sulla modulazione FM

Modulazione di frequenza (FM)
Modulazione di frequenza e di fase
Spettro FM per modulazione sinusoidale
Spettro FM completo
Banda, indice di modulazione, deviazione di frequenza
FM a banda stretta
Generazione di un segnale FM
Demodulazione di un segnale FM
1
Teoria dei Segnali
Modulazione di frequenza e di fase
•
Data un segnale sinusoidale, l’informazione del segnale modulante può
essere portata dalla fase e dalla frequenza, invece che dall’ampiezza.
v(t) = Acos(! 0 t + "(t))
•
Si definiscono fase instantanea e frequenza istantanea le due quantità:
! (t) = " 0 t + # (t)
•
f (t) =
1 d" (t)
1 d# (t)
= f0 +
2! dt
2! dt
Dal punto di vista della “forma”, in tutti e due i casi il segnale è ad ampiezza
costante, e periodo variabile.
2
Teoria dei Segnali
Relazione tra le mod. di frequenza e di fase
•
•
•
•
Il segnale modulante può andare a cambiare la fase o la frequenza istantanea
della portante:
1 d#(t)
k $ dm(t)
f (t) =
= f0 +
2" dt
2" dt
v(t) = A cos[" 0t + k #m(t)]
PM:
t
FM:
1 d#(t)
k$
v(t) = A cos[" 0t + k # % m( $ ) d$ ]
f (t) =
= f0 +
m(t)
0
2" dt
2"
I corrispondenti modulatori avranno uno schema:
m(t)
Integratore
Modulatore PM
vFM(t)
m(t)
Derivatore
Modulatore FM
vPM(t)
3
Teoria dei Segnali
Modulazione FM con modulante sinusoidale
•
Se il segnale m(t) è un segnale a singola frequenza (coseno), la modulazione
FM produce il segnale modulato:
t
&
)
v(t) = A cos((" 0t + k # % cos" m t d$ ++
'
*
0
•
Sviluppando l’integrale:
$
sin " mt '
v(t) = A cos&" 0t + k ##
) = A cos("0 t + * sin "m t)
"m (
%
•
Dove definisco un indice di modulazione ed una deviazione massima di
frequenza rispettivamente come
!=
"f
fm
"f =
k ##
2$
4
Teoria dei Segnali
Spettro FM con segnale sinusoidale
•
Supponendo un segnale modulante sinusoidale e una modulazione FM, si ha
v(t) = A cos(" 0t + # sin "m t ) = Acos" 0 t cos(# sin " mt ) $ Asin " 0t sin(# sin " mt )
•
I termini in seno e coseno sono periodici e quindi espandibili in serie di
Fourier:
cos( ! sin " mt ) = J0 (! ) + 2 J2 (! ) cos(2" m t) + 2 J4 ( ! ) cos( 4" mt ) + ...
sin(! sin " m t ) = 2 J1 (! ) sin(" m t) + 2 J3 ( ! ) sin (3" mt ) + ...
•
Mettendo assieme le cose:
v(t) = A( J0 (" ) cos(# 0t ) $ J1 (" )[ cos(#0 $ # m )t $ cos(#0 + # m )t] + J2 (" )[cos(#0 $ 2#m )t $ cos(# 0 + 2# m )t] + ...)
5
Teoria dei Segnali
Componenti del segnale FM
•
Le componenti del segnale dipendono dal valore di β e dalle funzioni di
Bessel.
J2(β)
J0(β)
1
0.5
J1(β)
0
-0.5
•
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Per β piccolo, la componente predominante è quella a frequenza f0, perché Jo(
β) è più alto di Jn(β):
– conta molto la portante, e poco le bande laterali.
•
Per β molto grande, J0(β) può essere molto piccolo, o anche nullo, mentre i
Jn(β) assumono valori differenti:
– contano molto le bande laterali e poco la portante (vantaggio su AM-DSB).
6
Teoria dei Segnali
Banda di un segnale FM
•
Da quanto visto prima, il segnale FM (o PM) ha banda infinita!!!
•
Si definisce però una Banda di Carson, come la banda entro cui si ha il
98% della potenza del segnale. Nel caso di un segnale modulante
sinusoidale:
Bc = 2(!f + fm ) = 2(" + 1) fm
•
Si noti che, per β grandi, la banda è indipendente dal segnale e dalla
modulazione (cioè lo stesso β).
2 !f
f
2 !f
f
7
Teoria dei Segnali
FM a banda stretta
•
Se si suppone di avere un β piccolo, si ottiene che:
v(t) = A cos(" 0t + # sin "m t ) $ Acos(" 0t ) % cos(0) & Asin("0 t) % # sin " mt
•
Continuando nei conti:
A%
cos((#0 $ # m )t) $ cos((#0 + # m )t))
(
2
Si noti che il segnale è molto simile ad un segnale AM-DSB, con l’unica
differenza che ci sono un seno ed un coseno invece di due coseni.
' t
*
v ( t ) = Acos(" 0 t ) # Asin(" 0 t )) k $$ & m(% )d% ,
( 0
+
Dunque:
v(t) " A cos(# 0t ) $
•
•
–
–
–
contano solo le frequenze laterali;
la potenza è concentrata sulla portante (β è piccolo!);
!
due segnali danno uno spettro che è la somma degli spettri (linearità).
8
Teoria dei Segnali
FM a banda larga
•
Se il segnale è a banda larga esiste una relazione tra banda e potenza, e si
può suddividere meglio la potenza sulle bande laterali, ma la banda è più
ampia.
2 !f
f
2 !f
f
•
La potenza complessiva di un segnale PM o FM è infatti costante e pari a
A2/2, visto che il segnale ha ampiezza costante e fase o frequenza variabile.
v(t) = A( J0 (" ) cos(# 0t ) $ J1 (" )[ cos(#0 $ # m )t $ cos(#0 + # m )t] + J2 (" )[cos(#0 $ 2#m )t $ cos(# 0 + 2# m )t] + ...)
A 2 A 2 J0 ( " ) 2
A 2 J1 (" ) 2
A 2 J 2 (" ) 2
Pv =
=
+ 2#
+2#
+ ...
2
2
2
2
•
Cambia dunque, in funzione di β, la suddivisione tra Jo(β) e gli altri Jn(β), e
9
dunque la frazione di potenza “monopolizzata” dalla portante.
Teoria dei Segnali
Generatori di segnali FM
•
Ci sono due metodi per generare un segnale FM:
– diretto
– indiretto
•
L
Cv
Metodo diretto:
C0
m(t)
v(t) = A cos(2 "ft) ove
•
Metodo indiretto:
f=
1
L(C0 + C v (t))
Portante
Sfasatore
di 90｡
+
-
m(t)
∫
Teoria dei Segnali
Modulatore
bilanciato
Σ
v(t) " A cos(# 0t ) $ cos(0) % Asin (# 0 t) $ & sin # mt
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Vantaggi e svantaggi dei due metodi
•
Metodo diretto:
–
–
–
–
•
Collegamento diretto tra segnale modulante e frequenza risultante
Alta linearità della relazione
Alta stabilità della frequenza centrale
Estremamente economico
Metodo indiretto:
–
–
–
–
Collegamento indiretto
Maggior robustezza
Valido solo per β piccoli
Alta precisione nello sfasamento di 90°
11
Teoria dei Segnali
Moltiplicatori di frequenza
•
Per utilizzare un modulatore diretto per ottenere segnali con β grande, è necessario
utilizzare un moltiplicatore di frequenza:
•
Se il segnale prima del moltiplicatore è
A cos[! 0 t + " sin ! mt ]
f = f0 + "f cos# m t
… con β piccolo, dopo il moltiplicatore è:
nf = nf0 + n"f cos# m t
e l’indice di modulazione è aumentato, perché la deviazione massima di frequenza è
cambiata.
A cos[n! 0 t + n" sin ! mt ]
12
Teoria dei Segnali
Moltiplicatori in cascata
s(t)
Modulatore
NBFM
frequenza x n
O.L.
freq = f'
0
•
•
•
•
1
filtro
passabanda
*
frequenza x n
frequenza x n
3
2
In uscita al modulatore NBFM abbiamo un segnale FM a banda stretta con
portante f0 e indice β.
Dopo il primo moltiplicatore in frequenza abbiamo un segnale FM con
portante n1f0 e indice n1β.
Dopo il mixer abbiamo due segnali FM: uno con (n1+n2)f0 e indice n1β,
l’altro con |n1-n2|f0 e indice ancora n1β.
Dopo il secondo moltiplicatore in frequenza abbiamo due segnali FM: uno
con n3(n1+n2)f0 e indice n1n3β, l’altro con n3|n1- n2|f0 e indice n1n3β.
13
Teoria dei Segnali
Demodulatori FM
•
Il demodulatore FM è costituito da tre parti: il limitatore, il discriminatore, il
demodulatore AM ad inviluppo.
Limitatore
Discriminatore
Demodulatore AM
•
Supponendo di avere in ingresso un segnale FM + rumore, dopo il limitatore
si avrà
t
%
(
&
t
)
A cos(("0 t + k ## % m($ ) d$ ++ + n(t)
AL cos''! 0 t + k "" $ m(# ) d# **
'
*
&
)
0
0
e, dopo il discriminatore (derivatore):
'
t
*
"(# 0 + k $m(t) ) AL sin))# 0t + k $ & m( % ) d% ,,
(
+
0
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Teoria dei Segnali
FM stereo
•
•
•
Sistema compatibile con FM mono.
FM a banda larga con Δf di 75 kHz (sistema USA)
Segnale audio di alta qualità (6 kHz di banda)
L(t)
Differenza
Moltiplica
fout= 2 fin
O.L. =
19 KHz
S
o
m
m
a
t
o
r
e
Somma
R(t)
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Teoria dei Segnali