Su una particolare classe di funzioni spaziali armoniche ortonormali

A NNALI
DELLA
S CUOLA N ORMALE S UPERIORE DI P ISA
Classe di Scienze
B RUNO F ORTE
Su una particolare classe di funzioni spaziali armoniche
ortonormali nel cerchio z = 0, x2 + y2 ≤ a2
Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa, Classe di Scienze 3e série, tome 11,
no 3-4 (1957), p. 265-277.
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SU UNA PARTICOLARE CLASSE DI FUNZIONI
SPAZIALI ARMONICHE ORTONORMALI
NEL CERCHIO z=0,x2+y2~a2.
di BRUNO FORTE
(Pisa)
procedimcnto indiretto si determinano, stabilendo per essi formule ~~icorrenti, i
combinazioni lineari che trasformano in un sistema ortonortnale sul cerchio
delle
coefficienti
x2 + y2 --, a2 una certa classe di polinomi, introdotta anni or sono (1) per la risoluzione
di particolari problemi armonici. La loro conoscenza si è già mostrata utile in alcune que-
SOMMARIO : Con
8tioni ooncrete
(2).
PREMESSE. Si riferisca lo spazio ad una terna cartesiana trirettangola Oxyz ; si consideri poi sul piano z = 0 il cerchio a di centro 0 e
raggio a. Posto
1.
-
pensi distribuita su a una massa positiva con densità ,us , essendo s il
generico elemento della successione
1 ? 1 , 3 ,... 2 rc -1,.... Sia Ps (x, y, z)
il corrispondente potenziale newtoniano
si
-
le cui determinazioni nei
olinomi Vsx~y)
punti di ci
(i) Cfr. nota bibliografica [1].
(2) Cfr. [2].
pag. 3.
pag. 7.
rappresentate,
come
I coefficienti di tali
di
resi ealcolabili da formule ricorrenti
(3) Cfr. [1],
(4) Cfr. [1],
sono
(4),
è noto
(3),
polinomi
da
sono
che li individuano univocamente.
266
°
Allo scopo di avere un efficace strumento per la risoluzione di certi
problemi armonici dello spazio e del seinisl)azio, si è ravvisata l’utilità di
determinare una classe di funzioni armoniche, che siano combinazioni lineari
dei potenziali Fg sopra citati e le cui determinazioni polinomiali su 6 costituiscano un sistema ortonormale su (J medesimo.
Per ottenere un’unica formula generale esplicita che consenta il calcolo
immediato di tutti i coefficienti delle cercate combinazioni lineari, si è seguito
un procedimento indiretto~ sostanzialmente equivalente al classico procedimento di Schmidt (5) ma che, utilizzando proprietà ben note dei polinomi
di Legendre, consente di giungere più rapidamente al risultato. Esso consiste nel considerare anzitutto un sistema di polinomi
(t = 2013 1,1~3,...)
di
2
delle
in 2
y
ortonormale sul cerchio
e
e
completo per l’approssi-
funzioni di Q2 definite e sommabili su a medesimo, sistema
mazione
che è facilmente deducibile da quello dei polinomi di Legendre. Posti poi
in relazione i coefficienti, conosciuta dei due termini di grado più elevato
riesce possibile innei polinomi (Vsj con i corrispondenti nei polinomi
tuire 1’espressione di tutti i coefficienti di combinazione, di cui si dimostra
successivamente la validità col metodo di induzione completa.
2.
-
Il sistema di
polinomi
Il cambiamento di variabile
(Ft
ortonormale
e
completo
sul cerchio
o.
rappresentato dalla relazione :
trasforma il sistema dei polinomi di Legendre (Li (x» , ortogonale sull’intervallo (- 1 , + 1) e completo per l’approssimazione delle funzioni f (x) definite
e sommabili su detto intervallo, in un sistema di polinomi 1 Qt (p2». Il sistema di polinomi (Qt) è ortogonale sn a, è infatti
è inoltre completo per rapprossimazione delle funzioni di O2 ,definite e sommabili sul cerchio o ; basta, per provarlo, ripetere punto per punto il pro-
(5)
Cfr.
[3J,
pagg.
49, 50,
cap.
II,
1,
n.
1
e
2.
267
cedimento ben noto (6) con cui si dimostra la completezza del sistema dei
polinomi di Legendre.
È utile per il seguito caratterizzare con un’unica formula, il generico
coefficiente dei polinomi(Qt) . Per questo si prendano
considerazione 17e"
in
quazione differenziale
cui soddisfano i
singoli polinomi
che intercorre tra il
e
sistema
generico polinomio Qt
in
spettivamente,
deducono dalla
del
e
e
il
la helazione differenziale
polinomio Qt-2
~O2 , L’equazione (2-3)
e
di
grado,
la relazione
(2-4)
ri-
si
equazione differenziale (7)
dalla relazione differenziale
(8) :
relative ai polinomi di Legendre, facendo uso del cambiamento di variabile
(2-1) che trasforma questi nei polinomi (Qt) .
Posto ora
applicando
alla
(2-4)
il
principio
di identità dei
(6) Cfr. [3] pagg. 65-68, cap. II, ~ 4,
(7) Cfr. [4], parte II, pag. 157.
(8) Cfr. [4], parte II, pag. 160.
n.
1,
e
pag.
82,
polinomi,
cap.
si ha :
II, ~ 8,
n.
1.
268
Si consideri
poi
la relazione differenziale :
conseguenza elementare delle
In forma
mentre la
dalla
più esplicita
(2-8)
si
può
quale discende,
dalla
(2-3)
(2-10)
e
(2-4).
Da
essa
si trae la relazione
si ha
scrivere nella forma
in virtù della
(2-11) (ove si ponga t =
2 h
- 1) :
Tale ultima relazione contiene anche la precedente (2-11) e consente, come
voluto9 il calcolo immediato di tutti i coefficienti qt,h dei polinomi ( Q~) . I
coefficienti qt,h risultano cos individuati a meno del fattore, del tutto inessenziale, q_1,o . Nel seguito si assumerà, per brevità di calcolo, q_l,o = 1 .
Dal sistema ortogonaleQt~ si passa ora ad un sistema di polinomi in
e2, ~ht~ ~ ortogonale e normale su a, ponendo :
·
e
vincolando
1’t
alla condizione
269
Il fattore di normalizzazione lvt che figura nella (2-14) si determina facendo ricorso alla (.2-4). Da essa infatti si deduce per integrazione, dopo
averne moltiplicato primo e secondo membro per Qt,
di
e
3.
qui,
osservato che
tenuta
-
presente l’ortogonalità
Una formula
di
Qt
generale relativa
e
a
ai coefficienti dei
quindi
anche
polinomi
Posto :
si può stabilire per il
nerale
che
generico
parallelamente alla (2-13)
in funzione dei due indici s
coefficiente acs,h la
seguente espressione ge-
assegna il valore del
h ...
e
generico coen ciente as,h
270
Per provare la validità della
che intercorrono tra i coefficienti
Per h =1 dalla
mentre per la
e
quindi
e
quando
(3-3)
(3-7)
polinomi VS
e
e
alla
-
2,
è
2
e
pag. 7.
=
0 e h
(3.9)
=
ora
1,
in
(3.6),
si ha:
i coefficienti dei termini in Q2 nei
che la (3-5) e la (3-10) non sono che
rispettivamente) della seguente relazione
(3-5), lega
V-2 . Si riconosce
particolare fh
generale :
[1].
-
successivamente
un caso
Cfr.
relazioni, già note (9),
(3 6) :
che, corrispondentemente
(9)
ad s si sostituisca s
ad s si sostituisca s
Sostituendo
si trascrivano le
si ha :
(3-5), quando
per la
(3-2)
271
la cui validità può dimostrarsi per induzione completa. A tal fine si supponga verificata la (3-11) quando ad h si sostituisca h -1:
La
(3-12) implica:
In virtù della
(3-12)
e
La
(3-14) implica poi :
Di
qui9
della
(3-13)
la
(3-3)
si scrive:
sostituendo nella
si ha
da tale relazione ricorrente si deduce
Teniamo
ora
conto della
sostituendo nella
rale di as,h:
(3-18)
(3-4), ponendovi s
=
2 h -1:
si ottiene in definitiva la cercata
espressione gene-
272
4.
Determinazione dei coeflicienti delle combinazioni lineari che tranel sistema ortogonale e completo
sformano il sistema
-
Ci si propone
lineari :
qui
che trasformano i
primi
di caratterizzare i
+ i
t2
ppolinomi
olinomi
Vs
coefficienti b’t
nel
delle combinazioni
polinomio Tr
polinomio
Ft
del sistema
or-
tonormale e completo su a precedentemente considerato. Ciò equivale ad individuare in maniera univoca e possibilmente con un’unica formula tutti gli
elementi della matrice triangolare doppiamente infinita :
ove
gli elementi
della t t 1 2
(4-1). Confrontando
compaiono a primo
si ponga s
=t),y
ma
riga"
sono
i coefficienti che
figurano nella
tra loro i coefficienti dei termini di grado t + 1
e secondo membro della (4-1), per la (2-11) e la
in e che
(3~4) (ove
si ha subito :
relazione che individua tutti i termini della diagonale principale della (4-2).
Si può ora trovare l’espressione generale del coefficiente bt-2 (t = -1,1,3 , ...)
confrontando i coefficienti dei termini di grado t -1 nella (4-1). Se si tengono presenti le (2-13) e (3-2), si ha:
273
quindi
(4-5)
e
Ricavate
cos , elementarmente,le espressioni
di btt e bt-2 t
possono ottenersi per particolari valori di s
s = t
2) dalla seguente espressione generale
-
della
7
(per s
:
= t
si osservi che
e,
esse
rispettivamente,
proveremo la validità facendo uso del metodo di induzione comla (4.6) basta far vedere che i valori da essa forniti
per i coefficienti b~ sono soluzioni del sistema di equazioni lineari :
quale
pleta. Per dimostrare
ottenute eguagliando i coefficienti dei termini simili nella (4-1). Si supporrà
perciò che i valori forniti dalla (4-6) rendano soddisfatte le eqnazioni
si dimostrerà che per essi risulta, di conseguenza, soddisfatta anche la
(4-7), ovvero che è, iden~ticamente,
e
ottenuta
esplieitando
la
(4-7)
tramite le
(4-6)
e
(3-2).
274
Per
facendo
conseguire più agevolmente lo scopo
della (2-13), in una relazione tra
uso
conviene tradurre la
i noti
(4-10),
coefficienti qt’8+1;
2
si
ha cos
Si tratterà quindi di dimostrare la validità di
per ipotesi, che sia :
ottenute
la (4-7).
operando sulle (4-8)
Nella
e
(4-9), analogamente
quest’nltima, assumendo,
a
quanto
si è fatto per
,
ipotesi
+ h
2
sia
pari,
alla
(4-7) si può dare
ancora la
forma :
e
ricordando che è :
dovrà, per dimostrare
finitiva, che è:
si
,
la
(4-7))
.1
,
1
nella
2
1-,...,-.-,
i
.--"
’
pari,provare,in de.
4
275
e
confrontando questa
quindi,
con
la
(4 13) :
ovvero :
tradotte dalle
che le
che porre nella forma:
ipotesi
mentre,
identico
Si osservi
(4.11),
con
dalla
Operando
si
ora
procedimento
(4-12) si ha:
snccessivamente sulla
moltiplichi
ora
primo
e
a
(4-12)
quello seguito
(4-20),
come
e
(4-13)
si possono
per dedurre la
(4-18)
an-
dalla
segue, si ha :
relazione
secondo membro di tale
19
e
si eguaglino quindi
i
per
-
1
primo
e
secondo membro della
primi membri delle relazioni
(4-20)
per
che cos
si
t
+2 h + 3
ottengono, si
avrà
con
ciò :
276
e
sommando
questa,
membro
a
membro,
con
l’identità :
si avrà :
e
quindi,
in
definitiva,
ricordando la
(4-21)
e
che per
è h
ipotesi
=1= t +2
1,
quanto si voleva dimostrare :
Si riconosce poi, facilmente, che, agli effetti della completa riprova della
validità della (4-7) quando ai b’t si attribuiscano i valori assegnati dalle re.
lazioni generali
(4-6), l’ipotesi
della
infatti, dimostrata la validità della
virtù delle:
la
parità di-
(4-18)
t+ 2 1 + h
2
non
è simultaneamente
è
restrittiva .’
dimostrata,
seguente identità :
ove
è
dispari
e
che
corrisponde
alla
(4-18)
nel
caso
dispari.
in
277
5.
La particolare classe di funzioni armoniche nello
mali sul cerchio a .
-
La
generica funzione
spazio,
ortonor-
,
Vs ?
combinazione lineare delle funzioni armoniche
considerate in (1), secondo
i coefficienti bs ty caratterizzati in (4), si identifica su o con il polinomio I’t (g2).
Il sistema formato dalle funzioni
è quindi la cercata classe di funzioni
armoniche nello spazio, ortonormali sul cerchio z
0 ,x2 + y2 C a2.
=
NOTA BIBLIOGRAFICA
[1] - C. CATTANEO : « Sul calcolo di alcuni potenziali e sul
particolari problemi armonici », Atti del Sem. Matem.
dena,
[2] [3] -
Vol.
III,
loro intervento nella risoluzione di
e Fisico della Università di Mo-
1948-49.
C. CATTANEO : « Sulla torsione di due sfere elastiche a contatto », Annali della Scuola
Normale Superiore di Pisa, Serie III, Vol. VI, Fasc. 1-2, 1952.
R. COURANT
AND
D. HILBERT: Methods
of Mathematical Physics, Interscience Publ.
Inc., New-York, 1953.
[4]
G. VITALI
e
G. SANSONE : Moderna Teoria delle
1946.
chelli, Bologna,
funzioni
di variabile
reale,
II
ed.,
Zani-