Una molla di costante elastica k = 343 N/m è posta all`interno di un
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Una molla di costante elastica k = 343 N/m è posta all`interno di un
A.A. 2014-15 Fisica Generale 04-02-16 ESERCIZIO 1 Una molla ideale di costante elastica k = 102 N m1 è posta in posizione verticale, e fissata all’estremo superiore. All’estremo inferiore è attaccata una massa m = 500 g, e il sistema è posto in tensione mediante un filo che tira la massa verso il basso, cosicchè la molla è allungata di x = 50 cm. A un certo istante, il filo viene tagliato. Calcolare: a) la massima quota (rispetto alla posizione iniziale) a cui arriva la massa; b) la velocità della massa nel momento in cui passa per la posizione di equilibrio della molla. Soluzione a) Il sistema è conservativo. Preso un asse verticale orientato verso l’alto con origine nel punto in cui si trova la massa, l’energia potenziale iniziale è solo elastica: E p ,i 1 2 k x 2 . All’istante in cui la massa raggiunge la quota massima, la velocità è nulla e quindi l’energia meccanica è di nuovo solo potenziale, in parte elastica e in parte di gravità. Chiamato x’ il nuovo allungamento della molla, si ha: E p , f 1 2 k x'2 m g x x' . Uguagliando le due quantità, e prendendo solo la soluzione positiva dell’equazione risultante, si ottiene: x’ = 0.4 m, il che porta a una quota massima data da h = x + x’ = 0.9 m. b) Quando il sistema passa per la posizione di equilibrio della molla si ha: Em E p Ec m g x 1 2 m v 2 , da cui, uguagliando questa quantità alla energia potenziale iniziale, si ha: v k m x 2 2 g x 6.34 m s 1 ESERCIZIO 2 Una molla di costante elastica k = 343 N/m è posta all’interno di un recipiente verticale. Sulla molla è appoggiato un disco di massa M = 0.7 kg (vd. figura). Inizialmente il sistema è in equilibrio statico; su di esso urta in modo completamente anelastico un punto materiale di massa m = 0.1 kg. Immediatamente prima dell’urto la velocità del punto materiale è verticale, diretta verso il basso e ha modulo v = 20 m/s. Calcolare: a) la compressione iniziale della molla; b) l’energia dissipata nell’urto; c) la compressione massima della molla. Soluzione 1. Equilibrio statico della molla e della massa M: Mg k l 0 l mg k 0.02m 2. L’urto è istantaneo, nell’urto si dissipa solo energia cinetica e vale la conservazione della quantità di moto: mv m M V V vm m M 2.5m / s ; la variazione di energia è quindi: Ediss Ec 1 2 mv 2 1 2 m M V 2 17.5 J 3. Nell’istante immediatamente dopo l’urto l’energia del sistema E0 è data dall’energia cinetica della massa col disco più le energie potenziali elastica della molla e gravitazionale (considerando come livello di riferimento per l’energia potenziale gravitazionale quello della molla a riposo). Quando la molla ha raggiunto la sua massima compressione l’energia totale Efin è somma delle energie potenziali elastica e gravitazionale: E0 1 2 k l 2 1 2 m M V 2 m M g l 2.57 J ; E fin 1 2 k x 2 m M g x Uguagliando le due quantità (le forze sono conservative) si ottiene: x 0.14 m 1 A.A. 2014-15 Fisica Generale 04-02-16 ESERCIZIO 3 Un’asta di massa M = 2 kg e lunga L = 1 m è vincolata a ruotare attorno a un asse orizzontale privo di attrito passante per il punto O. L’asta è tenuta in equilibrio da un filo orizzontale f, attaccato da un lato alla stessa parete verticale su cui si trova l’asse di rotazione, dall’altro all’estremo libero dell’asta. L’angolo tra la parete e l’asta è = 30° (vd. figura). Calcolare: a) la tensione T del filo; b) il modulo R della reazione esercitata dal perno O nella condizione di equilibrio; c) l'energia cinetica posseduta dalla sbarra nell'istante in cui essa raggiunge la posizione orizzontale, una volta che il filo viene tagliato. Soluzione a) La somma dei momenti delle forze rispetto all’asse passane per O deve essere nulla; si ha pertanto: Mg L 2 sin T L sin 2 , da cui T 1 2 Mg tan 5.66 N . b) Anche la risultante delle forze deve essere nulla. Chiamate Rx e Ry le componenti orizzontale e verticale, rispettivamente, della reazione del vincolo, si ha: Rx T , da cui R Rx2 Ry2 Mg 1 1 4 tan 2 20.4 N Ry Mg c) Dalla conservazione dell'energia meccanica si ha: Ec 1 2 MgL cos 8.5 J Dalla relazione che lega velocità angolare ed energia cinetica di un corpo rigido in rotazione, Ec 1 2 I 2 , dove I è il momento d'inerzia, si ha 2 Ec I . Poiché in questo caso I 1 3 ML2 , si ha 3g L cos e v L 3gL cos 5.0ms 1 . ESERCIZIO 4 Due moli di gas perfetto monoatomico compiono un ciclo reversibile composto da una trasformazione isobara AB, seguita da una espansione adiabatica BC e infine da una isoterma CA. La temperatura nello stato A vale TA=TC= 180C, inoltre pA = 2×105 Pa e VB=2 VA. a) Disegnare il ciclo nel piano di Clapeyron. Calcolare: b) il valore assunto dalle variabili termodinamiche (p,V,T) nei tre punti A, B e C; c) la quantità di calore scambiata nelle tre trasformazioni; d) il rendimento del ciclo. Soluzione A B a) Il diagramma del ciclo nel piano di Clapeyron è rappresentato nella figura a fianco. C b) Calcolo delle variabili termodinamiche: V 2V Punto A: TA= (18+273) K = 291 K; pA = 2·105 Pa; VA = nRTA/pA = 0.024 m3 5 3 Punto B: pB = pA = 2·10 Pa; VB = 2 VA = 0.048 m ; TB = pBVB/nR = 2TA =582 K Punto C: TC = TA = 291 K; Per le altre variabili si usi la relazione della trasformazione adiabatica: TBVB 1 TCVC 1 VC 1 TB TC VB 1 TB TA VB 1 pBVB nR nR p AVA VB 1 2VB 1 Dato che = cP/cV=5/3, si ottiene = 2/3 da cui segue: VC2 / 3 2VB2 / 3 VC 23 / 2VB 0.14 m 3 ; pC nRTC VC 0.35 105 Pa A A c) Il calore scambiato lungo la trasformazione AB è: QAB ncP (TB TA ) 25 2R(TB TA ) 12091 J positivo, ed è quindi un calore assorbito; 2 V A.A. 2014-15 Fisica Generale 04-02-16 lungo AC lo scambio di calore è nullo essendo adiabatica; nella trasformazione CA, isoterma e quindi senza variazione di energia interna, il calore è pari al lavoro: QCA W VA VA VC VC p dV nRT V dV J 0.024 nRTA ln A 2 mol 8.314 8534 J ; 291 K ln 0.14 V VC K mol è un calore ceduto d) Il rendimento del ciclo è W QA 1 QC QA 0.29 ESERCIZIO 5 Una pallina carica di plastica di massa m=5.00 g é sospesa ad un filo di lunghezza l=10.0 cm. Il filo é vincolato ad una superficie piana infinitamente estesa e con densità di carica superficiale = +20 nC/m2 (vd. figura). Se all'equilibrio il filo forma un angolo = 20° con la superficie piana, quale é la carica elettrica della pallina? Soluzione La superficie piana infinita carica positivamente genera un campo elettrico uniforme, perpendicolare alla superficie, con verso uscente e intensità: E 2 0 1.13 103 N / C . All’equilibrio, la risultante delle forze deve essere nulla. Chiamata T la tensione del filo, Fg la forza di gravità e Fe la forza elettrica, si ha: Ftot T Fg Fe 0 . Proiettando tale equazione su due assi Ftot x T sin qE 0 orizzontale e verticale si ottiene: Ftot y T cos mg 0 da cui si può ricavare la tensione: T mg cos 5.21 102 N e quindi, dall’equazione sull’asse orizzontale: q T sin E 15.7 106 C ESERCIZIO 6 Due rotaie conduttrici con un punto comune formano un angolo = 30° (vd figura), e sono immerse in un campo magnetico B = 1.2 T, perpendicolare al piano formato dalle rotaie e uscente rispetto al disegno. Sulle due rotaie è appoggiata una sbarra, anch’essa conduttrice, che viene fatta muovere con velocità costante v rimanendo perpendicolare ad una delle due rotaie, partendo dal punto di incrocio delle rotaie. Calcolare: a) la f.e.m. indotta; b) la velocità della sbarra se la f.e.m. misurata nel circuito quando la sbarra si trova nella posizione x1=0.6 m rispetto all’incrocio delle rotaie è pari a 0.2 V. Soluzione a) Calcolo il flusso attraverso la spira triangolare con la sbarra ad un generico punto x: 1 1 1 x2 B x x tan B x 2 B 2 2 3 2 3 derivando il flusso rispetto al tempo, si ottiene la FEM in funzione della velocità, d d x 2 B 2 xB dx xvB B dt dt 2 3 2 3 dt 3 B B b) La velocità della sbarra quando è nella posizione x1 è: v 3 x B 0.48 m s 1 3