La circonferenza

Commenti

Transcript

La circonferenza
La circonferenza
La circonferenza è una conica ed è anche il luogo geometrico dei punti del piano
equidistanti da un punto fisso C detto centro; la distanza costante si chiama raggio.
N.B. Il centro non appartiene al luogo geometrico
y
Equazione canonica
x 2 + y 2 + ax + by + c = 0
Centro
 a b
C  − ;− 
 2 2
Raggio
 a  b
r = −  + −  − c
 2  2
C(α;β)
2
Equazione riferita al
centro C(α;β) e con
raggio r
x
2
( x − α )2 + ( y − β )2
= r2
Casi particolari
c=0
a=0
a=c=0
b=0
b=c=0
a=b=0
Tangenti alla circonferenza uscenti da un punto P( x0 ; y0 )
2
2
1) Se il punto P(x0 , y0 ) appartiene alla circonferenza x + y + ax + by + c = 0 allora in P esistono
due tangenti coincidenti (oppure una tangente doppia) la cui equazione si ottiene con la seguente formula
(detta di sdoppiamento):
x ⋅ x0 + y ⋅ y 0 + a
x + x0
y + y0
+b
+c = 0
2
2
2
2
2) Se il punto P(x0 , y0 ) non appartiene alla circonferenza x + y + ax + by + c = 0 ma è esterno ad
essa, allora in P esistono due tangenti distinte e per la ricerca dei loro coefficienti angolari si deve
applicare la condizione di tangenza tra il fascio di rette per P e la circonferenza:
Esempio:
Dati:
P(0, -8)
x 2 + y 2 − 6x + 6 y + 1 = 0
(fascio di rette che passa per P)
y + 8 = m ⋅ (x − 0)
(intersezione tra la circonferenza e il fascio)
x 2 + y 2 − 6x + 6 y + 1 = 0

 y = mx − 8
(sostituendo)
Prof.ssa Manuela Pucci
x 2 + (mx − 8) − 6 x + 6(mx − 8) + 1 = 0
2
Istituto Tecnico Commerciale “P. Cuppari” - Jesi
x 2 ⋅ (m 2 + 1) − x(10m + 6) + 17 = 0
(… e risolvendo)
Condizione di tangenza
(10m + 6)2 − 4 ⋅ (m 2 + 1) ⋅ (17 ) = 0
∆=0
m1 = − 4 e m2 =
1
4
y = − 4x − 8 e y =
equazioni delle tangenti:
3) Se il punto P(x0 , y0 ) non appartiene alla circonferenza
essa, allora in P non esistono tangenti, ma solo secanti.
1
x −8
4
x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 , ma è interno ad
Ricerca dell’equazione della circonferenza
2
2
La curva x + y + ax + by + c = 0 dipende dai parametri a, b, c, quindi è necessario impostare un
sistema in tre equazioni nelle tre incognite a, b, c. Osserva lo schema:
La circonferenza deve soddisfare le condizioni:
Passa per tre punti A, B, C dati;
Ha per diametro il segmento di estremi A e B;
Ha centro in A ed è tangente alla retta r;
Prof.ssa Manuela Pucci
Allora si pone:
• Si applica la condizione di appartenenza di A, B e C
alla curva.
• Il centro della circonferenza è il punto medio di AB ed
il raggio è la semidistanza di AB, quindi si applica
l’equazione della circonferenza riferita al centro.
• Il raggio è la distanza di A dalla retta r, quindi si
applica l’equazione della circonferenza riferita al
centro.
Istituto Tecnico Commerciale “P. Cuppari” - Jesi

Documenti analoghi

la circonferenza

la circonferenza La circonferenza,la parabola,l’ellisse e l’iperbole sono dette coniche poiché si possono ricavare dall’intersezione di un piano con due coni posti come una clessidra. CIRCONFERENZA La circonferenza...

Dettagli

Esercizi sulla circonferenza

Esercizi sulla circonferenza Esercizio 7. Determinare le coordinate dei punti P , Q di intersezione della circonferenza γ : (x − 2)2 + (y − 3)2 = 25 con la retta passante per i punti A(4, 7) √ e B(10, 4). Determinare inoltre l...

Dettagli

Circonferenze del piano

Circonferenze del piano a) La tangente nell’origine è la retta passante per l’origine perpendicolare al vettore OC. Dunque tale tangente ha equazione x − 2y = 0. b) La retta generica parallela a x + y = 0 ha equazione r ...

Dettagli