazione della collisione tra due meteoriti, effettuata da un videogioco. Sul monitor sono
rappresentate la traiettoria del primo meteorite e il grafico della sua velocità in funzione del tempo,
mostrato in figura.
In base alle loro conoscenze di matematica, discutono sul tipo di curva geometrica rappresentata dal
grafico e cercano di determinarne l’equazione, necessaria per procedere nella simulazione.
1. Aiuta Marco e Luca a determinare l’equazione che rappresenta la curva, spiegando il
procedimento seguito.
Si tratta di una parabola del tipo v = at2 +b t +c determinabile ricavando dal grafico un punto ed l
vertice. Se prendiamo il punto iniziale (0,5) ed il vertice (5, 30), lasciando inalterate le unità di
misura si ottiene la equazione oraria della velocità
v(t) = - t2 +10t +5
Dopo che Marco e Luca hanno scritto sul terminale l’equazione trovata, il videogioco si
complimenta con loro e sul monitor appare la seguente espressione:
−t 3
+5t2 + 5t
s (t)=
3
Viene quindi chiesto loro di verificare se la funzione data rappresenta lo spazio percorso dal
meteorite in funzione del tempo (legge oraria del moto).
2. Aiuta Marco e Luca a verificare che la funzione apparsa sul monitor rappresenta la legge oraria
del moto, spiegando il procedimento seguito.
La risposta è affermativa in quanto la v(t) non è altro che la derivata rispetto al tempo di s(t) come
si può facilmente verificare...e supponendo s=0 per t=0 ( o viceversa ottenendo la s(t) integrando
la v(t) ….)
A questo punto sul monitor appare un secondo meteorite, la cui traiettoria interseca quella del primo
meteorite in un punto P. Il videogioco chiede quale condizione deve essere verificata affinché
avvengal’urto.
3. Aiuta Marco e Luca a rispondere in modo qualitativo.
Banalmente. Si devono trovare nello stesso posto allo stesso istante
Marco e Luca rispondono correttamente e il primo meteorite viene colpito dal secondo e devia dalla
traiettoria originaria modificando il suo moto. Dopo l’urto il monitor indica che il primo meteorite
si muove ora con la nuova legge oraria: s(t) = 2t2 + 5t/3
Il videogioco chiede quindi di determinare il tempo t urto in cui è avvenuto l’urto.
Aiuta Marco e Luca a:
4. determinare il tempo t urto;
Fatte salve le critiche alla traccia ( che fine fa il secondo meteorite? la traiettoria è la stessa? È
rettilinea?), ci deve essere un istante di continuità in cui le due forme matematiche in cui è
espressa l'equazione oraria sono uguali.
Dall'uguaglianza si ottiene una equazione di terzo grado con soluzioni -1, 0 e 10s. Quest'ultimo
valore è l'unica soluzione compatibile con il problema esaminato
5. studiare la legge oraria del primo meteorite nell’intervallo tra 0 e 3turto secondi, evidenziando
la presenza di eventuali punti di discontinuità e/o di non derivabilità e tracciandone il grafico.
La funzione da studiare è definita a tratti nei due intervalli temporali
s (t)=
−t 3
++5t2 + 5t per
3
0<=t<=10 o s(t) = 2t2 + 5t/3 per 10<t<=30.
Per cui la velocita è v(t) = - t2 +10t +5 prima dell'urto, nell'intervallo fra 0 e 10 secondi, e v(t)= 4t
+5/3 nell'intervallo fra 10 e 30 secondi
Essa è continua per 0<=t<=30 compreso il punto 10, ma non è derivabile nel punto 10. La
derivata sinistra non è altro che la velocita prima dell'urto (5 km/s) e la derivata destra la velocità
immediatamente dopo l'urto (56,7 km/s)
Il grafico (usare geogebra) da rappresentare è quello di una cubica fra 0s e 10s e di una parabola
fra 10s e 30 secondi.
La crescenza è molto rapida e perciò conviene usare un sistema dimetrico per evidenziare
specialmente nel punto di continuità (10, 650/3) la non derivabilità ed il brusco cambiamento di
velocità.
*****mc_ revedibile*********