Lezioni di Matematica 1 - I modulo
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Lezioni di Matematica 1 - I modulo Luciano Battaia 27 novembre 2008 L. Battaia - http://www.batmath.it Mat. 1 - I mod. Lez. del 27/11/2008 – 1 / 15 Formula di Taylor Der.successive Appross.lineare Appross.lineare-2 Appr. migliori? Appr. migliori?-2 Taylor Taylor-Peano Esempio - 1 Esempio - 1bis Esempio - 2 Esempio - 3 Taylor-Lagrange Esempio L. Battaia - http://www.batmath.it Formula di Taylor Mat. 1 - I mod. Lez. del 27/11/2008 – 2 / 15 Derivate successive Formula di Taylor Der.successive Appross.lineare Appross.lineare-2 Appr. migliori? Appr. migliori?-2 Taylor Taylor-Peano Esempio - 1 Esempio - 1bis Esempio - 2 Esempio - 3 Taylor-Lagrange Esempio Se una funzione è derivabile in un insieme A possiamo considerare la funzione derivata f ′ : A → R e possiamo chiederci se questa funzione è a sua volta derivabile (magari in un sottoinsieme di A). Se si, diremo la nuova funzione che così si viene a costruire derivata seconda e così via fin quando è possibile. f ′′ , f ′′′ , f iv , . . . , f (n) . Definizione. Una funzione si dice di classe C n se è derivabile fino alla derivata n-esima e quest’ultima è continua (naturalmente sono continue, in quanto derivabili, anche le precedenti). Se la funzione è semplicemente continua si dice di classe C 0 . L. Battaia - http://www.batmath.it Mat. 1 - I mod. Lez. del 27/11/2008 – 3 / 15 Approssimante lineare Formula di Taylor Der.successive Appross.lineare Appross.lineare-2 Appr. migliori? Appr. migliori?-2 Taylor Taylor-Peano Esempio - 1 Esempio - 1bis Esempio - 2 Esempio - 3 Taylor-Lagrange Esempio Se una funzione è derivabile in un punto x0 allora esiste una funzione ω(h) tale che f (x0 + h) − f (x0 ) = f ′ (x0 )h + hω(h) , con lim ω(h) = 0 . h→0 Se scriviamo x − x0 al posto di h otteniamo f (x) = f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ) + (x − x0 )ω(x − x0 ) con lim ω(x − x0 ) = 0 , x→x0 ovvero (x − x0 )ω(x − x0 ) è infinitesima di ordine sup. a x − x0 in x0 . L. Battaia - http://www.batmath.it Mat. 1 - I mod. Lez. del 27/11/2008 – 4 / 15 Approssimante lineare-2 f (x) f (x0 ) | f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ) b | y b | Formula di Taylor Der.successive Appross.lineare Appross.lineare-2 Appr. migliori? Appr. migliori?-2 Taylor Taylor-Peano Esempio - 1 Esempio - 1bis Esempio - 2 Esempio - 3 Taylor-Lagrange Esempio b | x0 L. Battaia - http://www.batmath.it | x Mat. 1 - I mod. Lez. del 27/11/2008 – 5 / 15 x Approssimazioni migliori? Formula di Taylor Der.successive Appross.lineare Appross.lineare-2 Appr. migliori? Appr. migliori?-2 Taylor Taylor-Peano Esempio - 1 Esempio - 1bis Esempio - 2 Esempio - 3 Taylor-Lagrange Esempio È possibile trovare approssimazioni “migliori” della funzione f , sempre nell’intorno di x0 , e considerando solo funzioni semplici come i polinomi? f (x) = a4 x4 + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 . f (x) = a4 x4 + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 ⇒ f (0) = a0 = 0!a0 ; f ′ (x) = 4a4 x3 + 3a3 x2 + 2a2 x + a1 ⇒ f ′ (0) = a1 = 1!a1 ; f ′′ (x) = 12a4 x2 + 6a3 x + 2a2 f ′′′ (x) = 24a4 x + 6a3 ⇒ ⇒ f ′′ (0) = 2a2 = 2!a2 ; f ′′′ (0) = 6a3 = 3!a3 f iv (x) = 24a4 ⇒ f iv (0) = 24a4 = 4!a4 . f (p) (0) ap = , p! L. Battaia - http://www.batmath.it ∀p ≤ n . Mat. 1 - I mod. Lez. del 27/11/2008 – 6 / 15 Approssimazioni migliori? - 2 Formula di Taylor Der.successive Appross.lineare Appross.lineare-2 Appr. migliori? Appr. migliori?-2 Taylor Taylor-Peano Esempio - 1 Esempio - 1bis Esempio - 2 Esempio - 3 Taylor-Lagrange Esempio f (x) = 2x3 + x e x0 = 1 2x3 + x = 2(x − 1)3 + 6(x − 1)2 + 7(x − 1) + 3 = = a3 (x − 1)3 + a2 (x − 1)2 + a1 (x − 1) + a0 . f ′′′ (1) a3 = , 3! L. Battaia - http://www.batmath.it f ′′ (1) a2 = , 2! f ′ (1) a1 = , 1! f (1) a0 = . 0! Mat. 1 - I mod. Lez. del 27/11/2008 – 7 / 15 Polinomio di Taylor Formula di Taylor Der.successive Appross.lineare Appross.lineare-2 Appr. migliori? Appr. migliori?-2 Taylor Taylor-Peano Esempio - 1 Esempio - 1bis Esempio - 2 Esempio - 3 Taylor-Lagrange Esempio Cerchiamo un polinomio approssimante del tipo f (x0 ) f ′ (x0 ) f ′′ (x0 ) f (n) (x0 ) 2 + (x−x0 )+ (x−x0 ) +· · ·+ (x−x0 )n 0! 1! 2! n! detto Tn,x0 (x) , che differisca dalla funzione per ω(x − x0 ) (x − x0 )n , n! L. Battaia - http://www.batmath.it con lim ω(x − x0 ) = 0 . x→x0 Mat. 1 - I mod. Lez. del 27/11/2008 – 8 / 15 Taylor-Peano Formula di Taylor Der.successive Appross.lineare Appross.lineare-2 Appr. migliori? Appr. migliori?-2 Taylor Taylor-Peano Esempio - 1 Esempio - 1bis Esempio - 2 Esempio - 3 Taylor-Lagrange Esempio Teorema (Formula di Taylor-Peano). Sia f una funzione definita in un intervallo I =]a, b[ e sia x0 un punto di I. Supponiamo che per ogni x ∈ I esista la derivata (n − 1)-esima di f , e che in x0 esista anche la derivata di ordine n. In queste ipotesi esiste una funzione ω(x − x0 ) tale che per ogni x ∈ I si abbia ω(x − x0 ) f (x)−Tn,x0 (x) = (x−x0 )n n! con lim ω(x−x0 ) = 0 . x→x0 Dunque f (x0 ) f ′ (x0 ) f (n) (x0 ) n ω(x − x0 ) f (x) = + (x−x0 )+· · ·+ (x−x0 ) + (x−x0 )n 0! 1! n! n! L. Battaia - http://www.batmath.it Mat. 1 - I mod. Lez. del 27/11/2008 – 9 / 15 Esempio - 1 Formula di Taylor Der.successive Appross.lineare Appross.lineare-2 Appr. migliori? Appr. migliori?-2 Taylor Taylor-Peano Esempio - 1 Esempio - 1bis Esempio - 2 Esempio - 3 Taylor-Lagrange Esempio sin x e T3,0 (x) 3 2 1 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1 1 2 3 4 5 6 −2 −3 L. Battaia - http://www.batmath.it Mat. 1 - I mod. Lez. del 27/11/2008 – 10 / 15 Esempio - 1bis Formula di Taylor Der.successive Appross.lineare Appross.lineare-2 Appr. migliori? Appr. migliori?-2 Taylor Taylor-Peano Esempio - 1 Esempio - 1bis Esempio - 2 Esempio - 3 Taylor-Lagrange Esempio sin x e T17,0 (x) 3 2 1 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 −1 L. Battaia - http://www.batmath.it Mat. 1 - I mod. Lez. del 27/11/2008 – 11 / 15 Esempio - 2 Formula di Taylor Der.successive Appross.lineare Appross.lineare-2 Appr. migliori? Appr. migliori?-2 Taylor Taylor-Peano Esempio - 1 Esempio - 1bis Esempio - 2 Esempio - 3 Taylor-Lagrange Esempio f (x) = ( − e 0, 1 x2 , se x 6= 0 . se x = 0 1.0 0.5 −1.5 L. Battaia - http://www.batmath.it −1.0 −0.5 0.5 1.0 1.5 Mat. 1 - I mod. Lez. del 27/11/2008 – 12 / 15 Esempio - 3 Formula di Taylor Der.successive Appross.lineare Appross.lineare-2 Appr. migliori? Appr. migliori?-2 Taylor Taylor-Peano Esempio - 1 Esempio - 1bis Esempio - 2 Esempio - 3 Taylor-Lagrange Esempio f (x) = 1 1 + x2 1.0 0.5 −1.5 −1.0 −0.5 0.5 1.0 1.5 −0.5 L. Battaia - http://www.batmath.it Mat. 1 - I mod. Lez. del 27/11/2008 – 13 / 15 Taylor-Lagrange Formula di Taylor Der.successive Appross.lineare Appross.lineare-2 Appr. migliori? Appr. migliori?-2 Taylor Taylor-Peano Esempio - 1 Esempio - 1bis Esempio - 2 Esempio - 3 Taylor-Lagrange Esempio Teorema (Formula di Taylor-Lagrange). Sia f una funzione definita in un intervallo I =]a, b[ e sia x0 un punto di I. Supponiamo che per ogni x ∈ I esista la derivata di ordine n continua e che almeno in tutti i punti di I \ {x0 } esista anche la derivata di ordine n + 1 di f . Allora esiste almeno un punto c compreso tra x0 e x o tra x e x0 tale che per ogni x ∈ I si abbia f (n+1) (c) (x − x0 )n+1 . f (x) − Tn,x0 (x) = (n + 1)! Nelle ipotesi del teorema si può scrivere la seguente formula (n+1) f (x0 ) f ′ (x0 ) f (n) (x0 ) (c) n f f (x) = + (x−x0 )+· · ·+ (x−x0 ) + (x−x0 )n+ 0! 1! n! (n + 1)! L. Battaia - http://www.batmath.it Mat. 1 - I mod. Lez. del 27/11/2008 – 14 / 15 Esempio Formula di Taylor Der.successive Appross.lineare Appross.lineare-2 Appr. migliori? Appr. migliori?-2 Taylor Taylor-Peano Esempio - 1 Esempio - 1bis Esempio - 2 Esempio - 3 Taylor-Lagrange Esempio x3 x5 cos c 7 sin x = x − + − x . 3! 5! 7! 1 cos c 1 − . sin 1 = 1 − + 6 120 7! Quindi 1 1 101 sin 1 ≃ 1 − + = , 6 120 120 con un errore minore di 1 5040 . Controllo: 101 = 0.8416 , 120 L. Battaia - http://www.batmath.it sin 1 = 0.84147098480789650665 . . . Mat. 1 - I mod. Lez. del 27/11/2008 – 15 / 15