Esercizio 1 Sia R[x] l`anello dei polinomi a coefficienti reali e siano a

Esercizio 1 Sia R[x] l’anello dei polinomi a coefficienti reali e siano
a(x) = x2 − 1
b(x) = x3 − 3x2 + 2x
Determinare un M.C.D.(a(x), b(x)) = d(x) e un m.c.m.(a(x), b(x) = m(x) tali che:
a(x)b(x)
= m(x)
d(x)
Esercizio 2 Siano R, Q e Z rispettivamente, il campo dei numeri reali, il campo dei numeri razionali e
l’anello degli interi.
Si determinino le decomposizioni in fattori irriducibili del polinomio
a(x) = x4 − x2 − 2,
negli anelli di polinomi R[x] e Q[x]
e Z[x].
Esercizio 3 Nell’anello R [x] dei polinomi a coefficienti reali si considerino i due polinomi
a(x) = x3 + 6x2 + 11x + 6 e b(x) = 3x + 3.
Si dica, giustificando brevemente la risposta, se le seguenti affermaziono sono V (vere), F (false):
a. b(x) è un polinomio irriducibile in R [x] .
b. a(x) ammette radici doppie in R
c. M.C.D.( a(x), b(x)) = 5(x + 1).
Esercizio 4 Sia R[x] l’anello dei polinomi a coefficienti reali e siano
f (x) = x3 − 3x2 − x + 3
g(x) = x3 − x2 − 9x + 9
due polinomi di R[x].
Giustificando brevemente la risposta si dica se sono V(vere), F(false) le seguenti affermazioni:
a) M.C.D.(f (x), g(x)) = 3(x − 1)
b) f (x) possiede 3 radici semplici
c) g(x) è irriducibile.
Esercizio 5 Sia R [x] l’anello dei polinomi a coefficienti reali e siano
a(x) = x3 + 4x2 + x − 6
e
b(x) = 4x − 4
due polinomi di R [x]. Si mostri che M.C.D.(a(x), b(x)) è un polinomio irriducibile di R [x] .
Esercizio 6 Nell’anello dei polinomi a coefficienti reali R[x] si considerino i due polinomi:
a(x) = x3 + x2 + 2x + 2,
b(x) = 2x3 − 3x2 − 2x + 3
a.] Si determini un M CD((a(x), b(x)) e lo si esprima come combinazione lineare di a(x) e di b(x).
b.] Si scomponga a(x) e b(x) nel prodotto di polinomi irriducibili.
Esercizio 7 Nell’anello dei polinomi a coefficienti reali R[x] si considerino i due polinomi:
a(x) = x3 − 3x2 + x − 3,
b(x) = 4x3 − 12x2 − x + 3
a.] Si determini un M CD((a(x), b(x)) e lo si esprima come combinazione lineare di a(x) e di b(x).
b.] Si scomponga a(x) e b(x) nel prodotto di polinomi irriducibili.
Esercizio 8 Sia R[x] l’anello dei polinomi a coefficienti reali e siano
a(x) = x4 + 3x3 − x2 − 9x − 6
b(x) = x2 − 3
i) Si determinino quoziente e resto della divisione di a(x) per b(x).
ii) Si esibisca una decomposizione di a(x) in fattori irriducibili in R[x].
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