Compito di Geometria COMPITI DI PROVA Ingegneria
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Compito di Geometria COMPITI DI PROVA Ingegneria Gestionale e Industriale – esercizi in comune 1. Determinare una base per il nucleo ed una base per l’immmagine della applicazione lineare L : R3 → R3 tale che: L(e1 ) = (0, 5, −2), L(e2 ) = (3, −3, 1), 1 3 L(e3 ) = ( , 1, − ) 2 2 dove {e1 , e2 , e3 } indica la base canonica di R3 . 2. Determinare gli autovalori ed una base per gli autospazi della matrice: 2 −1 1 0 1 0 3 0 0 3. Discutere, al variare del parametro reale sistema di equazioni lineari: (h − 1)x + 2y − z 3x + (h − 1)y + 3z 2hx + 2y + hz h, le soluzioni del seguente = −1 = 0 = h 4. Determinare una equazione cartesiana per la retta dello spazio passante per P (3, −1, 1) e parallela ai piani: π1 x − y + z = 1, π2 : x + y − z = 2. 1 Solo per Ingegneria Gestionale e della Informazione 1. Si risolva il seguente sistema lineare a coefficienti in Z3 : [1]x1 + [2]x2 + [1]x3 + [1]x4 = [0] [2]x1 + [2]x2 + [2]x3 + [2]x4 = [1] [1]x1 + [2]x4 = [2] 2. Si determini un vettore v di R3 tale che {(1, 0, 0), ( una base ortonormale. Tale vettore è unico? 2 √ 2 2 , 0, − ), v} 2 2 √ sia Solo per Industriale 1. E’ possibile costruire una applicazione lineare iniettiva L : R3 → R2 ? Motivare la risposta. 2. Cosa si può dire delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo? Dimostrare le affermazioni che si fanno. 3. Sia A ∈ M3×4 (C) una matrice 3x4 ad elementi complessi e supponiamo che il minore 3x3 ottenuto cancellando la seconda colonna sia diverso da zero, mentre il minore 2x2 ottenuto cancellando l’ultima riga e le ultime due colonne di A sia nullo. Cosa possiamo concludere sul rango di A? Se A rappresenta nelle basi canoniche una applicazione lineare LA : C4 → C3 cosa possiamo concludere su LA ? 3