Diapositiva 1 - ISC CENTRO SAN BENEDETTO DEL TRONTO

R.S.D.D.M.
GRUPPO di RICERCA e SPERIMENTAZIONE in DIDATTICA e
DIVULGAZIONE della MATEMATICA
XXVIII convegno nazionale
“Incontri con la Matematica”
Parliamo tanto e spesso
di Didattica della matematica
7-8-9 novembre 2014
Castel San Pietro Terme (Bo)
Direzione:
Bruno D’Amore, Marta I.Fandino Pinilla e Silvia Sbaragli
Seminario
Annarita Monaco (Roma, RSDDM Bologna)
La risoluzione di problemi:
strategie e rappresentazioni spontanee in evoluzione.
Pietro Di Martino (Università di Pisa)
Problemi e convinzioni
Che cos’è in problema?
“Risolvere un problema è trovare mezzi non noti per raggiungere un
fine distintamente concepito.” - G.Polya
“Quando una persona si trova di fronte ad una situazione e il
bagaglio delle risposte intuitive o abituali non gli permette di
venirne a capo, tale situazione è un problema.”- G.Glaeser
“ Un problema, è una situazione che differisce da un esercizio
poiché colui che deve risolverlo non ha a disposizione un
procedimento o algoritmo che può con certezza condurlo alla
soluzione.” Kantowski
“ Un problema sorge quando un essere vivente ha una meta, ma non
sa come raggiungerla.” Duncker
“Che differenza c’è tra esercizio o problema?”
Problema
Le conoscenze dell’alunno sono necessarie, ma non sufficienti per trovare la
soluzione.
All’alunno si richiede soprattutto di:
ragionare, intuire, inventare, creare, strutturare o ristrutturare.
Esercizio
Le conoscenze dell’alunno solutore sono necessarie e sufficienti per trovare la
soluzione.
All’alunno si richiede soprattutto di ricordare, riconoscere , riprodurre e applicare
tecniche.
Insegnare matematica, specie nella Scuola Primaria, è molto
difficile; insegnarla per far sì che gli studenti la imparino, poi,
è ancora più complesso, ma assai più divertente, stimolante e
gratificante; far sì che gli allievi la imparino correttamente,
infine, è indiscutibilmente complicato, una vera e propria
sfida intellettuale, irta di ostacoli di differente entità.
Martha Isabel Fandino Pinilla
CONVINZIONI SULLA MATEMATICA
Dalle sperimentazioni di anni precedenti in scuole primarie sulle convinzioni riguardo alla
matematica, è emerso che all’interno delle classi ci sono alcuni alunni che sopportano
la presenza “scomoda” di questa disciplina. Per alcuni è
fonte di sofferenza. Per altri di rassegnazione…
Convinzioni rovinose, spesso accompagnate da un debole impegno nelle attività della
disciplina.
Inoltre diverse affermazioni che riguardano questa materia, rispecchiano luoghi comuni
molto diffusi nella nostra società:
“Per riuscire in matematica occorre essere dotati di
una particolare predisposizione”.
“La predisposizione all’apprendimento della matematica ha
carattere familiare”.
“ Chi riesce bene in matematica è molto intelligente.”
“ In matematica bisogna ricordarsi tante cose, ci vuole molta memoria.”
I sistemi di convinzioni,correlati alla matematica, rivestono un ruolo
fondamentale nella qualità dell’insegnamento/ apprendimento della
disciplina e, in generale, nella qualità della “relazione” che una persona
instaura con la disciplina.
Rosetta Zan in Problemi e convinzioni
“ Fare matematica è in prima istanza affrontare problemi dato che
l’attività di soluzione dei problemi è l’intima natura della matematica.”
D’Amore, 1993
Antiseri, sostiene che insegnare matematica per problemi significa
catturare i problemi dei bambini per farli inciampare in problemi nuovi e
alla loro portata, in modo che essi possano mettersi in gioco nella
risoluzione, senza paura di sbagliare.
Proposte…
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Come ristrutturare la relazione con la matematica?
Ma che cosa si intende con relazione con la matematica?
E quando una relazione è positiva?
Perché si instaura una relazione non positiva?
E soprattutto, è possibile intervenire per ricostruire un legame positivo
con la matematica?
Quando intervenire?
Come intervenire?
Dalla conversazione clinica: “Cosa ti fa venire in mente la parola
problema?”un’alunna ha risposto così:
“Mi fa venire in mente il problema di una storietta corta dove
finita la storia bisogna risolverla e quando non riesco a
concentrarmi sul problema mi immagino sempre: ecco perché
l’hanno chiamata problema.”
Molti sono gli studi sulle difficoltà scolastiche in matematica. Tali studi si collocano
nell’ambito della ricerca scientifica sull’affettività in matematica e oggi sono
disponibili anche testi monografici sul tema.
Un testo
ricco di stimoli alla riflessione, occasione di acquisizione di strumenti per
l’interpretazione delle condotte scolastiche degli studenti è” PROBLEMI E
CONVINZIONI” di Rosetta Zan ed. Pitagora
Nel libro c’è un avvicinamento alle tematiche delle difficoltà nella
risoluzione dei problemi, difficoltà spesso legate anche alle convinzioni
sulla matematica, ai fattori affettivi, emozionali, motivazionali,
decisionali e non solo a quelli cognitivi.
MODELLI CONCETTUALI DI PROBLEMA
Per comprendere quale concetto di problema hanno i bambini sono
state scelte delle domande e proposte in sede di sperimentazione :
A-Che cosa ti fa pensare la parola problema? – sfera affettiva
B- Che cosa è per te un problema? – sfera metacognitiva
C- Fai un esempio di problema- sfera cognitiva
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Quando devi risolvere un problema di matematica cosa fai?
Tutti i problemi di matematica hanno i numeri?
Secondo te a cosa serve fare un problema di matematica?
Secondo te perché il problema di matematica si chiama proprio così’?
Le domande rivolte ai bambini presuppongono il coinvolgimento di sfere diverse: affettiva,
metacognitiva, cognitiva. La scelta di questi diversi punti di vista non è casuale, ma mira
ad avere un quadro il più espressivo e completo di come i bambini “vedono” il problema
e quindi anche delle eventuali differenze a livello concettuale, della frattura fra
problema “reale” e problema scolastico.
QUANDO DEVI RISOLVERE UN PROBLEMA DI MATEMATICA
COSA FAI?
• Faccio l’operazione a mente,se non ci riesco la faccio in riga,
se non ci riesco la faccio in colonna.
• Prima ci penso, poi rileggo il testo, infine lo risolvo.
• Prima leggo la storia, poi faccio la raccolta dati, l’operazione,
le rispostine il diagramma.
• Io prima di risolvere il problema me lo immagino.
• Titolo- storia-domanda-raccolta dati-operazione-risposta.
• Lo puoi risolvere con il +, il -, la x, la :
• Prima faccio l’operazione e poi la risposta.
TUTTI I PROBLEMI DI MATEMATICA HANNO I NUMERI?
• No, non tutti i problemi hanno i numeri, perché se non so
dov’è il Nord è un problema, ma senza numeri.
• II problemi di matematica hanno i numeri, gli altri problemi
invece no: per esempio vado in viaggio e scordo il cellulare.
• Si, tutti i problemi ce l’hanno.
• I problemi hanno sempre i numeri.
• Tutti i problemi di matematica del mondo hanno i numeri.
• Non lo so, credo di si.
E poi ... ci sono situazioni …
Un camion dell’esercito può portare 36 soldati.
Se bisogna trasportare 1128 soldati alla loro sede di addestramento, quanti viaggi
occorrono?
Quasi tutti gli alunni hanno risposto 31 col resto di 12.
In sostanza gli alunni hanno trattato il problema come se richiedesse un
calcolo formale. A dispetto della “storia schermo” sui camion,il
calcolo aveva poco o niente a che fare con il mondo reale.
PROBLEMA STANDARD
Carlo va in cartoleria,compra 2 quaderni che costano 4,50 euro entrambi, e
poi due penne da 1,50 l’una.
Quanto spende?
PROBLEMA REALE
Carlo non può uscire perché è malato, però ha bisogno di una penna.
Viene il suo amico Andrea a trovarlo e gli chiede il favore di andare
per lui in cartoleria a comprargli una penna.In cartoleria Andrea
compra anche due quaderni per sé che costano 4,50 euro e spende in
tutto 6,00 euro. Quando torna da Carlo gli dà la sua penna. Quanti
soldi Carlo deve restituire ad Andrea? Andrea non è molto bravo a
fare i conti…aiutalo tu!
Ecco, questa è una reale situazione problematica, perché Andrea
deve farsi restituire i soldi, ma non sa quanti soldi si deve far restituire
, quindi per lui è un problema.
1- Immagina la seguente situazione : sono le 16,30 e sei in una città che non
conosci. Devi raggiungere una certa strada (che non conosci) avendo un
appuntamento per le ore 17,00.
Come puoi fare?
2-Per comprare 5 bottiglie di Coca Cola ho speso 5 euro. Quanto costa una
bottiglia di Coca Cola?
Nel primo problema il soggetto solutore è protagonista della situazione
problematica e in particolare può interagire con essa. L’attenzione è
concentrata sui modi di raggiungere un obiettivo.
Nel secondo problema manca in realtà una situazione problematica che è
solo simulata: quanto costa una bottiglia di Coca Cola si può chiedere al
negoziante o si può guardare sulla bottiglia!
Anna e il suo fratellino Marco vanno a fare la spesa per la mamma.
Devono prendere il latte , il pane e il detersivo per la lavatrice. La mamma dà loro
10,00 euro.
Al supermercato comprano tutto quello che la mamma ha chiesto. Pagano 1 euro e 50
centesimi per il latte e 1 euro e 40 centesimi per il pane.
Hanno di resto 3 euro.
Quanto è costato il detersivo per la lavatrice?
La domanda prescinde dalla storia narrata; il fatto che il detersivo sia stato comprato da Anna e
Marco in certe circostanze è irrilevante per capire la domanda stessa.
La domanda finale non emerge narrativamente dalla storia…
Lo scopo è già stato raggiunto, a chi serve adesso sapere quanto costa il detersivo?
PROBLEMA SCOLASTICO ?
PROBLEMA REALE?
Il problema scolastico viene chiaramente caratterizzato come una struttura linguistica
avente certe caratteristiche ( la presenza di dati numerici) e seguita da una domanda.
Tale domanda non scaturisce da una situazione problematica, e l’unico rapporto
che ha con il contesto è quello di richiedere l’utilizzazione dei dati numerici.
Più precisamente nel caso del problema “reale” il contesto si caratterizza come una
situazione problematica, nel senso che evidenzia la difficoltà a raggiungere un certo
obiettivo: la domanda nasce quindi in modo naturale dal contesto. Il bambino può
cogliere il senso del problema anche a prescindere dalla domanda finale.
Problemi, situazioni problematiche, esercizi…e realtà
Viene spontaneo chiederci che motivazione può esserci nello scoprire quanto ha
ricavato un cartolaio che vende 80 quaderni a 2 euro l’uno,mentre li ha pagati 1,50
euro l’uno!
L’unica reale motivazione può consistere nel dare la risposta per far contenti
l’insegnante o i genitori, prendendo un buon voto…
Perché la domanda abbia senso rispetto alla storia narrata quest’ultima deve
essere aperta,sospesa. Occorre poter immaginare che i protagonisti
possano incidere sugli eventi attraverso scelte e decisioni che ne
modificano il corso…
Un pastore possiede 14 capre e 12 pecore. Quanti anni ha il pastore?
Quasi tutti i bambini sono stati spinti ad eseguire l’operazione 14 + 21.
Su questo problema si è molto discusso; si veda il bel libro di Stella Baruk, L’age du
capitaine.
Una barca in ormeggio a Santa Teresa di Gallura il 17 luglio 1992 ha l’albero maestro di
12 metri ed una stazza di 12 tonnellate. Quanti anni ha il capitano?
Questo problema appare nel testo di G.Peano nel paragrafo Problemi pratici.
Anche per questo problema la maggior parte ha eseguito 12+ 12 oppure 12+12+17.
IL CONTRATTO DIDATTICO
Ovviamente questo tipo di risposte porta a mettere in campo il concetto di:
CONTRATTO DIDATTICO
• L’idea di “contratto didattico” è uno dei pilastri essenziali della didattica della matematica
contemporanea. Fin dagli anni 70 fece l’ingresso nel mondo della ricerca in didattica della
matematica l’idea di contratto didattico, lanciata da Guy Brousseau (1986).
• “In una situazione d’insegnamento, preparata e realizzata da un insegnante, l’allievo ha
generalmente come compito di risolvere un problema (matematico) che gli si è presentato. Queste
abitudini(specifiche) del maestro attese dall’allievo ed i comportamenti
dell’allievo attesi dal docente costituiscono il “contratto didattico.” Brousseau-1986
Risposta di studenti alla domanda: “Che cosa è per te un problema?”
“Per me un problema è una cosa che deve risultare uguale a quello che la maestra ha già fatto.”
Spesso queste “attese” NON SONO DOVUTE AD ACCORDI ESPLICITI, IMPOSTI DALLA
SCUOLA O DAGLI INSEGNANTI O CONCORDATI CON GLI ALLIEVI, MA ALLA
CONCEZIONE DELLA SCUOLA, DELLA MATEMATICA, ALLA RIPETIZIONE DELLE
MODALITA’. Bruno D’Amore
Problemi per mantenere in forma la mente…
“ Quando una persona si trova di fronte ad una situazione e il bagaglio delle risposte
intuitive o abituali non gli permette di venirne a capo,tale situazione è un
problema.” da Kantowski
Ci sono situazioni molto problematiche…
La lumaca
Una colonna è alta 5 metri. Una lumaca durante il giorno sale 3 metri; durante la
notte scende di 2 metri. Dopo quanti giorni raggiunge la cima?
Il mattone
Un mattone pesa 1 chilo più mezzo mattone. Quanto pesa il mattone?
IL PROBLEM SOLVING COLLABORATIVO
Due sono le caratteristiche interessanti da un punto di vista didattico:
- Il problema deve richiedere un’attività cognitiva nuova per lo studente,
non possiamo insegnare tecniche per risolvere problemi in senso
trasmissivo (cambierebbe la natura dell’attività, che sarebbe esercizio).
- L’interazione collaborativa può consentire allo studente di sviluppare le
abilità mancanti.
Inoltre l’interazione matematica permette di:
 comunicare con gli altri per interpretare il testo
 convincere gli altri a procedere in una certa direzione piuttosto che in
un’altra.
E’ fondamentale il laboratorio di matematica, che permette agli allievi non solo di
eseguire ma anche di progettare, discutere, fare ipotesi, costruire e manipolare,
sperimentare e controllare la validità delle ipotesi fatte.”
“….piuttosto che guardare alle debolezze dei nostri allievi, concentriamoci sulle forze e
sfruttiamo il fatto che esse sono diverse in bambini diversi.”
Perché nasca il problema è necessario quindi che ci sia una motivazione a
raggiungere un obiettivo: questa motivazione non va confusa con la
motivazione a risolvere il problema, una volta che questo è nato.
In altre parole ci sono due momenti distinti:
1- la valutazione dell’obiettivo, che è alla base della motivazione a
raggiungerlo, che a sua volta fa nascere il problema;
2- la valutazione del problema, una volta che questo è sorto, e che è legata
alla motivazione a risolvere il problema.
In tale ottica assume particolare rilevanza il ruolo del problema reale,
non necessariamente concreto. Numerosi ricercatori hanno
sottolineato come il problema scolastico sia profondamente irreale
per molte caratteristiche strutturali.
Inoltre bisognerebbe cercare di limitare l’uso del termine “problema” a
quei testi che riferiscono situazioni effettivamente problematiche,
preoccupandosi di rendere tali situazioni coinvolgenti in modo da attivare
motivazioni adeguate nel bambino.
…Questo grandissimo libro (io dico
l’universo)…
non si può intendere
se prima non s’impara a intender la lingua,
e conoscer i caratteri, ne’ quali è scritto.
Egli è scritto in lingua matematica.
Galileo Galilei (1623)
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L’insegnamento della matematica e delle scienze integrate-Centro ricerche
didattiche Ugo Morin
Problemi e convinzioni – Rosetta Zan
Difficoltà in matematica- Rosetta Zan
Matematica e metacognizione- Cornoldi, Lucangeli e altri- Ed Eickson
Problemi- Lezioni del Prof. Mario Ferrari- Paderno del Grappa
Sofismi di un maestro- Bruno Jannamorelli
I problemi nella pratica didattica-Bruno D’Amore
Problemi di matematica nella Scuola Primaria- Bruno D’amore
L’uomo che sapeva contare- Malba Tahan
Il mago dei numeri- Hans M. Enzenberger
Problemi che passione - L. Grugnetti
La ricerca in didattica della matematica- B. Iannamorelli e A. Strizzi
Nel mondo della matematica- C. Colombo Bozzolo
I.C. CENTRO San Benedetto del Tronto
Collegio docenti
22 Dicembre 2014
Ins. Clara Rossi