Corso di Analisi Matematica Polinomi e serie di Taylor

a.a. 2011/12
Laurea triennale in Informatica
Corso di Analisi Matematica
Polinomi e serie di Taylor
Avvertenza
Questi sono appunti “informali” delle lezioni,
che vengono resi disponibili per comodità degli studenti.
Parte del materiale presentato è tratto dai libri di testo consigliati,
la cui consultazione è vivamente incoraggiata.
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Polinomio di Taylor
Sia f una funzione definita in un intorno di x0 e sia n un intero.
Supponiamo che f sia derivabile n volte in x0 .
La funzione polinomiale
Pn (x) :=
n
X
f (k) (x0 )
k=0
k!
(x − x0 )k
= f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) + · · · +
f (n) (x0 )
(x − x0 )n
n!
si chiama polinomio di Taylor di f di ordine n e centro x0 .
Nota
Il grado di Pn è minore o uguale a n .
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Casi particolari
Il polinomio di Taylor di ordine 0 è
P0 (x) = f (x0 );
il suo grafico è la retta orizzontale passante per il punto (x0 , f (x0 )).
Il polinomio di Taylor di ordine 1 è
P1 (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 );
il suo grafico è la retta tangente al grafico di f nel punto (x0 , f (x0 )).
Il polinomio di Taylor di ordine 2 è
f 00 (x0 )
(x − x0 )2 ;
2
se f 00 (x0 ) 6= 0, il suo grafico è una parabola tangente al grafico di f
nel punto (x0 , f (x0 )) (parabola osculatrice).
P2 (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) +
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Funzione esponenziale: f (x) = e x ,
P0 (x) = 1
P1 (x) = 1 + x
1
P3 (x) = 1 + x +
x0 = 0
1
P2 (x) = 1 + x +
x2
2
1
x2
x3
+
2
3!
In generale: Pn (x) =
n
X
xk
k=0
k!
1
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Funzione seno: f (x) = sin(x),
x0 = 0
P0 (x) = 0
P1 (x) = P2 (x) = x
P3 (x) = P4 (x) = x −
x3
3!
P7 (x) = P8 (x)
x3 x5 x7
=x−
+
−
3!
5!
7!
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P17 (x) = P18 (x)
x3
x 17
=x−
+ ··· +
3!
17!
P21 (x) = P22 (x)
x3
x 21
=x−
+ ··· +
3!
21!
P35 (x) = P36 (x)
x3
x 35
=x−
+ ··· −
3!
35!
In generale: P2n+1 (x) = P2n+2 (x) =
n
X
k=0
(−1)k
x 2k+1
(2k + 1)!
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Funzione logaritmo: f (x) = ln(1 + x), x0 = 0
P2 (x) = x −
P1 (x) = x
–1
P3 (x) = x −
1
x2 x3
+
2
3
–1
1
(P0 (x) = 0)
x2
2
–1
P4 (x) = x −
1
x2 x3 x4
+
−
2
3
4
–1
1
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P7 (x) = . . .
P8 (x) = . . .
–1
1
P11 (x) = . . .
–1
1
–1
1
P12 (x) = . . .
–1
1
In generale: Pn (x) =
n
X
k=1
(−1)k−1
xk
k
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Osservazione
I grafici delle pagine precedenti suggeriscono le seguenti proprietà:
1
n fissato, x variabile:
fissato n , la differenza tra f (x) e Pn (x), che è nulla in x0 ,
è “piccola” vicino a x0 , “grande” lontano da x0 .
2
x fissato, n variabile:
fissato x (in certi casi x qualsiasi, in certi casi no), la differenza
tra f (x) e Pn (x) può essere resa arbitrariamente piccola pur di
prendere n sufficientemente grande.
Per analizzare queste proprietà, introduciamo la funzione
Rn (x) := f (x) − Pn (x), x ∈ A,
che si chiama resto di Taylor di ordine n e centro x0 .
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Alcune proprietà della funzione resto Rn
Supponiamo f di classe C n in A. Allora:
• anche Rn è di classe C n ;
• Rn e tutte le sue derivate fino all’ordine n sono nulle in x0 ;
• Rn (x) è infinitesimo di ordine superiore rispetto a (x − x0 )n ,
cioè
lim
x→x0
Rn (x)
= 0.
(x − x0 )n
Verificare con la
regola di de l’Hôpital
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Parentesi: notazione degli “o piccolo”
Siano f e g siano due funzioni infinitesime per x che tende a x0 ∈ R.
Se f è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a g per x che
tende a x0 scriviamo f (x) = o(g (x)) (si legge “f è o piccolo di g ”).
Esempio
1 − cos(x) = o(x) per x → 0
Notiamo esplicitamente che
def
f (x) = o(g (x)) per x → x0 ⇐⇒ lim
x→x0
f (x)
= 0.
g (x)
In particolare,
def
f (x)
= 0.
x→0 x n
f (x) = o(x n ) per x → 0 ⇐⇒ lim
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Operazioni con gli “o piccolo”
o(x n )
=
o(x n ),
Uguaglianze da leggere solo da sinistra a destra
o(c x n ) = o(x n )
(c ∈ R∗ )
(1)
c
(2)
x m · o(x n ) = o(x m+n )
(3)
o(x m ) · o(x n ) = o(x m+n )
(4)
n>m
=⇒
x n = o(x m ), o(x n ) = o(x m )
(5)
n>m
=⇒
o(x m ) ± o(x n ) = o(x m )
(6)
o(x n ) ± o(x n ) = o(x n )
(non è uguale a 0 . . . )
Esempi: 3(x − 4x 2 + o(x 2 )) = 3x − 12x 2 + o(x 2 )
= 3x + o(x) + o(x) = 3x + o(x)
(2x + o(x 2 ))(x 3 + o(x 3 )) = 2x 4 + o(x 4 ) + o(x 5 ) + o(x 5 )
= 2x 4 + o(x 4 ) + o(x 5 ) = 2x 4 + o(x 4 )
(4x − x 3 + o(x 3 ))(x 2 + o(x 5 )) = 4x 3 + o(x 6 ) − x 5 + o(x 8 ) + o(x 5 ) + o(x 8 )
= 4x 3 − x 5 + o(x 5 )
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Utilizzando la notazione degli “o piccolo”, otteniamo:
Teorema (Formula di Taylor con il resto di Peano)
Siano A un intervallo, f di classe C n in A, x0 ∈ Å.
Allora: per ogni x ∈ A si ha
f (x) =
n
X
f (k) (x0 )
k=0
k!
(x − x0 )k + o((x − x0 )n ).
polinomio di Taylor
resto di Peano
Esempio
Scrivere la formula di Taylor con il resto di Peano di centro x0 = 1
√
e ordine n = 3 della funzione f (x) = x .
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Formula di Taylor con resto di Peano per alcune funzioni elementari
e
x
n
X
xk
+ o(x n )
=
k!
k=0
sin(x) =
n
X
(−1)k
x 2k+1
+ o(x 2n+2 )
(2k + 1)!
(−1)k
x 2k
+ o(x 2n+1 )
(2k)!
k=0
cos(x) =
n
X
k=0
ln(1 + x) =
n
X
k=1
(−1)k−1
verificare per esercizio
xk
+ o(x n )
k
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Applicazione: risoluzione di alcune forme di indecisione
Supponiamo che
• il limite per x → x0 di una certa funzione f presenti una forma
di indecisione;
• f sia ottenuta come combinazione di funzioni, almeno una delle
quali non è di tipo polinomiale;
• tali funzioni non polinomiali siano derivabili un certo numero di
volte nel punto x0 .
Procediamo cosı̀:
• per ciascuna delle funzioni non polinomiali coinvolte nel limite,
scriviamo lo sviluppo di Taylor (con resto di Peano) con centro
nel punto in cui calcoliamo il limite, troncato a un ordine
opportunamente scelto;
• sostituiamo gli sviluppi nel limite e trascuriamo gli infinitesimi di
ordine superiore.
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Esempi
Risolvere le seguenti forme di indecisione:
ex − x − 1
x→0
x2
lim
lim
sin(x 2 ) − ln(1 + x 2 )
3x 4
lim
arctan(ln(x)) − x + 1
(x − 1)2
x→0
x→1
lim
sin(x) − x
x5
lim
x ln(1 − x) + tan(x 2 )
x(cos(2x) − 1)
x→0
x→0
Nota
Dove possibile, si utilizzano gli sviluppi delle funzioni e x , sin(x),
cos(x), ln(1 + x), oppure sviluppi ottenuti a partire da questi
mediante manipolazioni algebriche; altrimenti, si scrive il polinomio
di Taylor a partire dalla definizione.
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Teorema (Formula di Taylor con il resto di Lagrange)
Siano A un intervallo, f di classe C n+1 in A, x0 ∈ Å.
Allora: per ogni x ∈ A esiste un punto cx , compreso tra x e x0 ,
tale che
n
X
f (n+1) (cx )
f (k) (x0 )
(x − x0 )k +
(x − x0 )n+1 .
f (x) =
k!
(n + 1)!
k=0
polinomio di Taylor
resto di Lagrange
Già nota per n = 0 . . .
Esempio
Scrivere lo sviluppo di Taylor con il resto di Lagrange di centro x0 = 1
√
e ordine n = 3 della funzione f (x) = x .
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Applicazione: calcolo approssimato di valori di funzioni
Rileggiamo la formula di Taylor con il resto di Lagrange:
f (x) =
Pn (x)
| {z }
polinomio di Taylor
+
f (n+1) (cx )
(x − x0 )n+1 .
(n + 1)!
|
{z
}
resto di Lagrange
↑
↑
↑
valore incognito
valore noto
errore
Casi particolari:
f (x)
valore
incognito
=
f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) +
valore noto
f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) +
valore
incognito
valore noto
f 00 (cx )
(x − x0 )2
2
errore
f 00 (x0 )
f 000 (cx )
(x − x0 )2 +
(x − x0 )3
2
3!
errore
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Esempio
Sia f (x) = e x , x ∈ R.
Sia Pn il polinomio di Taylor di f di centro x0 = 0.
√
Utilizzare P1 per approssimare e = f (1/2), e = f (1), e 2 = f (2).
Stimare in tutti e tre i casi l’errore commesso nell’approssimazione e
confrontare le stime ottenute.
Approssimare e = f (1) con P2 (1) e stimare l’errore commesso.
Confrontare con la stima ottenuta utilizzando P1 (1).
Determinare n in modo tale che l’errore commesso approssimando
e = f (1) con Pn (1) sia minore di 10−3 .
Approfondiamo l’analisi per x fissato e n variabile . . .
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Serie di Taylor
Se f è una funzione di classe C ∞ in A, intorno di x0 , per ogni x ∈ A
possiamo considerare la serie
+∞ (n)
X
f (x0 )
(x − x0 )n
n!
n=0
che chiamiamo serie di Taylor di f di centro x0 .
Osservazioni
La somma parziale n -esima della serie di Taylor è proprio il polinomio
di Taylor di f di ordine n .
La serie di Taylor è una particolare serie di potenze;
il suo insieme di convergenza è un intervallo che contiene x0
ed è simmetrico (estremi a parte) rispetto a x0 .
Per x = x0 , la somma della serie di Taylor di f è f (x0 );
per x 6= x0 , non è detto che la somma sia f (x).
Vedi pagina seguente . . .
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Esempio
Si può verificare che la funzione
(
2
e −1/x
f (x) =
0
per x 6= 0
per x = 0
è di classe C ∞ in R, con f (n) (0) = 0 per ogni n ∈ N.
Pertanto la serie di Taylor di f di centro 0 ha tutti i coefficienti nulli,
quindi converge in tutto R e la sua somma è la funzione
identicamente nulla; tale funzione coincide con f soltanto per x = 0.
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Serie di Taylor di alcune funzioni elementari
serie
(1)
+∞
X
(2)
x 2n+1
(2n + 1)!
R
sin(x)
(−1)n
x 2n
(2n)!
R
cos(x)
R
ex
n=0
(3)
funzione
somma
(−1)n
n=0
+∞
X
intervallo
di convergenza
+∞ n
X
x
n!
n=0
+∞
X
xn
(4)
(−1)n−1
n
n=1
(−1, 1]
ln(1 + x)
↑ cf. pagg. 7-8
Come si giustificano queste affermazioni?
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Verifica di (1)
Per verificare che la serie converge in R basta applicare il criterio
del rapporto.
Proviamo che per ogni x la somma della serie è uguale a
f (x) = sin(x):
f (n+1) (c )
x
|sin(x) − Pn (x)| = x n+1 (n + 1)!
= |f (n+1) (cx )| ·
↑
≤1
|x|n+1
−→ 0.
(n + 1)!
↑
successione
infinitesima
Le affermazioni (2) e (3) si provano in maniera analoga
(funzioni con derivate equilimitate). E l’affermazione (4)?
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Teorema (Integrazione termine a termine)
Supponiamo che
f (x) =
+∞
X
cn (x − x0 )n
n=0
per ogni x ∈ A, con A intorno di x0 .
Allora, per ogni x ∈ A (con la possibile inclusione degli estremi) si ha
Z x
+∞ Z x
X
cn (t − x0 )n dt
(∗)
f (t) dt =
x0
n=0
=
+∞
X
n=0
x0
cn
(x − x0 )n+1
.
n+1
Nota
(∗) è una estensione della proprietà di linearità dell’integrale rispetto
alla somma.
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Verifica di (4)
• Ricordiamo la somma della serie geometrica:
+∞
X
1
=
x n per ogni x ∈ (−1, 1).
1−x
n=0
• Utilizziamo l’uguaglianza precedente per esprimere g (x) =
1
1+x
come somma di una serie di potenze.
• Applichiamo il teorema di integrazione termine a termine a g .
• Osserviamo che l’uguaglianza ottenuta ha senso anche in x = 1
ma non in x = −1.
Esercizio
+∞
X
x 2n+1
Provare che arctan(x) =
(−1)n
per ogni x ∈ [−1, 1].
2n + 1
n=0
[Procedere come nella verifica di (4); al secondo passo, esprimere la funzione
1
g (x) =
come somma di una serie di potenze.]
1 + x2
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Applicazione: calcolo approssimato di valori di funzioni con grado di
precisione arbitrariamente fissato.
Illustriamo il procedimento con alcuni esempi:
Determinare valori approssimati a meno di 10−4 di
1
sin(0.5), cos(−1), √
, ln(1.1), ln(2).
5
e
[Tenere presente la maggiorazione del resto prevista dal criterio di Leibniz.]
Esercizio
Utilizzare l’esercizio della pagina precedente per determinare un valore
approssimato di arctan(1/2) con un errore inferiore a 10−2 ; specificare
se si tratta di una approssimazione per eccesso o per difetto.
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Applicazione: integrazione approssimata
Quando non si riesce a determinare esplicitamente una primitiva di f ,
non si può utilizzare la FFCI per calcolare l’integrale definito di f su
un certo intervallo.
Se si riesce a sviluppare in serie la funzione integranda, si può ricorrere
al teorema di integrazione termine a termine e calcolare un valore
approssimato dell’integrale.
Z 1
Esempio
2
Calcolare un valore approssimato dell’integrale definito
e −x dx
0
con un errore inferiore a 10−4 .
Esercizio
Z 1
sin(x)
Approssimare l’integrale definito
dx con un errore inferiore
x
0
−3
a 10 .
[Partire dallo sviluppo in serie di Taylor della funzione seno.]
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