Le molte dimostrazioni del Teorema (Lemma) di Farkas

GIORGIO GIORGI
UNIVERSITÀ DI PAVIA – FACOLTÀ DI ECONOMIA
Le molte dimostrazioni del Teorema (Lemma) di Farkas-Minkowski
Il teorema (o lemma) di Farkas (o di Farkas-Minkowski) è forse il più noto ed il
più utilizzato teorema dell’alternativa per sistemi lineari. Anche a causa dei diversi contesti
ove tale risultato è introdotto (programmazione lineare e non, teoria dei sistemi di disequazioni lineari, modelli economici multisettoriali, teoria dei giochi ecc.), le relative motivazioni ed i
relativi metodi di dimostrazione possono variare ampiamente. Spesso le dimostrazioni disponibili sono incomplete ed insoddisfacenti, in quanto viene dato per scontato che un cono (convesso) poliedrico è chiuso. Scopo del presente lavoro è di offrire una rassegna, non esaustiva,
dei principali approcci alla dimostrazione di tale fondamentale risultato. Qualche nuova considerazione viene presentata.
SUNTO
The many proofs of the Farkas-Minkowski Theorem (Lemma)
ABSTRACT
The Farkas (or Farkas-Minkowski) theorem (lemma) is perhaps the most
known and utilized theorem of the alternative involving linear systems. Also because of the
different contexts where this result is introduced (linear and nonlinear programming, linear
inequality systems, multisectoral economic models, games theory, etc.), there are various and
different methods of proof of the same. However, some proofs are incomplete and not satisfactory, as the closedness of a polyhedral cone is given for granted. In this paper we present a
survey, without pretension of completeness, of the main approaches to the proof of the Farkas-Minkowski theorem. We make also some new remarks and give some new insights.