L`integrale della funzione di Planck per la radiazione di corpo nero

L'integrale della funzione di Planck per la radiazione di
corpo nero
1 Il problema
Studiando il corpo nero con l'approccio di Planck si ottiene che la densità di energia per unità di
volume è
ℏ 3
1
dU =u  d =
e
ℏ
KT
−1
2 c 3
d
o anche, definendo =ℏ / KT si può riscrivere il dU
dU =u  d =
KT 4  1
3 d 
2 3 3 
 c ℏ e −1
Ovviamente integrando il dU su tutte le frequenze si deve ottenere la formula di Wien U = T 4
Vediamo come arrivarvi analiticamente.
2 L'integrale
A meno di costanti particolari il problema si riduce al calcolo dell'integrale
∞
3
I 3=∫ d  
e −1
0
Questo integrale si può calcolare facendo un'integrazione nel piano complesso sul percorso indicato
in figura:
iπ
R
E' tuttavia opportuno fare dapprima alcune notazioni:
zk
è analitica ∀ k≥1 e quindi l'integrale sul percorso in figura sarà nullo per il
• La funzione e z −1
teorema di Cauchy­Goursat
•
Si dimostra l'utile identità
∞
Infatti:
∫ dx 
0
∞
∞
xn
xn
∫ dx e x 1 =1−2−n ∫ dx e x −1 (*)
0
0
∞
n
∞
2x
xn
xn
yn
−n
−
=
dx
=2
dy
∫ e2 x −1
∫ e y −1
e x −1 e x 1 0
0
ove per ottenere l'ultima uguaglianza è stato fatto il cambio di variabile y=2x. Poiché y è
semplicemente una variabile di integrazione possiamo facilmente combinare il primo ed il terzo
membro dell'equazione scritta ottenendo la relazione voluta.
∞
Procediamo ora con il calcolare il valore dell'integrale I 1=∫ dx x
per analizzare la procedura
x
e
−1
0
con cui poi affrontare l'integrale della funzione di Planck. Integrando sul cammino in figura si
ottiene:
0
∞
0
xi 
x
iy
∫ dx e x −1 O e−R ∫ dx e xi −1 ∫ idy eiy−1 =0
0
∞

∞

∞
xi 
x
iy
∫ dx e x −1 ∫ dx e x 1 =∫ idy eiy−1
0
0
0
Consideriamo ora il termine a secondo membro e moltiplichiamo dentro l'integrale sia a numeratore
che a denominatore per la quantità (e­iy­1). In tal modo al denominatore otteniamo la quantità 2(1­cos(y)).
Poiché il risultato dell'integrale sarà un numero complesso avremo che le parti reali e immaginarie
dovranno essere uguali a destra e sinistra del segno di uguaglianza. In particolare studiamo la parte
reale:
∞

∞
2
y 1−cos y 
x
x
∫ dx e x −1 ∫ dx e x 1 =∫ dy 2 1−cos y = 4
0
0
0
∞
sfruttando al relazione (*) si ottiene: I 1=∫ dx
0
2

x
=
x
e −1 6
∞
3
In maniera del tutto analoga calcoliamo I 3=∫ dx x
:
x
e
−1
0
0
∞
3
0
 xi 
x3
iy3
−R
dx
O
e

dx

idy
∫ e x −1
∫ e xi −1 ∫ eiy−1 =0
0
∞

∞
∞
3

 xi 
x3
iy3
∫ dx e x −1 ∫ dx e x 1 =∫ idy eiy−1
0
0
0
procedendo come prima (e considerando la sola parte reale) si avrà
∞
∞

x 3−32 x
4
x3
y3
∫ dx e x −1 ∫ dx e x 1 =−∫ dy 2 =− 8
0
0
0
e sfruttando le relazioni (*) e I 1=
2
posso ottenere
6
∞
I 3=∫ dx
0
4

x3
=
x
e −1 15
3 Conclusione Una volta calcolato l'integrale possiamo quindi giungere alla formula per l'energia totale del corpo
nero. Tale relazione è del tutto in accordo con la legge di Wien.
In particolare:
K 4 2 4
U=
T = T 4
3 3
15 c ℏ
4 2
K 
e pertanto =
, relazione facilmente verificabile sostituendo i valori numerici delle varie
15 c 3 ℏ 3
costanti in gioco.