Teoremi di Green, Stokes e Gauss

Approfondimenti
Teoremi di Green, Stokes e Gauss
In questa sezione dimostriamo i Teoremi di Green (detto anche Formula di Guass-Green),
di Stokes (o del rotore) e di Guass (o della divergenza).
1.1
Teorema di Green
(di Green (o formula di Gauss-Green)) Siano Ω ⊆ R2
(1.1) Teorema
aperto non vuoto, F : Ω → R2 un campo vettoriale di classe C 1 , F = (f1 , f2 ), A ⊆
Ω un aperto limitato tale che ∂A ⊆ Ω è il sostegno di una curva parametrica chiusa,
semplice e regolare a tratti γ : [a, b] → Ω. Supponiamo che ∂A sia orientamento
positivamente.
Allora
I
F · dP =
∂A
Z A
∂f2
∂f1
(x, y) −
(x, y) dx dy.
∂x
∂y
Dimostrazione. Consideriamo inizialmente alcuni casi particolari e poi procediamo
con il caso generale.
1) Supponiamo che l’insieme A sia della forma
n
o
A = (x, y) ∈ R2 : a < x < b, α(x) < y < β(x) ,
dove α, β : [a, b] → R sono due funzioni di classe C 1 tali che α(x) < β(x) per ogni
x ∈ [a, b] (vedi Fig. 1.1).
1
1
Analogamente si procede se A è della forma
A=
n
o
2
(x, y) ∈ R : a < y < b, α(y) < x < β(y) ,
dove α, β : [a, b] → R sono due funzioni di classe C 1 tali che α(y) < β(y) per ogni y ∈ [a, b].
1
2
S. Lancelotti, Lezioni di Analisi Matematica II
y
y = β(x)
γ3
γ4
γ2
A
γ1
y = α(x)
O
a
b
x
Fig. 1.1: L’insieme A.
Si ha che ∂A = im (γ) = im (γ1 ) ∪ im (γ2 ) ∪ im (γ3 ) ∪ im (γ4 ), dove
γ1 (t) = (t, α(t)),
γ2 (t) = (b, t),
∀t ∈ [a, b],
∀t ∈ [α(b), β(b)],
γ3 (t) = b + t(a − b), β(b + t(a − b)) ,
∀t ∈ [0, 1],
γ4 (t) = a, β(a) + t(α(a) − β(a)) ,
∀t ∈ [0, 1].
Poiché le quattro curve sono orientate in modo coerente con il verso di percorrenza
antiorario indotto da γ su ∂A, si ha che
I
Z
F · dP =
∂A
F · dP =
γ
=
F · dP +
γ1
Z
b
a
+
Z
Z
0
Z
F · dP +
γ2
F (γ1 (t)) · γ10 (t) dt +
1
Z
Z
F (γ3 (t)) · γ30 (t) dt +
γ3
β(b)
α(b)
Z
0
F · dP +
1
Z
F · dP =
γ4
F (γ2 (t)) · γ20 (t) dt+
F (γ4 (t)) · γ40 (t) dt =
essendo F = (f1 , f2 ), γ10 (t) = (1, α0 (t)), γ20 (t) = (0, 1), γ30 (t) = a − b, (a − b)β 0 (b + t(a −
b)) , γ40 (t) = 0, α(a) − β(a) , si ha
=
Z
bh
a
0
i
f1 (t, α(t)) + α (t)f2 (t, α(t)) dt +
Z
β(b)
α(b)
f2 (b, t) dt+
3
1.1 Teorema di Green
+
Z
0
1h
i
(a−b)f1 b+t(a−b), β(b+t(a−b)) +(a−b)β 0 (b+t(a−b))f2 b+t(a−b), β(b+t(a−b))
Z
+
0
1
α(a) − β(a) f2 a, β(a) + t(α(a) − β(a)) dt =
operando le sostituzioni s = b + t(a − b) e s = β(a) + t(α(a) − β(a)) rispettivamente nel
terzo e quarto integrale si ottiene
=
Z
bh
a
−
Z
bh
Z
i
0
b
a
f1 (t, α(t)) dt −
Z
b
f1 (s, β(s)) ds =
a
=−
Z
Z
=−
b
a
Z
β(x)
α(x)
f2 (b, t) dt+
α(b)
Z
β(a)
α(a)
f2 (a, s) ds.
f1 (x, α(x)) dx −
Z
b
a
f1 (x, β(x)) dx =
i
f1 (x, β(x)) − f1 (x, α(x)) dx =
essendo f1 di classe C 1 e quindi la funzione
Z
β(b)
b
a
bh
a
(1.2)
Z
f1 (s, β(s)) + β (s)f2 (s, β(s)) ds −
a
Si ha che
i
f1 (t, α(t)) + α0 (t)f2 (t, α(t)) dt +
∂f1
(x, y) dy
∂y
∂f1
continua,
∂y
!
dx = −
Z
A
∂f1
(x, y) dx dy.
∂y
Consideriamo le funzioni G : [a, b] × R × R → R e ϕ : [a, b] → R definite da
∀x ∈ [a, b], ∀u, v ∈ R :
∀x ∈ [a, b] :
G(x, u, v) =
Z
v
u
ϕ(x) =
Z
f2 (x, y) dy,
β(x)
α(x)
f2 (x, y) dy,
Evidentemente si ha che ϕ(x) = G(x, α(x), β(x)), per ogni x ∈ [a, b]. Per il Teorema di
derivazione sotto il segno di integrale2 si ha che G è derivabile rispetto a x con
∀x ∈ [a, b], ∀u, v ∈ R :
∂G
(x, u, v) =
∂x
Z
v
u
2
∂f2
(x, y) dy.
∂x
Teorema di derivazione sotto il segno di integrale. Siano I, J due intervalli chiusi e limitati
di R e f : I × J → R una funzione continua. Supponiamo che f ammetta derivata parziale rispetto a x
∂f
e che la funzione ∂x
: I × J → R sia continua.
Allora la funzione g : I → R definita da
∀x ∈ I :
g(x) =
Z
f (x, y) dy
J
è derivabile e si ha che
∀x ∈ I :
g 0 (x) =
Z
J
∂f
(x, y) dy.
∂x
dt+
4
S. Lancelotti, Lezioni di Analisi Matematica II
Essendo α e β derivabili, anche ϕ risulta derivabile per composizione e, applicando la
regola della derivata parziale della funzione composta e il Teorema fondamentale del
calcolo integrale, si ha che per ogni x ∈ [a, b]
ϕ0 (x) =
∂G
∂G
∂G
(x, α(x), β(x)) +
(x, α(x), β(x)) · α0 (x) +
(x, α(x), β(x)) · β 0 (x) =
∂x
∂u
∂v
=
Z
β(x)
∂f2
(x, y) dy + β 0 (x)f2 (x, β(x)) − α0 (x)f2 (x, α(x)).
∂x
α(x)
Ne segue che
Z
Z
β(b)
f2 (b, t) dt −
α(b)
β(a)
α(a)
f2 (a, s) ds =
Z
β(b)
f2 (b, y) dy −
α(b)
Z
β(a)
f2 (a, y) dy = ϕ(b) − ϕ(a) =
α(a)
per il Teorema di Torricelli-Barrow
Z
=
b
0
ϕ (x) dx =
a
Z
Z
b
a
=
Z
=
Z
A
A
β(x)
α(x)
!
∂f2
(x, y) dy + β 0 (x)f2 (x, β(x)) − α0 (x)f2 (x, α(x))
∂x
∂f2
(x, y) dx dy +
∂x
Z
∂f2
(x, y) dx dy +
∂x
Z
bh
dx =
i
β 0 (x)f2 (x, β(x)) − α0 (x)f2 (x, α(x)) dx =
a
b
a
Z
β 0 (s)f2 (s, β(s)) ds −
b
a
α0 (t)f2 (t, α(t)) dt.
Quindi
Z
b
0
α (t)f2 (t, α(t)) dt −
a
Z
b
0
β (s)f2 (s, β(s)) ds +
a
(1.3)
=
Z
A
Z
β(b)
α(b)
f2 (b, t) dt −
Z
β(a)
α(a)
f2 (a, s) ds =
∂f2
(x, y) dx dy.
∂x
Ne segue che
I
F · dP =
∂A
Z
f1 (t, α(t)) + α (t)f2 (t, α(t)) dt +
i
0
f1 (s, β(s)) + β (s)f2 (s, β(s)) ds −
b
a
i
0
bh
a
=
bh
a
−
Z
Z
f1 (t, α(t)) dt −
Z
b
a
f1 (s, β(s)) ds +
+
Z
Z
b
a
β(b)
f2 (b, t) dt −
β(a)
α(a)
f2 (a, s) ds =
0
Z
f2 (b, t) dt+
α(b)
α (t)f2 (t, α(t)) dt −
β(b)
α(b)
Z
Z
Z
b
a
β 0 (s)f2 (s, β(s)) ds+
β(a)
α(a)
f2 (a, s) ds =
per (1.2) e (1.3)
=−
Z
A
∂f1
(x, y) dx dy +
∂y
Z
A
∂f2
(x, y) dx dy =
∂x
Z A
∂f2
∂f1
(x, y) −
(x, y) dx dy.
∂x
∂y
5
1.1 Teorema di Green
y
A2
A1
γ
O
x
Fig. 1.2: L’insieme A = A1 ∪ A2 .
2) Supponiamo che la chiusura di A sia suddivisibile nell’unione delle chiusure di due
insiemi della forma considerata nel caso precedente, ad esempio sia A = A1 ∪ A2 , dove
n
o
A1 = (x, y) ∈ R2 : a1 < x < b1 , α1 (x) < y < β1 (x) ,
n
o
A2 = (x, y) ∈ R2 : a2 < y < b2 , α2 (y) < x < β2 (y) ,
con α1 , β1 , α2 , β2 soddisfacenti ipotesi conformi con il caso precedente (analogamente
negli altri casi).
Allora si ha che
Z A
=
Z
A1
∂f2
∂f1
(x, y) −
(x, y) dx dy =
∂x
∂y
∂f2
∂f1
(x, y) −
(x, y) dx dy +
∂x
∂y
Z
A2
∂f2
∂f1
(x, y) −
(x, y) dx dy =
∂x
∂y
per il caso precedente applicato ad A1 e A2
=
I
F · dP +
∂A1
I
F · dP.
∂A2
Gli integrali di linea sui tratti dei bordi di A1 e A2 interni ad A (in Fig. 1.2 la linea tratteggiata) sono calcolati due volte, ma a causa del verso di percorrenza opposto indotto
dalle curve che parametrizzano questi tratti dei bordi di A1 e A2 la loro somma è nulla.
Quindi si ottiene
Z A
∂f2
∂f1
(x, y) −
(x, y) dx dy =
∂x
∂y
I
∂A1
F · dP +
I
∂A2
F · dP =
I
γ
F · dP =
I
∂A
F · dP.
6
S. Lancelotti, Lezioni di Analisi Matematica II
3) Caso generale: si dimostra che se A è un insieme soddisfacente le ipotesi, allora la sua
chiusura è suddivisibile nell’unione di un numero finito di chiusure di insiemi della forma
considerata nel punto 1). Applicando il procedimento del punto 2) a questi insiemi si
giunge alla tesi.
7
1.2 Teorema di Stokes
1.2
Teorema di Stokes
(di Stokes (o del rotore)) Siano Ω ⊆ R3 aperto non vuoto,
(1.4) Teorema
F : Ω → R3 un campo vettoriale di classe C 1 , F = (f1 , f2 , f3 ), A ⊆ R2 un
aperto limitato connesso per archi tale che ∂A è l’unione di un numero finito di
sostegni a due a due disgiunti di curve parametriche chiuse, semplici e regolari a
tratti, K = A = A ∪ ∂A e σ : K → Ω una calotta regolare con ∂σ orientamento
positivamente.
Allora
I
F · dP =
∂σ
Z
rotF · n,
σ
dove rotF è il rotore del campo F , definito formalmente da
∀(x, y, z) ∈ Ω :
i
∂
rotF (x, y, z) = ∂x
f (x, y, z)
1
j
∂
∂y
f2 (x, y, z)
∂
.
∂z
f3 (x, y, z) k
Dimostrazione. Dimostriamo per semplicità il Teorema nell’ipotesi ulteriore che σ sia
di classe C 2 . Per brevità espositiva, nel seguito data una funzione ϕ = ϕ(x1 , x2 , · · · , xn )
denoteremo la derivata parziale rispetto alla variabile xi con ϕxi e la derivata parziale
rispetto alle variabili xi e xj con ϕxi xj .
Sia γ : [a, b] → R2 una curva parametrica semplice e regolare che parametrizza
il bordo di K (essendo σ di classe C 2 esiste una parametrizzazione regolare di ∂K).
Poniamo η = σ ◦ γ. Quindi η : [a, b] → Ω è una parametrizzazione del bordo di Σ, dove
Σ = σ(K). Si ha che
I
F · dP =
∂σ
essendo
η 0 (t)
= Jσ
(γ(t)) γ 0 (t),
=
Z
I
F · dP =
η
Z
b
F (η(t)) · η 0 (t) dt =
a
dove Jσ (γ(t)) è la matrice Jacobiana di σ in γ(t)
b
a
F (σ(γ(t))) · Jσ (γ(t)) γ 0 (t) dt.
Consideriamo il campo vettoriale G : K → R2 definito da
G(u, v) = F (σ(u, v)) Jσ (u, v).
3
Osserviamo che
F (σ(γ(t))) · Jσ (γ(t)) γ 0 (t) = G(γ(t)) · γ 0 (t).
3
Si intende il prodotto matriciale fra la matrice 1 × 3 (vettore riga) F (σ(u, v)) e la matrice 3 × 2
Jσ (u, v).
8
S. Lancelotti, Lezioni di Analisi Matematica II
Infatti,
F (σ(γ(t))) · Jσ (γ(t)) γ 0 (t) =

σ1,u (γ(t))

= f1 (σ(γ(t))), f2 (σ(γ(t))), f3 (σ(γ(t))) · 
 σ2,u (γ(t))
σ3,u (γ(t))
σ1,v (γ(t))


σ2,v (γ(t)) 

σ3,v (γ(t))
γ10 (t)
γ20 (t)
!
=
per la proprietà associativa del prodotto matriciale


σ1,u (γ(t))



=
 f1 (σ(γ(t))), f2 (σ(γ(t))), f3 (σ(γ(t)))  σ2,u (γ(t))
σ3,u (γ(t))
{z
|
=G(γ(t))
σ1,v (γ(t))

γ10 (t)


σ2,v (γ(t)) 

σ3,v (γ(t))
γ20 (t)
!
=
}
= G(γ(t)) · γ 0 (t).
Quindi
I
F · dP =
∂σ
Z
b
a
F (σ(γ(t))) · Jσ (γ(t)) γ 0 (t) dt =
Z
b
G(γ(t)) · γ 0 (t) =
a
I
G · dP =
γ
e applicando il Teorema di Green al campo vettoriale G = (g1 , g2 ) si ottiene
(1.5)
=
Z
K
∂g2
∂g1
(u, v) −
(u, v) du dv,
∂u
∂v
dove
g1 (u, v) = f1 (σ(u, v)) σ1,u (u, v) + f2 (σ(u, v)) σ2,u (u, v) + f3 (σ(u, v)) σ3,u (u, v),
g2 (u, v) = f1 (σ(u, v)) σ1,v (u, v) + f2 (σ(u, v)) σ2,v (u, v) + f3 (σ(u, v)) σ3,v (u, v).
9
1.2 Teorema di Stokes
Si ha che
∂g2
∂g1
(u, v) −
(u, v) =
∂u
∂v
= f1,x (σ(u, v)) σ1,u (u, v) + f1,y (σ(u, v)) σ2,u (u, v) + f1,z (σ(u, v)) σ3,u (u, v) σ1,v (u, v)+
+f1 (σ(u, v)) σ1,uv (u, v)+
+ f2,x (σ(u, v)) σ1,u (u, v) + f2,y (σ(u, v)) σ2,u (u, v) + f2,z (σ(u, v)) σ3,u (u, v) σ2,v (u, v)+
+f2 (σ(u, v)) σ2,uv (u, v)+
+ f3,x (σ(u, v)) σ1,u (u, v) + f3,y (σ(u, v)) σ2,u (u, v) + f3,z (σ(u, v)) σ3,u (u, v) σ3,v (u, v)+
+f3 (σ(u, v)) σ3,uv (u, v)+
− f1,x (σ(u, v)) σ1,v (u, v) + f1,y (σ(u, v)) σ2,v (u, v) + f1,z (σ(u, v)) σ3,v (u, v) σ1,u (u, v)+
−f1 (σ(u, v)) σ1,vu (u, v)+
− f2,x (σ(u, v)) σ1,v (u, v) + f2,y (σ(u, v)) σ2,v (u, v) + f2,z (σ(u, v)) σ3,v (u, v) σ2,u (u, v)+
−f2 (σ(u, v)) σ2,vu (u, v)+
− f3,x (σ(u, v)) σ1,v (u, v) + f3,y (σ(u, v)) σ2,v (u, v) + f3,z (σ(u, v)) σ3,v (u, v) σ3,u (u, v)+
−f3 (σ(u, v)) σ3,vu (u, v) =
essendo σ di classe C 2 le derivate seconde miste delle sue componenti sono uguali e si
ottiene
= f1,x (σ(u, v)) σ1,u (u, v) + f1,y (σ(u, v)) σ2,u (u, v) + f1,z (σ(u, v)) σ3,u (u, v) σ1,v (u, v)+
+ f2,x (σ(u, v)) σ1,u (u, v) + f2,y (σ(u, v)) σ2,u (u, v) + f2,z (σ(u, v)) σ3,u (u, v) σ2,v (u, v)+
+ f3,x (σ(u, v)) σ1,u (u, v) + f3,y (σ(u, v)) σ2,u (u, v) + f3,z (σ(u, v)) σ3,u (u, v) σ3,v (u, v)+
− f1,x (σ(u, v)) σ1,v (u, v) + f1,y (σ(u, v)) σ2,v (u, v) + f1,z (σ(u, v)) σ3,v (u, v) σ1,u (u, v)+
− f2,x (σ(u, v)) σ1,v (u, v) + f2,y (σ(u, v)) σ2,v (u, v) + f2,z (σ(u, v)) σ3,v (u, v) σ2,u (u, v)+
− f3,x (σ(u, v)) σ1,v (u, v) + f3,y (σ(u, v)) σ2,v (u, v) + f3,z (σ(u, v)) σ3,v (u, v) σ3,u (u, v) =
h
i
= f3,y (σ(u, v)) σ2,u (u, v)σ3,v (u, v) − σ3,u (u, v)σ2,v (u, v) +
h
i
h
i
−f2,z (σ(u, v)) σ2,u (u, v)σ3,v (u, v) − σ3,u (u, v)σ2,v (u, v) +
h
i
+f1,z (σ(u, v)) σ3,u (u, v)σ1,v (u, v) − σ1,u (u, v)σ3,v (u, v) +
(1.6)
−f3,x (σ(u, v)) σ3,u (u, v)σ1,v (u, v) − σ1,u (u, v)σ3,v (u, v) +
h
i
+f2,x (σ(u, v)) σ1,u (u, v)σ2,v (u, v) − σ2,u (u, v)σ1,v (u, v) +
h
i
−f1,y (σ(u, v)) σ1,u (u, v)σ2,v (u, v) − σ2,u (u, v)σ1,v (u, v) .
10
S. Lancelotti, Lezioni di Analisi Matematica II
Inoltre si ha che
Z
rotF · n =
σ
dove
Z
rotF (σ(u, v)) · N (u, v) du dv,
K
i
∂
rotF (σ(u, v)) = ∂x
f (σ(u, v))
1
j
∂
=
∂z
f3 (σ(u, v)) k
∂
∂y
f2 (σ(u, v))
= f3,y (σ(u, v)) − f2,z (σ(u, v)), f1,z (σ(u, v)) − f3,x (σ(u, v)), f2,x (σ(u, v)) − f1,y (σ(u, v))
e
i
N (u, v) = σu (u, v) ∧ σv (u, v) = σ1,u (u, v)
σ (u, v)
1,v

j
σ3,u (u, v) =
σ (u, v) k
σ2,u (u, v)
σ2,v (u, v)
3,v
σ2,u (u, v)σ3,v (u, v) − σ3,u (u, v)σ2,v (u, v)




=
 σ3,u (u, v)σ1,v (u, v) − σ1,u (u, v)σ3,v (u, v)  .
σ1,u (u, v)σ2,v (u, v) − σ2,u (u, v)σ1,v (u, v)
Quindi
rotF (σ(u, v)) · N (u, v) =
= f3,y (σ(u, v)) − f2,z (σ(u, v)), f1,z (σ(u, v)) − f3,x (σ(u, v)), f2,x (σ(u, v)) − f1,y (σ(u, v)) ·


σ2,u (u, v)σ3,v (u, v) − σ3,u (u, v)σ2,v (u, v)



·
 σ3,u (u, v)σ1,v (u, v) − σ1,u (u, v)σ3,v (u, v)  =
σ1,u (u, v)σ2,v (u, v) − σ2,u (u, v)σ1,v (u, v)
h
i
= f3,y (σ(u, v)) σ2,u (u, v)σ3,v (u, v) − σ3,u (u, v)σ2,v (u, v) +
h
i
h
i
−f2,z (σ(u, v)) σ2,u (u, v)σ3,v (u, v) − σ3,u (u, v)σ2,v (u, v) +
h
i
+f1,z (σ(u, v)) σ3,u (u, v)σ1,v (u, v) − σ1,u (u, v)σ3,v (u, v) +
−f3,x (σ(u, v)) σ3,u (u, v)σ1,v (u, v) − σ1,u (u, v)σ3,v (u, v) +
h
i
+f2,x (σ(u, v)) σ1,u (u, v)σ2,v (u, v) − σ2,u (u, v)σ1,v (u, v) +
h
i
−f1,y (σ(u, v)) σ1,u (u, v)σ2,v (u, v) − σ2,u (u, v)σ1,v (u, v)
=
∂g2
∂g1
(u, v) −
(u, v).
∂u
∂v
=
x

(1.6)
Ne segue che
Z
σ
rotF ·n =
Z
K
rotF (σ(u, v))·N (u, v) du dv =
Z
K
∂g2
∂g1
(u, v) −
(u, v)
∂u
∂v
du dv =
x

(1.5)
I
∂σ
F ·dP
11
1.2 Teorema di Stokes
che è la tesi.
(1.7) Teorema
Siano Ω ⊆ R3 un aperto non vuoto, F : Ω → R3 un campo
vettoriale di classe C 1 , D ⊆ Ω un aperto con bordo tale che ∂D ⊆ Ω.
Allora il flusso (sia uscente che entrante) del rotore del campo F dal bordo di D è
zero, cioè
Z
rotF · n = 0.
∂D
Dimostrazione. È sufficiente dimostrare che il flusso uscente è nullo. Sia (x0 , y0 , z0 ) ∈
D. Osserviamo che ∂D = Σ1 ∪ Σ2 , dove
Σ1 = {(x, y, z) ∈ ∂D : z ≤ z0 } ,
Σ2 = {(x, y, z) ∈ ∂D : z ≥ z0 } .
Si ha che Σ1 ∩ Σ2 = {(x, y, z) ∈ ∂D : z = z0 } è in generale l’unione di un numero finito
di linee chiuse in R3 , ossia Σ1 ∩ Σ2 =
n
[
Γi , dove Γi è una linea chiusa in R3 , per ogni
i=1
i = 1, · · · , n. Per semplicità espositiva supponiamo che Σ1 ∩ Σ2 = Γ, con Γ linea chiusa
in R3 .
z
N2
Σ2
γ2
Γ
γ1
N1
Σ1
y
x
Se orientiamo Σ1 e Σ2 secondo il verso uscente da D, si ha che
Z
∂D
rotF · n =
Z
rotF · n +
Σ1
Z
Σ2
rotF · n.
12
S. Lancelotti, Lezioni di Analisi Matematica II
Evidentemente Γ = ∂Σ1 = ∂Σ2 . Siano γ1 la curva parametrica chiusa, semplice e regolare a tratti che parametrizza Γ in senso antiorario rispetto al vettore normale N1 uscente
da Σ1 e γ2 la curva parametrica chiusa, semplice e regolare a tratti che parametrizza Γ in
senso antiorario rispetto al vettore normale N2 uscente da Σ2 . Poiché N1 e N2 inducono
versi di percorrenza opposti su Γ, si ha che γ1 e γ2 inducono versi opposti su Γ. Per le
proprietà degli integrali di linea di un campo vettoriale
I
F · dP = −
γ1
I
F · dP.
γ2
Applicando il Teorema di Stokes alle superfici Σ1 e Σ2 si ha che
Z
rotF · n =
Σ1
I
Z
F · dP,
rotF · n =
Σ2
γ1
I
F · dP.
γ2
Quindi
Z
∂D
rotF · n =
Z
rotF · n +
Σ1
Z
rotF · n =
Σ2
I
F · dP +
γ1
I
F · dP = 0.
γ2
(1.8) Osservazione Il Teorema di Green altro non è che il Teorema di Stokes in due
dimensioni. Infatti, siano F : Ω → R2 , A e γ = (γ1 , γ2 ) soddisfacenti le ipotesi del
Teorema di Green (supponiamo per semplicità espositiva che γ sia regolare; se fosse
solo regolare a tratti, a patto di fare qualche piccola modifica, si riotterrebbe lo stesso
risultato).
z
N
y
A
x
γ
Fig. 1.3: L’insieme A visto come sottoinsieme di R3 .
Consideriamo il campo vettoriale G(x, y, z) = (f1 (x, y), f2 (x, y), 0) e la calotta regolare σ : A → R3 definita da σ(x, y) = (x, y, 0). In pratica G è il campo F a cui è stata
13
1.2 Teorema di Stokes
aggiunta la terza componente nulla mentre σ è la superficie che descrive l’insieme A visto
come sottoinsieme di R3 (ovvero σ parametrizza il grafico della funzione identicamente
nulla definita sull’insieme A). Si osserva che im (σ) = A ⊆ dom (G). Poiché γ induce su
∂A un verso di percorrenza antiorario rispetto al versore fondamentale dell’asse z (vedi
Fig. 1.3), anche ∂σ = σ|∂A , che parametrizza ∂A, deve indurre lo stesso orientamento.
Un vettore normale (nello spazio tridimensionale) a im (σ) che induca un orientamento
antiorario su ∂A rispetto al versore fondamentale dell’asse z è
∂σ
∂σ
(x, y) ∧
(x, y) = (0, 0, 1).
∂x
∂y
N (x, y) =
Applicando il Teorema di Stokes a G e σ si ottiene
I
(1.9)
G · dP =
∂σ
Z
rotG · n.
σ
Una parametrizzazione equivalente di ∂σ è η : [a, b] → R3 definita da η(t) = (γ(t), 0) =
(γ1 (t), γ2 (t), 0). Ne segue che
I
=
=
Z
Z
b
a
b
a
I
G · dP =
∂σ
G · dP =
η
=
Z
A
0
G(η(t)) · η (t) dt =
f1 (γ(t)), f2 (γ(t)), 0 ·
f1 (γ(t)), f2 (γ(t)) ·
Z
Z
b
G(γ(t), 0) · (γ 0 (t), 0) dt =
a
rotG · n =
σ
b
a
Inoltre
Z
Z
γ10 (t), γ20 (t), 0
γ10 (t), γ20 (t)
dt =
Z
dt =
bh
a
Z
b
0
F (γ(t))·γ (t) dt =
a
Z
F ·dP =
γ
rotG(σ(x, y)) · N (x, y) dx dy =
A
Z
i
f1 (γ(t))γ10 (t) + f2 (γ(t))γ20 (t) dt =
I
F ·dP.
∂A
rotG(x, y, 0) · (0, 0, 1) dx dy =
A
rot(f1 (x, y), f2 (x, y), 0)·(0, 0, 1) dx dy =
=
Z A
Z 0, 0,
A
∂f2
∂f1
(x, y) −
(x, y) ·(0, 0, 1) dx dy =
∂x
∂y
∂f2
∂f1
(x, y) −
(x, y) dx dy.
∂x
∂y
Quindi (1.9) diventa
I
∂A
F · dP =
Z A
∂f2
∂f1
(x, y) −
(x, y) dx dy
∂x
∂y
che è la formulazione del Teorema di Green.
14
S. Lancelotti, Lezioni di Analisi Matematica II
1.3
Teorema di Gauss
(di Gauss (o della divergenza)) Siano Ω ⊆ R3 un aperto
(1.10) Teorema
non vuoto, F : Ω → R3 un campo vettoriale di classe C 1 , F = (f1 , f2 , f3 ), D ⊆ Ω
un aperto con bordo tale che ∂D ⊆ Ω.
Allora il flusso uscente del campo F dal bordo di D è dato da
Z
F ·n=
∂D
Z
divF (x, y, z) dx dy dz,
D
dove divF è la divergenza del campo F , definita da
∀(x, y, z) ∈ Ω :
divF (x, y, z) =
∂f1
∂f2
∂f3
(x, y, z) +
(x, y, z) +
(x, y, z).
∂x
∂y
∂z
Dimostrazione. Dimostriamo il Teorema nel caso particolare in cui D è un insieme
convesso4 nelle tre direzioni degli assi coordinati. Dobbiamo dimostrare che
(1.11)
Z
∂D
(f1 , f2 , f3 ) · n =
Z D
∂f1
∂f2
∂f3
(x, y, z) +
(x, y, z) +
(x, y, z)
∂x
∂y
∂z
dx dy dz.
Essendo F = (f1 , f2 , f3 ) = (f1 , 0, 0) + (0, f2 , 0) + (0, 0, f3 ), è sufficiente dimostrare che
(1.12)
Z
Z
∂D
(1.13)
∂D
Z
(1.14)
∂D
(f1 , 0, 0) · n =
Z
∂f1
(x, y, z) dx dy dz,
∂x
(0, f2 , 0) · n =
Z
∂f2
(x, y, z) dx dy dz,
∂y
(0, 0, f3 ) · n =
Z
∂f3
(x, y, z) dx dy dz.
∂z
D
D
D
Infatti, sommando (1.12), (1.13) e (1.14) si ottiene (1.11).
Proviamo (1.14). In modo simile si provano anche (1.12) e (1.13). Per semplicità
espositiva supponiamo che, essendo D un aperto con bordo convesso nella direzione di
z, si abbia che D = D ∪ ∂D è della forma
n
o
D = (x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ K, α(x, y) ≤ z ≤ β(x, y) ,
dove K ⊆ R2 è un compatto e α, β : K → R sono di classe C 1 con α(x, y) ≤ β(x, y) per
ogni (x, y) ∈ K.5
4
3
Un insieme D ⊆ R è convesso se per ogni X, Y ∈ D e per ogni t ∈ [0, 1] si ha che X + t(Y − X) ∈ D,
15
1.3 Teorema di Gauss
z
z = β(x, y)
Σ3
Σ2
Σ1
z = α(x, y)
y
K
x
Fig. 1.4: Una possibile (semplice) rappresentazione dell’insieme D.
Si ha che ∂D = Σ1 ∪ Σ2 ∪ Σ3 con
n
o
n
o
Σ1 = (x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ K, z = α(x, y) ,
n
o
Σ2 = (x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ ∂K, α(x, y) ≤ z ≤ β(x, y) ,
Σ3 = (x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ K, z = β(x, y) .
Quindi
Z
∂D
(0, 0, f3 ) · n =
Z
Σ1
(0, 0, f3 ) · n +
Z
Σ2
(0, 0, f3 ) · n +
Z
Σ3
(0, 0, f3 ) · n.
Essendo Σ1 il grafico della funzione α : K → R, si ha che Σ1 = σ1 (K) dove σ1 (x, y) =
(x, y, α(x, y)). Quindi
Z
Σ1
(0, 0, f3 ) · n =
Z
K
(0, 0, f3 (σ1 (x, y))) · N1 (x, y) dx dy,
ovvero se il segmento che unisce X e Y è tutto contenuto in D.
5
In generale si ha che α(K) =
n
[
i=1
tali che K =
n
[
i=1
Ki =
m
[
αi (Ki ) e β(K) =
m
[
βj (Hj ), dove Ki , Hj sono compatti di
R2
j=1
Hj , Ki ∩ Kp e Hj ∩ Hq hanno al più in comune solo parti dei loro bordi, e
j=1
αi : Ai → R e βj : Bj → R sono funzioni di classe C 1 definite rispettivamente su Ai e Bj aperti di
tali che Ki ⊆ Ai e Hj ⊆ Bj .
R2
16
S. Lancelotti, Lezioni di Analisi Matematica II
dove N1 (x, y) è un vettore normale al piano tangente a Σ1 in σ1 (x, y) uscente da D.
Essendo
N1 (x, y) = − −
si ottiene
Z
Σ1
=
Z
K
∂α
∂α
(x, y), − (x, y), 1 =
∂x
∂y
Z
(0, 0, f3 ) · n =
K
∂α
(0, 0, f3 (σ1 (x, y))) · N1 (x, y) dx dy =
∂α
0, 0, f3 (x, y, α(x, y)) ·
(x, y),
(x, y), −1
∂x
∂y
∂α
∂α
(x, y),
(x, y), −1 ,
∂x
∂y
dx dy = −
Z
K
f3 (x, y, α(x, y)) dx dy.
Essendo Σ3 il grafico della funzione β : K → R, si ha che Σ3 = σ3 (K) dove σ3 (x, y) =
(x, y, β(x, y)). Quindi
Z
Σ3
(0, 0, f3 ) · n =
Z
K
(0, 0, f3 (σ3 (x, y))) · N3 (x, y) dx dy,
dove N3 (x, y) è un vettore normale al piano tangente a Σ3 in σ3 (x, y) uscente da D.
Essendo
∂β
∂β
N3 (x, y) = − (x, y), − (x, y), 1 ,
∂x
∂y
si ottiene
Z
Σ3
=
Z
K
Z
(0, 0, f3 ) · n =
K
∂β
0, 0, f3 (x, y, β(x, y)) · −
∂x
(0, 0, f3 (σ3 (x, y))) · N3 (x, y) dx dy =
(x, y), −
∂β
(x, y), 1
∂y
dx dy =
Z
K
f3 (x, y, β(x, y)) dx dy.
Infine, osserviamo che Σ2 è la porzione del cilindro retto generato dalle rette parallele
all’asse z passanti per il bordo di K. Quindi in ogni punto di Σ2 il vettore normale N2
al piano tangente a Σ2 in tale punto è ortogonale a una di queste rette e di conseguenza
è ortogonale al versore k = (0, 0, 1). In particolare N2 · (0, 0, f3 ) = 0. Ne segue che se
σ2 : K2 → R3 è una parametrizzazione di Σ2 , allora
Z
Σ2
(0, 0, f3 ) · n =
Z
K2
(0, 0, f3 (σ2 (u, v))) · N2 (u, v) du dv = 0.
In definitiva
Z
∂D
(0, 0, f3 ) · n =
(1.15)
=
Z K
Consideriamo ora
Z
Σ1
(0, 0, f3 ) · n +
Z
Σ2
(0, 0, f3 ) · n +
Z
Σ3
(0, 0, f3 ) · n =
f3 (x, y, β(x, y)) − f3 (x, y, α(x, y)) dx dy.
Z
D
∂f3
(x, y, z) dx dy dz.
∂z
17
1.3 Teorema di Gauss
Integrando per fili paralleli all’asse z, si ha che
Z
∂f3
(x, y, z) dx dy dz =
∂z
D
=
Z
K
che è (1.14).
Z
K
Z
β(x,y)
α(x,y)
∂f3
(x, y, z) dz
∂z
f3 (x, y, β(x, y)) − f3 (x, y, α(x, y)) dx dy. =
x

(1.15)
!
Z
∂D
dx dy =
(0, 0, f3 ) · n,
(1.16) Osservazione Il Teorema di Green altro non è che il Teorema di Gauss in
due dimensioni. Infatti, siano F = (f1 , f2 ), A e γ = (γ1 , γ2 ) soddisfacenti le ipotesi
del Teorema di Green (supponiamo per semplicità espositiva che γ sia regolare; se fosse
solo regolare a tratti, a patto di fare qualche piccola modifica, si riotterrebbe lo stesso
risultato). Un vettore normale a ∂A = im (γ) nel punto γ(t) è N (t) = (γ20 (t), −γ10 (t)).
Infatti, essendo γ 0 (t) il vettore tangente a im (γ) in γ(t), si ha che
N (t) · γ 0 (t) = (γ20 (t), −γ10 (t)) · (γ10 (t), γ20 (t)) = γ20 (t)γ10 (t) − γ10 (t)γ20 (t) = 0.
Il versore associato è
n(t) =
(γ 0 (t), −γ 0 (t))
N (t)
= 2 0 1
.
kN (t)k
kγ (t)k
y
γ 0 (t)
A
γ20 (t)
γ(t)
γ10 (t)
N (t)
−γ10 (t)
γ20 (t)
O
Fig. 1.5: L’insieme A e i vettori tangenti e normali a ∂A.
x
18
S. Lancelotti, Lezioni di Analisi Matematica II
Osserviamo (vedi Fig. 1.5) che questo versore è esterno ad A. Consideriamo il
campo vettoriale G = (−f2 , f1 ). Anche G è di classe C 1 e applicando il Teorema di
Green al campo G si ottiene
I
(1.17)
G · dP =
∂A
Z A
∂f1
∂f2
(x, y) +
(x, y) dx dy =
∂x
∂y
Z
divF (x, y) dx dy,
A
∂f1
∂f2
(x, y) +
(x, y) è la divergenza del campo vettoriale F . Con∂x
∂y
sideriamo ora l’integrale curvilineo (di prima specie) della funzione f = F · n lungo il
dove divF (x, y) =
bordo di A orientato positivamente. Si ha che
Z
F ·n ds =
∂A
F ·n ds =
γ
=
Z
b
a
=
Z
Z
b
a
Z
bh
i
F (γ(t))·n(t) kγ 0 (t)kdt =
a
−f2 (γ(t)), f1 (γ(t) ·(γ10 (t), γ20 (t)) dt =
Da (1.17) segue che
(1.18)
Z
F · n ds =
∂A
Z
bh
F (γ(t))·
a
f1 (γ(t)), f2 (γ(t) · (γ20 (t), −γ10 (t)) dt =
Z
Z
Z
bh
a
b
N (t) i 0
kγ (t)kdt =
kN (t)k
i
f1 (γ(t))γ20 (t) − f2 (γ(t))γ10 (t) dt =
G(γ(t))·γ 0 (t) dt =
a
Z
G·dP =
γ
I
G·dP.
∂A
divF (x, y) dx dy,
A
che è la versione bidimensionale del Teorema della divergenza, dove l’integrale di sinistra
(che è un integrale curvilineo di prima specie) rappresenta il flusso uscente del campo F
dal bordo di A.
Una conseguenza diretta dei teoremi di Green e Gauss è la cosidetta Formula di
integrazione per parti negli integrali multipli, che estende la ben nota Formula di integrazione per parti negli integrali definitivi (di funzioni reali di una variabile) alle funzioni
di più variabili.
Una prima formulazione vettoriale per i campi di R3 è la seguente.
(1.19) Teorema (Formula di integrazione per parti per i campi vettoriali
in R3 ) Siano Ω ⊆ R3 un aperto non vuoto, F : Ω → R3 un campo vettoriale di
classe C 1 , g : Ω → R una funzione di classe C 1 , D ⊆ Ω un aperto con bordo tale
che ∂D ⊆ Ω e n il versore normale a ∂D uscente da D.
Allora, posto x = (x1 , x2 , x3 ), si ha che
Z
D
∇g(x) · F (x) dx1 dx2 dx3 =
Z
∂D
g F · n dσ −
Z
dove divF è la divergenza del campo vettoriale F .6
D
g(x) divF (x) dx1 dx2 dx3 ,
19
1.3 Teorema di Gauss
Dimostrazione. Consideriamo il campo vettoriale H : Ω → R3 definito da H = gF .
Applicando il Teorema di Gauss ad H si ha che
Z
(1.20)
D
divH(x) dx1 dx2 dx3 =
Z
H · n dσ.
∂D
Posto F = (f1 , f2 , f3 ), si ha che H = (gf1 , gf2 , gf3 ) e quindi per ogni x ∈ Ω
divH(x) =
∂(gf2 )
∂(gf3 )
∂(gf1 )
(x) +
(x) +
(x) =
∂x1
∂x2
∂x3
=
∂g
∂f1
∂g
∂f2
∂g
∂f3
(x) f1 (x)+g(x)
(x)+
(x) f2 (x)+g(x)
(x)+
(x) f3 (x)+g(x)
(x) =
∂x1
∂x1
∂x2
∂x2
∂x3
∂x3
=
∂g
∂g
∂g
∂f1
∂f2
∂f3
(x),
(x),
(x) · f1 (x), f2 (x), f3 (x) +g(x)
(x) +
(x) +
(x) =
∂x1
∂x2
∂x3
∂x1
∂x2
∂x3
= ∇g(x) · F (x) + g(x)divF (x).
Sostituendo in (1.20) si ha
Z D
∇g(x) · F (x) + g(x)divF (x) dx1 dx2 dx3 =
Z
gF · n dσ.
∂D
da cui segue immediatamente la tesi.
Una formulazione analoga per i campi vettoriali di R2 è la seguente
(1.21) Teorema (Formula di integrazione per parti per i campi vettoriali
in R2 ) Siano Ω ⊆ R2 aperto non vuoto, F : Ω → R2 un campo vettoriale di classe
C 1 , F = (f1 , f2 ), A ⊆ Ω un aperto limitato tale che ∂A ⊆ Ω è il sostegno di una
curva parametrica chiusa, semplice e regolare a tratti γ : [a, b] → Ω. Supponiamo
che ∂A sia orientamento positivamente.
Allora, posto x = (x1 , x2 ), si ha che
Z
A
∇g(x) · F (x) dx1 dx2 =
Z
g F · n ds −
∂A
Z
D
g(x) divF (x) dx1 dx2 ,
∂f1
∂f2
(x) +
(x) è la divergenza del campo vettoriale F e n è il
∂x1
∂x2
versore normale a ∂A uscente da A.7
dove divF (x) =
6
7
L’integrale
L’integrale
Z
Z ∂D
∂A
g F · n dσ è il flusso uscente del campo vettoriale g F dal bordo di D.
g F · n ds è il flusso uscente del campo vettoriale g F dal bordo di A, ovvero l’integrale
curvilineo di prima specie della funzione gF · n lungo il bordo di A.
20
S. Lancelotti, Lezioni di Analisi Matematica II
Dimostrazione. Si applica (1.18) al campo vettoriale H = gF e poi si procede come
nella dimostrazione del teorema precedente.
Da questi teoremi scendono immediatamente le Formule di integrazione per parti
negli integrali doppi e tripli.
(1.22) Teorema
(Formula di integrazione per parti negli integrali tripli)
Siano Ω ⊆ R3 un aperto non vuoto, f, g : Ω → R due funzioni di classe C 1 , D ⊆ Ω
un aperto con bordo tale che ∂D ⊆ Ω e n il versore normale a ∂D uscente da D.
Allora, posto x = (x1 , x2 , x3 ), per ogni i = 1, 2, 3 si ha che
Z
D
∂g
(x) f (x) dx1 dx2 dx3 =
∂xi
Z
∂D
f g ni dσ −
Z
g(x)
D
∂f
(x) dx1 dx2 dx3 ,
∂xi
dove ni è la componente i-esima del versore normale n.8
Dimostrazione. Per ogni i = 1, 2, 3 si applica il Teorema (1.19) al campo vettoriale F
avente la componente i-esima uguale a f e le altre nulle.
(1.23) Teorema (Formula di integrazione per parti negli integrali doppi)
Siano Ω ⊆ R2 un aperto non vuoto, f, g : Ω → R due funzioni di classe C 1 , A ⊆ Ω
un aperto limitato tale che ∂A ⊆ Ω è il sostegno di una curva parametrica chiusa,
semplice e regolare a tratti γ : [a, b] → Ω e n il versore normale a ∂A uscente da
A.
Allora, posto x = (x1 , x2 ), per ogni i = 1, 2 si ha che
Z
A
∂g
(x) f (x) dx1 dx2 =
∂xi
Z
∂A
f g ni ds −
Z
g(x)
A
∂f
(x) dx1 dx2 ,
∂xi
dove ni è la componente i-esima del versore normale n.9
Dimostrazione. Per ogni i = 1, 2 si applica il Teorema (1.21) al campo vettoriale F
avente la componente i-esima uguale a f e l’altra nulla.
8
9
L’integrale
L’integrale
bordo di A.
Z
f g ni dσ è l’integrale di superficie della funzione reale f g ni sul bordo di D.
Z∂D
∂A
f g ni ds è l’integrale curvilineo di prima specie della funzione reale f g ni lungo il