capitolo4_domande

DOMANDE TEORICHE CAPITOLO 4
SISTEMI LINEARI
A cura di Laura Aschei
1_esunciare il teorema di Rouchè-Capelli
(dato un sistema lineare AX=B con A appartenente a MR(k,n) e B appartenente a Rk il sistema ammette
soluzioni se e solo se rang(A)=rang(Ẫ) )
2_in quali casi si può applicare la regola di Cramer per il calcolo della soluzione di un sistema determinato, e
scrivere il suo enunciato
(solo per sistemi lineari quadrato non singolari. Dato un sistema lineare quadrato non singolare AX=B dove
A appartiene a MR(k,n) e B appartenente a Rk e rang(A)=n, allora la soluzione del sistema può essere
calcolata nel seguente modo:
i
(X0)i = det(A1|A2| … | B | … |An)
Det(A)
3_scrivere l’enunciato del 1° teorema do struttura
(dato un sistema lineare omogeneo con A appartenente a MR(k,n) e B= 0k l’insieme delle soluzioni del
sistema è un sottospazio di Rn e ker(A)={ X appartenenti a Rn | AX=0k} e dim(ker(A))=n-rang(A))
4_spiegare come è strutturata una varietà lineare di un sistema non omogeneo che ammette infinite
soluzioni e enunciare il 2° teorema di struttura
(la varietà lineare V è strutturata come la somma tra il ker(A) e una soluzione particolare del sistema. Dato
un sistema lineare AX=B con A appartenente a MR(k,n) e B appartenente a Rk non nulloe risolubile (rag(A) =
rag(Ẫ)) l’nsieme delle soluzioni è una varietà lineare V di dimensione n – rang(A), più precisamente V= X0 +
ker(A), dove X0 è una soluzione del sistema, e il ker(A) è l’insieme delle soluzioni del sistema omogeneo
AX=0 )
5_si spieghi come mai un sistema omogeneo ammette sempre soluzioni, e in quali casi ammetta non solo la
soluzione non banale
(Ammette soluzioni in quanto la matrice Ẫ ha in più rispetto alla matrice A solo la colonna nulla, che fa si
che il suo rango sia uguale a quella di A, inoltre il sistema ammette soluzione non banale quando
rang(A)=rang(Ẫ) ≠ numero incognite per il teorema di rouche-capelli)
6_ Dato un sistema lineare AX=B con A appartenente a MR(k,n) e B appartenente a Rk, se il sistema
ammette soluzioni e la dimensione della varietà lineare, soluzione del sistema, è pari a m (m<n). Qual è la
relazione che lega la dimensione della varietà soluzione con il numero di incognite? Qual è il teorema che ci
fornisce tale relazione? Lo si enunci.
(la relazione è m= n - rang(A). Il teorema è il secondo teorema di struttura il cui enunciato è: . Dato un
sistema lineare AX=B con A appartenente a MR(k,n) e B appartenente a Rk non nulloe risolubile (rag(A) =
rag(Ẫ)) l’nsieme delle soluzioni è una varietà lineare V di dimensione n – rang(A), più precisamente V= X0 +
ker(A), dove X0 è una soluzione del sistema, e il ker(A) è l’insieme delle soluzioni del sistema omogeneo
AX=0)
7_data il seguente sistema in forma matriciale, determinare se è determinato, indeterminato o impossibile
A=
1
2
0
0
1
1
1
2
1
0
B=
1
1
(il sistema risulta essere determinato)
8_se il sistema AX=0 ammette soluzioni non banali e A appartiene a MR(n) , le sue colonne devono formare
una base? Si motivi la risposta
(no, in quanto il sistema non è altro che il calcolo delle coordinate x1, x2, … xn per cui devo moltiplicare le
colonne di A per ottenere il vettore B (in questo caso pari a 0). Se le colonne di A risultassero una base
ammetterebbero solo come soluzione il vettore nullo, in quanto in quanto sono linearmente indipendenti)
9_se un sistema è determinato, cosa formano le colonne della matrice A? E se è indeterminato? Si
giustifichi la risposta
(se il sistema è determinato le colonne della matrice A sono linearmente indipendenti in quanto il sistema
non è altro che il calcolo delle coordinate per cui devo moltiplicare le colonne di A per ottenere il vettore B,
perciò se le colonne di A ammettono unica combinazione lineare per ottenere il vettore B, allora devono
essere linearmente indipendenti. Viceversa le colonne di A risulteranno linearmente dipendenti se il
sistema preso in esame ammette infinite soluzioni)