Il teorema fondamentale del calcolo integrale. Il problema `e quello

Il teorema fondamentale del calcolo integrale.
Il problema è quello della connessione tra calcolo delle aree e calcolo differenziale (cioè
l’insieme dei procedimenti legati al calcolo delle derivate e delle primitive).
In particolare risulta che la definizione di integrale tramite somme integrali superiori e somme integrali inferiori risulta poco utile da un punto di vista calcolativo, cioè
la definizione non fornisce un algoritmo efficace per il calcolo degli integrali, per questo
sarebbe utile trovare un metodo di calcolo utilizzabile praticamente. Esso è fornito dal
teorema fondamentale del calcolo integrale.
L’idea è la seguente: si consideri una funzione f definita e continua su un certo intervallo chiuso [a, b]. Allora vogliamo calcolare l’area compresa tra il grafico della funzione,
l’asse delle x e le rette verticali x = a ed x = b, cioè
Z b
f (t)dt .
a
Il punto è che per calcolare tale integrale conviene cominciare a guardare un oggetto
apparentemente più complicato costruito come segue: si tracci una retta verticale per un
punto x tra a e b, e si consideri l’area compresa tra il grafico della funzione, l’asse delle
x, la retta verticale passante per il punto di ascissa a e la retta verticale passante per il
punto di ascissa x, cioè
Z
x
f (t)dt .
a
Tale quantità, apparentemente più complicata, dipende dal punto x in cui si è tracciata
la retta verticale, risulta cioè essere una funzione di x. Questa funzione è detta funzione
integrale di f . Formalmente si pone la seguente definizione
Definizione. Sia f una funzione continua su [a, b], allora la funzione F (x) definita da
Z x
F (x) :=
f (t)dt
(1)
a
si dice Funzione integrale di f .
Il teorema fondamentale del calcolo integrale stabilisce che tale funzione è derivabile
e soprattutto la sua derivata coincide con la funzione f di partenza. Precisamente vale il
seguente risultato:
Teorema. Sia f una funzione continua su [a, b], e sia F la sua funzione integrale (definita
dall’equazione (1)), allora tale funzione è derivabile e la sua derivata F 0 è data da
F 0 (x) = f (x) .
(2)
Si osservi come l’equazione (2) non sia la definizione di F , funzione che a priori nulla
ha a che fare con oggetti legati ad f da operazioni legate al calcolo differenziale. Infatti
come sottolineato sopra, la funzione F (x) è definita come l’area di un certo rettangolo
mistilineo.
Dario Bambusi
1