la valutazione della riserva sinistri nelle assicurazioni danni

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UNIVERSITÀ CATTOLICA DEL SACRO CUORE DI MILANO
Interfacoltà di Economia/Scienze Bancarie Finanziarie e Assicurative
Corso di Laurea in Scienze Statistiche Attuariali ed Economiche
LA VALUTAZIONE DELLA RISERVA SINISTRI
NELLE ASSICURAZIONI DANNI: METODI
ATTUARIALI DETERMINISTICI E STOCASTICI
Relatore: Chiar.mo Prof. Nino SAVELLI
Tesi di Laurea di:
Isabella Maria Silvestri
Matr. N° 3308790
Anno Accademico 2005/2006
Alla Vita,
un dono meraviglioso…
Alla mia Famiglia,
il mio orgoglio…
Indice
Introduzione
pag. 4
Capitolo Uno “Generalità sulla riserva sinistri”
1. La legislazione della riserva sinistri
pag. 7
2. La riserva sinistri nella R.C.Auto
" 11
3. Il triangolo di run-off
" 28
3.1. La modulistica di vigilanza allegata al bilancio: il modulo 28
3.1.1.L’allegato al modulo 28 dei sinistri tardivi
4. Metodi di calcolo per la riserva sinistri
" 29
" 31
" 32
" 34
4.1. Metodi deterministici
" 35
4.2. Metodi stocastici
" 36
Capitolo Due “I principali metodi deterministici”
1. Il metodo Chain Ladder
1.1. Le ipotesi del metodo
pag. 38
" 40
1.1.1. La stima dei fattori di sviluppo
" 41
1.1.2. La stima della riserva sinistri
" 42
1.2. Le varianti del metodo chain ladder classico
" 43
1.2.1. Il metodo chain ladder con aggiustamento per inflazione
" 44
1.2.2. Il metodo chain ladder a costo medio di generazione
" 45
1.2.3. Il metodo chain ladder con gli incurred
" 49
1.2.3.1.La logica del metodo
" 50
1.2.3.2.La stima della riserva sinistri
" 50
1.3. Applicazioni del basic chain ladder e delle sue varianti
" 52
1.3.1. Il metodo chain ladder basato sui pagati
" 52
1.3.2. Il metodo chain ladder con inflazione
" 60
1.3.3. Il metodo chain ladder con costi medi di generazione
" 66
" 69
1.4. Vantaggi e svantaggi del metodo chain ladder
" 78
2. Il metodo Fisher-Lange
2.1. Le assunzioni del metodo
" 80
" 81
1
2.2. La stima della riserva sinistri
pag. 82
2.3. Applicazioni del metodo Fisher-Lange
" 84
2.4. Vantaggi e svantaggi del metodo Fisher-Lange
" 90
3. Il metodo della separazione aritmetica di Taylor
" 92
" 93
3.1.1. La stima dei parametri
" 95
" 97
3.2. Applicazioni del metodo della separazione aritmetica di Taylor
" 97
3.3. Vantaggi e svantaggi del metodo della separazione aritmetica di Taylor
" 101
4. Sensitivity analysis
" 106
Capitolo Tre “I metodi stocastici”
1. Un passaggio graduale dai metodi deterministici ai metodi stocastici
2. Il prediction error e lo standard error
pag. 122
" 124
2.1. La versione stocastica del chain ladder
" 125
2.2. Il Mean Squared Error of Prediction per il chain ladder
" 131
3. La tecnica del Bootstrapping
" 133
3.1. Il chain ladder secondo il bootstrapping
" 135
4. La proposta di Mack e Quarg: il Munich Chain Ladder
" 137
4.1. Introduzione al Munich Chain Ladder
" 137
4.1.1. Il problema del basic chain ladder
" 138
4.1.2. Un’idea per risolvere il problema del basic chain ladder e primo confronto
con il Munich Chain Ladder
" 140
4.2. Il modello del Munich Chain Ladder
" 141
4.2.1. Le assunzioni del modello
" 141
" 145
4.2.3. La stima degli importi futuri
" 148
4.3. Applicazione del metodo Munich Chain Ladder
Capitolo
Quattro
“Distribuzioni
della
" 148
riserva
sinistri
a
confronto”
1. Introduzione ai modelli di simulazione
pag. 156
2. La distribuzione di probabilità secondo il Bootstrapping
" 159
3. La distribuzione di probabilità della Normale
" 172
4. La distribuzione di probabilità della LogNormale
" 183
2
5. Il risk margin
pag. 196
Conclusioni
pag. 201
Bibliografia
pag. 205
3
Introduzione
Le imprese di assicurazione sono chiamate ogni anno a redigere il bilancio di fine
esercizio. Una delle voci più importanti del passivo è senza dubbio la riserva sinistri.
La riserva sinistri indica l’impegno futuro della compagnia nei confronti degli assicurati o
danneggiati e come tale deve essere stimata. Tale stima è supervisionata al fine di evitare
uno dei maggiori rischi per la solvibilità di un’impresa di assicurazione, ossia sottovalutare
gli accantonamenti tecnici. Se infatti l’impresa non è in grado di far fronte agli impegni
assunti, rischia di cadere in liquidazione coatta amministrativa. All’Isvap (Istituto per la
Vigilanza Sulle Assicurazioni Private e di Interesse Collettivo), quindi, spetta il controllo
delle procedure1 utilizzate per il calcolo della riserva sinistri.
I sinistri sono posti in riserva fino a quando non saranno risarciti totalmente, fanno
eccezione i sinistri eliminati per senza seguito.
La valutazione della riserva sinistri è regolata dall’articolo 33 del decreto legislativo n.173
del 26 maggio 1997.
La stima della riserva sinistri è caratterizzata da un alto grado di incertezza dovuta alla
scarsità di informazioni sui sinistri di cui dispone l’impresa all’atto di redigere il bilancio
di fine esercizio; pertanto, meno informazioni si hanno più sarà difficile stimare il valore
della riserva che avrà come tale un’instabilità maggiore. Contribuisce ad accrescere la
variabilità, inoltre, la previsione dei fattori evolutivi di costo che incidono sull’esborso
finale e di cui l’impresa deve tener conto coerentemente al principio di valutazione del
costo ultimo. Tra i fattori evolutivi di costo sono presenti in modo particolare: l’inflazione
economica generale o quella caratteristica della classe di rischio; le sentenze della
magistratura in genere tendenzialmente favorevoli al rialzo dei risarcimenti in caso di
lesioni alla persona; il mutare delle leggi e del comportamento degli assicurati definiti
comunemente come inflazione sociale2.
Gli accantonamenti per i sinistri riservati devono essere valutati a costo ultimo perché più
affine al principio di prudenza in base al quale le imprese devono valutare la riserva
sinistri. Oltre al suddetto principio le imprese, secondo la normativa vigente, sono tenute a
rispettare altri principi di cui si dirà meglio nel primo capitolo. Un tempo si dava la
1
Tali procedure devono essere “prudenziali” per far sì che l’impresa non si trovi insolvente nel momento in
cui dovrà risarcire il sinistro.
2
Risultato ottenuto dal gruppo di lavoro istituito in occasione della conferenza europea delle autorità di
vigilanza svoltasi nel 2001. Per ulteriori approfondimenti si rimanda all’opera menzionata in bibliografia.
4
possibilità di attualizzare il valore della riserva sinistri facendo in ogni caso riferimento,
come valore base, a quello della stessa a costo ultimo.
I sinistri del ramo R.C.Auto sono, in genere, molto complessi e necessitano di lunghi
periodi di liquidazione (long-tail). Pertanto il metodo dell’inventario richiede particolare
attenzione e massima prudenza nel calcolo del costo di tali sinistri. Invece per i sinistri
caratterizzati da un’elevata velocità di liquidazione (short-tail), come possono essere i
sinistri dello stesso ramo che hanno riportato danni a cose, il metodo dell’inventario porta,
con più certezza, ad un valore a costo ultimo del sinistro.
I metodi di stima per la riserva sinistri sono molteplici, in questo contesto verranno
esaminati alcuni tra i metodi deterministici e stocastici.
Nei capitoli successivi, e più precisamente nel secondo saranno illustrati tre criteri
deterministi; in particolar modo, come esempio di metodo concatenato s’illustrerà il chain
ladder con le sue varianti, come tipo di metodi a costo medio, il metodo Fisher-Lange, e
tra i possibili metodi della separazione si analizzerà il metodo della separazione aritmetica
di Taylor. Nel terzo capitolo saranno introdotti i metodi stocastici e le misure di variabilità
che permettono di calcolare, nonché le differenze che intercorrono tra le stesse. Nello
stesso capitolo si cercherà di superare gli svantaggi del chain ladder ai fini di determinare
la riserva per i sinistri tardivi, presentando un nuovo metodo di calcolo, il Munich Chain
Ladder. Nel quarto capitolo saranno presentate tre possibili distribuzioni di probabilità
predittive, ottenute, rispettivamente, con la tecnica del Bootstrapping, ipotizzando per i
pagamenti futuri una distribuzione Normale e LogNormale.
Per tutti i metodi sono state eseguite delle applicazioni ai dati di una generica compagnia di
medie dimensioni. I risultati conseguiti sono stati successivamente confrontati in modo da
comprendere meglio le analogie e le diversità tra i metodi.
La chiusura di un sinistro, e quindi la sua “permanenza” in riserva, dipende dal danno
causato: se il sinistro ha causato solo danni a cose verrà chiuso in tempi abbastanza brevi,
qualora vengano riscontrati danni a persona il processo di liquidazione sarà più lungo e il
risarcimento richiesto alla compagnia di assicurazione nettamente maggiore di quello
richiesto in caso di danni a beni. Negli esempi riportati all’interno dei diversi capitoli, il
periodo di sviluppo è stato posto pari a dodici anni, dunque si farà riferimento ad un ramo
long-tail con tempi di liquidazione abbastanza lunghi.
In tutte le analisi operative svolte non si è fatta alcuna differenza rispetto alla tipologia di
sinistri coinvolta nella valutazione della riserva, vale a dire, per ogni anno di differimento
5
si sono considerati gli importi pagati e/o riservati, includendo in tali dati sinistri riaperti o
denunciati, qualora ci fossero stati.
Esistono infatti diversi tipi di sinistri che l’impresa deve sempre analizzare affinché il
valore della riserva non si discosti tanto dal valore “vero” che l’impresa non conosce.
6
CAPITOLO UNO
Generalità sulla riserva sinistri
1. La legislazione della riserva sinistri
Tutte le imprese autorizzate ad esercitare l’attività di assicurazione contro i danni sono
obbligate a costituire le riserve tecniche secondo quanto prescritto dall’articolo 23 del
decreto legislativo 175/1995. Con il termine riserve tecniche si intende l’accantonamento
necessario che l’impresa deve disporre per far fronte agli impegni assunti nei confronti
degli assicurati, e come tali sono determinate sommando alla riserva premi la riserva
sinistri. La riserva premi è regolamentata dall’articolo 32 del decreto legislativo 173/1997
che prevede l’utilizzo del metodo “pro rata temporis” per il calcolo della stessa, o in
alternativa si permette alle imprese di impiegare il metodo forfettario qualora sia probabile
che dia approssimativamente il medesimo risultato del pro rata temporis.
La valutazione della riserva sinistri richiede un’attenzione maggiore a causa del suo
importo complessivo. Infatti, tale riserva costituisce circa il 150% dei premi emessi
nell’anno3. L’articolo 33 dello stesso decreto n.173 ribadisce la definizione di riserva
sinistri precisando come la sua entità debba essere il risultato di una prudente valutazione
dell’ammontare complessivo degli importi da iscrivere in bilancio4. La riserva sinistri è
intesa come l’accantonamento necessario per far fronte sia al costo di quei sinistri avvenuti
nello stesso esercizio o in quelli precedenti e non ancora pagati alla data di chiusura del
bilancio5, sia all’onere relativo alle spese di liquidazione. Nel calcolo della riserva sinistri
sono considerati sia i sinistri di cui l’impresa è a conoscenza, sia i cosiddetti IBNR
(incurred but not reported), intendendo con ciò i sinistri avvenuti in un dato anno di
esercizio ma di cui l’impresa non è ancora al corrente al momento della stesura del
bilancio. Si tratta infatti dei sinistri tardivi, ossia di quei sinistri denunciati con un certo
3
La riserva premi è circa il 40% dei premi emessi.
Circolare Isvap n.360 D. del 21 Gennaio 1999.
5
Questi sono anche chiamati “sinistri aperti” per i quali l’impresa è chiamata ad un esborso totale o parziale.
4
7
ritardo ma che l’impresa deve considerare per la valutazione della riserva poiché si è
assunta l’impegno di intervenire laddove l’evento avverso si fosse verificato. Nell’articolo
5 del provvedimento Isvap n.1059-G del 4 dicembre 1998 è fornita la disposizione in
materia di sinistri tardivi e attinente alla riserva sinistri. L’accantonamento da porre in
bilancio per i sinistri tardivi deve essere valutato sulla base dell’esperienza passata in
merito alla frequenza e al costo medio dei sinistri denunciati tardivamente. Se i sinistri
hanno il carattere dell’eccezionalità o sono particolarmente onerosi, e pertanto non è
possibile far ricorso al passato, l’impresa deve segnalare queste eccezioni in nota
integrativa indicando la procedura che intende seguire al fine di costituire la riserva per
questi particolari sinistri tardivi. In ogni caso le compagnie di assicurazione terranno conto
della compatibilità tra i dati storici in loro possesso e quanto previsto per lo sviluppo degli
IBNR.
Il legislatore ha previsto l’obbligo della valutazione a “costo ultimo”, così come si legge al
comma 2 dell’articolo 33 dove sono contenuti la tipologia dei dati da considerare e il
motivo del ricorso a tale criterio.
Il concetto di costo ultimo prevedibile, che per costruzione comprende anche le spese di
liquidazione, può essere riferito ad un singolo sinistro come la somma complessiva
corrisposta al beneficiario, se riferito ad un’intera generazione significa considerare
l’ammontare totale necessario per pagare tutti i sinistri ed estinguere così la generazione
stessa.
E’ importante ricordare che la direttiva comunitaria sui conti annuali e consolidati del 1991
consentiva la valutazione delle riserve sinistri sia a costo ultimo che a costo attualizzato,
seppure con certi vincoli, rinviando la scelta all’autorità di vigilanza di ciascuno Stato
membro.
Il passaggio da costo attualizzato a costo ultimo nasce dall’esigenza di non considerare,
durante la fase di stima delle riserve, eventuali rendimenti finanziari derivanti dagli
investimenti a copertura della riserva sinistri, ma di proiettare il costo al futuro, appunto
costo ultimo, al fine di evitare che l’impresa sia esposta al rischio di run-off per lo
smontamento della stessa. Pertanto il valore della riserva sinistri calcolata a costo ultimo è
maggiore della stessa calcolato a costo attualizzato, dovendo, tale differenza, coprire il
rischio di avere eventuali perdite dallo smontamento della riserva. Nella circolare n.360/D
del 1999, l’Isvap afferma di ritenere che il valore della riserva sinistri a costo ultimo
debba essere il risultato di una valutazione tecnica complessa multifase, indicando le
diverse fasi che l’impresa deve seguire per ottenere un ammontare della riserva sinistri che
8
sia ragionevolmente più prossimo al costo ultimo. Al fine di pervenire al costo ultimo, le
compagnie di assicurazione devono tener conto delle spese di liquidazione6, che nel caso
fossero comuni a più rami, sarà l’impresa a procedere alla giusta attribuzione mediante
criteri di ripartizione.
Da un’attenta lettura del decreto di riferimento, il n.173 del 1997, si nota come il
legislatore non abbia dettato quale metodo impiegare per la determinazione della riserva
sinistri, ma, semplicemente, ha definito indirettamente quali sono i principi che le imprese
devono rispettare nel valutare la somma da riservare e da apporre in bilancio. Tra questi si
ricorda il principio dell’analiticità che impone alle imprese di procedere alla
determinazione delle somme da accantonare per ogni singolo sinistro. Si tratta in realtà del
cosiddetto metodo dell’inventario7 che richiede una valutazione separata per ogni singolo
sinistro in quanto viene maggiormente rispettato il principio di una prudente valutazione.
Ai fini della stima della riserva, in deroga a tale principio, il legislatore ammette la
possibilità di far ricorso al costo medio8 per gruppi di sinistri omogenei, sufficientemente
numerosi e per la generazione corrente, cioè la generazione di bilancio. Non bisogna
dimenticare che anche in quest’ultimo caso il criterio da seguire è comunque quello del
costo ultimo. Per i rami credito e cauzione non è possibile l’impiego del costo medio9. La
possibilità di poter far ricorso al costo medio presuppone che l’impresa di assicurazione
abbia a disposizione un affidabile metodo di rilevazione dei dati storici in modo da poter
identificare quali sono i sinistri, della generazione di bilancio, che soddisfano le
caratteristiche di numerosità sufficiente oltre che di omogeneità quantitativa e qualitativa, e
ai quali è possibile applicare il costo medio. Una volta concluso il processo identificativo
verrà impiegato il criterio del costo medio ai sinistri idonei, lasciando la valutazione
secondo il metodo dell’inventario agli altri sinistri. Nella pratica l’utilizzo di stime
d’inventario non consente di norma di pervenire alla migliore stima se non sotto l’ipotesi
che tutti i sinistri riservati vengano liquidati e pagati al più tardi entro la fine dell’esercizio
successivo. Di contro l’impiego di metodologie statistico-attuariali e di coefficienti di
proiezione della passata esperienza consentono con buona approssimazione di pervenire ad
6
Nella circolare n.360/D del 1999 si bipartiscono le spese di liquidazione in interne ed esterne.
La circolare Isvap n.360/D del 21 gennaio 1999 sottolinea che l’articolo 33, comma 3 del decreto n.173,
assegna al metodo dell’inventario un ruolo preminente nella quantificazione dell’importo da riservare poiché
ritenuto maggiormente aderente al principio della prudente valutazione in base ad elementi obiettivi, in
alternativa al metodo del costo medio. Inoltre, anche qualora sia quest’ultimo il metodo seguito per la
valutazione di alcuni sinistri, la loro determinazione deve comunque condurre al costo ultimo prevedibile.
8
Tale possibilità viene comunque permessa soltanto a particolari rami. Si rimanda pertanto al comma 3
dell’articolo 33 del decreto legislativo n.173.
9
I metodi di valutazione della riserva sinistri dei rami appena richiamati sono definiti nel provvedimento
ISVAP 1978 G/2001.
7
9
una prudente valutazione del costo ultimo per aggregazioni o generazioni di sinistri (o per
gruppi o categorie di sinistro) e non per singolo sinistro. Successivamente l’impresa farà
uso di adeguati parametri di attribuzione10 allo scopo di ripartire il costo ultimo, o per i
sinistri della generazione corrente il costo medio, ai singoli sinistri di ogni generazione.
Il principio dell’obiettività richiede che le imprese di assicurazione facciano uso di tutte le
informazioni raccolte, disponibili e necessarie per giungere alla best estimate della riserva
sinistri. In tal modo è necessario considerare, oltre agli esborsi che la compagnia è tenuta a
sostenere, anche eventuali somme che la stessa potrà recuperare. Le eventuali somme
recuperabili, oltre ai rendimenti finanziari, non possono però essere coinvolte al fine di una
deduzione o sconto della riserva sinistri.
Se diversi metodi di stima dovessero fornire valori nettamente diversi, il principio della
prudenza impone l’accantonamento della somma maggiore.
Infine, ma non meno importante, si ricorda il principio della competenza che fa da filo
conduttore per la redazione di tutto il bilancio di fine esercizio. Secondo tale principio
l’impresa deve porre in riserva il costo futuro previsto per i sinistri ancora da pagare,
incluse le spese di liquidazione, tenuto conto dell’inflazione e dei sinistri tardivi, che
seppur non ancora denunciati sono di competenza dell’esercizio in cui si redige il bilancio.
L’inflazione coinvolta nel costo sinistri può essere scomposta in inflazione esogena e
inflazione endogena. L’inflazione esogena è quella generale cioè relativa alla crescita
economica del Paese e la cui stima è fornita da istituti statistici come l’Istat. L’inflazione
endogena è quella interna all’impresa stessa, è la cosiddetta claim inflation, intendendo con
ciò il tasso annuo di aumento del costo sinistri caratteristico dell’impresa. Un’attenzione
particolare dovrà essere rivolta dagli esperti del settore alla stima di quest’ultima, che è
legata a diverse variabili tra le quali si ricordano la politica tariffaria e l’efficienza delle
strutture liquidative ed amministrative della compagnia.
Infine si vuole ricordare che, non solo per una compagnia di assicurazione vita, ma anche
per una compagnia di assicurazione contro i danni, è necessario essere meticolosi nella
definizione delle ipotesi tecniche e finanziarie poste alla base dei metodi scelti per la
previsione della riserva sinistri. Infatti, un loro allontanamento per difetto dalla realtà
aziendale potrebbe essere causa di una sottostima11 degli impegni tecnici con inevitabili
conseguenze sulla gestione dell’impresa.
Infine, è bene richiamare quali siano le informazioni che devono essere riportate in nota
integrativa:
10
11
Circolare Isvap n.360/D del 1999.
Lo stesso comma 7 dell’articolo 33 impone implicitamente una corretta valutazione delle ipotesi proiettive.
10
•
metodologia utilizzata nella valutazione (stima separata sinistro per sinistro ovvero
costo medio per la generazione di bilancio);
•
indicazione, in caso di utilizzo del criterio del costo medio limitatamente ai sinistri
dell’esercizio:
¾ dei gruppi di sinistri omogenei e sufficientemente numerosi con i relativi criteri
di individuazione;
¾ dei costi medi ultimi applicati;
•
descrizione
degli
eventuali
metodi
statistico-attuariali
impiegati
per
la
determinazione del costo ultimo dei sinistri, con particolare riguardo a:
¾ eventuali categorie di sinistri interessati;
¾ ipotesi tecniche e finanziarie applicate in specie per quanto attiene al tasso di
crescita del costo dei sinistri utilizzato;
•
indicazione delle rimanenti categorie di sinistri, o dell’intero ramo, valutati con
criteri diversi dalle metodologie statistico-attuariali con descrizione delle procedure
e ipotesi applicate per la determinazione del costo ultimo;
•
l’ammontare dello scostamento, per difetto o per eccesso, se rilevante, tra la riserva
sinistri in entrata e l’aggregato costituito dai pagamenti di esercizi precedenti
effettuati nell’anno e dalla relativa nuova riserva di fine esercizio, con illustrazione
dei motivi che lo hanno determinato.
2. La riserva sinistri nella R.C.Auto
Le imprese che esercitano il ramo danni hanno una forte presenza di polizze di
Responsabilità Civile Auto nel proprio portafoglio. Questo spiega perché esiste un
interesse non indifferente nei confronti di una corretta stima della riserva per sinistri
cagionati dalla circolazione stradale di veicoli a motore. La normativa speciale per il ramo
R.C.Auto e natanti prevede che la relativa riserva sinistri sia calcolata, alla fine di ciascun
esercizio, distinguendo i sinistri secondo l'esercizio di denuncia/avvenimento (si veda il
vecchio Modello 7 sviluppo sinistri RCA nonché il Modulo 29 oggi in vigore). Nella
Circolare Isvap n.531/D è indicato che l’attuario incaricato R.C.Auto descrive il processo
di formazione e i metodi di calcolo delle riserve tecniche adottati dall’impresa. Con
riferimento alla riserva sinistri, l’attuario illustra il processo di determinazione della riserva
11
attraverso la valutazione separata di ciascun sinistro (metodo dell’inventario). Laddove
impiegata, illustra inoltre la metodologia e le ipotesi per la valutazione a costo medio della
generazione di bilancio. Descrive infine i criteri ed i metodi di stima per la determinazione
del costo ultimo dei sinistri nonché il procedimento di quantificazione ed attribuzione delle
spese di liquidazione.
L’articolo 81 del decreto legislativo n.173 disciplina il comportamento delle compagnie di
assicurazione in fase di transizione, cioè nel passare da costo attualizzato a costo ultimo.
Nell’articolo si legge che le imprese esercenti il ramo di responsabilità civile autoveicoli
terrestri sono state autorizzate, fino alla redazione del bilancio d’esercizio del 2000, ad
utilizzare il criterio del costo medio attualizzato, potevano quindi tener conto dei proventi
finanziari derivanti dagli investimenti al fine di operare una deduzione o sconto della
riserva sinistri limitatamente alle generazioni 1997 e precedenti. In nota integrativa
dovevano essere riportati il valore della riserva sinistri prima della deduzione o sconto,
l’ammontare del beneficio finanziario, i tassi impiegati per le valutazioni, l’importo della
riserva scontata e i criteri adottati per la valutazione del periodo che deve decorrere prima
del pagamento dei sinistri. Nel caso di attualizzazione della riserva sinistri, era inoltre
richiesto l’inserimento, in nota integrativa, dei metodi statistico-attuariali impiegati; del
periodo di differimento delle singole generazioni di sinistri e dei relativi criteri di
determinazione; del tasso di crescita del costo dei sinistri applicato ai fini della
determinazione del costo ultimo; del tasso di rendimento utilizzato. Nello stesso articolo è
inoltre fornito l’orizzonte temporale massimo che era concesso alle imprese per
l’attualizzazione, tale periodo è pari a sei anni in funzione dell’anzianità di ogni
generazione, in tal modo le generazioni che rimanevano fuori dal range così stabilito
dovevano essere valutate a costo ultimo12. Ai fini della deduzione o sconto della riserva
sinistri, l’impresa doveva fornire una previsione sull’andamento futuro dei mercati
finanziari, da qui l’esigenza di essere prudenti nel fornire le ipotesi finanziarie13 da
applicare per l’attualizzazione. Quindi, se lo scenario finanziario prevedeva dei ribassi del
tasso di interesse, questi trends dovevano essere contemplati nella definizione delle ipotesi
riguardanti il tasso di interesse.
Sembra interessante poter accennare ai rami 14 e 1514 del punto A) dell’allegato al decreto
legislativo n.175 del 17 marzo 1995.
12
Per maggiori chiarimenti a riguardo si rimanda alla circolare n.360/D del 1999.
Al punto d) del primo comma dell’articolo 81 del decreto legislativo n.173 sono forniti i requisiti richiesti
affinché sia possibile l’utilizzo di un particolare tasso di interesse per l’attualizzazione.
14
Rispettivamente ramo credito e ramo cauzione.
13
12
Il provvedimento dell’Isvap in cui sono contenute le disposizioni a riguardo della riserva
sinistri per i rami credito e cauzione è il n.1978-G del 4 dicembre 2001. Il provvedimento è
entrato in vigore a partire dall’esercizio 2002 e pertanto non possono più essere applicate,
alle imprese che esercitano il ramo credito e il ramo cauzione, le disposizioni contenute nel
D.M. 23 maggio 1981 successivamente modificato dal D.M. 22 giugno 1982. Le
disposizioni del 4 dicembre 2001 prevedono che, ferma restando l’applicazione dei criteri
generali di cui all’articolo 33 del decreto legislativo del 26 maggio 1997 n.173, la riserva
sinistri per il ramo cauzione sia costituita sia in caso di richiesta di incameramento della
cauzione sia comunque al verificarsi di atti o fatti che configurino o possano
obiettivamente configurare i presupposti della prestazione della garanzia. La riserva
sinistri deve essere pari alla somma assicurata a meno che documentati elementi oggettivi
non consentano di ridurne l’importo15. Anche per il ramo credito rimane di fatto possibile
l’applicazione di quanto riportato all’articolo 33 del decreto legislativo n.173, ma la riserva
sinistri deve essere costituita soltanto al verificarsi di determinate situazioni riportate nella
sezione III articolo 5 del provvedimento n.1978-G. Al comma 4 dell’articolo 5 è stabilito
che la riserva sinistri deve essere pari alla somma assicurata a meno che non si provi la
possibilità di una riduzione oggettiva dell’importo assicurato.
Ogni anno l’Isvap elabora delle statistiche di mercato per il ramo R.C.Auto che riguardano,
anche, i dati necessari per la valutazione della riserva sinistri. Si vogliono riportare di
seguito alcune di dette statistiche16
2.1. Numero dei sinistri denunciati e con seguito
Δ%
N. denunciati con
Δ%
Esercizio
N. denunciati*
1997
5.096.240
1998
5.077.334
-0,4
4.696.262
-0,7
1999
5.230.128
3,0
4.843.334
3,1
2000
4.885.572
-6,6
4.534.745
-6,4
2001
4.469.911
-8,5
4.064.046
-10,4
2002
4.257.019
-4,8
3.807.969
-6,3
2003
4.096.349
-3,8
3.649.446
-4,2
2004
4.085.115
-0,3
3.654.431
0,1
Δ 99−04
seguito**
4.729.366
-21,9
-24,5
* I sinistri denunciati sono al netto dei CID mandatari.
** Si intendono i sinistri pagati nell'esercizio o riservati alla fine dello stesso esercizio.
15
16
Provvedimento Isvap 1978-G del 4 dicembre 2001.
Sono state inserite le più significative ai fini del presente lavoro.
13
Dalla tabella sopra si evince come il numero dei sinistri denunciati sia stato
tendenzialmente decrescente nell’intervallo di tempo considerato, lo stesso andamento è
riscontrabile per i sinistri con seguito. Non tutti i sinistri che vengono denunciati alla
compagnia di assicurazione daranno luogo a risarcimenti, è infatti possibile che un sinistro
venga chiuso perché in seguito a varie analisi non si è riscontrata alcuna necessità di
pagamento, questi sinistri sono chiamati “senza seguito” e non sono più coinvolti nella
stima della riserva sinistri.
2.2. Distribuzione del numero dei sinistri eliminati senza seguito fino al 31.12.2004
(incidenza percentuale rispetto al numero dei sinistri denunciati*)
Gen. di
Nell'anno di
Nel 1° anno
Nel 2° anno
Nel 3° anno
Nel 4° anno
Nel 5° anno
Valori al
accadimento
generazione
successivo
successivo
successivo
successivo
successivo
31.12.04
1999
359.676
7,73%
287.780 5,50% 153.855 2,92% 57.707 1,09% 22.645 0,43% 12.214 0,23% 893.877 16,89%
2000
295.836
6,94%
268.473 5,60% 150.055 3,10% 46.629 0,96% 22.050 0,46%
0
0,00% 783.043 16,16%
2001
349.307
9,01%
293.547 6,68% 113.523 2,57% 44.737 1,01%
2002
380.931 10,33% 243.786 5,85% 105.571 2,51%
0
2003
376.648 10,56% 227.678 5,66%
0
0,00%
2004
365.007 10,19%
0
0,00%
0
0,00%
0
0,00%
0
0,00% 801.114 18,07%
0,00%
0
0,00%
0
0,00% 730.288 17,39%
0
0,00%
0
0,00%
0
0,00% 604.326 15,03%
0
0,00%
0
0,00%
0
0,00% 365.007 10,19%
* Il numero dei sinistri denunciati per ogni generazione si modifica in ciascun anno successivo
all'accadimento per effetto delle denunce tardive pervenute.
L’incidenza del numero dei sinistri eliminati perché senza seguito, come è giusto
attendersi, per una generazione si riduce se il differimento è maggiore. Questa ovvia
riduzione è dovuta sostanzialmente al fatto che nei vari anni l’impresa liquida dei sinistri.
Infatti, la gran parte delle chiusure per senza seguito avviene entro il secondo anno di
differimento, il motivo è da ricercare nel fatto che molti sinistri sono stati già pagati o
eliminati negli anni precedenti. Osservando l’ultima colonna si ricava, per le generazioni
riportate in tabella, la percentuale dei sinistri eliminati senza seguito in data 31 dicembre
2004. Si può affermare che sono stati eliminati per senza seguito in media il 15% dei
sinistri denunciati nei diversi anni. Il restante 85% è composto da sinistri pagati, riservati o
eliminati per senza seguito in data successiva al 31 dicembre 2004.
14
2.3.Distribuzione del numero dei sinistri riaperti fino al 31.12.2004 (incidenza
percentuale rispetto al numero dei sinistri denunciati*)
Generazione
di
accadimento
Nel 1° anno
Nel 2° anno
Nel 3° anno
Nel 4° anno
Nel 5° anno
Valori al
successivo
successivo
successivo
successivo
successivo
31.12.04
1999
114.543 2,19% 74.617 1,41% 31.419 0,59% 17.520 0,33% 11.148 0,21% 249.247 4,71%
2000
103.203 2,15% 70.757 1,46% 33.148 0,68% 19.048 0,39%
0
0,00% 226.156 4,67%
2001
111.481 2,54% 82.847 1,87% 32.269 0,73%
0
0,00%
0
0,00% 226.597 5,11%
2002
119.127 2,86% 73.080 1,74%
0
0,00%
0
0,00%
0
0,00% 192.207 4,58%
2003
129.601 3,22%
0
0,00%
0
0,00%
0
0,00% 129.601 3,22%
0
0,00%
* Il numero dei sinistri denunciati per ogni generazione si modifica in ciascun anno successivo
all'accadimento per effetto delle denunce tardive pervenute.
I dati della tabella 2.3. sono stati raccolti dal mercato assicurativo nell’intervallo di tempo
che va dall’esercizio 1999 all’esercizio 2004. Come si nota però non è presente la riga
relativa al 2004, il motivo è molto semplice: nello stesso anno di generazione non esistono,
per definizione, sinistri riaperti, infatti non è presente la colonna relativa alla stessa
generazione. I sinistri del 2004 saranno riaperti a partire dal 2005.
L’incidenza percentuale dei riaperti è decrescente nei diversi anni di sviluppo per lo stesso
motivo dei senza seguito. Fino al 31 dicembre 2004 sono stati riaperti in media il 4% dei
sinistri denunciati nelle diverse generazioni.
2.4. Velocità di liquidazione per numeri
Generazione
Riserva
Nell'anno di
Al 1° anno
Al 2° anno
Al 3° anno
Al 4° anno
Al 5° anno
generazione
successivo
successivo
successivo
successivo
successivo
1999
57,4%
89,1%
95,1%
97,3%
98,4%
99,0%
1,0%
2000
57,7%
89,1%
95,0%
97,2%
98,4%
0,0%
1,6%
2001
56,6%
88,2%
94,6%
97,2%
0,0%
0,0%
2,8%
2002
56,2%
88,1%
94,6%
0,0%
0,0%
0,0%
5,4%
2003
57,0%
88,9%
0,0%
0,0%
0,0%
0,0%
11,1%
2004
63,0%
0,0%
0,0%
0,0%
0,0%
0,0%
37,0%
di
accadimento
Sinistri al
31.12.04
NB: Percentuale dei sinistri pagati, cumulati in ciascun anno di sviluppo, rispetto ai sinistri risultati con
seguito al 31.12.2004 (pagati + riservati)
La velocità di liquidazione per numeri di sinistri è abbastanza stabile per tutti gli anni di
accadimento nei diversi anni si sviluppo. Nel passare dall’anno di generazione al quinto
anno di sviluppo, gli incrementi sono sempre meno proporzionali, ciò vuol dire che la
15
velocità di liquidazione per numeri segue un andamento concavo. Si suppone che tutte le
generazioni seguano lo stesso andamento: partono da un valore intorno al 60% e dopo un
quinquennio raggiungono circa il 100%; in questa tabella è possibile vedere ciò solo per
l’anno 1999. Nell’ultima colonna sono riportate le percentuali del numero dei sinistri che
in data 31 dicembre 2004 non sono stati ancora chiusi e che pertanto continueranno ad
essere posti in riserva fino a quando non si procederà ad una loro eliminazione, o perché
pagati o perché senza seguito. La percentuale dei sinistri riservati è molto bassa per
generazioni lontane perché sono stati già liquidati la gran parte dei sinistri, restano da
pagare molto probabilmente i sinistri che richiedono una fase di liquidazione più lunga
come per esempio quelli che hanno cagionato danni a persone. Invece, per le generazioni
più recenti la percentuale residua è molto più elevata perché maggiore è il numero di
sinistri ancora da liquidare. Prendendo come esempio la generazione 2004 si può affermare
che al 31 dicembre dello stesso anno le compagnie esercenti il ramo R.C.Auto in Italia
avevano pagato il 63% dei sinistri denunciati nello stesso anno, le stesse avevano messo a
riserva il 37% del totale dei sinistri avvenuti. E’ bene ricordare che le percentuali relative
all’anno di generazione sono piuttosto elevate perché i primi sinistri ad essere chiusi sono
quelli con soli danni a cose, relativamente non troppo onerosi.
2.5. Velocità di liquidazione per importi
Gen. di
accadimento
Nell'anno
di
generazione
Al 1° anno Al 2° anno Al 3° anno Al 4° anno Al 5° anno
successivo
successivo
successivo
successivo
successivo
Riserva
Sinistri al
31.12.04
1999
27,6%
61,7%
75,6%
82,0%
86,1%
89,3%
10,7%
2000
27,6%
62,2%
75,4%
81,8%
86,0%
0,0%
14,0%
2001
27,7%
61,6%
75,1%
81,6%
0,0%
0,0%
18,4%
2002
27,8%
62,1%
75,7%
0,0%
0,0%
0,0%
24,3%
2003
29,3%
63,1%
0,0%
0,0%
0,0%
0,0%
36,9%
2004
33,0%
0,0%
0,0%
0,0%
0,0%
0,0%
67,0%
NB: Percentuale dei pagamenti, cumulati in ciascun anno di sviluppo, rispetto al costo complessivo dei sinistri risultati
con seguito al 31.12.2004 (pagati + riservati)
In modo analogo a quanto fatto per il numero dei sinistri, l’Isvap presenta una tabella
riassuntiva sulla velocità di liquidazione per importi. L’andamento è identico a quello della
tabella precedente: al 31 dicembre 2004 c’è una percentuale bassa di sinistri ancora da
liquidare per la generazione 1999 e una percentuale più alta per i sinistri del 2004. La
differenza è nei valori assoluti di tali percentuali. Le due tabelle mostrano valori alquanto
16
differenti, infatti, i dati della 2.5. sono costantemente inferiori ai relativi dati della 2.4. E’
possibile quindi dedurre che le velocità di liquidazione per numeri sono sistematicamente
più elevate delle relative velocità di liquidazione per importi. Generalmente le imprese di
assicurazione chiudono prima i sinistri con danni a cose, soprattutto quelli di importi
piuttosto bassi, e successivamente i sinistri che hanno causato danni alle persone perché
questi ultimi richiedono delle specifiche perizie di durate non indifferenti. E’ risaputo che
il ramo R.C.Auto ha dei tempi di liquidazione piuttosto lunghi quando negli incidenti
derivanti dalla circolazione stradale dei veicoli a motore sono coinvolte delle persone.
Poiché sul totale dei sinistri avvenuti, il numero dei sinistri con soli danni a cose è molto
più elevato di quelli con danni a persone, di questi ultimi, fortunatamente, non ne accadono
tanti, la velocità di liquidazione per numeri è maggiore di quella per importi.
2.6. Sinistri pagati dell’esercizio e degli esercizi precedenti (importi in milioni di
Euro; costi medi in unità di Euro)
Esercizio
1999
2000
2001
2002
Sinistri accaduti nell'esercizio Sinistri accaduti negli esercizi precedenti
Totale
n.pag.
2.699.067
1.833.747
4.532.814
imp.pag.
3.566
7.613
11.179
pag.medio
1.321
4.151
2.466
n.pag.
2.474.453
1.878.599
4.353.052
Δ%
-8,3
2,4
-4,0
imp.pag.
3.466
8.095
11.561
Δ%
-2,8
6,3
3,4
pag.medio
1.401
4.309
2.656
Δ%
6,1
3,8
7,7
n.pag.
2.184.177
1.808.573
3.992.750
Δ%
-11,7
-3,7
-8,3
imp.pag.
3.525
8.726
12.251
Δ%
1,7
7,8
6,0
Pag.medio
1.614
4.825
3.068
Δ%
15,2
12,0
15,5
n.pag.
2.055.452
1.672.485
3.727.937
Δ%
-5,9
-7,5
-6,6
imp.pag.
3.607
8.551
12.158
Δ%
2,3
-2,0
-0,8
Pag.medio
1.755
5.113
3.261
Δ%
8,7
6,0
6,3
17
2003
2004
n.pag.
2.022.457
1.625.454
3.647.911
Δ%
-1,6
-2,8
-2,1
imp.pag.
3.874
8.928
12.802
Δ%
7,4
4,4
5,3
Pag.medio
1.915
5.493
3.509
Δ%
9,1
7,4
7,6
n.pag.
2.029.332
1.592.192
3.621.524
Δ%
0,3
-2,0
-0,7
imp.pag.
4.233
9.014
13.247
Δ%
9,3
1,0
3,5
pag.medio
2.086
5.661
3.658
Δ%
8,9
3,1
4,2
Nella tabella precedente i sinistri sono stati classificati per accadimento sulla base della
modulistica di vigilanza.
Il numero totale dei sinistri pagati in ogni anno per i sinistri correnti o precedenti si è
leggermente ridotto negli anni, passando da 4.532.814 nel 1999 a 3.621.524 nel 2004.
Relativamente ai sinistri delle generazioni precedenti, il numero dei liquidati in media si
riduce nell’intervallo considerato, ma sono comunque presenti perché al momento della
redazione del bilancio sono inseriti nella riserva sinistri; infatti, dalla tabella 2.4. si è visto
che solo dopo cinque anni le imprese riescono a liquidare il 99% dei sinistri verificatisi. Si
può quindi pensare che nell’anno 1999 siano stati pagati dei sinistri della generazione
1994, così come tra i dati relativi al bilancio 2004 si possono trovare sinistri del 1999.
L’importo pagato, e di conseguenza il pagato medio, è stato tendenzialmente crescente nel
tempo, probabilmente in seguito ad un aumento dell’inflazione o per variazioni
giurisprudenziali nel livello degli indennizzi.
18
2.7. Sinistri riservati dell’esercizio e degli esercizi precedenti (importi in milioni di
Euro; costi medi in unità di Euro)
Sinistri accaduti
Sinistri accaduti negli esercizi
nell'esercizio
precedenti
n.ris.
1.631.831
888.365
2.520.196
imp.ris.
7.407
11.437
18.844
ris.medio
4.539
12.874
7.477
n.ris.
1.491.329
1.008.943
2.500.272
Δ%
-8,6
13,6
-0,8
imp.ris.
7.674
12.999
20.673
Δ%
3,6
13,7
9,7
ris.medio
5.146
12.883
8.268
Δ%
13,4
0,1
10,6
n.ris.
1.341.675
1.027.058
2.368.733
Δ%
-10,0
1,8
-5,3
imp.ris.
7.705
14.144
21.849
Δ%
0,4
8,8
5,7
ris.medio
5.743
13.771
9.224
Δ%
11,6
6,9
11,6
n.ris.
1.252.174
978.308
2.230.482
Δ%
-6,7
-4,7
-5,8
imp.ris.
8.073
15.155
23.228
Δ%
4,8
7,1
6,3
ris.medio
6.447
15.491
10.414
Δ%
12,3
12,5
12,9
n.ris.
1.167.437
960.837
2.128.274
Δ%
-6,8
-1,8
-4,6
imp.ris.
8.324
16.115
24.439
Δ%
3,1
6,3
5,2
ris.medio
7.130
16.772
11.483
Δ%
10,6
8,3
10,3
n.ris.
1.189.279
893.958
2.083.237
Δ%
1,9
-7,0
-2,1
imp.ris.
8.584
16.804
25.388
Δ%
3,1
4,3
3,9
ris.medio
7.218
18.797
12.187
Δ%
1,2
12,1
6,1
Esercizio
1999
2000
2001
2002
2003
2004
Totale
N.B.: I sinistri sono stati riclassificati per accadimento sulla base della modulistica di vigilanza.
Gli importi riservati sono considerati al netto della stima finale per sinistri IBNR.
19
Il numero di sinistri riservati nell’anno corrente ha avuto un cambiamento in negativo nel
passare da un anno al successivo, salvo per l’anno d’origine 2004 in cui si sono riservati
più sinistri che nel 2003. L’andamento è diverso per il numero di sinistri riservati ma
avvenuti negli anni precedenti: dal 1999 al 2001 c’è stata una crescita, invece dal 2002 al
2004 la stessa grandezza ha registrato un andamento inverso. L’importo complessivamente
riservato per i sinistri della generazione di bilancio ha subito una variazione al rialzo
nell’intervallo
temporale
qui
considerato.
Un
aumento
dell’importo
riservato
congiuntamente ad una riduzione del numero di sinistri riservati ha portato ad un aumento
negli anni del costo medio riservato passando da € 4.539 nel 1999 a € 7.218. Le cause sono
da ricercarsi in ambito economico per quanto riguarda l’inflazione crescente (come già
osservato per la tabella 2.6.) e in ambito legislativo (aumenti degli indennizzi per ragioni
giurisprudenziali ma anche introduzione del criterio del costo ultimo a partire dal bilancio
200017). In merito ai sinistri riservati nei diversi anni, ma accaduti in esercizi precedenti, si
osserva un comportamento analogo a quanto visto per i sinistri della generazione corrente:
si ha sistematicamente un aumento dell’importo globale riservato nonché del costo medio a
riserva. Un aumento del costo medio riservato, ceteris paribus, determina una
rivalutazione, o in altri termini un incremento, della riserva.
Una sintesi di quanto detto riguardo il costo medio pagato o riservato è presentata nella
tabella successiva dove lungo le tante diagonali si leggono i costi dei sinistri di una stessa
generazione pagati o riservati nei vari anni di sviluppo. Gli stessi importi rivelano quanto
già affermato in precedenza: i costi che le compagnie di assicurazione operanti sul mercato
italiano hanno sostenuto sono stati maggiori negli anni più recenti di quanto non lo fossero
in passato. Il rapporto riservato medio su pagato medio è sempre maggiore dell’unità, in
alcuni casi si discosta di tanto, invece in altri è prossimo al 100%. Quest’ultimo indicatore
fornisce informazioni interessanti in merito alla politica di liquidazione e di riservazione
delle compagnie italiane. Queste ultime, infatti, stimano di liquidare i sinistri ancora aperti
ad un valore che in media è maggiore dell’esborso medio sostenuto per i sinistri ormai
chiusi. Gli aumenti probabilmente sono dovuti all’effetto congiunto di cambiamenti interni
ed esterni all’azienda. Le imprese possono mutare negli anni lo loro politica di liquidazione
così come subiscono le conseguenze dovute alla perdita del potere d’acquisto della moneta
17
Si riveda, in merito al costo ultimo, quanto detto al paragrafo 1.
20
2.8. Costo medio del pagato e del riservato per antidurata (costi medi in unità di Euro)
Totale
Esercizio
12+
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Precedent
Totale
0
Generazion
i
CMP
1999
13.498
8.344
6.309
2.797
1.317
23.774
19.202
12.795
7.637
4.523
Totale
19.550
13.935
9.144
4.006
2.526
CMR/CMP
1,8
2,3
2,0
2,7
3,4
13.575
9.146
6.347
2.930
0,6
9,6
0,6
4,8
24.289
17.786
12.235
7.946
2,2
-7,4
-4,4
4,0
CMR
CMP
-
29.353
-
24.225
-
23.312
-
22.949
-
24.009
-
23.252
-
24.212
-
19.786
Δ%
2000
CMR
35.235
30.521
31.079
29.287
29.488
26.957
28.894
29.697
Δ%
2001
2002
e
4.309
1.401
2.656
6,4
12.883
5.146
8.268
13,8
CMR/CMP
1,2
1,3
1,3
1,3
1,2
1,2
1,2
1,5
1,8
1,9
1,9
2,7
3,0
3,7
3,1
CMP
29.013
32.346
26.358
29.918
24.912
26.903
24.085
18.854
12.917
8.832
6.374
3.225
4.825
1.614
3.068
Δ%
-1,2
33,5
13,1
30,4
3,8
15,7
-0,5
-4,7
-4,8
-3,4
0,4
10,1
12,0
15,2
15,5
CMR
38.204
35.732
33.759
33.177
31.282
33.716
34.643
30.327
23.978
17.375
11.976
8.836
13.771
5.743
9.224
Δ%
8,4
17,1
8,6
13,3
6,1
25,1
19,9
2,1
-1,3
-2,3
-2,1
11,2
6,9
11,6
11,6
CMR/CMP
1,3
1,1
1,3
1,1
1,3
1,3
1,4
1,6
1,9
2,0
1,9
2,7
2,9
3,6
3,0
CMP
31.418
35.598
31.754
28.088
29.496
27.573
22.865
16.241
11.030
8.084
6.554
3.519
5.113
1.755
3.261
Δ%
8,3
10,1
20,5
-6,1
18,4
2,5
-5,1
-13,9
-14,6
-8,5
2,8
9,1
6,0
8,7
6,3
CMR
42.103
36.487
36.329
34.142
36.503
39.841
36.713
30.649
22.975
16.914
13.784
10.207
15.491
6.447
10.414
Δ%
10,2
2,1
7,6
2,9
16,7
18,2
6,0
1,1
-4,2
-2,7
15,1
15,5
12,5
12,3
12,9
Totale
38.785
36.211
34.928
32.204
34.195
35.604
31.941
25.409
18.252
13.016
9.926
5.344
8.943
3.531
5.939
Δ%
9,9
4,4
11,2
0,1
16,9
13,7
3,6
-2,9
-6,7
-3,3
10,5
11,8
10,9
10,9
10,8
CMR/CMP
1,3
1,0
1,1
1,2
1,2
1,4
1,6
1,9
2,1
2,1
2,1
2,9
3,0
3,7
3,2
21
2003
2004
CMP
34.145
33.966
32.974
30.528
34.657
25.483
21.036
13.944
10.258
8.351
7.015
3.817
5.493
1.915
3.509
Δ%
8,7
-4,6
3,8
8,7
17,5
-7,6
-8,0
-14,1
-7,0
3,3
7,0
8,5
7,4
9,1
7,6
CMR
44.876
41.701
39.218
42.043
44.288
41.951
36.480
28.479
22.836
19.435
14.858
10.786
16.772
7.130
11.483
Δ%
6,6
14,3
8,0
23,1
21,3
5,3
-0,6
-7,1
-0,6
14,9
7,8
5,7
8,3
10,6
10,3
CMR/CMP
1,3
1,2
1,2
1,4
1,3
1,6
1,7
2,0
2,2
2,3
2,1
2,8
3,1
3,7
3,3
CMP
34.891
30.147
28.183
30.509
29.579
27.139
18.681
13.619
10.081
8.254
7.314
3.945
5.661
2.086
3.658
Δ%
2,2
-11,2
-14,5
-0,1
-14,7
6,5
-11,2
-2,3
-1,7
-1,2
4,3
3,4
3,1
8,9
4,2
CMR
44.897
41.182
45.600
49.432
45.795
40.628
34.947
29.421
26.314
21.350
16.085
12.358
18.797
7.218
12.187
Δ%
0,0
-1,2
16,3
17,6
3,4
-3,2
-4,2
3,3
15,2
9,9
8,3
14,6
12,1
1,2
6,1
Totale
41.754
37.566
40.145
43.682
40.682
36.225
29.172
23.199
19.204
15.081
11.256
6.123
10.385
3.982
6.772
Δ%
0,9
-4,2
7,8
13,8
-1,0
-0,8
-5,5
1,6
8,1
4,6
5,5
7,1
7,2
4,1
5,0
CMR/CMP
1,3
1,4
1,6
1,6
1,5
1,5
1,9
2,2
2,6
2,6
2,2
3,1
3,3
3,5
3,3
Legenda:
CMP: pagato medio
CMR: riservato medio
22
2.9. Costo medio dei sinistri con seguito dall'anno di accadimento fino al 31.12.2004
(importi in milioni di Euro; costi medi in unità di Euro)
Importo pagato e
Numero dei sinistri
riservato *
pagati e a riserva
1999
13.814
4.667.067
2.960
2000
13.315
4.293.178
3.101
4,8
2001
13.205
3.865.346
3.416
10,2
2002
13.260
3.668.592
3.614
5,8
2003
13.413
3.585.565
3.741
3,5
2004
14.266
3.673.744
3.883
3,8
Generazione di accadimento
Costo medio
Δ%
*Gli importi pagati sono espressi in valuta 2004
Gli importi riservati al 31.12.2004 sono comprensivi della stima finale per sinistri IBNR. Il costo medio per i
sinistri avvenuti nel 2004, senza le stime per i sinistri IBNR (455.133 ad un costo medio di 3.183 Euro), è
pari a 3.982 Euro (si veda la tabella 2.8.)
Nella tabella 2.9. si trova la conferma di quanto detto a riguardo del costo medio pagato e
riservato: entrambi sono in rialzo nell’intervallo 1999-2004 e il loro comportamento
congiunto sarà naturalmente in aumento. Tale risultato è dovuto ad un incremento
dell’importo pagato e riservato e contemporaneamente ad una riduzione nel numero dei
sinistri pagati e a riserva. Tuttavia non si deve dimenticare che gli esercizi successivi
risentono del pagamento dei sinistri appartenenti alle generazioni passate.
2.10. Sviluppo della riserva sinistri(importi in milioni di Euro)
Esercizio
1999
2000
2001
2002
2003
2004
Riserva iniziale
17.224
18.817
20.699
21.896
23.227
24.439
Risp./(Perdita) pag.definitivi
1.141
1.315
1.659
1.978
2.131
2.545
Risp./(Perdita) pag.parziali
-236
-327
-322
-338
-333
-313
Risp.senza seguito
927
1.023
1.175
1.408
1.451
1.456
(Perdita) riaperti (pagati e riservati)
-703
-782
-824
-896
-993
-1.115
Risp./(Perd.) su pag.al netto del saldo (ss-riap) (a)
1.129
1.229
1.688
2.152
2.256
2.573
% riserva caduta
13,2
13,5
16,6
20,5
20,4
22,3
% riserva iniziale
6,6
6,5
8,2
9,8
9,7
10,5
(Rival.)/Riduz. Ris.residua sin.pag.parzialmente
-784
-814
-989
-993
-1165
-1023
(Rival.)/Riduz. Ris.residua sin.non movimentati
-1.115
-1.435
-1.485
-1.518
-1.457
-1.503
(Rival.)/Riduz. Ris.residua totale (b)
-1.899
-2.249
-2.474
-2.511
-2.622
-2.526
% riserva residua
-21,9
-23,2
-23,5
-22,0
-21,5
-19,6
% riserva iniziale
-11,0
-12,0
-12,0
-11,5
-11,3
-10,3
Saldo (c) =(a)+(b)
-770
-1.020
-786
-359
-366
47
% riserva iniziale
-4,5
-5,4
-3,8
-1,6
-1,6
0,2
23
Come si nota leggendo la prima riga della precedente tabella la riserva sinistri si
incrementa nei vari anni a causa dell’aumento degli importi dei sinistri riservati di cui si
diceva prima. La riga che fa riferimento ad una rivalutazione/riduzione della riserva
presenta per tutte le generazioni dei valori negativi, in tal senso, come si dirà meglio al
paragrafo 3.2., è stato necessario, con riguardo all’intero portafoglio assicurativo italiano,
procedere ad un incremento della riserva sinistri iniziale poiché la stessa, in seguito a
diverse analisi, è risultata insufficiente. Il mercato italiano, nel suo complesso, è riuscito a
stimare correttamente i pagamenti, anzi, dai risarcimenti effettuati, al netto del saldo (senza
seguito-riaperti), ha ottenuto un risparmio crescente con il passare degli anni. La stessa
osservazione non può essere fatta con riferimento alle riserve residue totali, per queste,
infatti, si ha in ogni anno una sistematica rivalutazione.
2.11. Sviluppo della riserva sinistri per fasce di mercato (importi in milioni di Euro)
P<100 mln
100 mln<=P<250 mln
250 mln<=P<500mln
P>=500 mln
Fasce
Esercizio
1999
2000
2001
2002
2003
2004
Riserva iniziale
8.836
10.301
11.670
12.974
14.231
17.067
674
891
1.179
1456
1.535
1.900
-955
-1.170
-1.531
-1.495
-1.627
-1.778
% riserva iniziale
-10,8
-11,4
-13,1
-11,5
-11,4
-10,4
Saldo (c) =(a)+(b)
-280
-279
-352
-40
-92
122
% riserva iniziale
-3,2
-2,7
-3,0
-0,3
-0,6
0,7
Riserva iniziale
4.571
4.456
4.646
4.254
4.244
2.127
297
198
256
337
330
248
-464
-549
-530
-495
-502
-240
% riserva iniziale
-10,1
-12,3
-11,4
-11,6
-11,8
-11,3
Saldo (c) =(a)+(b)
-167
-351
-275
-157
-172
8
% riserva iniziale
-3,6
-7,9
-5,9
-3,7
-4,0
0,4
Riserva iniziale
1.977
1.951
2.522
2.809
3.028
3.767
91
57
116
212
267
283
-243
-205
-221
-319
-322
-363
% riserva iniziale
-12,3
-10,5
-8,8
-11,4
-10,6
-9,6
Saldo (c) =(a)+(b)
-152
-148
-105
-107
-55
-80
% riserva iniziale
-7,7
-7,6
-4,2
-3,8
-1,8
-2,1
Riserva iniziale
1.840
2.108
1.861
1.859
1.723
1.478
67
82
138
148
124
143
-238
-326
-191
-202
-171
-145
% riserva iniziale
-12,9
-15,5
-10,3
-10,9
-9,9
-9,8
Saldo (c) =(a)+(b)
-171
-243
-53
-55
-47
-2
% riserva iniziale
-9,3
-11,5
-2,9
-2,9
-2,7
-0,2
N.B. I saldi non considerano lo sviluppo della riserva stimata per sinistri IBNR, vale anche per la 2.10.
24
Suddividendo il mercato italiano in fasce in funzione della massa di premi gestita, si
osserva che tutte le imprese indistintamente hanno riservato negli anni in esame una
somma insufficiente. Nonostante il costo medio riservato sia aumentato nel tempo, è stato
necessario ogni anno procedere con una rivalutazione della riserva sinistri. Il grado di
insufficienza in valore assoluto si riduce considerando imprese di minori dimensioni; in
valore relativo è maggiore per le imprese di piccole dimensioni e minore per le grandi
imprese. La procedura di stima della riserva sinistri deve essere molto controllata e bisogna
essere molto attenti nel valutarla per evitare che il valore di questa rivalutazione sia
talmente elevato a tal punto che l’impresa non riesca ad adempiere agli impegni assunti nei
confronti degli assicurati e danneggiati rischiando la liquidazione coatta amministrativa.
Da questa esigenza il legislatore ha emanato il decreto legislativo di cui si è ampiamente
discusso nel paragrafo precedente.
2.12. Sinistri con danni a persone (importi in milioni di Euro; costi medi in unità di
Euro)
2003
2004
Δ%
Esercizio
esercizio es.prec.
Totale
122.540
inc.% su n.pag.tot.
5,4
21,29
12,45
6,75
22,95
13,78
imp.pagati persone
629
4.647
5.276
812
5.225
6.037
inc.% su imp.pag.tot.
16,23
52,05
41,21
19,19
57,96
45,57
pagato medio persone
5.129
12.047
10.379
5.244
12.932
2,68
2,19
2,96
2,51
2,28
pag.medio
totale
26,4
4,7
10,0
29,1
12,4
14,4
10.801
2,2
7,3
4,1
2,95
-6,3
4,1
-0,3
3,0
-1,7
0,4
1,7
11,9
8,8
317.222
inc.% su n.ris.tot.
27,17
39,63
32,8
27,48
41,86
33,65
imp.riservati persone
4.697
10.831
15.528
4.775
12.118
16.893
inc.% su imp.ris.tot.
56,43
67,21
63,54
55,63
72,11
66,54
Riservato medio persone
14.808
28.445
22.247
14.608
32.381
24.095
-1,4
13,8
8,3
2,08
1,70
1,94
2,02
1,72
1,98
-2,9
1,2
2,1
tot.
326.870
404.034 558.945
esercizio es.prec.
n.riservati persone
ris.medio persone/ris.medio
380.774 697.996
154.911
totale
n.pagati persone
persone/pag.medio tot.
385.747 508.287
esercizio es.prec.
374.230 701.100
25
2.13. Sinistri con soli danni a cose (importi in milioni di Euro; costi medi in unità di
Euro)
2003
2004
Δ%
Esercizio
esercizio
n.pagati cose
es.prec.
totale
esercizio
es.prec.
totale
1.836.763 1.054.338 2.891.101 1.801.162 1.011.375 2.812.537
esercizio es.prec.
totale
-1,9
-4,1
-2,7
2,3
1,6
2,0
Inc.% su n.pag.tot.
90,82
64,86
79,25
88,76
63,52
77,66
imp.pagati cose
2.388
1.851
4.240
2.443
1.881
4.324
inc.% su imp.pag.tot.
61,65
20,74
33,12
57,72
20,87
32,64
pagato medio cose
1.300
1.756
1.466
1.357
1.860
1.537
4,4
5,9
4,8
0,68
0,32
0,42
0,65
0,33
0,42
-4,4
3,1
0,0
n.riservati cose
768.741
491.215
1.259.956
779.278
446.617
1.225.895
1,4
-9,1
-2,7
inc.% su n.ris.tot.
65,85
51,12
59,20
65,53
49,96
58,85
imp.riservati cose
1.895
1.838
3.733
1.946
1.878
3.824
2,7
2,2
2,4
inc.% su imp.ris.tot.
22,76
11,40
15,27
22,67
11,18
15,06
riservato medio cose
2.465
3.741
2.962
2.497
4.205
3.119
1,3
12,4
5,3
0,35
0,22
0,26
0,35
0,22
0,26
0,0
0,0
0,0
pag.medio
cose/pag.medio tot.
ris.medio cose/ris.medio
tot.
Dal confronto tra le due ultime tabelle si nota come il numero dei sinistri con soli danni a
cose è nettamente maggiore del relativo numero di sinistri con soli danni a persone. Le
imprese di assicurazione negli anni 2003 e 2004 sono state abbastanza stabili nel chiudere i
sinistri che hanno causato solo danni materiali. Infatti, il numero di sinistri con danni a
cose della generazione corrente liquidati nell’anno in cui sono avvenuti è quasi uguale al
numero per entrambi gli anni di origine, e la stessa considerazione può essere per sinistri
accaduti in anni precedenti e liquidati negli esercizio 2003 o 2004. Lo stesso commento
può in parte valere anche per i sinistri in cui sono state coinvolte delle persone, ovviamente
le cifre sono differenti. Questa tipologia di sinistri ha dei tempi di liquidazione piuttosto
lunghi, e il numero di sinistri della generazione corrente che vengono chiusi nello stesso
anno è abbastanza basso18. Come logica conseguenza ne deriva che l’incidenza percentuale
sul totale dei sinistri pagati è maggiore per i sinistri con soli danni a cose di quanto lo sia la
percentuale relativa ai sinistri con danni fisici. L’esborso complessivo, relativo ai danni
materiali, che le imprese hanno sostenuto nel biennio, non ha subito cambiamenti rilevanti
18
Si osservi per la generazione 2004: 1.801.162 sinistri con danni a cose pagati nello stesso anno, contro i 154.911
sinistri con danni a persone. Le cifre sono davvero diverse.
26
attestandosi intorno a 4.300 milioni di Euro. Leggermente diversa è la situazione in tabella
2.12. in cui l’importo pagato, come è ovvio, attendersi è maggiore. Considerazioni
analoghe possono essere fatte in merito al pagato medio: per i sinistri con danni a persone
il costo medio pagato si aggira intorno a €11.000, quasi un decimo del relativo costo medio
dei sinistri con danni materiali che ammonta a €1.500. I sinistri con danni fisici sono in
numero inferiore ma hanno un costo maggiore degli altri. Passando ad esaminare il
comportamento delle imprese nel riservare i due tipi di sinistri si nota che riservano più
sinistri con danni a persone di quanti ne liquidano, e invece riservano un numero inferiore,
rispetto al numero dei pagati, di sinistri con danni materiali. Il motivo di detta differenza è
che le compagnie di assicurazione vengono a conoscenza di tantissimi sinistri che hanno
causato solo danni a cose (molti di questi, poi, hanno dei costi piuttosto bassi) e di pochi
incidenti in cui sono state coinvolte anche delle persone ma che richedono alla compagnia
un risarcimento elevatissimo. I primi sono i cosiddetti sinistri short-tail e i secondi, poiché
richiedono dei tempi di liquidazione abbastanza lunghi, sono dei long-tail, e come tali
compariranno nella riserva sinistri di tanti bilanci di fine esercizio. In sintesi, si può
concludere affermando che per le imprese che esercitano il ramo R.C.Auto, ma in generale
i rami di responsabilità civile, è molto difficile definire una corretta stima per la riserva
sinistri dal momento che un ruolo alquanto importante è rivestito dai sinistri long-tail.
2.14. Sintesi del conto tecnico del ramo (importi in milioni di Euro)
Voci
1999
2000
2001
2002
2003
2004
Premi di competenza
12.783
14.048
15.012
16.312
17.366
17.996
Oneri relativi ai sinistri
-13.248
-13.886
-13.734
-13.735
-14.177
-14.375
Altre partite tecniche
-186
-184
-100
-166
-178
-228
Spese di gestione
-2.422
-2.559
-2.740
-2.921
-3.047
-3.169
Saldo tecnico al lordo della riassicurazione
-3.073
-2.581
-1.562
-510
-36
224
Quota dell'utile degli investimenti
935
1.050
899
648
888
1.077
-2.138
-1.531
-663
138
852
1.301
-1.905
-1.298
-452
239
883
1.294
Risultato del conto tecnico al lordo della
riassicurazione
Risultato del conto tecnico al netto della
riassicurazione
In ultimo si vuole riportare una tabella che sintetizza il conto tecnico del ramo R.C.Auto
nei sei anni 1999-2004. Il portafoglio assicurativo italiano ha registrato un sistematico
aumento dei premi di competenza e degli oneri relativi ai sinistri (salvo per l’esercizio
27
2001). Tutte le imprese di assicurazione nel triennio 1999-2001 hanno dovuto sostenere dei
costi superiori ai relativi premi, facendo sì che il saldo tecnico al lordo della
riassicurazione risultasse negativo. I rendimenti finanziari derivanti dagli investimenti
hanno presentato un andamento altalenante, definendo un risultato tecnico al netto della
riassicurazione ancora negativo ma in valore assoluto minore.
Una migliore condizione economica per le compagnie italiane si è avuta nel triennio 20022004, in cui si è registrato un risultato del conto tecnico positivo, sia in presenza che in
assenza di riassicurazione, ma minore qualora si sia ricorso ai riassicuratori.
3. Il triangolo di run-off
Nel momento in cui le imprese si accostano alla stima della riserva sinistri, i dati che hanno
a disposizione sono raccolti in un triangolo simile a quello seguente
0
1
2
0
α 00
α 01
α 02
1
α10
α 11
2
α 20
….
j
….
k-1
k
α0 j
α 0,k −1
α 0k
α 12
α1 j
α1,k −1
α 21
α 22
α2 j
α i0
α i1
αi2
k-1
α k −1, 0
α k −1,1
k
αk0
….
i
….
Gli elementi α ij possono rappresentare o importi pagati, sia incrementali che cumulati, o
numeri dei sinistri, siano essi denunciati, riservati, chiusi perché senza seguito o riaperti ma
anche pagati. Per riga si legge l’anno di generazione o di denuncia19, cioè l’anno in cui il
sinistro si è verificato o è stato denunciato; per colonna si legge l’anno di sviluppo (o di
19
La diversa terminologia fa richiamo alla possibilità per le compagnie di assicurazione di classificare i
sinistri per anno di denuncia o per anno di generazione, richiedendo in tal modo un approccio diverso alla
stima della riserva sinistri.
28
differimento). Pertanto, se α ij indica un importo incrementale, esso rappresenta il costo per
i sinistri verificatisi (o denunciati, a seconda della classificazione che si adotta) nell’anno i
pagati dall’impresa nell’anno i + j , cioè con j anni di ritardo. Fissata una riga è possibile
leggere l’evoluzione dei sinistri20 appartenenti a quella generazione nei differenti anni di
sviluppo. Invece, per colonna sono indicati i sinistri delle diverse generazioni caratterizzati
dallo stesso ritardo. Le chiavi di lettura di questo ritardo possono essere molteplici, tutto
sta nel cosa vogliano indicare i valori α ij . Così, se α ij indicano importi cumulati, α ij è
l’ammontare globale che la compagnia ha pagato fino all’anno i + j per tutti quei sinistri
facenti parte della generazione i . Se invece α ij facesse riferimento al numero dei sinistri
denunciati, allora questo valore sarebbe il numero di sinistri accaduti nell’anno i ma
denunciati con j anni di ritardo. Il punto di partenza per tutti i metodi di valutazione della
riserva sinistri è proprio questa matrice di dati chiamata “triangolo di run-off”.
L’obiettivo di ciascuna impresa è quello di “rettangolarizzare”21 tale triangolo stimando i
valori del triangolo inferiore. Le imprese riescono a costruire un simile triangolo
raccogliendo i dati presenti nel modulo 28, che è stato introdotto insieme al modulo 29 con
i nuovi metodi di calcolo del bilancio del 1998.
Il numero degli anni di sviluppo dipende dal ramo in questione, per il ramo R.C.Auto
generalmente una generazione viene estinta in dodici o tredici anni, ma possono essere
necessari anche vent’anni se i sinistri hanno cagionato danni fisici a persone.
L’Isvap chiede alle imprese che esercitano il ramo danni di presentare congiuntamente al
bilancio di fine esercizio un allegato relativo al portafoglio del lavoro diretto italiano. Il
modulo 28 deve essere compilato per ogni rischio del ramo danni22 eccetto che per il ramo
10, R.C. autoveicoli terrestri, e per il ramo 12 R.C. veicoli marittimi, lacustri e fluviali i
quali sono identificati nel modulo 29. Nel modulo si inseriscono i dati del bilancio in corso
20
Intesi questi sia come numeri che come importi.
Con questo termine si vuole far riferimento al completamento della matrice riportando i valori stimati per
la parte inferiore della tabella, in modo tale che disponendo di un triangolo si ottenga un rettangolo (da qui il
termine rettangolarizzazione).
22
La classificazione dei rischi per ramo è riportata nell’allegato A) del decreto legislativo n.175 del 17 marzo
1995.
21
29
e quelli relativi agli esercizi precedenti per un’anzianità massima di otto anni. Quei sinistri
più vecchi di otto anni vengono catalogati sotto la voce “N-8 e precedenti”.
Il modulo 28 distingue cinque tipologie di sinistri
•
sinistri a riserva all’inizio dell’esercizio
•
sinistri denunciati nell’esercizio
•
sinistri riaperti nell’esercizio
•
sinistri a riserva alla fine dell’esercizio
•
sinistri in causa
I sinistri a riserva all’inizio riportano nelle prime due colonne la riserva iniziale distinta per
numero e importo, e nelle colonne contigue si inseriscono i pagamenti sostenuti
nell’esercizio distinguendo i sinistri chiusi perché pagati a titolo definitivo da quelli ancora
da riservare a fine anno perché pagati parzialmente. Per la stessa classe di sinistri si
conteggiano gli eliminati per senza seguito. Anche per i sinistri denunciati nell’esercizio la
suddivisione è analoga alla precedente ma la classificazione tra pagati definitivi,
parzialmente o eliminati per senza seguito non fa riferimento alla riserva iniziale ma ai
sinistri denunciati nell’esercizio in corso. I sinistri denunciati non necessariamente devono
appartenere alla generazione ultima ma possono riferirsi, come peraltro avviene nella
realtà, ad anni precedenti. La terza tipologia di sinistri riguarda i riaperti nell’esercizio.
Dopo aver immesso il numero complessivo dei sinistri riaperti li si distingue per tipo di
pagamento definitivo o parziale. Nelle colonne adiacenti si procede al conteggio del
numero totale dei sinistri pagati nell’esercizio e dei relativi importi. Il numero complessivo
dei sinistri pagati è dato dalla somma dei sinistri pagati definitivamente tra quelli
appartenenti ai sinistri a riserva all’inizio, sinistri denunciati e sinistri riaperti;
analogamente è fatto con gli importi. Successivamente si procede alla valutazione
dell’accantonamento necessario alla fine dell’attività annuale. Infatti, la riserva
complessiva alla fine dell’anno di bilancio in numero e importo è data dalla somma dei
sinistri a riserva all’inizio dell’esercizio, dei sinistri denunciati e dei riaperti nello stesso
esercizio. Il numero dei sinistri a riserva all’inizio dell’esercizio è calcolato sottraendo al
numero dei sinistri della riserva iniziale i pagati a titolo definitivo e gli eliminati per senza
seguito. Sottraendo dal numero dei sinistri denunciati nell’esercizio i pagati definitivi e gli
eliminati perché senza seguito si ottiene il numero dei sinistri denunciati nell’esercizio. Per
conteggiare, invece, i sinistri riaperti nell’esercizio è sufficiente sottrarre al numero dei
riaperti il numero dei pagamenti definitivi. Infine si effettua una sorta di sintesi di quanto
classificato in precedenza. Nell’ultima tipologia di sinistri sono tabulati il totale dei sinistri
30
pagati nell’esercizio, distinti per numero e importo, e la riserva complessiva alla fine
dell’esercizio, suddivisa in numero e importo. Per ottenere il totale dei sinistri pagati
nell’esercizio, come numero e importo, è necessario sommare i sinistri riservati all’inizio
dell’esercizio che sono stati pagati a titolo definitivo, ai pagamenti definitivi comprensivi
sia dei sinistri denunciati nell’esercizio che dei riaperti.
3.1.1. L’allegato al modulo 28 dei sinistri tardivi
L’allegato numero 1 al modulo 28 presenta la stessa forma del modulo ma è suddiviso in
due sezioni. La sezione a) è inerente allo sviluppo nell’esercizio corrente dei sinistri
denunciati tardivamente nello stesso esercizio, la sezione b) riguarda lo sviluppo
nell’esercizio in corso dei sinistri denunciati tardivamente negli esercizi precedenti e che
sono stati collocati a riserva (analitica).
Le prime tre colonne della sezione a) riportano la riserva iniziale stimata al 31.12 dell’anno
precedente all’attuale per sinistri tardivi suddivisa per numero, costo medio e importo, dato
come prodotto tra costo medio e numero. Nelle colonne successive si inseriscono i dati
effettivi dell’esercizio corrente per anno di accadimento. Si distinguono i sinistri tardivi
denunciati nell’esercizio per numero di denunciati, numero e importo dei pagati e numero
dei senza seguito, numero e importo dei sinistri a riserva analitica alla fine dell’esercizio.
Questo ultimo tipo di sinistri è ottenuto sottraendo ai denunciati i pagati e i senza seguito.
Sempre nella sezione a) si valuta la riserva finale stimata al 31.12 dello stesso anno di
bilancio di fine esercizio per i sinistri tardivi distinguendo il numero, il costo medio e
l’importo. Infine si effettua anche nell’allegato una sintesi dei sinistri in causa
classificandoli in sinistri pagati nell’esercizio e valutando la riserva analitica alla fine
dell’esercizio.
Nella sezione b) si immettono dapprima per i sinistri denunciati tardivamente il numero e
l’importo della riserva iniziale analitica al 31.12 dell’anno precedente. I dati successivi
fanno riferimento ai sinistri tardivi a riserva all’inizio dell’esercizio e ai sinistri tardivi
riaperti durante l’esercizio. I sinistri tardivi a riserva alla fine del bilancio precedente
vengono suddivisi in sinistri pagati nell’esercizio e sinistri senza seguito. In tal modo è
possibile calcolare la riserva alla fine dell’esercizio precedente sottraendo al numero dei
sinistri a riserva iniziale dello scorso esercizio il numero dei pagamenti e degli eliminati
per senza seguito. Tra i sinistri tardivi riaperti nel corso dell’ultimo anno si classificano i
31
sinistri riaperti nonché i sinistri pagati durante l’anno. Dunque la riserva finale per questo
tipo di sinistri è data dalla differenza tra riaperti e pagati.
Con tutti i dati a disposizione è possibile valutare la riserva finale (analitica) per i sinistri
denunciati tardivamente. Il numero dei sinistri a riserva è la somma del numero dei sinistri
a riserva (analitica) alla fine dell’esercizio per sinistri tardivi denunciati nell’esercizio della
sezione a), della riserva alla fine dell’esercizio per sinistri tardivi a riserva alla fine del
precedente bilancio e la riserva finale per sinistri tardivi riaperti nell’esercizio corrente.
L’importo della riserva finale per sinistri tardivi è calcolato come somma degli importi
relativi alle tre tipologie di riserva implicate nel calcolo del numero dei sinistri posti a
riserva.
Per il bilancio degli esercizi 1998 e 1999 i moduli 28 e 29 e gli allegati numeri 2 e 4 al
modulo 29 devono essere compilati in base all'anno di denuncia del sinistro. A partire dal
bilancio dell'esercizio 2000 i medesimi moduli devono essere compilati in base all'anno di
accadimento del sinistro. Ai fini della rilevazione contabile resta comunque fermo il
criterio della registrazione dei sinistri in base alla data in cui è pervenuta la denuncia. Il
“modulo 29” è un allegato che le imprese di assicurazione che esercitano il ramo della
R.C.Auto devono presentare congiuntamente al bilancio di fine esercizio. A differenza di
quest’ultimo il modulo 29 non può essere consultato dal pubblico, ma è inviato all’Isvap
che dovrà controllare, o meglio vigilare, sull’operato dell’impresa di assicurazione. Questo
modulo è molto importante per verificare se l’impresa ha proceduto correttamente nella
valutazione della riserva sinistri. L’interesse dell’Isvap nei confronti del modulo 29 è di
facile intuizione dal momento che le riserve sinistri vanno iscritte nel passivo del bilancio
di fine esercizio. I dati raccolti nel modulo si riferiscono ai valori della riserva sinistri
all’inizio dell’esercizio e al numero e agli importi dei sinistri movimentati durante l’anno.
Per sinistri movimentati durante l’anno si intende il numero e l’importo dei sinistri pagati
definitivamente o parzialmente; dei sinistri eliminati perché senza seguito; dei sinistri
denunciati; dei sinistri riaperti che a loro volta possono essere pagati a titolo definitivo o
parziale. E’ bene notare che in ogni caso i sinistri pagati parzialmente saranno direttamente
coinvolti nel calcolo della riserva sinistri poiché sono ancora in corso di liquidazione alla
fine dell’esercizio, cioè al beneficiario non è stato completamente erogato il risarcimento
32
che gli spetta e pertanto il sinistro non è stato definitivamente chiuso. Questi valori, e in
particolar modo quelli riferiti ai sinistri pagati parzialmente, ai sinistri non movimentati
durante l’esercizio, ai sinistri denunciati o a quelli riaperti, sono utili per calcolare le
riserve residue per ogni anno di generazione e infine stimare l’ammontare della riserva
sinistri da apporre in bilancio. Si procede successivamente ad una rivalutazione o
riduzione, rispettivamente, del valore della riserva sinistri iniziale. Nel caso in cui, a fine
esercizio, la riserva sinistri iniziale dovesse risultare insufficiente dalle diverse stime,
allora si parlerà di rivalutazione e il segno di tale valore sarà negativo. Al contrario, se
nell’esercizio precedente la riserva sinistri era stata sopravvalutata si verificherà una
riduzione pari al valore riportato in tabella con segno positivo. Questo secondo caso nella
realtà di un’impresa risulta abbastanza raro, infatti, nella pratica aziendale si verifica quasi
sempre una rivalutazione della riserva. Le imprese di assicurazione sono comunque
obbligate a portare qualunque rettifica in bilancio purché venga sempre garantita la
“sufficienza degli stanziamenti iscritti”23. La riserva sinistri complessiva alla fine
dell’esercizio è calcolata come somma delle riserve parziali per ogni anno di generazione
di sinistri. Il valore delle singole riserve residue è dato dalla somma degli importi: dei
sinistri pagati parzialmente, dei sinistri non movimentati durante l’esercizio, dei sinistri
denunciati e/o riaperti nell’esercizio. Dai moduli allegati ai bilanci delle imprese è
possibile costruire delle serie storiche concernenti il numero di sinistri (denunciati, pagati,
senza seguito e riservati) e l’ammontare sia dei pagamenti che delle riserve. Infatti, i dati
presenti in questo modulo 29 consentono di compilare la diagonale della matrice di run-off
per una generazione di sinistri; pertanto l’impresa può completare il triangolo superiore di
detta matrice consultando una serie di moduli 29, tanti quanti sono gli anni di generazione
di sinistri che intende considerare. Una volta costruito tale triangolo, l’impresa potrà
completare la matrice stimando i valori del triangolo inferiore attraverso un metodo dei
tanti a sua disposizione. Dalla matrice completa si trarrà la stima della riserva sinistri il cui
valore verrà posto in bilancio.
23
Circolare Isvap n.360/D del 21 Gennaio 1999
33
4. Metodi di calcolo per la riserva sinistri
Come è stato già osservato, nel decreto legislativo non si accenna in alcun modo a imporre
alle imprese di assicurazione quale metodo di calcolo impiegare per la stima della riserva
sinistri. Il legislatore sa bene che non esiste un metodo che si dimostri migliore di un altro,
ogni metodo ha i suoi vantaggi ma anche i suoi svantaggi. Ecco perché si è dettati soltanto
i principi da rispettare nel calcolo della riserva sinistri rimandando a ciascuna impresa la
libera scelta sull’impiego di un metodo piuttosto che di un altro, fermo restando l’obbligo
da parte dell’Isvap di controllare il bilancio pervenuto e di intervenire laddove lo ritenga
necessario ai fini della solvibilità dell’impresa. L’Isvap, infatti, vigila sull’attività di
ciascuna impresa per garantire che gli interessi degli assicurati vengano rispettati; pertanto
pone la massima attenzione alla valutazione della riserva sinistri in quanto un
accantonamento insufficiente, che si traduce in una sottostima della riserva, può rendere
l’impresa insolvente, cioè incapace di far fronte agli impegni assunti nei confronti degli
assicurati. Lo stato di insolvenza viene inteso come il primo step per dichiarare
successivamente la liquidazione coatta amministrativa della stessa impresa da parte
dell’autorità di vigilanza. Dall’altro canto, una sovrastima della riserva sinistri non è
auspicabile perché significherebbe per l’impresa aumentare il passivo del suo bilancio con
inevitabili conseguenze sul risultato economico.
Esistono due grandi famiglie di metodi per il calcolo della riserva sinistri: metodi
deterministici e metodi stocastici caratterizzati, questi ultimi, da significative distribuzioni
probabilistiche delle riserve. Entrambe le famiglie racchiudono a loro volta altri metodi.
I metodi statistici possono essere classificati in base ai dati utilizzati per la valutazione
della riserva sinistri, pertanto si distinguono:
o metodi che utilizzano le proiezioni dei sinistri pagati;
o metodi che utilizzano le proiezioni dei sinistri avvenuti;
o metodi che utilizzano le proiezioni del loss ratio24.
E’possibile effettuare un’ulteriore raggruppamento dei metodi di stima. Si possono
menzionare i metodi a costo medio che, una volta definito l’intervallo di differimento,
cercano di stimare la velocità di liquidazione congiuntamente ai costi medi prevedibili e la
probabile evoluzione futura dei sinistri senza seguito, eliminati o riaperti. Sulla base di
queste previsioni si proseguirà alla valutazione dell’importo da accantonare. I metodi
concatenati e i metodi di separazione hanno un differente percorso valutativo, questi,
24
Il loss ratio è definito come rapporto dei sinistri a premi, fatto riferimento ad un prefissato ramo.
34
infatti, cercano di calcolare dei coefficienti di pagamento, detti coefficienti di sviluppo, e di
proiettarli al futuro in funzione dell’esperienza passata dell’impresa. Inoltre, le tre tipologie
di metodi ora richiamati prendono in considerazione per le possibili stime future
l’andamento del processo inflattivo come risultante sia da fattori esterni che da fattori
interni all’impresa. Appartiene ai metodi a costo medio il metodo Fisher-Lange, mentre un
esempio di metodi concatenati potrebbe essere il metodo chain ladder, e per quanto
riguarda l’ultimo tipo si ricorda il metodo della separazione aritmetica di Taylor. Questi
ultimi tre metodi citati verranno presentati con maggiore accuratezza nel seguente capitolo.
La scelta di un metodo anziché di un altro è dettata dalle informazioni a disposizione della
compagnia e dalle caratteristiche del portafoglio.
4.1. Metodi deterministici
Tra i tanti metodi appartenenti a questa categoria si possono citare il Grossing up e il Link
Ratio. Il primo calcola il costo di generazione stimato ottenuto rapportando la somma del
costo di generazione al pagato cumulato totale dopo t anni di differimento; la percentuale
così ottenuta si moltiplica per l’importo indicante il pagato cumulato dell’ultimo anno di
sviluppo per quella generazione. Si procede in questo modo per tutte le generazioni dei
sinistri considerate. Successivamente si calcola il fattore di Grossing Up indicato con
g j (i ) , dove i indica l’anno di generazione e j l’anno di differimento. Il valore g j (i ) è
ottenuto come rapporto tra il pagato cumulato alla data di valutazione e il costo di
generazione stimato. Si ipotizza che negli anni successivi la velocità di liquidazione dei
pagamenti sia uguale a quella calcolata, in questo modo si possono stimare i costi futuri di
generazione. Sottraendo al costo totale di tutta la generazione l’importo pagato cumulato
alla data di valutazione si ottiene la riserva sinistri stimata per quel determinato anno di
origine. Si sommano tutte le riserve residue e si ottiene la riserva sinistri globale.
Il Link Ratio definisce i fattori r j (i ) 25 come rapporto tra il valore del pagato cumulato ad
un anno di sviluppo e il valore del pagato cumulato per l’anno di sviluppo precedente. Per
ogni anno di differimento si considerano i valori più elevati e li si moltiplicano, ottenendo
in tal modo i fattori f j . Il primo anno di evoluzione avrà tanti fattori moltiplicativi quanti
sono gli anni di differimento, gli anni successivi avranno sempre un fattore in meno. In
25
Con
i e j aventi gli stessi significati visti prima.
35
seguito vengono definiti i costi futuri di generazione ottenuti moltiplicando i fattori f j per
il pagato cumulato alla data di valutazione. Sulla base dei costi futuri e del pagato
cumulato alla data di valutazione viene stimata la riserva sinistri di fine esercizio. Il Link
Ratio, così come il Grossing Up, presenta delle varianti. Lo scopo della trattazione esula da
un’analisi più approfondita di tali metodi per cui si rinvia all’opera di Gismondi, Curti e Di
Gregorio citata in bibliografia.
Di seguito ci si soffermerà sull’esposizione di altri metodi di natura deterministica che
rivestono un ruolo alquanto importante all’interno delle imprese per la stima della riserva.
Si tratta del metodo chain ladder, del metodo Fisher-Lange e del metodo della separazione
aritmetica di Taylor. Si vuole ricordare come i metodi di stima che verranno esposti di
seguito possono essere applicati ai cosiddetti “rami di massa”, cioè a quei rami aventi un
numero elevato di dati, come per esempio l’R.C.Auto. Tuttavia, anche per altri rami è
possibile far ricorso a tali metodi, però le stime saranno soggette ad una maggiore volatilità
causata dal numero esiguo dei dati iniziali. In generale, la stima della riserva sinistri per i
rami di cui l’impresa dispone di pochi dati relativi ai sinistri è effettuata recuperando i
criteri di calcolo impiegati in passato e verificando che i sinistri siano stati riservati
correttamente. In caso affermativo si riservano i nuovi sinistri sulla base dei criteri
coinvolti per i calcoli precedenti, invece, nel caso in cui l’impresa non è stata capace di
stimare nel modo migliore possibile i sinistri passati, si correggono le nuove stime delle
riserve sulla base delle medie delle differenze del passato.
4.2. Metodi stocastici
I metodi stocastici sono così chiamati perché fanno riferimento alla distribuzione di
probabilità di determinate quantità, siano esse pagamenti o numero dei sinistri. Sono
presenti in letteratura un numero abbastanza elevato di metodi facenti parte di questa
classe. Il motivo di un così elevato numero di metodi è da ricercarsi nel fatto che
sostanzialmente esistono infiniti modi per “costruire” un metodo. Gli studiosi che si sono
occupati della ricerca di nuovi metodi stocastici sono partiti dall’idea di una distribuzione
di probabilità sottostante i dati26 reali raccolti in un triangolo di run-off. Hanno fatto
riferimento a quella distribuzione probabilistica conosciuta che secondo loro poteva
adattarsi meglio ai dati che si fossero osservati nella realtà. Una volta scelta quale debba
26
Tali dati possono essere sia importi che numeri di sinistri.
36
essere la distribuzione di probabilità, si passa a definire i principali momenti della
distribuzione: valore atteso e varianza. Alcuni metodi possono differire nella definizione
della media dei pagamenti o del numero dei sinistri, altri possono considerare una
medesima relazione per il valore atteso e cambiare l’equazione relativa alla varianza. Il
mondo assicurativo è in continuo cambiamento, e questo è motivo di ricerca di nuovi
metodi stocastici che riescano ad essere al meglio rappresentativi della realtà sottostante ai
dati raccolti. Un interesse così particolare nel ricercare metodi sempre migliori, intendendo
con questo aggettivo metodi che riescano a superare i punti di debolezza di un metodo già
conosciuto, è dettato dalla necessità di poter stimare nel miglior modo possibile
l’ammontare di cui l’impresa necessiterà al momento della liquidazione del sinistro. Queste
previsioni devono quindi rispecchiare nel modo più veritiero possibile i reali impegni della
compagnia per evitare che ci siano casi di sotto o sovrastima che possono essere causa di
gestioni future negative o di preoccupazioni per gli azionisti.
37
CAPITOLO DUE
I principali metodi deterministici
1. Il metodo Chain Ladder
Come già affermato in precedenza esistono diversi metodi deterministici per la stima della
riserva sinistri. L’indagine di vari metodi di analisi dei dati relativi ai sinistri si dilagò con
una notevole velocità a partire dagli inizi degli anni Settanta in risposta agli innumerevoli
casi di fallimento degli assicuratori inglesi e australiani.
Nel settore assicurativo, sin dai tempi antichi, si è ampiamente sviluppato l’utilizzo del
metodo chain ladder, che per questo motivo è conosciuto come metodo base per la
valutazione della riserva sinistri. Il largo impiego che ne viene fatto ai dati di run-off è
dovuto alla semplicità sottostante il suo meccanismo di stima.
Le origini del metodo rimango tuttora sconosciute. Non si è a conoscenza di chi ne sia
stato l’autore o di chi l’abbia applicato per la prima volta al triangolo di run-off.
Taylor afferma che già agli inizi degli anni Settanta il professore R. E. Beard in veste di
consulente del Department of Trade nel Regno Unito faceva ampio uso di tale metodo.
Inoltre, gli autori inglesi Clarke e Harland in un loro testo del 1974 descrivono un metodo
che include tutti gli elementi del chain ladder e il metodo di stima dei loro parametri è lo
stesso del chain ladder e sarà esposto successivamente. Se ne conclude, quindi, che la
nascita di tale metodo è da porre in data antecedente al 1974. Lo stesso modello appare già
nel 197327 come applicazione della Teoria della Credibilità alla riserva sinistri.
La denominazione del metodo in esame, metodo chain ladder o metodo della catena, è
conseguenza del meccanismo di calcolo dei parametri e di stima degli incogniti valori
futuri del costo sinistri. Infatti, il chain ladder fa parte della classe dei metodi concatenati
proprio perché alla base delle stime c’è la forte ipotesi di costanza nel tempo della politica
di liquidazione dei sinistri da parte dell’impresa di assicurazione. In altre parole, allo scopo
27
Si rimanda alle pagine 177-190 del testo di Kramreiter H. e Straub E. “On the calculation of IBNR reserves
II.” Mitteilungen der Vereinigung Schweizerischer Versicherungs-mathematiker (1973).
38
di determinare l’ammontare da porre in bilancio tra le passività della compagnia, si proietta
al futuro l’esperienza passata in materia di liquidazione, supponendo che l’assicuratore non
muti nel tempo la modalità di chiusura dei sinistri. In questo modo è chiaro come i valori
futuri dipenderanno fortemente dai valori passati definendo in tal maniera una struttura
concatenata.
E’ bene ricordare che il chain ladder è un metodo che viene ampiamente impiegato nei
rami cosiddetti di massa come l’R.C.Auto. Infatti, nel seguito, dopo aver presentato le
modalità di stima dei parametri e di conseguenza della riserva sinistri si mostrerà un
esempio di calcolo applicato ad un triangolo di run-off riportante i dati di una generica
compagnia che esercita il ramo R.C.Auto.
Il metodo in questione considera i valori α ij del triangolo di run-off, del paragrafo tre del
precedente capitolo, come importi pagati complessivamente, cioè cumulati, nell’anno i + j
per i sinistri appartenenti alla i − esima generazione. Sulla base dell’esperienza passata e
con l’ausilio dei fattori di sviluppo si cerca di completare la parte inferiore del triangolo di
run-off ottenendo infine il valore della riserva sinistri come somma delle riserve residue di
ogni anno di generazione. La riserva sinistri di ogni generazione è data dalla differenza tra
il valore dei pagamenti cumulati alla fine del periodo di differimento considerato28 e
l’importo effettivamente pagato alla data di valutazione. In altre parole si stima quale
debba essere il costo complessivo che l’assicuratore deve supportare per una determinata
generazione di sinistri, si sottrae quanto già è stato pagato e il valore così ottenuto
identifica la riserva della generazione in esame. La compagnia provvederà, in seguito, a
iscrivere nel modulo 2929 le riserve residue relative agli anni di generazione previsti nel
modulo. Infine si sommano le riserve per tutte le generazioni di sinistri coinvolte nella
stima e si ottiene l’ammontare degli impegni a carico della compagnia alla fine di un
generico anno d’esercizio. Tale somma verrà posta nel passivo del bilancio sotto la voce
riserva sinistri.
28
I triangoli relativi alla R.C.Auto hanno un’estensione del periodo di differimento molto lunga come per
esempio dodici o tredici anni, a volte si può riservare un sinistro anche per vent’anni. Quest’ultimo è un caso
molto particolare in quanto riferito a sinistri che hanno causato gravi danni a persone o nei casi peggiori la
morte.
29
Per i rami diversi dalla R.C.Auto si fa uso del modulo 28.
39
Il metodo utilizza un insieme di pagamenti dei sinistri suddivisi per anno di generazione e
anno di sviluppo, in tal modo si ottiene un insieme di osservazioni sulle variabili casuali
Cij , avendo indicato in tal modo l’importo cumulato pagato con j anni di differimento per
quei sinistri avvenuti nel generico anno i . L’obiettivo è calcolare il valore Ci , j +1 , avendo
posto Cij come ultima osservazione disponibile.
Il metodo si basa sull’ipotesi che al variare di j tra 0 e T , avendo indicato con T
l’ultimo anno di sviluppo presente nel triangolo di run-off, il valore dei rapporti
Ci , j +1
Cij
non
dipenda, a meno di variazioni aleatorie, dalla generazione i cui essi fanno riferimento ma
solo da j . E’ come se si assumesse che la progressione dei pagamenti cumulati si
mantenga sostanzialmente la medesima per ogni generazione30. In termini operativi
significa proiettare i dati dell’ultima diagonale della matrice di run-off.
Nella sua forma più semplice il modello può essere scritto nella seguente forma
Pij = α i ρ j 31, dove Pij 32 indica i risarcimenti effettuati con j anni di ritardo per i sinistri
avvenuti nell’anno i , α i è una costante che dipende dall’anno di generazione e ρ j ,
anch’essa costante, dipendente dall’anno di sviluppo. In tal modo α i può essere
interpretato come l’ammontare totale dei pagamenti riferito ai sinistri del generico anno i ,
e ρ j come la porzione di questo totale relativo ad ogni anno i pagabile nel j − esimo anno
di differimento.
Successivamente si procede al calcolo dei fattori di sviluppo e si moltiplicano tali fattori
per Cij , ovvero per l’ultimo dato noto e reso disponibile all’attuario, e si ottengono le stime
dei futuri importi cumulati.
Taylor accenna ad una forma un po’ più complicata di quella presentata sopra. Ponendo φ
come tasso costante dell’aumento dei sinistri da periodo a periodo il modello può essere
30
Si potrebbero considerare in modo analogo i rapporti
Pi , j +1
Pij
dei pagamenti annuali, ma al fine di ottenere
una stima migliore si utilizzano i rapporti dei pagamenti cumulati perché presentano una maggiore stabilità
rispetto ai rapporti annuali in quanto i primi assorbono possibili oscillazioni dovute all’andamento dei
rapporti annuali.
31
Si veda l’opera di Taylor del 1986 citata in bibliografia.
32
Si noti come diventa Cij =
j
∑P
k =o
ik
.
40
(
)
riscritto nel seguente modo Pij = α i ρ j λi + j −u λi + j −u , con u arbitrario e λ = 1 + φ , ovvero
Pij = α i* ρ *j λi + j −u dove ρ *j è proporzionale a ρ j λi + j −u , o alternativamente si può avere
Pij = ni μ i ρ *j λi + j −u . I parametri hanno il seguente significato: λi + j −u corregge i pagamenti
dei sinistri, per l’aumento degli stessi, dai valori della moneta del periodo u ai valori del
periodo di pagamento i + j ; α i* è l’ammontare totale dei pagamenti riferiti all’anno i ed
espressi in valore del periodo u ; ρ *j è la quota del totale precedente pagabile nell’anno di
differimento j . Inoltre è stato possibile scomporre l’importo totale α i* nei due fattori ni , il
numero dei sinistri avvenuti nell’anno i , e μ i , il costo medio, espresso in termini monetari
del periodo u , dei sinistri appartenenti alla generazione i .
Le due forme del metodo proposte possono essere adottate come base del metodo chain
ladder.
Nel successivo paragrafo verrà descritta la procedura di calcolo dei fattori di
proporzionalità33.
1.1.1. La stima dei fattori di sviluppo
Per calcolare i valori della colonna relativa alla massima antidurata, valori necessari al fine
di avere la stima della riserva sinistri, è necessario disporre dei dati mancanti i quali si
ottengono a loro volta calcolando i coefficienti dati dal rapporto della somma di due
colonne consecutive.
La stima dei rapporti tra importi delle colonne contigue j − 1 e j viene effettuata
secondo34 la
T− j
mj =
∑C
i =0
T− j
∑C
i =0
ij
j = 1,2,......T
(1)
i , j −1
I coefficienti devono essere calcolati per ogni anno di differimento presente nel triangolo
di run-off. In linea con l’obiettivo di stima della riserva sinistri, è bene sottolineare che non
esiste il coefficiente m0 dal momento che si riferisce agli importi pagati nello stesso anno
33
34
Altro nome per indicare i fattori di sviluppo.
Per ulteriori approfondimenti si rimanda al testo di Daboni citato in bibliografia.
41
in cui sono avvenuti i sinistri, valori noti all’impresa di assicurazione che impiegherà gli
stessi allo scopo di stimare la riserva da porre nel bilancio di fine esercizio. Infatti, i dati
che devono essere stimati fanno riferimento ad anni di sviluppo maggiori di zero, cioè
l’impresa deve valutare al momento della redazione del bilancio di chiusura a quanto
ammonta il proprio impegno nei confronti degli assicurati i cui sinistri non sono stati
ancora chiusi, cioè pagati, risultando gli stessi già liquidati.
Dalla formula vista sopra si nota come i fattori di proporzionalità sono una media
ponderata dei rapporti di sviluppo. La dimostrazione è di seguito riportata.
Siano rij i rapporti degli importi cumulati relativi alla j − esima e alla
colonna, o in simboli rij =
Cij
Ci , j −1
( j − 1) − esima
.
I coefficienti in questione possono essere riscritti nel seguente modo
T− j
mj =
∑r C
i =0
T− j
ij
∑C
i =0
i , j −1
(1 bis)
i , j −1
da cui è facile capire il carattere di media ponderata che assumono i fattori in parola.
“Per ogni anno di sviluppo j , il coefficiente è determinato come media dei rapporti di
anno j , con pesi forniti dai valori cumulati di anno j − 1 ”35.
Trovati tutti i valori dei coefficienti la stima degli importi mancanti e quindi indispensabili
per completare la matrice dei dati, avviene secondo la seguente formula
)
C hk = C h ,T −h ⋅
k
∏m
h = 1,2,........T
j
(2)
j =T − h +1
k = t − h + 1,........T
( )
)
Stimati i pagamenti futuri C hk la riserva sinistri complessiva è data da
(
T
)
R = ∑ Ci∞ − Ci ,T −i
)
(3)
i =0
35
Si rinvia al testo di Ferrara Giovanna (2003/2004) citato in bibliografia.
42
(
)
)
)
dove Ci∞ − Ci ,T −i è la riserva sinistri riferita all’anno di generazione i e C 0∞ = C 0 ∞ , stima
dell’importo che complessivamente l’impresa deve pagare relativamente alla prima
generazione in esame. Per il primo periodo di origine si ipotizza che il pagamento ultimo
futuro sia un valore certo dal momento che considera sinistri avvenuti nel lontano passato e
pertanto la probabilità di sbagliare è molto bassa, inoltre questi sinistri riguardano per lo
più quei, pochi, casi in cui si sono registrati danni alle persone e dopo tanti anni la stima
dei pagamenti è quasi certa. In tutti gli altri casi per calcolare i pagamenti che la
compagnia prevede di sostenere oltre l’ultimo anno di differimento il fattore incrementale
da applicare è così definito
m∞ =
C 0∞
C 0t
(4)
Utilizzando questo coefficiente è possibile stimare i pagamenti dell’ultima colonna della
matrice dei dati
)
)
Ci∞ = Cit m∞
(5)
attraverso i quali si ottengo le stime della riserva sinistri per ogni anno di generazione,
secondo quanto detto prima, e successivamente ottenere il valore della riserva sinistri
complessiva tramite la (3).
L’idea di fondo è quella di proiettare al futuro l’esperienza passata dell’azienda ottenendo
in tal modo il costo complessivo per ogni generazione di sinistri avvenuti e coinvolti nella
stima. Successivamente si sottrae a tale costo l’importo che è stato già pagato e la
differenza determina la riserva sinistri per quella data generazione. La somma di tutte le
riserve residue definisce il valore che dovrà essere inserito nel bilancio di fine esercizio.
1.2. Le varianti del metodo chain ladder classico
Il metodo esposto sopra si presta molto bene grazie alla semplicità di calcolo richiesta. Non
deve però essere ignorata la possibilità che le stime non siano coerenti con la realtà
effettiva o che ci siano altre modalità di valutazione che fanno riferimento alla logica del
chain ladder variandone alcuni aspetti. Di seguito si farà cenno ad alcune delle infinite
varianti del metodo chain ladder classico.
43
1.2.1. Il metodo chain ladder con aggiustamento per inflazione
Il metodo chain ladder suppone implicitamente che i dati abbiano un tasso costante di
inflazione che non viene rimosso, anzi viene estrapolato al futuro, ipotizzando quindi che
negli anni successivi l’inflazione sia la stessa di quella registrata fino a quel momento.
Ipotizzato ciò i risultati conseguiti possono essere ben diversi da ciò che si realizzerà a
causa della presenza di inflazione non considerata o considerata implicitamente durante le
analisi svolte. Per ovviare al problema inflattivo è possibile coinvolgere i tassi di inflazione
registrati nel passato e quelli previsti per il futuro. Il chain ladder con aggiustamento per
inflazione opera esattamente allo stesso modo del chain ladder classico, ma usa i
pagamenti dei sinistri da cui l’effetto dell’aumento è sostituito dalla conversione ai valori
della moneta corrente. La procedura è molto semplice: è sufficiente riportare i dati della
matrice in valore del periodo base scelto appositamente dall’analista.
L’equazione base del chain ladder, Pij = ni μ i ρ *j λi + j −u , viene modificata al fine di tenere in
conto la possibilità che l’aumento dei sinistri non sia necessariamente uguale da un anno
all’altro. Sostituendo λi + j −u con λi + j λu dove λi+ j è il valore di un appropriato indice di
aumento dei sinistri nel periodo (i + j ) , l’equazione diventa Pij* = Pij λu λi + j , i risarcimenti
effettuati con un ritardo di j anni per quei sinistri appartenenti alla i − esima generazione
sono convertiti nei valori della moneta del periodo base u . Dunque Pij = ni μ i ρ *j λi + j −u e
Pij* = Pij λu λi + j forniscono la Pij* = ni μ i ρ *j , che paragonata con l’equazione base del chain
ladder mostra come strutturalmente il modello chain ladder con inflazione sia un caso
particolare del chain ladder classico con λ = 1 e quindi con un aumento dei sinistri pari a
zero. La proiezione dei sinistri non pagati avviene secondo la procedura vista
precedentemente, con la differenza di dover rendere omogenei tutti i dati riportandoli ai
valori della moneta del periodo base e considerare l’inflazione futura per la stima dei
risarcimenti futuri. Se si volesse riscrivere la somma da riservare in dipendenza dei soli
importi incrementali si avrebbe Ri =
=
∞
∑P
ik
k = j +1
∞
∑P
k = j +1
*
ik
λi + k λu dove λi+ k è il valore di un indice
dell’aumento dei sinistri proiettato per il periodo di pagamento (i + k ) .
44
L’uso di un esplicito indice di inflazione, secondo quanto formulato nella Pij* = Pij λu λi + j ,
supera alcune delle obiezioni che sorgono contro il basic chain ladder. Per questa ragione,
infatti, la variante vista prima è di solito preferita al metodo classico. La scelta è netta
soprattutto quando si sono realizzati nel recente passato, o sono attesi nell’immediato
futuro, cambiamenti sostanziali negli indici di inflazione. In questa ultima circostanza
viene meno l’assunzione implicita di un aumento costante dei sinistri.
Tuttavia la difficoltà più grande che non può essere trascurata consiste nel selezionare un
appropriato indice che evidenzi l’aumento dei sinistri. Una sottostima di tale indice, infatti,
porta ad una sovrastima del ritardo medio riportato dal momento in cui è accaduto il
sinistro al momento del pagamento.
Un particolare problema è l’inflazione superimposta, un termine utilizzato da Benktander
per coprire la differenza (apparentemente persistentemente positiva) tra i tassi di
incremento dei sinistri e le misure standard di inflazione.
E’ stato mostrato da Taylor e Matthews che certi metodi di analisi dei dati contengono un
meccanismo di autocorrezione in relazione all’inflazione superimposta. Più precisamente,
se viene sottostimato, sia in passato che in futuro, l’aumento dei sinistri secondo un
margine costante, per esempio l’inflazione superimposta, si conseguirebbe il medesimo
risultato se fossero state utilizzate accurate misure per l’aumento dei sinistri36. Il metodo
chain ladder con aggiustamenti per inflazione è uno di questi metodi.
Nonostante le modifiche apportate per tener conto dell’inflazione, anche per questa
variante si possono avanzare le stesse critiche del chain ladder classico, critiche che
verranno presentate più in dettaglio successivamente.
1.2.2. Il metodo chain ladder a costo medio di generazione
Una seconda variante presente tra la classe dei metodi concatenati si basa sul costo medio
dei sinistri pagati.
Si considera il triangolo di run-off degli importi dei sinistri pagati
36
La sottostima dell’aumento dei sinistri passati porta ad una sovrastima del ritardo medio dall’avvenuto
pagamento. Questa sovrastima, quando viene effettuata la retroazione nella proiezione al futuro, compensa la
sottostima dell’aumento dei futuri sinistri.
45
Anno di sviluppo
j
Anno di
0
1
2
0
p00
p01
1
p10
p11
2
p20
p 21
k-1
pk −1, 0
pk −1,1
k
pk 0
generazione
i
…
k-1
k
p02
p0,k −1
p0 k
p12
p1,k −1
…
e la distribuzione del numero di sinistri denunciati con seguito
Sinistri denunciati con seguito
Anno di generazione
i
0
n0
1
n1
2
n2
…
...
k-1
nk −1
k
nk
Si elabora il triangolo di run-off dei costi medi dei sinistri denunciati
Anno di sviluppo
Anno di
j
0
1
2
0
s00
s01
1
s10
s11
2
s 20
s 21
k-1
s k −1,0
s k −1,1
k
sk 0
generazione
i
…
k-1
k
s02
s0,k −1
s0 k
s12
s1,k −1
…
46
dove sij =
pij
ni
i = 0,1,...k e j = 0,1,...k − i .
Al fine di eliminare l’influenza del numero dei sinistri rendendo i dati più stabili rispetto al
triangolo riportante i costi medi incrementali, si elabora il triangolo di run-off dei costi
medi cumulati dei sinistri denunciati
Anno di sviluppo
j
0
1
2
0
S 00
S 01
1
S10
S11
2
S 20
S 21
k-1
S k −1,0
S k −1,1
k
Sk 0
Anno di generazione
i
…
k-1
k
S 02
S 0,k −1
S0k
S12
S1,k −1
…
j
dove S ij = ∑ sih i = 0,1,...k e j = 0,1,...k − i .
h =0
La stima della riserva sinistri segue la stessa procedura descritta in precedenza a riguardo
del basic chain ladder. Partendo dal triangolo cumulato e dividendo gli elementi relativi a
colonne successive si costruisce la matrice dei fattori di sviluppo
Anno di sviluppo
j
0
1
2
0
d 00
d 01
1
d10
d11
2
d 20
d 21
k-1
d k −1, 0
d k −1,1
k
dk0
Anno di generazione
i
…
k-1
k
d 02
d 0,k −1
d 0k
d12
d1,k −1
…
dove d ij =
S i , j +1
S ij
i = 0,1,...k − 1 e j = 0,1,..., k − i − 1 .
47
I fattori di sviluppo rappresentano i coefficienti di incremento dei pagamenti cumulati,
tenendo conto sia dell’anno di generazione del sinistro che dell’anno di sviluppo. Come
nell’impostazione originale del metodo chain ladder, anche questa variante si basa
sull’ipotesi che il rapporto tra i valori di colonne successive del triangolo dei pagamenti
cumulati sia costante. Ad esempio, per la colonna h − esima del triangolo di run-off dei
fattori di sviluppo si assume che d h = d 0 h = ... = d k −h ,h , con h = 0,...k , dove d h è il “vero37”
fattore di sviluppo costante della colonna h − esima . La variante in esame, così come altre
varianti che possono essere concretizzate, fornisce una stima alternativa di tali rapporti
costanti. In particolare si pone
k − h −1
dh =
∑w
ih
i =0
k − h −1
d ih
38
∑w
i =0
(6)
ih
La scelta del set di pesi " wij " è basata sulla credibilità dei diversi fattori di sviluppo,
ovvero sull’ipotesi di maggiore o minore rilevanza dell’esperienza recente rispetto
all’esperienza passata, e pertanto si utilizzano, anche, pesi del tipo wij = (i + j )
2
che
conducono a dare maggiore credibilità alle informazioni più recenti39.
Sulla base dei parametri d h è possibile stimare i costi medi cumulati futuri secondo
j −1
S ij = S i ,k −i ∏ d h con k − i < j ≤ k
(7)
h = k −i
Il totale della riserva sinistri può essere calcolato dalla relazione precedente, ricordando di
sottrarre quanto già è stato pagato40, oppure stimare i futuri pagamenti e ricavare con un
passaggio successivo il valore stimato della riserva sinistri. In simboli bisogna calcolare
pij = sij ni = (S ij − S i , j −1 )⋅ ni
(8)
e dalla precedente ricavare la
37
L’aggettivo in questione non deve trarre in inganno. In questo caso specifico col termine vero si vuole
indicare il coefficiente che sarà impiegato per la stima degli importi cumulati.
38
Si noti l’analogia con quanto visto nel paragrafo 1.1.1. nella (1 bis). Secondo la (6), infatti, il fattore di
sviluppo relativo a ciascuna colonna del triangolo, è una media ponderata di tutti i singoli rapporti fatti tra gli
importi cumulati di due colonne successive. Per dare una dimostrazione di quanto detto basta sostituire ai
pesi wij l’altra classe di pesi, Cij , così facendo si ottiene d h = mh . Si nota subito la coincidenza dei
coefficienti di proporzionalità impiegati dal chain ladder classico e dalla sua variante a costo medio.
La possibile scelta di pesi vista prima non è l’unica, infatti possono essere impiegati pesi arbitrari che
abbiano, però lo stesso “effetto”: assegnare un’ importanza (in questo caso un peso) decrescente a rapporti di
anni più lontani.
40
Si confronti quanto detto con la (3).
39
48
k
R=∑
i =1
k
∑p
j = k −i +1
(9)
ij
Anche nell’impostazione originale è possibile stimare la riserva complessiva facendo
riferimento non già agli importi cumulati ma ai risarcimenti futuri stimati, in tale
circostanza la (3) diventerebbe
T
R=∑
T
∑P
i =1 j =t −i +1
(3 bis)
ij
L’utilizzo di importi cumulati o incrementali, al fine di definire la riserva sinistri, è una
scelta del tutto personale e non ha alcuna implicazione sul risultato finale; in entrambi i
casi il valore risultante sarà lo stesso.
(
T
)
Per dare prova di ciò si riprenda la R = ∑ Ci∞ − Ci ,T −i
i =0
)
e si sostituisca a Cij la sua
j
espressione in termini di importi incrementali,
Cij = ∑ Pik , da cui si ricava
k =o
T
T
T −i
⎛ ∞
⎞
R = ∑ ⎜ ∑ Pik − ∑ Pik ⎟ , che con le giuste semplificazioni diventa R = ∑
i =0
i =0 ⎝ k =0
k =0
⎠
∞
∑P
k =0
ik
.
L’ultima espressione è identica alla precedente (3 bis) ponendo T = ∞ nella seconda
sommatoria , sostituzione consentita dal momento che nel triangolo di run-off si è posto
che il numero degli anni di differimento fosse pari a T ; inoltre P0 k è un elemento della
matrice triangolare superiore e come tale non rientra nel calcolo della riserva sinistri,
pertanto nella prima sommatoria l’elemento i = 0 non va considerato, ottenendo in
T
conclusione R = ∑
i =1
T
∑P
k =t −i +1
ik
, uguale alla (3 bis).
Craighead nel 1980 ha messo in luce come l’essenza del metodo chain ladder è di
estrapolare i valori futuri ricercati da un insieme di dati noti usando i rapporti calcolati
come medie e applicarli successivamente alle coorti più recenti. Pertanto il metodo, da un
punto di vista astratto, è apparentemente adattabile a certi elementi che non
necessariamente devono essere i pagamenti dei sinistri. Una possibilità è di applicare il
metodo agli importi “incurred”, dove l’ammontare detto incurred per il periodo di origine
i , valutato alla fine del periodo di differimento j , è dato dal totale dei pagamenti effettuati
49
fino alla fine dell’anno di sviluppo j più la valutazione reale dei sinistri non pagati,
possibilmente considerando anche la componente degli IBNR.
1.2.3.1. La logica del metodo
Si definisce
j
I ij = ∑ Pik + Rij
(10)
k =0
dove i simboli hanno il seguente significato
j
∑P
k =0
ik
= somma dei pagamenti effettuati entro l’anno j per i sinistri della generazione i
Rij = ammontare della riserva nell’anno j per i sinistri avvenuti nell’anno i .
Quindi I ij è la valutazione dell’assicuratore alla fine del j − esimo anno di sviluppo per i
sinistri appartenenti all’ i − esimo anno di origine. Resta chiarito cosa si intende per
“incurred”, la somma degli importi dei sinistri pagati e riservati fino ad una specifica
antidurata per una determinata generazione.
Truckle ha intuito effettivamente che il metodo classico del chain ladder può essere
applicato agli I ij invece che ai Cij . Pertanto, la struttura del modello può essere della
forma I ij − I i , j −1 = α i ρ j , che richiama quanto visto precedentemente per il basic chain
ladder. In questo caso, però, il parametro ρ j ha un significato diverso rispetto a prima,
infatti, sarebbe meglio scrivere I ij − I i , j −1 = α iξ j , indicando con ξ j la proporzione
dell’ammontare degli incurred in un dato anno di origine riconosciuto dal cambiamento
delle stime concrete tra la fine delle antidurate j − 1 e j .
1.2.3.2. La stima della riserva sinistri
Al fine di stimare i fattori di sviluppo si utilizza la stessa procedura del chain ladder
classico41 a cui è necessario apportare una modifica: sostituire ai termini Cij i nuovi
41
Si rimanda al paragrafo 1.1.1. per le espressioni sulle formule da impiegare.
50
elementi I ij . I link ratios degli incurred hanno un significato diverso da quelli dei paid.
Infatti, mentre nel chain ladder classico definiscono la politica di liquidazione
dell’impresa, risultando il rapporto tra pagamenti, nel caso degli incurred i fattori m j
rappresentano l’errore di stima fatta in precedenza dalla compagnia. Pertanto, se per un
dato anno di differimento il valore di m j è maggiore dell’unità significa che l’impresa ha
dovuto aumentare gli accantonamenti rispetto all’esercizio precedente. In una tale
situazione è necessario che l’impresa incrementi la somma da riservare in misura pari al
fattore di proporzionalità convertito in percentuale.
Poiché la prerogativa indispensabile per poter applicare il metodo chain ladder è che ci sia
una certa costanza nel tempo, e quindi il rapporto tra colonne consecutive sia
proporzionale, nel caso in cui si dovesse avere una politica di riservazione costante nel
tempo, ma lo stesso non si avesse per la politica di liquidazione, è consigliabile applicare il
metodo chain ladder basato sugli incurred piuttosto che il basic chain ladder.
Anche per la stima dei sinistri non pagati si impiega lo stesso sistema di calcoli ricordando,
però, che gli importi di cui si sta facendo uso sono degli incurred e non semplicemente dei
pagamenti. Detto ciò, la valutazione dei futuri risarcimenti è
j
Pij = I ij ∏ β k − Cij
(11)
k =1
avendo indicato con β k i fattori di sviluppo.
Nella precedente formula è stato necessario sottrarre agli incurred gli importi cumulati già
pagati alla fine del j − esimo anno di differimento per ottenere la stima dei rimborsi per i
sinistri non ancora pagati. Inoltre, la (11) mostra i sinistri non pagati come proporzionali ai
sinistri avvenuti, gli incurred, sulla base degli accantonamenti effettivi. In tal modo diventa
sostanziale per le valutazioni dei sinistri non pagati l’effetto delle riserve accumulate negli
anni precedenti.
L’idea di base che sottende questo metodo è la sicurezza di poter utilizzare come guida per
la proiezione al futuro, sulla base dei dati di bilancio, la modalità in cui le entità degli
incurred si sono concretizzati in passato. In altre parole, si considera l’esperienza passata
come punto di partenza per poter effettuare le proiezioni future, ipotizzando che ci sia
costanza nel tempo. Sebbene l’idea sia semplice e rispettabile, il metodo presentato sopra
ha alcune difficoltà logiche. Infatti, non si accenna ad alcun adeguamento per l’aumento
dei sinistri, invece, il metodo chain ladder, applicato ai pagamenti realizzati, assume un
tasso di crescita dei sinistri costante da periodo a periodo. Con ciò non si esclude la
51
possibilità che lo stesso metodo possa essere cambiato apportando alcune modifiche, come
per esempio l’inflazione. Se l’adeguamento per inflazione è fatto ai valori del periodo base
u , allora bisogna riferirsi ad una diversa relazione,
I ij* = Cij* + Rij*
j
= ∑ Pik* + Rij*
k =0
⎡ j Pik
Rij ⎤
= λu ⎢∑ ( p ) + (r ) ⎥
⎣⎢ k =0 λi + k λi + j ⎦⎥
dove λ( p ) è l’indice di aumento applicato ai pagamenti dei sinistri esteso lungo un periodo
e λ(r ) applicato alle stime dei sinistri non pagati, valutate alla fine di un periodo.
Si può facilmente notare che il chain ladder basato sugli incurred dipende dalle stime
concrete dei sinistri non pagati, a differenza del chain ladder classico che fa riferimento
agli importi pagati e che pertanto è totalmente indipendente dagli accantonamenti creati
fino a quel periodo.
1.3. Applicazioni del basic chain ladder e delle sue varianti
Qui di seguito sono presentati alcuni esempi42 per meglio capire come operano il chain
ladder e le sue varianti43
1.3.1. Il metodo chain ladder basato sui pagati
Per poter stimare la riserva sinistri è sufficiente conoscere gli importi dei pagamenti
raccolti nel seguente triangolo
42
I valori coinvolti sono interamente frutto di invenzione, nonostante si sia cercato di rappresentare in
maniera più fedele possibile la realtà di un’impresa di medie dimensioni.
43
E’ ragionevole ipotizzare che i dati coinvolti negli esempi numerici facciano riferimento alla R.C.Auto.
52
1.3.1.1. Importi incrementali dei pagamenti in Euro.000
Gen
Ant.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12+
727
1.068
1993
28.446
29.251
12.464,
5.144
2.727
2.359
1.334
1.238
941
860
282
1994
31.963
36.106
13.441
5.868
2.882
2.422
918
1.076
734
458
456
1995
37.775
40.125
12.951
6.034
3.010
1.264
1.250
1.135
904
559
1996
40.418
44.499
15.370
5.594
2.616
1.984
2.137
1.184
873
1997
44.116
45.490
15.339
5.478
2.541
2.906
1.294
1.124
1998
50.294
48.040
17.843
7.035
3.934
2.726
2.267
1999
49.620
49.991
19.570
10.047
5.750
3.313
2000
46.410
49.694
20.881
8.202
4.714
2001
48.295
49.354
18.304
8.833
2002
52.590
50.606
18.604
2003
58.599
53.743
2004
60.361
I risarcimenti di ogni periodo di origine sono decrescenti per antidurata, il motivo è
semplice: nei primi anni di differimento si liquida il maggior numero di sinistri44,
ritardando il pagamento per i sinistri che richiedono una perizia maggiore. Lungo ciascuna
diagonale si leggono i pagamenti avvenuti nello stesso anno di calendario45 nonostante i
sinistri abbiano differenti periodi di origine.
Nell’ultima colonna è inserito un valore che è frutto di valutazioni approfondite da parte
dell’attuario, infatti, il dato in questione indica l’ammontare che la compagnia stima di
pagare per chiudere la generazione 1993, e come tale viene posto nel bilancio di fine
esercizio del 2004. In generale questi valori non sono molto elevati in quanto l’impresa
dopo un periodo di differimento così lungo come dodici anni è debitrice solo di pochi
sinistri, la gran parte dei quali implica un risarcimento per danni a persona.
Dal triangolo precedente si ricavano gli importi cumulati
44
Si veda quanto detto in merito nel primo capitolo.
Sono gli esborsi sostenuti dall’impresa nello stesso anno di bilancio per i sinistri di ognuna delle
generazioni considerate in questo esempio.
45
53
1.3.1.2. Importi cumulati dei pagamenti in Euro.000
Gen
Ant.
0
1
2
3
4
5
6
1993
28.446
57.697
70.161
75.305
78.032
80.391
81.725
82.963
1994
31.96
68.069
81.510
87.378
90.260
92.682
93.600
94.676
1995
37.775
77.900
90.851
96.885
99.895
101.159
102.409
103.544
104.448
105.007
1996
40.418
84.917
100.287
105.881
108.497
110.481
112.618
113.802
114.675
1997
44.116
89.606
104.945
110.423
112.964
115.870
117.164
118.288
1998
50.294
98.334
116.177
123.212
127.146
129.872
132.139
1999
49.620
99.611
119.181
129.228
134.978
138.291
2000
46.410
96.104
116.985
125.187
129.901
2001
48.295
97.649
115.953
124.786
2002
52.590
103.196
121.800
2003
58.599
112.342
2004
60.361
7
8
9
10
11
12+
83.904
84.764
85.046
85.773
86.841
95.410
95.868
96.324
L’esborso richiesto annualmente alla compagnia presenta valori crescenti se si considerano
anni di esercizio più recenti, tutto ciò coincide con quanto detto nel capitolo precedente per
quanto riguarda il costo medio del pagato. I valori della tabella 1.3.1.2. sono facilmente
ottenibili, è sufficiente sommare gli importi di una stessa generazione ma riferiti a due anni
di sviluppo consecutivi. In formule è così riprodotto Cij = Pij + Ci , j −1 dove i simboli hanno i
seguenti significati
Cij = somma di tutti i pagamenti effettuati entro l’anno j per quei sinistri appartenenti alla
generazione i
Pij = ammontare dei pagamenti nell’anno j dei sinistri avvenuti nell’anno i
Ci , j −1 = somma di tutti i pagamenti effettuati entro l’anno
j − 1 per quei sinistri
appartenenti alla generazione i .
j
Con altra notazione si può scrivere, in forma equivalente, C ij = ∑ Pil .
l =0
Si riprenda l’ultimo elemento dell’anno 2001. Il valore richiamato è ottenuto nel seguente
modo 124.786 = 115.953 + 8.833 oppure 124.786 = 48.295 + 49.354 + 18.304 + 8.833 .
L’obiettivo è di proiettare i dati lungo la diagonale principale.
Questa ultima tabella permette di calcolare il triangolo dei fattori di sviluppo
54
1.3.1.3. Il triangolo dei fattori di sviluppo
Ant.
Gen
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12+
1993
2,0283
1,2160
1,0733
1,0362
1,0302
1,0166
1,0151
1,0113
1,0102
1,0033
1,0085
1,0125
1994
2,1296
1,1975
1,0720
1,0330
1,0268
1,0099
1,0115
1,0078
1,0048
1,0048
1995
2,0622
1,1663
1,0664
1,0311
1,0127
1,0124
1,0111
1,0087
1,0054
1996
2,1010
1,1810
1,0558
1,0247
1,0183
1,0193
1,0105
1,0077
1997
2,0311
1,1712
1,0522
1,0230
1,0257
1,0112
1,0096
1998
1,9552
1,1815
1,0606
1,0319
1,0214
1,0175
1999
2,0075
1,1965
1,0843
1,0445
1,0245
2000
2,0708
1,2173
1,0701
1,0377
2001
2,0219
1,1874
1,0762
2002
1,9623
1,1803
2003
1,9171
2004
Di seguito sono riportati i coefficienti calcolati dal triangolo precedente e applicando la (1),
nonché quelli ottenuti dalla (1) ma con un diverso sistema di pesi46, (i + j ) invece di Cij ,
2
e infine i fattori di sviluppo calcolati come media aritmetica semplice su ogni colonna.
Nel triangolo 1.3.1.3. non è stata inserita la colonna relativa all’anno di differimento zero
poiché in relazione allo stesso anno non sono richieste alcune stime e di conseguenza non è
necessario calcolare il relativo link ratio.
I tre tipi di fattori di sviluppo sono sintetizzati nella tabella che segue
1.3.1.4. Fattori di sviluppo
m1
m2
m3
m4
m5
m6
m7
m8
m9
m10
m11
m12+
2,0171
1,1887
1,0679
1,0330
1,0226
1,0146
1,0113
1,0087
1,0066
1,0041
1,0085
1,0125
1,9964
1,1892
1,0693
1,0338
1,0225
1,0147
1,0111
1,0087
1,0065
1,0041
1,0085
1,0125
2,0261
1,1895
1,0679
1,0328
1,0228
1,0145
1,0116
1,0089
1,0068
1,0040
1,0085
1,0125
Media
ponderata
con pesi
Cij
Media
ponderata
con pesi
(i + j )2
Media
aritmetica
semplice
46
Per dare maggiore importanza ai dati più recenti.
55
I fattori di proporzionalità indicano al pedice a quale colonna si riferiscono, e pertanto,
come è ovvio attendersi, non esiste m0 perché nella prima non c’è alcun dato mancante e
che deve essere stimato. Il fattore di proporzionalità indicato con m∞ in questo esempio
numerico coincide con m12+ , e consentirà di stimare gli importi pagati con antidurata
almeno pari a dodici anni.
Guardando attentamente gli ultimi due anni di sviluppo si nota che in tutti e tre i casi i
coefficienti sono gli stessi. Per comprendere il motivo di una tale uguaglianza è sufficiente
osservare il triangolo dei fattori di sviluppo. Le ultime due colonne presentano un solo
valore e pertanto, nonostante si faccia una media semplice o ponderata, i risultati devono
necessariamente coincidere in tutti e tre i casi.
Dalla tabella 1.3.1.4. si osserva che nell’ultima riga i fattori di sviluppo, a parte qualche
anno, sono maggiori degli altri due casi implicando, in tal modo, degli importi futuri di
pagamento maggiori e di conseguenza una riserva complessiva maggiore.
I risarcimenti successivi alla data di valutazione, ovvero i pagamenti richiesti alla
compagnia, stimati mediante le tre tipologie di fattori m j sono i seguenti
1.3.1.5. Stima dei pagamenti cumulati futuri con pesi Cij (importi in Euro.000)
Gen
Ant.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12+
1993
86.841
1994
97.147
98.357
105.436
106.337
107.661
115.434
115.905
116.896
118.351
119.322
120.111
120.602
121.633
123.147
133.638
134.806
135.698
136.252
137.417
139.128
140.309
141.901
143.141
144.088
144.676
145.913
147.730
132.834
134.772
136.301
137.492
138.402
138.967
140.155
141.900
128.905
131.816
133.739
135.256
136.438
137.341
137.902
139.081
140.813
130.075
134.369
137.403
139.408
140.989
142.221
143.162
143.747
144.976
146.781
133.543
142.616
147.323
150.650
152.848
154.582
155.933
156.964
157.606
158.953
160.932
144.734
154.567
159.670
163.275
165.657
167.536
169.001
170.119
170.814
172.274
174.419
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
121.757
Ogni colonna della tabella ha lo stesso coefficiente di proporzionalità, in base a quanto
definito dalla (2). Esiste in verità un altro modo per calcolare i valori della 1.3.1.5., nel
56
caso in cui non si volesse utilizzare la (2); è sufficiente moltiplicare il cumulato della
colonna precedente per il fattore di sviluppo relativo alla colonna di riferimento per la
)
)
stima. In formule si ha Cij = Ci , j −1m j 47, che non è nient’altro che la (2) scritta in modo
diverso.
Anche impiegando gli altri due vettori dei coefficienti di proporzionalità si adotta lo stesso
procedimento e si ottiene pertanto
1.3.1.6. Stima dei pagamenti cumulati futuri con pesi (i + j ) (importi in Euro.000)
2
Gen
Ant.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12+
1993
86.841
1994
97.147
98.357
105.437
106.339
107.663
115.424
115.897
116.888
118.344
119.313
120.092
120.585
121.615
123.130
133.611
134.769
135.650
136.206
137.370
139.080
140.327
141.891
143.120
144.055
144.646
145.882
147.699
132.827
134.783
136.285
137.466
138.364
138.931
140.119
141.864
129.007
131.914
133.856
135.348
136.520
137.412
137.975
139.155
140.888
130.245
134.651
137.684
139.711
141.268
142.492
143.423
144.011
145.242
147.051
133.596
142.858
147.691
151.018
153.242
154.949
156.292
157.313
157.958
159.308
161.292
143.303
153.239
158.423
161.991
164.377
166.208
167.648
168.744
169.435
170.884
173.012
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
120.505
47
)
Si fa notare che volutamente si è scritto Ci , j −1 e non Ci , j −1 . Infatti, anche se i dati lungo la diagonale non
sono stimati, la notazione di cui sopra non fa perdere di generalità il concetto esposto.
57
1.3.1.7. Stima dei pagamenti cumulati futuri con media aritmetica (importi in
Euro.000)
Gen
Ant.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12+
1993
86.841
1994
97.147
98.357
105.431
106.333
107.657
115.455
115.922
116.912
118.368
119.338
120.149
120.635
121.666
123.181
133.667
134.854
135.771
136.319
137.485
139.197
140.292
141.915
143.174
144.148
144.731
145.968
147.785
132.865
134.787
136.347
137.556
138.492
139.052
140.240
141.987
128.874
131.814
133.722
135.268
136.469
137.397
137.952
139.131
140.864
130.067
134.327
137.392
139.380
140.993
142.244
143.211
143.790
145.019
146.825
133.629
142.699
147.373
150.736
152.917
154.686
156.058
157.120
157.755
159.103
161.084
145.470
155.343
160.432
164.093
166.467
168.393
169.887
171.042
171.734
173.202
175.358
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
122.297
Il passo successivo è di calcolare le riserve residue per ogni generazione e per i tre casi
)
analizzati in base alla Ci∞ − Ci ,T −i , conseguendo i risultati qui di seguito mostrati
(
)
1.3.1.8. Riserve residue per generazione pesi Cij (importi in Euro.000)
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
Totale
1.068
2.033
2.654
3.676
4.859
6.989
9.439
11.999
16.027
24.981
48.590
114.058
246.37448
1.3.1.9. Riserve residue per generazione pesi (i + j ) (importi in Euro.000)
2
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
Totale
1.068
2.033
2.656
3.669
4.842
6.941
9.408
11.963
16.102
25.251
48.950
112.651
245.531
1.3.1.10. Riserve residue per generazione con media aritmetica (importi in Euro.000)
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
Totale
1.068
2.033
2.650
3.693
4.893
7.058
9.494
12.086
16.078
25.025
48.742
114.997
247.816
48
Ottenuto mediante la (3).
58
La riserva più elevata la si riscontra nel terzo caso in base a quanto detto in merito ai fattori
di sviluppo. Le tre tipologie di stima presentano, invece, le medesime riserve per gli anni
1993 e 1994 perché i coefficienti m11 e m12+ sono uguali e, moltiplicati a uguali importi a
cui si sottraggono gli stessi valori dei pagamenti cumulati, restituiscono lo stesso valore. In
)
numeri si ha (a meno di approssimazioni decimali) C1994,11 = 96.324 ⋅1,0085 e
)
C1994,12 = 96.324 ⋅ 1.0085 ⋅ 1,0125 . Per ottenere la riserva della generazione 1994 si deve
svolgere la differenza in base a quanto detto per calcolare le riserve residue per ogni anno
)
)
Ci∞ − Ci ,T −i ,
che
nell’esempio
diventa
Ci ,12 − Ci , 2004−i ,
di
origine,
(
)
(
)
)
R1994 = C1994,12 − C1994,10 = 98.357 − 96.324 = 2.033 . Si può facilmente notare che i
precedenti calcoli sono uguali per i tre casi analizzati. Ancora più semplice è spiegare
perché la riserva del 1993 presenta gli stessi valori. In tutti e tre le tipologie esaminate i
dati coinvolti sono proprio i dati storici cumulati a cui si applica poi la differenza sopra
richiamata ottenendo R1993 = 86.841 − 85.773 = 1.068 che è esattamente ciò che si era
inserito come riserva della generazione più vecchia. Tale valore è determinato inizialmente
dall’attuario incaricato al fine di svolgere le analisi, e secondo il motivo esposto in
precedenza. La riserva sinistri, come è ovvio, aumenta per anno di generazione. La
compagnia, infatti, alla fine dell’esercizio 2004 ha pagato pochi sinistri dello stesso anno o
di anni immediatamente precedenti, invece ha chiuso definitivamente49 la generazione
1992, che infatti non compare nel triangolo di run-off, e deve pagare piccoli importi per i
sinistri accaduti in anni passati.
Fra le tre stime possibili della riserva sinistri l’attuario sceglierà, motivando tale scelta
nella nota integrativa, il valore più realistico e prudente in base alle caratteristiche tipiche
dell’impresa, valore che dovrà essere iscritto nel passivo del bilancio di fine esercizio
2004.
49
Nella pratica assicurativa è possibile riservare un sinistro anche per venti anni o più, ma questi riguardano
casi particolari (nel ramo R.C.Auto sono i sinistri con danni a persona di una certa entità).
59
1.3.2. Il metodo chain ladder con inflazione
Al fine di poter applicare la variante chain ladder inflation-adjusted è indispensabile
riprendere i dati di input già visti nella 1.3.1.1. e deflazionare tali importi50 attraverso i
tassi di inflazione registrati nei vari periodi di origine implicati nelle analisi. Per la
successiva fase di proiezione, l’attuario deve conoscere il vettore dei tassi di inflazione
previsti per il futuro. In ogni caso i tassi d’inflazione devono contenere cambiamenti
interni ed economici, tipicamente esterni all’impresa di assicurazione.
1.3.2.1. Tassi di inflazione per gli anni passati (valori in percentuale)
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
4,2
3,9
5,4
3,9
1,7
2,0
1,7
2,5
2,7
2,5
2,7
2,2
I tassi indicati sopra sono stati realmente registrati negli anni di riferimento. Per i tassi
futuri si ipotizza che gli stessi possano avere un andamento simile a quello esposto qui di
seguito
1.3.2.2. Tassi di inflazione per gli anni futuri (valori in percentuale)
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
2014
2015
2016
6,0
6,25
4,5
3,75
3,0
3,0
3,0
3,0
3,0
3,0
3,0
3,0
Per prima cosa si rivalutano gli importi pagati in base al tasso di inflazione registrato nei
periodi trascorsi
50
E’ opportuno procede in tal modo poiché si è implicitamente ipotizzato che il triangolo di run-off dei
pagamenti contenga già le variazioni per inflazione.
60
1.3.2.3. Importi deflazionati dei pagamenti in Euro.000
Gen
Ant.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12+
1993
27.251
28.110
11.791
4.943
2.681
2.312
1.311
1.207
916
839
274
711
1.068
1994
30.716
34.156
12.917
5.768
2.824
2.381
895
1.047
716
446
446
1995
35.735
38.560
12.731
5.913
2.959
1.232
1.216
1.107
880
547
1996
38.842
43.743
15.063
5.499
2.551
1.930
2.084
1.152
854
1997
43.366
44.580
15.078
5.341
2.472
2.833
1.259
1.099
1998
49.288
47.223
17.397
6.845
3.836
2.652
2.217
1999
48.776
48.741
19.042
9.796
5.595
3.240
2000
45.250
48.352
20.359
7.981
4.610
2001
46.991
48.120
17.810
8.639
2002
51.275
49.240
18.195
2003
57.017
52.561
2004
59.033
Adesso tutti gli importi sono espressi, poiché deflazionati, nella stessa moneta e come tali
sono omogenei. Dai dati in esame si ricava facilmente il triangolo dei pagamenti cumulati
1.3.2.4. Importi deflazionati dei pagamenti cumulati in Euro.000
Gen
Ant.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12+
82.346
83.414
1993
27.251
55.361
67.152
72.096
74.776
77.088
78.400
79.607
80.522
81.361
81.635
1994
30.716
64.873
77.790
83.558
86.382
88.763
89.658
90.705
91.421
91.866
92.312
1995
35.735
74.295
87.026
92.939
95.898
97.131
98.347
99.454
100.333
100.880
1996
38.842
82.584
97.647
103.146
105.696
107.627
109.710
110.862
111.716
1997
43.366
87.946
103.024
108.366
110.838
113.671
114.930
116.030
1998
49.288
96.511
113.908
120.753
124.589
127.241
129.459
1999
48.776
97.518
116.559
126.355
131.950
135.190
2000
45.250
93.602
113.961
121.942
126.552
2001
46.991
95.111
112.921
121.560
2002
51.275
100.515
118.710
2003
57.017
109.577
2004
59.033
Si può facilmente notare come gli importi siano minori di quelli visti prima nel caso del
chain ladder classico, ma nonostante ciò è sensato attendersi una riserva sinistri più elevata
dal momento che successivamente questi importi verranno incrementati in base
all’inflazione prevista, sia economica che propria della compagnia. Per verificare quanto
affermato sopra si procede con l’analisi e si confrontano i risultati ottenuti. Per far ciò è
prima necessario calcolare i fattori di proporzionalità, analogamente a quanto fatto prima si
61
presentano tre casi: media aritmetica ponderata con i pagamenti cumulati, caso tipico del
chain ladder, media aritmetica con pesi (i + j ) e media aritmetica semplice
2
1.3.2.5. Il triangolo dei fattori di sviluppo
Gen
Ant.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12+
1993
2,0315
1,2130
1,0736
1,0372
1,0309
1,0170
1,0154
1,0115
1,0104
1,0034
1,0087
1,0130
1994
2,1120
1,1991
1,0742
1,0338
1,0276
1,0101
1,0117
1,0079
1,0049
1,0049
1995
2,0791
1,1714
1,0679
1,0318
1,0129
1,0125
1,0113
1,0088
1,0054
1996
2,1262
1,1824
1,0563
1,0247
1,0183
1,0194
1,0105
1,0077
1997
2,0280
1,1714
1,0518
1,0228
1,0256
1,0111
1,0096
1998
1,9581
1,1803
1,0601
1,0318
1,0213
1,0174
1999
1,9993
1,1953
1,0840
1,0443
1,0246
2000
2,0686
1,2175
1,0700
1,0378
2001
2,0240
1,1873
1,0765
2002
1,9603
1,1810
2003
1,9218
2004
m1
m2
m3
m4
m5
m6
m7
m8
m9
m10
m11
m12+
2,0187
1,1891
1,0682
1,0332
1,0227
1,0147
1,0114
1,0088
1,0067
1,0042
1,0087
1,0130
1,9976
1,1894
1,0695
1,0339
1,0226
1,0148
1,0112
1,0088
1,0066
1,0042
1,0087
1,0130
2,0281
1,1899
1,0683
1,0330
1,0230
1,0146
1,0117
1,0090
1,0069
1,0041
1,0087
1,0130
Media
ponderata
con pesi
Cij
Media
ponderata
con pesi
(i + j )2
Media
aritmetica
semplice
Con ragionamento simile a quello fatto per il chain ladder classico si spiega perché le
ultime due colonne hanno gli stessi valori dei parametri.
Una volta determinati i coefficienti si procede in modo analogo al chain ladder e si
definiscono i pagamenti futuri e quindi li si rivalutano in base al tasso di inflazione
previsto per l’anno di pagamento
62
1.3.2.7. Stima dei pagamenti futuri deflazionati con pesi Cij (importi in Euro.000)
Gen
Ant.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12+
93.116
94.324
101.299
102.182
103.507
112.467
112.935
113.919
115.396
117.055
117.842
118.332
119.363
120.911
130.938
132.096
132.984
133.537
134.700
136.447
137.176
138.743
139.970
140.911
141.497
142.729
144.581
131.327
132.828
134.002
134.903
135.464
136.644
138.416
1993
83.414
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
129.426
2001
125.595
128.448
130.334
131.824
132.989
133.883
134.440
135.611
137.370
126.809
131.019
133.995
135.963
137.517
138.732
139.665
140.246
141.468
143.302
130.294
139.184
143.805
147.071
149.231
150.937
152.271
153.295
153.932
155.273
157.287
141.701
151.369
156.395
159.946
162.296
164.151
165.602
166.715
167.408
168.867
171.057
2002
2003
2004
119.171
1.3.2.8. Stima dei pagamenti futuri deflazionati con pesi (i + j ) (importi in Euro.000)
2
Gen
Ant.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12+
1993
83.414
1994
1995
101.301
1996
103.508
112.458
112.927
113.911
115.388
118.316
119.346
120.894
130.912
132.059
132.937
133.491
134.654
136.400
137.189
138.729
139.945
140.875
141.462
142.694
144.545
129.412
131.326
132.800
133.964
134.854
135.417
136.596
138.368
125.685
128.526
130.426
131.890
133.046
133.930
134.489
135.660
137.420
126.960
131.268
134.235
136.220
137.749
138.956
139.879
140.463
141.686
143.524
130.331
139.389
144.119
147.377
149.556
151.235
152.560
153.574
154.214
155.558
157.575
140.261
150.009
155.099
158.605
160.950
162.757
164.183
165.274
165.963
167.409
169.580
1999
2000
2001
2002
117.926
102.183
117.824
1998
2004
94.324
117.046
1997
2003
93.116
63
1.3.2.9. Stima dei pagamenti futuri deflazionati con media aritmetica (importi in
Euro.000)
Gen
Ant.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12+
1993
83.414
1994
93.116
94.324
101.295
102.177
103.502
112.488
112.951
113.935
115.413
117.072
117.881
118.366
119.397
120.946
130.970
132.147
133.061
133.608
134.772
136.519
138.763
140.009
140.977
141.557
142.790
144.642
1995
1996
1997
1998
1999
137.161
2000
129.463
131.350
132.884
134.078
135.005
135.560
136.741
138.514
125.574
128.463
130.335
131.858
133.042
133.962
134.513
135.684
137.444
126.815
131.004
134.017
135.971
137.558
138.794
139.754
140.329
141.551
143.387
130.382
139.284
143.884
147.194
149.340
151.084
152.441
153.495
154.126
155.469
157.485
142.454
152.181
157.207
160.823
163.168
165.073
166.556
167.707
168.397
169.864
172.067
2001
2002
2003
2004
119.724
1.3.2.10. Stima dei pagamenti futuri inflazionati con pesi Cij (importi in Euro.000)
Gen
Ant.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12+
1993
88.419
1994
98.703
1995
107.377
108.568
108.165
119.215
119.993
119.045
119.723
124.079
125.208
123.657
123.839
124.538
138.794
140.352
138.968
138.544
138.741
140.540
145.406
147.415
146.269
146.195
145.742
147.011
148.918
137.191
139.535
138.805
139.027
138.950
139.528
140.743
142.569
133.131
136.476
136.199
136.767
136.979
137.900
138.473
139.679
141.491
139.208
140.025
141.062
141.642
142.894
143.855
144.453
145.712
147.601
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
134.418
2003
2004
126.321
100.219
138.112
147.883
150.276
152.586
153.708
155.465
156.839
157.894
158.550
159.931
162.005
150.557
158.181
162.260
164.745
167.165
169.075
170.570
171.717
172.431
173.933
176.188
64
1.3.2.11. Stima dei pagamenti futuri inflazionati con pesi (i + j ) (importi in Euro.000)
2
Ant.
Gen
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12+
98.703
100.219
107.379
108.569
108.166
119.206
119.985
119.037
119.715
124.069
125.188
123.640
123.822
124.521
138.767
140.313
138.919
138.497
138.694
140.492
145.420
147.400
146.243
146.157
145.706
146.975
148.882
139.534
138.776
138.988
138.900
139.479
140.694
142.519
1993
88.419
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
137.177
2001
133.226
136.558
136.295
136.836
137.038
137.948
138.523
139.730
141.542
134.577
139.472
140.276
141.328
141.882
143.125
144.076
144.677
145.937
147.830
138.151
148.101
150.604
152.903
154.042
155.772
157.137
158.181
158.841
160.224
162.302
149.027
156.759
160.915
163.363
165.778
167.640
169.109
170.232
170.942
172.431
174.668
2002
2003
2004
125.001
1.3.2.12. Stima dei pagamenti futuri inflazionati con media aritmetica (importi in
Euro.000)
Ant.
Gen
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12+
1993
88.419
1994
98.703
1995
107.372
108.563
108.160
119.238
120.011
119.062
119.740
124.096
125.249
123.693
123.874
124.574
138.829
140.406
139.048
138.618
138.815
140.615
145.391
147.435
146.310
146.264
145.804
147.074
148.981
137.230
139.559
138.864
139.106
139.055
139.627
140.843
142.669
133.109
136.491
136.201
136.802
137.033
137.981
138.548
139.755
141.568
139.191
140.047
141.069
141.685
142.958
143.946
144.538
145.797
147.688
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
134.424
2003
2004
126.907
100.219
138.205
147.990
150.359
152.714
153.820
155.616
157.014
158.100
158.750
160.133
162.210
151.357
159.029
163.102
165.648
168.063
170.025
171.553
172.739
173.449
174.960
177.229
I valori riportati nelle 1.3.2.10., 1.3.2.11. e 1.3.2.12. sopra sono maggiori di quelli inseriti
nelle corrispondenti tabelle per il basic chain ladder perché in questo secondo caso si
stanno trattando importi inflazionati da cui si ricavano le riserve residue di seguito riportate
per i tre casi
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
Totale
6.073
7.907
7.285
8.007
8.509
11.082
13.728
16.017
19.931
28.892
52.428
117.115
297.014
65
2
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
Totale
6.073
7.907
7.286
7.999
8.481
11.034
13.692
15.967
19.982
29.120
52.725
115.634
295.911
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
Totale
6.073
7.907
7.280
8.024
8.544
11.156
13.791
16.118
20.008
28.979
52.632
118.196
298.708
Si può facilmente notare come le tre riserve complessive siano tutte superiori alle
precedenti per via dell’inflazione.
Anche in questo caso è possibile operare gli stessi ragionamenti visti prima per le
generazioni 1993 e 1994, perché, nonostante cambino i numeri, la logica di calcolo è
invariata. Resta chiarito, pertanto, il motivo dell’uguaglianza delle riserve delle prime due
generazioni in tutti e tre i casi.
1.3.3. Il metodo chain ladder con costi medi di generazione
Come detto in precedenza, la variante in esame presenta la stessa procedura di calcolo del
basic chain ladder, la differenza risiede nel considerare il triangolo dei costi medi dei
sinistri pagati e non il triangolo dei risarcimenti cumulati. Per calcolare i costi medi è
necessario disporre dell’insieme dei pagamenti, fornito dalla 1.3.1.1., e dai sinistri
denunciati e che non sono stati eliminati perché senza seguito. Il vettore dei sinistri
denunciati è il seguente
1.3.3.1. Sinistri denunciati con seguito
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
53.941
54.269
55.104
54.603
54.056
55.947
54.906
51.902
46.725
44.483
46.198
45.768
I dati precedenti sono stati ottenuti sottraendo dalla tabella 2.3.5. dei sinistri denunciati i
valori della 2.3.3. dei sinistri senza seguito. Sono stati detratti i sinistri senza seguito con
antidurata nulla per rendere i dati più omogenei. Il calcolo deve essere fatto per ogni
generazione.
66
Il triangolo dei costi medi dei sinistri denunciati è ottenuto rapportando i valori della
1.3.1.1. ai rispettivi della 1.3.3.1., come indicato sopra dalla sij =
pij
ni
1.3.3.2. Costi medi incrementali dei sinistri denunciati (importi in Euro.000)
Gen.
Ant.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12+
1993
0,5274
0,5423
0,2311
0,0954
0,0506
0,0437
0,0247
0,0230
0,0174
0,0159
0,0052
0,0135
0,0198
1994
0,5890
0,6653
0,2477
0,1081
0,0531
0,0446
0,0169
0,0198
0,0135
0,0084
0,0084
1995
0,6855
0,7282
0,2350
0,1095
0,0546
0,0229
0,0227
0,0206
0,0164
0,0101
1996
0,7402
0,8150
0,2815
0,1024
0,0479
0,0363
0,0391
0,0217
0,0160
1997
0,8161
0,8415
0,2838
0,1013
0,0470
0,0538
0,0239
0,0208
1998
0,8990
0,8587
0,3189
0,1257
0,0703
0,0487
0,0405
1999
0,9037
0,9105
0,3564
0,1830
0,1047
0,0603
2000
0,8942
0,9575
0,4023
0,1580
0,0908
2001
1,0336
1,0563
0,3917
0,1890
2002
1,1822
1,1376
0,4182
2003
1,2684
1,1633
2004
1,3188
Sommando per riga si consegue il triangolo dei costi medi cumulati
1.3.3.3. Costi medi cumulati dei sinistri denunciati (importi in Euro.000)
Gen.
Ant.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12+
1993
0,5274
1,0696
1,3007
1,3961
1,4466
1,4904
1,5151
1,5380
1,5555
1,5714
1,5766
1,5901
1,6099
1994
0,5890
1,2543
1,5020
1,6101
1,6632
1,7078
1,7247
1,7446
1,7581
1,7665
1,7749
1995
0,6855
1,4137
1,6487
1,7582
1,8128
1,8358
1,8585
1,8791
1,8955
1,9056
1996
0,7402
1,5552
1,8367
1,9391
1,9870
2,0234
2,0625
2,0842
2,1002
1997
0,8161
1,6577
1,9414
2,0428
2,0898
2,1435
2,1675
2,1882
1998
0,8990
1,7576
2,0766
2,2023
2,2726
2,3213
2,3619
1999
0,9037
1,8142
2,1706
2,3536
2,4583
2,5187
2000
0,8942
1,8516
2,2540
2,4120
2,5028
2001
1,0336
2,0899
2,4816
2,6706
2002
1,1822
2,3199
2,7381
2003
1,2684
2,4318
2004
1,3188
Dalla matrice precedente si elabora il triangolo di run-off dei fattori di sviluppo
67
1.3.3.4. Triangolo dei fattori di sviluppo
Gen.
Ant.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12+
1993
2,0283
1,2160
1,0733
1,0362
1,0302
1,0166
1,0151
1,0113
1,0102
1,0033
1,0085
1,0125
1994
2,1296
1,1975
1,0720
1,0330
1,0268
1,0099
1,0115
1,0078
1,0048
1,0048
1995
2,0622
1,1663
1,0664
1,0311
1,0127
1,0124
1,0111
1,0087
1,0054
1996
2,1010
1,1810
1,0558
1,0247
1,0183
1,0193
1,0105
1,0077
1997
2,0311
1,1712
1,0522
1,0230
1,0257
1,0112
1,0096
1998
1,9552
1,1815
1,0606
1,0319
1,0214
1,0175
1999
2,0075
1,1965
1,0843
1,0445
1,0245
2000
2,0708
1,2173
1,0701
1,0377
2001
2,0219
1,1874
1,0762
2002
1,9623
1,1803
2003
1,9171
2004
Applicando la (6) al triangolo precedente si ottengono i seguenti fattori di sviluppo
d0
d1
d2
d3
d4
d5
d6
d7
d8
d9
d10
d11
1,9964
1,1892
1,0693
1,0338
1,0225
1,0147
1,0111
1,0087
1,0065
1,0041
1,0085
1,0125
I coefficienti di proporzionalità sono necessari per stimare i risarcimenti futuri proiettando
i pagamenti realizzati in data di valutazione, cioè i dati dell’ultima diagonale
1.3.3.6. Stima dei pagamenti medi cumulati futuri (importi in Euro.000)
Gen.
Ant.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12+
1,7901
1,8124
1,9134
1,9298
1,9538
2,1139
2,1225
2,1407
2,1673
2,2072
2,2216
2,2307
2,2498
2,2778
2,3882
2,4089
2,4246
2,4345
2,4554
2,4859
2,5558
2,5843
2,6066
2,6237
2,6344
2,6569
2,6900
2,5592
2,5969
2,6258
2,6486
2,6659
2,6768
2,6997
2,7333
2,7610
2,8232
2,8648
2,8967
2,9218
2,9409
2,9529
2,9782
3,0153
2,9280
3,0270
3,0952
3,1408
3,1758
3,2033
3,2242
3,2374
3,2651
3,3058
2,8918
3,0923
3,1969
3,2689
3,3171
3,3540
3,3831
3,4052
3,4191
3,4484
3,4913
3,1311
3,3482
3,4614
3,5394
3,5915
3,6315
3,6630
3,6869
3,7021
3,7337
3,7802
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2,6330
68
Si procede dunque con il calcolo dei pagamenti futuri
1.3.3.7. Stima dei pagamenti futuri (importi in Euro.000)
Ant.
Gen.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12+
823
1.210
430
901
1.324
749
473
991
1.455
1.025
780
492
1.031
1.514
1.472
1.157
881
556
1.164
1.710
2.036
1.564
1.229
935
590
1.236
1.816
2.926
1.956
1.502
1.181
898
567
1.188
1.745
2.906
1.942
1.492
1.172
892
563
1.179
1.733
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
4.221
2002
2003
2004
60.144
8.445
4.406
3.033
2.027
1.557
1.224
931
588
1.231
1.808
21.254
9.262
4.833
3.327
2.224
1.708
1.342
1.021
645
1.350
1.984
22.798
9.935
5.184
3.569
2.385
1.832
1.440
1.095
692
1.448
2.128
La somma per riga restituisce le riserve di ogni generazione. Per l’anno 1993 si accantona
il valore previsto dall’attuario e presente come elemento aggiuntivo nella matrice iniziale
contenente i pagamenti effettuati dalla compagnia
1.3.3.8. Riserve residue per generazione (importi in Euro.000)
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
Totale
1.068
2.033
2.656
3.669
4.842
6.941
9.408
11.963
16.102
25.251
48.950
112.651
245.531
La riserva complessiva presenta il più basso importo di tutti quelli visti finora, ma anche in
relazione ai successivi esempi sarà comunque inferiore e più vicino al valore di bilancio
della riserva sinistri.
Infine si presenta un esempio operativo anche per la variante basata sui sinistri pagati e
riservati. I dati storici di riferimento sono raccolti nel triangolo 1.3.1.1. per quanto riguarda
i pagamenti, gli importi riservati,invece, presentano i seguenti valori
69
1.3.4.1. Importi riservati in Euro.000
Gen.
Ant.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1993
56.551
26.907
12.910
7.836
6.201
4.555
3.806
3.189
2.792
1.987
1.784
1.068
1994
63.344
25.706
12.497
7.797
6.088
4.289
3.743
2.915
2.252
1.762
1.795
1995
66.954
25.502
13.034
8.177
5.767
4.623
3.620
2.547
1.804
1.853
1996
72.768
26.613
13.663
9.695
7.363
6.052
4.111
3.060
1.901
1997
76.338
29.399
16.012
10.904
8.774
6.308
5.255
2.845
1998
83.493
37.080
19.807
14.191
11.144
8.161
4.926
1999
92.136
44.671
25.963
17.438
12.034
7.718
2000
97.059
47.808
26.658
17.590
12.339
2001
94.658
44.919
26.905
18.725
2002
104.836
48.968
29.487
2003
112.265
47.921
2004
107.822
Per riuscire ad avere il run-off degli incurred è necessario sommare i relativi elementi della
1.3.1.2. e della 1.3.3.1. conseguendo
1.3.4.2. Importi pagati e riservati in Euro.000
Gen
Ant.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1993
84.997
84.604
83.071
83.141
84.233
84.946
85.531
86.152
86.696
86.751
86.830
86.841
1994
95.307
93.775
94.007
95.175
96.348
96.971
97.343
97.591
97.662
97.630
98.119
1995
104.729
103.402
103.885
105.062
105.662
105.782
106.029
106.091
106.252
106.860
1996
113.186
111.530
113.950
115.576
115.860
116.533
116.729
116.862
116.576
1997
120.454
119.005
120.957
121.327
121.738
122.178
122.419
121.133
1998
133.787
135.414
135.984
137.403
138.290
138.033
137.065
1999
141.756
144.282
145.144
146.666
147.012
146.009
2000
143.469
143.912
143.643
142.777
142.240
2001
142.953
142.568
142.858
143.511
2002
157.426
152.164
151.287
2003
170.864
160.263
2004
168.183
Gli elementi della matrice triangolare precedente consento di calcolare i fattori di sviluppo
per ogni periodo di origine e antidurata
70
1.3.4.3. Triangolo dei fattori di sviluppo
Gen
Ant.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1993
0,9954
0,9819
1,0008
1,0131
1,0085
1,0069
1,0073
1,0063
1,0006
1,0009
1,0001
1994
0,9839
1,0025
1,0124
1,0123
1,0065
1,0038
1,0025
1,0007
0,9997
1,0050
1995
0,9873
1,0047
1,0113
1,0057
1,0011
1,0023
1,0006
1,0015
1,0057
1996
0,9854
1,0217
1,0143
1,0025
1,0058
1,0017
1,0011
0,9976
1997
0,9880
1,0164
1,0031
1,0034
1,0036
1,0020
0,9895
1998
1,0122
1,0042
1,0104
1,0065
0,9981
0,9930
1999
1,0178
1,0060
1,0105
1,0024
0,9932
2000
1,0031
0,9981
0,9940
0,9962
2001
0,9973
1,0020
1,0046
2002
0,9666
0,9942
2003
0,9380
2004
La variante in esame, a differenza del chain ladder classico con e senza inflazione, non
considera la colonna relativa al 12 − esimo anno di differimento per stimare la riserva
sinistri. I coefficienti di proporzionalità relativi alle antidurate coinvolte sono riportati di
seguito
m1
m2
m3
m4
m5
m6
m7
m8
m9
m10
m11
0,9872
1,0034
1,0066
1,0045
1,0016
1,0010
0,9996
1,0012
1,0022
1,0031
1,0001
0,9818
1,0026
1,0056
1,0032
1,0007
1,0004
0,9989
1,0010
1,0023
1,0031
1,0001
0,9886
1,0032
1,0068
1,0053
1,0024
1,0016
1,0002
1,0015
1,0020
1,0030
1,0001
Media
ponderat
a con
pesi
Cij
Media
ponderat
a con
pesi
(i + j )2
Media
aritmetic
a
semplice
71
Nonostante i dati implicati nei calcoli siano differenti, si nota ancora che la 11 − esima
colonna presenta gli stessi valori per tutti indipendentemente dei pesi impiegati per la
determinazione dei link ratios51
1.3.4.5. Stima degli incurred futuri con pesi Cij (importi in Euro.000)
Gen.
Ant.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1993
1994
98.131
1995
107.189
107.203
116.829
117.189
117.204
121.279
121.542
121.917
121.932
137.007
137.172
137.470
137.894
137.911
1996
1997
1998
1999
146.157
146.095
146.271
146.589
147.041
147.059
142.470
142.614
142.554
142.726
143.036
143.477
143.495
144.156
144.389
144.535
144.475
144.649
144.963
145.409
145.428
152.284
152.968
153.216
153.371
153.306
153.491
153.824
154.298
154.318
160.801
161.860
162.588
162.851
163.016
162.947
163.143
163.498
164.001
164.022
166.590
167.688
168.442
168.714
168.885
168.814
169.017
169.384
169.906
169.928
10
11
107.194
107.207
116.844
117.209
117.223
121.252
121.530
121.910
121.925
136.910
137.044
137.359
137.788
137.805
146.071
145.905
146.048
146.384
146.841
146.860
142.341
142.401
142.240
142.380
142.707
143.152
143.170
144.077
144.138
143.974
144.115
144.446
144.898
144.916
2000
2001
2002
2003
2004
166.033
1.3.4.6. Stima degli incurred futuri con pesi (i + j ) (importi in Euro.000)
2
Gen.
Ant.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1993
1994
98.131
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
143.974
2002
2003
2004
51
165.120
152.131
152.622
152.730
152.795
152.622
152.772
153.122
153.601
153.620
160.678
161.574
162.096
162.211
162.280
162.096
162.255
162.627
163.135
163.156
165.547
166.471
167.008
167.127
167.198
167.008
167.172
167.556
168.079
168.100
Si rimanda sopra per i commenti a riguardo.
72
1.3.4.7. Stima degli incurred futuri con media aritmetica (importi in Euro.000)
Gen.
Ant.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1993
1994
98.131
1995
107.176
107.190
116.810
117.156
117.171
121.318
121.562
121.922
121.937
137.093
137.303
137.579
137.986
138.003
1996
1997
1998
1999
146.245
146.275
146.499
146.793
147.227
147.246
142.582
142.812
142.841
143.060
143.347
143.771
143.790
144.266
144.612
144.846
144.876
145.097
145.389
145.819
145.837
152.319
153.120
153.488
153.736
153.767
154.002
154.312
154.768
154.788
160.771
161.868
162.719
163.110
163.373
163.407
163.657
163.986
164.471
164.492
166.797
167.935
168.818
169.223
169.497
169.532
169.791
170.132
170.636
170.657
2000
2001
2002
2003
2004
166.270
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
Totale
1.068
1.807
2.196
2.529
3.644
5.772
8.768
13.594
20.642
32.518
51.680
109.567
253.785
2
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
Totale
1.068
1.807
2.200
2.548
3.637
5.666
8.569
13.269
20.130
31.820
50.814
107.739
249.269
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
Totale
1.068
1.807
2.183
2.496
3.649
5.864
8.955
13.889
21.051
32.988
52.150
110.296
256.397
Si noti l’analogia dei risultati conseguiti con il metodo chain ladder basato sui paid.
Sempre per lo stesso motivo discusso in precedenza, anche in questa ultima analisi svolta
le riserve sinistri delle generazioni 1993 e 1994 hanno esattamente gli stessi valori. Infine,
si vuole mettere in evidenza l’importanza, da un punto di vista numerico, della riserva
dell’ultima generazione. Infatti l’anno 2004 ha mostrato sempre un ammontare pari al
doppio della generazione precedente, in virtù di ciò che si è sempre sostenuto: l’ultima
generazione si presenta con pochi sinistri chiusi e la gran parte ancora da liquidare, a
differenza delle generazioni più lontane. Resta chiaro il motivo di saper stimare
correttamente le riserve di ogni anno e in particolar modo dell’ultimo anno di bilancio
poiché concorrono alla determinazione della riserva sinistri complessiva il cui valore sarà
73
inserito nel passivo del bilancio di ciascuna impresa e su cui in seguito l’Isvap vigilerà e
trarrà le proprie conclusioni.
Per avere modo di capire in modo migliore la diversità di valore delle riserve generazionali
si presenta di seguito una serie di grafici in cui lungo l’asse delle ascisse si leggono i
diversi anni di origine coinvolti nelle analisi
Grafico 1. Riserva sinistri Basic Chain Ladder
Basic Chain Ladder
300.000
250.000
200.000
150.000
100.000
50.000
Classico
Pesi (i+j)2
Media Aritmetica
Il grafico 1. mostra l’ammontare della riserva sinistri secondo il basic chain ladder con i tre
diversi tipi di pesi visti precedentemente. Per le prime generazioni la differenza dei valori
registrati nei tre casi è abbastanza irrilevante. Al contrario la diversità si nota soprattutto
per la generazione di bilancio, e per la riserva complessiva il cui importo minore si ottiene
con i pesi (i + j ) .
2
Nonostante ciò nei tre casi le stime delle riserve sono omogenee.
Grafico 2. Riserva sinistri Chain Ladder Costo Medio di Generazione
300.000
Chain Ladder Costo Medio di Generazione
250.000
200.000
150.000
100.000
50.000
Classico
Pesi (i+j)2
Media Aritmetica
74
Anche nel grafico 2. si riscontra la stessa omogeneità di valori vista prima.
La valutazione più bassa è riportata dall’utilizzo della media aritmetica come pesi nella
determinazione dei link ratios. Nello stesso grafico è messa in luce la coincidenza di
quanto detto in teoria tra il sistema di pesi (i + j ) e il sistema di pesi classici del chain
2
ladder. La diversità della stima della riserva per l’anno 2004 è dovuta alla non coincidenza
dei primi link ratios che influenzano di conseguenza l’ultimo accantonamento di bilancio.
Grafico 3. Riserva sinistri Incurred Chain Ladder
Incurred Chain Ladder
300.000
250.000
200.000
150.000
100.000
50.000
-
Classico
Pesi (i+j)2
Media Aritmetica
La scala delle coordinate è la medesima in tutti i grafici; in tal modo è più immediato un
confronto con le due rappresentazioni precedenti. Alla data di valutazione l’andamento
delle riserve di generazione è convesso. Il grafico 3. risulta più simile al primo grafico in
cui il sistema di pesi (i + j ) restituisce dei valori più bassi rispetto agli altri due casi che,
2
invece, presentano stime analoghe. Tuttavia i valori ottenuti sono abbastanza coerenti.
Grafico 4. Riserva sinistri Inflation Adjusted Chain Ladder
300.000
Inflation Adjusted Chain Ladder
250.000
200.000
150.000
100.000
50.000
Classico
Pesi (i+j)2
Media Aritmetica
75
La variante del chain ladder con inflazione restituisce le stime più elevate come si è già
osservato numericamente. Nonostante ciò, l’andamento della riserva per le varie
generazioni è analogo a quanto visto negli altri grafici.
Grafico 5. Riserva sinistri con pesi classici del Chain Ladder Cij
300.000
Pesi classici del Chain Ladder
250.000
200.000
150.000
100.000
50.000
Basic Chain Ladder
Costo Medio di Generazione
Un confronto diretto tra il chain ladder e tutte le sue varianti mette in risalto come il chain
ladder inflation adjusted presenta il valore complessivo di riserva più elevato, malgrado per
alcune generazioni le stime siano prossime o addirittura inferiori alle stime ottenute con gli
altri criteri di valutazione.
Grafico 6. Riserva sinistri con pesi (i + j )
2
2
300.000
Pesi (i+j)
250.000
200.000
150.000
100.000
50.000
Basic Chain Ladder
76
Anche se muta il sistema di pesi, l’andamento della riserva resta invariato per il metodo
chain ladder e le sue varianti. Il chain ladder con inflazione continua a mostrare una stima
più elevata che negli altri casi.
Grafico 7. Riserva sinistri pesi dati dalla media aritmetica
300.000
Media Aritmetica
250.000
200.000
150.000
100.000
50.000
Basic Chain Ladder
Tutti i grafici hanno la stessa scala e diventa più facile poter effettuare dei confronti.
La generazione 2004 predomina sugli altri anni in termini di riserva globale; il valore più
elevato per lo stesso periodo di origine lo si consegue con i coefficienti calcolati come
media aritmetica dell’inflation-adjusted chain ladder, proprio perché si fa ricorso ai tassi di
inflazione futuri stimati secondo una certa logica.
Thomas Mack ha dimostrato che i fattori di sviluppo valutati in modo classico, cioè
prendendo come sistema di pesi gli elementi Cij , restituiscono degli stimatori corretti dei
veri fattori; anche calcolando la media aritmetica dei singoli rapporti si ottengo stimatori
non distorti ma questi, al contrario dei primi, possiedono una varianza maggiore.
L’inferenza statistica definisce stimatore efficiente quello stimatore non distorto con
varianza minima, e insegna a preferire fra tanti stimatori proprio quello efficiente.
In questo contesto sono state presentate alcune delle infinite possibili varianti del chain
ladder. Per esempio, con riferimento ai fattori di sviluppo l'attuario può calcolare la riserva
sinistri impiegando il valore massimo o minimi52 per colonna dei fattori individuali. Inoltre
è possibile impiegare un differente, purché coerente e valido, sistema di pesi.
L’attuario, quindi, in base a quanto detto, dopo aver calcolato i coefficienti di
proporzionalità con i pesi che preferisce, dovrebbe sempre far cadere la propria scelta al
sistema di pesi dato dal triangolo degli importi cumulati dei pagamenti.
52
Un esempio in merito sarà fatto nell’ultimo paragrafo del capitolo.
77
1.4. Vantaggi e svantaggi del metodo chain ladder
Presentato nel modo in cui lo è stato, il metodo sviluppa una procedura di stima basata sui
rapporti dei pagamenti. E' intuitivo, e fino ad un certo punto empiricamente supportato, che
un metodo che procede dal calcolo dei rapporti dei pagamenti cumulati, al fine di ottenere i
fattori di proporzionalità, e successivamente moltiplica a catena tali rapporti così ottenuti,
restituisca, molto probabilmente, dei valori altamente variabili53. Il metodo richiede che
venga soddisfatta l’ipotesi di costanza nel tempo della progressione dei pagamenti
cumulati. Pertanto non è applicabile quando i dati, e quindi lo sviluppo, può essere
modificato da fattori endogeni o esogeni che precludono la possibilità che esista una
qualche stabilità del triangolo coinvolto nella previsione. Uno svantaggio del chain ladder
è quello di proiettare al futuro la percentuale dei sinistri passati, determinando in tal modo
una rilevante dipendenza della stima dei pagamenti, e del numero dei sinistri che saranno
effettuati in futuro. E’ consigliabile pertanto effettuare un’analisi preliminare dei dati al
fine di evitare errori inutili. Infatti, per poter applicare il metodo chain ladder non si
devono avere significativi cambiamenti per anni di calendario, perché effetti su Cij , cioè su
anni di calendario influiscono sui fattori di sviluppo che quindi saranno più o meno grandi
del normale. Se non si hanno significativi cambiamenti per anni di calendario si può far
ricorso al metodo chain ladder, e di conseguenza alle sue varianti.
Forse il più grande svantaggio del chain ladder è di proiettare al futuro la media, in qualche
modo, del tasso di aumento dei sinistri del passato. Tutto ciò comporta due inconvenienti.
Primo, poiché il caricamento per la futura inflazione è implicita, la sua grandezza non è
chiara. Secondo, poiché il caricamento per la futura inflazione è essenzialmente una media
dei tassi di inflazione passati, può non essere appropriato per il futuro.
Per ovviare a questi inconvenienti alcuni studiosi hanno tentato di apportare delle
modifiche.
Berquist e Sherman nel 1977 hanno presentato alcune versioni diverse rispetto a quella
classica del chain ladder. I loro studi si sono concentrati sui rapporti
Ci , j +1
Cij
che non
necessariamente devono essere costanti nel tempo, ma al contrario, possono presentare dei
trends. Il loro obiettivo è stato proprio quello di identificare tali trends per poterli
proiettare.
53
La stessa critica può essere avanzata all’inflation-adjusted chain ladder.
78
Kremer in un suo lavoro del 1982 ha esaminato il chain ladder in una struttura del modello
ANOVA, e ha potuto constatare la connessione esistente tra gli stimatori da lui trovati e
quelli presentati nella sezione 1.1.1.
Una questione differente è stata trattata da Hachemeister e Stanard nel 1975, i quali si sono
occupati dei sinistri IBNR. Gli stessi hanno denotato con Pij il numero di sinistri avvenuti
nell’anno i − esimo ma denunciati con j anni di differimento. Il loro intento è stato di
)
stimare il valore di Pik dei sinistri aventi origine nell’anno i e non ancora registrati alla
fine del k − esimo anno di sviluppo. Gli autori hanno dimostrato che se i sinistri di un dato
periodo di origine sono distribuiti come una binomiale multipla, allora il metodo chain
ladder esposto sopra fornisce la stima di massima verosimiglianza.
Mettendo a confronto il basic chain ladder con il chain ladder basato sugli incurred, la
superiorità di un metodo di analisi rispetto ad un altro può essere valutata in termini di
adattamento del modello ai dati e della probabile variazione per i sinistri non pagati e
proiettati. Forse sarebbe meglio affermare che un metodo di stima è preferito se definisce
la più piccola deviazione quadratica media54 associata alle stime degli esborsi ancora da
sostenere. In tal modo quindi si può supporre di ottenere delle migliori stime applicando
alle generazioni più recenti un metodo basato sui pagamenti e utilizzando dei modelli
incurred per i periodi di origine più lontani. In linea di principio, tuttavia, la procedura più
appropriata apparirebbe quella di applicare separatamente i metodi sopra citati ai dati
storici, al fine di valutare i risarcimenti futuri; considerare tutte le possibili selezioni delle
generazioni a cui i metodi basati sui pagamenti o sugli incurred possono essere applicati e
calcolare, per ogni selezione, la varianza dei pagamenti totali stimati e sulla base di questo
ultimo risultato scegliere la combinazione tra i due metodi che minimizza la varianza dei
sinistri non ancora liquidati. Inoltre, se i parametri coinvolti nel metodo basato sugli
incurred mostrano la varianza più piccola, non c’è alcun motivo di rifiutare tale metodo in
favore di altri, poiché lo stesso restituisce dei valori per i sinistri non pagati che segnalano
anch’essi la più bassa varianza.
Infine si ricordi che gli accantonamenti effettivamente realizzati spesso forniscono il primo
avvertimento nel caso dovessero presentarsi cambiamenti improvvisi. Nell’eventualità in
cui dovessero verificarsi mutamenti repentini per le riserve storiche, l’attuario deve
affrettarsi, possibilmente anticipando i cambiamenti, a correggere di conseguenza le
proprie stime.
54
Deviazione rispetto al vero ma sottostante valore.
79
Nonostante gli inconvenienti elencati sopra, il metodo chain ladder continua ad essere
ampiamente applicato ai dati grazie alla sua semplicità di calcolo.
2. Il metodo Fisher-Lange
Un metodo di costo medio, denominato FISHER–LANGE, fu proposto nell’articolo di W.
Fisher e J. Lange dal titolo “Loss Reserve Testing: A Report Year Approach”. Di origine
americana, è stato in seguito perfezionato e interpretato nuovamente in Italia e risulta poco
utilizzato altrove. La riserva sinistri è calcolata, per ogni generazione, come prodotto tra le
stime del numero dei sinistri e il costo medio corrispondente, opportunamente corretto per
gli effetti di inflazione endogena (claim inflation) ed esogena (inflazione economica). Sulla
base dei dati storici si calcolano le velocità di liquidazione e le aliquote dei sinistri con
seguito, al fine di proiettare il numero di sinistri che saranno pagati nei differenti anni di
sviluppo, i valori così ottenuti verranno moltiplicati per il costo medio precedentemente
determinato, e la somma di tutti i prodotti fornirà la stima della riserva sinistri globale.
Dai primi anni Ottanta nel ramo R.C.Auto italiano ha avuto ampia applicazione il metodo
in esame. In quegli anni, infatti, non era ancora in vigore la liberalizzazione delle tariffe,
ma esisteva un’unica tariffa auto calcolata dalla Commissione del Ministero che
recuperava i dati di più interesse dal mercato italiano, a cominciare dal rapporto sinistri a
premi, inserendo nel numeratore tra i sinistri avvenuti sia i pagati sia i riservati. Le
compagnie italiane fornivano i dati richiesti alla Commissione che era in grado di costruire
il rapporto sinistri a premi. Nella eventualità in cui una o più compagnie si fossero trovate
in difficoltà economiche e avessero ridotto artificialmente le riserve, il rapporto in
questione sarebbe strato compromesso, risultando più basso del reale a causa di una
sottostima della riserva sinistri compiuta da alcune compagnie. Poiché la riserva sinistri è
coinvolta nella tariffazione, ne segue che se la riserva non è sufficiente i premi che
dovrebbero essere applicati nell’esercizio seguente risulteranno insufficienti a risarcire i
sinistri futuri, e la compagnia avrà accumulato inadeguatezze passate nonché future. Al
fine di evitare un tale problema, la Commissione calcolava nuovamente tutte le riserve
sinistri delle differenti compagnie, e cercava di ottenere il migliore risultato utilizzando il
metodo Fisher-Lange.
80
2.1. Le assunzioni del metodo
Al fine di ottenere una stima della riserva sinistri con il metodo in questione è necessario
avere a disposizione i seguenti dati, numericamente superiori rispetto al metodo chain
ladder,
•
il numero totale dei sinistri denunciati, per anno di generazione,
•
il numero di sinistri pagati, distinti per anno di generazione e anno di sviluppo,
•
il numero di sinistri riservati, distinti per anno di generazione e anno di sviluppo,
•
il numero di sinistri senza seguito, distinti per anno di generazione e anno di
sviluppo,
•
il numero dei sinistri riaperti, distinti per anno di generazione e anno di sviluppo,
•
gli importi dei sinistri pagati, distinti per anno di generazione e anno di sviluppo.
Inoltre occorre effettuare delle ipotesi per quanto riguarda i tassi di inflazione esogena e i
tassi di inflazione endogena, oltre ai tassi di adeguamento dei costi medi in funzione
dell’antidurata, e infine si deve stabilire il numero di bilanci da considerare ai fini della
stima delle aliquote del numero dei sinistri con seguito.
La logica implicita in tale metodo è quella di determinare la velocità di liquidazione futura
sulla base dei dati storici, e successivamente moltiplicarla per il numero dei sinistri
riservati e per l’aliquota dei sinistri con seguito, ottenendo in tal modo il numero dei
sinistri che verranno liquidati nei futuri esercizi. Separatamente viene calcolato il costo
medio dei sinistri e lo si adegua all’anno di valutazione in base ai tassi di inflazione
esogena ed endogena e ai tassi di adeguamento precedentemente ipotizzati. A questo punto
si moltiplicano i costi medi per la rispettiva stima del numero dei sinistri liquidati in
seguito al fine di ottenere la stima dei costi futuri distinti per anno di generazione e anno di
sviluppo, sommando per riga si determinano le riserve residue per anno di generazione la
cui somma restituisce il valore complessivo della riserva sinistri che dovrà essere posto
nell’apposita voce del bilancio di esercizio.
In poche parole si calcola la velocità di liquidazione sulla base dei sinistri effettivamente
pagati e la si proietta al futuro. In tal modo è possibile ricavare il numero di sinistri che
saranno pagati in futuro, che moltiplicati per il rispettivo costo medio individuerà
l’ammontare necessario all’impresa per risarcire i sinistri denunciati alla data di
valutazione, cioè la riserva sinistri.
Le aliquote dei sinistri con seguito sono ricavate, per ogni generazione i e anno di
sviluppo j , in base alla seguente formula
81
T −i
aliqi , j =
∑n
h = j +1
ih
+ RiT
Rij
(12)
avendo posto
T = anno di valutazione
i = anno di generazione
j = anno di sviluppo
Rij = numero sinistri riservati per la generazione i nell’anno di sviluppo j
RiT = numero sinistri riservati per la generazione i nell’anno T
nij = numero sinistri pagati per la generazione i nell’anno di sviluppo j .
In tal modo si ottiene, per ciascuna generazione, la percentuale dei sinistri riservati
nell’anno di sviluppo j che sono stati liquidati negli anni precedenti a quello di
valutazione o posti a riserva nell’ultimo anno di bilancio. Tali aliquote, differenziate per
antidurata, saranno applicate ai sinistri riservati di ciascuna generazione risultanti
dall’ultimo bilancio disponibile.
2.2. La stima della riserva sinistri
La velocità di liquidazione individua le aliquote dei sinistri con seguito che saranno
liquidati dopo j anni di sviluppo. La velocità di liquidazione, normalizzata in base al
numero di sinistri denunciati nell’ultimo anno di bilancio, nel generico anno di sviluppo j
sarà
vj =
nT − j , j
J
∑n
j =1
T − j, j
∗
dT
dT − j
(13)
avendo posto
J = numero massimo di anni di sviluppo
nT − j , j = numero sinistri pagati nell’anno T per la generazione T − j .
Le aliquote così determinate saranno applicate ai sinistri della generazione T posti a
riserva e con seguito nell’anno di valutazione ( T ) in modo da ottenere la cadenza dei
pagamenti negli anni futuri di sviluppo. Per le successive generazioni si seguirà un
82
ragionamento analogo. Il triangolo del numero stimato dei sinistri liquidati in formule è
dato da
)
nijl = RiT ⋅ aliq j −1 ⋅ v ij
(14)
avendo posto aliq j −1 l’aliquota scelta, fra tutte quelle calcolate, per il ( j − 1) − esimo anno
di differimento, e v ij la velocità di liquidazione della generazione i − esima con antidurata
j 55.
Per ottenere il costo medio del pagato è sufficiente rapportare l’importo pagato al numero
di sinistri pagati per ogni generazione e antidurata. In un secondo tempo si scelgono il
vettore dei costi medi del pagato di base per la proiezione56 e il vettore dell’inflazione
(endogena ed esogena) futura. In tal modo si possono ottenere i costi medi del pagato
proiettati, che costituiscono la stima dei costi medi per il triangolo inferiore.
Supponendo di indicare con Cij il costo medio pagato nell’anno i + j , già inflazionato, per
)
i sinistri appartenenti alla generazione i , e con nijl la stima dei sinistri che saranno liquidati
in seguito calcolata per ogni anno di generazione e antidurata, il valore del risarcimento è
calcolato nel seguente modo
)
RS ij = Cij nijl
(15)
quindi nell’anno i + j per i sinistri dell’anno i l’impresa dovrà pagare un importo pari a
RSij , che rappresenta la stima del costo medio.
La riserva per l’anno i viene determinata come somma estesa a tutti gli anni di
differimento coinvolti nella stima del costo medio
J
RS i = ∑ RS ij
(16)
j =1
E’ bene far notare come il valore dell’estremo inferiore della sommatoria vari a seconda
della generazione esaminata. In questo caso si sta facendo riferimento all’anno T , posto
come generazione di riferimento57 .
Dunque, la riserva sinistri globale è stimata nel seguente modo
T
R = ∑ RS i
(17)
i =0
55
RiT altro non è che l’ultimo dato disponibile per la generazione considerata, cioè l’ultimo valore che si
legge per riga rispetto ad ogni anno.
Per esempio si può optare per il vettore dell’ultimo bilancio.
57
Per la generazione T − 1 l’estremo inferiore della sommatoria inizierà dal valore 2 e così via per le altre
generazioni; rimanendo fisso e uguale per tutte, l’estremo superiore.
56
83
con ovvio significato dei termini coinvolti.
2.3. Applicazioni del metodo Fisher-Lange
Anche per il metodo Fisher-Lange si vuole fare un esempio numerico per capire il
procedimento di calcolo. I dati coinvolti al fine dell’analisi sono diversi , pertanto è
necessario conoscere altri valori qui di seguito riportati
2.3.1. Numero sinistri pagati
Gen.
Ant.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12+
1993
34.433
13.796
1.589
568
278
152
104
55
30
1994
35.475
13.718
1.501
548
209
134
51
44
27
31
18
19
36
20
16
1995
37.004
13.820
1.527
436
194
72
46
29
17
17
1996
37.038
13.631
1.463
500
164
80
63
40
26
1997
36.849
13.416
1.564
422
182
107
81
42
1998
39.171
12.601
1.592
559
273
175
155
1999
37.492
12.282
2.057
739
391
287
2000
34.188
12.245
1.938
761
295
2001
31.308
10.743
1.908
639
2002
30.357
10.117
1.611
2003
30.717
11.081
2004
30.590
2.3.2. Numero sinistri riservati
Gen.
Ant.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1993
19.508
4.038
1.374
727
445
289
180
125
98
71
54
36
1994
18.794
3.310
1.114
529
318
185
148
105
80
58
43
1995
18.099
2.854
838
395
196
139
97
73
69
51
1996
17.565
2.732
875
395
250
178
123
89
66
1997
17.207
2.642
869
474
318
216
141
102
1998
16.775
3.170
1.310
758
476
296
145
1999
17.413
4.396
1.900
1.056
615
325
2000
17.714
4.325
1.885
1.006
685
2001
15.417
3.872
1.807
1.050
2002
14.126
3.751
1.895
2003
15.481
3.931
2004
15.178
84
2.3.3. Numero sinistri senza seguito
Ant.
Gen.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1993
3.192
2.239
1.349
183
52
29
25
16
7
4
7
4
1994
3.627
2.306
1.002
151
56
33
11
14
7
7
7
1995
3.617
2.034
846
124
61
19
12
8
4
6
1996
3.645
1.875
754
126
38
25
15
11
7
1997
3.729
1.858
679
129
45
29
24
13
1998
3.806
2.136
768
148
76
60
21
1999
3.866
1.934
988
290
142
55
2000
2.859
2.137
1.044
303
113
2001
3.107
1.952
824
299
2002
3.416
1.664
874
2003
3.313
1.763
2004
3.178
2.3.4. Numero sinistri riaperti
Gen.
Ant.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1993
0
565
275
104
48
25
19
16
9
8
8
5
1994
0
540
308
114
54
34
24
14
9
5
7
1995
0
610
357
118
56
33
16
13
17
5
1996
0
676
353
149
60
31
25
17
10
1997
0
701
469
152
68
32
31
16
1998
0
1.132
487
152
67
57
26
1999
0
1.204
547
186
98
52
2000
0
1.006
528
185
87
2001
0
1.135
660
181
2002
0
1.407
629
2003
0
1.295
2004
0
2.3.5. Numero sinistri denunciati
Ipotesi
sulla
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
57.133
57.896
58.721
58.248
57.785
59.753
58.772
54.761
49.832
47.899
49.511
48.946
coda
66.214
Gli importi dei sinistri pagati distinti per anno di generazione e antidurata sono tabulati
nella 1.3.1.1. Con i dati a disposizione si calcolano le aliquote dei sinistri con seguito e le
velocità di liquidazione rapportate ad ogni periodo di origine
85
2.3.6 Aliquote dei sinistri con seguito (valori in percentuale)
Ant.
Gen.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1993
85,483
71,322
93,959
99,450
100,000
101,384
105,000
107,200
106,122
102,817
101,852
100
1994
86,788
78,338
98,025
102,836
105,346
108,649
101,351
100,952
98,750
101,724
1995
89,557
83,707
102,864
107,848
118,367
115,108
117,526
116,438
98,551
1996
91,278
87,921
107,314
111,139
110,000
109,551
107,317
103,371
1997
92,497
94,625
107,710
108,439
104,403
104,167
102,128
1998
92,399
91,451
99,771
98,681
99,790
101,351
1999
92,351
86,419
91,684
94,981
99,512
2000
89,895
85,064
92,361
97,416
2001
93,014
92,898
93,470
2002
96,439
93,468
2003
96,970
101,85
100
2004
Aliquota
91,52
prescelta
86,52
98,57
102,60
105,35
106,70
106,66
106,99
101,14
102,27
L’aliquota prescelta è stata calcolata come media aritmetica semplice e si è fatto uso dei
dati dell’ultimo bilancio.
2.3.7. Velocità di liquidazione al 2004
Anno di
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12+
0,7830
0,1177
0,0449
0,0188
0,0171
0,0091
0,0025
0,0016
0,0010
0,0010
0,0012
0,0022
differimento
vj
Anno di
differimento
vj
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12+
0,5423
0,2067
0,0869
0,0787
0,0418
0,0117
0,0072
0,0047
0,0045
0,0054
0,0102
Anno di
differimento
vj
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12+
0,4517
0,1898
0,1720
0,0914
0,0256
0,0157
0,0102
0,0097
0,0117
0,0222
86
Anno di
differimento
vj
4
5
6
7
8
9
10
11
12+
0,3461
0,3137
0,1666
0,0467
0,0287
0,0186
0,0178
0,0214
0,0405
Anno di
5
6
7
8
9
10
11
12+
0,4797
0,2548
0,0714
0,0439
0,0284
0,0271
0,0327
0,0619
differimento
vj
Anno di
6
7
8
9
10
11
12+
0,4898
0,1372
0,0843
0,0547
0,0522
0,0628
0,1190
differimento
vj
Anno di
7
8
9
10
11
12+
0,2690
0,1652
0,1072
0,1023
0,1231
0,2332
differimento
vj
Anno di
8
9
10
11
12+
0,2260
0,1466
0,1399
0,1684
0,3191
differimento
vj
Anno di
9
10
11
12+
0,1894
0,1808
0,2176
0,4122
differimento
vj
Anno di
differimento
vj
10
11
12+
0,2230
0,2684
0,5086
87
Anno di
11
12+
0,3455
0,6545
differimento
vj
Anno di
differimento
12+
0,6545
vj
Con i dati a disposizione si costruisce il triangolo inferiore del numero dei sinistri delle
varie generazioni che saranno pagati nei differenti anni di sviluppo
2.3.19. Stima del numero dei sinistri liquidati
Gen.
Ant.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12+
Totale
24
24
15
28
43
1993
1994
1995
12
14
26
52
13
12
15
27
67
25
15
15
17
33
104
42
26
16
15
18
34
150
170
48
29
18
17
21
39
342
346
186
52
32
20
19
23
42
721
373
347
187
52
32
20
19
23
43
1.095
844
369
343
185
52
32
20
19
23
42
1.928
1.844
801
350
326
175
49
30
19
18
21
40
3.675
1.545
671
293
273
147
41
25
16
15
18
33
13.955
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
10.876
Successivamente si calcola il costo medio del pagato, semplicemente come rapporto tra i
valori della 1.3.1.1. e della 2.3.1., si inflaziona il triangolo del costo medio pagato in base
al vettore di inflazione futura 1.3.2.2. e si ottiene il costo medio pagato rivalutato
88
2.3.20. Stima dei costi medi futuri inflazionati (importi in Euro)
Gen.
Ant.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12+
33.054
35.037
28.884
35.037
37.227
33.245
30.617
37.227
38.902
33.458
35.240
32.531
38.902
40.361
26.902
35.465
37.442
33.994
40.361
41.572
28.516
37.682
39.127
35.269
41.572
42.819
1993
1994
1995
1996
1997
1998
14.654
1999
11.542
15.533
30.298
39.378
40.594
36.327
42.819
44.104
15.969
12.235
16.504
31.662
40.854
41.812
37.417
44.104
45.427
13.828
16.927
12.999
17.247
32.849
42.080
43.067
38.540
45.427
46.790
11.548
14.658
17.985
13.584
17.894
33.835
43.342
44.359
39.696
46.790
48.193
2000
2001
2002
2003
4.850
12.241
15.574
18.794
14.094
18.430
34.850
44.643
45.689
40.887
48.193
49.639
2004
5.141
13.006
16.275
19.499
14.516
18.983
35.895
45.982
47.060
42.113
49.639
51.128
A questo punto bisogna proiettare al futuro il costo medio trascinando nell’analisi il
numero di sinistri da liquidare nei prossimi esercizi così da ottenere la stima del triangolo
inferiore
2.3.21 Stima Riserva Sinistri a costo ultimo (importi in Euro.000)
Gen.
Ant.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1993
826
1994
530
1.048
356
519
1.009
446
397
569
1.098
875
566
496
706
1.353
1.187
966
615
535
756
1.448
1995
1996
1997
1998
1999
2.639
1.442
1.154
729
630
890
1.705
4.235
3.074
1.652
1.313
824
712
1.005
1.926
6.311
4.511
3.220
1.718
1.356
851
735
1.038
1.989
12.367
6.635
4.665
3.306
1.751
1.382
867
749
1.058
2.027
22.577
12.477
6.584
4.595
3.233
1.712
1.351
848
732
1.035
1.982
20.097
10.924
5.723
3.965
2.790
1.478
1.166
732
632
893
1.711
2000
2001
2002
2003
2004
12+
55.915
Con i valori precedenti è facile determinare le riserve residue
2.3.22. Riserve residue per generazione (importi in Euro.000)
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
Totale
826
1.578
1.884
2.510
3.996
5.506
9.189
14.742
21.727
34.807
57.127
106.025
259.916
89
Da un paragone con le stime ottenute dal metodo chain ladder e dalle sue varianti si ricava
che le riserve per ogni generazione sono dello stesso ordine, anche se, come è naturale che
sia, sono un po’ differenti in cifra. La generazione più vecchia presenta una riserva
piuttosto bassa se confrontata con la somma della generazione 2004. Il peso preponderante
dell’ultimo periodo di origine può essere compreso dal grafico seguente dove risalta
l’importo da accantonare per l’ultima generazione, importo così importante per i motivi più
volte discussi.
Grafico 8. Riserva sinistri Fisher-Lange
Metodo di Fisher-Lange
300.000
250.000
200.000
150.000
100.000
50.000
20
04
To
ta
le
20
03
20
02
20
01
20
00
19
99
19
98
19
97
19
96
19
95
19
94
19
93
-
Il grafico rende più immediato il paragone tra le differenti generazioni. Per il primo
periodo di origine si stima una riserva sinistri pari a 826 migliaia di Euro, un importo così
basso da non essere visualizzato con il relativo istogramma. In tal modo si può
comprendere quanto interesse l’attuario ripone nella valutazione della riserva sinistri delle
ultime generazioni.
Seppur con valori diversi, l’andamento della riserva sinistri è analogo a quello riscontrato
per il chain ladder e per le sue varianti.
2.4. Vantaggi e svantaggi del metodo Fisher-Lange
Il metodo proposto dai due americani è annoverato tra i metodi che hanno un approccio per
anno di denuncia e che si applicano per testare l’adeguatezza delle riserve di un portafoglio
90
per i casi di cui si è a conoscenza58. In realtà lo scopo del test è triplice: misurare il livello
di abbondanza o di insufficienza della riserva; verificare se rispetto all’ultima valutazione
la riserva degli anni passati ha subito un cambiamento al rialzo o al ribasso; stabilire il
contributo dei vari anni alla somma complessiva da accantonare. Questo tipo di test è di
solito applicato a tutti i sinistri di un’unica linea di rischio, ma può essere impiegato anche
per suddivisioni di una certa linea, purché le stesse suddivisioni costituiscano un solo
problema di accantonamento. E’ comune adottare un simile test per il ramo di
responsabilità civile.
Per questo tipo di approccio è fondamentale la tabulazione dei sinistri pagati e riservati per
anno di denuncia. Da un punto di vista amministrativo si crede infatti che la data di
denuncia sia più significativa di quella di accadimento.
Nonostante molti attuari preferiscano un approccio basato sull’anno di avvenimento per
stimare la riserva sinistri, un metodo basato sull’anno di denuncia dimostra la sua
superiorità in quanto il numero dei casi registrati non è soggetto a continue modifiche in
seguito ad ogni nuova valutazione. Questo tipo di approccio fornisce un’ulteriore
possibilità, quella di stimare tutti i parametri dai valori dei sinistri pagati, che costituisce un
vantaggio rispetto a quelle tecniche di stima che impiegano fattori di sviluppo dei sinistri
coinvolgendo per i calcoli dei parametri le stesse riserve. Dunque il test è davvero
indipendente dalle riserve. Un’altra caratteristica della metodologia è che essa può essere
prontamente modificata e adattata ai cambiamenti previsti dal management dell’impresa in
fatto di elementi disponibili o anche in merito al tasso di inflazione futura59.
Tuttavia sussistono alcuni inconvenienti anche per questo metodo di stima. La metodologia
include l’assunzione che i sinistri registrati nello stesso periodo di differimento
appartengano essenzialmente a tipi simili e come tali possono essere paragonati con i
sinistri di altre generazioni ma che hanno subito lo stesso ritardo per la loro liquidazione60.
Questa implicita ipotesi giustifica il perché per proiettare il costo medio non si fa alcuna
distinzione dell’appartenenza dei sinistri ad un gruppo piuttosto che ad un altro, ma si
utilizzano i trends storici del gruppo comune di appartenenza.
Si deve notare che questo approccio contiene due potenziali fonti di distorsione: i sinistri
riaperti e i pagamenti parziali. I sinistri riaperti se vengono inclusi nei dati distinti per anno
di denuncia, possono alterare sia i tassi disponibili sia il costo medio del pagato. Per quelle
58
Intendendo con ciò tutti i casi denunciati alla compagnia e che richiedono un esborso alla stessa o
alternativamente la costituzione della riserva sinistri.
59
E’ possibile, infatti, mostrare quale impatto abbia un cambiamento dell’inflazione sull’adeguatezza della
riserva sinistri.
60
Cioè possono essere paragonati da un anno di denuncia all’altro.
91
linee di business con un volume rilevante di sinistri riaperti, la metodologia sopra descritta
deve essere modificata in maniera appropriata. Forse la soluzione migliore è di escludere
questo tipo di dati dall’analisi, dal momento che si stima separatamente la riserva dei
sinistri riaperti. I pagamenti parziali possono essere trattati con delle varianti
nell’approccio in esame, soprattutto laddove questa tipologia di dati ha un peso rilevante,
altrimenti possono anche essere trascurati perché non comportano grandi preoccupazioni.
Uno sguardo più attento al metodo Fisher-Lange permette di comprendere come il costo
medio venga scomposto in tre componenti: l’impatto dell’inflazione, l’effetto dato dall’età
del sinistro e il livello generale di costi per una determinata linea di business.
In conclusione esistono due vantaggi a questo approccio. Primo, tutti i dati sono impiegati
simultaneamente nell’effettuare le proiezioni dei costi medi invece di suddividere i dati in
base all’età e procedere con delle proiezioni separate. Secondo, può essere arbitrariamente
usato un numero di differenti valori per l’incremento annuo medio nel costo dei sinistri al
fine di valutare la proiezione del costo medio del pagato.
Deve essere enfatizzato che questo particolare approccio basato sull’anno di denuncia non
è l’unico, ma uno dei tanti modi per verificare l’adeguatezza della riserva, nessun singolo
test è completamente affidabile. Gli attuari dovrebbero avere la sensibilità di impiegare più
di una procedura per valutare la posizione della riserva sinistri.
3. Il metodo della separazione aritmetica di Taylor
Nel 197661 Cumpston presentò il metodo dei pagamenti per unità di rischio.
Il modello è meno generale del chain ladder con aggiustamenti per inflazione; infatti, in
luogo di Pij* = ni μ i ρ *j si ha Pij* = ni μρ *j , in cui si può facilmente notare che la misura del
costo medio è assunta indipendente dall’anno di origine. L’ultima equazione può essere
riscritta nel seguente modo Pij* = ni q *j , avendo indicato con il parametro q *j la quantità
μρ *j , cioè i pagamenti, corretti da inflazione, nell’anno di sviluppo j per sinistro
avvenuto.
Volendo rendere il modello più generale basta sostituire ni con ei ottenendo Pij* = ei q *j ,
dove ei rappresenta una misura del volume di esposizione o il numero di unità di rischio
61
Anche se questo metodo sarebbe potuto apparire altrove prima di tale data.
92
nella generazione i , e q *j denota i pagamenti, rettificati secondo l’inflazione considerata,
nell’anno di sviluppo j per unità di rischio.
Quanto detto serve come introduzione al metodo della separazione giacché lo stesso Taylor
notò che era possibile classificare il suo lavoro nella stessa tipologia di metodi proposta da
Cumpston.
In questo modello gli elementi α ij del triangolo di run-off rappresentano i pagamenti Pij
per il risarcimento dei sinistri della generazione i effettuati nell’anno i + j . Si suppone
ancora l’ipotesi presente nei precedenti modelli e cioè che lo smontamento dei sinistri
avvenga secondo una legge invariante nel tempo, la medesima per ogni generazione,
disturbata però da fattori esogeni, quali l’inflazione.
L’intento di questo metodo è quello di “separare” la legge dai disturbi che l’accompagnano
e che sono imputabili parte a variazioni di carattere generazionale62, parte a variazioni di
carattere economico caratteristiche dell’anno di pagamento del sinistro. A tal fine viene
postulata la seguente equazione, valida per 0 ≤ i ≤ T e 0 ≤ j ≤ T − i
Pij = δ i r jϑi + j
(18)
dove δ i rappresenta il numero di sinistri ni imputabili alla generazione i ovvero, la
somma del numero di quelli liquidati e pagati nell’anno di accadimento e di quelli riservati
alla fine dell’anno stesso.
Taylor ha quindi fattorizzato l’ammontare pagato con j anni di differimento per i sinistri
originatisi nell’anno i appunto i Pij , in tre elementi collegati rispettivamente all’anno di
generazione (δ i ) , all’anno di sviluppo (r j ) e all’anno di pagamento (ϑi+ j ) . La relazione
(18) è l’equazione base del metodo, infatti per poter determinare i parametri r j (0 ≤ j ≤ J )
e λi+ j è necessario avere a disposizione un insieme di valori Pij . Successivamente bisogna
62
Si pensi, in generale, alle politiche assuntive, o in particolare con riferimento a rischi R.C.A., a mutamenti
del parco automobilistico.
93
stimare gli elementi λh+ k 63 del triangolo inferiore il cui impiego è obbligatorio per
effettuare previsioni su Pij (1 ≤ i ≤ T ; T − i + 1 ≤ j ≤ J ) .
La tabella di riferimento utilizzata per calcolare i valori r j e i valori λi+ j è del seguente
tipo
Tabella 3.1.
Anno di sviluppo
Generazione
0
1
2
0
r0 λ 0
r1λ 1
r2 λ 2
1
r0 λ 1
r1λ 2
r2 λ 3
2
r0 λ 2
r1λ 3
r2 λ 4
…
J
rJ λ J
…
r0 λT
T
I dati riportati si riferiscono ai valori s ij definiti nel modo seguente
s ij =
Pij
ni
= r j ⋅ λi + j
(19)
dove ni indica il numero dei sinistri denunciati nell’anno i ; non necessariamente devono
essere considerati i sinistri denunciati, ma altri tipi di sinistri purché siano caratterizzanti la
generazione i − esima .
Per realizzare l’ipotesi di invarianza64 nel tempo della “legge di smontamento” dei sinistri
è indispensabile assumere la condizione di normalizzazione
J
∑r
j =0
j
=1
(20)
dando pertanto a r j il significato di rapporto65 tra il pagato con j anni di differimento e il
totale pagato entro i primi J
63
I valori futuri di
λh+ k
anni di differimento, rapporto indipendente dalla
sono stimati avanzando delle ipotesi sui valori
storici. Per esempio si potrebbero fissare costanti i rapporti
λi+ j
calcolati con l’utilizzo dei dati
λh +1
.
λh
64
L’invarianza in questione viene anche concretizzata ponendo costante
65
Per questa ragione r j avrà dimensione nulla.
λi+ j
al variare di
i e j.
94
generazione. Infatti, r j denota la proporzione dei pagamenti dei sinistri di un periodo di
origine pagabili nell’anno di sviluppo j .
Il problema è ottenere i parametri r j e λi+ j dato un insieme di valori sij .
Verbeek nel 1972 si servì della massima verosimiglianza per stimare r j e λi+ j , con
l’assunzione che la (i, j ) − esima cella del triangolo contenesse una variabile aleatoria
distribuita secondo una Poisson con media ri λi + j e che tutte le celle fossero mutuamente e
stocasticamente indipendenti. Taylor dimostrò qualche anno dopo, nel 1977, che gli stessi
risultati potevano essere ottenuti senza far ricorso ad alcune distribuzioni di probabilità, ma
più semplicemente con un metodo euristico, godendo della possibilità di poter sfruttare le
caratteristiche insite nel triangolo dei dati storici sij .
Le colonne della tabella 3.1. hanno un fattore comune di r j e ogni diagonale ha un fattore
comune dato da λi+ j .
Sia v j la somma della j − esima colonna e d h la somma dell’ h − esima diagonale
T− j
T− j
i =0
i =0
v j = ∑ sij = r j ∑ λi + j
(21)
e
dh =
h
∑ sij = λh ∑ rj
i + j =h
(22)
j =0
da ciò si ottengono le stime
λh =
dh
=
h
∑r
j =0
j
dh
(23)
h
∑r
l
l =0
e
v
rk = T −k k
∑λ
i =0
=
i+k
vk
J
∑λ
l =k
(24)
l
95
Dalle formule si evince che per stimare rk si deve conoscere λ h e per stimare λ h bisogna
conoscere rk . A questo punto, per superare questo inconveniente, torna utile la
normalizzazione posta per r j in base alla (20), così facendo si ottengono
h
λh =
∑s
i , h −i
i =0
T − h −1
h = 0,1,.......T
∑r
1−
i =0
(23 bis)
T −i
T −k
rk =
∑s
i =0
t
ik
∑λ
i =k
k = 0,1,.......J
(24 bis)
i
J
Grazie alla
∑r
j =0
j
= 1 è più facile dimostrare la (22). Infatti, i valori lungo la diagonale
principale contengono tutti λk , pertanto la somma lungo la stessa diagonale risulta
d k = λ k ( r 0 + r1 + ... + rk ) = λ k .
)
Quindi si pone la stima di λk pari alla somma della diagonale principale, cioè λ k = d k . Lo
stesso
procedimento
applicato
alla
seconda
diagonale
d k −1 =λ k −1 ( r0 + r1 + ...rk −1 ) = λ k −1 ( 1 − rk ) da cui si ricava λ k −1 =
permette
di
ottenere
d k −1
, calcolabile solo se si
1 − rk
conosce rk . Iterando il procedimento si ottiene la (23 bis).
J
Se si assume l’ipotesi di
∑r
j =0
j
= 1 , cioè che i pagamenti dei sinistri dopo il periodo di
differimento t sono trascurabili, e che λij è costante al variare di i e j , r j si potrebbe
interpretare come rapporto tra il pagato con j anni di differimento e il totale pagato entro i
primi t anni di differimento, quindi r j sarà pari a zero.
)
Una volta ottenuti i valori di r j e λi+ j occorre stimare i valori di λi+ j esterni alle
)
osservazioni del triangolo di sviluppo, cioè per i + j > k . Per stimare λi+ j è necessario
disporre di informazioni aggiuntive come l’indice di inflazione previsto, e di fare ulteriori
supposizioni66. Calcolati questi valori basta sostituirli nella Pij = α i ⋅ r j ⋅ λi + j e definire Pij
per gli anni futuri.
66
Si riveda a riguardo la nota 37.
96
Il metodo in esame separa il riservato dal pagato67. Per ogni anno di generazione si calcola
quanto riservare e quanto pagare negli anni futuri per i sinistri già avvenuti e di cui si è a
conoscenza. Sommando questi due importi si trova l’ammontare da riservare a fine
esercizio per poter risarcire tutti i sinistri di un determinato periodo di origine. La riserva
globale è ottenuta sommando tutte le riserve delle differenti generazioni.
Il metodo della separazione non fa riferimento agli importi cumulati, ma grazie alla stima
)
dei parametri λi+ j è possibile calcolare le somme che la compagnia pagherà negli anni
successivi, e come tali dovranno essere posti in riserva congiuntamente alla riserva iniziale.
E’ supposta nota la riserva
T
R0 per sinistri della prima generazione, valutata polizza per
polizza.
Le riserve t Ri relative a sinistri delle successive generazioni ancora riservati dopo t anni
di differimento vengono stimate secondo la
t
) α
λ
Ri = i T R0 t +i +1
α0
λt +1
(25)
con la condizione che il riservato dopo t anni sia liquidato nell’anno t + 1 , che sia cioè
t
Ri = Pi ,t +1 . Da ciò si ricava la riserva competente alla generazione i
Ri =
J
)
)
∑P + R
j =t −i +1
ij
t
i
i = 1,2,......T
(26)
e la riserva totale, che è pari all’importo
T
R =T R0 + ∑ Ri
(27)
i =1
3.2. Applicazioni del metodo della separazione aritmetica di
Taylor
Anche in questo caso si vuole presentare un esempio numerico al fine di chiarire la
procedura operativa del metodo della separazione aritmetica di Taylor. Il punto di partenza
67
Di fatto è come se scomponesse la riserva in due fattori: l’importo che va iscritto ogni anno in bilancio e
fino alla chiusura del sinistro, e i risarcimenti effettuati nei vari anni di differimento, tutto ciò in relazione ad
una specificata generazione di sinistri.
97
è la costruzione del triangolo degli elementi sij mediante la (19), e per far ciò è necessario
disporre di ulteriori dati come Pij e ni . Gli importi incrementali dei pagamenti sono stati
raccolti nella tabella 1.3.1.1. e come elementi ni caratterizzanti la generazione i − esima si
è ripresa la tabella 2.3.5. che riporta il numero dei sinistri denunciati. Definito l’insieme dei
dati di origine si ottiene facilmente il triangolo degli sij
3.2.1. Triangolo degli elementi sij
Gen
Ant.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0,0127
1993
0,4979
0,5120
0,2182
0,0900
0,0477
0,0413
0,0233
0,0217
0,0165
0,0151
0,0049
1994
0,5521
0,6236
0,2322
0,1014
0,0498
0,0418
0,0159
0,0186
0,0127
0,0079
0,0079
1995
0,6433
0,6833
0,2206
0,1028
0,0513
0,0215
0,0213
0,0193
0,0154
0,0095
1996
0,6939
0,7640
0,2639
0,0960
0,0449
0,0341
0,0367
0,0203
0,0150
1997
0,7635
0,7872
0,2654
0,0948
0,0440
0,0503
0,0224
0,0195
1998
0,8417
0,8040
0,2986
0,1177
0,0658
0,0456
0,0379
1999
0,8443
0,8506
0,3330
0,1709
0,0978
0,0564
2000
0,8475
0,9075
0,3813
0,1498
0,0861
2001
0,9692
0,9904
0,3673
0,1773
2002
1,0979
1,0565
0,3884
2003
1,1836
1,0855
2004
1,2332
Assumendo la condizione (20) è possibile calcolare i parametri λh e rk secondo la (23 bis)
e la (24 bis), implicati nella equazione base del metodo e utili al fine della stima dei futuri
importi da risarcire
3.2.2. I parametri rk
r0
r1
r2
r3
r4
r5
r6
r7
r8
r9
r10
r11
0,3875
0,3633
0,1261
0,0504
0,0244
0,0162
0,0099
0,0073
0,0052
0,0036
0,0021
0,0041
3.2.3. I parametri λh
λ1993
λ1994
λ1995
λ1996
λ1997
λ1998
λ1999
λ2000
λ2001
λ2002
λ2003
λ2004
1,2848
1,4173
1,6935
1,8326
1,9934
2,1560
2,1745
2,2289
2,4860
2,8581
2,9837
3,1293
98
Per stimare i pagamenti futuri secondo l’equazione base Pij = α i ⋅ r j ⋅ λi + j è necessario
conoscere i valori di λh per gli anni successivi al 2004. Al fine di calcolare tali parametri.
si considera la funzione interpolante λx = αβ x i cui coefficienti si determinano mediante il
criterio
dei
quadrati68.
minimi
La
funzione
interpolante
linearizzata
diventa
ln λ x = lnα + x ln β , ovvero y = a + bx . Le formule da utilizzare per la stima dei parametri
secondo il metodo dei minimi quadrati sono
x
y
∑ x y − ∑ n∑
b=
( x)
∑x − ∑
i
i
i
i
2
i
2
i
a=
n
∑y − ∑x
i
n
n
i
b
dove si assume che xi siano gli anni di generazione che in questo caso variano da 0 a 11 e
n indica il numero di anni di generazione considerati69. In tal modo le stime dei parametri
λi + j sono le seguenti
)
3.2.4. I parametri λi + j
λ2005
λ2006
λ2007
λ2008
λ2009
λ2010
λ2011
λ2012
λ2013
λ2014
λ2015
λ2016
3,4815
3,7602
4,0612
4,3863
4,7375
5,1167
5,5263
5,9687
6,4465
6,9625
7,5199
8,1218
Adesso si hanno a disposizione tutti i dati per definire i valori Pij futuri
λh dovessero variare in un range contenuto, è possibile considerare il valore
)
λi + j +1
medio e ipotizzando che valga
= μ , si calcolano λi + j in modo iterativo.
λi + j
68
Nel caso in cui i parametri
69
In questo esempio n è pari a 12 poiché si sono considerate 12 generazioni.
99
3.2.5. Pagamenti incrementali futuri in Euro.000
Gen
Ant.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1993
1994
820
1995
428
898
734
459
962
1.045
787
492
1.031
1.167
879
549
1.151
1996
1997
1998
1.510
1999
2.032
1.604
1.240
933
584
1.223
3.079
2.045
1.615
1.248
939
587
1.231
4.226
3.026
2.010
1.587
1.227
923
577
1.209
8.404
4.387
3.142
2.087
1.647
1.273
958
599
1.256
21.743
9.382
4.898
3.508
2.329
1.839
1.422
1.070
669
1.402
23.216
10.017
5.230
3.745
2.487
1.964
1.518
1.142
714
1.497
2000
2001
2002
2003
2004
61.902
Il dato dell’ultima colonna della tabella 1.3.1.1. è la riserva della generazione 1993 alla
data di valutazione, cioè alla fine dell’esercizio 2004. Il vettore delle riserve distinte per
generazione è riportato di seguito
3.2.6. Riserve residue per generazione (importi in Euro.000)
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
Totale
1.068
1.989
2.607
3.527
4.824
6.898
9.360
12.499
16.510
25.544
50.260
115.566
250.654
La riserva sinistri complessiva è in linea con i valori ottenuti dal chain ladder con e senza
inflazione, e come era ovvio aspettarsi, un peso rilevante per l’importo globale è fornito
dalla generazione 2004 che presenta la riserva più elevata. Anche per il metodo della
separazione aritmetica di Taylor si possono avanzare gli stessi commenti fatti in
precedenza in merito all’importanza delle generazioni più recenti rispetto a quelle più
vecchie e rappresentate dal grafico seguente
100
Grafico 9 Riserva sinistri separazione aritmetica di Taylor
Metodo della Separazione Aritmetica di Taylor
300.000
250.000
200.000
150.000
100.000
50.000
19
93
19
94
19
95
19
96
19
97
19
98
19
99
20
00
20
01
20
02
20
03
20
04
To
ta
le
-
Tutti i grafici hanno la stessa scala in modo tale da rendere più agevole ogni tipo di
confronto. In tutte le analisi svolte si riscontra un andamento monotono crescente delle
riserve residue che propongono valori molto bassi per le generazioni più lontane fino a
giungere a livelli elevati per gli ultimi esercizi. Pertanto, si può affermare che la stessa
riserva sinistri mostra un andamento convesso nel tempo.
3.3. Vantaggi e svantaggi del metodo della separazione
aritmetica di Taylor
E’ stato dimostrato dallo stesso Taylor che la logica di stima dei parametri presentata sopra
può essere applicata70 in casi dove mancano i dati a nord-ovest del triangolo degli elementi
sij , oppure quando i dati disponibili formano un parallelogramma71. Lo stesso autore ha
messo in luce come sia possibile procedere alla valutazione dei parametri in questi casi
particolari; è sufficiente inserire degli zeri nelle celle vacanti e servirsi delle (23 bis) e (24
bis) per la stima dei parametri. Un’ulteriore soluzione, nel caso in cui dovessero mancare i
dati sia a destra che a sinistra della parte superiore del triangolo, è quella di costruire con i
dati a disposizione una matrice rettangolare e procedere con la stima dei parametri facendo
uso di v j , che continua ad essere la somma per colonna, e di d h che invece diventa la
70
71
A differenza del metodo chain ladder.
In modo equivalente significa che nel triangolo dei dati sono assenti gli elementi a nord-ovest e a nord-est.
101
somma per riga. Una volta ottenuti i coefficienti si procede alla valutazione dei pagamenti
futuri in modo analogo a quanto visto sopra.
⎛ λi + j +1 ⎞
I rapporti ⎜
− 1⎟ possono essere interpretati semplicemente come un tasso che
⎜ λ
⎟
i
+
j
⎝
⎠
identifica l’aumento dei sinistri. Nel suo lavoro originale, Taylor ha puntualizzato che non
necessariamente i rapporti debbano avere il significato che istintivamente se ne deduce, ma
che il rapporto
λi + j +1
è una misura delle influenze esogene specifiche del periodo di
λi + j
pagamento in questione. Queste influenze includerebbero anche un aumento dei sinistri ma
anche altro come, per esempio, cambiamenti nella velocità di liquidazione dei sinistri.
Inoltre, tutti gli effetti nel periodo di origine, in generale, come modifiche del portafoglio,
complicano la situazione. Per le imprese più piccole sono rilevanti gli errori da
campionamento dei rapporti
λi + j +1
, pertanto questa classe di aziende deve porre maggiore
λi + j
attenzione durante le analisi e nell’interpretazione dei risultati. Il metodo in esame cerca di
stimare l’aumento dei sinistri piuttosto che considerarlo come noto, contrariamente al
metodo chain ladder che basa le previsioni sui dati dell’esperienza passata. Il metodo
proposto da Taylor permette di superare gli inconvenienti presenti nel chain ladder e dovuti
alle influenze esogene non trascurabili, qualora infatti venissero ignorate il chain ladder
restituirebbe delle stime distorte.
Taylor ha proposto anche due varianti. La prima prende il nome di metodo della
separazione geometrica in cui si sostituiscono le sommatorie delle (21) e (22) con delle
produttorie, e le stime di λh e rk contengono le medie geometriche di varie osservazioni.
La seconda variante è il metodo della separazione della regressione avente come equazione
base la seguente forma lineare log sij = log r j + log λi + j . Il modello viene trattato come in un
problema di regressione con un insieme di osservazioni dato da sij e i coefficienti di
regressione dati da log r j e log λi + j . L’autore ha dimostrato che il criterio dei minimi
quadrati ordinari conduce agli stessi risultati del metodo della separazione geometrica. Il
metodo della separazione con regressione è stato elencato in questo contesto perché ha la
stessa origine degli altri metodi di separazione, ma forse sarebbe più corretto includerlo nei
metodi stocastici.
102
In conclusione si vuole presentare una sintesi dei risultati conseguiti con i tre metodi
deterministici più utilizzati nella realtà assicurativa72. Il primo schema riporta le riserve
sinistri con i metodi analizzati sopra e le riserve residue già accantonate dall’impresa alla
data di valutazione, nonché l’importo complessivo
3.3.1. Prospetto riassuntivo della stima della riserva
Ris.C-L
Ris.C-L
Ris.C-L
Ris.Fisher-
Inflation
Costo_medio
Incurred
Lange
1.068
6.073
1.068
1.068
826
1.068
1.795
2.033
7.907
2.033
1.807
1.578
1.989
1995
1.853
2.654
7.285
2.656
2.196
1.884
2.607
1996
1.901
3.676
8.007
3.669
2.529
2.510
3.527
1997
2.845
4.859
8.509
4.842
3.644
3.996
4.824
1998
4.926
6.989
11.082
6.941
5.772
5.506
6.898
1999
7.718
9.439
13.728
9.408
8.768
9.189
9.360
2000
12.339
11.999
16.017
11.963
13.594
14.742
12.499
2001
18.725
16.027
19.931
16.102
20.642
21.727
16.510
2002
29.487
24.981
28.892
25.251
32.518
34.807
25.544
2003
47.921
48.590
52.428
48.950
51.680
57.127
50.260
2004
107.822
114.058
117.155
112.651
109.567
106.025
115.566
Totale
238.400
246.374
297.014
245.531
253.785
259.916
250.654
Gen
Ris.Bilancio
Ris.C-L
1993
1.068
1994
Ris.Taylor
Da un primo e superficiale sguardo si desume che l’impresa in oggetto ha una carenza del
proprio fabbisogno indipendentemente da quale sia il metodo di stima prescelto. In tutti i
casi il valore da accantonare è superiore della somma già riservata dalla compagnia. La
differenza è ridotta per il metodo chain ladder che impiega il costo medio dei sinistri
denunciati. Questa è la tipica situazione in cui potrebbe trovarsi un’impresa, infatti è molto
raro riscontrare una riduzione della riserva sinistri73.
Nella tabella 3.3.2. sono presenti le differenza tra la riserva di bilancio e le riserve stimate
per comprendere meglio l’insufficienza e per operare una rivalutazione al fine di non
essere dichiarata in liquidazione coatta amministrativa
72
Con riguardo al metodo chain ladder si fa riferimento solo al caso classico che impiega come sistema di
pesi i valori Cij .
73
In generale si procede con una rivalutazione e non riduzione della riserva sinistri.
103
3.3.2. Differenze tra la riserva in bilancio e le relative stime
Bilancio-Chain
Bilancio-
Bilancio-Chain
Chain
Ladder
Ladder
Inflation
1993
-
-5.005
-
1994
-238
-6.112
1995
-801
1996
1997
Bilancio-
Bilancio-
Bilancio-
Fisher-Lange
Taylor
-
242
-
-238
-12
217
-194
-5.432
-803
-343
-31
-754
-1.775
-6.106
-1.768
-628
-609
-1.626
-2.014
-5.664
-1.997
-799
-1.151
-1.979
1998
-2.063
-6.156
-2.015
-846
-580
-1.972
1999
-1.721
-6.010
-1.690
-1.050
-1.471
-1.642
2000
340
-3.678
376
-1.255
-2.403
-160
2001
2.698
-1.206
2.623
-1.917
-3.002
2.215
2002
4.506
595
4.236
-3.031
-5.320
3.943
2003
-669
-4.507
-1.029
-3.759
-9.206
-2.339
2004
-6.236
-9.333
-4.829
-1.745
1.797
-7.744
Totale
-7.974
-58.614
-7.131
-15.385
-21.516
-12.254
Gen
Ladder Costo
Medio di
Generazione
Chain Ladder
Incurred
La necessità di incrementare la riserva è suggerita da tutti i metodi riportati, ma il metodo
chain ladder inflation-adjusted fornisce il più alto valore in termini assoluti che deve essere
recuperato. Un simile risultato era forse atteso dal momento che il metodo chain ladder
inflation-adjusted oltre a proiettare i valori al futuro li rivaluta in base al tasso di inflazione
prevista, e come tale è lecito attendersi una riserva sinistri più elevata e una differenza
maggiore. In tabella 3.3.3. sono riportati gli scarti percentuali tra la riserva di bilancio e i
valori stimati con i differenti metodi
104
3.3.3. Scarti dalla riserva in bilancio (valori percentuali)
Basic
Gen
Chain
Ladder
Chain Ladder
Inflation-adjusted
Chain Ladder
Chain
Costo Medio di
Ladder
Generazione
Incurred
FisherLange
Taylor
1993
-
-468,62
-
-
22,70
-
1994
-13,26
-340,50
-13,26
-0,69
12,10
-10,78
1995
-43,25
-293,14
-43,32
-18,50
-1,68
-40,68
1996
-93,40
-321,22
-92,98
-33,03
-32,02
-85,54
1997
-70,80
-199,08
-70,18
-28,09
-40,47
-69,58
1998
-41,87
-124,96
-40,91
-17,18
-11,77
-40,04
1999
-22,30
-77,87
-21,89
-13,61
-19,06
-21,28
2000
2,75
-29,81
3,05
-10,17
-19,47
-1,30
2001
14,41
-6,44
14,01
-10,24
-16,03
11,83
2002
15,28
2,02
14,37
-10,28
-18,04
13,37
2003
-1,40
-9,40
-2,15
-7,84
-19,21
-4,88
2004
-5,78
-8,66
-4,498
-1,62
1,67
-7,18
Totale
-3,34
-24,59
-2,99
-6,45
-9,02
-5,14%
Nonostante tutti i metodi segnalino una carenza nell’accantonamento della riserva sinistri,
il metodo chain ladder basato sul costo medio di generazione riporta la percentuale minore.
Segue il basic chain ladder con un’insufficienza del 3,34% rispetto alla riserva di bilancio.
Il valore più elevato è dato, ovviamente, dal chain ladder inflation-adjusted. E’ bene
sottolineare che una variazione al rialzo anche di un 2,99% non è un importo di piccole
dimensioni considerato il fatto che questa percentuale deve essere applicata a somme
espresse in centinaia di milioni di Euro per un’impresa di medie dimensioni. In generale
tali percentuali non dovrebbero superare il 20%. Se così non fosse significa che la
compagnia sottostima sistematicamente la somma da accantonare.
In conclusione, ciò che dovrebbe essere richiesto da un attuario è un’analisi non distorta,
ma, appunto, corretta e oggettiva. Quello che lui stesso dovrebbe pretendere è una
minimizzazione dell’incertezza statistica associata alla sua stima finale.
105
4. Sensitivity analysis
Si vuole di seguito effettuare qualche analisi di sensitività dei metodi riportati sopra.
L’obiettivo è di capire quanto possa incidere una variazione nei parametri sui risultati
ottenuti in precedenza.
Si prenderà in esame il basic chain ladder e adottando dei link ratios diversi verranno
nuovamente calcolate le riserve. In modo analogo di procederà per il metodo Fisher-Lange
i cui cambiamenti interesseranno principalmente la velocità di liquidazione, e per quanto
attiene il metodo della separazione di Taylor si adotterà un nuovo criterio per il calcolo dei
)
parametri λi + j e sarà presentata una situazione particolare per quanto riguarda il triangolo
dei pagamenti.
Gli attuari fanno ampio utilizzo di un particolare software per calcolare le riserve sinistri il
cui nome è CROS. In tale software sono presenti differenti modi per calcolare i link ratios
del basic chain ladder e di seguito ne verranno presentati alcuni. La presenza di tanti fattori
di sviluppo è sintomo che la stima della riserva non termina una volta ottenuto il risultato,
ma è necessario e quasi indispensabile che l’attuario interpreti criticamente i valori per
comprendere meglio quanto i risultati ottenuti siano coerenti alla realtà aziendale. Per far
ciò è necessario proseguire l’analisi facendo variare alcune grandezze coinvolte nel sistema
di valutazione. Per esempio si potrebbe optare per la media semplice o ponderata non di
tutti i fattori di sviluppo individuali ma soltanto degli ultimi quattro, oppure scegliere il
valore maggiore o minore dei coefficienti di proporzionalità per ogni antidurata.
Adottando la stessa terminologia presente nel software richiamato sopra si indica con AM4
la media semplice degli ultimi quattro link ratios, con CSA4 la media ponderata, sempre
degli ultimi quattro fattori, con MIN e MAX rispettivamente il minore e il maggiore valore
del coefficiente per antidurata.
La tabella che riporta i valori in esame è la seguente
4.1. Link ratio
mij
1-2
2-3
3-4
4-5
5-6
6-7
7-8
8-9
9-10
10-11
11-12
12+
AM4
1,9930
1,1954
1,0728
1,0343
1,0225
1,0151
1,0107
1,0089
1,0068
1,0040
1,0085
1,0125
CSA4
1,9879
1,1951
1,0729
1,0347
1,0226
1,0152
1,0106
1,0087
1,0066
1,0041
1,0085
1,0125
MIN
1,9171
1,1663
1,0522
1,0230
1,0127
1,0099
1,0096
1,0077
1,0048
1,0033
1,0085
1,0125
MAX
2,1296
1,2173
1,0843
1,0445
1,0302
1,0193
1,0151
1,0113
1,0102
1,0048
1,0085
1,0125
106
Applicando i quattro sets di link ratio al triangolo dei cumulati si otterranno altrettanti
triangoli di importi futuri cumulati da cui sarà facile ricavare la stima della riserva sinistri.
I dati di input sono raccolti nella tabella 1.3.1.2. che riporta il run-off dei pagamenti
cumulati con cui sarà svolta l’analisi.
Impiegando il primo tipo di coefficiente di proporzionalità, AM4, si ottengono le seguenti
stime
4.2. Pagamenti incrementali futuri con link ratio AM4 (importi in Euro.000)
Gen
Ant.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12+
1993
86.841
1994
97.147
98.357
105.431
106.333
107.657
115.455
115.922
116.912
118.368
119.338
120.149
120.635
121.666
123.181
133.549
134.734
135.651
136.199
137.363
139.073
141.875
143.134
144.107
144.689
145.926
147.743
1995
1996
1997
1998
1999
140.377
2000
132.824
134.827
136.266
137.475
138.410
138.969
140.157
141.902
129.063
131.967
133.957
135.386
136.588
137.517
138.072
139.253
140.987
130.665
135.144
138.184
140.268
141.765
143.023
143.996
144.578
145.814
147.629
134.290
144.064
149.002
152.354
154.652
156.302
157.689
158.761
159.403
160.766
162.768
143.804
154.270
159.558
163.148
165.608
167.375
168.861
170.009
170.696
172.155
174.299
2001
2002
2003
2004
120.301
Un confronto dei valori precedenti con quelli inseriti in tabella 1.3.1.5. permette di
osservare come le differenze maggiori si riscontrano nei primi anni di differimento. Infatti,
se l’antidurata aumenta la differenza tra la media aritmetica degli ultimi quattro link ratios
e il fattore di sviluppo classico tenderà a ridursi. Per convincersi di quanto detto è
sufficiente notare come gli ultimi due anni di differimento presentino valori molto affini.
La differenza è ancor più assottigliata quando si fa riferimento al secondo tipo di link ratio,
il CSA4. E’ facile notare come a partire dall’ottavo anno di sviluppo i due criteri diano
esattamente gli stessi coefficienti. Nonostante questa coincidenza le antidurate più elevate
non presentano, salvo che per le prime cinque generazioni, 1993-1997, le stesse proiezioni
in merito ai pagamenti cumulati. Le successive generazioni, infatti, risentono della
diversità dei primi fattori di sviluppo. Il chain ladder è, appunto, un metodo concatenato
quindi eventuali errori, o come in questo caso differenze di valori, si ripercuotono nelle
consecutive valutazioni.
Le proiezioni dei pagamenti cumulati sono le seguenti
107
4.3. Pagamenti incrementali futuri con link ratio CSA4 (importi in Euro.000)
Gen
Ant.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12+
1993
86.841
1994
97.147
98.357
105.436
106.337
107.661
115.434
115.905
116.896
118.351
119.322
120.111
120.602
121.633
123.147
133.541
134.709
135.600
136.154
137.317
139.027
1995
1996
1997
1998
1999
140.392
141.882
143.122
144.068
144.657
145.894
147.710
132.837
134.855
136.286
137.477
138.386
138.952
140.140
141.884
129.117
132.035
134.041
135.463
136.647
137.551
138.113
139.294
141.028
130.674
135.209
138.265
140.365
141.855
143.094
144.041
144.629
145.866
147.682
134.257
144.038
149.037
152.406
154.721
156.363
157.729
158.773
159.421
160.784
162.786
143.397
153.844
159.184
162.781
165.254
167.008
168.467
169.582
170.275
171.730
173.868
2000
2001
2002
2003
2004
119.990
L’impiego del valore minimo o massimo dei fattori di sviluppo della tabella 1.3.1.3. per
ogni anno di differimento non richiede particolari osservazioni e quindi non sorprende
vedere come il range dei risarcimenti abbia come estremi inferiore e superiore
rispettivamente i valori calcolati attraverso i link ratios MIN e MAX.
Di seguito sono riportate entrambe le tabelle contenenti gli importi suddetti
4.4. Pagamenti incrementali futuri con link ratio MIN (importi in Euro.000)
Gen
Ant.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12+
1993
86.841
1994
97.147
98.357
105.356
106.257
107.580
115.225
115.609
116.597
118.049
119.195
119.768
120.166
121.193
122.702
133.407
134.430
135.075
135.525
136.683
138.385
1995
1996
1997
1998
1999
139.661
141.001
142.082
142.764
143.239
144.464
146.262
131.545
132.848
134.122
135.151
135.800
136.252
137.416
139.127
127.658
129.273
130.553
131.806
132.817
133.454
133.898
135.043
136.724
128.158
131.107
132.766
134.081
135.367
136.406
137.060
137.516
138.692
140.419
131.019
137.858
141.030
142.815
144.229
145.613
146.730
147.434
147.925
149.189
151.047
134.959
142.003
145.271
147.109
148.566
149.992
151.142
151.868
152.373
153.675
155.589
2000
2001
2002
2003
2004
115.720
108
4.5. Pagamenti incrementali futuri con link ratio MAX (importi in Euro.000)
Gen
Ant.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12+
1993
86.841
1994
97.147
98.357
105.506
106.408
107.733
115.850
116.401
117.396
118.858
119.630
120.856
121.431
122.469
123.994
134.141
135.662
137.053
137.705
138.882
140.611
1995
1996
1997
1998
1999
140.966
143.101
144.724
146.208
146.903
148.159
150.004
133.828
136.417
138.483
140.054
141.489
142.162
143.378
145.163
130.338
134.279
136.876
138.949
140.525
141.966
142.641
143.860
145.652
132.068
137.944
142.114
144.863
147.058
148.726
150.250
150.965
152.255
154.151
136.751
148.279
154.877
159.559
162.645
165.109
166.982
168.693
169.496
170.945
173.073
156.476
169.667
177.216
182.573
186.105
188.924
191.067
193.025
193.943
195.601
198.037
2000
2001
2002
2003
2004
128.546
Come fatto sopra, la fase successiva consiste nel calcolare le riserve per ogni anno di
generazione e sommarle per ottenere la stima della riserva sinistri complessiva
4.6. Stime delle riserve (importi in Euro.000)
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
Totale
AM4
1.068
2.033
2.650
3.693
4.893
6.934
9.452
12.001
16.201
25.829
50.426
113.938
249.118
CSA4
1.068
2.033
2.654
3.676
4.859
6.888
9.419
11.983
16.242
25.882
50.444
113.507
248.658
MIN
1.068
2.033
2.573
3.374
4.414
6.246
7.971
9.226
11.938
18.619
38.705
95.228
201.396
MAX
1.068
2.033
2.726
4.183
5.706
8.472
11.713
15.262
20.866
32.351
60.731
137.676
302.787
Nei primi due casi la riserva complessiva è prossima al valore trovato impiegando i fattori
classici del chain ladder. Invece, come anticipato sopra, i link ratios MIN e MAX
restituiscono delle stime piuttosto differenti dalle altre, definendo in tal modo il campo di
variazione delle possibili stime per la riserva sinistri.
Il software CROS consente di calcolare altri tipi di coefficienti di proporzionalità.
L’illustrazione dettagliata dello specifico software esula dallo scopo della presente
trattazione.
109
Grafico 10. Sensitivity Analysis del Metodo Chain Ladder esculo in Basic Chain
Ladder
Metodo Chain Ladder
350.000
300.000
250.000
200.000
150.000
100.000
50.000
AM4
CSA4
MIN
MAX
Grafico 11. Sensitivity Analysis del Metodo Chain Ladder incluso il Basic Chain
Ladder
Metodo Chain Ladder
350.000
300.000
250.000
200.000
150.000
100.000
50.000
Basic
AM4
CSA4
MIN
MAX
I due grafici precedenti mostrano come gli istogrammi rappresentanti le varianti del chain
ladder si inseriscono tra le stime ottenute con il valore minimo e il valore massimo dei link
ratios. L’andamento dei valori previsti per la riserva sinistri delle varie generazioni è
ancora convesso.
Analogamente a quanto fatto per il chain ladder si vuole effettuare un’analisi si sensitività
anche per il metodo Fisher-Lange apportando modifiche alle velocità di liquidazione.
Si supponga che l’impresa liquidi i sinistri molto più velocemente nei primi anni. In tal
modo le nuove velocità di liquidazione sono le successive
110
4.7. Velocità di liquidazione caso 1
Anno di
differimento
vj
al 2004
vj
al 2003
vj
al 2002
vj
al 2001
vj
al 2000
vj
al 1999
vj
al 1998
vj
al 1997
vj
al 1996
vj
al 1995
vj
al 1994
vj
al 1993
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12+
0,8350
0,1000
0,0128
0,0188
0,0150
0,0091
0,0025
0,0016
0,0010
0,0010
0,0010
0,0022
0,6061
0,0775
0,1142
0,0909
0,0550
0,0154
0,0095
0,0061
0,0059
0,0061
0,0134
0,1967
0,2900
0,2308
0,1396
0,0391
0,0240
0,0156
0,0149
0,0154
0,0339
0,3610
0,2873
0,1738
0,0487
0,0299
0,0194
0,0185
0,0192
0,0422
0,4496
0,2720
0,0762
0,0468
0,0304
0,0290
0,0300
0,0661
0,4942
0,1385
0,0850
0,0552
0,0526
0,0545
0,1200
0,2738
0,1681
0,1090
0,1041
0,1077
0,2373
0,2315
0,1501
0,1433
0,1482
0,3268
0,1954
0,1865
0,1929
0,4252
0,2318
0,2397
0,5285
0,3121
0,6879
0,6879
In questo primo caso si ipotizza che l’impresa nel 2005 non liquidi il 78,30% dei sinistri
avvenuti nel 2004, bensì l’83,50%. Se si volesse fare un confronto tra i dati della tabella
4.7. e quelli ottenuti dall’esempio del paragrafo 2.3., si noterebbe che nella tabella 4.7.
alcune delle generazioni successive riportano una percentuale di sinistri liquidati nel 2005
maggiore di quella riscontrata nello stesso paragrafo 2.3. Non si riesce ad avere un
comportamento simile per tutte le generazioni perché influisce tanto la percentuale che è
stata inizialmente modificata per la prima generazione e a catena ne risentono anche i
successivi periodi di origine.
Si ipotizzi invece che esista una politica di chiusura dei sinistri ancora diversa, per esempio
la velocità di liquidazione potrebbe essere più ridotta, rispetto ai casi precedenti, per
antidurate minori. In cifre si potrebbe avere una situazione riportata di seguito in tabella
4.8.
111
4.8. Velocità di liquidazione caso 2
Anno di
differimento
vj
al 2004
vj
al 2003
vj
al 2002
vj
al 2001
vj
al 2000
vj
al 1999
vj
al 1998
vj
al 1997
vj
al 1996
vj
al 1995
vj
al 1994
vj
al 1993
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12+
0,7000
0,1800
0,0540
0,0162
0,0136
0,0133
0,0058
0,0050
0,0046
0,0040
0,0022
0,0012
0,6000
0,1800
0,0540
0,0133
0,0074
0,0455
0,0445
0,0193
0,0167
0,0153
0,0040
0,4500
0,1350
0,0333
0,0185
0,1137
0,1111
0,0483
0,0417
0,0383
0,0100
0,2455
0,0606
0,0336
0,2067
0,2021
0,0879
0,0758
0,0697
0,0182
0,0803
0,0446
0,2740
0,2678
0,1165
0,1004
0,0924
0,0241
0,0484
0,2979
0,2912
0,1266
0,1092
0,1004
0,0262
0,3131
0,3060
0,1331
0,1147
0,1055
0,0275
0,4455
0,1937
0,1670
0,1537
0,0401
0,3494
0,3012
0,2771
0,0723
0,4630
0,4259
0,1111
0,7931
0,2069
0,2069
Anche in questo caso valgono le stesse considerazioni fatte prima. Non è possibile
effettuare un paragone diretto tra i valori della tabella 4.8. e quelli originali ottenuti
nell’esempio del paragrafo 2.3. Poiché le velocità sono state modificate manualmente è
naturale attendersi una situazione simile a quella della tabella 4.8. in cui si riscontra una
percentuale molto bassa per la prima generazione. In relazione all’anno 1993 l’impresa ha
liquidato nei primi undici anni, quindi entro l’esercizio 2004, più dell’80% dei sinistri
registrati per la stessa generazione. Invece, per gli esercizi più recenti si stima che dopo
undici anni rimane da chiudere una percentuale molto più bassa di sinistri.
Nel caso 1 l’anno 1993 riporta come ultima velocità di liquidazione un valore pari a circa il
69%, cioè l’impresa a fine 2004 avrebbe chiuso non l’80% bensì il 30% dei sinistri
appartenenti alla generazione di riferimento.
La stima della riserva sinistri a costo ultimo sarà diversa nei due casi esaminati sopra, e a
loro volta differiranno dal caso originale.
112
4.9. Stima Riserva Sinistri a costo ultimo (importi in Euro.000) caso 1
Ant.
Gen.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12+
1993
868
1994
479
1.101
370
464
1.049
460
410
504
1.133
896
580
508
622
1.386
1.207
983
626
544
661
1.474
2.662
1.454
1.164
736
636
772
1.721
3.969
3.281
1.763
1.401
879
760
922
2.056
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
6.583
4.131
3.359
1.792
1.414
887
766
930
2.074
5.387
10.139
6.258
5.052
2.676
2.111
1.325
1.144
1.389
3.097
25.232
4.677
8.658
5.306
4.252
2.252
1.777
1.115
963
1.169
2.607
17.080
3.114
5.723
3.482
2.790
1.478
1.166
732
632
767
1.711
10
11
12+
2002
2003
2004
59.627
4.10. Stima Riserva Sinistri a costo ultimo (importi in Euro.000) caso 2
Ant.
Gen.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1993
261
1994
1.217
331
739
824
220
822
661
725
193
1.724
748
592
644
170
1.381
1.789
764
600
648
171
261
3.129
3.987
1.690
1.318
1.424
376
709
537
6.338
8.019
3.374
2.632
2.842
750
4.476
871
650
7.605
9.553
4.019
3.135
3.386
893
12.321
4.721
904
669
7.776
9.767
4.109
3.205
3.462
913
24.980
10.862
4.093
778
572
6.646
8.348
3.512
2.740
2.959
781
30.743
13.149
4.919
928
682
7.929
9.959
4.190
3.269
3.530
931
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
49.987
Le riserve generazionali nonché la riserva complessiva sono riportate sotto
4.11. Riserve residue e globali (importi in Euro.000)
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
Totale
Caso 1
868
1.580
1.882
2.506
3.991
5.495
9.145
15.032
21.936
38.578
58.009
98.301
257.325
Caso 2
261
1.548
1.783
2.401
3.879
5.352
12.184
25.201
34.589
47.847
66.270
130.217
331.533
Se l’impresa è caratterizzata da un’alta velocità di liquidazione per l’esercizio 2004 (caso
1), la riserva relativa allo stesso anno è inferiore rispetto a quella del caso 2. Quindi,
113
supporre che molti sinistri saranno liquidati nei primi due anni fa sì che la somma da
accantonare per chiudere definitivamente i sinistri della stessa generazione sia piccola. Al
contrario, se nei primi anni vengono risarciti pochi sinistri l’importo della riserva è
maggiore, e questo è quanto succede nel caso 2.
La velocità di liquidazione, infatti, incide sulla stima del numero di sinistri che saranno
liquidati in futuro e a sua volta il numero di sinistri inciderà sull’accantonamento
necessario.
Per comprendere quanto detto si riportano le tabelle della stima del numero di sinistri che
avranno diritto ad un pagamento
4.12. Stima del numero dei sinistri liquidati caso 1
Gen.
Ant.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1993
25
1994
14
30
12
12
27
13
13
13
28
25
15
15
15
33
42
26
16
15
16
34
171
48
30
18
17
18
39
324
199
56
34
21
20
21
45
389
318
195
55
34
21
20
20
44
368
564
461
282
79
49
30
29
30
64
2.061
300
461
376
231
65
40
24
24
24
53
1.313
191
293
240
147
41
25
16
15
15
33
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
12+
11.598
114
4.13. Stima del numero dei sinistri liquidati caso 2
Gen.
Ant.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1993
7
1994
35
9
24
22
6
23
20
19
5
49
20
17
16
4
48
47
20
17
16
4
17
103
101
42
36
33
9
58
33
200
196
81
70
64
17
264
67
38
232
227
93
81
75
19
841
262
67
37
230
225
93
81
74
19
2.041
697
218
55
31
191
187
77
67
61
16
2.364
808
252
64
36
221
217
89
78
71
18
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
12+
9.723
Nonostante il numero complessivo di sinistri da liquidare sia simile nei due casi, infatti si
stima di risarcire 22.141 sinistri nel primo caso e 22.094 nel secondo caso, la differenza
nella somma da riservare è dovuta alla modalità con cui si combinano il costo medio futuro
inflazionato della tabella 2.3.20. e la stima dei sinistri da liquidare. Per esempio per la
generazione 1993 si registra nel caso 2 un accantonamento di soli 261 migliaia di euro
contro le 868 migliaia di euro del caso 1 perché nella seconda situazione si prevede di
risarcire solo sette sinistri e non venticinque come per il caso 1. L’ipotesi che la
generazione 2004 abbia una velocità di liquidazione più elevata nel primo anno di
differimento fa si che il numero di sinistri che saranno risarciti con dodici mesi di ritardo
sia maggiore che nel secondo caso, e, ceteris paribus, la somma da accantonare sarà più
elevata74. Dalla tabella 2.3.20. si nota che i risarcimenti dei primi anni di sviluppo hanno
un costo inferiore agli altri, invece il numero di sinistri da pagare decresce se aumenta
l’antidurata. Dunque è necessario comprendere come si combinano tra di loro il costo
medio futuro e la stima dei sinistri da liquidare per comprendere al meglio l’importo da
accantonare per ogni generazione e di conseguenza la somma da inserire nel bilancio di
fine esercizio.
74
Si confronti la tabella 4.9. con la 4.10.
115
Grafico 12. Sensitivity Analysis del Metodo Fisher-Lange
Metodo Fisher-Lange
350.000
300.000
250.000
200.000
150.000
100.000
50.000
-
Casoo 1
Caso 2
Grafico 13. Sensitivity Analysis del Metodo Fisher-Lange incluso il Basic FisherLange
Metodo Fisher-Lange
350.000
300.000
250.000
200.000
150.000
100.000
50.000
Basic
Caso 1
Caso 2
Le differenze più rilevanti si riscontrano per le generazioni più recenti. Gli ultimi periodi di
origine, infatti, mostrano che le stime ottenute dal caso 2 sono sempre più elevate degli
altri due casi, come si nota dal grafico 13.
L’andamento della riserva continua ad essere convesso.
Infine, anche per il metodo della separazione aritmetica di Taylor si vuole presentare una
variazione rispetto al caso classico illustrato nel paragrafo precedente. Lo stesso autore ha
applicato la procedura di stima anche qualora dovessero mancare dei dati nella parte a
nord-ovest del triangolo dei pagamenti.
Si supponga che nell’anno 1997 una certa impresa di assicurazione debba redigere il
bilancio di fine esercizio in seguito all’acquisizione di un’altra compagnia. La nuova
116
società non dispone dei pagamenti antecedenti alla data di acquisizione, pertanto il
triangolo dei pagamenti sarà il seguente
4.14. Importi incrementali dei pagamenti in Euro.000
Gen
Ant.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12+
2.727
2.359
1.334
1.238
941
860
282
727
1.068
5.868
2.882
2.422
918
1.076
734
458
456
12.951
6.034
3.010
1.264
1.250
1.135
904
559
44.499
15.370
5.594
2.616
1.984
2.137
1.184
873
5.478
2.541
2.906
1.294
1.124
2.267
1993
1994
1995
1996
1997
44.116
45.490
15.339
1998
50.294
48.040
17.843
7.035
3.934
2.726
1999
49.620
49.991
19.570
10.047
5.750
3.313
2000
46.410
49.694
20.881
8.202
4.714
2001
48.295
49.354
18.304
8.833
2002
52.590
50.606
18.604
2003
58.599
53.743
2004
60.361
Come suggerisce lo stesso Taylor, per adattare la metodologia a questa nuova situazione è
sufficiente inserire degli zeri nelle celle vuote del triangolo degli elementi sij come
mostrato di seguito
4.15. Triangolo degli elementi sij
Gen
Ant
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1993
0
0
0
0
0,0477
0,0413
0,0233
0,0217
0,0165
0,0151
0,0049
0,0127
1994
0
0
0
0,1014
0,0498
0,0418
0,0159
0,0186
0,0127
0,0079
0,0079
1995
0
0
0,2206
0,1028
0,0513
0,0215
0,0213
0,0193
0,0154
0,0095
1996
0
0,7640
0,2639
0,0960
0,0449
0,0341
0,0367
0,0203
0,0150
1997
0,7635
0,7872
0,2654
0,0948
0,0440
0,0503
0,0224
0,0195
1998
0,8417
0,8040
0,2986
0,1177
0,0658
0,0456
0,0379
1999
0,8443
0,8506
0,3330
0,1709
0,0978
0,0564
2000
0,8475
0,9075
0,3813
0,1498
0,0861
2001
0,9692
0,9904
0,3673
0,1773
2002
1,0979
1,0565
0,3884
2003
1,1836
1,0855
2004
1,2332
117
Una volta ottenuto il triangolo precedente si prosegue alla determinazione dei parametri rk
e λh secondo quanto stabilito dalla logica di stima descritta nel paragrafo precedente. I
nuovi valori dei parametri sono i seguenti
4.16. I parametri rk
r0
r1
r2
r3
r4
r5
r6
r7
r8
r9
r10
r11
0,3888
0,3621
0,1259
0,0505
0,0244
0,0162
0,0099
0,0073
0,0052
0,0036
0,0021
0,0041
4.17. I parametri λh
λ1993
λ1994
λ1995
λ1996
λ1997
λ1998
λ1999
λ2000
λ2001
λ2002
λ2003
λ2004
0
0
0
0
1,9934
2,1560
2,1745
2,2289
2,4860
2,8581
2,9837
3,1293
Si osserva che di fatto, rispetto al caso classico, sono cambiati soltanto alcuni dei
coefficienti rk , infatti, i parametri λh sono invariati salvo che per i primi anni in cui
valgono zero. Utilizzando la stessa funzione interpolante λx = αβ x si stimano dei
coefficienti di valore inferiore. Infatti, i dati della tabella 4.18. sono minori degli stessi
presenti in tabella 3.2.4.
)
4.18. I parametri λi + j
λ2005
λ2006
λ2007
λ2008
λ2009
λ2010
λ2011
λ2012
λ2013
λ2014
λ2015
λ2016
3,3529
3,5888
3,8413
4,1115
4,4007
4,7103
5,0417
5,3964
5,7760
6,1823
6,6172
7,0827
Di conseguenza anche i pagamenti futuri saranno di importo inferiore. E’ bene sottolineare
che r1 e r2 sono più piccoli degli originali, invece r0 e r3 sono più elevati, ma, nonostante
le differenze siano piuttosto irrilevanti, si determina comunque un run-off con risarcimenti
decisamente più modesti
118
4.19. Pagamenti incrementali futuri in Euro.000
Ant.
Gen
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1993
1994
789
1995
413
857
707
438
910
1.007
751
465
966
1.114
831
515
1.069
1996
1997
1998
1.455
1999
1.957
1.531
1.173
875
542
1.126
2.966
1.952
1.527
1.170
873
541
1.123
4.070
2.888
1.901
1.487
1.139
850
527
1.093
8.112
4.187
2.972
1.956
1.530
1.172
874
542
1.125
20.894
8.975
4.633
3.288
2.164
1.693
1.297
967
599
1.245
22.109
9.496
4.902
3.479
2.290
1.792
1.372
1.024
634
1.317
2000
2001
2002
2003
2004
59.425
Avere dei pagamenti incrementali minori determina un accantonamento minore, sia a
livello generazionale che complessivo
4.20. Riserve residue per generazione (importi in Euro.000)
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
Totale
1.068
1.948
2.527
3.390
4.607
6.553
8.856
11.798
15.561
24.121
47.581
109.772
237.782
)
E’ inoltre possibile calcolare i futuri valori di λi + j senza far ricorso alla funzione
interpolante. Inizialmente è necessario definire i rapporti tra λh+1 e λh per capire quale sia
il range di variazione e successivamente considerare il valore medio di tale intervallo al
)
fine di definire i successivi parametri λi + j . Le suddivisioni tra tutti i coefficienti calcolabili
con i dati a disposizione hanno delimitato una percentuale dell’8,55%, che determina
)
l’incremento nel passare da un valore di λi + j al suo successivo. I valori dei nuovi parametri
sono inferiori rispetto agli stessi calcolati con l’impiego della funzione interpolante come
mostra la tabella successiva
)
4.21. I parametri λi + j
λ2005
λ2006
λ2007
λ2008
λ2009
λ2010
λ2011
λ2012
λ2013
λ2014
λ2015
λ2016
3,3970
3,6875
4,0029
4,3453
4,7169
5,1204
5,5583
6,0337
6,5498
7,1100
7,7181
8,3782
119
I risarcimenti richiesti alla compagnia per liquidare i sinistri di ogni generazione sono i
seguenti
4.22 Pagamenti incrementali futuri in Euro.000
Gen
Ant.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1993
1994
800
1995
418
880
716
450
948
1.020
772
485
1.021
1.474
1.145
866
544
1.146
1.983
1.573
1.222
925
581
1.224
3.004
2.005
1.591
1.236
935
588
1.238
4.123
2.968
1.981
1.572
1.221
924
581
1.223
4.302
3.097
2.067
1.640
1.274
964
606
1.276
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
8.199
2003
2004
60.398
21.215
9.200
4.828
3.475
2.319
1.841
1.430
1.082
680
1.431
22.767
9.873
5.181
3.729
2.489
1.975
1.534
1.161
729
1.536
Anche in questa particolare circostanza è richiesto alla compagnia un accantonamento
inferiore rispetto al caso iniziale presentato nel paragrafo precedente
4.23. Riserve residue per generazione (importi in Euro.000)
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
Totale
1.068
1.975
2.592
3.508
4.797
6.858
9.306
12.417
16.389
25.300
49.603
113.629
247.440
Grafico 14. Sensitivity Analysis del Metodo della separazione aritmetica di Taylor
350.000
Metodo della separazione aritmetica di Taylor
300.000
250.000
200.000
150.000
100.000
50.000
Caso 1
Caso 2
120
Grafico 13. Sensitivity Analysis del Metodo della separazione aritmetica di Taylor
incluso il metodo della separazione aritmetica di Taylor Basic
350.000
Metodo della separazione aritmetoca di Taylor
300.000
250.000
200.000
150.000
100.000
50.000
Basic
Caso 1
Caso 2
Anche per questa analisi si può graficamente notare che esistono delle differenze tra le
stime ottenute nei tre modi di calcolo della riserva sinistri. Ma sembra di osservare che le
previsioni siano tra di loro più congrue rispetto a quanto ottenuto per il metodo chain
ladder o per il metodo Fisher-Lange.
121
CAPITOLO TRE
I metodi stocastici
1. Un passaggio graduale dai metodi deterministici ai
metodi stocastici
I metodi stocastici per la stima della riserva sinistri presentano ancora un impiego piuttosto
limitato. Le ragioni sono molteplici: una difficoltà generale nel capire tali metodi, l’assenza
di flessibilità, l’assenza di software adatti, e così via. Tuttavia, la ragione principale è
probabilmente non sentire la necessità di utilizzare i metodi stocastici quando i metodi
tradizionali sono sufficienti per la best estimate della riserva dei sinistri non ancora chiusi.
I nuovi principi contabili IAS prevedono che le passività di una compagnia di assicurazioni
vengano calcolate come il fair value delle stesse. Poiché non esiste il mercato dei sinistri,
le imprese che esercitano il ramo danni devono procedere ad una stima delle loro passività
che sia market consistent valuation. Infatti, nei tempi più recenti è cresciuto l’interesse
verso la coda della distribuzione della riserva sinistri, introducendo la misura del risk
margin, funzione della volatilità della distribuzione di probabilità, in aggiunta alla best
estimate come stima della riserva stessa. A tal proposito è necessario essere in grado di
valutare la variabilità della riserva sinistri e, soprattutto, riuscire a definire la distribuzione
completa dei risultati dalla quale è possibile calcolare i percentili o anche altre statistiche
della distribuzione in esame.
I metodi stocastici permettono di calcolare queste misure di variabilità, e in questo
presentano una potenza informativa migliore rispetto alle tecniche tradizionali.
L’obiettivo è cercare degli strumenti che diano informazioni migliori, da qui nasce
l’esigenza di considerare congiuntamente i metodi stocastici e deterministici in modo da
ottenere una stima della riserva sinistri che, seppur incognita, si avvicini al vero costo che
l’impresa sosterrà per chiudere determinati sinistri. Non deve comunque mai essere
sottovalutata l’importanza dei dati di input e la scelta dei parametri da cui derivano le
122
differenti stime, ossia, un errore negli elementi iniziali può compromettere il risultato
finale.
Nonostante si presentino in una forma più estesa dei metodi classici, esistono dei casi in
cui non è possibile procedere con una stima stocastica della riserva sinistri.
L’utilità dei metodi stocastici è che in molte circostanze possono fornire più informazioni
che potrebbero essere utili nel processo di stima della riserva sinistri e per l’intero
management della compagnia.
Il chain ladder è una tecnica di stima che si serve di dati cumulati dai quali deriva un
insieme di fattori di sviluppo o link ratios. Quando si utilizzano i metodi stocastici è
irrilevante sapere se si fa uso di dati cumulati o incrementali al fine della stima della
riserva sinistri.
Un criterio scelto per passare dai metodi deterministici ai metodi stocastici potrebbe essere
quello di ricercare un metodo che restituisca le stesse stime del chain ladder.
Uno dei più importanti studiosi ad occuparsi delle possibili metodologie stocastiche per la
stima della riserva sinistri è stato, e continua ad essere, Thomas Mack che già a partire dal
1991 cercò di capire quale fosse la distribuzione di probabilità sottostante il chain ladder.
Dopo di lui molti hanno cercato di definire dei modelli stocastici, anche se l’interesse
comune era quello di definire non tanto dei modelli stocastici quanto piuttosto una
distribuzione di probabilità completa della riserva sinistri da cui poter trarre le principali
statistiche. Infatti, l’obiettivo principale dei metodi stocastici non è di fornire delle
previsioni circa il possibile valore da accantonare, soprattutto quando si ricerca un
procedimento che dia esattamente gli stessi valori di un metodo non stocastico come
potrebbe essere il chain ladder, quanto piuttosto avere delle misure di variabilità delle
stime della riserva sinistri.
Molti hanno proposto un’estensione del chain ladder attraverso l’impiego dei modelli
lineari generalizzati (GLM, dall’inglese Generalized Linear Model). In questa sede non
verranno presentati tali criteri, piuttosto si farà riferimento ad un secondo procedimento
possibile per ottenere delle misure di variabilità, la tecnica del Bootstrapping applicata
anche a triangoli di run-off che prevedono che i pagamenti futuri si distribuiscano secondo
una Normale o una LogNormale.
Prima di procedere con questa tecnica di simulazione sembrerebbe necessario dare una
definizione delle misure di variabilità che interessano l’attuario nell’ambito della stima
della riserva sinistri. Come già affermato in precedenza, un vantaggio fondamentale dei
modelli stocastici in esame è la disponibilità di misure di precisione delle stime della
123
riserva, e in relazione a ciò, l’attenzione è focalizzata sulla radice quadrata dell’errore
quadratico medio di predizione, conosciuto meglio come prediction error.
Nel seguente paragrafo si fornirà la definizione di prediction error e la differenza che
intercorre tra quest’ultimo e lo standard error75.
2. Il prediction error e lo standard error
La stima della riserva sinistri è un processo predittivo in quanto dai dati a disposizione si
cerca di predire gli importi futuri da risarcire.
Nell’ambito della variabilità l’interesse principale è centrato sulla radice dell’errore
quadratico medio di previsione (RMSEP, dall’inglese Root Mean Squared Error of
Prediction), conosciuto meglio come prediction error.
E’ importante capire la differenza tra standard error e prediction error.
Lo standard error è la radice quadrata della varianza di stima. Il prediction error ha
attinenza con la variabilità di una previsione, prendendo in considerazione l’incertezza
nella stima dei parametri e la variabilità inerente ai dati che sono anch’essi frutto di
previsione. Se si riesce a trovare l’intera distribuzione di probabilità, la radice dell’errore
quadratico medio di previsione può essere ottenuto direttamente calcolando la sua
deviazione standard. Il prediction error è influenzato dalle assunzioni sottostanti al
modello.
)
~
Si consideri una variabile casuale X e un suo valore previsto X . L’errore quadratico
medio di previsione è dato da
)
~ ) 2
~
~
~ 2
E X −X =E X −E X − X −E X
)
~
Sostituendo X con X nell’ultimo valore atteso e sviluppando il quadrato si ha
)
)
) 2
~ ) 2
~
~ 2
~
~ )
E X − X ≈ E X − E X − 2E X − E X X − E X + E X − E X
[(
) ] [((
[ ]) (
[(
) ] [(
[ ]) ]
[ ])) ]
[(
[ ])(
[ ])] [(
[ ]) ]
(1)
(1 bis)
Sotto l’assunzione che le osservazioni future siano indipendenti dalle osservazioni passate
si ottiene
~ )
E X −X
[(
) ]≈ E [(X~ − E[X~ ]) ]+ E [(X) − E[X) ]) ]
2
2
2
(1 ter)
che a parole è
Varianza di previsione = Varianza del processo + Varianza della stima.
75
Secondo l’impostazione di England e Verrall.
124
[(
[ ]) ] è variabilità presente nei dati iniziali da cui si
~
~
ricavano le future valutazioni. La varianza della stima E [(X − E [X ]) ], come è ovvio
~
~
La varianza del processo E X − E X
2
2
attendersi, è la variabilità dovuta alla stima e la sua radice quadrata è lo standard error.
Dall’ultima relazione si ricava che la varianza di previsione altro non è che l’errore
quadratico medio di previsione (MSEP, dall’inglese Mean Squared Error of Prediction), e
il prediction error è la radice quadrata della varianza di previsione76.
2.1. La versione stocastica del chain ladder
Il metodo chain ladder è probabilmente il più utilizzato per la stima della riserva dei sinistri
non ancora pagati e degli IBNR. Il principale motivo di un così ampio impiego è la sua
semplicità e il fatto che non ha alcuna distribuzione, cioè sembra che non si basi su alcune
assunzioni. In realtà non è così. Infatti, il chain ladder con le sue assunzioni implicite ha
delle implicazioni che permettono di misurare la variabilità delle stime della riserva
sinistri.
Con l’aiuto di questa statistica è possibile costruire un intervallo di confidenza per
l’ammontare ultimo stimato dei sinistri e per le riserve stimate. Un simile intervallo di
confidenza è di grande interesse per gli analisti poiché la stima puntuale del valore ultimo
del risarcimento può non essere una previsione esatta e pertanto l’intervallo di confidenza
ha un valore informativo maggiore. Se poi si considera Cij come una variabile aleatoria
continua, la probabilità che Cij sia uguale al valore fornito dal suo stimatore è nulla.
Inoltre, un intervallo di confidenza permette l’inclusione della politica di business
all’interno del processo di stima della riserva usando una specifica probabilità di
confidenza.
Solitamente i fattori di sviluppo individuali osservati,
Ci , j +1
Cij
con i ≤ I − j 77, differiscono
da un anno all’altro e dal fattore di proporzionalità f j +1 . Questo significa che ogni
incremento da Cij a Ci , j +1 è considerato un disturbo casuale dell’incremento atteso da Cij
76
Il prediction error si presenta dunque come un momento del secondo ordine dell’intera distribuzione dei
possibili risultati.
77
Avendo indicato con I l’anno di accadimento più recente.
125
a Cij f j +1 , dove f j +1 è il vero ma ignoto fattore di incremento che risulta uguale per tutte le
generazioni ed è determinato tramite i rapporti78 dei dati disponibili.
Il metodo chain ladder assume l’esistenza di fattori indipendenti dal periodo di origine dei
sinistri, f1 ,........, f I , tali che, dati i valori Ci 0 ,........Cik , la realizzazione di Ci ,k +1 è prossima
a Cik f k +1 . Quest’ultimo valore, da un punto di vista statistico, è il valore atteso
condizionato di Ci ,k +1 . Infatti si ha E [Ci ,k +1 | Ci 0 ,...Cik ] = Cik f k +1 , con 0 < i < I
e
0 < k < I − i . Da ciò è facile dimostrare l’assunzione implicita del chain ladder e,
considerando l’equazione base del metodo CiI = Ci , I −i +1 f I −i +1 ⋅ ..... ⋅ f I , dimostrare il duplice
aspetto dell’assunzione implicita. Il primo accorgimento è che l’equazione base usa gli
stessi coefficienti di proporzionalità per differenti anni di accadimento i = I + 1 − k ,.....I ,
pertanto, la media condizionata postula dei parametri f k che sono uguali per tutte le
generazioni. Il secondo appunto è che l’equazione base del metodo usa solo i più recenti
valori osservati come base per le proiezioni dei valori ultimi ignorando del tutto i
pagamenti cumulati Ci 0 ,....., Ci , I −i degli anni precedenti e l’eventualità che Ci , I −i +1 potrebbe
deviare sostanzialmente dal suo valore atteso.
Si noti che sarebbe comunque possibile proiettare anche gli ultimi importi Ci 0 ,....., Ci , I −i dei
primi anni di differimento con l’aiuto dei parametri f1 ,....., f I e combinare tutti questi
importi proiettati insieme con Ci , I −i +1 f I −i +1 ⋅ ... ⋅ f I all’interno di uno stimatore comune per
CiI . Inoltre, sarebbe semplice anche impiegare i valori C j , I −i +1 delle generazioni più
anziane j < i come stimatori addizionali per E (Ci , I −i +1 ) traslandoli dentro il periodo di
origine i con l’ausilio di una misura del volume per ogni anno di accadimento. Queste
possibilità sono ignorate dal chain ladder che fa uso soltanto di Ci , I −i +1 come base delle
proiezioni. Questo significa che il chain ladder deve implicitamente utilizzare
un’assunzione che afferma che l’informazione contenuta in Ci , I −i +1 non può essere
migliorata aggiungendo l’impiego di Ci 0 ,....., Ci , I −i o di C1, I −i +1 ,....., Ci − I , I −i +1 . Tutto ha un
riflesso diretto nel valore atteso condizionato riportato sopra.
78
Si riveda la formula (1) del capitolo precedente.
126
L’equazione
E [Ci ,k +1 | Ci 0 ,...Cik ] = Cik f k +1 79 può essere riscritta nel seguente modo
⎡C
⎤
E ⎢ i ,k +1 | Ci 0 ,...Cik ⎥ = f k +1 , in cui si mette in risalto che il valore atteso del fattore di
⎣ C ik
⎦
sviluppo individuale
Ci ,k +1
Cik
è uguale a f k +1 , risultato a cui si perviene non considerando né
lo sviluppo precedente degli importi cumulati C i 0 ,....., Cik , né, in particolar modo, il
precedente fattore di sviluppo
rapporti
Ci ,k
Ci ,k −1
Ci ,k
Ci ,k −1
e
Ci ,k +1
Cik
Ci ,k
Ci ,k −1
. Quanto appena detto implica che due successivi
sono incorrelati. In altre parole, dopo un valore piuttosto alto di
la dimensione attesa del successivo rapporto
Ci ,k +1
Cik
è la medesima se
Ci ,k
Ci ,k −1
fosse
basso. A questo riguardo Mack consiglia di non applicare il metodo chain ladder ad un
business in cui si osserva un incremento piuttosto piccolo per
Ci ,k +1
Cik
se
Ci ,k
Ci ,k −1
è più elevato
che nella gran parte degli altri anni di accadimento, e viceversa.
Si sa bene che il metodo chain ladder prospetta delle stime per la riserva sinistri che per le
generazioni più recenti sono molto sensibili a variazioni nei dati osservati. Nel tempo sono
state proposte molte altre procedure di valutazione della riserva sinistri e i risultati di
queste procedure variano ampiamente e inoltre differiscono più o meno dal risultato del
chain ladder. Pertanto sarebbe davvero molto utile conoscere lo standard error delle stime
del chain ladder come una misura dell’incertezza contenuta nei dati e allo scopo di vedere
se la differenza tra i risultati del chain ladder e di un qualunque altro metodo è significativa
o meno.
Poiché l’algoritmo del chain ladder non prende in considerazione alcuna dipendenza tra i
periodi di origine, si può assumere che le variabili Cik di differenti generazioni
{Ci 0 ,....., CiI } e {C j 0 ,....., C jI } con i ≠
j siano indipendenti. Quanto appena detto può essere
considerato come un’ulteriore implicita assunzione del metodo chain ladder. In realtà,
l’indipendenza degli anni di accadimento può essere distorta da certi effetti da anno di
calendario come per esempio cambiamenti nel management dei sinistri o nella politica di
riservazione.
79
Questa equazione riproduce esattamente le stesse riserve se si calcolano i link ratios nel modo usuale del
basic chain ladder.
127
Il chain ladder permette di calcolare il costo ultimo della generazione o lo sviluppo dei
pagamenti in base ai dati che vengono impiegati. Tuttavia, restituisce delle stime puntuali e
non una distribuzione di probabilità. Da un punto di vista statistico, data una stima
puntuale, il passo successivo consiste nello sviluppare stime della probabile variabilità nei
risultati. La misura di variabilità comunemente utilizzata è il prediction error, definito
come la deviazione standard della distribuzione dei possibili risultati della riserva. Sarebbe
desiderabile prendere in considerazione anche altri fattori, come il verificarsi di eventi
imprevisti che possono aggiungere ulteriore incertezza, ma che nello stesso tempo sono
difficili da modellizzare.
Per prima cosa è necessario formulare un modello statistico sottostante facendo assunzioni
sui dati se si vuole ottenere il prediction error. Se l’obiettivo è di fornire un modello
stocastico che sia analogo alla tecnica del chain ladder, allora un primo ovvio requisito da
richiedere è che i valori stimati siano gli stessi di quelli del chain ladder. Esistono due
modi in cui si può procedere, specificando le distribuzioni per i dati oppure specificando
soltanto i primi due momenti della distribuzione. Tra le possibili distribuzioni di
probabilità che riproducono gli stessi valori del basic chain ladder ci sono la OverDispersed Poisson, la Negative Binomial e la Normal Approximation to the Negative
Binomial. Le differenze tra le suddette distribuzioni sono per lo più di implementazione.
Una trattazione approfondita delle tre distribuzioni menzionate esula dagli scopi del
presente lavoro, tuttavia si vogliono descrivere le ipotesi e in cosa differiscono rispetto al
chain ladder classico.
La Over-Dispersed Poisson differisce dalla Poisson in quanto la varianza non è uguale ma
proporzionale alla media, maggiore o minore in base al valore del parametro φ .
Nell’ambito della stima della riserva sinistri, tale approccio prevede che i pagamenti
incrementali Pij siano distribuiti secondo variabili casuali indipendenti con distribuzione
data dalla Over-Dispersed Poisson aventi come primi due momenti della distribuzione
[ ]
[ ]
E Pij = mij = xi y j e Var Pij = φ ⋅ xi y j , dove
n
∑y
k =1
k
= 1 . Esiste un’analogia tra il chain
ladder classico e il modello Over-Dispersed Poisson. Verrall80 ha dimostrato che
j +1
)
λj =
)
∑y
k =1
j
)
∑y
k =1
k
)
, dove λ j è lo stimatore di massima verosimiglianza dei fattori di sviluppo del
k
80
Nel lavoro del 2000 “An investigation into stochastic claims reserving models and the chain ladder
technique” citato in bibliografia.
128
)
chain ladder e y j sono le stime di massima verosimiglianza dei parametri di colonna.
)
Infatti, xi è l’ammontare ultimo81 atteso per ogni anno di origine e y j è la proporzione del
costo ultimo che emerge in ogni anno di sviluppo e come tale deve avere un valore
positivo, questo è un limite dell’approccio in esame. Il parametro φ è incognito e deve
essere stimato dai dati. Una caratteristica della Over-Dispersed Poisson è che non influenza
le stime dei parametri, xi e y j , ma accresce il loro standard error. Nonostante sia stato
presentato come una variante della distribuzione di Poisson, tale approccio può comunque
essere applicato qualora si disponga di numeri (valori) non interi, siano essi negativi o
positivi, in circostanze simili si farà ricorso alla quasi verosimiglianza. L’assunzione
cruciale del modello è che la varianza è stata posta proporzionale alla media e può essere
applicato a elementi non necessariamente interi positivi. E’ stato dimostrato inizialmente
da England e Verrall82 e succesivamnete ripreso da De Felice e Moriconi83 che il modello
della Over-Dispersed Poisson restituisce esattamente gli stessi valori ottenuti con il metodo
classico del chain ladder.
Il modello della Binomiale Negativa ha una qualche relazione con la Over-Dispersed
Poisson. La Negative Binomial può essere applicata ai pagamenti incrementali o cumulati.
[ ]
[ ]
Nel caso di importi incrementali Pij si ha E Pij = (λ j − 1)Ci , j −1 e Var Pij = φλ j (λ j − 1)Ci , j −1 .
Posto che vale Cij = Ci , j −1 + Pij è facile ottenere la media e la varianza per gli importi
[ ]
[ ]
cumulati Cij , E Cij = λ j Ci , j −1 e Var Cij = φλ j (λ j − 1)Ci , j −1 84. Il significato di λ j è analogo
al link ratio standard del chain ladder. Poiché anche la Negative Binomial è una variante
della Poisson, le distribuzioni predittive sono essenzialmente le stesse così come anche i
valori previsti.
Si noti che se λ j < 1 85, la Binomiale Negativa presume una varianza negativa e il modello
non può essere più impiegato ai fini della stima della riserva sinistri. Per superare questo
inconveniente è possibile sostituire la Negative Binomial con la Normal Approximation to
the Negative Binomial la cui media rimane invariata e la varianza viene modificata per
tener conto della possibilità che si verifichi il caso λ j < 1 . I pagamenti Pij sono distribuiti
81
Con il termine ultimo si intende il valore corrispondente all’ultimo anno di differimento previsto nel
triangolo di run-off.
82
Nell’articolo “A flexible framework for stochastic claims reserving” citato in bibliografia.
83
Nel loro lavoro del 2003 “Risk based capital in P&C loss reserving or stressing the triangle”.
84
L’incognito parametro φ rende alla distribuzione una dispersione maggiore.
85
Questa disuguaglianza implica che la somma dei pagamenti incrementali nella j − esima colonna è
negativa.
129
approssimativamente secondo una Normale se hanno media pari a (λ j − 1)Cij e varianza
φ j Ci , j −1 in cui, a differenza delle altre due distribuzioni, il parametro φ dipende
[ ]
[ ]
dall’antidurata. In modo analogo si ottiene E Cij = λ j Ci. j −1 e E Cij = φ j Ci. j −1 . England e
Verrall suggeriscono di utilizzare la procedura del “joint modelling” per dare un valore al
parametro φ 86.Sia il modello della Negative Binomial che della Normal Approximation to
the Negative Binomial sono modelli ricorsivi, pertanto nel calcolare la verosimiglianza è
necessario porre i dati in un certo ordine.
Allo scopo di trovare un modello stocastico sottostante il metodo chain ladder è necessario
)
)
)
Ci ,k = Ci ,I −i +1 f I −i +1 ⋅ ... ⋅ f k
in termini stocastici, ossia
riscrivere l’equazione
)
)
)
Ci ,k +1 = Ci ,k ⋅ f k +1 , per k > I + 1 − i . Il modello stocastico è E [Ci ,k +1 ] = E [Ci ,k ]⋅ f k +1 per
1 ≤ k ≤ I − 1 , in cui tutti i valori Ci ,k sono considerate delle variabili casuali e f1 ,..., f I sono
parametri ignoti da stimare. Con riferimento agli importi incrementali S i ,k = Ci ,k − Ci ,k −1 è
possibile dimostrare che E [Ci ,k +1 ] = E [Ci ,k ]⋅ f k +1 è equivalente a E [S i ,k ] = xi ⋅ y k , con
n
∑y
k =1
k
= 1 . Entrambi i parametri xi e y k non sono noti. Un modo per rendere stocastico il
modello E [S i ,k ] = xi ⋅ y k è di supporre che le variabili casuali S i ,k seguano una delle
seguenti possibili distribuzioni di probabilità
(
)
•
Normale xi ⋅ y k ,σ 2
•
⎛ 1
Esponenziale⎜⎜
⎝ xi ⋅ y k
•
LogNormale xi + yk , σ 2
(
⎞
⎟⎟
⎠
)
In realtà la possibile scelta per rendere stocastico il modello E [S i ,k ] = xi ⋅ y k non si limita
alle sole distribuzioni qui presentate.
Come è noto, l’accantonamento per il pagamento futuro dei sinistri è una variabile che
presenta un’asimmetria positiva con una coda più pronunciata verso destra, quindi la prima
distribuzione non è indicata per il tipo di dati in esame. Dalle rimanti due distribuzioni si
~
evince che tutte le realizzazioni della variabile S devono essere positive. E’ probabile
avere dei valori negativi nel run-off iniziale se le compagnie di assicurazione ottengono un
recupero sugli esborsi sostenuti in precedenza. Il recupero può essere dovuto dalla
86
Per ulteriori approfondimenti si rimanda al lavoro di England e Verrall del 2002 citato in bibliografia.
130
presenza di un massimale o di una franchigia. Lo stesso ragionamento può essere condotto
anche per le società che esercitano il lavoro indiretto. In realtà è molto raro trovare degli
importi non positivi nel triangolo dei sinistri pagati, pertanto questa critica può essere
facilmente superata.
Le tre tipologie di distribuzione forniscono degli stimatori diversi per i parametri xi e y k ,
dunque si otterranno differenti valori da accantonare che differiranno a loro volta anche
dalla stima ottenuta dal basic chain ladder.
Mack ha dimostrato che il modello stocastico sottostante il chain ladder è proprio dato
dall’equazione E [Ci ,k +1 | Ci , 0 ,..., Ci ,k ] = Ci ,k ⋅ f k +1 per 0 ≤ i ≤ I
e 0 ≤ k ≤ I − i . Questo
modello richiede di stimare soltanto n − 1 parametri contro i 2n parametri relativi alla
distribuzione LogNormale, e quindi si rivela un metodo più robusto del modello
LogNormale87.
2.2. Il Mean Squared Error of Prediction per il chain ladder
Mack ha proposto una formula per il calcolo dello standard error nell’articolo
“Distribution-free calculation of the standard error of chain-ladder reserve estimates” e in
questo paragrafo si seguirà la stessa impostazione.
L’autore sottolinea che nella relazione dello standard error a cui è pervenuto, è inclusa
anche la varianza del processo perché la riserva sinistri è una variabile casuale e non un
parametro88.
Si indichi con D = {Cij | i + j ≤ I } l’insieme di tutti i dati osservati fino alla data di
valutazione. L’errore quadratico medio di previsione per l’ultimo importo cumulato CiI è
dato da
)
)
) 2
mse CiI = Var CiI | D + E (CiI | D ) − CiI
)
dove CiI indica il valore previsto come ultimo risarcimento cumulato.
( )
(
) (
)
(2)
Dunque il mean squared error è la somma dell’errore stocastico, ossia della varianza del
processo, e dell’errore di stima.
87
Si può trovare una prova di quanto detto nell’articolo di Mack dal titolo “Which stochastic model is
underlying the chain ladder method?”.
88
A differenza della stima dei premi in cui si fa ricorso all’expected value.
131
L’errore quadratico medio consente di verificare quanto la previsione su CiI sia distante
dalla sua realizzazione.
Mack suggerisce l’utilizzo della media condizionata per calcolare il mean squared error del
costo ultimo e della riserva sinistri perché nella pratica ricopre un interesse maggiore, e
risulta più utile calcolare la misura in questione su un insieme di dati osservati.
La radice quadrata dello MSEP è lo standard error della stessa variabile89. Per quanto
attiene l’ultimo importo cumulato CiI si ha
( )
( )
(
) (
)
)
)
)
s.e. CiI = mse CiI = Var CiI | D + E (CiI | D ) − CiI
)
2
(3)
Allo stesso modo è possibile calcolare lo standard error della i − esima riserva sinistri.
)
Indicando con CiI la stima del costo ultimo cumulato della i − esima generazione, la stima
)
della relativa riserva è pari a Ri e il suo standard error è esattamente uguale a quello di
)
CiI , cioè in formule vale la seguente relazione
)
)
s.e. CiI = s.e. Ri .
(4)
( )
( )
Thomas Mack90 ha derivato la formula dello standard error per l’ultimo importo cumulato
)
CiI , perfezionata e semplificata nel modo seguente
(s.e.(C) ))
2
iI
)
)
σ k2
= CiI ⋅ ∑ ) 2
k = n +1−i f k
n −1
⎛
⎜
1
1
⋅ ⎜⎜ ) + I −k
C
⎜⎜ ik ∑ C jk
j =1
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟⎟
⎠
(5)
)
)
dove, f k è lo stimatore del k − esimo fattore di sviluppo calcolato per k = 1,..., I − 1 , e σ k2
è un parametro che ha per stimatore
I −k
) ⎞
⎛C
1
σk =
⋅ ∑ Cik ⋅ ⎜⎜ i ,k +1 − f k ⎟⎟
I − k − 1 i =1
⎝ Cik
⎠
)2
2
(6)
)
calcolabile per k = 1,..., I − 2 . Per ottenere il valore di σ I2−1 si fa ricorso alla relazione
)
)
σ I −3 σ I − 2
secondo la quale vale ) = ) , in tal modo una plausibile stima è
σ I −2
σ I −1
)
⎛ σ I4−2
)
)
⎜
σ I −1 = min⎜ ) 2 , min σ I2−3 ,σ I2−2
⎝ σ I −3
)2
(
)⎞⎟⎟
⎠
(7)
89
Questa affermazione sembra contraddire con quanto detto prima, in realtà molti autori utilizzano il termine
standard error o prediction error in modo indifferente.
90
Per la descrizione di tutti i passaggi si rimanda all’articolo “The standard error of chain-ladder reserve
estimates: recursive calculation and inclusion of a tail factor” citato in bibliografia.
132
)
Nell’esempio numerico è stata impiegata la formula precedente per calcolare σ I2−1 , invece
)
si è estrapolato il valore di σ I2 attraverso una regressione esponenziale.
Per ottenere lo standard error della stima complessiva della riserva sinistri non è sufficiente
sommare le relative misure per tutte le riserve generazionali in quanto non vale
()
( )
I
)
)
)
s.e. R = ∑ s.e. Ri perché esistono delle correlazioni per via degli stimatori comuni f k e
i =0
)
σ k . Per la riserva sinistri vale91
( ( ))
)
s.e. R
2
⎧
⎪⎪
)
= ∑ ⎨ s.e. Ri
i =0 ⎪
⎪⎩
I
( ( ))
2
)
+ CiI
⎫
)
⎛ I ) ⎞ I −1 2σ) k2 f k2 ⎪⎪
⋅ ⎜⎜ ∑ C jI ⎟⎟ ⋅ ∑ I −k
⎬.
⎝ j =i +1 ⎠ k = I −i +1 ∑ C ⎪
nk
⎪⎭
n =1
(8)
La distribuzione di probabilità predittiva permetterebbe di ricavare lo standard error come
deviazione standard oltrepassando i problemi che si potrebbero incontrare nelle formule
proposte da Mack. Citare
La riserva sinistri per ogni periodo di origine presenta una distribuzione asimmetrica,
pertanto non si può ipotizzare che le stesse riserve seguano una distribuzione Normale;
sarebbe più ragionevole lavorare con una LogNormale. Nei suoi lavori iniziali Thomas
Mack aveva ipotizzato una distribuzione LogNormale delle riserve residue e ancora prima
aveva proposto un modello parametrico in cui ogni singolo sinistro si distribuiva secondo
una Gamma. In entrambi i lavori le supposte distribuzioni dovevano servire per calcolare
lo standard error della riserva sinistri. In seguito ha proposto un modello senza
distribuzione di probabilità per calcolare lo standard error delle stime della riserva sinistri
ottenute tramite il chain ladder.
3. La tecnica del Bootstrapping
Il prediction error è utile per misurare la precisione di una stima della riserva sinistri, che a
sua volta è efficace nel definire la somma prudente da accantonare. Per esempio Wright
suggerisce di aggiungere un multiplo del prediction error alla best estimate per avere una
valutazione prudente della riserva sinistri.
91
Per la dimostrazione dettagliata si rimanda all’articolo di Mack “Measuring the variability of chain ladder
reserve estimates” menzionato in bibliografia.
133
Storicamente la variabilità della stima è stata determinata facendo ricorso all’errore di
predizione poiché è abbastanza difficile procurarsi la distribuzione predittiva delle stime
della riserva, ottenuta come somma di variabili casuali, a causa della variabilità dovuta al
processo statistico sottostante e della variabilità dovuta alla stima dei parametri. Con
l’avvento di computer più potenti e con tecniche di simulazione più robuste, oggi è
possibile ottenere una distribuzione simulata di probabilità che permette di ovviare
l’inconveniente di dover trattare con formule complicate per il calcolo del prediction error.
Il Bootstrapping è una valida tecnica seppur semplice per ottenere informazioni da un
singolo campione di dati che sarebbero altrimenti ottenute con l’ausilio di tecniche
analitiche. Il bootstrapping fu introdotto nel 1979 come un metodo per calcolare lo
standard error del parametro di interesse di cui si intende ottenere la stima avendo a
disposizione un campione di dati provenienti da una distribuzione di probabilità non
conosciuta. L’obiettivo del bootstrapping è di ottenere la distribuzione di probabilità del
campione dei dati. Non si cerca dunque di ridurre l’errore bensì di stimarlo.
La metodologia è incentrata sul campionamento con ripetizione e, a partire da una lista di
dati osservati crea un gran numero di campioni di pseudo dati, che sono coerenti con la
stessa distribuzione sottostante. Poiché si fa ricorso al campionamento con reinserimento e
poiché in ogni campione creato il numero di elementi è uguale a quello dell’insieme
originale, i dati originali possono essere presenti più di una volta in ogni campione ottenuto
dal bootstrapping o addirittura non essere mai estratti dal campione. Premesso che ci si
avvale del bootstrapping quando si vuole definire il valore di una determinata misura di
interesse, una volta ottenuto il numero di campioni stabilito a priori, si calcola per ogni
campione il valore della misura di interesse. Il campionamento viene ripetuto un numero
sufficientemente elevato di volte e per ogni campione si calcola la funzione in questione,
così facendo si avrà un numero elevato di possibili valori della misura in esame che
possono essere considerati come sue probabili realizzazioni. La distribuzione di probabilità
predittiva è determinata tenendo conto di tutte le possibili realizzazioni e le relative
frequenze. Questa è l’idea base del bootstrapping.
La procedura del bootstrapping, e in generale i metodi stocastici arricchiscono le
informazioni che l’analista ha a disposizione, e sono in grado di fornirgli una distribuzione
di probabilità. E’ bene sottolineare che si prevede quale possa essere una probabile
distribuzione in quanto la vera distribuzione di probabilità della riserva sinistri non si
conoscerà mai, e tanto dipende dalle ipotesi iniziali che vengono poste sui dati di input.
134
Una fase essenziale del bootstrapping è di effettuare il campionamento sui residui. Allo
scopo di ottenere dei risultati consistenti è indispensabile che i dati siano considerati come
osservazioni di variabili casuali indipendenti e identicamente distribuite. Per i casi che
riguardano problemi di regressione92, come potrebbe essere il chain ladder sotto
l’assunzione che la distribuzione sia la Over-Dispersed Poisson, si assume che i dati siano
indipendenti ma non identicamente distribuiti. Per questa ragione il bootstrapping è
eseguito sui residui piuttosto che sui dati stessi. I residui, standardizzati infatti, sono
approssimativamente indipendenti e identicamente distribuiti, o almeno possono essere resi
tali93. Tuttavia nelle comuni applicazioni si è soliti operare il campionamento con
reinserimento direttamente dai dati stessi perché si assume che gli stessi siano indipendenti
e identicamente distribuiti.
L’applicazione del bootstrapping a distribuzioni asimmetriche rende la procedura più
problematica, soprattutto per le code, e inoltre sottostima gli errori. Questo è un po’ il
limite del bootstrapping.
3.1. Il chain ladder secondo il bootstrapping
L’utilizzo della procedura del bootstrapping per la stima della riserva sinistri secondo il
metodo chain ladder presenta una successione ben precisa di fasi che sono esposte di
seguito.
Il run-off dei dati storici permette il calcolo dei fattori di sviluppo che applicati ai dati della
diagonale consentono di ottenere un nuovo triangolo superiore di importi cumulati. In
formule
)
)
Cik = Ci ,k +1 f k−+11
(9)
)
sotto l’ipotesi che valga Ci , I −i = Ci ,I −i .
Dal nuovo e riadattato triangolo dei dati si calcolano per differenza gli importi incrementali
)
mij . I residui standardizzati di Pearson per il run-off del passato sono determinati usando la
relazione seguente
)
Pij − mij
(P)
rij =
)
mij
92
93
(10)
In queste circostanze, infatti, le medie, e possibilmente anche le varianze, dipendono dalle covariate.
Si rimanda all’articolo di England e Verrall (2002) citato in bibliografia.
135
In realtà il bootstrapping si applica ai cosiddetti residui adjusted cioè corretti per tener
conto della distorsione derivante dall’uso di un approccio analitico
rijadj =
n
1
n ⋅ (n + 1) − 2n + 1
2
⋅ rij( P )
(11)
La fase successiva consiste nell’esecuzione del seguente ciclo da ripetere N volte
•
creare un nuovo triangolo dei residui adjusted attraverso un campionamento con
reinserimento;
•
definire il triangolo degli importi incrementali ottenuti dal bootstrapping, Pij* ,
risolvendo la seguente equazione
)
)
Pij* = rij*(adj ) ⋅ mij + mij
(12)
dove rij*(adj ) sono i residui corretti campionati;
•
calcolare l’associato triangolo di pseudo dati cumulati;
•
applicare il basic chain ladder;
•
effettuare le proiezioni allo scopo di ottenere il triangolo futuro dei pagamenti
cumulati;
•
derivare come differenza il triangolo dei pagamenti incrementali da utilizzare come
~ ;
media nella simulazione della distribuzione di probabilità, m
ij
•
per ogni cella
(i, j )
del triangolo inferiore ricavare un pagamento dalla
~ e varianza φ ⋅ m
~ , il parametro
distribuzione simulata sottostante avente media m
ij
ij
φ è calcolato nel seguente modo
∑ (r ( ) )
P
φ=
2
ij
i + j ≤ I −i +1
1
n ⋅ (n + 1) − 2n + 1
2
(13)
in cui il denominatore rappresenta i gradi di libertà ottenuti come differenza tra il
numero delle osservazioni e in numero dei parametri da stimare;
•
sommare i pagamenti simulati per ottenere la riserva di ogni generazione e la stima
della riserva sinistri generale;
•
salvare i risultati ottenuti e ricominciare il ciclo.
L’insieme dei risultati registrati forma la distribuzione di probabilità prevista. La media dei
risultati ottenuti dovrebbe essere paragonata con le stime delle riserve ottenute tramite il
136
chain ladder per verificare eventuali errori. La deviazione standard della distribuzione delle
stime delle riserve fornisce la stima del prediction error.
4. La proposta di Mack e Quarg: il Munich Chain
Ladder
La stima della riserva per i sinistri IBNR (Incurred But Not Reported), altrimenti sinistri
tardivi, è solitamente dedotta dall’impiego dei triangoli di run-off, sia dei pagati che dei
pagati e riservati, cioè i cosiddetti incurred. Mack e Quarg hanno dimostrato che tra i due
triangoli richiamati esiste una qualche correlazione che viene ignorata dal basic chain
ladder applicato separatamente ai pagati e agli incurred. Il Munich Chain Ladder, invece,
trasferisce al futuro la correlazione tra pagati e incurred registrata nel passato.
4.1. Introduzione al Munich Chain Ladder
Un modo consueto di determinare la riserva sinistri per gli IBNR di un portafoglio è di
applicare il metodo chain ladder separatamente al triangolo dei sinistri pagati e al triangolo
degli incurred. Al contrario, il Munich Chain Ladder combina insieme i due tipi di dati
prendendo in considerazione nelle proiezioni i rapporti P I , dove P sta per Paid, sinistri
pagati e I per Incurred, sinistri avvenuti. Il rapporto P I rappresenta la quota degli
incurred che è stata pagata fino ad una certa data considerata durante l’analisi.
Il problema che spesso si presenta è che la proiezione basata sui pagati spesso è molto
diversa da quella basata sugli incurred. I sinistri pagati possono produrre per un anno di
generazione un’ultima proiezione dei sinistri più alta di quella ottenuta tramite i sinistri
accaduti, ma la situazione può essere del tutto differente l’anno successivo. La situazione
appena descritta è tipica del metodo chain ladder che non tiene conto del fatto che quasi
sempre tra i pagati e gli incurred esistono delle correlazioni. Tutto ciò accade perché il
metodo chain ladder definisce delle proiezioni separate per il triangolo dei sinistri pagati e
per il triangolo dei sinistri pagati e riservati. Il metodo Munich Chain Ladder tiene conto
della presenza delle suddette correlazioni e pertanto il vantaggio che se ne ricava è che la
137
relazione tra sinistri pagati e incurred che c’è stata nel passato può essere trasferita nella
proiezione per il futuro.
4.1.1. Il problema del basic chain ladder
Per capire meglio i punti di debolezza del basic chain ladder siano per i, t = 1,..., n 94 Pit gli
importi pagati cumulati e I it gli importi totali degli incurred appartenenti alla generazione
i − esima nel t − esimo anno di differimento. Sulla base di quanto detto, anche nel capitolo
precedente, i valori Pit e I it sono noti per 1 ≤ t ≤ ai , avendo posto ai := n + 1 − i , e devono
P
⎛P⎞
invece essere proiettati per ai < t ≤ n . Si ponga inoltre ⎜ ⎟ := i ,t , rapporto tra pagato e
⎝ I ⎠ i ,t I i ,t
incurred della generazione i − esima nell’anno di sviluppo t , e la media dei rapporti P I
in
un
fissato
anno
di
differimento
per
tutte
le
generazioni
sia
pari
a
n
⎛P⎞
⎜ ⎟ :=
⎝ I ⎠t
∑P
j =1
n
j ,t
∑ I j ,t
=
j =1
n
⎛P⎞
⋅ ∑ I j ,t ⋅ ⎜ ⎟ , che rappresenta la media dei rapporti P I al
⎝ I ⎠ j ,t
j =1
1
n
∑I
j =1
j ,t
t − esimo anno di sviluppo pesata con gli importi degli incurred.
Con altra notazione è possibile definire i link ratios del basic chain ladder per i sinistri
pagati e per gli incurred come segue, con s = 1,..., n − 1
n−s
f
P
s → s +1
:=
∑P
j =1
n−s
j , s +1
∑P
(14)
j ,s
j =1
e
n−s
f
I
s → s +1
:=
∑I
j =1
n−s
j , s +1
∑I
j =1
(15)
j ,s
Per le somme proiettate, cioè per s ≥ ai , valgono
Pi ,s +1 = Pi ,s ⋅ f sP→s +1
94
(16)
Di seguito si seguirà la stessa terminologia presente nell’articolo dei due autori citata in bibliografia.
138
e
I i ,s +1 = I i ,s ⋅ f sI→s +1
(17)
E’ lecita l’estensione delle formule precedenti ai rapporti P I futuri, ossia per t > ai
Pi ,t Pi ,ai ⋅ f aPi →ai +1 ⋅ ... ⋅ f t −P1→t
⎛P⎞
=
⎜ ⎟ =
I
I
⎝ I ⎠ i ,t I i ,t I i ,ai ⋅ f ai →ai +1 ⋅ ... ⋅ f t −1→t
(18)
Da cui si deriva la seguente relazione
n
Pi ,ai ⋅
⎛P⎞
⎜ ⎟ =
⎝ I ⎠ i ,t
∑P
j =1
n
∑P
j =1
n
I i ,ai ⋅
j ,t
j , ai
(19)
∑I
j ,t
∑I
j , ai
j =1
n
j =1
Che altrimenti riformulata diventa
⎛P⎞
⎛P⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ I ⎠ i ,t ⎝ I ⎠ i ,ai
=
⎛P⎞
⎛P⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ I ⎠ ai
⎝ I ⎠t
(20)
Il significato essenziale dell’equazione riportata sopra può essere facilmente spiegato a
parole. Per ogni anno di origine il rapporto tra un valore P I proiettato e la sua
corrispondente media è uguale al rapporto tra il valore attuale di P I e la sua
corrispondente media. Dunque, come è già risaputo, questo rapporto rimane costante per il
basic chain ladder. Quanto appena detto si ripercuote sulle proiezioni determinando una
sistematica debolezza del chain ladder, ossia, se per una generazione si registra un rapporto
P I sopra o sotto la media, il valore proiettato di P I alla fine dell’ultimo anno di
differimento avrà lo stesso comportamento, superiore o inferiore alla media.
Il problema del chain ladder è che opera esaminando separatamente i due triangoli, dei
pagati e degli incurred, in tal modo ignora la fondamentale correlazione esistente tra i due
tipi di dati. A causa di tutto ciò si spiega il suo più rilevante punto debole e il motivo per
cui a volte si hanno delle proiezioni non plausibili che contraddicono il passato.
139
4.1.2. Un’idea per risolvere il problema del basic chain ladder e
primo confronto con il Munich Chain Ladder
Se l’obiettivo prefisso è di ottenere delle proiezioni per gli IBNR non si dovrebbe usare lo
stesso link ratio per tutte le generazioni, come fa il chain ladder, ma si dovrebbe aderire
alla seguente regola basata sull’esperienza passata, ossia: a seconda che l’attuale rapporto
P I sia sotto o sopra la media, si dovrebbe utilizzare rispettivamente un fattore di sviluppo
dei pagati sopra o sotto la media, e/o un fattore di sviluppo degli incurred sotto o sopra la
media. La regola ora esposta rappresenta la soluzione per risolvere il problema dei rapporti
P I del metodo chain ladder.
Nell’articolo di Mack e Quarg sono riportati due esempi numerici che permettono di
dimostrare che ha senso assumere che i link ratios dei pagati abbiano una dipendenza
lineare dai precedenti rapporti I P piuttosto che dai rapporti P I . Invece, per quanto
riguarda i fattori di sviluppo degli incurred può essere mantenuta la dipendenza lineare tra
questi e P I .
Il Munich Chain Ladder conduce le analisi considerando congiuntamente, piuttosto che
individualmente, tutti i coefficienti di proporzionalità poiché un rapporto P I sopra o sotto
la media deve essere compensato da un corretto link ratio non soltanto nell’anno
immediatamente seguente ma per tutte le successive antidurate.
Poiché si vuole considerare i fattori di sviluppo individuali e i rapporti P I e I P per tutti
gli anni di differimento è necessario standardizzarli per poterli confrontare con più facilità.
Tutto ciò è reso possibile facendo ricorso ai residui dei valori predetti. Il residuo è una
misura standardizzata della deviazione del valore dalla media. Più esattamente, misura la
deviazione dal rispettivo valore atteso in termini di standard deviation.
La procedura generale del Munich Chain Ladder può essere sintetizzata come segue. Per
prima cosa si disegnano per tutti gli anni di differimento due assi cartesiani in cui si
rappresentano i residui dei link ratios dei pagati e degli incurred come coordinate e lungo
l’asse delle x si ritraggono rispettivamente i residui dei precedenti rapporti I P e P I .
Poi si raffigura la linea di regressione95 passante per l’origine di entrambi i grafici. Per un
dato rapporto I P ,o P I , si calcola il residuo, si legge l’associato valore del residuo del
link ratio dalla linea di regressione e si fa impiego di tale fattore invece di utilizzare la
media di tutti i coefficienti di proporzionalità che hanno residui nulli.
95
Tuttavia è più probabile avere questo tipo di tendenza per i pagati che per gli incurred.
140
L’aver imposto l’utilizzo congiunto di tutti gli anni di sviluppo permette di superare due
inconvenienti. Il primo è la possibilità di ottenere frequentemente una stima dei coefficienti
angolari delle linee di regressione molto incerta e volatile, specialmente laddove sono
disponibili pochi anni di origine, il che vale sempre per le ultime antidurate. Il secondo è di
estrarre dai calcoli delle inclinazioni illogiche se si paragona il risultato numerico al
grafico. Nello stesso articolo sono riportati alcuni esempi che mettono in luce come di fatto
il Munich Chain Ladder restituisca delle stime migliori96, visibili graficamente; e in alcuni
casi la proiezione degli ultimi rapporti P I basata sui sinistri pagati eguaglia quella degli
incurred.
4.2. Il modello del Munich Chain Ladder
In un suo articolo del 1993, Mack aveva trattato lo standard error del basic chain ladder
non ipotizzando alcuna distribuzione di probabilità sottostante. Allo stesso modo hanno
fatto i due autori del Munich Chain Ladder definendo un modello stocastico comune per i
pagati e gli incurred, con una complicata formulazione senza fare alcun ricorso a
distribuzioni di probabilità, ma prendendo in considerazione la dipendenza dei link ratios
da P I o da I P .
4.2.1. Le assunzioni del modello
Sia n ∈ N il numero degli anni di accadimento dei sinistri e T la durata del differimento
con T ⊂ N , di solito vale T = {1,2,..., n}. Per i = 1,..., n sia Pi = (P i ,t )t∈T il processo dei
sinistri pagati per l’anno di origine i − esimo e I i = (I i ,t )t∈T il processo degli incurred.
Pertanto la variabile casuale Pi ,t denota i sinistri appartenenti alla i − esima generazione e
pagati con t anni di ritardo, e I i ,t denota i sinistri avvenuti nell’anno i che sono stati
96
Il termine migliore in questo contesto ricopre il significato di meno variabile, infatti per lo stesso insieme
di dati iniziali il basic chain ladder produce delle stime che hanno una variazione significativa lungo tutti gli
anni di origine. E’ comunque possibile ottenere delle stime altamente variabili, ma questo non è causato dalla
procedura di valutazione ma dal fatto che il Munich Chain Ladder stesso si basa sui dati osservati per fare le
dovute proiezioni. Ciò vuol dire che se i dati originali presentano una variazione rilevante, la stessa
variazione si registrerà nelle stime.
141
pagati e riservati entro la fine del t − esimo anno di sviluppo. I processi Pi e I i descrivono
lo sviluppo dei sinistri pagati e pagati più riservati della generazione i − esima lungo tutti
gli anni di differimento. Inoltre si ponga Ρi (s ) := {Pi ,1 ,..., Pi ,s }, ossia la condizione che lo
sviluppo del processo dei pagati è dato per noto con antidurata massima pari all’anno s
incluso, e in modo simile vale anche per il processo degli incurred Ι i (s ) := {I i ,1 ,..., I i ,s }.
A differenza di quanto accade per il basic chain ladder in cui si realizzano le proiezioni
separatamente per i due triangoli, non definendo nulla circa la relazione tra il processo dei
pagati e il processo degli incurred, il Munic Chain Ladder definisce il valore atteso di Pi ,t e
di I i ,t sulla base della conoscenza globale di entrambi i tipi di dati. L’interesse è posto
⎡P
⎤
⎡I
⎤
nella determinazione dei valori medi condizionati E ⎢ i ,t | Β i (s )⎥ e E ⎢ i ,t | Β i (s )⎥ , dove
⎢⎣ I i ,s
⎣⎢ Pi ,s
⎦⎥
⎦⎥
Β i (s ) = {Pi ,1 ,..., Pi ,s , I i ,1 ,..., I i ,s } è lo sviluppo della conoscenza di entrambi i processi fino alla
fine dell’anno di differimento s .
Nell’articolo del 1993, Mack aveva dimostrato che i pagamenti cumulati per ogni anno di
generazione sono indipendenti, allo stesso modo si assume direttamente l’indipendenza
stocastica per tutti i periodi di origine dei sinistri pagati e avvenuti. Sostanzialmente,
questo
{P
1,t
significa
accettare
che
esista
indipendenza
tra
gli
insiemi
, I1,t | t ∈ T },..., {Pn ,t , I n ,t | t ∈ T } . Per una maggiore sintesi di espressione in seguito si farà
uso del valore Qi :=
Pi ⎛⎜ Pi ,t ⎞⎟
che denota il processo di P I .
=
I i ⎜⎝ I i ,t ⎟⎠ t∈T
Come già affermato, il metodo Munich Chain Ladder pone l’interesse nella definizione del
valore atteso condizionato dei fattori di sviluppo dei pagati e degli incurred e dei rispettivi
⎛P
⎞
⎛I
⎞
residui, Re s⎜⎜ i ,t | Ρi (s )⎟⎟ e Re s⎜⎜ i ,t | Ι i (s )⎟⎟ , una volta che lo sviluppo precedente di
⎝ Pi ,s
⎠
⎝ I i ,s
⎠
entrambi i processi è noto. Il decisivo vantaggio rispetto al basic chain ladder è di
formulare
specificate
assunzioni
per
⎛
⎞
⎛P
⎞
E ⎜ Re s⎜⎜ i ,t | Ρi (s )⎟⎟ | Β i (s )⎟
⎜
⎟
⎝ Pi ,s
⎠
⎝
⎠
e
per
⎛
⎞
⎛I
⎞
E ⎜ Re s⎜⎜ i ,t | Ι i (s )⎟⎟ | Β i (s )⎟ .
⎜
⎟
⎝ I i ,s
⎠
⎝
⎠
142
In modo analogo a quanto si fa per il basic chain ladder è possibile definire le relazioni
sulla speranza matematica condizionata dei pagati e degli incurred ∀ s, t ∈ T con t = s + 1 e
∀ i = 1,..., n
¾ per i pagati
⎛
⎞
⎛P
⎞
E ⎜ Re s⎜⎜ i ,t | Ρi (s )⎟⎟ | Β i (s )⎟ = λP ⋅ Re s Qi−,s1 | Ρi (s )
⎜
⎟
⎝ Pi ,s
⎠
⎝
⎠
(
)
(21)
o equivalentemente
⎛ Pi ,t
⎛P
⎞
E ⎜⎜ i ,t | Β i (s )⎟⎟ = f sP→t
⎝ Pi ,s
⎠
⎞
| Ρi (s )⎟⎟
Pi ,s
⎠ ⋅ Q −1 − E Q −1 | Ρ (s )
+ λP ⋅ ⎝ −1
i ,s
i ,s
i
σ Qi ,s | Ρi (s )
σ ⎜⎜
(
) (
(
))
(21 bis)
¾ per gli incurred
⎛
⎞
⎛I
⎞
E ⎜ Re s⎜⎜ i ,t | Ι i (s )⎟⎟ | Β i (s )⎟ = λI ⋅ Re s (Qi ,s | Ι i (s ))
⎜
⎟
⎝ I i ,s
⎠
⎝
⎠
(22)
o equivalentemente
⎛ I i ,t
⎛I
⎞
E ⎜⎜ i ,t | Β i (s )⎟⎟ = f sI→t
⎝ I i ,s
⎠
⎞
| Ι i (s )⎟⎟
I i ,s
⎠ ⋅ (Q − E (Q | Ι (s )))
+ λI ⋅ ⎝
i ,s
i ,s
i
σ (Qi ,s | Ι i (s ))
σ ⎜⎜
(22 bis)
Le equazioni precedenti esprimono la dipendenza dei fattori di sviluppo dei pagati e degli
incurred dai precedenti rapporti I P e P I rispettivamente.
I parametri λP e λI rappresentano il coefficiente angolare delle linee di regressione nei
rispettivi grafici dei residui e risultano indipendenti dall’antidurata s . Solitamente si
verifica che λP , λI ≥ 0 . Il secondo tipo di valore atteso, vale a dire la (20 bis) e la (21 bis)
esprimo la media condizionata dei fattori di sviluppo come somma del link ratio tipico del
chain ladder e un termine di correzione che è funzione di entrambi i tipi di dati, pagati e
incurred.
Si analizzi l’ultima relazione. Il valore atteso condizionato
⎛I
⎞
E ⎜⎜ i ,t | Β i (s )⎟⎟
⎝ I i ,s
⎠
è
monotonamente crescente e funzione lineare del rapporto P I , Qi ,s , e, come detto, è dato
dalla somma del coefficiente di proporzionalità tipico del chain ladder, f sI→t e di un
termine di correzione che è lineare in Qi ,s . Nel termine di errore sono coinvolti tre fattori
che possono essere spiegati come segue:
143
il fattore λI è il comune, nel senso che è indipendente sia da i che da s ,
coefficiente di correlazione97 dei residui dei link ratios e dei residui dei rapporti
P I . Il valore di λI solitamente varia tra 0 e 1 e misura la dipendenza dei fattori di
sviluppo dai precedenti rapporti P I . Se tra i dati esiste una relazione lineare molto
debole, λI sarà prossimo a zero e la proiezione dei fattori di sviluppo sarà uguale a
quella del basic chain ladder;
il fattore della standard deviation è il rapporto tra la standard deviation del link ratio
degli indurred e la standard deviation del corrente P I . Questo fattore causa
deviazioni dei rapporti P I dalla propria media, che devono essere riscalate come
deviazioni dei fattori di sviluppo. Più è grande la standard deviation del link ratio,
più sarà probabile avere una deviazione significativa dalla media e più grande sarà
il termine di correzione;
il termine lineare Qi ,s − E (Qi ,s | Ι i (s )) include il rapporto P I nella proiezione.
Pertanto se i rapporti P I sono sopra la media, hanno l’effetto di correggere il
fattore di sviluppo verso l’alto. La situazione opposta si verifica qualora i rapporti
P I siano al di sotto del valore medio E (Qi ,s | Ι i (s )) . Infine, se il rapporto P I è
pari alla media, il link ratio utilizzato sarà la media, coincidente al coefficiente del
basic chain ladder.
Possono essere fatte considerazioni analoghe nel caso in cui si prenda in esame il run-off
dei pagati.
Pertanto, i parametri di correlazione λP e λI rappresentano il legame fra il triangolo dei
pagati e il triangolo degli incurred. La grandezza di tali parametri indica fino a che punto lo
sviluppo dei sinistri pagati o degli incurred è influenzato rispettivamente dall’altro tipo di
dati; il che spiega perché questi parametri hanno un’elevata importanza per la dimensione
dell’ultima proiezione. Poiché l’approccio dei residui rende possibile operare con tutti gli
anni di differimento, in tal modo è disponibile una sufficiente quantità di dati, le stime che
si ottengono sono relativamente stabili.
E’ bene sottolineare che le assunzioni del metodo in esame non sono soltanto quelle
riportate sopra, infatti il Munich Chain Ladder assume implicitamente che valga quanto
detto per il chain ladder nell’articolo di Mack. Le relazioni precedenti devono essere
considerate congiuntamente all’assunzione di indipendenza degli importi dei pagati e degli
97
Detto altrimenti fattore o parametro di correlazione.
144
incurred lungo tutte le generazioni esaminate e all’assunzione del valore atteso e della
varianza sia per i pagati che per gli incurred. Per quanto attiene l’assunzione della media
condizionata e della varianza condizionata le assunzioni fatte per il chain ladder sono le
seguenti
¾ per i pagati
⎛P
⎞
E ⎜⎜ i ,t | Ρi (s )⎟⎟ = f sP→t
⎝ Pi ,s
⎠
(23)
(
⎛ Pi ,t
⎞ σ sP→t
⎜
Var ⎜
| Ρi (s )⎟⎟ =
P
Pi ,s
⎝ i ,s
⎠
)
2
(24)
¾ per gli incurred
⎛I
⎞
E ⎜⎜ i ,t | Ι i (s )⎟⎟ = f sI→t
⎝ I i ,s
⎠
(
(25)
⎛I
⎞ σI
Var ⎜⎜ i ,t | Ι i (s )⎟⎟ = s→t
I i ,s
⎝ I i ,s
⎠
)
2
(26)
Gli indici sono tali che t = s + 1 con s, t ∈ T , e i = 1,..., n . Inoltre si dimostra che i fattori di
sviluppo sono positivi, cioè f sP→t , f sI→t > 0 , e le costanti di proporzionalità coinvolte nel
calcolo della varianza sono non nulle, cioè σ sP→t ,σ sI→t ≥ 0 .
Per calcolare i residui è necessario disporre di tutti i parametri coinvolti.
In questa sezione sia ancora t = s + 1 . Nonostante si sia già data la formula per determinare
i fattori di sviluppo del basic chain ladder, si riprenderanno per conformità di espressione e
si definiranno, inoltre, i coefficienti di proporzionalità presenti nelle varianze condizionate,
σ sP→t e σ sI→t .
Per s = 1,..., n − 1 gli stimatori dei fattori di sviluppo tipici del chain ladder sono
n−s
)
f sP→t :=
1
n−s
∑P
i =1
i ,s
n−s
Pi ,t
i =1
Pi ,s
⋅ ∑ Pi ,s ⋅
=
∑P
i =1
n−s
i ,t
∑P
i =1
(27)
i ,s
e
145
n−s
)
f sI→t :=
1
i =1
I i ,t
i =1
I i ,s
⋅ ∑ I i ,s ⋅
n− s
∑I
n−s
∑I
=
i =1
n− s
(28)
∑I
i ,s
i ,t
i ,s
i =1
Per s = 1,..., n − 2 i parametri σ sono stimati attraverso
(σ )
)P
2
s →t
n−s
) ⎞
⎛P
1
:=
⋅ ∑ Pi ,s ⋅ ⎜⎜ i ,t − f sP→t ⎟⎟
n − s − 1 i =1
⎝ Pi ,s
⎠
2
(29)
e
(σ )
)I
2
s →t
n−s
) ⎞
⎛I
1
:=
⋅ ∑ I i ,s ⋅ ⎜⎜ i ,t − f sI→t ⎟⎟
n − s − 1 i =1
⎝ I i ,s
⎠
2
(30)
Se si vuole ottenere il valore dei residui di P I e di I P è necessario disporre degli
stimatori per le medie condizionate, E (Qi ,s | Ι i (s )) e E (Qi−,s1 | Ρi (s )) , e per le standard
deviation condizionate σ (Qi ,s | Ι i (s )) e σ (Qi−,s1 | Ρi (s )) .
Con riferimento al rapporto P I si ottiene il seguente stimatore per E (Qi ,s | Ι i (s ))
n − s +1
)
q s :=
1
⋅
n − s +1
∑I
j =1
n − s +1
∑ I j ,s ⋅ Q j ,s =
j =1
∑P
j ,s
j =1
n − s +1
(31)
∑I
j ,s
j ,s
j =1
E per il rapporto I P lo stimatore di E (Qi−,s1 | Ρi (s )) è
n − s +1
)
q s−1 :=
1
n − s +1
∑P
j =1
⋅
n − s +1
∑ Pj ,s ⋅ Q
j =1
−1
j ,s
=
j ,s
∑I
j =1
n − s +1
j ,s
∑P
(32)
j ,s
j =1
che valgono per s = 1,..., n .
Per ottenere σ (Qi ,s | Ι i (s )) si sceglie il seguente stimatore
)
ρ sI
(33)
I i ,s
)
dove ρ sI è definito nel seguente modo
(ρ )
)I
s
2
2
1 n−s +1
)
=
⋅ ∑ I j ,s ⋅ (Q j ,s − qs )
n − s j =1
(
(34)
)
Lo stimatore di σ Qi−,s1 | Ρi (s ) è posto pari a
146
)
ρ sP
(35)
Pi ,s
)
Avendo indicato con ρ sP la seguente quantità
(ρ )
)P
2
s
(
1 n−s +1
)
=
⋅ ∑ Pj ,s ⋅ Q −j ,1s − qs−1
n − s j =1
)
2
(36)
Alla base dei precedenti stimatori esiste l’ipotesi che i valori attesi condizionati siano
costanti, ma in realtà E (Qi ,s | Ι i (s )) e E (Qi−,s1 | Ρi (s )) variano. Di conseguenza si necessita di
una struttura degli stimatori più adeguata che nello stesso tempo è più complicata di quella
presentata sopra, e pertanto può essere impiegata soltanto per i primi anni di sviluppo di
grandi triangoli. La soluzione che si adotta nella gran parte dei casi è di utilizzare gli
stimatori forniti dalla (30) e dalla (31) poiché si è constatato che, nonostante E (Qi ,s | Ι i (s ))
e E (Qi−,s1 | Ρi (s )) non siano costanti, gli stessi presentano piccole variazioni nella regione di
interesse, e quindi ai fini delle analisi, possono essere considerati costanti. Quanto detto
non toglie la possibilità di definire stimatori più opportuni in relazione al tipo di dati a
disposizione.
Le relazioni precisate prima permettono di stabilire gli stimatori per i residui nel seguente
modo per s = 1,..., n − 2 e i = 1,..., n − s
Pi ,t
)
− f sP→t
⎛P
⎞ P
)
Re s (Pi ,t ) = Re s⎜⎜ i ,t | Ρi (s )⎟⎟ = i ,s ) P
σ s →t
⎝ Pi ,s
⎠
I i ,t
⋅ Pi ,s
(37)
)
− f sI→t
⎞ I
⎛I
)
Re s (I i ,t ) = Re s⎜⎜ i ,t | Ι i (s )⎟⎟ = i ,s ) I
⋅ I i ,s
I
σ
s →t
⎠
⎝ i ,s
)
Qi−,s1 − q s−1
) −1
−1
Re s Qi ,s = Re s Qi ,s | Ρi (s ) =
⋅ Pi ,s
)P
(39)
)
Q −q
)
Re s (Qi ,s ) = Re s (Qi ,s | Ι i (s )) = i ,s) I s ⋅ I i ,s
(40)
( )
(
)
(38)
ρs
ρs
Gli stimatori dei parametri di correlazione sono
)P
λ :=
n−2 n− s
1
n−2 n− s
( )
)
∑∑ Re s Qi−,s1
s =1 i =1
2
( )
)
⋅ ∑∑ Re s Qi−,s1
s =1 i =1
( )
n−2 n− s
)
)
Re s Qi−,s1 ⋅ Re s (Pi ,t )
)
∑∑
2 Re s (Pi ,t )
⋅ ) −1 = s =1 i =n1−2 n− s
2
)
Re s Qi ,s
∑∑ Re s Qi−,s1
( )
( )
(41)
s =1 i =1
e
147
)
λ I :=
1
n−2 n−s
)
∑∑ Re s (Qi,s )2
)
n−2 n− s
)
2 Re s (I i ,t )
⋅ ∑∑ Re s (Qi ,s ) ⋅ )
=
Re s (Qi ,s )
s =1 i =1
n−2 n−s
)
)
∑∑ Re s (Q )⋅ Re s (I )
s =1 i =1
n−2 n− s
i ,s
i ,t
)
∑∑ Re s (Qi,s )2
(42)
s =1 i =1
s =1 i =1
ottenuti minimizzando la distanza quadratica media delle coordinate y dei punti nel
grafico dei residui dalla linea di regressione passante per l’origine e avente coefficiente
angolare λP o λI . Contrariamente al basic chain ladder, i coefficienti di correlazione
ottenuti secondo questa procedura, non mostrano alcuna tendenza, ma presentano un
andamento casuale. La volatilità delle stime supportano la scelta di aver impiegato tutti gli
anni di differimento contemporaneamente piuttosto che considerarli uno per volta come
avviene per il metodo del chain ladder.
4.2.3. La stima degli importi futuri
Dalle formule dei valori attesi condizionati dei residui si è in grado di ricavare delle
formule ricorsive per i pagati
)P σ) sP→t
)
) ⎛ )P
⎜
Pi ,t := Pi ,s ⋅ f s→t + λ ⋅ ) P
⎜
ρs
⎝
)
⎛ I i ,s ) −1 ⎞ ⎞
⋅ ⎜⎜ ) − qs ⎟ ⎟
⎟⎟
⎝ Pi ,s
⎠⎠
(43)
e per gli incurred
)I σ) sI→t
)
) ⎛ )I
⎜
I i ,t := I i ,s ⋅ f s→t + λ ⋅ ) I
⎜
ρs
⎝
)
⎛ Pi ,s ) ⎞ ⎞
⋅ ⎜ ) − qs ⎟ ⎟
⎜I
⎟⎟
⎝ i ,s
⎠⎠
(44)
)
)
Le relazioni precedenti valgono per s ≥ n − i + 1 con valori iniziali Pi ,s := Pi ,s e I i ,s := I i ,s
per s = n − i + 1 .
Una volta ottenute le stime degli importi futuri è facile determinare la riserva sinistri in
base agli importi pagati o in base agli incurred.
4.3. Applicazione del metodo Munich Chain Ladder
Riprendendo gli stessi dati del capitolo precedente si vuole presentare i risultati ottenuti
con il metodo Munich Chain Ladder. I dati storici coinvolti sono i sinistri pagati e gli
incurred e sono riportati nei triangoli 1.3.1.2. e 1.3.4.2. del capitolo precedente.
148
Di sotto si rappresentano i triangoli dei processi P I e I P .
Dai triangoli di origine è possibile determinare i parametri attraverso le formule elaborate
sopra.
Per restare in linea con quanto scritto sopra con antidurata pari a uno si intende lo stesso
periodo di origine di riferimento
4.3.1. Il processo P I
Gen
Ant
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1993
0,3347
0,6820
0,8446
0,9058
0,9264
0,9464
0,9555
0,9630
0,9678
0,9771
0,9795
0,9877
1994
0,3354
0,7259
0,8671
0,9181
0,9368
0,9558
0,9615
0,9701
0,9769
0,9820
0,9817
1995
0,3607
0,7534
0,8745
0,9222
0,9454
0,9563
0,9659
0,9760
0,9830
0,9827
1996
0,3571
0,7614
0,8801
0,9161
0,9364
0,9481
0,9648
0,9738
0,9837
1997
0,3662
0,7530
0,8676
0,9101
0,9279
0,9484
0,9571
0,9765
1998
0,3759
0,7262
0,8543
0,8967
0,9194
0,9409
0,9641
1999
0,3500
0,6904
0,8211
0,8811
0,9181
0,9471
2000
0,3235
0,6678
0,8144
0,8768
0,9133
2001
0,3378
0,6849
0,8117
0,8695
2002
0,3341
0,6782
0,8051
2003
0,3430
0,7010
2004
0,3589
4.3.2. Il processo I P
Gen
Ant
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1993
2,9880
1,4664
1,1840
1,1041
1,0795
1,0567
1,0466
1,0384
1,0333
1,0234
1,0210
1,0125
1994
2,9818
1,3776
1,1533
1,0892
1,0674
1,0463
1,0400
1,0308
1,0236
1,0184
1,0186
1995
2,7724
1,3274
1,1435
1,0844
1,0577
1,0457
1,0353
1,0246
1,0173
1,0176
1996
2,8004
1,3134
1,1362
1,0916
1,0679
1,0548
1,0365
1,0269
1,0166
1997
2,7304
1,3281
1,1526
1,0987
1,0777
1,0544
1,0449
1,0241
1998
2,6601
1,3771
1,1705
1,1152
1,0876
1,0628
1,0373
1999
2,8568
1,4485
1,2178
1,1349
1,0892
1,0558
2000
3,0913
1,4975
1,2279
1,1405
1,0950
2001
2,9600
1,4600
1,2320
1,1501
2002
2,9935
1,4745
1,2421
2003
2,9158
1,4266
2004
2,7863
149
4.3.3. I fattori di sviluppo e i parametri σ
1→ 2
2→3
3→4
4→5
5→6
6→7
7 →8
8→9
9 → 10
10 → 11
11 → 12
P
s →t
2,0171
1,1887
1,0679
1,0330
1,0226
1,0146
1,0113
1,0087
1,0066
1,0041
1,0085
f sI→t
0,9872
1,0034
1,0066
1,0045
1,0016
1,0010
0,9996
1,0012
1,0022
1,0031
1,0001
σ sP→t
13,6161
4,9126
3,3739
2,3715
1,8188
1,2475
0,6381
0,5113
0,8914
0,3032
0,6954
σ sI→t
8,6921
3,5742
2,3499
1,8421
1,8665
1,6090
2,1647
1,1315
1,0379
0,8783
0,8207
f
Si è osservato che σ sP→t σ sP→t descrivono una curva esponenziale, pertanto i valori di σ 11P →12
I
e di σ 11→
12 sono stati determinati estrapolando da tali curve un probabile valore attraverso
una regressione logaritmica.
4.3.4. I parametri q s e ρ s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
qs
0,3480
0,7085
0,8405
0,8970
0,9267
0,9485
0,9617
0,9724
0,9785
0,9808
0,9806
0,9877
qs−1
2,8733
1,4115
1,1898
1,1148
1,0791
1,0543
1,0398
1,0284
1,0220
1,0196
1,0197
1,0125
ρ
P
s
767,4369
387,1232
176,1733
66,4076
18,2190
3,9510
2,1665
3,2234
5,5401
0,8972
0,2477
ρ
I
s
32,4974
139,9291
104,7148
47,7532
14,5587
3,3756
1,9229
2,9484
5,1625
0,8447
0,2336
La stima dei parametri permette di calcolare i residui condizionati da cui è possibile fissare
i parametri λ P e λI pari a 0,4892 e 0,3960, rispettivamente.
I triangoli dei residui sono i seguenti
)
4.3.5. I residui dei pagati, Re s (Pi ,t )
Gen
1→ 2
2→3
3→4
4→5
5→6
6→7
7 →8
8→9
9 → 10
10 → 11
11 → 12
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
0,1382
1,4769
0,6434
1,2378
0,2161
-1,0204
-0,1581
0,8484
0,0773
-0,9241
-1,7780
-
1,3351
0,4643
-1,2764
-0,4578
-1,0685
-0,4638
0,4976
1,8020
-0,0809
-0,5519
0,4223
0,3429
-0,1360
-1,1412
-1,5113
-0,7460
1,6742
0,2203
0,8315
0,3706
-0,0033
-0,2549
-1,1393
-1,4010
-0,1600
1,7409
0,6931
1,1753
0,7028
-1,7248
-0,7774
0,5814
-0,2232
0,3971
0,4549
-1,1440
-0,5701
1,2656
-0,9346
0,8271
1,7046
0,0730
-0,1306
-0,4365
-0,9388
1,4664
-0,5939
-0,0057
-0,7049
1,1812
-0,6287
-0,4578
-0,7285
0,6850
-
150
)
4.3.6. I residui degli incurred, Re s (I i ,t )
Gen
1→ 2
2→3
3→4
4→5
5→6
6→7
7→8
8→9
9 → 10
10 → 11
11 → 12
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
0,2736
-0,1169
0,0041
-0,0716
0,0300
1,0496
1,3255
0,6916
0,4388
-0,9423
-2,3426
-
-1,7477
-0,0756
0,1183
1,7139
1,2592
0,0879
0,2783
-0,5546
-0,1396
-0,9953
-0,7048
0,7614
0,6503
1,1033
-0,5224
0,6036
0,6319
-2,0351
-0,3246
1,3525
1,3115
0,2142
-0,3758
-0,2091
0,3948
-0,4438
-1,6932
1,0647
0,8063
-0,0840
0,7643
0,3732
-0,6926
-1,7339
1,0640
0,5464
0,2673
0,1419
0,2085
-1,8532
1,0377
0,4278
0,1512
0,2462
-1,6299
1,3255
-0,1318
0,0900
-1,1034
-0,4360
-0,7524
1,1152
-0,7277
0,6859
-
I valori relativi alla diagonale dell’anno di bilancio sono assenti in base a quanto previsto
nelle formule per determinare il residui dei paid e degli incurred. Invece, i residui di I P e
di P I presentano i valori anche per la generazione 2004.
( )
)
4.3.7. I residui del processo I P , Re s Qi−,s1
Gen
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
1
0,6985
0,7002
-0,7075
-0,5291
-1,0834
-1,7259
-0,1323
1,6957
0,6878
0,9948
0,3716
-0,7716
2
0,6697
-0,4488
-1,1933
-1,4528
-1,2688
-0,5484
0,5929
1,3545
0,7705
1,0290
0,2568
3
-0,1147
-0,7837
-1,0511
-1,2768
-0,9074
-0,4947
0,7306
0,9823
1,0847
1,3762
4
-0,3634
-0,9291
-1,1630
-0,9296
-0,6565
0,0142
0,8864
1,1142
1,5263
5
0,0263
-0,8176
-1,5798
-0,8645
-0,1098
0,7169
0,8685
1,3445
6
0,3436
-1,2215
-1,3684
0,0881
0,0323
1,5568
0,2915
7
1,3142
0,0385
-0,9688
-0,7525
1,1738
-0,6237
8
1,6171
0,4165
-0,6741
-0,2763
-0,8252
6
-0,3430
1,2255
1,3732
-0,0880
-0,0322
-1,5496
-0,2911
7
-1,3114
-0,0385
0,9719
0,7545
-1,1722
0,6251
8
-1,6135
-0,4171
0,6771
0,2772
0,8291
9
1,3928
0,2159
-0,6435
-0,7742
10
1,1770
-0,4030
-0,6725
11
0,7288
-0,6848
)
4.3.8. I residui del processo P I , Re s (Qi ,s )
Gen
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
1
-0,6834
-0,6858
0,7187
0,5347
1,1089
1,7897
0,1324
-1,6311
-0,6762
-0,9724
-0,3681
0,7818
2
-0,6517
0,4506
1,2206
1,4938
1,2974
0,5507
-0,5805
-1,3044
-0,7514
-0,9986
-0,2533
3
0,1149
0,7956
1,0717
1,3059
0,9215
0,4985
-0,7218
-0,9665
-1,0654
-1,3462
4
0,3658
0,9417
1,1813
0,9412
0,6625
-0,0142
-0,8801
-1,1036
-1,5055
5
-0,0262
0,8204
1,5925
0,8672
0,1097
-0,7126
-0,8627
-1,3320
9
-1,3889
-0,2163
0,6467
0,7783
10
-1,1760
0,4036
0,6738
11
-0,7284
0,6852
I grafici di dispersione possono essere costruiti inserendo nello stesso sistema di assi
)
)
cartesiani i residui dei pagati, Re s (Pi ,t ) , e i residui del processo I P , Re s Qi−,s1 , ottenendo
( )
in tal modo il grafico per i residui dei pagati. Allo stesso modo è possibile creare il grafico
151
)
di dispersione degli incurred confrontando i valori dei residui dei dati storici, Re s (I i ,t ) ,
)
con i residui del processo P I , Re s (Qi ,s ) .
I punti dei grafici di dispersione definiscono una la linea di tendenza con un coefficiente
angolare nei due casi rispettivamente pari a 0,4892 che rappresenta il paramentro λ P e
0,3960 per il parametro λ I
Grafico 1. Paid Residual Plot
Paid Residual Plot
2,00
1,50
1,00
0,50
0,00
-2,00
-1,50
-1,00
-0,50
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
-0,50
-1,00
-1,50
-2,00
Grafico 2. Incurred Residual Plot
Incurred Residual Plot
2,00
1,50
1,00
0,50
0,00
-3,00
-2,50
-2,00
-1,50
-1,00
-0,50
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
-0,50
-1,00
-1,50
-2,00
152
La stima dei parametri permette di completare i triangoli dei sinistri pagati e degli incurred
conseguendo i risultati delle tabelle 4.3.9. e 4.3.10 in cui la diagonale storica dell’anno di
bilancio viene considerata come primo valore stimato in base a quanto detto nel paragrafo
)
4.3.2. in cui si assume che per i valori iniziali valgano le seguenti relazioni Pi ,s := Pi ,s e
)
I i ,s := I i ,s
4.3.9. La stima dei sinistri pagati (importi in Euro.000)
Gen
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
1
2
3
120.616
133.730
143.032
4
130.791
142.990
152.497
5
6
129.470
135.879
147.992
157.427
133.223
133.155
139.948
151.792
161.011
7
140.369
135.627
135.902
143.021
154.544
163.509
8
133.574
141.986
137.299
137.670
144.932
156.453
165.415
9
10
11
12
119.258
134.721
143.219
138.508
138.896
146.230
157.831
166.855
115.330
119.968
135.566
144.129
139.401
139.803
147.191
158.850
167.917
105.407
115.709
120.377
136.053
144.653
139.915
140.325
147.744
159.436
168.529
97.082
106.170
116.414
121.146
136.975
145.647
140.893
141.319
148.798
160.550
169.690
9
10
11
12
116.935
121.749
137.751
146.497
141.744
142.198
149.737
161.521
170.686
107.264
117.533
122.331
138.346
147.114
142.322
142.761
150.321
162.179
171.401
98.199
107.420
117.842
122.617
138.615
147.385
142.567
142.993
150.558
162.458
171.714
4.3.10. La stima dei sinistri incurred (importi in Euro.000)
Gen
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
1
2
3
167.106
160.661
167.926
4
151.810
161.604
169.199
5
6
143.751
151.940
162.129
170.034
7
142.109
143.278
151.258
161.966
170.282
146.088
141.723
142.496
150.222
161.510
170.283
8
137.200
145.950
141.260
141.751
149.287
160.971
170.058
121.405
137.405
146.142
141.414
141.878
149.407
161.145
170.275
I dati precedenti permettono di valutare la riserva sinistri
4.3.11. La riserva sinistri
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
Totale
1.068
2.033
2.654
3.676
4.859
6.989
9.439
11.999
16.027
24.981
48.590
114.058
246.374
1.068
1.807
2.196
2.529
3.644
5.772
8.768
13.594
20.642
32.518
51.680
109.597
253.785
1.068
1.875
2.413
3.167
4.329
6.476
9.094
12.666
18.207
28.758
50.116
111.353
249.522
Basic
Chain
Ladder
Incurred
Chain
Ladder
Munich
Chain
Ladder
153
Il metodo chain ladder applicato separatamente al triangolo dei paid e degli incurred
attribuisce dei valori diversi alla riserva sinistri; inoltre tali stime sono differenti da quelle
ottenute dal Munich Chain Ladder. Con questo esempio numerico è possibile notare
quanto affermato da Mack e Quarg, il metodo classico del chain ladder non è adeguato alla
stima dei sinistri tardivi poiché non prende in considerazione l’eventuale correlazione
esistente tra gli importi pagati e i valori degli incurred.
Lo scopo del lavoro di Thomas Mack e Gerhard Quarg è di dimostrare che qualora si
voglia stimare la riserva sinistri degli IBNR esiste un gap tra le proiezioni basate sui
sinistri pagati e sugli incurred, tipico del metodo basic chain ladder. A questo scopo gli
stessi autori hanno stabilito un nuovo criterio che definisca l’accantonamento necessario
per ogni impresa; tale procedura di stima pone comunque le proprie basi sul metodo chain
ladder.
Per dimostrare che effettivamente nel caso del basic chain ladder esiste una certa
connessione tra i due tipi di proiezioni, si osservi il grafico seguente in cui vengono
rappresentati gli ultimi rapporti P I calcolati con il Munich Chain Ladder e con il chain
ladder classico
Grafico 3. Confronto tra i risultati del basic chain ladder e del Munich Chain Ladder
102,00%
Ultimate (P/I) ratios
100,00%
98,00%
96,00%
94,00%
92,00%
19
93
19
94
19
95
19
96
19
97
19
98
19
99
20
00
20
01
20
02
20
03
20
04
90,00%
Basic Chain Ladder
Munich Chain Ladder
Si osserva facilmente che il Munich Chain Ladder presenta dei valori molto più costanti
del basic chain ladder.
Di seguito si riporta la tabella dei valori dei rapporti in questione
154
4.3.12. Ultimi rapporti P I
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
98,77%
99,00%
99,19%
99,74%
99,75%
99,64%
99,22%
97,67%
95,64%
93,95%
96,91%
101,38%
98,77%
98,86%
98,84%
98,79%
98,80%
98,82%
98,82%
98,83%
98,83%
98,83%
98,83%
98,82%
Basic
Chain
Ladder
Munich
Chain
Ladder
I dati del chain ladder variano in un intervallo più ampio di quello del Munich Chain
Ladder. Gli estremi del range di variazione sono differenti nei due casi, 93,95% e 101,38%
per il basic chain ladder e 98,77% e 98,86% per il Munich Chain Ladder.
Tutto ciò dimostra che i risultati ottenuti per i due tipi di dati, pagati e incurred, sono
praticamente gli stessi nel caso del Munich Chain Ladder, e invece differiscono nel caso
del bascic chain ladder, a dimostrazione che il secondo metodo di stima per la riserva dei
sinistri tardivi non tiene in considerazione la correlazione esistente tra i sinistri pagati e gli
incurred.
155
CAPITOLO QUATTRO
Distribuzioni della riserva sinistri a
confronto
1. Introduzione ai modelli di simulazione
In questo capitolo si cercherà di rappresentare più distribuzioni di probabilità per la riserva
sinistri.
Come già detto in precedenza, è molto utile disporre di tale distribuzione al fine di poter
procedere con analisi più sofisticate che non sarebbero altresì condotte.
Prima di procedere alla descrizione delle simulazioni effettuate è bene ricordare quali sono
i rischi in cui si potrebbe incorrere con l’utilizzo di modelli di simulazione. Esistono tre tipi
di rischi:
1. model risk: il rischio che il modello scelto per l’approccio stocastico non sia
adeguato a rappresentare la complessità del mondo reale sottostante;
2. parameter risk: il rischio di assegnare parametri inappropriati al modello, tali che
influenzino la solidità e la realizzabilità dei risultati stessi98;
3. process risk: rischio connesso al numero di simulazioni prescelto per condurre lo
studio. Quando viene usato un approccio basato sulle simulazioni la robustezza dei
risultati del modello è messa in relazione al numero di simulazioni effettuate. Per
evitare che gli outputs del modello, soggetti a fluttuazioni casuali, non
rappresentino un range corretto dei possibili risultati per l’esperienza futura ma
reale, è necessario scegliere un numero opportuno di simulazioni. Poiché il numero
di simulazioni, e conseguentemente il tempo di realizzazione, è strettamente
correlato alla complessità del modello, il model risk e il process risk si influenzano
a vicenda, pertanto l’analista deve scegliere un appropriato trade-off.
98
In questo caso particolare il rischio da evitare è quello di scegliere dei parametri che non siano coerenti con
le caratteristiche dell’impresa.
156
Un modello di simulazione restituisce tanti risultati probabili che possono avvicinarsi o
discostarsi tanto dalla realtà a seconda del tipo di modello e, conseguentemente, del tipo di
parametri che sono stati scelti. Pertanto, prima di procedere alla definizione di un modello
stocastico è necessario uno studio approfondito della realtà che si vuole simulare.
In particolare, in questa sede è opportuno eseguire uno studio di conoscenza delle
caratteristiche tipiche dell’impresa di cui si intende simulare una distribuzione di
probabilità della riserva sinistri.
Tale studio è stato ampiamente discusso nei capitoli precedenti. Tuttavia, è bene riprendere
alcune caratteristiche della compagnia di assicurazione alla quale si stanno applicando le
procedure richiamate in questo lavoro.
L’impresa in oggetto ha dimensioni medie, in data di redazione del bilancio di fine
esercizio 2004 deve ancora porre in riserva sinistri della generazione 1993. In base a
quanto visto altrove, la generazione più anziana in termini quantitativi impatta
moderatamente sull’ammontare complessivo della riserva sinistri. Da un modello di
simulazione ci si aspetta che la generazione più anziana, in questo caso l’anno di esercizio
1993, presenti una variabilità di stima maggiore perché i dati da stimare sono decisamente
inferiori se messi in relazione con le altre generazioni, pertanto la volatilità di tali importi
dovrebbe essere più elevata. In realtà, nelle analisi condotte in questo lavoro, la
generazione più anziana presenta una standard deviation minore rispetto agli altri di
accadimento. Tutto ciò probabilmente è dovuto al fatto che si attribuisce un’elevata
affidabilità alle previsioni riguardo la generazione più anziana. Nonostante ciò, si vuole
sottolineare che non devono essere sottovalutate le stime relative alle generazioni più
anziane, perché, nonostante ci siano pochi sinistri e l’impresa è quasi certa dell’importo
che dovrà porre in bilancio, in un modello di simulazione, poiché ci sono pochi dati, le
rispettive distribuzioni di probabilità possono essere più soggetti a fluttuazioni casuali,
dovute in parte alla carenza di informazioni.
Sono stati effettuati due tipi di elaborazione. Lo stesso modello è stato fatto girare per un
numero di simulazioni pari a 1.000 e a 10.000.
Nel primo caso, ossia con N = 1.000 99, è stato possibile ottenere contemporaneamente la
distribuzione di probabilità per il Bootstrapping, per la Normale e per la LogNormale.
Invece, con N = 10.000 , poiché era notevole la mole di lavoro, il software non è riuscito
ad elaborare i dati per le tre diverse distribuzioni, pertanto il modello è stato suddiviso in
tre sottomodelli.
99
Con N si indicherà da questo punto in poi il numero di simulazioni.
157
Inoltre, è stato apportato un cambiamento in base a quanto descritto nella tecnica del
bootstrapping. Nel capitolo precedente si è affermato che il campionamento con rimpiazzo
viene ripetuto un numero di volte stabilito100 ottenendo diversi triangoli superiori a cui
corrispondo altrettanti triangoli inferiori di importi futuri pseudo campionati. La fase
successiva richiede di ottenere per ogni cella del triangolo dei pagamenti futuri un importo
derivante da una prescelta distribuzione di probabilità avente media e varianza stabilite, e
in rapporto al valore della cella di riferimento.
Nel modello costruito per questo lavoro, quando si fa riferimento alla distribuzione del
bootstrapping, si intende analizzare i risultati ottenuti dal campionamento ripetuto senza
ipotizzare alcuna distribuzione sottostante per ogni cella del run-off. La fase richiesta dal
bootstrapping è stata inserita in un secondo tempo per avere la distribuzione degli importi
futuri secondo una Normale o una LogNormale.
100
In questo caso 1.000 o 10.000 volte.
158
2.
La
distribuzione
di
probabilità
secondo
il
Bootstrapping
La tecnica del bootstrapping è stata descritta nel capitolo precedente, in questa sede
saranno presentati i risultati a cui si è pervenuti applicando tale tecnica101.
Per comodità si riportano di seguito i dati di input, la matrice dei pagamenti incrementali
2.1. Importi incrementali dei pagamenti in Euro.000
Ant.
Gen
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12+
1993
28.446
29.251
12.464,
5.144
2.727
2.359
1.334
1.238
941
860
282
727
1.068
1994
31.963
36.106
13.441
5.868
2.882
2.422
918
1.076
734
458
456
1995
37.775
40.125
12.951
6.034
3.010
1.264
1.250
1.135
904
559
1996
40.418
44.499
15.370
5.594
2.616
1.984
2.137
1.184
873
1997
44.116
45.490
15.339
5.478
2.541
2.906
1.294
1.124
1998
50.294
48.040
17.843
7.035
3.934
2.726
2.267
1999
49.620
49.991
19.570
10.047
5.750
3.313
2000
46.410
49.694
20.881
8.202
4.714
2001
48.295
49.354
18.304
8.833
2002
52.590
50.606
18.604
2003
58.599
53.743
2004
60.361
I dati storici permettono di calcolare i link ratios tradizionali del chain ladder
2.2. Fattori di sviluppo classici del chain ladder
m1
m2
m3
m4
m5
m6
m7
m8
m9
m10
m11
m12+
2,0171
1,1887
1,0679
1,0330
1,0226
1,0146
1,0113
1,0087
1,0066
1,0041
1,0085
1,0125
Fissando i valori lungo la diagonale principale e applicando i coefficienti di proporzionalità
si ottiene un nuovo triangolo superiore di importi cumulati calcolato secondo la formula
)
)
Cik = Ci ,k +1 f k−+11 , vista nel capitolo precedente
101
Con le modifiche apportate in base a quanto detto prima.
159
2.3. Importi cumulati ricalcolati dei pagamenti in Euro.000
Gen
Ant.
0
1
2
3
4
5
6
1993
30.053
60.621
72.061
76.957
79.498
81.292
82.479
83.414
1994
34.038
68.660
81.618
87.163
90.040
92.073
93.416
94.476
1995
37.258
75.155
89.338
95.408
98.557
100.783
102.253
103.413
104.317
105.007
1996
40.958
82.618
98.209
104.881
108.343
110.790
112.406
113.681
114.675
1997
42.617
85.965
102.189
109.131
112.734
115.279
116.961
118.288
1998
48.148
97.121
115.449
123.293
127.363
130.238
132.139
1999
51.125
103.12
122.588
130.916
135.238
138.291
2000
49.107
99.056
117.750
125.750
129.901
2001
48.731
98.297
116.848
124.786
2002
50.796
102.463
121.800
2003
55.694
112.342
2004
60.361
7
8
9
10
11
12+
84.143
84.700
85.046
85.773
86.841
95.302
95.932
96.324
Dalla matrice precedente si ottengono per differenza gli importi incrementali riadattati
2.4. Importi incrementali ricalcolati (pagamenti in Euro.000)
Gen
Ant.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12+
1993
30.053
30.568
11.440
4.896
2.540
1.795
1.186
936
729
557
346
727
1.068
1994
34.038
34.622
12.957
5.545
2.877
2.033
1.344
1.060
826
630
392
1995
37.258
37.897
14.183
6.070
3.149
2.225
1.471
1.160
904
690
1996
40.958
41.660
15.591
6.672
3.462
2.446
1.617
1.275
994
1997
42.617
43.348
16.223
6.943
3.602
2.545
1.682
1.327
1998
48.148
48.973
18.329
7.843
4.070
2.876
1.901
1999
51.125
52.001
19.462
8.328
4.322
3.053
2000
49.107
49.949
18.694
8.000
4.151
2001
48.731
49.566
18.550
7.938
2002
50.796
51.667
19.337
2003
55.694
56.648
2004
60.361
Gli importi incrementali del triangolo ricalcolato rientrano nel calcolo dei residui di
)
Pij − mij
(P)
Pearson secondo la rij =
, dove Pij sono i pagamenti incrementali storici e mij
)
mij
sono gli importi incrementali ricalcolati
160
2.5. Residui di Pearson
Gen
Ant.
0
1
2
3
4
5
1993
-9,2699
-7,5333
9,5706
3,5481
3,7031
1994
-11,2489
7,9769
4,2481
4,3381
0,0888
1995
2,6768
11,4455
-10,3464
-0,4558
1996
-2,6674
13,9103
-1,7738
1997
7,2588
10,2885
1998
9,7807
1999
6
7
8
9
10
11
12+
13,3135
4,2892
8,6280
-11,6105
9,8865
7,8516
12,8610
-3,4433
-
-
0,5018
-3,1906
-6,8661
3,2355
-2,4842
-20,3780
-5,7545
-0,7314
0,0071
-4,9880
-13,1994
-14,3802
-9,3460
12,9398
-2,5507
-3,8238
-6,9425
-17,5769
-17,6844
7,1479
-9,4655
-5,5662
-4,2163
-3,5863
-9,1285
-2,1302
-2,7912
8,4064
-6,6552
-8,8145
0,7759
18,8318
21,7295
4,6965
2000
-12,1722
-1,1412
15,9971
2,2611
8,7383
2001
-1,9748
-0,9529
-1,8097
10,0402
-5,2693
2002
7,9584
-4,6675
2003
12,3107
-12,2066
2004
-
Come già descritto, la procedura del bootstrapping viene applicata ai residui corretti
rijadj =
n
1
n ⋅ (n + 1) − 2n + 1
2
⋅ rij( P )
∑ (r ( ) )
P
parametro102 φ =
correzione
secondo un fattore strettamente connesso con il
i + j ≤ I −i
2
ij
1
n ⋅ (n + 1) − 2n + 1
2
n
1
n ⋅ (n + 1) − 2n + 1
2
, che in questo caso vale 93,2823. Il fattore di
è pari a 0,44381, pertanto volendo fare una verifica per il
residuo della generazione 2003 con antidurata due si ha, a meno di approssimazioni
decimali, − 5,4174 = −12,2066 ⋅ 0,44381
102
Per il significato dei simboli si rimanda al capitolo precedente.
161
2.6. Adjusted Residui di Pearson
Ant.
Gen
0
1
1993
-4,1141
-3,3434
4,2476
1,5747
1,6435
5,9087
1,9036
4,3878
1994
-4,9924
3,5402
1,8853
1,9253
0,0394
3,8292
-5,1529
0,2227
1995
1,1880
5,0797
-4,5919
-0,2023
-1,1025
-9,0440
-2,5539
-0,3246
0,0031
-2,2137
1996
-1,1838
6,1735
-0,7872
-5,8581
-6,3821
-4,1479
5,7428
-1,1320
-1,6971
1997
3,2215
4,5661
-3,0812
-7,8008
-7,8486
3,1723
-4,2009
-2,4704
1998
4,3408
-1,8713
-1,5916
-4,0514
-0,9454
-1,2388
3,7309
1999
-2,9536
-3,9120
0,3443
8,3578
9,6438
2,0844
2000
-5,4022
-0,5065
7,0997
1,0035
3,8782
2001
-0,8764
-0,4229
-0,8032
4,4560
2002
3,5320
-2,0715
-2,3386
2003
5,4637
-5,4174
2004
-
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12+
3,4846
5,7079
-1,5282
-
-
-1,4160
-3,0473
1,4359
Gli adjusted residui di Pearson vengono ricampionati un numero definito di volte e
restituiscono differenti triangoli di residui a cui corrispondono un ugual numero di triangoli
di importi cumulati campionati.
E’ bene sottolineare che ogni triangolo superiore campionato ha il diretto corrispettivo
inferiore. La somma per riga dei pagamenti incrementali103 del triangolo inferiore
restituisce la riserva per generazione. Il numero di riserve stimate è pari al numero di
simulazioni fissato a priori.
In base alle formule sui residui, si osserva che l’anno di chiusura di bilancio ha il residuo
nullo, e la generazione 1993 presenta dei valori nulli per gli ultimi anni di differimento.
Nel modello di simulazione questo risultato è stato ripreso e modificato. Infatti, sono stati
posti pari a zero i residui per le generazioni 2004, con antidurata nulla, e 1993 con la
massima antidurata, lasciando libero di variare il residuo, del periodo di origine 1993, con
undici anni di sviluppo. Sono state poste queste ipotesi per evitare di imporre eccessivi
vincoli che non avrebbero altresì ridotto la casualità e offerto al modello un grado di libertà
minore104.
A differenza della procedura presentata da England e Verrall, nel modello proposto in
questa sede si è considerato anche il tail factor. Inizialmente, nel modello non era stato
considerato alcun fattore di coda e ciò causava una stima della riserva sinistri
sistematicamente sotto la media. Il confronto viene condotto con il basic chain ladder in
103
104
Ottenuti semplicemente per differenza dei pagamenti cumulati campionati.
Dovuto al fatto che si sarebbe imposto il valore di una cella nel triangolo di run-off.
162
cui si include il tail factor, non considerarlo nel modello di simulazione non permetteva il
paragone con quanto ottenuto con il chain ladder deterministico.
Di seguito sono esposti i grafici ottenuti. Si nota subito l’assenza della generazione 1993.
Poiché per questa generazione il residuo con la massima antidurata è stato sempre posto
uguale a zero, si ricava un valore di accantonamento sempre pari al dato di input, ossia pari
a 1.068 migliaia di Euro. In tal modo si accetta come certa la previsione eseguita per il
primo periodo di origine. Per lo stesso motivo non sono state calcolate le principali
statistiche, a parte la media che coincide con l’importo da riservare
Grafico 1. Riserva Sinistri generazione
94 N=1.000
95 N=1.000
riserva sinistri da BOOTSTRAPPING
45
40
40
35
35
30
30
frequenze assolute
frequenze assolute
45
25
20
15
25
20
15
10
10
5
5
0
1700
1800
1900
2000
2100
2200
2300
2400
0
2200
2500
2300
2400
2500
2600
2700
2800
2900
3000
3100
96 N=1.000
97 N=1.000
45
45
40
40
35
35
30
30
frequenze assolute
frequenze assolute
25
20
15
25
20
15
10
10
5
5
0
3000
3200
3400
3600
3800
4000
3200
4200
4400
0
4000
4200
4400
4600
4800
5000
5200
5400
163
5600
98 N=1.000
99 N=1.000
45
40
40
35
35
30
30
frequenze assolute
frequenze assolute
45
25
20
15
25
20
15
10
10
5
5
0
6000
6200
6400
6600
6800
7000
7200
7400
7600
7800
0
8600
8000
8800
9000
9200
9400
9600
9800
10000 10200
2000 N=1.000
2001 N=1.000
45
40
40
35
35
30
30
frequenze assolute
frequenze assolute
45
25
20
15
25
20
15
10
10
5
5
0
1.1
1.12
1.14
1.16
1.18
1.2
1.22
1.24
10400
1.26
1.28
1.3
0
1.45
1.5
1.55
1.6
1.65
1.7
1.75
4
4
x 10
x 10
164
2002 N=1.000
2003 N=1.000
45
40
40
35
35
30
30
frequenze assolute
frequenze assolute
45
25
20
15
25
20
15
10
10
5
5
0
2.35
2.4
2.45
2.5
2.55
2.6
0
4.6
2.65
4.7
4.8
4.9
5
5.1
5.2
4
4
x 10
x 10
Grafico 12. Riserva Sinistri Totale
2004 N=1.000
N=1.000
45
40
40
35
35
30
30
frequenze assolute
frequenze assolute
45
25
20
15
25
20
15
10
10
5
5
0
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
1.16
1.17
1.18
5
x 10
0
2.36
2.38
2.4
2.42
2.44
2.46
2.48
2.5
2.52
2.54
2.56
5
x 10
165
Grafico 13. Riserva sinistri generazione
1994 N=10.000
1995 N=10.000
300
45
40
250
30
frequenze assolute
frequenze assolute
35
25
20
15
200
150
100
10
50
5
0
1600
1700
1800
1900
2000
2100
2200
2300
2400
0
1600
2500
1800
2000
2200
2400
2600
2800
3000
3200
3400
1996 N=10.000
1997 N=10.000
250
250
200
200
frequenze assolute
frequenze assolute
150
100
150
100
50
50
0
2600
3600
2800
3000
3200
3400
3600
3800
4000
4200
4400
4600
0
3500
4000
4500
5000
5500
6000
166
1998 N=10.000
1999 N=10.000
180
160
160
140
120
120
frequenze assolute
frequenze assolute
140
100
80
60
80
60
40
40
20
20
0
5500
100
6000
6500
7000
7500
8000
0
8000
8500
8500
9000
9500
10000
10500
11000
2000 N=10.000
2001 N=10.000
300
250
250
200
200
frequenze assolute
frequenze assolute
300
150
100
100
50
50
0
1.05
150
1.1
1.15
1.2
1.25
1.3
1.35
1.4
1.45
4
x 10
0
1.45
1.5
1.55
1.6
1.65
1.7
1.75
1.8
1.85
4
x 10
167
2002 N=10.000
2003 N=10.000
300
250
250
200
frequenze assolute
frequenze assolute
200
150
100
150
100
50
50
0
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
0
4.4
2.8
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5
5.1
5.2
4
4
x 10
x 10
Grafico
2004 N=10.000
N=10.000
24.
Riserva
sinistri
totale
250
140
120
200
frequenze assolute
frequenze assolute
100
150
100
80
60
40
50
20
0
1.09
1.1
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
1.16
1.17
1.18
1.19
0
2.35
2.4
2.45
2.5
2.55
2.6
5
x 10
5
x 10
168
Dalla tabella 2.7. possono essere apprese le principali statistiche ottenute con il modello,
nei due casi, N = 1.000 e N = 10.000 , al fine di avere una comprensione migliore delle
distribuzioni.
Fatta eccezione per il periodo di origine 1993, tutte le generazioni, compresa la riserva
complessiva, migliorano la precisione di stima, avvicinandosi maggiormente al valore
ottenuto tramite il metodo della catena, con l’aumento delle simulazioni effettuate, fa
eccezione la generazione 2004 che presenta una stima migliore con N = 1.000 e non con
N = 10.000 . Questo risultato non deve essere causa di preoccupazioni perché ottenere dal
modello degli outputs che si discostano tanto o poco dal valore di riferimento dipende dalla
casualità delle simulazioni; non si dimentichi che i risultati del modello sono soggetti a
fluttuazioni casuali, che non possono essere in alcun modo eliminate o almeno ridotte
(simulation error105).
La deviazione standard presenta valori più elevati per le generazioni più recenti. Infatti, il
modello è stato programmato per campionare dei residui da cui si ottiene la stima dei
pagamenti futuri attraverso i coefficienti di proporzionalità. Poiché il numero di pagamenti
da stimare per le generazioni più lontane è minore, questo comporta una standard deviation
maggiore per le riserve degli ultimi anni di origine. In termini relativi la situazione è
capovolta.
Il coefficiente di variazione ricopre un interesse maggiore, in quanto esprime una
variabilità relativa e non assoluta, e risulta decrescente per i periodi di origine più recenti,
così come è ovvio attendersi. La variabilità relativa delle generazioni più anziane è
maggiore perché il numero dei pagamenti da stimare è minore, e gli stessi presentano per
loro natura una variabilità intrinseca maggiore (es. grandi sinistri).
L’indice di asimmetria e di curtosi non seguono un particolare andamento essendo le
riserve frutto di un campionamento con reinserimento. Una situazione diversa si avrà negli
altri due casi.
105
Si veda quanto detto nel primo paragrafo relativamente al process risk.
169
2.7. Principali statistiche ottenute dal Bootstrapping
Gen
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
Totale
Numero
simulazioni
Media
(importi in
Euro.000)
Standard
Deviation
(importi in
Euro.000)
Chain
Coefficiente
di
Skewness
Curtosi
Variazione
ladder
(importi in
Euro.000)
N = 1.000
1.068
-
-
-
-
N = 10.000
1.068
-
-
-
-
N = 1.000
2.035
127,62
6,27%
0,0661
2,6431
N = 10.000
2.034
125,11
6,15%
0,0831
2,6984
N = 1.000
2.658
158,50
5,96%
0,0204
2,7766
N = 10.000
2.655
151,91
5,72%
0,0713
2,8314
N = 1.000
3.686
190,97
5,18%
0,0926
2,8533
N = 10.000
3.677
182,47
4,96%
0,0950
2,8859
N = 1.000
4.867
213,46
4,39%
-0,0518
2,8207
N = 10.000
4.860
205,89
4,24%
0,0777
2,9322
N = 1.000
6.997
253,64
3,63%
-0,0234
2,7909
N = 10.000
6.988
248,87
3,56%
0,0387
2,9072
N = 1.000
9.447
285,85
3,03%
0,0074
2,8687
N = 10.000
9.439
287,01
3,04%
0,0425
2,9682
N = 1.000
12.016
307,44
2,56%
-0,0619
2,7681
N = 10.000
12.004
303,24
2,53%
0,0683
2,9649
N = 1.000
16.037
347,44
2,17%
-0,0044
2,9346
N = 10.000
16.031
341,65
2,13%
0,0493
2,9100
N = 1.000
25.001
441,76
1,77%
0,0596
2,9523
N = 10.000
24.985
445,16
1,78%
0,0582
2,9765
N = 1.000
48.638
727,14
1,50%
0,1471
3,3995
N = 10.000
48.593
731,30
1,50%
0,0279
2,9328
N = 1.000
114.050
845,44
0,74%
0,0262
3,1186
N = 10.000
114.070
850,10
0,76%
0,0103
2,9657
N = 1.000
246.500
2.813,10
1,14%
0,0041
2,8977
N = 10.000
246.400
2.803,30
1,14%
0,0421
2,9452
1.068
2.033
2.654
3.676
4.859
6.989
9.439
11.999
16.027
24.981
48.590
114.058
246.374
Nel terzo capitolo si è accennato all’importanza di conoscere lo standard error. Si è anche
detto che qualora si conoscesse la distribuzione di probabilità, lo standard error, non
sarebbe altro che la relativa deviazione standard. Di seguito è presentata una tabella che
170
riporta i valori dello standard error ottenuti applicando le formule di Mack106, nonché
quelli relativi alla distribuzione di probabilità data dal bootstrapping
2.8. Standard error
Gen
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
Totale
Numero
simulazioni
Bootstrapping
N = 1.000
-
N = 10.000
-
N = 1.000
127,62
N = 10.000
125,11
N = 1.000
158,50
N = 10.000
151,91
N = 1.000
190,97
N = 10.000
182,47
N = 1.000
213,46
N = 10.000
205,89
N = 1.000
253,64
N = 10.000
248,87
N = 1.000
285,85
N = 10.000
287,01
N = 1.000
307,44
N = 10.000
303,24
N = 1.000
347,44
N = 10.000
341,65
N = 1.000
441,76
N = 10.000
445,16
N = 1.000
727,14
N = 10.000
731,30
N = 1.000
845,44
N = 10.000
850,10
N = 1.000
2.813,10
N = 10.000
2.803,30
Mack
-
32,01
134,32
389,65
449,09
555,27
785,60
1.071,47
1.440,12
2.031,82
2.987,48
5.912,26
8.191,61
L’andamento dello standard error ottenuto tramite la formula di Mack è monotono e risulta
quasi sempre maggiore rispetto alla standard deviation della distribuzione. Il motivo di tale
106
Si rimanda al terzo capitolo, formule (4), (5) e (8).
171
differenza probabilmente è dovuto al fatto che le generazioni più recenti presentano in
valore assoluto una variabilità maggiore perché le informazioni di cui dispone l’impresa
sono ridotte, e pertanto le stime saranno più soggette all’errore. Gli ultimi anni di origine,
inoltre, hanno un peso rilevante nella definizione della riserva sinistri e di conseguenza nel
calcolo del valore dello standard error della riserva globale. Questo spiega perché secondo
quanto proposto da Mack nei suoi lavori, lo standard error della riserva sinistri totale
stimata in base a tecniche deterministiche è nettamente superiore alla standard deviation
del bootstrapping. Se ne conclude che, secondo quanto proposto da Mack, la riserva sinistri
stimata attraverso il metodo del basic chain ladder è soggetta ad una forte variabilità.
3. La distribuzione di probabilità della Normale
Per ottenere la distribuzione di probabilità della riserva sinistri secondo una Normale è
necessario ipotizzare che i pagamenti incrementali siano distribuiti secondo una Normale
di media Pij e varianza φ ⋅ Pij , dove il parametro φ è stato già calcolato allo scopo di
conseguire gli adjusted residui di Pearson. Tale parametro viene determinato sulla base dei
dati storici, pertanto risulta fortemente correlato alle caratteristiche dell’impresa, variando
quindi tra le differenti compagnie di assicurazione.
I valori fissati come media e varianza della distribuzione Normale provengono dalle
simulazioni effettuate per il bootstrapping. In pratica gli importi incrementali che vengono
ripetutamente campionati per avere diversi triangoli nel bootstrapping, sono quelli
coinvolti nelle simulazioni per ottenere una distribuzione predittiva della riserva sinistri
con pagamenti distribuiti secondo una Normale. England e Verrall107 sottolineano che è
inappropriato simulare dei pagamenti futuri come variabili casuali indipendenti. Sebbene la
media e il prediction error dei pagamenti simulati possano essere corretti, la standard
deviation delle riserve simulate potrebbe essere sottostimata. In questo lavoro si è imposto
al modello che i pagamenti futuri avessero tutti la stessa distribuzione108, ma con media e
varianza diversa, pertanto sono stati trattati come variabili casuali indipendenti ma non
identicamente distribuite. Un diretto riscontro è visibile nel confronto tra lo standard error
delle distribuzioni predittive e lo standard error calcolato secondo la formula di Mack.
107
108
Si rimanda al loro articolo del 2002 citato in bibliografia.
Sia essa Normale o LogNormale.
172
La somma per riga nel triangolo dei pagamenti simulati restituisce la riserva sinistri di una
particolare generazione da cui è facile ottenere la riserva complessiva.
Come fatto per il bootstrapping, anche per le simulazioni ottenute da una Normale, si
presentano i grafici per tutte le generazioni e per la riserva complessiva.
A differenza del caso precedente, è presente anche il primo periodo di origine, l’anno
1993. Nonostante si sia fissato pari a zero il relativo residuo, il modello vuole che si simuli
da una Normale con determinate statistiche un probabile pagamento, pertanto, poiché il
numero di simulazioni è elevato, è logico attendersi una distribuzione di probabilità anche
per la generazione più anziana.
1993 N=1.000
1994 N=1.000
riserva sinistri da una NORMALE
45
40
40
35
35
30
30
frequenze assolute
frequenze assolute
45
25
20
15
25
20
15
10
10
5
5
0
0
500
1000
1500
2000
0
2500
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
1995 N=1.000
1996 N=1.000
45
45
40
40
35
35
30
30
frequenze assolute
frequenze assolute
25
20
15
25
20
15
10
10
5
5
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
4000
3500
4000
4500
0
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
5500
173
6000
1997 N=1.000
1998 N=1.000
45
40
40
35
35
30
30
frequenze assolute
frequenze assolute
45
25
20
15
25
20
15
10
10
5
5
0
2000
3000
4000
5000
6000
7000
0
3000
8000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
1999 N=1.000
2000 N=1.000
45
45
40
40
35
35
30
30
frequenze assolute
frequenze assolute
25
20
15
25
20
15
10
10
5
5
0
6000
7000
8000
9000
10000
11000
11000
12000
13000
0
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
4
x 10
174
2001 N=1.000
2002 N=1.000
45
40
40
35
35
30
30
frequenze assolute
frequenze assolute
45
25
20
15
25
20
15
10
10
5
5
0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2
0
2.1
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
3.2
4
4
x 10
x 10
2003 N=1.000
2004 N=1.000
45
40
40
35
35
30
30
frequenze assolute
frequenze assolute
45
25
20
15
25
20
15
10
10
5
5
0
4.2
4.4
4.6
4.8
5
5.2
5.4
5.6
0
1
1.05
1.1
1.15
1.2
1.25
1.3
4
x 10
5
x 10
175
Grafico 38 Riserva Sinistri generazione
N=1.000
1993 N=10.000
riserva sinistri da una Normale
45
60
40
50
30
frequenze assolute
frequenze assolute
35
25
20
15
40
30
20
10
10
5
0
2.3
2.35
2.4
2.45
2.5
2.55
2.6
2.65
0
-500
2.7
0
500
1000
1500
2000
2500
5
x 10
1994 N=10.000
1995 N=10.000
60
50
50
40
40
frequenze assolute
frequenze assolute
60
30
20
20
10
10
0
30
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
176
5000
1996 N=10.000
1997 N=10.000
60
50
50
40
40
frequenze assolute
frequenze assolute
60
30
20
10
0
1500
30
20
10
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
5500
0
2000
6000
3000
4000
5000
6000
7000
1998 N=10.000
1999 N=10.000
60
50
50
40
40
frequenze assolute
frequenze assolute
60
30
20
10
0
3000
8000
30
20
10
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
11000
0
5000
6000
7000
8000
9000
10000 11000 12000 13000
177
14000
2000 N=10.000
2001 N=10.000
60
50
50
40
40
frequenze assolute
frequenze assolute
60
30
20
10
0
0.7
30
20
10
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
0
1.1
1.7
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2
4
2.1
4
x 10
x 10
2002 N=10.000
2003 N=10.000
60
50
50
40
40
frequenze assolute
frequenze assolute
60
30
20
10
0
1.8
30
20
10
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
3.2
4
x 10
0
4
4.2
4.4
4.6
4.8
5
5.2
5.4
5.6
5.8
4
x 10
178
Grafico
2004 N=10.000
N=10.000
50
Riserva
60
50
50
40
40
30
20
10
0
totale
60
frequenze assolute
frequenze assolute
Sinistri
30
20
10
1
1.05
1.1
1.15
1.2
1.25
1.3
0
2.25
2.3
2.35
2.4
2.45
2.5
2.55
2.6
2.65
5
2.7
5
x 10
x 10
Analogamente a quanto fatto per il bootstrapping, si riporta una tabella riassuntiva dei
principali momenti della distribuzione.
Le distribuzioni di probabilità in media hanno gli stessi valori, certamente
l’approssimazione migliora, anche se di poco, laddove si effettuano 10.000 simulazioni.
La deviazione standard è maggiore per le generazioni più recenti in quanto nel modello109
si è posto di simulare dei pagamenti con varianza pari a φ ⋅ Pij , che risulta maggiore per gli
ultimi anni di origine perché questi hanno degli importi individuali maggiori, restando
fisso il parametro φ per tutte le generazioni. Al contrario, il coefficiente di variazione, che
esprime la variabilità relativa, segue l’andamento opposto, decresce se si considerano gli
anni di generazione più recenti. Il coefficiente di variazione si riduce grazie alla legge dei
grandi numeri. Gli ultimi esercizi necessitano della stima di un numero più elevato di
pagamenti futuri, a differenza dei primi anni di origine in cui i risarcimenti da valutare
sono pochi quantitativamente ma con variabilità elevata. La combinazione congiunta di
pochi sinistri da liquidare ma con importi elevati causa una dispersione minore intorno alla
media, ma una variabilità relativa maggiore.
L’indice di asimmetria si aggira intorno allo zero, come è logico attendersi dal momento
che la distribuzione è una gaussiana. Aumentando il numero di simulazioni la bontà del
modello migliora poiché restituisce una skweness ancora più vicina allo zero110.
109
110
In base a quanto suggerito dalla tecnica del bootstrapping.
Questi miglioramenti si ottengono maggiormente per le generazioni più recenti.
179
La distribuzione di probabilità è normocurtica e pertanto l’indice di curtosi si attesta
intorno a tre, la precisione migliora con un numero di simulazioni più elevato.
Infatti, più si aumenta l’ordine del momento che si vuole stimare, più deve essere maggiore
il numero di simulazioni. La media è abbastanza centrata anche con N = 1.000 , per gli altri
momenti è necessario ricorrere al caso N = 10.000 .
Nella tabella 3.2. sono riportati i valori dello standard error ottenuti dal modello, simulando
una Normale, e quelli calcolati secondo la formula di Mack.
La distribuzione predittiva permette di calcolare lo standard error in maniera immediata,
poiché è sufficiente riferirsi alla standard deviation della distribuzione. Nell’ipotesi che i
pagamenti provengano da una Normale lo standard errror è maggiore di quello ottenuto
tramite le formule di Mack soltanto per le prime generazioni. Anche in questo caso
valgono le stesse considerazioni fatte in merito al bootstrapping, malgrado la differenza tra
i due metodi sia inferiore rispetto a quanto visto nella tabella 2.8.
180
3.1. Principali statistiche ottenute dalla distribuzione Normale
Gen
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
Totale
Numero
simulazioni
Media
(in
Euro.000)
Standard
Deviation
(in
Euro.000)
Chain
Coefficiente
di
Skewness
Curtosi
Variazione
ladder
(importi in
Euro.000)
N = 1.000
1.075
311,42
28,98%
0,1439
2,8606
N = 10.000
1.068
312,91
29,30%
0,0193
2,9632
N = 1.000
2.042
446,98
21,89%
-0,0644
3,2550
N = 10.000
2.036
456,35
22,41%
0,0510
3,0752
N = 1.000
2.641
531,83
20,14%
-0,0337
2,9166
N = 10.000
2.648
515,58
19,47%
0,0370
3,0481
N = 1.000
3.681
645,59
17,54%
0,0195
2,7935
N = 10.000
3.686
617,09
16,74%
0,0409
2,9734
N = 1.000
4.886
696,25
14,25%
-0,0927
3,0391
N = 10.000
4.860
711,26
14,63%
0,0278
2,9561
N = 1.000
6.983
908,33
13,01%
0,0110
2,9687
N = 10.000
6.996
849,91
12,15%
0,0025
2,9883
N = 1.000
9.423
990,60
10,51%
-0,0408
3,0930
N = 10.000
9.438
997,86
10,57%
0,0126
3,0596
N = 1.000
12.040
1109,10
9,21%
-0,0333
3,0098
N = 10.000
12.013
1108,50
9,23%
0,0147
3,0565
N = 1.000
16.110
1269,00
7,88%
-0,0990
3,1087
N = 10.000
16.039
1279,00
7,97%
0,0069
2,9603
N = 1.000
24.941
1568,60
6,29%
0,0637
2,8934
N = 10.000
24.999
1599,90
6,40%
-0,0177
2,9862
N = 1.000
48.729
2250,40
4,62%
0,0021
2,6283
N = 10.000
48.637
2255,40
4,64%
0,0395
3,0113
N = 1.000
114.220
3434,70
3,01%
-0,0124
3,0976
N = 10.000
114.040
3356,10
2,94%
-0,0043
3,0531
N = 1.000
246.770
5555,90
2,25%
0,1203
2,9347
N = 10.000
246.460
5576,40
2,26%
0,0144
3,0687
1.068
2.033
2.654
3.676
4.859
6.989
9.439
11.999
16.027
24.981
48.590
114.058
246.374
181
3.2. Standard error
Gen
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
Totale
Numero
simulazioni
Normale
N = 1.000
311,42
N = 10.000
312,91
N = 1.000
446,98
N = 10.000
456,35
N = 1.000
531,83
N = 10.000
515,58
N = 1.000
645,59
N = 10.000
617,09
N = 1.000
696,25
N = 10.000
711,26
N = 1.000
908,33
N = 10.000
849,91
N = 1.000
990,60
N = 10.000
997,86
N = 1.000
1109,10
N = 10.000
1108,50
N = 1.000
1269,00
N = 10.000
1279,00
N = 1.000
1568,60
N = 10.000
1599,90
N = 1.000
2250,40
N = 10.000
2255,40
N = 1.000
3434,70
N = 10.000
3356,10
N = 1.000
5555,90
N = 10.000
5576,40
Mack
-
32,01
134,32
389,65
449,09
555,27
785,60
1.071,47
1.440,12
2.031,82
2.987,48
5.912,26
8.191,61
182
4. La distribuzione di probabilità della LogNormale
Nel modello si è poi ipotizzato che i pagamenti futuri fossero distribuiti secondo una
LogNornale a due parametri. La distribuzione LogNormale è strettamente relazionata alla
~
Normale. Infatti, una variabile casuale X ha distribuzione LogNormale con parametri μ
( )
~
e σ , se ln X
ha distribuzione Normale con media μ
()
~
~
Equivalentemente X = exp Y
e deviazione standard σ .
~
dove Y è distribuita normalmente con media μ
e
deviazione standard σ .
~
La media e la varianza di X valgono
( )
⎛
σ2 ⎞
~
⎟
a. E X = exp⎜⎜ μ +
2 ⎟⎠
⎝
~
b. Var X = exp 2 ⋅ μ + σ 2 − exp 2 ⋅ μ + σ 2 .
( )
[ (
)]
(
)
I parametri μ e σ assumono i seguenti valori
1
a. μ = ln(m ) − σ 2
2
⎛
s2 ⎞
b. σ 2 = ln⎜⎜1 + 2 ⎟⎟
⎝ m ⎠
avendo indicato con m e s 2 rispettivamente la media e la varianza della LogNormale111.
La media della distribuzione è posta pari a Pij e la varianza pari a φ ⋅ Pij , dove Pij è il
pagamento stimato per la generazione i − esima sostenuto con j anni di ritardo e ottenuto
tramite il campionamento con rimpiazzo dei residui, a cui si applicano i fattori di sviluppo
del basic chain ladder, calcolati per tutti i campionamenti.
Di seguito sono riportati i grafici per le dodici generazioni, nonché il grafico della riserva
globale nei due casi, N = 1.000 e N = 10.000
111
Si noti che
s
è il coefficiente di variazione.
m
183
1993 N=1.000
1994 N=1.000
riserva sinistri da una LOGNORMALE
45
40
40
35
35
30
30
frequenze assolute
frequenze assolute
45
25
20
15
25
20
15
10
10
5
5
0
0
500
1000
1500
2000
0
500
2500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
1995 N=1.000
1996 N=1.000
45
45
40
40
35
35
30
30
frequenze assolute
frequenze assolute
25
20
15
25
20
15
10
10
5
5
0
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4000
4500
5000
0
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
5500
184
6000
1997 N=1.000
1998 N=1.000
45
40
40
35
35
30
30
frequenze assolute
frequenze assolute
45
25
20
15
25
20
15
10
10
5
5
0
3000
3500
4000
4500
5000
5500
6000
6500
7000
7500
0
4000
8000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
1999 N=1.000
2000 N=1.000
45
40
40
35
35
30
30
frequenze assolute
frequenze assolute
45
25
20
15
25
20
15
10
10
5
5
0
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
4
x 10
0
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
4
x 10
185
2001 N=1.000
2002 N=1.000
45
40
40
35
35
30
30
frequenze assolute
frequenze assolute
45
25
20
15
25
20
15
10
10
5
5
0
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
0
1.8
2
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
3.2
4
4
x 10
x 10
2003 N=1.000
2004 N=1.000
45
40
40
35
35
30
30
frequenze assolute
frequenze assolute
45
25
20
15
25
20
15
10
10
5
5
0
4
4.2
4.4
4.6
4.8
5
5.2
5.4
5.6
0
1
1.05
1.1
1.15
1.2
1.25
1.3
4
x 10
5
x 10
186
N=1.000
1993 N=10.000
45
60
40
50
30
frequenze assolute
frequenze assolute
35
25
20
15
40
30
20
10
10
5
0
2.25
2.3
2.35
2.4
2.45
2.5
2.55
2.6
0
2.65
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
5
x 10
1994 N=10.000
1995 N=10.000
60
50
50
40
40
frequenze assolute
frequenze assolute
60
30
20
10
0
500
30
20
10
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
0
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
5500
187
6000
1996 N=10.000
1997 N=10.000
60
50
50
40
40
frequenze assolute
frequenze assolute
60
30
20
10
0
1500
30
20
10
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
5500
6000
0
2000
6500
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
1998 N=10.000
1999 N=10.000
60
50
50
40
40
frequenze assolute
frequenze assolute
60
30
20
10
0
4000
30
20
10
5000
6000
7000
8000
9000
10000
11000
12000
0
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
4
x 10
188
2000 N=10.000
2001 N=10.000
60
50
50
40
40
frequenze assolute
frequenze assolute
60
30
20
10
0
0.8
30
20
10
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
0
1.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
4
4
x 10
x 10
2002 N=10.000
2003 N=10.000
60
50
50
40
40
frequenze assolute
frequenze assolute
60
30
20
10
0
1.8
30
20
10
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
3.2
4
x 10
0
4
4.2
4.4
4.6
4.8
5
5.2
5.4
5.6
5.8
6
4
x 10
189
Grafico
2004 N=10.000
N=10.000
76.
60
50
50
40
40
30
20
10
0
Sinistri
totale
60
frequenze assolute
frequenze assolute
Riserva
30
20
10
1
1.05
1.1
1.15
1.2
1.25
1.3
5
x 10
0
2.25
2.3
2.35
2.4
2.45
2.5
2.55
2.6
2.65
2.7
5
x 10
190
Nella tabella 4.1. sono stati riassunti i momenti calcolati per le varie distribuzioni.
Valgono le stesse considerazioni fatte prima, ossia che la media risulta stimata abbastanza
bene anche con un numero di simulazioni piuttosto piccolo, invece i momenti di ordine
superiore sono centrati in maniera migliore nel caso N = 10.000 .
Un valore superiore della standard deviation per le generazioni più recenti è dovuto alle
ipotesi del modello in cui si è posto di simulare dei pagamenti da una LogNormale con
varianza pari a φ ⋅ Pij , e quindi variabilità maggiore per le riserve degli ultimi anni di
esercizio poiché Pij è un importo che cresce se ci si sposta verso generazioni meno
anziane. Ciononostante, la variabilità relativa, che è quella su cui si deve porre
l’attenzione, è minore per gli anni di accadimento più vicini, in termini temporali, alla data
di valutazione.
La distribuzione LogNormale a due parametri presenta un indice di asimmetria positivo,
con una lunga coda a destra. Questa caratteristica si adatta meglio ai dati esaminati nel
presente lavoro dal momento che gli stessi fanno riferimento alla R.C.Auto. Il suddetto
ramo, soprattutto per le generazioni più anziane112, riserva pochi sinistri con elevati importi
di risarcimento, da qui si ricava la presenza nella distribuzione di probabilità di estremi
valori positivi. La presenza di dati estremi contribuisce a rendere ancora più instabile la
stima e ad avere una distribuzione del tipo descritto sopra. Per dimostrare quanto detto si
osservi il coefficiente di variazione e nello stesso tempo la standard deviation. Nel caso in
cui si ipotizza che i pagamenti si distribuiscano secondo una LogNormale si ottengo
risultati analoghi a quelli del Bootstrapping o della Normale. Dunque valgono le stesse
considerazioni fatte in precedenza: le prime generazioni mostrano una variabilità assoluta
minore delle altre, ma hanno una variabilità relativa maggiore; un trend opposto presentano
le generazioni meno anziane.
L’indice di curtosi è nettamente superiore al valore tre, di conseguenza la distribuzione è
leptocurtica.
La tabella 4.2. riporta un confronto tra i valori dello standard error della distribuzione
LogNormale e i risultati conseguiti applicando ai dati di input le relazioni proposte da
Thomas Mack.
Nel caso della LogNormale lo standard error è superiore al valore ottenuto tramite le
formule di Mack per le prime generazioni e più precisamente fino all’anno 2000, risultando
inferiore per le restanti generazioni. Le considerazioni che possono essere fatte a riguardo
112
Per gli anni di origine più lontani nel tempo si devono prevedere dei risarcimenti di importo sicuramente
più contenuto ma con variabilità relativa maggiore.
191
non sono differenti da quelle viste per gli altri casi. Il basic chain ladder è soggetto ad una
variabilità di stima maggiore di quanto lo sia l’aver ipotizzato che i pagamenti
provenissero da una LogNormale.
4.1. Principali statistiche ottenute dalla distribuzione LogNormale
Gen
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
Totale
Numero
simulazioni
Media
(in
Euro.000)
Standard
Deviation
(in
Euro.000)
Coefficiente
di
Chain ladder
Skewness
Curtosi
Variazione
(importi in
Euro.000)
N = 1.000
1.062
305,64
28,78%
0,7362
3,6353
N = 10.000
1.068
313,28
29,33%
0,9042
4,4029
N = 1.000
2.028
460,69
22,72%
0,6078
3,7609
N = 10.000
2.037
457,67
22,47%
0,6616
3,9084
N = 1.000
2.644
516,26
19,53%
0,3787
3,2045
N = 10.000
2.648
512,55
19,36%
0,5437
3,6344
N = 1.000
3.709
594,57
16,03%
0,4490
3,2735
N = 10.000
3.685
619,17
16,80%
0,4698
3,3587
N = 1.000
4.876
703,21
14,42%
0,3913
3,1851
N = 10.000
4.862
712,20
14,65%
0,3937
3,1674
N = 1.000
6.960
849,99
12,21%
0,2440
3,0235
N = 10.000
6.994
846,30
12,10%
0,3058
3,1706
N = 1.000
9.484
1004,50
10,59%
0,2451
3,1319
N = 10.000
9.440
997,11
10,56%
0,2948
3,1636
N = 1.000
11.998
1110,80
9,26%
0,3916
3,7084
N = 10.000
12.013
1.111,70
9,25%
0,2702
3,2027
N = 1.000
16.046
1264,00
7,88%
0,3020
2,8278
N = 10.000
16.036
1.276,60
7,96%
0,2020
3,0168
N = 1.000
25.064
1598,70
6,38%
0,2201
3,0301
N = 10.000
25.000
1.599,70
6,40%
0,1502
3,0391
N = 1.000
48.696
2316,90
4,76%
0,1354
2,9294
N = 10.000
48.633
2.258,90
4,64%
0,1550
3,0426
N = 1.000
114.200
3299,70
2,89%
0,1692
2,9230
N = 10.000
114.040
3.355,70
2,94%
0,0746
3,0603
N = 1.000
246.760
5573,10
2,26%
0,1014
2,9361
N = 10.000
246.460
5.571,50
2,26%
0,0470
3,0851
1.068
2.033
2.654
3.676
4.859
6.989
9.439
11.999
16.027
24.981
48.590
114.058
246.374
192
4.2. Standard error
Gen
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
Totale
Numero
simulazioni
LogNormale
N = 1.000
305,64
N = 10.000
313,28
N = 1.000
460,69
N = 10.000
457,67
N = 1.000
516,26
N = 10.000
512,55
N = 1.000
594,57
N = 10.000
619,17
N = 1.000
703,21
N = 10.000
712,20
N = 1.000
849,99
N = 10.000
846,30
N = 1.000
1004,50
N = 10.000
997,11
N = 1.000
1110,80
N = 10.000
1.111,70
N = 1.000
1264,00
N = 10.000
1.276,60
N = 1.000
1598,70
N = 10.000
1.599,70
N = 1.000
2316,90
N = 10.000
2.258,90
N = 1.000
3299,70
N = 10.000
3.355,70
N = 1.000
5573,10
N = 10.000
5.571,50
Mack
-
32,01
134,32
389,65
449,09
555,27
785,60
1.071,47
1.440,12
2.031,82
2.987,48
5.912,26
8.191,61
Di seguito si riporta una tabella riassuntiva dello standard error calcolato nei tre casi,
Bootstrapping, Normale e LogNormale, e messi a confronto con i risultati di Mack.
Nel paragrafo precedente è stato osservato che uno standard error elevato è causato
dall’aver imposto al modello che i pagamenti futuri fossero considerati come variabili
casuali indipendenti. Infatti, nonostante la media della distribuzione nei tre casi,
Bootstrapping, Normale e LogNormale, sia stimata in modo corretto, l’ipotesi scelta per il
193
modello definisce una dispersione minore se confrontata con la deviazione standard
ottenuta dalla formula di Mack. La differenza dei valori dello standard error ottenuti dal
modello di simulazione e quelli di Mack è ancora più evidente per le ultime generazioni in
cui si evince una varianza decisamente più piccola rispetto al caso analitico
4.3. Sintesi dei valori dello standard error
Gen
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
Totale
Numero
Bootstrapping
Normale
LogNormale
N = 1.000
-
311,42
305,64
N = 10.000
-
312,91
313,28
N = 1.000
127,62
446,98
460,69
N = 10.000
125,11
456,35
457,67
N = 1.000
158,50
531,83
516,26
N = 10.000
151,91
515,58
512,55
N = 1.000
190,97
645,59
594,57
N = 10.000
182,47
617,09
619,17
N = 1.000
213,46
696,25
703,21
N = 10.000
205,89
711,26
712,20
N = 1.000
253,64
908,33
849,99
N = 10.000
248,87
849,91
846,30
N = 1.000
285,85
990,60
1004,50
N = 10.000
287,01
997,86
997,11
N = 1.000
307,44
1109,10
1110,80
N = 10.000
303,24
1108,50
1.111,70
N = 1.000
347,44
1269,00
1264,00
N = 10.000
341,65
1279,00
1.276,60
N = 1.000
441,76
1568,60
1598,70
N = 10.000
445,16
1599,90
1.599,70
N = 1.000
727,14
2250,40
2316,90
N = 10.000
731,30
2255,40
2.258,90
N = 1.000
845,44
3434,70
3299,70
N = 10.000
850,10
3356,10
3.355,70
N = 1.000
2.813,10
5555,90
5573,10
N = 10.000
2.803,30
5576,40
5.571,50
simulazioni
Mack
-
32,01
134,32
389,65
449,09
555,27
785,60
1.071,47
1.440,12
2.031,82
2.987,48
5.912,26
8.191,61
194
Per le ultime generazioni il numero di pagamenti da stimare è maggiore, dunque, viene
accentuata la differenza tra i valori dello standard error ottenuti nel caso stocastico con i
relativi risultati conseguiti nel caso analitico.
Il modello di simulazione restituisce uno standard error della riserva complessiva
decisamente inferiore a quello ottenuto analiticamente dalle formule di Mack. Il motivo sta
nel fatto che Mack ha pensato che tra le stime dei vari anni di accadimento esiste una
qualche correlazione che deve essere tenuta in conto qualora si valuti lo standard error
della riserva globale. Dunque non è corretto sommare lo standard error delle riserve
generazionali per ottenere quello relativo alla riserva sinistri totale.
Facendo attenzione alla riserva complessiva, il bootstrapping presenta una variabilità di
stima minore; al contrario, il procedimento di Thomas Mack restituisce il più elevato
standard error e quindi una probabile variabilità più elevata nell’aver stimato la riserva
sinistri.
England e Verrall113 sottolineano la differenza che intercorre tra standard error e prediction
error, sebbene molti tendono a usare i due termini per indicare il medesimo concetto.
England e Verrall affermano che lo standard error delle riserve, ossia l’errore di stima,
fornisce una misura di variabilità, ma l’interpretazione che ne fanno è differente. Lo
standard error rappresenta la deviazione standard delle riserve medie che si otterrebbe se si
ripetesse diverse volte un esperimento ripetendo l’esperienza passata dei sinistri, ogni volta
stimando la media della riserva. Sebbene questa misura potrebbe essere interessante, il
prediction error riveste un interesse maggiore, rappresentando non la standard deviation
delle riserve attese, ma la standard deviation delle passività correnti per i sinistri non
pagati. Conseguentemente il prediction error avrà un valore più elevato dello standard
error.
I due studiosi hanno voluto sottolineare la differenza che intercorre tra la definizione di
standard error e prediction error; nonostante ciò molti utilizzano i due termini, e di
conseguenza la definizione di essi, in modo indistinto.
113
Si veda in merito l’articolo del 2002 riportato in bibliografia.
195
5. Il risk margin
L’European Commission ha chiesto alla Committee of European Insurance and
Occupational Pension Supervisors (CEIOPS) di preparare una guida che trattasse le regole
del Solvency II per le sottoscrizioni degli assicuratori europei.
Il CEIOPS ha deciso di condurre il Quantitative Impact Study 2 (QIS 2) allo scopo di
studiare quale effetto può avere sulle polizze assicurative il valore richiesto sia per le
attività che per le passività, secondo la struttura del Solvency II.
Per la valutazione delle riserve tecniche il CEIOPS in questo lavoro ha proposto come
determinarla, lasciando all’European Commission, agli Stati Membri e al Parlamento
Europeo la scelta della base su cui le riserve tecniche devono essere determinate.
L’obiettivo del QIS 2 è triplice. Il CEIOPS spera che questo esercizio possa dare
informazioni sulla facilità o meno dei calcoli coinvolti. In secondo luogo, il CEIOPS cerca
indicazioni del possibile impatto sul bilancio d’esercizio e dell’ammontare del capitale
necessario qualora uno degli approcci del QIS 2 dovesse essere adottato come Solvency II.
Il terzo compito è la ricerca di informazioni quantitative e qualitative sulla correttezza dei
possibili approcci per il calcolo del Solvency Capital Requirement (SCR).
Il QIS 2 è un esercizio che cerca di definire una stima quantitativa dell’impatto
complessivo del nuovo sistema di solvibilità, e come tale si occupa
•
di valutare le assunzioni delle attività e delle passività;
•
del Solvency Capital Requirement (SCR) calcolato secondo la standard formula;
•
del Solvency Capital Requirement calcolato secondo gli internal model dei vari
assicuratori;
•
del Minimum Capital Requirement (MCR).
Un’analisi approfondita del QIS 2 esula dallo scopo della trattazione, pertanto ci si
soffermerà solo sul primo punto.
Per quanto riguarda le attività, queste dovrebbero essere valutate al loro valore di mercato.
Laddove non si disponesse di tale dato, possono essere adottati approcci alternativi purché
siano consistenti alle rilevanti informazioni di mercato.
Le passività per una compagnia di assicurazione sono suddivise tra riserve tecniche e altre
passività, in questo contesto interessa definire uno strumento di stima delle prime, e più
precisamente della riserva sinistri. Come già detto nel primo capitolo, le riserve tecniche
sono date dalla somma tra la riserva premi e la riserva per i sinistri non ancora pagati. Per
quanto riguarda la valutazione delle riserve tecniche, la metodologia è duplice
196
•
a valori market-consistent per rischi quotati, come per esempio i rischi finanziari;
•
la best estimate + il risk margin al 75° percentile per altri tipi di rischi come quelli
assicurativi.
La determinazione percentile non è l’unico metodo per definire il risk margin; è possibile
ricorrere all’approccio del Cost of Capital (CoC) proposto dall’autorità di vigilanza
svizzera nello Swiss Solvency Test.
Poiché non esiste un mercato in cui sono quotati i sinistri, per determinare la riserva sinistri
occorre impiegare il secondo approccio.
La best estimate è definita come il valore attuale atteso dei futuri cash-flows114. La
determinazione dovrebbe essere fatta polizza per polizza, ma il CEIOPS autorizza ad
utilizzare ragionevoli metodi attuariali e approssimazioni. Le assunzioni fatte per
determinare il valore atteso dei cash-flows devono essere ritenute realistiche rispetto al
business dell’impresa; inoltre, per quanto riguarda le distribuzioni di probabilità di ogni
fattore di rischio dovrebbero basarsi sull’esperienza, o riferendosi ai dati del settore se
l’esperienza dovesse essere insufficiente o non abbastanza credibile.
In questo ambito, il termine best estimate è inteso come il valore atteso della distribuzione
dei possibili risultati per le passività non ancora pagate. Essenzialmente altro non è che la
media della distribuzione predittiva.
Nel QIS 2 è richiesto l’impiego di metodi statistici compatibili con la pratica attuariale
corrente, prendendo in considerazione tutti i fattori che potrebbero avere un impatto
sull’esperienza futura dei sinistri. Tutto ciò richiede l’utilizzo di due triangoli di run-off
che sintetizzino i dati sia per anno di accadimento che per anno di denuncia.
Per valutare la riserva sinistri è necessario conoscere il risk margin.
L’European Commission ha dato la seguente definizione di risk margin, “The risk margin
covers the risks linked to the future liability cash flows over their whole time horizon. Two
possible ways to calculate the risk margin should be considered as working hypotheses. It
can be calculated as the difference between the 75th percentile of the underlying
probability distribution until run-off and the best estimate. […]. Alternatively, the risk
margin can be calculated based on the cost of providing SCR capital to support the
business-in-force until run-off. Further quantitative impact information should be collected
to assess the merits of the two methods.”115.
114
L’attualizzazione dovrebbe essere condotta sulla duration attraverso il tasso di sconto risk-neutral.
EIOPC (2006) “Draft Amended Framework for Consultation on Solvency II”, Annex to
MARKT/2511/06-EN.
115
197
Nel modello di simulazione il risk margin richiesto per i rischi non quotati è stato calcolato
come differenza tra il valore atteso e il valore necessario per raggiungere un dato livello di
confidenza, costruito secondo una certa ampiezza, includendo l’incertezza sulle
distribuzioni coinvolte.
Il risk margin è quell’importo che l’impresa può accantonare per tutelarsi da eventuali
errori di stima della riserva. All’aumentare del livello di sicurezza, cresce anche la somma
che prudenzialmente l’impresa decide di sommare alla best estimate della riserva sinistri.
Di seguito sono riportate le tabelle con i percentili di varie entità, e precisamente il
25 − esimo , 50 − esimo , 75 − esimo , 90 − esimo , 95 − esimo e 99 − esimo
5.1. Percentili ottenuti dal modello con N=1.000 (importi in Euro.000)
25%
50%
(mediana)
75%
90%
95%
99%
media
Bootstrapping
244.590
246.500
248.500
250.130
250.930
253.290
246.500
Normale
242.990
246.610
250.440
254.120
256.190
260.080
246.770
LogNormale
242.890
246.650
250.460
253.830
256.030
259.620
246.760
Se si suppone che l’impresa decide di raggiungere un livello di prudenza del 75%, dovrà
accantonare un valore che oscilla tra 248.320 e 250.630 migliaia di Euro. La scelta è
riposta nelle decisioni dell’attuario incaricato che opterà per un determinato valore in base
alle caratteristiche della società.
Il 50 − esimo percentile è la mediana. In questo contesto è stata introdotta anche la
mediana perché ancora non si è stabilito cosa intendere come best estimate, anche se l’idea
che sta prevalendo è di considerare la media, piuttosto che la mediana, come best estimate.
La mediana non fornisce alcuna informazione circa il rischio di downside. La media della
distribuzione predittiva ha un’attinenza più importante con l’interpretazione che si fa circa
la best estimate. Anche nel caso in cui si dovesse scegliere la media come best estimate
non va dimenticato che la somma accantonata potrebbe essere sufficiente “in media”.
5.2. Percentili ottenuti dal modello con N=10.000 (importi in Euro.000)
25%
50%
(mediana)
75%
90%
95%
99%
media
Bootstrapping
244.480
246.380
248.300
250.010
251.080
252.890
246.400
Normale
242.770
246.440
250.130
253.690
255.630
259.660
246.460
LogNormale
242.750
246.400
250.130
253.670
255.640
259.690
246.460
198
Nel caso in cui si siano effettuate 10.000 simulazioni e l’impresa decida di accantonare una
somma che preveda sia sufficiente nel 75% dei casi, allora l’attuario della compagnia
dovrà indicare il valore da porre nel passivo del bilancio scegliendo in un range di
[248.300,250.130].
Con i percentili è possibile calcolare il risk margin secondo quanto detto prima.
I valori sono ovviamente diversi per le due simulazioni svolte
5.3. Risk margin con N=1.000 (importi in Euro.000)
25%
50%
(mediana)
75%
90%
95%
99%
media
Bootstrapping
-1.910
0
2.000
3.630
4.430
6.790
0
Normale
-3.780
-160
3.670
7.350
9.420
13.310
0
LogNormale
-3.870
-110
3.700
7.070
9.270
12.860
0
5.4. Proporzione del risk margin (in percentuale) N=1.000
Bootstrapping
-0,80
50%
(mediana)
-0,01
Normale
-1,70
-0,07
1,55
2,86
3,84
5,33
0,00
LogNormale
-1,60
-0,02
1,50
2,81
3,52
5,48
0,00
25%
75%
90%
95%
99%
media
0,86
1,47
1,83
2,69
0,00
5.5. Risk margin con N=10.000 (importi in euro.000)
25%
50%
(mediana)
75%
90%
95%
99%
media
Bootstrapping
-1.920
-20
1.900
3.610
4.680
6.490
0
Normale
-3.690
-20
3.670
7.230
9.170
13.200
0
LogNormale
-3.710
-60
3.670
7.210
9.180
13.230
0
5.6. Proporzione del risk margin (in percentuale) N=10.000
Bootstrapping
-0,79
50%
(mediana)
-0,01
Normale
-1,52
LogNormale
-1,53
25%
75%
90%
95%
99%
media
0,77
1,44
1,86
2,57
0,00
-0,01
1,47
2,85
3,59
5,08
0,00
-0,02
1,47
2,84
3,59
5,09
0,00
199
Il risk margin al livello dei primi due percentili può risultare negativo poiché è possibile
che la media della distribuzione sia maggiore del valore restituito dal percentile. Per i
percentili più elevati il valore del risk margin è positivo.
La proporzione del risk margin in relazione alla somma da accantonare varia in
corrispondenza della tecnica di simulazione e della scelta del percentile. Con riferimento ai
differenti percentili, la proporzione più modesta si riscontra nel bootstrapping. A parità di
procedure di simulazione applicate ai dati, la proporzione indubbiamente è maggiore per i
percentili superiori. In generale si può affermare che l’incidenza del risk margin sulla
riserva sinistri varia da un minimo dello 0,77% ad un massimo del 5,09%.
La compagnia può scegliere a quale livello definire il risk margin.
Si dimostra un interesse maggiore nei confronti del 75 − esimo percentile perché i valori
relativi al 95 − esimo o al 99 − esimo percentili sono troppo estremi.
200
Conclusioni
Il presente lavoro non ha l’obiettivo di fornire dei nuovi metodi di stima per la riserva
sinistri, ma analizzare in modo critico le principali procedure di valutazione cercando di
porre l’accento sui punti di forza e di debolezza di ciascun criterio. Nella prima parte sono
stati esposti alcuni metodi deterministici con le relative dimostrazioni numeriche. In una
fase successiva si è cercato di costruire un modello che simulasse una ragionevole
distribuzione di probabilità secondo le caratteristiche dell’impresa di cui si dispongo i dati.
Anche per i metodi deterministici si è fatto uso dello stesso database iniziale.
Si è dimostrato che non esiste un metodo migliore di un altro e che, come tale, può essere
impiegato in ogni circostanza. La riserva riguardante un determinato sinistro resterà aperta
fino a quando il sinistro non verrà risarcito interamente. E’ possibile che l’impresa nel
tempo riesca a procurarsi ulteriori e nuove informazioni che possono essere utili ai fini
della stima della riserva sinistri. L’attuario non conoscerà mai il vero ammontare della
riserva, da ciò nasce l’esigenza di poter aggiornare la stima in modo tale che
l’accantonamento sia quanto più prossimo ai reali impegni della compagnia. La
determinazione della stessa è contraddistinta da un carattere dinamico e non statico a causa
dell’aggiornamento continuo a cui è sottoposta.
I metodi deterministici presentati nel secondo capitolo sono tutti caratterizzati da ipotesi
necessarie al fine di ottenere la somma da accantonare. Le ipotesi presuppongono che ci
siano alcune regolarità nello sviluppo del processo di liquidazione dei sinistri. Nonostante
tali regolarità siano riscontrabili più facilmente nei rami di massa116, è necessario che ogni
realtà imprenditoriale verifichi l’esistenza o meno delle ipotesi principali di ogni metodo.
Un’approfondita analisi preliminare evita il ricorso ad una determinata procedura se i dati
iniziali non sono adatti all’applicazione in esame, in tal modo si elude la possibilità di
ottenere una stima della riserva non corretta.
Non esiste il metodo migliore, sia esso deterministico o stocastico. Un particolare modello
potrebbe essere adatto per uno specifico problema o data set. I dati dovrebbero essere
esaminati in maniera dettagliata, piuttosto che utilizzare lo stesso approccio in ogni
circostanza. Questo accorgimento è valido sia per i metodi stocastici che deterministici.
E’ stato dimostrato che applicare differenti metodi deterministici allo stesso insieme di dati
fornisce un range di plausibili valori della riserva. Nonostante tale intervallo non sia
116
Si ricordi che i rami di massa sono caratterizzati da un numero elevato di unità assicurate.
201
estremamente ampio, non sarebbe comunque ragionevole porre in bilancio come stima
della riserva sinistri l’estremo inferiore del range di variazione. Sarà compito dell’attuario
scegliere il valore da apporre in bilancio secondo il reale processo di liquidazione dei
sinistri e nel rispetto del principio della prudenza.
I metodi che si qualificano tra la classe dei procedimenti più applicati ai triangoli di run-off
delle compagnie di assicurazione sono, tra quelli presentati in questo lavoro, il basic chain
ladder e il metodo di Fisher-Lange. A dire il vero, nella pratica assicurativa un ampio
impiego caratterizza più il chain ladder che non il Fisher-Lange. Il chain ladder non
richiede elevate elaborazioni, la procedura di calcolo è molto più semplice e immediata di
quando lo sia il metodo del costo medio. L’approccio proposto da Fisher e Lange richiede
di poter disporre di molti dati, e può succedere che la compagnia di assicurazione non
abbia a disposizione tutti i triangoli di run-off necessari per poter stimare l’importo da
riservare. Inoltre, per i rami più volatili è molto più rischioso applicare il Fisher-Lange.
Si osservi che non sarebbe comunque corretto affermare che i metodi stocastici superino i
limiti previsti dai metodi attuariali. Infatti, il grande vantaggio che se ne ricava
dall’applicazione dei modelli stocastici è l’acquisizione della distribuzione predittiva della
riserva sinistri. Tuttavia, è necessario interpretare accuratamente i risultati che si ottengono
e soprattutto analizzarli in maniera critica, in base alle aspettative e alle caratteristiche
fondamentali della compagnia. Il problema comune a tutti i metodi, deterministici e
stocastici, riguarda le ipotesi iniziali. Infatti, se il modello poggia su basi non valide si
rischia di ottenere una distribuzione di probabilità predittiva abbastanza distante dalla vera,
ma ignota, distribuzione della riserva sinistri, e di conseguenza è presumibile che la stima
della somma da accantonare non sarà adeguata ai reali impegni della compagnia. Se le
ipotesi non sono fallaci la stima potrebbe essere più esatta e rispecchierebbe in maggior
misura il processo di liquidazione caratteristico dell’impresa. L’interesse nei confronti dei
metodi stocastici è cresciuto nel tempo perché hanno una potenza informativa superiore
rispetto alle procedure deterministiche e riescono a fornire il valore del risk margin da
sommare alla best estimate e definire in tal modo l’impegno tecnico da accantonare. I
metodi deterministici, al contrario, non permettono di determinare quale debba essere
l’importo aggiuntivo da accantonare per essere maggiormente prudenti nella stima della
riserva sinistri.
Non deve essere dimenticato che c’e’ una parte di variabilità, come per esempio i
cambiamenti nella legislazione, che non possono essere previsti e facilmente incorporati
nel modello ma questo non e’ un buon motivo per non utilizzare i metodi stocastici.
202
Piuttosto si deve capire meglio quali siano le assunzioni sottostanti e testare differenti
modelli. Come avviene anche per i deterministici, l’applicazione di diversi metodi
stocastici conduce a dei differenti risultati.
Il bilancio di fine esercizio deve rappresentare in maniera veritiera e corretta la situazione
economica e finanziaria dell’impresa al termine dell’anno di attività. I metodi attuariali o
stocastici non assicurano però che il valore stimato per la riserva sinistri mostri la
situazione veritiera e corretta di cui sopra. Sarà compito del personale preposto a tale ruolo
scegliere il metodo più adatto alla situazione corrente della compagnia, verificare se
esistono le condizioni per poter applicare un particolare metodo e controllare le fasi
intermedie della stima, nonché accertare che la stima finale rifletta con alto grado di
attendibilità lo stato reale dell’impresa.
La riserva sinistri è influenzata dai movimenti di portafoglio come: cessione di parte di
rischi assunti, accettazione in riassicurazione dei rischi di altre imprese, trasferimento di
alcuni rischi da un ramo ad un altro e così via. In tutte queste situazioni si originano
movimenti di portafoglio in entrata o in uscita nella riserva sinistri di cui bisogna tener
conto nel momento in cui si stima un suo valore. Pertanto si può ben capire quanto sia
difficile la valutazione degli accantonamenti tecnici considerati i tanti fattori che
influiscono sul valore della riserva sinistri. Il contributo di alcuni fattori può essere
determinato e quindi incidere in modo sottile sul valore finale della riserva; invece, per
altri fattori, l’influenza è più rilevante. Per questi ultimi bisogna osservare attentamente i
loro mutamenti nel tempo congiuntamente all’evoluzione della riserva, o dei dati coinvolti
nella previsione di un suo probabile valore futuro, per poter disporre di una stima meno
distorta.
La stima di un valore futuro non facilmente prevedibile è di per sé molto difficile da
definire, l’ulteriore difficoltà nella previsione della riserva sinistri è da ricercare nel fatto
che gli accantonamenti tecnici rientrano nel passivo del bilancio di una qualsiasi impresa di
assicurazione. Un valore stimato molto diverso da quello reale può compromettere
l’attività della compagnia. Se infatti, la riserva sinistri venisse sopravvalutata si dovrebbe
investire di più, perché a fronte di un aumento delle passività è richiesto un aumento pari
nelle attività di copertura, il che non è sempre ben acconsentito dagli azionisti dal
momento che viene loro richiesto un capitale maggiore. Se, al contrario, gli
accantonamenti non dovessero risultare sufficienti, l’impresa non avrebbe i mezzi
necessari per risarcire i danni, cioè si troverebbe nella situazione di insolvenza e rischia di
essere dichiarata in liquidazione coatta amministrativa.
203
Infatti, la riserva sinistri assume un ruolo essenziale nella valutazione della forza
finanziaria di una compagnia di assicurazione.
204
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208
Ringraziamenti
Desidero ringraziare il Professore Savelli per la fiducia che ha riposto in me durante la
stesura della tesi. Lo ringrazio perché è stato fonte di nuovi stimoli che mi hanno permesso
di crescere professionalmente oltre che a livello personale. Grazie perché in questi anni ha
avuto nei miei riguardi molta pazienza.
Un ringraziamento speciale va alla mia Famiglia che mi ha permesso di raggiungere
questo traguardo. Senza di loro non sarei qui a fare questi ringraziamenti. Grazie. Grazie.
Sono grata ai miei genitori perché mi hanno dato la possibilità di studiare e di conseguire
un titolo di studio così importante. Vi ringrazio per tutti i sacrifici che avete fatto per me e
per quello che ogni giorno mi date. Avete fatto in modo tale che la distanza che ci
separava non pesasse tanto ma vi siete dimostrati capaci di farmi vivere serenamente
anche quando la vita ci ha messo a dura prova. Grazie perché mi avete detto che sono il
vostro orgoglio, farò di tutto per non deludervi mai, ma ricordate che siete voi il mio
orgoglio. Grazie Papà perché hai dimostrato di avere una stima infinita in me e nelle mie
capacità. Ti ringrazio perché hai sempre creduto in me e mi hai dato la forza di andare
avanti. Mi hai fatto sentire molto importante, e continui a farlo. Ti sono grata perché sei
stato un padre premuroso e non mi hai fatto mai mancare nulla, in particolar modo il tuo
amore. Grazie Mamma per essere stata sempre presente soprattutto nei momenti difficili.
Anche se abbiamo trascorso gli ultimi anni un po’ lontane non mi sono mai sentita sola,
hai sempre avuto la soluzione giusta a tutti i miei problemi e ti ho sentita sempre vicina.
La lontananza forse ci ha fatto avvicinare ancora di più rendendoci complici e grandi
amiche. Credo proprio che tu ormai sia la mia migliore amica. Grazie perché siete due
splendidi genitori e per me i migliori al mondo. Grazie Elena. Se tu non ci fossi stata credo
che la mia vita sarebbe stata molto diversa. In questi anni mi hai dimostrato che ci tieni
tanto a me e hai continuato a dirmi di non partire, di non andare lontano. Mi hai sempre
detto di non lasciarti e sola, e io non lo farò mai. Anche se non possiamo vederci tutti i
giorni, ricordati che io ci sarò sempre, sarò sempre vicina alla sorellina che ho tanto
desiderato e che finalmente dopo tanti anni è arrivata. Grazie Vincenzo. Sei stato un
fratello molto speciale. Nonostante i tuoi silenzi e la tua timidezza nel dimostrarmi il tuo
affetto, mi hai fatto capire quanto mi vuoi bene. Quando sono partita la prima volta per
Milano eri ancora un bambino, o quasi. Dopo anni mi accorgo che sei diventato un uomo
che si batte per i suoi valori. Ti ringrazio perché mi hai fatto capire molte cose della vita a
209
cui io non davo il giusto significato. A Irene, la cugina con la quale ho trascorso quattro
anni della mia vita. Abbiamo condiviso la stessa camera, e non solo quella. Siamo riuscite
a farci forza nei momenti più difficili quando la disperazione sembrava avere il
sopravvento, invece noi abbiamo unito le nostre forze e siamo riuscite a superare anche i
momenti più duri e tristi. A mia zia Brigida perché non ho mai sentito mancare il suo
affetto, anzi mi ha curata quasi come una figlia. Grazie perché mi hai voluto bene e
continui a volermene. A mio zio Rocco che ha cercato di sdrammatizzare le situazioni più
tristi prendendomi in giro perché ero diventata ormai una “milanese”. Grazie perché sei
stato di conforto con la tua allegria e la tua voglia di guardare le cose, a volte, con più
leggerezza per non farsi prendere dal panico. A Giuseppe, il cugino con cui sono cresciuta
e ho giocato da bambina. Grazie perché tutte le volte che sono tornata a casa dai tuoi
abbracci ho capito che la distanza non può e non deve rovinare i sentimenti più veri. A mia
nonna Rosa. Una nonna speciale. Si è presa cura di me dal primo minuto in cui sono
venuta alla luce e continua a farlo con la stessa dedizione di sempre. Anzi, ogni giorno mi
rende importante grazie all’amore e alla stima che prova nei miei confronti. A Michol, la
mia compagna di avventure in collegio nonché amica con cui condividere la casa e parte
della mia vita. Ti ringrazio perché in questo ultimo periodo mi hai dato la forza di andare
avanti e di non abbattermi mai. Hai usato poche parole ma sono state molto efficaci. Spero
che il tempo non rovini questa bella amicizia. A Teresa che mi ha sopportato nei lunghi
giorni di crisi e che ha condiviso con me le ansie nella preparazione della tesi. Grazie
perché sei sempre stata disponibile, non ti sei mai tirata indietro quando avevo bisogno di
aiuto. Ti ringrazio per l’amicizia che ci lega. A Michael, grazie per la tua gioia di vivere,
perché riesci a contagiare tutti quelli che ti circondano. A Stefano, grazie per le lunghe
chiacchierate fatte da amici, grazie per esserti fidato di me. A Francesco, un carissimo
amico che mi è stato vicino per tanti anni e che con i suoi consigli mi ha aiutata a crescere
e a imparare che la vita a volte ci mette a dura prova ma noi dobbiamo essere capaci di
superare tutti gli ostacoli. A tutti i miei colleghi, Andrea, Giorgio, Sarah, Luca, Michela,
Umberto, Marco e Laura. Pochi ma buoni. Vi ringrazio per l’amicizia che nel tempo è
maturata e per tutti i bei momenti trascorsi insieme, e anche per quelli meno belli. A chi da
lassù mi ha protetta e ha pregato per me, grazie di cuore.
A tutti quelli che sono entrati nella mia vita e l’hanno segnata. Grazie.
Grazie di vero cuore.
210

la valutazione della riserva sinistri nelle assicurazioni danni

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