Teorema di Rouche`

Lezione 7: Il Teorema di Rouché-Capelli
In questa lezione vogliamo rivisitare i sistemi lineari e dare alcuni risultati che ci permettono di determinare dato un sistema lineare se ammette
soluzioni e da quanti parametri tali soluzioni dipendono.
1
Sistemi Lineari
Richiamiamo la terminologia sui sistemi lineari gia’ introdotta nelle lezioni
precedenti.
Consideriamo il sistema lineare di m equazioni in n incognite:


a1 1 x1 + a1 2 x2 + . . . + a1 n xn = b1


 a2 1 x1 + a2 2 x2 + . . . + a2 n xn = b2
..

.


 a x + a x + ...+ a x = b
m1 1
m2 2
mn n
m
In forma compatta tale sistema si scrive:
A x = b,
ove

a1 1
 a2 1

A =  ..
 .
a1 2
a2 2
..
.
am 1 am 2

· · · a1 n
· · · a2 n 

.. 
..
.
. 
· · · am n
è detta matrice incompleta del sistema, o anche matrice dei coefficienti, mentre
 
 
x1
b1
 x2 
 b2 
 
 
e
b =  ..  ,
x =  .. 
.
. 
xn
bm
sono detti rispettivamente il vettore delle incognite e il vettore dei termini
noti. La matrice completa (A|b) associata al sistema è
1

a1 1
 a2 1

 ..
 .
a1 2
a2 2
..
.
am 1 am 2

· · · a1 n b1
· · · a2 n b2 

..  .
..
..
.
. 
.
· · · am n bm
In generale, data una matrice M, indicheremo con M j il vettore costituito
dalla sua j-esima colonna.
Nel caso di A abbiamo quindi:


a1 j
 a2 j 


Aj =  ..  .
 . 
am j
Definizione 1.1. Il rango di una matrice M ∈ Mm×n è la dimensione dello
spazio generato dai vettori colonna di M, cioè:
rk (M) = dim Span(M 1 , . . . , M n ).
Osserviamo che il rango di una matrice A e’ uguale ad altre quantita’ che
conosciamo bene.
• Il rango di A e’ la dimensione dell’immagine dell’applicazione lineare
f : Rn −→ Rm , x 7→ Ax. Infatti sappiamo bene che l’immagine e’
generata proprio dai vettori che formano le colonne di A, che a loro
volta sono proprio le immagini dei vettori della base canonica in Rn ,
cioe’ f (e1 ) = M 1 , . . . , f (en ) = M n .
• Il rango di A e’ anche il numero di righe non nulle che otteniamo applicando l’algoritmo di Gauss alla matrice trasposta di A, cioe’ alla matrice
che ha per righe le colonne di A. Infatti tale numero corrisponde proprio alla dimensione dello spazio delle colonne di A, cioe’ il rango di A
per il punto precedente.
Teorema 1.2. (Teorema di Rouché-Capelli, prima parte.) Il sistema lineare
Ax = b ammette soluzioni se e solo se il rango della matrice completa è
uguale al rango della matrice incompleta.
2
Dimostrazione. Osserviamo innanzitutto che il sistema A x = b ammette
soluzione se e solo se b = x1 A1 +x2 A2 +. . .+xn An , cioè se e solo se b è una combinazione lineare di A1 , A2 , . . . , An , cioè se e solo se b ∈ Span{A1 , A2 , . . . , An }.
Questo equivale a dire che Span{A1 , A2 , . . . , An ) = Span{A1 , A2 , . . . , An , b}
e poichè Span{A1 , A2 , . . . , An } ⊆ Span{A1 , A2 , . . . , An , b}, questo accade se
e solo se dim Span{A1 , A2 , . . . , An } = dim Span{A1 , A2 , . . . , An , b}.
Ma dim Span{A1 , A2 , . . . , An } è per definizione il rango della matrice completa, mentre dim Span{A1 , A2 , . . . , An , b} è il rango della matrice incompleta. Questo conclude la dimostrazione.
Osservazione. È più facile comprendere la teoria che sta alla base del
teorema di Rouché-Capelli se si pensa alle applicazioni lineari. Consideriamo
ad esempio il sistema

 x + 2z = 3
2x + y + z = 0
(1)

3x + y + 3z = 3
La matrice completa associata al sistema

1 0 2
(A|b) =  2 1 1
3 1 3
è:

3
0 .
3
Consideriamo ora l’applicazione lineare LA : R3 → R3 associata alla
matrice incompleta del sistema:


1 0 2
A =  2 1 1
3 1 3
e ci chiediamo se il vettore (3, 0, 3) appartiene a Im (LA ). Questo equivale
a cercare un vettore (x, y, x) tale che LA (x, y, z) = (3, 0, 3), cioè dobbiamo
cercare un vettore (x, y, z) tale che A(x, y, z) = (3, 0, 3), cioè tale che
  

3
x + 2z
 2x + y + z  =  0  ,
3
3x + y + 3z
cioè dobbiamo risolvere il sistema (1). (Si noti che abbiamo in qualche
modo trasformato il problema di risolvere un sistema lineare in un problema riguardante l’immagine di una applicazione lineare, e questo si può fare
sempre, in tutta generalità.)
3
Quindi il sistema (1) ha soluzioni se e solo se (3, 0, 3) ∈ Im (LA ). Poichè
Im (LA ) è lo span delle colonne di A, questo succede se e solo se
     
       
2
3 
2
3
3 
 3
 3
Span  2  ,  1  ,  1  = Span  2  ,  1  ,  1  ,  0 




3
1
3
3
1
3
3
e questo succede se e solo se quei due Span hanno la stessa dimensione. Ma
la dimensione del primo Span è proprio il rango di A, cioè della matrice
incompleta, e la dimensione del secondo Span è proprio il rango di A|b, cioè
della matrice completa.
Definizione 1.3. Sia A x = b un sistema lineare. A x = 0 è detto il sistema
omogeneo associato al sistema A x = b.
Teorema 1.4. (Teorema di struttura per sistemi lineari.) Sia v0 una soluzione particolare del sistema lineare A x = b. Allora tutte e sole le soluzioni
di A x = b sono della forma v = v0 + w, ove w è una soluzione del sistema
omogeneo associato A x = 0 .
Dimostrazione. Consideriamo l’applicazione lineare LA : Rn → Rm associata
alla matrice A e osserviamo che v è una soluzione del sistema lineare A x = b
se e solo se LA (v) = b, e w è una soluzione del sistema lineare associato
A x = 0 se e solo se LA (w) = 0. Quindi per ipotesi LA (v0 ) = b.
Sia ora v una soluzione di A x = b. Allora LA (v) = b e si ha che v =
v 0 + (v − v 0 ), ove w = v − v 0 è una soluzione del sistema omogeneo associato,
infatti LA (v − v 0 ) = LA (v) − LA (v 0 ) = b − b = 0.
Viceversa, se w è una soluzione del sistema omogeneo associato (e quindi
per ipotesi LA (w) = 0), allora v = v 0 +w è una soluzione del sistema A x = b,
infatti LA (v) = LA (v 0 + w) = LA (v 0 ) + LA (w) = b + 0 = b, come volevasi
dimostrare.
Osservazione. Nel caso del sistema (1), troviamo le soluzioni. La matrice
completa ridotta a scala diventa:


1 0 2
3
 0 1 −3 −6 .
0 0 0
0
Si vede facilmente che le soluzioni dipendono da 3 − 2 = 1 parametro, e sono
{(−2s + 3, 3s − 6, s)|s ∈ R}.
4
Troviamo ora le soluzione del sistema
incompleta è

1 0

A= 2 1
3 1
omogeneo associato. La matrice

2
1 ,
3
che ridotta a scala diventa:


1 0 2
 0 1 −3 .
0 0 0
Si vede facilmente che le soluzioni dipendono da 3 − 2 = 1 parametro, e sono
{(−2s, 3s, s)|s ∈ R}.
Quindi si ha che
{(−2s + 3, 3s − 6, s)|s ∈ R} = {(−2s, 3s, s)|s ∈ R} + (3, −6, 0)
e (3, −6, 0) è una soluzione particolare del sistema (1), quella ottenuta per
s = 0 (per convincersene basta sostituire).
Teorema 1.5. Sia A x = 0 un sistema lineare omogeneo in n incognite e
sia r = rk (A). Allora lo spazio vettoriale Z delle soluzioni del sistema ha
dimensione n − r. In particolare se n = r si ha che Z = {0}, cioè il sistema
ha solo la soluzione nulla.
Dimostrazione. Sia LA : Rn → Rm l’applicazione lineare associata alla
matrice A. Si ha che rk (A) = dim Im (LA ) e Z = ker(LA ). Per il teorema
della dimensione si ha che dim Z = dim ker(LA ) = dim Rn − dim Im (LA ) =
n − r. Se n = r si ha che dim ker(LA ) = 0, quindi Z = {0}.
Teorema 1.6. (Teorema di Rouché-Capelli.)Il sistema lineare Ax = b di m
equazioni in n incognite ammette soluzioni se e solo se rk (A) = rk (A|b).
Inoltre, se rk (A) = rk (A|b) = r, allora le soluzioni dipendono da n − r
parametri.
Dimostrazione. La prima parte dell’enunciato è il teorema 1.2, che abbiamo
già dimostrato. Possiamo quindi supporre che il sistema abbia soluzioni. Per
il teorema 1.4 le soluzioni del sistema lineare A x = b sono “tante quante”
quelle del sistema omogeneo associato A x = 0; e per il teorema precedente
queste soluzioni dipendono da n − rk (A) parametri.
5
Riassumendo:
A. Un sistema lineare A x = b di m equazioni in n incognite pu? essere:
- Risolubile (ci? accade se e solo se rk (A) = rk (A|b)).
- Non risolubile (ci? accade se e solo se rk (A) < rk (A|b)).
B. Se il sistema è risolubile e r = rk (A) = rk (A|b) il sistema ha n − r
incognite libere. In particolare:
- Se n = r c’è una sola soluzione;
- se n > r ci sono infinite soluzioni, che dipendono da n − r parametri
indipendenti.
2
Tecniche di calcolo
Per risolvere un sistema lineare omogeneo A x = b si considera la matrice
completa (A|b) e la si riduce ad una matrice a scala (A′ |b′ ). Il sistema lineare
ad esso associato è equivalente al sistema A x = b, perché le operazioni
elementari sulle righe non cambiano l’insieme delle soluzioni.
Sia r ′ il numero di righe non nulle di A′ . Osserviamo che r ′ è il rango per
righe di A′ , cioè è la dimensione dello spazio vettoriale generato dalle righe
di A′ , ed è anche il rango per righe di A, perché le operazioni elementari sulle
righe non cambiano lo Span delle righe.
Se anche (A′ |b′ ) ha r ′ righe non nulle allora il sistema è risolubile, altrimenti il sistema non ammette soluzioni (e quest’ultima situazione in pratica
si verifica perch? l’ultima equazione del sistema associato alla matrice a scala
(A′ |b′ ) diventa del tipo 0 = b′r′ +1 , e b′r′ +1 è un numero diverso da zero).
Se il sistema è risolubile, allora si possono ricavare le r ′ incognite corrispondenti ai pivot non nulli di A in funzione delle rimanenti n−r ′ incognite,
alle quali si possono assegnare valori a piacere.
Osservazione 2.1. Si ha cosı̀ che le soluzioni del sistema dipendono da n−r ′
parametri liberi, ove r ′ è il rango per righe di A. Poiché sappiamo anche che il
numero di parametri liberi sono n − rk (A) (vedere l’osservazione precedente)
segue che r ′ = r, cioè la dimensione dello spazio generato generato dalle righe
di A è uguale alla dimensione dello spazio generato generato dalle colonne di
A.
6
Esercizio 1: Si trovino le soluzioni del seguente sistema:

 x1 − x2 + 3x3 + x5 = 2
2x1 + x2 + 8x3 − 4x4 + 2x5 = 3

x1 + 2x2 + 5x3 − 3x4 + 4x5 = 1
La matrice completa associata

1

(A|b) = 2
1
al sistema è:

−1 3 0 1 2
1 8 −4 2 3 ,
2 5 −3 4 1
che ridotta a scala diventa:


1 −1 3 0 1 2
(A′ |b′ ) = 0 3 2 −4 0 −1 ,
0 0 0 1 3 0
mentre la matrice incompleta di (A′ |b′ ) è:


1 −1 3 0 1
A′ = 0 3 2 −4 0 .
0 0 0 1 3
Entrambe le matrici hanno r ′ = 3 righe non nulle, quindi il sistema è risolubile, e le soluzioni dipendono da n − r ′ = 5 − 3 = 2 parametri.
I pivots non nulli della matrice sono quelli relativi a x1 , x2 e x4 , quindi
possiamo ricavare queste incognite in funzione delle rimanenti x3 e x5 .
Il sistema associato alla matrice a scala (A′ |b′ ) è:

 x1 − x2 + 3x3 + x5 = 2
3x2 + 2x3 − 4x4 = −1

x4 + 3x5 = 0
Posto x3 = s, x5 = t otteniamo: x4 = −3t, x2 = − 23 s − 4t − 13 , x1 =
− 5t + 35 .
Le soluzioni sono quindi − 11
s − 5t + 53 , − 32 s − 4t − 13 , s, −3t, t |s, t ∈ R .
3
− 11
s
3
Esercizio 2: Si trovino le soluzioni del seguente sistema:

 x1 − x2 + x3 = 2
2x1 − x2 + 3x3 = −1

x1 + 2x3 = 1
7
La matrice completa associata al

1

(A|b) = 2
1
sistema è:

−1 1 2
−1 3 −1 ,
0 2 1
che ridotta a scala diventa:


1 −1 1 2
(A′ |b′ ) = 0 1 1 −5 ,
0 0 0 4
mentre la matrice incompleta di (A′ |b′ ) è:


1 −1 1
A′ = 0 1 1 .
0 0 0
Il sistema non ammette soluzioni, perch? A′ ha r ′ = 2 righe non nulle, mentre
(A′ |b′ ) ha 3 righe non nulle. Infatti il sistema associato a (A′ |b′ ) è

 x1 − x2 + x3 = 2
x2 + x3 = −5

0=4
che chiaramente non ammette soluzioni.
Esercizi
1. Data l’applicazione lineare T : R4 → R3 definita da:
T (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (x1 +k 2 x2 +kx3 +x4 , 4x1 −3kx2 +2x3 +2x4 , kx2 −2kx2 −x3 +x4 )
stabilire per quali valori di k il vettore (1, 2k 2 , 4k) appartiene a Im (T ).
2. Data l’applicazione lineare T : R3

3k
A= 1
1
8
→ R3 associata alla matrice:

3 k+2
k
k ,
2
2
stabilire per quali valori di k il vettore (k + 2, 1, k + 1) appartiene a
Im (T ).
Posto k = 1 trovare tutti i vettori (x, y, z) tali che T (x, y, z) = (k +
2, 1, k + 1).
Posto k = 3 trovare tutti i vettori (x, y, z) tali che T (x, y, z) = (k +
2, 1, k + 1).
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