MISURA E ERRORE

LA MISURA
Quando osserviamo un oggetto i nostri sensi ci permettono di fare delle valutazioni sulle sue
caratteristiche. Tramite la vista possiamo stimare, confrontare le lunghezze, le superfici, i volumi, i
colori; con il tatto possiamo confrontare le temperature e con lo sforzo muscolare avere
informazioni sul peso; con l’udito distinguere le frequenze e le intensità dei suoni. Questa prima
indagine sulle proprietà dei corpi è del tutto insoddisfacente dal punto di vista scientifico e può
portare a errori grossolani: i nostri sensi ci possono ingannare.
Il primo passo dell’indagine scientifica viene fatto quando alle sensazioni vengono sostituite le
misure, espresse con numeri associati a unità di misura. Le caratteristiche misurabili vengono dette
grandezze.
Per trasformare una sensazione in numero è necessario definire operativamente un campione della
grandezza osservata e costruire uno strumento che determini il rapporto tra la grandezza e il
campione di riferimento. La costruzione di strumenti e la definizione di procedimenti di
misurazione è una tra le più importanti attività degli scienziati: permette lo sviluppo della ricerca,
della tecnologia, con applicazioni in numerosissime attività.
Il campione deve soddisfare questi requisiti:
a) il campione prescelto deve essere costante nel tempo, non dipendere dalle caratteristiche del
luogo in cui si trova;
b) il campione deve essere facilmente riproducibile e con grande precisione.
Qualsiasi strumento di misura ha un suo livello di precisione, corrispondente alla più piccola
grandezza che si riesce a rilevare: in base a tale precisione è possibile conoscere con quale
indeterminazione viene eseguita la misura. Il valore di questa indeterminazione viene nominato
errore assoluto o incertezza assoluta. Non è quindi possibile misurare il valore «vero» di qualcosa:
poiché ogni misura viene ottenuta con l’uso di uno strumento di misura, la precisione della misura
stessa dipenderà dal livello di precisione dello strumento utilizzato.
Sarà pertanto necessario essere consapevoli del livello di imprecisione associato a qualsiasi risultato
e riuscire quindi a valutare l’affidabilità dello stesso. La matematica, che si utilizza per studiare le
relazioni tra grandezze misurate, deve tenere conto di questa indeterminazione; perciò è necessario
indicare sempre qual è il campo di validità di un risultato o di una deduzione.
Quando misuriamo la lunghezza di un oggetto con un righello, una riga o una squadra graduati al
millimetro commettiamo un errore di valutazione di quasi mezzo millimetro (0,5 mm). Questo
errore è dovuto a più fattori: il nostro occhio non può distinguere due puntini se questi sono più
vicini di 0,1 mm (capacità di risoluzione)*; nel disporre il righello vicino all’oggetto da misurare
facciamo un errore nell’allineamento della linea corrispondente allo zero (a sinistra) e un errore
nella lettura della misura (a destra); le linee sul righello hanno uno spessore; facciamo un errore di
parallasse, tanto maggiore quanto più il nostro punto di vista si distanzia dalla perpendicolare dei
due punti di lettura; se l’oggetto da misurare ha estremi definiti in modo grossolano o comunque
incerto questo aumenterà sicuramente l’entità dell’errore. In parte, come si può capire, l’errore è
legato all’esperienza e ad alcune caratteristiche dell’operatore (per esempio capacità visiva,
condizioni fisiche, etc.); è chiaro che questa parte può essere ridotta dalla pratica e da una maggiore
attenzione di chi prende le misure. Tuttavia, come prima affermato, una misura non potrà mai essere
esente da un certo livello di imprecisione, di incertezza.
*
La letteratura oculistica mondiale concorda sul fatto che l'occhio umano, in condizioni ottimali di contrasto, può
distinguere alla distanza minima di messa a fuoco (20-30 cm) fino ad un massimo di 10 linee per millimetro.
Le unità di misura
Una grandezza fisica è una caratteristica misurabile; pertanto se voglio esprimere certe
caratteristiche di un fenomeno (es. la lunghezza di un oggetto) lo faccio utilizzando un valore
seguito da una unità di misura (es. l = 2,37 m). Ogni popolo ha definito delle proprie unità di
misura; se ciò poteva andare bene in un mondo con pochi contatti interculturali, sicuramente ha
posto maggiori problemi nel momento in cui le popolazioni hanno esteso le proprie reti di
comunicazione. Con la Rivoluzione francese è iniziata anche una rivoluzione nel campo delle
misure: si è cercato di definire delle unità di misura “oggettive”, universali, che permettessero la
comunicazione fra le genti senza rischi di confusione. È così, per esempio, che nasce il metro,
decimilionesima parte della distanza fra equatore e polo nord (1793) misurata sul meridiano
passante per Parigi (attualmente, dal 1983, viene definito come spazio percorso dalla luce nel vuoto
in un tempo corrispondente a 1/299792458 di secondo).
Nonostante il tentativo di raggiungere una universalità per le unità di misura, tuttora esistono diversi
sistemi. Uno dei più condivisi è il Sistema Internazionale (S.I.). In questo sistema sono definite 7
grandezze fondamentali dalle quali, con varie combinazioni, si possono ottenere le altre grandezze,
dette derivate (es. lunghezza e tempo sono fondamentali; la velocità, una distanza [lunghezza]
percorsa in un determinato tempo, è derivata). Per ogni grandezza si ha una unità di misura.
Tavola delle grandezze fondamentali per il Sistema Internazionale (SI):
Nome grandezza
Simbolo
grandezza
l
m
t
I
T
nB
I
lunghezza
massa
tempo
corrente elettrica
temperatura termodinamica
quantità della sostanza B
intensità luminosa
Nome grandezza
lunghezza
udm
m
massa
kg
tempo
s
corrente elettrica
A
temperatura termodinamica
K
quantità della sostanza B
mol(B)
intensità luminosa
cd
Nome unità di
misura base
metro
chilogrammo
secondo
ampere
kelvin
mole di B
candela
Simbolo
u.d.m.
m
kg
s
A
K
mol(B)
cd
Simbolo
dimensionale
[L]
[M]
[T]
[I]
[ ]
[N]
[J]
Definizione u.d.m.
Il metro è la distanza percorsa dalla luce nel vuoto in un intervallo di tempo di
1/299 792 458 di secondo. (17a CGPM*, 1983)
Il chilogrammo è la massa del prototipo internazionale conservato al Pavillon de
Breteuil (Sevres, Francia). (3a CGPM, 1901)
Il secondo è la durata di 9 192 631 770 periodi della radiazione emessa
dall'atomo di Cesio 133 nella transizione tra i due livelli iperfini (F=4, M=0) e
(F=3, M=0) dello stato fondamentale 2S(1/2). (13a GCPM, 1967)
L'ampere è la corrente che, se mantenuta in due conduttori paralleli
indefinitamente lunghi e di sezione trascurabile posti a distanza di un metro nel
vuoto, determina tra questi due conduttori una forza uguale a 2x10 -7 newton per
metro di lunghezza. (9a CGPM, 1948)
Il kelvin è la frazione 1/273,16 della temperatura termodinamica del punto triplo
dell'acqua. (13a CGPM, 1967)
La mole è la quantità di sostanza che contiene tante entità elementari quanti
sono gli atomi in 0.012 kg di Carbonio 12. Quando si usa la mole, deve essere
specificata la natura delle entità elementari, che possono essere atomi, molecole,
ioni, elettroni, altre particelle o gruppi specificati di tali particelle. (14a CGPM,
1971)
La candela è l'intensità luminosa, in un'assegnata direzione, di una sorgente che
emette una radiazione monocromatica di frequenza 540 x 1012 Hz e la cui
intensità energetica in tale direzione è 1/683 Watt per steradiante. (16a GCPM,
1979)
*GCPM: Conferenza Generale dei Pesi e delle Misure
2
Per comodità si possono usare multipli e sottomultipli delle unità di misura: essendo le dimensioni
di una particolare cellula corrispondenti a 0,000085 m potrà essere più comodo dire (e scrivere) che
la cellula ha lunghezza uguale a 85 micrometri (85 μm). Per ogni multiplo o sottomultiplo esiste un
prefisso da anteporre alla unità di misura di base; ad ogni prefisso corrisponde un simbolo.
Tavola dei prefissi moltiplicativi (SI): (Il S.I. codifica l'uso dei prefissi moltiplicativi secondo le potenze di 1000. Sono
previsti anche prefissi per multipli e sottomultipli per fattori 10 e 100, per esempio: centi-, deci-, etc.)
denominazione
simbolo equiv. I
equivalenza II
equiv. III
Ym
24
10 m
1000000000000000000000000 m
zettametro
Zm
21
10 m
1000000000000000000000 m
exametro
Em
1018 m
1000000000000000000 m
petametro
Pm
1015 m
1000000000000000 m
Tm
12
10 m
1000000000000 m
Gm
9
10 m
1000000000 m
megametro
Mm
6
10 m
1000000 m
chilometro
km
103 m
1000 m
hm
2
100 m
1
10 m
10 m
10−1 m
0,1 m
1/10 m
0,01 m
1/100 m
0,001 m
1/1000 m
yottametro
terametro
gigametro
ettometro
decametro
dam
metro
m
decimetro
dm
centimetro
millimetro
cm
mm
10 m
−2
10 m
−3
10 m
−6
micrometro (micron) μm
10 m
0,000001 m
1/1000000 m
nanometro
nm
10−9 m
0,000000001 m
etc.
Ångström
Å
10−10 m
0,0000000001 m
picometro
pm
−12
10
−15
m
0,000000000001 m
m
0,000000000000001 m
femtometro (Fermi)
fm
10
attometro
am
10−18 m
0,000000000000000001 m
zeptometro
zm
10−21 m
0,000000000000000000001 m
yoctometro
ym
10
−24
m
0,000000000000000000000001 m
Come si può osservare i simboli utilizzati per i multipli superiori a chilo- sono scritti con lettere
maiuscole, mentre gli altri sono indicati con minuscole. Quindi è necessario fare molta attenzione
quando si scrivono tali simboli, per evitare di confondere, per esempio, millimetri (mm) e
megametri (Mm): chi scrive normalmente tutto in maiuscolo dovrà rivedere il proprio modo,
almeno quando fa esercizi in campo scientifico. Un altro aspetto da tenere in considerazione nella
scrittura è che le lettere utilizzate sono simboli e non abbreviazioni, quindi non vanno mai seguite
da punti (per esempio il simbolo di centimetro non è cm. bensì cm) a parte il caso in cui si trovino
alla fine di un periodo.
Dalla tabella precedente si può rilevare anche che c’è una unità di misura (un sottomultiplo per la
precisione) particolare: Ångström (Å) = 10−10 m; tale u.d.m. pur non facendo parte del S.I. viene
3
comunque utilizzata per misure relative alle dimensioni degli atomi. Per il resto si nota invece che, a
parte multipli e sottomultipli vicini al metro (dm, hm, …), gli altri si distanziano per un fattore 103.
I prefissi (sia il simbolo sia l’espressione che si utilizza nella pronuncia) non sono esclusivi per la
lunghezza, ma valgono per tutte le grandezze e quindi per tutte le corrispondenti unità di misura: si
parlerà perciò di nanometri (nm) come di nanosecondi (ns), di nanoampere (nA), etc. Tutte le unità
di misura “di partenza” non hanno prefissi, con l’unica eccezione dell’unità di misura della massa, il
chilogrammo (kg). I termini micron, Ångstrom e Fermi sono invece esclusivi per la lunghezza,
come d’altra parte la tonnellata (t ; 1 t = 103 kg), non prevista dal S.I., è caratteristica per la massa.
Il S.I. prevede, per le unità di misura, anche delle regole di scrittura, di seguito elencate:
• I nomi delle unità di misura vanno sempre scritti in carattere minuscolo, privi di accenti o altri
segni grafici. Es: ampere, non Ampère.
• I nomi delle unità non hanno plurale. Es: 3 ampere, non 3 amperes.
• I nomi delle unità si usano solitamente nei testi, mentre i simboli nelle operazioni di calcolo.
• I simboli delle unità di misura vanno scritti con l'iniziale minuscola, tranne quelli derivanti da
nomi propri. Es: mol per la mole, K per il kelvin. Una eccezione è il simbolo per il litro che può
essere sia "L" che "l", cioè una lettera maiuscola o minuscola.
• I simboli non devono essere seguiti dal punto (salvo che si trovino a fine frase).
• I simboli devono sempre seguire i valori numerici. Es: 1 kg, non kg 1.
• Il prodotto di due o più unità va indicato con un punto a metà altezza o con un piccolo spazio tra i
simboli. Es: J = N·m oppure N m ma non Nm; [Mi è capitato spesso che studenti abbiano
interpretato il simbolo ms (millisecondo, lettura corretta) come metro moltiplicato secondo
(lettura scorretta). Metro moltiplicato secondo si scrive correttamente m s oppure m·s].
• Il quoziente tra due unità va indicato con un segno di frazione orizzontale, con una barra obliqua o
con esponenti negativi. Es.: W = J/s oppure J s-1; N = m kg s-2 = m·kg·s-2 ma non: mkgs-2).
Se il quoziente è più complesso bisogna fare molta attenzione e usare per esempio le parentesi,
associate o no a esponenti negativi.
Es: R = 0,0821 atm·L/(mol·K) = 0,0821 atm·L·(mol·K)-1 = 0,0821 atm·L·mol-1·K-1 e non
atm·L/mol·K oppure atm·L/mol/K in quanto di interpretazione non univoca.
L’incertezza e le cifre significative
Come accennato in premessa, ogni misura è affetta da un certo grado di indeterminazione. Messa da
parte la componente “umana” rimane l’incertezza legata alle qualità dello strumento di misura.
Supponiamo di misurare la larghezza di una tavola con alcuni metri a nastro, lunghi 3 metri
ciascuno. Il primo strumento avrà una tacca ogni decimetro, il secondo ogni centimetro e il terzo
ogni millimetro. Utilizzando il primo strumento potremmo osservare che la misura della tavola è
compresa fra la tacca corrispondente a 1,7 m e quella corrispondente a 1,8 m. Potremmo quindi
scrivere che 1,7 m < l < 1,8 m. Tuttavia, anche se in questo caso sembra di esagerare un po’ troppo,
potremmo avere commesso un errore anche nell’accostare lo 0 (zero) vicino al margine sinistro
(inizio) della tavola; pertanto l’incertezza sarebbe raddoppiata: non sarebbe più di 0,05 m (0,1 m/2),
bensì di 0,1 m, praticamente uguale alla sensibilità dello strumento. Questo valore di 0,1 m ci indica
quindi la sensibilità dello strumento e contemporaneamente l’incertezza della misura. Se la lettura
fosse più vicina a 1,7 m dovremmo quindi scrivere l = (1,7 ± 0,1) m; se al contrario fosse più vicina
a 1,8 m scriveremmo l = (1,8 ± 0,1) m. [N.B.: il numero di cifre dopo la virgola coincide: non
abbiamo scritto, per esempio, l = (1,75 ± 0,1) m].
4
Passando al secondo strumento, con precisione al centimetro, per analogia possiamo affermare che
anche l’incertezza sarà corrispondente a 1 cm. Supponiamo che la lettura sia 1,72 m < l < 1,73 m,
ma più vicina a 1,73 m. Scriveremo: l = (1,73 ± 0,01) m.
Con il terzo strumento otteniamo la lettura l = 1,730 m, quindi scriviamo: l = (1,730 ± 0,001) m.
Come si può osservare abbiamo conseguito, per lo stesso oggetto, tre diverse misure, corrispondenti
a tre diversi livelli di precisione. Nel primo caso (l = 1,7 m) abbiamo scritto 2 cifre, nel secondo
caso (l = 1,73 m) 3 cifre e nel terzo caso (l = 1,730 m) 4 cifre. È necessario tenere presente che lo
zero dell’ultima misurazione è importante, è significativo, perché la misura non vale né 1,729 m,
né 1,731 m, ma proprio 1,730 m, precisa al millimetro. Le cifre che abbiamo scritto, legate alla
precisione della misura, vengono dette cifre significative (c.s.).
In realtà se abbiamo scritto, per esempio, l = (1,73 ± 0,01) m non siamo molto sicuri del 3 che
troviamo al termine del valore, per cui possiamo dire che la prima cifra incerta coincide con
l’ultima cifra significativa.
Le due scritture l = (1,73 ± 0,01) m e l = (1,730 ± 0,001) m possono sembrare equivalenti: se lo
sono dal punto di vista matematico non lo sono però se la matematica viene applicata alla scienza. È
necessario a questo punto riassumere con chiarezza in quali casi noi dobbiamo considerare
significativi gli zeri (di seguito vengono indicati in grassetto): uno zero è sempre significativo
quando è compreso fra due cifre diverse da zero (208 ; 0,0208); quando si trova al termine di un
valore, ma dopo la virgola (208,0 ; 0,02080). Non sono significativi gli zeri che precedono la prima
cifra diversa da zero (di seguito vengono indicati sottolineati): 0,0002080. Rimane un caso: quello
in cui gli zeri si trovano a destra rispetto all’ultima cifra diversa da zero e non ci sono virgole, per
esempio: 3250000. Ci sono, in questo caso, quattro zeri: saranno tutti significativi? Lo sarà solo il
primo, oppure nessuno dei quattro? Se il valore è scritto senza alcuna precisazione (per esempio: la
precisione del rilevamento è in migliaia) noi non possiamo sapere di nessuno zero se è significativo
per cui, nel dubbio, non ne consideriamo significativo nessuno: nel nostro esempio 3250000 avremo
3 c.s.. Se invece noi conosciamo il valore di partenza da cui abbiamo ottenuto un arrotondamento,
possiamo determinare quante sono le c.s.: studiamo il seguente esempio.
Se si chiede a un passante il valore della velocità della luce è probabile che risponda con il valore
300000 km/s. Ma sono 300000 km/s precisi o, invece, circa 300000 km/s? Se cerchiamo su una
tabella scientifica che riporti alcune costanti fisiche troviamo il valore 299792458 m/s. Quindi
300000 km/s è il risultato di un arrotondamento: quante cifre significative dobbiamo considerare?
Per convenzione quando si compie un arrotondamento se la cifra da eliminare è 5 o > 5 si arrotonda
in eccesso (2,37 sarà arrotondato a 2,4; 2,65 arrotondato a 2,7) mentre se è < 5 si arrotonda in
difetto (2,34 viene arrotondato a 2,3). Se partendo da 299792458 (9 cifre significative) vogliamo
arrotondare a 8 cifre significative scriveremo: 299792460; infatti 299792458 è più vicino a
299792460 piuttosto che a 299792450. Vediamo di seguito tutta la serie di arrotondamenti che
possiamo ottenere, diminuendo di una alla volta le cifre significative:
299˙792˙458 m/s
9 cifre significative
299˙792˙460 m/s
8 cifre significative
299˙792˙500 m/s
7 cifre significative
299˙792˙000 m/s
6 cifre significative
299˙790˙000 m/s
5 cifre significative
299˙800˙000 m/s
4 cifre significative
300˙000˙000 m/s
3 cifre significative
in questo caso se si parte da 299792458 si ottiene 299792000, ma se si
partisse dall’arrotondamento precedente si otterrebbe 299793000.
5
Abbiamo quindi scoperto che il valore di 300000 km/s per la velocità della luce ha 3 c.s., ma lo
abbiamo potuto determinare in quanto conoscevamo il valore preciso al m/s.
A volte, con una notevole frequenza, nel mondo scientifico si trovano valori grandissimi o, al
contrario, piccolissimi. Prendiamo per esempio la definizione del concetto di mole, dalla seconda
tabella di pagina 2: La mole è la quantità di sostanza che contiene tante entità elementari quanti
sono gli atomi in 0.012 kg di Carbonio 12. Quanti sono gli atomi in 0,012 kg di Carbonio 12 (12C)?
Questo valore (numero di Avogadro) è NA = 602˙200˙000˙000˙000˙000˙000˙000 mol-1.
È evidente che non è agevole lavorare con numeri che presentano tante cifre, peraltro inutili (non
saranno sicuramente significativi tutti quegli zeri); il rischio di sbagliare ad ogni passaggio il
numero degli zeri sarà alto. Inoltre le normali calcolatrici non danno la possibilità di scrivere tante
cifre (24 nel nostro caso!). L’uso della notazione scientifica potrà agevolare i nostri calcoli e
eliminare i dubbi su quante cifre, in un numero, possiamo considerare significative.
La notazione scientifica
La notazione scientifica è una modalità utilizzata per esprimere i numeri, solitamente associati a
delle unità di misura, quindi i valori di misure.
Per esprimere un valore in notazione scientifica bisogna conoscere e saper utilizzare le proprietà
delle potenze. Pertanto bisogna applicare alcune regole.
1ª regola
La prima cifra di un numero espresso in notazione scientifica è diversa da 0 (zero); dopo la prima
cifra si inserisce una virgola. (es.: 27350000000 = 2,73……. ; 0,00006258 = 6,25….)
2ª regola
È ovvio che 27350000000 non è uguale a 2,73…; pertanto, per fare sì che il nostro numero di
partenza corrisponda al risultato finale, sarà necessario moltiplicare il valore per una potenza di 10.
Per definire l’esponente da utilizzare bisognerà contare di quante posizioni si è spostata la virgola.
Nel nostro primo esempio la virgola non c’è, o meglio non è evidente; pertanto dovremo
immaginare che dopo l’ultima cifra (in questo caso è uno zero) ci sia una virgola:
27350000000 = 27350000000, = 2,735 · 1010
Il numero considerato è “grande”, pertanto l’esponente avrà valore positivo.
Come è noto qualsiasi numero elevato alla 0 (zero) dà come risultato 1 (uno).
Pertanto quando avrò un valore n° < 1 l’esponente a cui verrà elevato 10 sarà negativo:
0,00006258 = 6,258 · 10-5
Riassumendo: si mette la virgola dopo la prima cifra diversa da zero; si conta di quante posizioni si
è spostata la virgola: quello sarà l’esponente da utilizzare; se il numero è “grande” (n° > 1)
l’esponente sarà positivo; se il numero è “piccolo” (n° < 1) l’esponente sarà negativo.
Tornando all’esempio del numero di Avogadro avremo:
NA = 602˙200˙000˙000˙000˙000˙000˙000 mol-1 = 6,022 · 1023 mol-1
Alcuni dei vantaggi nell’uso della notazione scientifica sono quindi i seguenti: si utilizzano numeri
più corti, senza troppe cifre; tutte le cifre che si scrivono sono significative.
Come dovremo scrivere, in notazione scientifica il valore della velocità della luce (c), ora che
sappiamo che 300000 km/s ha 3 c.s.? Sarà: c = 3,00 · 105 km/s, oppure c = 3,00 · 108 m/s.
Il valore con 9 c.s. sarà invece c = 2,99792458 · 108 m/s.
6
La notazione scientifica e i calcoli
Quando troviamo dei calcoli (in particolare moltiplicazioni e divisioni) con numeri piuttosto grandi
e/o piuttosto piccoli è conveniente utilizzare la notazione scientifica. È opportuno, prima di fare
qualsiasi operazione di calcolo, esprimere tutti i valori sotto forma di notazione scientifica e,
se sono presenti unità di misura, fare in modo di uniformarle tramite equivalenze:
2576000000 m · 7459000 dm
0,0004578 cm
2576000000 = 2,576 · 109
7459000 = 7,459 · 106
0,0004578 = 4,578 · 10-4
Per quanto riguarda le u.d.m. decidiamo di utilizzare il metro, quindi esprimeremo anche i dm e i
cm come metri:
1 dm = 1 · 10-1 m
1 cm = 1 · 10-2 m
Il passaggio successivo è quello di trascrivere l’espressione di partenza sostituendo con i valori
sopra ottenuti:
2576000000 m · 7459000 dm ‗ 2,576 · 109 m · 7,459 · 106 · 10-1 m
0,0004578 cm
4,578 · 10-4 · 10-2 m
Altra operazione utile è di suddividere il tutto in tre operazioni: una che riguarda i numeri, una le
potenze e la terza le u.d.m.:
2,576 · 109 m · 7,459 · 106 · 10-1 m ‗ (2,576 · 7,459) . (109 · 106 · 10-1) . (m · m) ‗
4,578 · 10-4 · 10-2 m
(4,578)
(10-4 · 10-2)
(m)
‗ 4,19711315 . 1014 . m2 ‗ 4,19711315 . 1020 . m
10-6 m
A questo punto rimane un dubbio: le cifre che mi ha dato la calcolatrice sono tutte da scrivere?
Sono tutte significative? È accettabile, lo si può dimostrare, che, in caso di moltiplicazioni e/o
divisioni, il numero di c.s. nel risultato sia coincidente al numero di c.s. del numero meno preciso
utilizzato: nel nostro caso tutti i numeri in partenza hanno 4 c.s., quindi anche il risultato avrà 4 c.s.:
4,19711315 · 1020 · m = 4,197 · 1020 · m
Vediamo un altro esempio che presenti unità di misura di diverse grandezze:
475,3 mg
k
2
0,0729 cm · 3219500 μm
Procediamo con il metodo utilizzato nell’esempio precedente:
475,3 mg
i‗
4,753 · 102 · 10-6 kg
i‗
0,0729 cm · 3219500 μm2
7,29 · 10-2 · 10-2 m · 3,2195 · 106 · 10-12 m2
‗
4,753
.
102 · 10-6
. kg i‗0,20251251 . 10-4 . kg i‗ 0,20251251 · 106 . kgi
-2
-2
6
-12
(7,29 · 3,2195) 10 · 10 · 10 · 10
m · m2
10-10 m3
m3
7
Si fa notare un aspetto nei passaggi seguiti: non si è cercato di trasformare, come purtroppo fanno
alcuni studenti, una massa (kg) in lunghezza (m) né viceversa; sappiamo che esistono grandezze
derivate e quindi è normale che si possano moltiplicare o dividere fra di loro (certo non potremmo
mai addizionarle o sottrarle). Altra osservazione: partendo dai μm2 si è passati ai m2 e non ai “metri
normali” (espressione purtroppo usata) e facendo questo passaggio si è dovuto considerare che:
1 μm = 10-6 m
(1 μm)2 = (10-6 m)2
1 μm2 = 10-12 m2
cioè se fra m e μm c’è un fattore 6, quando elevo al quadrato avrò un fattore 12 e al cubo 18.
La grandezza che abbiamo ottenuto si chiama densità, data dal rapporto fra massa e volume di un
oggetto: d = m/v, con u.d.m. ufficiale kg/m3. È quindi una grandezza derivata.
Si vuol dare qui anche un suggerimento sull’uso della calcolatrice, utile nel caso di divisioni con più
denominatori moltiplicati fra di loro: se il calcolo viene svolto con una calcolatrice normale (non
scientifica) nel nostro caso dobbiamo scrivere come segue 4,753 diviso 7,29 diviso 3,2195 e non
4,753 diviso 7,29 per 3,2195. Nel caso invece in cui si abbia a disposizione una calcolatrice
scientifica si potrà utilizzare la stessa scrittura di prima (4,753 diviso 7,29 diviso 3,2195) oppure
utilizzare le parentesi e scrivere 4,753 / (7,29 x 3,2195).
Rimangono tuttavia ancora alcune cose da fare: il risultato non è in notazione scientifica (la prima
cifra è uno zero); le cifre sono ancora tante, bisognerà ridurle secondo le indicazioni date in
precedenza:
0,20251251 · 106 . kg i
m3
Il numero dovrà iniziare con una cifra diversa da zero e sarà seguito subito da una virgola; le cifre
da scrivere (c.s.) saranno 3, poiché 4,753 ha 4 c.s., 7,29 ne ha 3 e 3,2195 ne ha 5: come detto
bisogna adeguarsi al numero con precisione minore, cioè con minore numero di c.s.. Bisognerà fare
attenzione, nell’arrotondamento, alla cifra successiva (per noi, in questo caso la quarta: se ≥ 5
l’arrotondamento sarà in eccesso, se < 5 sarà in difetto). Quindi:
0,20251251 · 106 . kg ‗ 2,03 · 10-1 · 106 . kg i ‗ 2,03 · 105 kg/m3
m3
m3
Quando nei calcoli si hanno più numeri (qualcuno al numeratore, qualcuno al denominatore) è
meglio raccogliere i fattori e eseguire un’unica operazione con la calcolatrice, ma soprattutto è
opportuno arrotondare un’unica volta al termine dei calcoli: infatti ogni volta che arrotondo io
commetto “di proposito” un errore; pertanto, se arrotondo una sola volta, lo commetto una sola
volta. Nel caso di arrotondamenti multipli si possono ottenere risultati diversi sull’ultima cifra
significativa e in certi casi, dopo molti passaggi, anche sulla penultima.
7,2453 · 5,39 · 7,217 ‗ 5,790086613 ‗ 5,79
9,37 · 5,1949
[una operazione di calcolo + un arrotondamento]
7,2453 · 5,39 · 7,217i‗ 39,052167 · 7,217 ‗ 39,1 · 7,217 ‗ 282,1847 i‗
282
i‗
9,37 · 5,1949
9,369 · 5,189
9,369 · 5,189
9,369 · 5,189 9,369 · 5,189
‗ 30,09926353 ‗ 30,1 ‗ 5,800732318 ‗ 5,80
5,189
5,189
[quattro operazioni di calcolo + quattro arrotondamenti]
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Una precisazione sugli arrotondamenti
“Nel caso particolare in cui il numero si trovi esattamente a metà strada, esso verrà arrotondato alla
cifra pari più vicina. Quindi 43,55000 diventerà 43,6 se consideriamo solo 3 c.s.. Se ancora
manteniamo 3 c.s. 1,42500 diventerà 1,42 mentre 1,42501 diventerà 1,43. Il criterio che sta alla
base dell’arrotondamento alla cifra pari più vicina è quello di evitare di aumentare o diminuire
sistematicamente i risultati attraverso successivi errori di arrotondamento: in media metà degli
arrotondamenti dovrebbe avvenire per eccesso e l’altra metà per difetto.”
Harris, Daniel C., Chimica analitica quantitativa, 1991, Bologna, Zanichelli
Quando i calcoli consistono in addizioni e/o sottrazioni si può agire essenzialmente in due modi:
non usare la n.s. oppure esprimere tutti i numeri con lo stesso esponente. Il primo metodo può
essere utilizzato se abbiamo espresso le nostre misure con multipli o sottomultipli, il secondo se
invece abbiamo mantenuto, per esempio, l’unità di misura di riferimento e abbiamo usato le
potenze:
32,15 μm + 0,312 mm + 1250 nm = 32,15 μm + 312 μm + 1,25 μm
032,15 μm +
312
μm +
001,25 μm =
345,40 μm
32,15 μm + 0,312 mm + 1250 nm = 0,3215 · 10-4 m + 3,12 · 10-4 m + 0,0125 · 10-4 m
0,3215 · 10-4 m +
3,12 · 10-4 m +
0,0125 · 10-4 m =
3,4540 · 10-4 m
In entrambi i casi siamo arrivati a un risultato che non può considerarsi definitivo: evidentemente le
misure sono state rilevate con diversi strumenti, con differente livello di precisione. In questo caso
(somme e differenze) non conta tanto il numero di c.s., bensì la posizione dell’ultima cifra
significativa. Il primo e il terzo valore sono precisi al centesimo di micron, mentre il secondo è
preciso al micron. Anche in questo caso mi dovrò affidare alla più bassa precisione: se leggo che fra
due città ci sono 237 km di distanza posso pensare che tale spazio sia fra le due piazze al centro dei
due abitati; se aggiungo che nella città B il cinema dista dalla piazza 125 m non posso comunque
scrivere che dista dalla piazza di A 237,125 m, perché l’incertezza della prima misura (237 km) è di
1 km, maggiore rispetto alla seconda misura (125 m). Pertanto quando eseguiamo una somma o una
differenza è meglio se, dopo avere espresso tutte le misure con la stessa u.d.m., mettiamo i valori in
colonna; dopo di ciò tagliamo il risultato in corrispondenza dell’ultima cifra della misura meno
precisa, con una linea verticale (materialmente o idealmente, è lo stesso):
0,32 15 · 10-4 m +
3,12 · 10-4 m +
0,01 25 · 10-4 m =
3,45 40 · 10-4 m
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Il risultato da considerare sarà quindi 3,45 · 10-4 m o, se utilizziamo i micron, 345 μm. Anche in
questo caso dobbiamo tener conto di cosa c’è dopo l’ultima cifra considerata, per cui il nostro
risultato va bene; se invece avessi avuto 3,4574, avrei dovuto scrivere, come risultato finale, 3,46.
La propagazione dell’incertezza
Nel paragrafo precedente abbiamo utilizzato un modo “empirico” per esprimere l’incertezza,
decidendo di tagliare i risultati a un certo punto. Come accennato, questa modalità non è campata in
aria, i risultati sono effettivamente accettabili. Tuttavia se si vuole affrontare in modo più scientifico
il tema dell’incertezza, è necessario fare ancora qualche calcolo.
In primo luogo bisogna distinguere fra incertezza assoluta e incertezza relativa. Se esprimo la
lunghezza lA = (1,73 ± 0,01) m (esempio pag. 5), l’incertezza assoluta coincide con il livello di
precisione dello strumento (non sono sicurissimo di quel 3). Se utilizzando uno strumento con lo
stesso livello di precisione misurassi la lunghezza di un salone [lB = (13,48 ± 0,01) m] e di una
matita [lC = (0,14 ± 0,01) m] l’incertezza assoluta non sarebbe cambiata: 0,01 m. È evidente però
che un errore di 1 cm su 13,48 m (1348 cm) è meno consistente rispetto allo stesso errore su 14 cm.
Il valore che si ottiene dal rapporto fra incertezza assoluta (ia) e valore della misura si chiama
incertezza relativa (ir): ir = ia/mis. Nel nostro esempio avremo quindi:
irA ‗ iaA ‗ 0,01 m ‗ 0,005780346821
lA 1,73 m
irB ‗ iaB ‗ 0,01 m ‗ 0,0007418397626
lB 13,48 m
irC ‗ iaC ‗ 0,01 m ‗ 0,071428571
lC 0,14 m
L’incertezza relativa non ha unità di misura e spesso viene espressa in percentuale:
ir%A = 0,005780346821 x 100/100 = 0,578 %
ir%B = 0,0007418397626 x 100/100 = 0,074 %
ir%C = 0,071428571 x 100/100 = 7,142 %
L’incertezza relativa ci dà quindi un’informazione maggiore sull’attendibilità della misura, perché
mette in relazione l’incertezza con la misura stessa.
Quando abbiamo delle addizioni e/o sottrazioni fra misure l’incertezza assoluta del nostro risultato
sarà uguale alla somma delle incertezze assolute delle singole misure. Supponiamo di misurare la
larghezza di un banco usando un righello da 10 cm, con precisione a un mm; la misura risulta 62,4
cm. È chiaro che avremo appoggiato il righello sul banco 7 volte, facendo magari una tacca ogni
volta per tenere il segno. Ogni volta abbiamo misurato con un’incertezza di 1 mm, cioè:
lbanco = (10,0 ± 0,1) cm + (10,0 ± 0,1) cm + (10,0 ± 0,1) cm + (10,0 ± 0,1) cm + (10,0 ± 0,1) cm +
+ (10,0 ± 0,1) cm + (2,4 ± 0,1) cm
Poiché abbiamo fatto 7 misure l’incertezza di ogni misura va sommata:
ia banco = 0,7 cm
e quindi:
lbanco = (62,4 ± 0,7) cm
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Lo stesso discorso va fatto per una sottrazione. Supponiamo che una persona cammini su una linea
retta disegnata, andando avanti e indietro a suo piacimento; ogni volta che si ferma viene misurato il
percorso partendo dalla sosta precedente:
l = 12,38 m + 6,43 m – 5,12 m + 8,24 m – 16,17 m
Qual è la distanza dal punto iniziale? Ogni misurazione ha evidentemente un’incertezza di 0,01 m:
l = (12,38 ± 0,01) m + (6,43 ± 0,01) m – (5,12 ± 0,01) m + (8,24 ± 0,01) m – (16,17 ± 0,01) m
In questo caso le operazioni di misurazione sono state 5 per cui, poiché le incertezze di ogni
misurazione sono le stesse, scrivo:
ia percorso = 0,05 m
e quindi:
l = (5,76 ± 0,05) m
Come si può notare nel caso di sottrazione non posso sottrarre anche l’incertezza, ma devo
comunque aggiungerla. Non è che misurando nella direzione opposta diminuisca l’errore della mia
misura!
Se uso diversi strumenti di misura, con differente precisione, il metodo non cambia.
Prendiamo l’esempio di pag. 9:
l = 32,15 μm + 0,312 mm + 1250 nm = (32,15 ± 0,01) μm + (312 ± 1) μm + (1,25 ± 0,01) μm
ia = 0,01 μm + 1 μm + 0,01 μm = 1,02 μm
032,15 μm +
312
μm +
001,25 μm =
345,40 μm
345
μm ±
1,02 μm
345
1
μm ±
μm
e quindi:
l = (345 ± 1) μm
Nel caso di moltiplicazioni e/o divisioni, invece, l’incertezza relativa del risultato è uguale alla
somma delle incertezze relative dei singoli fattori. Bisogna quindi fare qualche calcolo in più:
A·B=C
irC = irA + irB = iaA/A + iaB/B
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Vediamo un esempio: calcolare la superficie di un rettangolo con lati l1 = 12,3 cm e l2 = 45,0 cm.
L’incertezza delle due lunghezze è quindi ia = 0,1 cm.
s = l1 · l2 = (12,3 ± 0,1) cm · (45,0 ± 0,1) cm
A questo punto è necessario separare il calcolo in due parti: la prima che riguarda le misure, la
seconda che riguarda l’incertezza.
Il primo calcolo è quindi:
s = 12,3 cm · 45,0 cm = 553,50 cm2
Il secondo calcolo:
irs = irl1 + irl2 ‗ ial1 + ial2 ‗ 0,1 cm + 0,1 cm ‗ 0,00813 + 0,00222 = 0,01035
l1
l2 12,3 cm
45,0 cm
Abbiamo ora l’incertezza relativa sulla superficie; tuttavia, se vogliamo esprimere la superficie con
la sua incertezza, non possiamo aggiungere o togliere (±) un numero, bensì una misura con la stessa
u.d.m.. Poiché per definizione irA = iaA/A, posso scrivere anche che iaA = irA · A. Per cui:
ias = irs · s = 0,01035 · 553,50 cm2 = 5,728725 cm2
Adesso dobbiamo mettere tutto insieme: le misure di partenza avevano entrambe 3 c.s.: la superficie
dovrà essere espressa con 3 c.s.. Quindi:
s = 554 cm2
L’incertezza deve avere lo stesso livello di “precisione” del risultato quindi dovrà essere in cm2,
senza cifre dopo la virgola:
ias = 5,728725 cm2 = 6 cm2
Infine:
s = (554 ± 6) cm2
Un errore frequente, da parte degli studenti, si riscontra nel caso di calcolo dell’incertezza di volumi
di cubi o sfere: se dobbiamo calcolare il volume di un cubo con lato l = (2,47 ± 0,01) cm, avremo:
v = l3 = l · l · l = (2,47 cm)3 ± iav
iav = irv · v
irv = 3 · irl = 3 · ial/l = 3 · (0,01 cm/2,47 cm) = 3 · 0,004048582996 = 0,012145748
v = (2,47 cm)3 = 15,069223 cm3 = 15,1 cm3
iav = irv · v = 0,012145748 · 15,069223 cm3 = 0,183026985 cm3 = 0,2 cm3
e quindi, con gli arrotondamenti:
v = (15,1 ± 0,2) cm3
Spesso gli allievi dimenticano che l3 = l · l · l e che quindi l’incertezza sulla lunghezza va
moltiplicata per tre: irv = 3 · irl. Stesso discorso vale per la sfera e per le altre moltiplicazioni in cui
sono coinvolte più volte le stesse grandezze, per esempio nel calcolo di una superficie.
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