Integrale di Riemann

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INTEGRALE DI RIEMANN
1
1
DEFINIZIONE DI INTEGRALE DI RIEMANN
Integrale di Riemann
Indice
1 Definizione di integrale di Riemann
1
2 Condizioni di esistenza dell’integrale di Riemann
3
3 Proprietà dell’integrale di Riemann
4
4 Calcolo dell’integrale
4.1 La funzione integrale . . . . . . . . . . . . .
4.2 Il teorema fondamentale del calcolo . . . . .
4.3 Integrale di una f definita a tratti . . . . .
4.4 Funzione integrale di una f definita a tratti
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5
5
6
8
8
5 L’integrale di Riemann generalizzato
5.1 Integrale generalizzato su intervallo non limitato
5.2 Criteri di convergenza . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Integrale generalizzato di funzione non limitata .
5.4 Criteri di convergenza . . . . . . . . . . . . . . .
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9
10
12
14
16
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6 Soluzioni degli esercizi
1
18
Definizione di integrale di Riemann
Definizione Sia [a, b] in intervallo chiuso e limitato. Chiamiamo partizione di [a, b] un sottoinsieme finito
{x0 , x1 , . . . , xN }
di punti di [a, b] tali che a = x0 < x1 < . . . xN = b. 1 L’insieme di tutte le possibili partizioni di [a, b] (ovviamente
sono infinite) verrà indicato con P[a, b].
a
b
...
x0 x1
xN
x2 x3
b
b
b
b
b
Definizione Supponiamo in [a, b] sia definita una funzione f : [a, b] → R e che f sia limitata.
Ad ogni partizione P = {x0 , x1 , . . . , xN } di [a, b] possiamo associare la somma inferiore s(P ) e la somma
superiore S(P ) di Riemann, definite da
s(P ) =
N
X
i=1
e
f (x)
e
mi xi − xi−1
S(P ) =
N
X
i=1
Mi xi − xi−1 ,
dove
mi =
inf
x∈[xi−1 ,xi ]
Mi =
sup
f (x).
x∈[xi−1 ,xi ]
Le figure che seguono cercano di illustrare la costruzione di una somma inferiore e di una somma superiore di Riemann
per una funzione data.
1 È chiaro che l’insieme {x , x , . . . , x } è fatto da N + 1 punti e che questi punti con le caratteristiche richieste suddividono [a, b] in N
0
1
N
sottointervalli.
A. Peretti – Corso di Matematica
UNIVR – Sede di Vicenza
1
a x1
x2
x3
2
DEFINIZIONE DI INTEGRALE DI RIEMANN
x4
a x1
b
Somma inferiore di Riemann
x2
x3
x4
b
Somma superiore di Riemann
Osservazione Nelle due figure sono rappresentate geometricamente la somma superiore e la somma inferiore di una
funzione positiva, relative alla partizione {a, x1 , x2 , x3 , x4 , b}. Si osservi infatti che ad esempio le quantità mi xi −xi−1
forniscono l’area dei rettangoli inscritti della figura di sinistra. Quindi la somma inferiore di Riemann fornisce l’area
dell’unione di tutti i rettangoli inscritti, relativi alla data partizione.
Rb
Rb
Si definiscono ora integrale inferiore f e integrale superiore a f di Riemann di f in [a, b] rispettivamente
a
Z
b
f=
a
sup s(P )
Z
e
P ∈P[a,b]
b
f=
a
inf
P ∈P[a,b]
S(P ).
Osservazione Quindi l’integrale inferiore si ottiene considerando l’insieme di tutte le possibili somme inferiori e
prendendo di questo insieme (di numeri reali) l’estremo superiore. Invece l’integrale superiore si ottiene considerando
l’insieme di tutte le possibili somme superiori e prendendo di questo insieme l’estremo inferiore. Naturalmente nessuno
ci garantisce che cosı̀ facendo otteniamo la stessa quantità. Si consideri anche che almeno uno dei due potrebbe essere
infinito.
Si può dimostrare che in generale
Z
b
a
f≤
Z
b
f.
a
Rb
Rb
Ecco ora l’ultimo passo della definizione: se f = a f , diremo che f è integrabile secondo Riemann in [a, b]
a
e chiameremo integrale di Riemann di f in [a, b] il valore comune degli integrali inferiore e superiore di f , e lo
Rb
indicheremo con a f . 2 Per distinguerlo dall’integrale indefinito, questo viene spesso detto integrale definito.
Osservazione Riflettendo sulla definizione di integrale di Riemann, ci si può
convincere che l’integrale ha in qualche modo a che fare con l’area della regione
di piano sottesa dal grafico di f . È bene ricordare che l’area è una quantità
positiva e che quindi quanto detto è vero solo se la f è non negativa nell’intervallo. Quindi l’integrale di una f non negativa è l’area della regione sottesa dal
grafico di f (può essere questa un’interpretazione geometrica dell’integrale).
Se la f cambia segno, non è vero che l’integrale sia l’area della regione sottesa
dal grafico di f . In tali casi si può comunque dire che l’integrale è l’area con
segno di questa regione, intendendo con area con segno l’area, eventualmente
cambiata di segno nelle regioni in cui la funzione è negativa.
a
b
Esempi
• Supponiamo che a ≤ c ≤ b, che f (c) = 1 e che f (x) = 0 se x 6= c. Allora f è integrabile secondo Riemann e
Rb
a f = 0.
2 Quando
nella scrittura di f appare esplicitamente l’indicazione della variabile si usa scrivere
indefiniti.
Rb
a
f (x) dx, come già visto con gli integrali
3
CONDIZIONI DI ESISTENZA DELL’INTEGRALE DI RIEMANN
Infatti, data una qualunque partizione P dell’intervallo [a, b], le somme inferiori relative a P sono nulle e le somme superiori si riducono ad un addendo (quello relativo
all’intervallo [xi−1 , xi ] in cui cade il punto c). Avremo perciò
s(P ) = 0
e
S(P ) = f (c) xi − xi−1 .
1
Rb
f = 0 e, prendendo l’estremo inferiore rispetto a tali partizioni, si ottiene
Quindi
a
Rb
a f = 0, da cui la conclusione.
• Sia f : [0, 1] → R definita da
f (x) =
1
0
b
|
2
b
bc
a
c
b
b
se x ∈ Q
se x ∈
/ Q.
Si può provare che f non è integrabile secondo Riemann. Infatti, per le proprietà dei razionali e dei reali, si può
provare che per ogni partizione P di [0, 1] si ha che
s(P ) = 0
per cui
2
Rb
a
f 6=
Rb
af
e
S(P ) = 1,
e quindi f non è integrabile secondo Riemann.
Condizioni di esistenza dell’integrale di Riemann
Data la complessità della definizione, non è facile capire se una funzione è integrabile secondo Riemann. Si pone allora
la seguente questione: ci sono proprietà di una funzione che assicurano la sua integrabilità? La risposta è affermativa.
Teorema Supponiamo che sia f : [a, b] → R. Se vale una delle condizioni seguenti:
(i) f è continua in [a, b];
(ii) f è monotona in [a, b];
(iii) f è limitata e ha un numero finito di punti di discontinuità in [a, b],
allora f è integrabile secondo Riemann.
Osservazione Ribadisco che queste condizioni sono singolarmente sufficienti per l’integrabilità. Ciascuna quindi,
indipendentemente dalle altre, garantisce l’integrabilità secondo Riemann della funzione.
Osservazione Il teorema permette di affermare che una grandissima parte delle funzioni, definite in un intervallo,
che solitamente incontriamo sono integrabili secondo Riemann. Ad esempio un qualunque polinomio, considerato in
un qualunque intervallo [a, b], lo è. Tutte le funzioni elementari, considerate in un intervallo [a, b] in cui risultano
definite, lo sono (sono funzioni continue).3 Anche la funzione f (x) = |x|, pur non essendo una funzione elementare, è
continua in qualunque intervallo chiuso e limitato e quindi integrabile secondo Riemann in tale intervallo. La funzione
x
x ∈ [0, 1)
f (x) =
x − 1 x ∈ [1, 2]
1
|
bc
è integrabile secondo Riemann in [0, 2], dato che, pur non essendo continua né
monotona, è limitata e ha un solo punto di discontinuità.
b
b
b
|
1
2
Un aspetto teoricamente rilevante è quello di individuare intere classi di funzioni integrabili. Le tre proprietà
appena viste forniscono come detto classi significative, ma non coprono tutte le possibilità. La proposizione che segue
individua una classe sufficientemente ampia e dice che se componiamo una funzione integrabile (interna) con una
funzione continua (esterna) otteniamo una funzione integrabile.
Proposizione Supponiamo che f sia integrabile secondo Riemann in [a, b] e che g sia continua in f ([a, b]).
g ◦ f è integrabile secondo Riemann in [a, b].
4
Allora
3 Si faccia attenzione: l’intervallo deve essere chiuso e limitato, almeno per ora. Quindi non possiamo dire ad esempio che ln x in (0, 1)
sia integrabile.
4 Che la g sia definita in f ([a, b]) ormai non dovrebbe disorientare lo studente: si tratta della solita ipotesi che garantisce la possibilità
di parlare di funzione composta g ◦ f , cioè g(f ).
3
4
PROPRIETÀ DELL’INTEGRALE DI RIEMANN
Osservazione Conseguenza della Proposizione è quindi ad esempio che la funzione x 7→ |f (x)| è integrabile se è
integrabile f , dato che la funzione t 7→ |t| è continua.
Osservazione Il teorema precedente contiene, come caso particolare, l’implicazione
f integrabile in [a, b] =⇒ f n integrabile in [a, b], per ogni n ∈ N.
È interessante chiedersi se è vero anche il viceversa, cioè se, sapendo che f n è integrabile, possiamo dire che anche
f lo è. Lo studente rifletta un po’, prima di leggere il seguito.
La risposta è che se n è dispari la cosa è vera, ma se n è pari può non esserlo.
Ad esempio, la funzione f : [a, b] → R definita da
f (x) =
1 se x ∈ Q
−1 se x ∈
/Q
non è integrabile in [a, b], mentre il suo quadrato, che è la funzione identicamente uguale a 1 in [a, b], lo è.5
3
Proprietà dell’integrale di Riemann
Teorema Supponiamo che [a, b] sia un intervallo chiuso e limitato e che f, g siano integrabili secondo Riemann in
[a, b]. Allora valgono le proprietà seguenti:
(i) (linearità) se c1 , c2 sono due costanti, allora c1 f + c2 g sono integrabili secondo Riemann in [a, b] e si ha
b
Z
(c1 f + c2 g) = c1
a
(ii) (monotonia) se f ≤ g, allora
Z
b
a
f≤
Z
Z
b
f + c2
a
Z
b
g;
a
b
g;
6
a
(iii) se a < c < b, allora
Z
a
(iv) se |f (x)| ≤ M , allora
(v) f g è integrabile secondo Riemann in [a, b];
b
f=
Z
a
c
f+
Z
b
f;
c
Z
b f ≤ M (b − a);
a (vi) |f | è integrabile secondo Riemann in [a, b] e
Z
b Z b
f ≤
|f |.
a a
Osservazione Il punto (vi) ribadisce quindi che se f è integrabile allora anche |f | lo è e aggiunge una disuguaglianza
tra gli integrali.
Osservazioni Supponiamo che a > 0 e che f sia integrabile secondo Riemann in [−a, a]. Si intuisce, e non sarebbe
difficile dimostrarlo, che
Ra
• se f è dispari, allora −a f = 0;
Ra
Ra
• se f è pari, allora −a f = 2 0 f .
p
p
che 3 f 3 = f , ma f 2 = |f |. Si veda anche, nella sezione che segue, le proprietà che coinvolgono il valore assoluto.
6 Non si confonda la monotonia di una funzione con la monotonia dell’integrale. Qui si parla di monotonia dell’integrale.
5 Ricordare
4
5
CALCOLO DELL’INTEGRALE
R1
Quindi, anche se non sappiamo ancora come calcolare gli integrali, possiamo dire che −1 x3 dx = 0, dato che
la funzione x 7→ x3 è integrabile (in quanto monotona, o continua) e dispari, cioè simmetrica rispetto all’origine.
R1
R1
Possiamo anche dire che −1 x2 dx = 2 0 x2 dx, ma quest’ultimo non lo sappiamo ancora calcolare.
È importante il seguente
Teorema (della media integrale). Supponiamo che f sia continua in [a, b]. Allora esiste c ∈ [a, b] tale che
Z b
Z b
1
f (c) =
f = (b − a)f (c).
f
oppure, analogamente,
b−a a
a
Z b
1
Il numero
f si chiama media integrale di f in [a, b].
b−a a
Osservazione Il teorema ha una semplice interpretazione geometrica:
scrivendo la tesi nella forma
Z b
f = (b − a)f (c)
f (c)
a
vi si legge che l’integrale è uguale all’area del rettangolo di base l’intervallo
[a, b] e altezza f (c). Attenzione che questa interpretazione geometrica vale se
possiamo identificare l’integrale con l’area, cioè se la f è positiva.
Osservazione La tesi può essere falsa in assenza dell’ipotesi di continuità di f .
Consideriamo la funzione f : [0, 2] → R definita da
1
2
se 0 ≤ x ≤ 1
se 1 < x ≤ 2.
2
3/2
1
La media integrale di f in [0, 2] è
1
2
Z
2
f=
0
3
,
2
bc
c
b
b
|
f (x) =
a
b
b
1
2
ma non esiste nessun punto c dell’intervallo [0, 2] in cui f (c) = 32 .
Osservazione Un’interessante questione è se l’annullarsi dell’integrale comporta necessariamente che la funzione sia
sempre nulla. Qualche studente forse dirà subito che questo è falso, ricordando uno degli esempi iniziali di calcolo
dell’integrale con la definizione (lo si cerchi). E noterà che in quell’esempio la funzione non era continua. Infatti la
continuità è importante in questo aspetto. Si potrebbe dimostrare che, se f è continua e non negativa in [a, b] e se
Rb
f = 0, allora f è identicamente nulla in [a, b]. Per esercizio lo studente verifichi che la conclusione può essere falsa
a
se si omette l’ipotesi di non negatività di f o quella di continuità.
4
Calcolo dell’integrale
La definizione di integrale non è comoda per il calcolo operativo degli integrali. Occorre un metodo di calcolo più
efficace, e tra poco lo otteniamo.
4.1
La funzione integrale
Sia f una funzione integrabile nell’intervallo [a, b]. A partire da f possiamo definire una nuova funzione, che associa
ad ogni x ∈ [a, b] l’integrale di f tra a e x, cioè
Z x
F (x) =
f , per ogni x ∈ [a, b].
a
Se vogliamo scrivere esplicitamente nell’integrale anche la variabile di integrazione è bene fare in modo di non
confondere questa con la variabile della funzione F , cioè x. Si scrive allora
Z x
f (t) dt , per ogni x ∈ [a, b].
F (x) =
a
4
6
La si veda cosı̀: per ogni x fissato in [a, b], t varia tra a e x ed è la variabile di integrazione.
Questa nuova funzione F si chiama funzione integrale di f in [a, b] ed è una funzione molto importante.
a
←x→
b
La figura qui sopra illustra che il valore della funzione integrale in x (di una funzione non negativa) è l’area sottesa
dal grafico tra a e x, al variare di x.
Osservazione Si può dimostrare che la funzione integrale F di una funzione integrabile f è una funzione continua
(nell’intervallo in cui è definita). Quindi, anche se f non è continua, la sua funzione integrale lo è. Si potrebbe dire
che la funzione integrale è più regolare della funzione da cui proviene. Questa particolarità della funzione integrale è
confermata anche dal seguente importantissimo teorema.
4.2
Il teorema fondamentale del calcolo
Teorema (fondamentale del calcolo). Supponiamo che f sia integrabile in [a, b] e che F sia la sua funzione integrale.
Valgono le proprietà seguenti:
(i) se f è continua in [a, b], allora F è derivabile e F ′ = f in [a, b];
(ii) se f è continua in [a, b] e G è una qualunque primitiva di f in [a, b], allora
Z b
f = G(b) − G(a).
a
Osservazione Il punto (i) del teorema afferma quindi che se f è continua allora la sua funzione integrale è una sua
primitiva. La funzione costruita con l’integrale di f è una funzione che ha per derivata f (legame profondo tra derivata
e integrale).
Il punto (ii) del teorema fondamentale fornisce invece un comodo metodo per il calcolo dell’integrale di Riemann
Rb
f (x) dx. Dice infatti che, se conosciamo una primitiva G di f in [a, b], allora l’integrale è dato da G(b) − G(a). È
a
chiaro che la parte difficile sta nel calcolo della primitiva che, abbiamo visto, può non essere banale.
Rb
Osservazione Nel calcolo dell’integrale a f (x) dx, dopo aver trovato una primitiva G di f , per indicare che si
applica il teorema fondamentale e si calcola la variazione della primitiva agli estremi dell’intervallo, si scrive
Z b
b
f (x) dx = G(x) , che sta ad indicare appunto G(b) − G(a).
a
a
Vediamo allora qualche esempio di calcolo di integrale definito.
Esempi
• Calcoliamo
• Calcoliamo
R1
−1
x2 dx. Si ha
R1 √
3
0
Z
1
2
1
1
x3 = .
= − −
x dx =
3 −1 3
3
3
−1
1
7
x dx. Si ha
Z
0
7 Per
2
1
√
3
x dx =
Z
0
1
x1/3 dx =
1
x4/3 3
= .
4/3 0 4
quanto detto in precedenza sugli integrali di funzioni pari o dispari, si poteva anche fare
1
Z 1
Z 1
x3 2
x2 dx = 2 ·
x2 dx = 2
= 3.
3
0
−1
0
4
• Calcoliamo
Re
1
ln x dx. Si ha (ricordo che l’integrazione di ln x si fa per parti)
Z
e
1
• Calcoliamo
R1
7
−1
e
ln x dx = (x ln x − x) = 1.
1
2
xe−x dx. Ricordando che
si ha
Z
2
xe−x dx = −
1
2
Z
2
2
1
(−2)xe−x dx = − e−x + c,
2
1
2
2 1
1
xe−x dx = − e−x = 0.
2
−1
−1
Z
Il risultato era prevedibile, dato che la funzione è dispari e l’intervallo è simmetrico rispetto all’origine.
Esempio Per concludere questa sezione vediamo come si può scrivere l’espressione di una funzione integrale. Con2
sideriamo ancora la funzione f (x) = xe−x nell’intervallo [−1, 1]. Troviamo l’espressione della funzione integrale di f
in tale intervallo. Dalla definizione di funzione integrale abbiamo
Z x
Z
2
2 x
2
1 x
1
1
−t2
F (x) =
te
dt = −
(−2)te−t dt = − e−t = − e−x − e−1 .
2
2
2
−1
−1
−1
A verifica del teorema fondamentale, possiamo osservare che calcolando la derivata di F otteniamo
2
2
1
F ′ (x) = − e−x · (−2x) = xe−x = f (x).
2
Non approfondisco molto questo aspetto, ma per evitare che qualche studente perda inutilmente del tempo nel
calcolo di qualche integrale (talvolta per fare qualche esercizio in più ci si inventa una funzione e si prova ad integrarla)
avverto che ci sono funzioni che non si possono integrare. Chiarisco il significato: ci sono funzioni che non hanno
primitive “elementari”. Ogni funzione
R x continua ha primitive, in conseguenza del teorema fondamentale del calcolo: se
f è continua in [a, b] allora F (x) = a f è una primitiva di f , solo che non è detto che se f è una funzione ottenuta con
composizione di funzioni elementari tale primitiva sia ancora una funzione esprimibile attraverso funzioni elementari.
2
Ci sono funzioni “elementari” per cui si può dimostrare che la primitiva non è “elementare” e f (x) = e−x è la più
R
2
2
x
“famosa” tra queste.8 Quindi possiamo certamente dire che F (x) = 0 e−t dt è una primitiva di e−x in tutto R, ma
non possiamo esprimere F mediante funzioni elementari (per esprimerla non possiamo fare a meno di usare l’integrale).
Esercizio 4.1
Calcolare i seguenti integrali di Riemann.
Z 1
Z 7/2
√
1
√
(a)
dx
x dx
(b)
3
1
+ 2x
0
0
Z 2
Z 1/10
1
(c)
e1−x dx
(d)
dx
1 + 10x
1
0
Z 4 √x
Z 1
e
x3
√ dx
dx
(f)
(e)
4
1
+
x
x
1
0
Z e√
Z 1 p
ln x
(h)
(g)
x2 1 + x3 dx
dx
x
1
0
Z e
Z 2
x
2
dx
(i)
x ln x dx
(j)
1
+
x2
1
1
Z −2
Z 3
1
1
dx
(k)
dx
(l)
2
−3 x(x + 1)
2 x(x − 1)
8 Nemmeno ex
probabilità.
2
ha primitive elementari, ma “quella col meno” è più famosa, essendo una funzione fondamentale nella teoria della
4
4.3
8
Integrale di una f definita a tratti
Se dobbiamo calcolare l’integrale di una funzione definita a tratti basta utilizzare la proprietà (iii) dell’integrale di
Riemann, quella che afferma che se ho una partizione dell’intervallo di integrazione, il calcolo dell’integrale può essere
scomposto nella somma di più integrali, ciascuno dei quali su di un sottointervallo della partizione.
Vediamo allora come si procede in un paio di semplici esempi.
Z 2
• Se dobbiamo calcolare
|x2 − x| dx, dobbiamo anzitutto osservare che la funzione x 7→ x2 − x cambia segno
0
nell’intervallo di integrazione e quindi (dalla definizione di valore assoluto) si ha
f (x) =
x2 − x
x − x2
se x ∈ (−∞, 0] ∪ [1, +∞)
se x ∈ (0, 1).
Pertanto, usando la proprietà (iii) dell’integrale, possiamo scrivere
Z
0
2
2
|x − x| dx
Z
=
1
0
2
(x − x ) dx +
Z
2
1
y
2
(x − x) dx
2
1 3
2
x3 x2 x
x2
+
−
−
=
2
3 0
3
2 1
1 1
1 1
8 4
−
=
− +
−
−
2 3
3 2
3 2
= 1.
x
1
2
y
2
• Se dobbiamo calcolare l’integrale in [−1, 2] della funzione

 x+1
f (x) =
−x

x
1
−1 ≤ x ≤ 0
0<x≤1
1 < x ≤ 2,
b
f (x) dx
Z
0
=
=
1
2
0
x2 x2 x2
+
+x −
2
2 0
2 1
−1
3
.
2
=
−1
(x + 1) dx +
−1
Z
1
(−x) dx +
0
bc
x
bc
1
−1
2
b
−1
(lo studente dica perché questa funzione è integrabile) possiamo scrivere
Z
b
Z
2
b
2
x dx
1
Un utile esercizio è verificare il risultato utilizzando il grafico di f e calcolando con la geometria elementare le
aree dei triangoli/quadrati individuati nella figura.
Osservazione Si potrebbe dimostrare rigorosamente, ma mi limito ad enunciare questa semplice ed intuitiva questione: il valore dell’integrale non dipende dai singoli valori che la funzione assume in qualche punto (diciamo in un
numero finito di punti). Ad esempio, nel caso appena visto della funzione definita a tratti, noi potremmo cambiare il
valore di f in 0 e in 1, cioè agli estremi degli intervalli, senza modificare con questo il valore dell’integrale. E forse si
intuisce anche che farlo in due punti o in mille non fa differenza, il valore dell’integrale resterebbe sempre lo stesso.
Diversa è la questione se cambiamo il valore di f in un numero infinito di punti, ma qui non vado oltre.
4.4
Funzione integrale di una f definita a tratti
Nel corso di Statistica gli studenti incontreranno anche questo problema: scrivere l’espressione di una funzione
integrale di una funzione definita a tratti.
5
9
L’INTEGRALE DI RIEMANN GENERALIZZATO
Il problema è per molti aspetti simile a quello appena incontrato, con la piccola
difficoltà aggiuntiva dovuta alla presenza della variabile x. Consideriamo ad esempio
la funzione

 0 −2 ≤ x ≤ −1
f (x) =
−x −1 < x ≤ 0

1 0 < x ≤ 1.
y
bc
b
b
1
bc
b
b
x
−2
−1
1
Questa funzione è integrabile nell’intervallo [−2, 1] (lo studente dica perché) e quindi possiamo scrivere la funzione
integrale di f in tale intervallo, che per definizione è
Z x
F (x) =
f (t) dt.
−2
Evidentemente è un problema analogo a quello già incontrato poco fa quando abbiamo trovato l’espressione di una
funzione integrale. L’unica differenza è che ora la f è definita a tratti e quindi non abbiamo un’unica espressione di f ,
ma in questo caso tre espressioni distinte, ciascuna valida in un certo intervallo. Allora dobbiamo distinguere tutti i
casi possibili circa la posizione della x, che può stare nel primo ([−2, −1]), nel secondo ((−1, 0]) o nel terzo intervallo
((0, 1]). Quindi abbiamo:
• se x ∈ [−2, −1]
F (x) =
x
Z
f (t) dt =
−2
• se x ∈ (−1, 0]
F (x) =
Z
x
f (t) dt =
Z
Z
• se infine x ∈ (0, 1]
F (x) =
Z
x
f (t) dt =
−2
Z
−1
0 dt +
−2
0 dt = 0;
−2
x
x2
1
t2 (−t) dt = − = − + ;
0 dt +
2
2
2
−1
−1
−1
−2
−2
x
Z
Z
x
0
(−t) dt +
Z
0
−1
Quindi riassumento possiamo scrivere
F (x) =





0
2
− x2 + 21
1
2 +x
x
0
x
t2 1
1 dt = − + t = + x.
2 −1
2
0
se − 2 ≤ x ≤ −1
se − 1 < x ≤ 0
se 0 < x ≤ 1.
Nelle due figure qui sotto ho riportato nuovamente a sinistra il grafico di f e a destra quello di F .
y
y
bc
1
b
3/2
bc
b
1/2
b
b
−2
−1
b
1
x
b
−2
−1
1
x
Osservazione Il grafico di F rende evidente una proprietà (peraltro già individuabile nell’espressione di F (x)) e
cioè la continuità di F nell’intervallo considerato. Si noti che invece f non è continua. Questo non deve sorprendere:
ho già parlato in precedenza di questa proprietà: se f è integrabile, allora F è continua. Lo studente attento noterà a
questo punto che F non è invece derivabile (in −1 e in 0), e si intuisce che ciò dipende dalla non continuità della f .
Osservazione Metto quindi in guardia lo studente su questo punto: se, in un esercizio analogo al precedente, alla
fine dei calcoli otteniamo una funzione integrale che non è continua, abbiamo sicuramente commesso un errore.
5
L’integrale di Riemann generalizzato
L’integrale di Riemann richiede, come abbiamo visto, che la funzione sia limitata in un intervallo limitato. Nel
caso cadano queste ipotesi, si parla di integrale di Riemann generalizzato. Esistono quindi due possibili situazioni da
considerare: funzione non limitata o intervallo non limitato. Cominciamo con la situazione dell’intervallo non limitato.
5
5.1
10
Integrale generalizzato su intervallo non limitato
Definizione Sia f : [a, +∞) → R e sia f integrabile secondo Riemann in [a, b] qualunque sia b > a.
Z b
Se lim
f esiste finito, diciamo che f è integrabile in senso generalizzato in [a, +∞), e chiamiamo
b→+∞
a
integrale generalizzato di f in [a, +∞) il numero reale
+∞
Z
f = lim
b→+∞
a
Z
b
f
(figura sotto a sinistra).
a
Analogamente, con f : (−∞, b] → R, integrabile secondo Riemann in [a, b] qualunque sia a < b, se
lim
a→−∞
Z
b
f
a
esiste finito, diciamo che f è integrabile in senso generalizzato in (−∞, b], e chiamiamo integrale generalizzato di f in
(−∞, b] il numero reale
Z b
Z b
f = lim
f
(figura al centro).
a→−∞
−∞
a
Infine diciamo che f : R → R è integrabile in senso generalizzato in (−∞, +∞) (in R) se f è integrabile in senso
generalizzato in (−∞, 0] e in [0, +∞). Chiamiamo integrale di f in (−∞, +∞) (in R) il numero reale
Z
+∞
f=
−∞
Z
0
f+
Z
+∞
f
(figura a destra).
0
−∞
Si faccia attenzione che quindi entrambi gli integrali a destra dell’uguale devono essere finiti.
Se una funzione f è integrabile in senso generalizzato in qualche intervallo, si dice anche che il corrispondente
integrale generalizzato converge. Altrimenti diciamo che l’integrale generalizzato diverge.
a
←a
←a
b→
b→
b
Le figure qui sopra illustrano che, se f ≥ 0, il suo integrale generalizzato è l’area della regione (ora non limitata)
sottesa dal grafico di f . Quest’area può essere finita (se l’integrale converge) oppure infinita (se l’integrale diverge).
Dalla definizione di integrale generalizzato e dalla linearità dell’integrale di Riemann, si deduce la proprietà
seguente:
• se f e g sono integrabili in senso generalizzato in [a, +∞) lo stesso vale per c1 f + c2 g, e si ha
Z +∞
Z +∞
Z +∞
(c1 f + c2 g) = c1
f + c2
g
(analogamente se l’intervallo è (−∞, b] o (−∞, +∞)).
a
a
a
Vale inoltre la seguente importante proprietà:
• se f è integrabile in [a, b] per ogni b > a e se |f | è integrabile in senso generalizzato su [a, +∞),9 allora anche f
lo è e
Z +∞ Z +∞
f ≤
|f |.
a
a
Attenzione. Non vale il viceversa di quest’ultima, cioè dall’integrabilità in senso generalizzato di f non si può
dedurre integrabilità in senso generalizzato di |f |. 10
Z +∞
Esempio La funzione x 7→ e−x è integrabile in senso generalizzato in [0, +∞) e
e−x dx = 1.
0
9 Enunciati
analoghi si hanno naturalmente per funzioni definite in intervalli del tipo (−∞, b] o (−∞, +∞).
noti che per l’integrale di Riemann classico invece, come abbiamo visto, dall’integrabilità di f segue l’integrabilità di |f |, e non
viceversa. Ecco quindi in questo ultimo enunciato l’importanza dell’ipotesi iniziale, che cioè f sia Riemann integrabile in [a, b] per ogni
b > a.
10 Si
5
11
Infatti,
Z
+∞
e
−x
dx =
0
(teorema fond. calcolo)
=
=
=
Si verifichi che invece non è finito
R +∞
−∞
lim
b→+∞
Z
b
e−x dx
0
b
−e−x 0
−b
1−e
lim
b→+∞
lim
b→+∞
1.
e−x dx.
Esempio Consideriamo l’integrale di una funzione potenza, in particolare consideriamo
Z
1
distinguendo i vari casi.
Se α = 1, si ha
Z
1
+∞
1
dx
x
+∞
1
dx con α > 0,
xα
11
b
1
dx
b→+∞ 1 x
b
=
lim ln x
=
Z
lim
b→+∞
=
1
lim ln b
b→+∞
= +∞.
Se α 6= 1, abbiamo
Z
1
+∞
1
dx =
xα
=
=
lim
b→+∞
Z
b
x−α dx
1
−α+1 b
x
b→+∞ −α + 1 1
1
lim b1−α − 1 .
1 − α b→+∞
lim
Il limite è infinito se 0 < α < 1 ed è invece finito se α > 1.
Quindi, riassumendo,
< α ≤ 1. 12R
R +∞ 1 l’integrale converge se α > 1 e diverge se 0R +∞
+∞
1
Ad esempio, 1
x2 dx converge, dato che α = 2 > 1. Invece 1
x dx e 1
in entrambi α ≤ 1.
√1
x
dx non convergono, dato che
Osservazione Negli esempi visti la funzione integranda è infinitesima (cioè tende a zero) all’infinito. Può nascere
quindi la domanda se, per poter essere integrabile in senso generalizzato, una funzione non negativa debba tendere a
zero all’infinito. Lo studente ci rifletta un po’ su prima di continuare.
Presentata cosı̀, la questione ha subito risposta negativa: si consideri ad esempio la funzione in [0, +∞) nulla
dappertutto tranne che sui numeri naturali, dove vale 1. Essa è integrabile secondo Riemann in un qualunque intervallo
[0, b] (è limitata e ha un numero finito di punti di discontinuità) e l’integrale in [0, b] è nullo. Quindi è integrabile in
senso generalizzato in [0, +∞), con integrale nullo. Il suo limite all’infinito però non esiste.
A questo punto si potrebbe riproporre la questione in questi termini: per poter essere integrabile in senso
generalizzato, una funzione non negativa e continua deve tendere a zero all’infinito?
La risposta è ancora negativa, anche se un controesempio non è semplice come quello di prima (e non lo vediamo).
Si intuisce forse però che anche cosı̀ una funzione di controesempio può esserci, a patto che non abbia limite all’infinito.
Se ponessi la domanda: per poter essere integrabile in senso generalizzato, una funzione non negativa, continua,
che abbia limite all’infinito, deve tende a zero? Allora la risposta sarebbe sı̀, e potrei anche togliere la richiesta sulla
continuità.
11 Si noti che il caso più significativo è quello di una funzione potenza che tenda a zero quando x → +∞, e quindi il modello più ragionevole
è appunto x1α con α > 0. Se la potenza tende all’infinito l’integrale non può convergere.
12 Per ricordare più facilmente il risultato: l’integrale converge se la potenza per x → +∞ tende a zero rapidamente, quindi con α > 1.
5
5.2
12
Criteri di convergenza
Lo studio dell’integrabilità in senso generalizzato di una funzione attraverso la definizione, cioè attraverso il calcolo
del limite dell’integrale, risulta talvolta impraticabile, perché richiede il calcolo di una primitiva della funzione, cosa
non sempre possibile. Sono utili allora criteri che permettano di stabilire la convergenza dell’integrale generalizzato
senza dover calcolare una primitiva.
In questa sezione presento alcuni criteri di convergenza per integrali generalizzati. Per brevità enuncio i criteri
R +∞
Rb
relativi agli integrali generalizzati del tipo a f ; criteri analoghi valgono per integrali del tipo −∞ f .
Criteri del confronto. Siano f, g funzioni continue in [a, +∞), a valori non negativi.
Valgono le affermazioni seguenti:
(i) se f ≤ g, e g è integrabile in senso generalizzato in [a, +∞), allora anche f è integrabile in senso generalizzato
in [a, +∞);
(ii) se f ≥ g, e g non è integrabile in senso generalizzato in [a, +∞), allora nemmeno f è integrabile in senso
generalizzato in [a, +∞);
(iii) se f (x) = o(g(x)), per x → +∞,13 e g è integrabile in senso generalizzato in [a, +∞), allora anche f è integrabile
in senso generalizzato in [a, +∞);
(iv) se g(x) = o(f (x)), per x → +∞, e g non è integrabile in senso generalizzato in [a, +∞), allora nemmeno f è
integrabile in senso generalizzato in [a, +∞);
(v) se f (x) ≍ g(x), per x → +∞,14 allora f e g hanno lo stesso carattere, cioè una è integrabile se e solo se è
integrabile l’altra.
Osservazione Si faccia attenzione che i criteri si applicano a funzioni a valori non negativi.
Osservazione Si noti che, se si ha f (x) ∼ g(x), per x → +∞, cioè se lim
x→+∞
f (x)
= 1, allora si ricade nel caso (v).
g(x)
Osservazione In realtà (iii) e (iv) sono conseguenze rispettivamente di (i) e (ii). Questo perché (punto (iii)), se
f (x) = o(g(x)) per x → +∞, allora f è definitivamente minore o uguale a g,15 diciamo da b in poi. Ma allora per
le ipotesi in [b, +∞) f è integrabile e quindi lo è anche in [a, +∞), dato che in [a, b] è continua e quindi integrabile.
Stesso discorso per il punto (iv).
I criteri presentati hanno utili conseguenze (confronti con le potenze).
Supponiamo che f sia continua e positiva in [a, +∞).
Corollario Se
f (x) = o
1
xα
, per x → +∞ e α > 1,
allora f è integrabile in senso generalizzato in [a, +∞). È conseguenza della (iii) e del fatto che, essendo α > 1, 1/xα
è integrabile.
Corollario Se
1
= o f (x)
α
x
, per x → +∞ e α ≤ 1,
allora f non è integrabile in senso generalizzato in [a, +∞). È conseguenza della (iv) e del fatto che, essendo α ≤ 1,
1/xα non è integrabile.
Corollario Se
1
, per x → +∞, e α > 1,
xα
allora f è integrabile in senso generalizzato in [a, +∞); è conseguenza della (v) e del fatto che, essendo α > 1, 1/xα è
integrabile. Quando invece la relazione vale con α ≤ 1, allora f non è integrabile in senso generalizzato in [a, +∞).
f (x) ≍
13 Ricordo
f (x)
g(x)
f (x)
limx→+∞ g(x)
che la scrittura significa che limx→+∞
14 Ricordo
= 0 (f è trascurabile rispetto a g).
esiste finito e diverso da zero (f è dello stesso ordine di grandezza di g).
che la scrittura significa che
15 Definitivamente significa “da un certo punto in poi”. Quindi dire che una proprietà vale definitivamente vuol dire che non vale
dappertutto ma vale da un certo punto (valore reale) in poi.
5
13
Osservazione Si faccia attenzione. Se per una certa funzione f vale la proprietà f (x) ≍ 1/xα per x → +∞,
possiamo sempre
stabilire se la funzione f è integrabile in senso generalizzato oppure no. Se vale invece la proprietà
f (x) = o 1/xα per x → +∞, possiamo concludere solo se α > 1. Quindi, ad esempio, se trovo che f (x) = o 1/x per
x → +∞, non posso concludere nulla.16
Esempi
+∞
ln x
dx.17
x3
1
Dopo aver osservato che la funzione integranda è continua e non negativa nell’intervallo di integrazione, ricordando che ln x ≤ x per ogni x > 0, possiamo dire che lnx3x ≤ xx3 = x12 . Quindi, essendo 1/x2 integrabile in senso
generalizzato in [1, +∞), per la (i) dei Criteri del confronto il nostro integrale converge.
Z +∞
1
• L’integrale
dx non converge. Infatti in [2, +∞) la funzione è continua e positiva, si ha x ≥ ln x, e
ln
x
2
1
1
quindi ln x ≥ x . Dato che 1/x non è integrabile in senso generalizzato in [2, +∞), dalla (ii) dei Criteri del
confronto segue allora che nemmeno f (x) = ln1x è integrabile in senso generalizzato in [2, +∞).
Z +∞
• Consideriamo
x e−x dx.18
• Consideriamo
Z
0
La funzione f (x) = x e−x è continua e non negativa nell’intervallo considerato. Confrontando f (x) con 1/x2
possiamo osservare che
f (x)
x→+∞ 1/x2
lim
x3
x→+∞ ex
= 0 (confronto standard).
=
lim
Pertanto f (x) = o(1/x2 ), per x → +∞. Dall’integrabilità di x 7→ 1/x2 in [1, +∞), per la (iii) dei Criteri del
confronto, allora anche f è integrabile in senso generalizzato in [1, +∞), e quindi in [0, +∞).
Z +∞
x + ln x
x
dx converge. Infatti, f (x) = xx+ln
• L’integrale
3 +ln3 x è continua e non negativa in [1, +∞), e
x3 + ln3 x
1
f (x) ≍
1
x
= 2
3
x
x
per x → +∞ (in realtà sono equivalenti, cioè f (x) ∼
1
x2 );
quindi, dato che 1/x2 è integrabile in senso generalizzato in [1, +∞), anche f lo è (per la (v)).
Z +∞
2
e−x dx e si tratta di un esempio importante (fondamentale nella teoria della probabilità).
• Consideriamo
−∞
2
La funzione f (x) = e−x non ha primitive elementari, cioè le sue primitive non si possono esprimere attraverso
funzioni elementari o loro composizioni. Quindi non siamo in grado di calcolare l’integrale con la definizione.
Possiamo però provare che l’integrale in questione è finito, cioè che f è integrabile in senso generalizzato in
(−∞, +∞). Vediamo perché. Si tratta di una funzione continua in tutto R, positiva e pari (simmetrica rispetto
all’asse y). Possiamo considerarla nell’intervallo [0, +∞). Possiamo ora osservare che
2
e−x
x→+∞ 1/x2
lim
x2
2
x→+∞ ex
t
=
lim t
t→+∞ e
= 0 (confronto standard).
=
lim
16 Si considerino ad esempio le due funzioni f (x) = 1/x2 e f (x) = 1/(x ln x) nell’intervallo [2, +∞). Entrambe sono o(1/x), per
1
2
x → +∞. La prima è integrabile in senso generalizzato in [2, +∞), la seconda no.
17 Per la verità questo integrale si potrebbe calcolare anche con la definizione, dato che di questa funzione siamo in grado di trovare una
primitiva (lo studente provi per esercizio: il risultato è 41 ).
18 Anche questo integrale si potrebbe calcolare con la definizione, dato che siamo in grado di trovare una primitiva della funzione (lo
studente provi per esercizio: il risultato è 1).
5
14
2
Pertanto e−x = o(1/x2 ), per x → +∞. Dato che la funzione x 7→ 1/x2 è integrabile in senso generalizzato in
[1, +∞), per i Criteri del confronto anche f è integrabile in senso generalizzato in [1, +∞), e quindi è integrabile
in senso generalizzato in [0, +∞), dato che tra 0 e 1 l’integrale è certamente finito. Dalla simmetria segue
2
che anche l’integrale generalizzato in (−∞, 0] esiste (ed è uguale a quello in [0, +∞)). Quindi f (x) = e−x è
integrabile in senso generalizzato in (−∞, +∞).
È una funzione (e un integrale) assolutamente fondamentale nel calcolo delle probabilità (li incontrerete nuovaR +∞
√
2
mente nel corso di Statistica). Si può dimostrare che −∞ e−x dx = π.
Osservazione Faccio nuovamente osservare che con i Criteri del confronto possiamo studiare l’integrabilità in senso
generalizzato di funzioni di cui non siamo in grado di trovare una primitiva.19
Osservazione Se f è una funzione integrabile in senso generalizzato a −∞, è possibile scrivere la sua funzione
integrale con primo estremo −∞, cioè la funzione
Z x
F (x) =
f (t) dt.
−∞
Ad essa è applicabile il teorema fondamentale del calcolo integrale, che garantisce, nel caso f sia continua, la derivabilità
di F e l’uguaglianza F ′ (x) = f (x). Ritroverete anche questa particolare situazione nel corso di Statistica. Per gli scopi
del calcolo delle probabilità è ad esempio importante la funzione
Z x
2
x 7→
e−t dt.
−∞
Qui l’applicazione del teorema fondamentale porta a dire facilmente che questa funzione è monotona crescente.
R x Inoltre
2
2
essa è positiva e limitata. Le due figure qui sotto illustrano f (x) = e−x e la sua funzione integrale F (x) = −∞ e−t dt.
√
π
f
F
√
π
2
Passiamo ora a considerare la seconda situazione possibile, quella della funzione non limitata.
5.3
Integrale generalizzato di funzione non limitata
Sia f : (a, b] → R una funzione integrabile in [c, b], per ogni a < c < b. Sia inoltre lim+ f (x) = ±∞.
x→a
Diciamo che f è integrabile in senso generalizzato in (a, b] se
Z b
lim
f esiste finito (figura sotto a sinistra).
c→a+
c
In questo caso chiamiamo integrale generalizzato di f in [a, b) tale limite, e lo indichiamo naturalmente con
Rb
a
f.
Analogamente per una funzione non limitata in prossimità del secondo estremo: se f : [a, b) → R è integrabile in
[a, c], per ogni a < c < b, e se lim f (x) = ±∞, diciamo che f è integrabile in senso generalizzato in [a, b) se
x→b−
lim−
c→b
a
19 È
←c
b
Z
c
f esiste finito
(figura al centro).
a
a
c→ b
a
|
t
|
b z
c
chiaro che in questi casi si può dire solo se l’integrale è finito o infinito, ma non si riesce in genere, se è finito, a calcolarlo.
5
15
Si può poi generalizzare la definizione estendendola al caso di una funzione f definita in un intervallo (a, b), ad
eccezione eventualmente di un insieme finito di punti in prossimità dei quali f è illimitata (figura a destra). Basta
suddividere opportunamente l’intervallo (a, b) in sottointervalli in modo che in ciascuno di questi f sia illimitata in
prossimità di un solo estremo. L’integrale su (a, b) esiste se esistono (finiti) tutti gli integrali sui vari sottointervalli.
A titolo di esempio (sempre figura sopra a destra), sia f : (a, b) ∪ (b, c) → R, Riemann integrabile su ogni intervallo
chiuso contenuto in (a, b) ∪ (b, c). Siano inoltre
lim f (x) ,
x→a+
lim f (x)
,
x→b−
tutti infiniti. Allora, se a < t < b e b < z < c,
Z c
Z t
Z
f=
f+
a
a
lim f (x) ,
x→b+
b
f+
t
Z
b
z
f+
Z
lim f (x)
x→c−
c
f,
z
se tutti e quattro integrali a destra sono finiti.
R1
Esempio Chiediamoci se converge l’integrale generalizzato 0 x1 dx.
Anzitutto, con questo tipo di integrali occorre fare attenzione: in apparenza l’integrale si presenta come un integrale
di Riemann. A differenza di quelli dove un estremo è infinito (per cui è facile vedere che sono generalizzati) qui si
tratta intanto di accorgersi che sono generalizzati. Quello che rende generalizzato un integrale è il fatto che la funzione
integranda è infinita (cioè tende all’infinito) in qualche punto dell’intervallo (estremi o punti interni). Quindi la
domanda che ci si deve fare è appunto: la funzione è illimitata nell’intervallo?
Nel nostro caso evidentemente la funzione x1 è infinita in zero e quindi questo è un integrale generalizzato. Si ha
allora con la definizione
Z 1
Z 1
1
1
1
dx = lim
dx = lim ln x = lim (− ln c) = +∞.
c→0+ c x
c→0+
c
c→0+
0 x
Quindi l’integrale non converge.
Come fatto prima con l’altro tipo di integrale generalizzato, risolviamo questa questione in generale: in quali casi
converge l’integrale di una funzione non limitata di “tipo potenza”? Volendola affrontare con la massima generalità,
dobbiamo prevedere due parametri: l’esponente della potenza e il punto in prossimità del quale la funzione è illimitata.
Un modello sufficientemente generale di funzione potenza nell’intervallo [a, b), non limitata in prossimità di b (da
sinistra) è la funzione
1
, per x → b− . 20
f (x) =
(b − x)α
Z b
1
dx, con α > 0. 21
Sia quindi a < b e consideriamo
α
(b
−
x)
a
Se α = 1 abbiamo
Z c
Z b
1
1
dx = lim−
dx
b
−
x
b
−
x
c→b
a
a
c
= lim− − ln(b − x) c→b
a
= lim− − ln(b − c) + ln(b − a)
c→b
=
Se α 6= 1 abbiamo
Z
a
20 Ovviamente
21 Con
b
1
dx
(b − x)α
+∞.
c
1
dx
(b − x)α
c
(b − x)1−α = lim− −
1−α
c→b
a
(b − c)1−α
(b − a)1−α
.
= lim− −
+
1−α
1−α
c→b
=
lim−
c→b
Z
a
se volessi la funzione potenza in (a, b], non limitata in prossimità di a (da destra) considererei la funzione
1
f (x) =
, per x → a+ .
(x − a)α
α ≤ 0 la funzione non è illimitata e l’integrale non è più un integrale generalizzato, ma un integrale di Riemann “tradizionale”.
5
16
b
1
dx converge se e solo se α < 1. 22
Il limite è finito se e solo se α < 1. Pertanto l’integrale
(b − x)α
a
R1 1
R2 1
Quindi ad esempio 0 √1−x
dx converge, mentre 0 (2−x)
2 dx non converge.
Rb 1
R0
1
Osservazione Regole analoghe si hanno per l’integrale a (x−a)
Quindi ad esempio −1 √x+1
dx converge,
α dx.
R2
1
√
dx non converge.
mentre 1
3
Z
(x−1)
Esempio Consideriamo
Z
0
Z
0
1
ln x dx. La funzione ln x è non limitata per x → 0+ . Si ha
1
ln x dx = lim+
a→0
Z
a
quindi l’integrale converge.
1
1
ln x dx = lim+ x ln x − x = lim+ − 1 − a ln a + a = −1,
a
a→0
a→0
Anche per questo tipo di integrali generalizzati si possono dimostrare le consuete proprietà di linearità dell’integrale
(si vedano quelle analoghe per gli integrali generalizzati su intervalli non limitati).
Vale anche qui inoltre la proprietà che, se f è Riemann integrabile in [a, c] per ogni a < c < b e se |f | è integrabile
in senso generalizzato su [a, b), allora anche f lo è e
Z
b Z b
f ≤
|f |.
a a
5.4
Criteri di convergenza
Valgono criteri di convergenza analoghi a quelli dell’integrale generalizzato su intervalli non limitati.
In particolare valgono i seguenti criteri del confronto (per brevità enuncio i criteri relativi al caso di funzioni non
limitate in prossimità del secondo estremo di integrazione; criteri analoghi valgono per gli altri casi).
Criteri del confronto. Siano f, g funzioni continue in [a, b), a valori non negativi. Valgono le affermazioni seguenti:
(i) se f ≤ g, e g è integrabile in senso generalizzato in [a, b), allora anche f è integrabile in senso generalizzato in
[a, b);
(ii) se f ≥ g, e g non è integrabile in senso generalizzato in [a, b), allora nemmeno f è integrabile in senso generalizzato
in [a, b);
(iii) se f (x) = o(g(x)), per x → b− , e g è integrabile in senso generalizzato in [a, b), allora f è integrabile in senso
generalizzato in [a, b);
(iv) se g(x) = o(f (x)), per x → b− , e g non è integrabile in senso generalizzato in [a, b), allora nemmeno f è integrabile
in senso generalizzato in [a, b);
(v) se f (x) ≍ g(x), per x → b− , allora f e g hanno lo stesso carattere, cioè una è integrabile se e solo se è integrabile
l’altra.
Osservazione Come in precedenza, il caso delle funzioni equivalenti (f (x) ∼ g(x)) rientra nel caso (v). Inoltre anche
qui i punti (iii) e (iv) sono conseguenza rispettivamente di (i) e (ii).
Come per l’integrale su intervalli illimitati, conseguenza dei criteri del confronto sono i seguenti ulteriori importanti
risultati (confronti con le potenze). Sia f continua e positiva in [a, b).
Corollario Se
f (x) = o
1
(b − x)α
per x → b−
e α < 1, allora f è integrabile in senso generalizzato in [a, b).
Corollario Se
22 Per
1
= o f (x)
α
(b − x)
, per x → b− , e α ≥ 1,
ricordare più facilmente il risultato: l’integrale converge se la potenza tende all’infinito lentamente, quindi con α < 1.
5
17
allora f non è integrabile in senso generalizzato in [a, b).
Corollario Se
f (x) ≍
1
(b − x)α
per x → b−
e α < 1, allora f è integrabile in senso generalizzato in [a, b); quando invece la relazione vale con α ≥ 1, allora f non
è integrabile in senso generalizzato in [a, b).
Esempi
1
1
√
dx.
x(x + 1)
0
Dopo aver osservato che la funzione è positiva nell’intervallo (0, 1] (e non limitata in un√intorno destro di zero),
1
possiamo notare che nell’intervallo si ha x + 1 > 1 e quindi √x(x+1)
< √1x . Dato che 1/ x è integrabile in senso
generalizzato in (0, 1], allora per la (i) dei Criteri del confronto il nostro integrale converge.23
Z 1/2
1
• Consideriamo
dx.
√
x ln2 x
0
• Consideriamo
Z
1
La funzione è positiva
√ nell’intervallo (0, 2 ] e non limitata in un intorno destro di zero (esercizio). Se la
confrontiamo con 1/ x otteniamo
√ 12
1
x ln x
= 0.
lim
= lim
2
1
+
+
√
x→0
x→0 ln x
x
√
√
1
Quindi √x ln
x), per x → 0+ . Ma allora, essendo 1/ x integrabile in senso generalizzato in (0, 1], per
2 x = o(1/
la (iii) dei Criteri del confronto il nostro integrale converge.
Z 1
• Consideriamo
e1/x dx.
0
La funzione integranda è illimitata in zero da destra. Se la confrontiamo con 1/x e calcoliamo il
lim
x→0+
e1/x
et
= lim
= +∞,
t→+∞ t
1/x
otteniamo che allora 1/x = o(e1/x ) e quindi, dato che 1/x non è integrabile in senso generalizzato in (0, 1], per
la (iv) l’integrale dato diverge.
√
Z 1
x+ x
dx.
• Consideriamo
2
0 x+x
√
La funzione integranda è illimitata in zero da destra. Ricordando che x2 = o(x) e x = o( x), per x → 0+ ,
possiamo scrivere
√
√
1
x+ x
x
∼
= √ , per x → 0+ .
2
x+x
x
x
√
Quindi, dato che 1/ x è integrabile in senso generalizzato in (0, 1], per la (v) l’integrale converge.
R1
• Alla conclusione che l’integrale generalizzato 0 ln x dx (che abbiamo calcolato con la definizione poco fa) converge si può arrivare con il confronto. Occorre osservare
R 1 anzitutto che la funzione è negativa nell’intervallo di
integrazione. Possiamo procedere cosı̀: consideriamo 0 | ln x| dx. Abbiamo
√
| ln x|
√ = lim | x ln x| = 0,
+
1/ x x→0
√ √
e quindi | ln x| = o 1/ x , per x → 0+ . Dato che 1/ x è integrabile in senso generalizzato in (0, 1], allora per
i Criteri del confronto anche | ln x| è integrabile in senso generalizzato in (0, 1], e questo ci consente di dire che
anche ln x lo è.
lim
x→0+
23 Si
poteva anche, forse più semplicemente, osservare che
√
1
x(x+1)
è equivalente a
√1 ,
x
per x → 0+ .
6
18
SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI
1/2
1
dx.
x ln2 x
0
√
1
+
Si trova facilmente che x ln12 x = o(1/x) e che 1/ x = o( x ln
√2 x ), per x → 0 . Questo però non consente di
concludere nulla in quanto 1/x non è integrabile in (0, 1] e 1/ x è invece integrabile. L’integrale si può calcolare
con la definizione, dato che siamo in grado di trovare una primitiva della funzione integranda. Lo lascio per
esercizio.24
• È istruttivo l’integrale
Z
Esercizio 5.1
Calcolare i seguenti integrali generalizzati, utilizzando la definizione.
Z 0
Z +∞
1
√ dx
(a)
ex dx
(b)
x
−∞
4
Z +∞
Z +∞
2
1
xe−x dx
(d)
(c)
dx
x ln x
1
−∞
Z 1
Z 1
1
1
(e)
dx
(f)
dx
2
2
0 x ln x
0 1−x
Esercizio 5.2
Z +∞
(a)
Stabilire se i seguenti integrali generalizzati convergono, utilizzando i criteri di convergenza.
Z +∞
x2 + x + 1
1
dx
(b)
dx
x3 + x + 1
x3 + x2 + x + 1
0
0
Z +∞
Z +∞
2
1 + e−x
(c)
x2 e−x dx
(d)
dx
x
−∞
1
Z +∞
Z +∞
1 + e−2x
1
(e)
dx
(f)
dx
2
2 + 2−x
x
x
1
1
Z 1
Z 1
ln(1 + x)
1
dx
(h)
dx
(g)
3
2
x3/2
0
0 x −x
Z +∞
Z 1
1
1
√ x
√ dx
dx
(j)
(i)
2
x
+
x
e −1
0
0
6
Soluzioni degli esercizi
Esercizio 4.1
(a)
Z
1
√
x dx.
Si ha
0
Z
0
(b)
Z
7/2
0
1
√
dx.
3
1 + 2x
0
Z
2
e1−x dx.
7/2
7/2
3
1
1 (1 + 2x)2/3 9
√
= (82/3 − 1) = .
dx
=
3
2
2/3
4
4
1 + 2x
0
Si ha
1
Z
1
24 Il
√
2
x3/2 1
x dx =
= .
3/2 0
3
Si ha
Z
(c)
1
risultato è che l’integrale converge e vale
1
.
ln 2
2
2
e1−x dx = −e1−x = 1 − 1/e.
1
6
(d)
Z
1/10
0
1
dx.
1 + 10x
Si ha
1/10
Z
0
(e)
Z
1
0
x3
dx.
1 + x4
1
x3
1
dx =
4
1+x
4
0
Z
4
1
1/10
1
1
1
dx =
ln(1 + 10x)
ln 2.
=
1 + 10x
10
10
0
25
Si ha
Z
(f)
19
Z
1
1
1
1
4x3
4 dx
=
ln(1
+
x
)
= ln 2.
4
1+x
4
4
0
0
√
x
e
√ dx. Si ha
x
√
√ 4
e x
√ dx = 2e x = 2e(e − 1).
2
x
1
1
1
R
L’integrale è stato risolto riconducendolo ad un integrale immediato del tipo ef Df . Si poteva anche risolverlo
con un cambio di variabile. A tale proposito, ricordo che una buona procedura è la seguente: risolvere anzitutto
l’integrale indefinito, operando il cambio di variabile. Una volta trovata la primitiva, calcolare l’integrale definito.
Alternativamente si può anche operare il cambio di variabile sull’integrale definito, ma in questo caso occorre
ricordarsi di cambiare anche gli estremi di integrazione. Ad esempio,
nell’integrale in questione, questo secondo
√
modo di procedere porterebbe a scrivere (con la sostituzione x = t, da cui x = t2 e quindi dx = 2t dt)
Z
Z
4
1
4
√
e x
√ dx = 2
x
√
e x
√ dx =
x
Z
2
1
Z
4
et
· 2t dt = 2
t
Z
1
2
2
et dt = 2et = 2(e2 − e).
1
Cosı̀ facendo non c’è ovviamente la necessità di tornare alla variabile x.
Z 1 p
(g)
x2 1 + x3 dx. Si ha
0
Z
1
x2
0
(h)
Z
e
1
√
ln x
dx. Si ha
x
1
Z
p
1 1 2p
1 (1 + x3 )3/2 2 √
1 + x3 dx =
3x 1 + x3 dx =
= (2 2 − 1).
3 0
3
3/2
9
0
Z
e
1
(i)
Z
e
x2 ln x dx.
√
e
Z e
2
1
(ln x)3/2 ln x
(ln x)1/2 · dx =
dx =
= 3.
x
x
3/2
1
1
Qui serve prima un’integrazione per parti per risolvere l’integrale indefinito.
1
Z
x3
x ln x dx = ln x ·
−
3
2
Quindi
Z
(j)
Z
1
2
x
dx.
1 + x2
x3 1
x3
x3
1
· =
ln x −
+ c = x3 (3 ln x − 1) + c.
3 x
3
9
9
2
x ln x dx =
1
e
1
1 3
x (3 ln x − 1) = (2e3 + 1).
9
9
1
L’integrale si riconduce facilmente ad un integrale immediato:
Z
1
25 Il
e
Z
2
1
x
dx =
2
1+x
2
Z
2
2x
1
5
1
2 dx
=
ln(1
+
x
)
= log .
2
1+x
2
2
2
1
valore assoluto qui si può omettere dato che l’argomento è positivo nell’intervallo di integrazione.
6
(k)
Z
−2
−3
(l)
Z
3
2
20
1
dx. Si ha
x(x + 1)
Z −2
Z −2 −2
1
1
1
dx = ln |x| − ln |x + 1| = 2 ln 2 − ln 3.
dx =
−
x(x
+
1)
x
x
+
1
−3
−3
−3
1
dx.
x(x − 1)2
26
Qui serve prima la decomposizione in frazioni semplici di 1/(x(x − 1)2 ). Poniamo
1
A
Bx + C
= +
.
2
x(x − 1)
x
(x − 1)2
Si ottiene
(A + B)x2 + (−2A + C)x + A
Bx + C
A
=
+
2
x
(x − 1)
x(x − 1)2
da cui
Pertanto
Z 3
2

 A+B =0
−2A + C = 0

A=1
1
dx =
x(x − 1)2
Z
3
2
1
2−x
+
x (x − 1)2

 A=1
B = −1

C = 2.
e cioè
dx =
3
1
− ln |x − 1| = ln 3 − 2 ln 2 + 1/2.
x−1
2
ln |x| −
27
Esercizio 5.1
(a)
Z
0
ex dx.
Si ha
−∞
Z
0
ex dx = lim
a→−∞
−∞
(b)
Z
+∞
4
1
√ dx.
x
+∞
1
√ dx = lim
b→+∞
x
4
(c)
+∞
2
xe−x dx.
a
0
ex dx = lim ex = lim (1 − ea ) = 1.
a→−∞
a→−∞
a
Si ha
Z
Z
0
Z
Z
4
b
√
√ b
1
√ dx = lim 2 x = lim (2 b − 4) = +∞.
b→+∞
b→+∞
4
x
Si ha
−∞
Z
+∞
2
xe−x dx
=
−∞
0
Z
2
xe−x dx +
−∞
=
=
lim
Z
lim
a→−∞
a→−∞
0
xe
−x2
Z
0
b→+∞
a
−1/2e
a→−∞
2
xe−x dx
dx + lim
0
−x2 = −1/2 lim (1 − e
= 0.
+∞
+ lim
a
−a2
Z
b
2 b
−1/2e−x b→+∞
2
xe−x dx
0
) − 1/2 lim (e
b→+∞
0
−b2
− 1)
28
26 Qui la scomposizione della funzione integranda in frazioni semplici era immediata, ma si poteva comunque procedere con la posizione
iniziale 1/(x(x + 1)) = A/x + B/(x + 1). Avremmo trovato A = 1 e B = −1. Si noti che in questo caso non si può omettere il valore
assoluto nelle primitive, poiché la funzione è negativa nell’intervallo di integrazione.
27 Qui l’integrazione del termine (2 − x)/(x − 1)2 si può fare in modo “classico” con il cambio di variabile x − 1 = t, oppure osservando
che
1−x+1
1−x
1
x−1
1
1
1
2−x
=
=
+
=−
+
=−
+
.
(x − 1)2
(x − 1)2
(x − 1)2
(x − 1)2
(x − 1)2
(x − 1)2
x−1
(x − 1)2
Queste sono integrabili in modo immediato. In questo caso si poteva omettere il valore assoluto.
6
(d)
21
+∞
1
dx. Si noti che la funzione è illimitata per x → 1+ . Quindi occorre spezzare l’integrale in due
x
ln
x
1
integrali, e per farlo possiamo scegliere un qualunque punto alla destra di 1 (prendiamo 2).
Z 2
Z +∞
Z +∞
1
1
1
dx =
dx +
dx
x ln x
x ln x
1 x ln x
2
1
Z 2
Z b
1
1
= lim+
dx + lim
dx
b→+∞ 2 x ln x
a→1
a x ln x
2
b
= lim+ log ln x + lim log ln x .
Z
a→1
a
b→+∞
2
Si vede allora che entrambi i limiti sono infiniti. Quindi l’integrale diverge.
Z 1
1
(e)
dx. La funzione è illimitata per x → 0+ e per x → 1− . Anche qui occorre spezzare l’integrale in due
2
0 x ln x
integrali, e per farlo possiamo scegliere un qualunque punto tra 0 e 1 (prendiamo 1/2).
Z
0
1
1
dx
x ln2 x
=
=
=
=
Z 1
1
1
dx
+
dx
2
2
x
ln
x
x
ln
x
0
1/2
Z b
Z 1/2
1
1
dx
+
lim
dx
lim+
2
b→1− 1/2 x ln x
a→0
x ln2 x
a
1/2
b
1 1 −
+
lim
lim+ −
ln x a
ln x 1/2
b→1−
a→0
1
1
1
1
lim
+ lim− −
.
+
−
ln 2 ln a
ln b ln 2
a→0+
b→1
Z
1/2
Si vede allora che il primo integrale converge, mentre il secondo diverge. Quindi l’integrale dato diverge.
Z 1
1
(f)
dx. La funzione non è limitata per x → 1− . Quindi
2
0 1−x
Z b
Z 1
1
1
dx = lim
dx
2
−
1
−
x
1
−
x2
b→1
0
0
Z b
1/2
1/2
= lim
dx
+
1−x 1+x
b→1− 0
b
= lim − 1/2 ln |1 − x| + 1/2 ln |1 + x|
−
0
b→1
= lim− − 1/2 ln |1 − b| + 1/2 ln |1 + b|
b→1
=
+∞.
Esercizio 5.2
(a)
+∞
1
dx.
3+x+1
x
0
La funzione è continua e positiva in [0, +∞). Possiamo scrivere
Z
1
1
1
= 3
≍ 3 , per x → +∞.
x3 + x + 1
x + o(x3 )
x
Quindi per il criterio del confronto, dato che la funzione 1/x3 è integrabile all’infinito, l’integrale dato converge.
28 Si noti che la funzione è dispari. Attenzione! Non è vero in generale che l’integrale generalizzato di una funzione dispari è sempre 0, in
quanto l’integrale potrebbe non essere finito. È vero però che, se una funzione dispari è integrabile in senso generalizzato, allora l’integrale
è zero.
6
(b)
22
+∞
x2 + x + 1
dx.
x3 + x2 + x + 1
0
La funzione è continua e positiva in [0, +∞). Possiamo scrivere
Z
x3
1
x2 + o(x2 )
x2
x2 + x + 1
= 3
≍ 3 = , per x → +∞.
2
3
+x +x+1
x + o(x )
x
x
Quindi per il criterio del confronto, dato che la funzione 1/x non è integrabile all’infinito, l’integrale dato non
converge.
Z +∞
2
x2 e−x dx.
(c)
−∞
Possiamo osservare che la funzione è pari. Allora consideriamo
Z
+∞
2
x2 e−x dx. Facciamo un confronto con la
0
funzione 1/x2 . Si ha
2
x2 e−x
x4
t2
=
lim
= 0.
=
lim
2
x→+∞ 1/x2
x→+∞ ex
t→+∞ et
lim
2
Quindi abbiamo che x2 e−x = o(1/x2 ), per x → +∞. Allora per il criterio del confronto l’integrale dato converge.
Z +∞
1 + e−x
(d)
dx.
x
1
La funzione è positiva nell’intervallo di integrazione e
1
1 + e−x
≍ , per x → +∞.
x
x
Quindi l’integrale dato diverge.
Z +∞
1 + e−2x
dx.
(e)
x2
1
Questa volta
1
1 + e−2x
≍ 2 , per x → +∞.
x2
x
Quindi l’integrale dato converge.
Z +∞
1
(f)
dx.
2 + 2−x
x
1
La funzione è positiva nell’intervallo di integrazione e
1
1
1
= 2
≍ 2 , per x → +∞.
x2 + 2−x
x + o(x2 )
x
Quindi l’integrale dato converge.
Z 1
1
dx.
(g)
3
2
0 x −x
La funzione è illimitata sia per x → 0+ sia per x → 1− .
29
+
Per x → 0 si ha
x3
1
1
1
=
≍ 2
2
2
2
−x
−x + o(x )
x
e quindi possiamo concludere che l’integrale dato diverge.30
Per x → 1− avremmo avuto
x3
1
1
1
= 2
≍
.
2
−x
x (x − 1)
x−1
Anche da questa parte l’integrale diverge (in ogni caso, come detto nella nota, basta che uno dei due diverga per
concludere).
R
R1
affrontare con la definizione questo andrebbe suddiviso in due integrali: 01/2 e 1/2
noti che l’esercizio può finire qui, nel senso che il risultato trovato a proposito del primo integrale (quello ad esempio tra 0 e 1/2)
permette di concludere che l’integrale tra 0 e 1 non converge.
29 Volendolo
30 Si
6
(h)
Z
1
0
23
ln(1 + x)
dx.
x3/2
La funzione è positiva nell’intervallo di integrazione e illimitata per x → 0+ .
ln(1 + x)
x + o(x)
1
=
≍ 1/2 , per x → 0+ .
3/2
3/2
x
x
x
Quindi l’integrale dato converge. Si ricordi lo sviluppo di Taylor ln(1 + x) = x + o(x), per x → 0.
Z 1
1
√ x
dx.
(i)
e −1
0
Funzione positiva e illimitata per x → 0+ .
1
1
1
√ x
= p
≍ √ , per x → 0+ .
x
e −1
x + o(x)
Quindi l’integrale dato converge. Qui si ricordi lo sviluppo di Taylor ex = 1 + x + o(x), da cui ex − 1 = x + o(x)
per x → 0.
Z +∞
1
√ dx.
(j)
x2 + x
0
Funzione positiva, ma illimitata per x → 0+ .
Per x → 0+ si ha
31
1
1
1
√ =√
√ ≍ √
x2 + x
x + o( x)
x
e quindi l’integrale in 0 converge. Per x → +∞ si ha
1
1
1
√ = 2
≍ 2
x + o(x2 )
x
x2 + x
e quindi l’integrale converge anche all’infinito. Pertanto l’integrale dato converge.
31 Questo
andrebbe suddiviso ad esempio in
R1
0
e
R +∞
1
.

Integrale di Riemann

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