Densità di Q

Densità di Q
Una caratteristica che differenzia profondamente i numeri razionali dai numeri interi relativi è la
densità. L’insieme dei numeri razionali è un insieme denso: scelti due numeri razionali sulla retta
dei numeri, per quanto vicini essi siano, tra di essi sono contenuti infiniti numeri razionali. Per molti
studenti, abituati ad operare con numeri caratterizzati da una struttura discreta, può non essere facile
costruirsi un’idea della nozione di densità. La Retta Algebrica di AlNuSet può mediare lo sviluppo
di questa nozione.
E’ noto che, sulla retta dei numeri, un metodo per determinare un numero razionale compreso tra
due numeri razionali dati è quello di costruire il punto medio tra i due numeri.
Sulla Retta Algebrica di AlNuSet, questo metodo risulta potenziato sul piano operativo e
rappresentativo dalla possibilità di modificare l’unità di misura e dalla disponibilità dei modelli
geometrici delle operazioni. Mediante il modello della somma è infatti possibile costruire la somma
di due numeri razionali dati (per esempio
1
1
e ) e tramite il modello della divisione è possibile
2
3
trovarne il punto medio.
Attraverso il cambio dell’unità di misura sulla retta, questo processo può essere iterato molte volte
(come suggerisce la seconda figura sotto riportata) e ciò facilita la costruzione di un’idea per la
nozione di insieme numerico denso. E’ importante anche osservare che per ogni espressione che
determina il punto medio tra due numeri razionali, è sempre possibile individuare la frazione
equivalente. Questo può essere realizzato con il modello geometrico della divisione, attraverso un
approccio grafico per tentativi ed errori, o con il calcolo, mediante l’uso del Manipolatore
Algebrico.
La riflessione compiuta sulla nozione di densità permette di mettere in evidenza che
differentemente dall’insieme dei numeri interi relativi, nell’insieme dei numeri razionali, assegnato
un numero razionale, non è possibile determinarne il successivo.