Matematica 2 - 13 Marzo 2007 Per ognuno dei seguenti quiz

Matematica 2 - 13 Marzo 2007
Per ognuno dei seguenti quiz indicare l’ unica risposta corretta tra le quattro proposte.
Esercizio 1. Siano date le rette r : x = 0, y = 0, ed s : x = 1, z = 0.
a) r ed s sono incidenti.
b) r ed s sono parallele.
c) r ed s sono ortogonali e sghembe.
d) r ed s sono tangenti ad una stessa circonferenza.
→
(c) è vera. Infatti, un vettore parallelo ad r è k = (0, 0, 1), mentre un vettore parallelo
→
ad s è j = (0, 1, 0), e chiaramente i due vettori sono ortogonali. Inoltre, le due rette non
sono incidenti (facile verifica scrivendo il sistema delle due rette), e quindi sono sghembe
(perché non parallele e non incidenti) ed ortogonali.
Esercizio 2. Siano dati A(1, 2, 1) ed α : 2x + 2y − z + 4 = 0.
a) A ∈ α.
b) Esistono infinite sfere tangenti ad α passanti per A.
c) Nessuna sfera di centro A taglia su α una circonferenza di raggio 1.
d) La distanza tra A ed α è uguale a 9.
(b) è vera. Per ogni punto B ∈ α, sia pB la retta ortogonale ad α per B, e sia CB ∈ pB
l’ unico suo punto che verifica l’ ugualglianza BCB = ACB . La sfera di centro CB e raggio
BCB è tangente ad α e passa per A. Poiché le sfere dipendono da B e ci sono infiniti
punti su α, tali sfere sono infinite.
Esercizio 3. Sia data la circonferenza
2
x + y2 = 1
γ:
z = 0.
a)
b)
c)
d)
Le rette tangenti a γ per A(0, 0, 1) sono infinite.
Esiste una sola sfera di raggio 2 che contiene γ.
Le sfere contenenti γ hanno centro sull’ asse z.
Nessuna sfera di raggio 1 contiene γ.
(c) è vera. Infatti, il centro della circonferenza γ è l’ origine, e la retta per il centro
ortogonale al piano z = 0 è l’ asse z.
Esercizio 4. Siano dati i punti A(1, 1, 0), B(1, 0, 1), C(0, 1, 1).
a) Esiste una sola sfera che contiene A, B, C e D1 (2, 1, −1).
b) Esistono infinite sfere che contengono A, B, C e D2 (1,
1,√1).
√ c) Esistono infinite sfere che contengono A, B, C e D3 2+3 3 , 23 , 2−2 3 .
d) Non esistono sfere che contengono A, B, C.
1
2
(c) è vera. Infatti, A, B, C appartengono alla circonferenza di equazione
x+y+z =2
x2 + y 2 + z 2 = 2
Il punto D3 verifica il sistema e quindi appartiene alla stessa circonferenza. Quindi, ogni
sfera che contiene la circonferenza, contiene i quattro punti, e le sfere sono infinite.
Esercizio 5. Siano dati i punti A(2, 0), B(0, 1), C(0, −1).
a) L’ area del triangolo ABC è uguale a 4.
b) Non esistono circonferenze che passano per A, B, C.
c) Le rette r per A, B ed s per A, C sono ortogonali.
d) Esiste una parabola con vertice A per B e C.
(d) è vera. Infatti, la parabola ha equazione x = −2y 2 + 2.
Esercizio 6. Sia data l’ equazione modulare 7x ≡ 3 mod 13.
a) Essa non ha soluzioni.
b) L’ unica sua soluzione è x = 10.
c) Essa ha infinite soluzioni.
d) L’ unica sua soluzione è x = 6.
(d) è vera. Infatti, il massimo comun divisore di 7, 13 è 1 e quindi la soluzione è unica.
Inoltre, 7 · 6 − 3 = 39 = 3 · 13.
→
→
Esercizio 7. Siano dati i vettori u= (1, 0, 1) e v = (1, 2, 1) di R3 e sia data l’ equazione
→
→
→
→
→
u ∧ x + x ∧ v =0.
a)
b)
c)
d)
L’ equazione non ha soluzioni.
Infiniti vettori di modulo 1 risolvono l’ equazione.
L’ equazione è risolta dal solo vettore nullo.
I vettori che risolvono l’ equazione sono tutti paralleli tra loro.
→
→
→
→
(d) è vera. Infatti, l’ equazione data è equivalente all’ equazione ( u − v )∧ x= 0 essendo
il prodotto vettoriale anticommutativo e distributivo rispetto alla somma di vettori. La
→
→
nuova equazione è risolta da tutti e soli i vettori paralleli a u − v = (0, −2, 0) e quindi le
soluzioni sono infinite, ma tutte parallele tra loro.
Esercizio 8. Sia f : R3 → R3 l’ applicazione lineare definita come
f (x, y, z) = (x + y − 2z, 3x − y + 6z, 2z).
Calcolare gli autovalori di f, una base per ogni suo autospazio e stabilire se f è semplice.
Calcolare infine gli autovalori di f 2 = f ◦ f.
3
Svolgimento. La matrice associata ad f è


1 1 −2
A =  3 −1 6  .
0 0
2
Il polinomio caratteristico è uguale a det(A − tI) = (2 − t)((1 − t)(−1 − t) − 3) =
−(t + 2)(t − 2)2 . Le sue radici sono t1 = 2 e t2 = −2 di molteplicità m(2) = 2, m(−2) = 1,
rispettivamente. Quindi, gli autovalori di f sono t1 = 2, doppio, e t2 = −2, semplice.
L’ autospazio V (2) è formato da tutti e soli i vettori che risolvono il sistema lineare
(A − 2I)X = 0, che con facili calcoli si riduce alla sola equazione x − y + 2z = 0.
Quindi V (2) = L((1, 1, 0), (−2, 0, 1)), la sua dimensione è 2 ed una sua base è B2 =
((1, 1, 0), (−2, 0, 1)).
L’ autospazio V (−2) è formato da tutti e soli i vettori che risolvono i sistema lineare
omogeneo (A + 2I)X = 0 che, con facili calcoli, si riduce a z = 0, 3x + y = 0. Quindi,
V (−2) = L((1, −3, 0)), la sua dimensione è 1 ed una sua base è B−2 = ((1, −3, 0)).
Poiché le radici del polinomio caratteristico sono reali, e gli autospazi hanno dimensione
uguale alla molteplicità del relativo autovalore, f è semplice.
L’ applicazione f 2 è associata alla matrice

 


4 0 0
1 1 −2
1 1 −2
A2 =  3 −1 6   3 −1 6  =  0 4 0  .
0 0 4
0 0
2
0 0
2
Quindi f 2 ha 4 come unico autovalore di molteplicità 3.
Esercizio 9. Sia dato il sistema lineare AX = B dove


1
2
1 3
(A|B) =  2 a − 1 a a − 1  .
3 a+1 1 2
Determinare i valori di a ∈ R per cui il sistema ha soluzioni, specificandone il numero, e
calcolare le soluzioni del sistema per i valori di a ∈ R per cui esse sono infinite.
Svolgimento. Effettuando le operazioni elementari R2 → R2 − 2R1 , R3 → R3 − 3R1
sulle righe di (A|B) otteniamo la matrice


1
2
1 3
 0 a − 5 a − 2 a − 7 .
0 a − 5 −2 −7
Effettuando lo scambio R2 ↔ R3 e l’ ulteriore operazione R3 → R3 + a−2
R2 otteniamo la
2
matrice


1
2
1 3
 0 a − 5 −2 −7  ,
0 a(a−5)
0 − 5a
2
2
ridotta per righe. Quindi,
2 se a = 0 oppure a = 5
2 se a = 0
r(A) =
mentre r(A|B) =
3 se a 6= 0, 5
3 se a 6= 0.
4
Per il Teorema di Rouché-Capelli, il sistema ha una sola soluzione se a 6= 0, 5, non ha
soluzioni se a = 5, ha ∞1 soluzioni se a = 0.
Posto a = 0, il sistema diventa
x + 2y + z = 3
−5y − 2z = −7
da cui x =
y−1
,z
2
=
−5y+7
2
e quindi le soluzioni sono
y−1
−5y + 7
, y,
)|y ∈ R}.
S = {(
2
2