I MOVIMENTI E LA CONGRUENZA DI FIGURE GEOMETRICHE

I MOVIMENTI E LA CONGRUENZA DI FIGURE
GEOMETRICHE
Due figure geometriche F ed F' sono congruenti se, sovrapposte
mediante movimenti che non le deformino, coincidono perfettamente.
E
A
G
D
A'
E'
G'
D'
G'
AA' G
F
B
F'
C
E E'
DD'
FF'
BB' C C'
B' C'
La congruenza è una relazione fra due figure piane che mantiene inalterate
la forma e l'estensione delle figure.
La congruenza mantiene quindi uguali le lunghezze dei segmenti (cioè dei
lati, per esempio) e l'ampiezza degli angoli corrispondenti.
In generale, per vedere se due figure piane sono congruenti,
bisogna sovrapporle mediante uno o più spostamenti che non
cambino nè la forma nè l'estensione delle figure.
I movimenti che lasciano inalterate sia la forma che la
dimensione delle figure si dicono MOVIMENTI RIGIDI o più
semplicemente MOVIMENTI.
I movimenti sono
trasformazioni ge
ometriche!
A'
A
F
B
D
B'
F'
D'
C'
C
Le due figure F ed F' vengono sovrapposte mediante un
movimento rigido, sino a che tutti i vertici di una figura coincidano
con quelli dell'altra.
Vediamo adesso due figure H ed H'
A
D
A'
D'
H'
H
C
B
B'
C'
cerchiamo di farle coincidere
A
D
A
D
H
H
C
C
B
abbiamo ribaltato la figura H'
(come se avessimo girato la
pagina di un libro)
B
Ora le due figure si possono
sovrapporre con un movimento di
traslazione...
Il RIBALTAMENTO è un movimento che ci costringe ad uscire dal piano!
Abbiamo così incontrato due tipi diversi di movimenti, ossia di
trasformazioni geometriche:
sono MOVIMENTI DIRETTI che sono quelli che si compiono sempre nel
piano in cui giacciono le figure da sovrapporre: tali figure si dicono
DIRETTAMENTE CONGRUENTI.
Sono invece MOVIMENTI INVERSI quelli che si compiono uscendo dal
piano in cui giacciono le figure da sovrapporre: tali figure si dicono
INVERSAMENTE CONGRUENTI.
I principali movimenti rigidi sono:
- LA TRASLAZIONE
- LA ROTAZIONE
- IL RIBALTAMENTO
- LA SIMMETRIA CENTRALE
MOVIMENTI RIGIDI
movimenti DIRETTI
traslazione
rotazione
simmetria centrale
movimenti INVERSI
ribaltamento
simmetria assiale
Prima di tutto vediamo di capire che cos'è
un VETTORE
il vettore è un segmento orientato caratterizzato da un modulo
(o intensità), da una direzione (che è la retta a cui appartiene
il segmento), e da un verso (verso destra, o sinistra, come
indicato dalla punta della freccia).
Il modulo è rappresentato dalla lunghezza del segmento.
LA TRASLAZIONE
La traslazione è un movimento diretto individuato da un vettore che ne
stabilisce modulo, direzione e verso di spostamento nel piano.
La traslazione è una trasformazione geometrica che conserva la
lunghezza dei segmenti e l'ampiezza degli angoli.
Due figure che si ottengono per traslazione sono DIRETTAMENTE
CONGRUENTI.
A'
Da ciascun vertice della figura 1
otteniamo il punto corrispondente
della figura 2 utilizzando il vettore t.
2
D'
B'
A
C'
B
1
D
t
C
Le figure 1 e 2 sono direttamente congruenti, perchè ottenute
attraverso una traslazione.
LA ROTAZIONE
La rotazione è un movimento
diretto individuato da un punto
fisso O, detto CENTRO DI
ROTAZIONE, e da un ANGOLO
ORIENTATO che ne stabilisce
A
l'ampiezza e il verso di
spostamento nel piano.
La rotazione è una
trasformazione geometrica
che conserva la lunghezza
dei segmenti e l'ampiezza
degli angoli.
rotazione di 90°
90°
C'
90°
90°
B'
C
A'
B
Due figure ottenute attraverso una rotazione sono
direttamente congruenti.
B'
LA SIMMETRIA CENTRALE
C'
La simmetria centrale è un movimento diretto
individuato da un punto fisso O, detto CENTRO
DELLA SIMMETRIA, che rappresenta il punto
medio di qualsiasi segmento che unisce due
punti corrispondenti (es. A e A').
A'
o
rotazione di 180°
A
La simmetria centrale è una trasformazione
geometrica che conserva la lunghezza dei
segmenti e l'ampiezza degli angoli
C
B
Due figure ottenute per simmetria centrale sono direttamente
congruenti.
IL RIBALTAMENTO E LA SIMMETRIA ASSIALE
Ribaltare una figura significa applicare un movimento inverso
che implica l'uscita della figura dal piano, con un movimento
simile a quello con cui si volta il foglio di un libro.
ll ribaltamento di una figura dà origine a una trasformazione
geometrica chiamata SIMMETRIA ASSIALE. Tanto vale
occuparci di quest'ultima.
LA SIMMETRIA ASSIALE
La simmetria assiale è un movimento inverso individuato da una retta S
detta ASSE DELLA SIMMETRIA.
La simmetria assiale è una trasformazione geometrica che conserva la
lunghezza dei segmenti e l'ampiezza degli angoli.
Due figure ottenute per simmetria assiale sono INVERSAMENTE
CONGRUENTI.
A'
A
B
B'
C
C'
A'
asse di simmetria
A
B
1
I
B'
2
I'
C
C'
D
D'
H
H'
E
E'
G
G'
F
F'
Le due figure 1 e 2 sono inversamente congruenti, perchè ottenute
attraverso una simmetria assiale (o un ribaltamento).