11 FT interferometro

INTERFEROMETRO
specchio
fisso
S
OF
1
I0
0
si sposta parallelamente a se stesso con
velocità costante lungo l’asse x
OM
2
beam
splitter 1+2
“Semispecchio” divide
il raggio sorgente in due
raggi, inviandoli a due
specchi distinti: uno
fisso e l’altro mobile
D
specchio
mobile
(Michelson)
xm 0
xM
x
I due raggi ritornano al beam splitter e si ricombinano in
un raggio unico diretto al detector : il primo ha
percorso un cammino fisso pari al doppio della distanza
OF, il secondo effettua un cammino variabile pari al
doppio della distanza OM
δ = 2 (OM - OF)
è la differenza di CAMMINO OTTICO dei due raggi che
genera fenomeni interferenziali determinati dalla posizione x dello specchio mobile
ponendo x
= 0 la posizione per cui OM = OF
δ = 2x
INTERFEROMETRO
(Michelson)
SORGENTE MONOCROMATICA (LASER)
ritardo tra raggi 1 e 2
lunghezza d’onda
δ = 2x
S
I0
1
Il detector registra Im(x)
INTERFEROGRAMMA
grafico dell’intensità della
radiazione in funzione
della posizione dello
specchio mobile
numero d’onda
2
1+2
Im
D
x
I0
1
I0
2
x
0
1
1/2
Im (x) =
=
λ
σ = λ-1
1 
x
I0 1 + cos 2π 
2 
λ
1
I0 (1 + cos 2πxσ )
2
2
3
4 multipli di λ
3/2 5/2 7/2
INTERFERENZA tra raggi 1 e 2 è regolata dalla
relazione
n pari
COSTRUTTIVA
Im(x) = I0
DISTRUTTIVA
Im(x) = 0
x = n λ /2
n dispari
INTERFEROMETRO
SORGENTE POLICROMATICA
(Michelson)
(DUE onde
I
S
λ1
I0
Il detector registra Im(x)
INTERFEROGRAMMA
SOMMA ( I1 + I2) degli
interferogrammi delle
due singole componenti
λ2
λ 2 = 3 × λ1
λ
SPAZZATA
MINIMA
x
Im
I1 + I2
D
L’interferogramma si ripete
per intervalli di x = 3λ1
questa distanza coincide con
la SPAZZATA MINIMA che lo
specchio mobile deve fare per
poter definire l’interferenza
delle due onde
λ1 e λ 2 )
λ2
I2
λ1
x
0 λ1
3λ1
unità di
ripetizione
I1
3λ1
interferogramma
I m (x) =
=
1
2
 

x 
x 




π
π
I
+
+
I
+
1
cos
2
1
cos
2
 1
2

λ1 
λ2 

 
1
{I1 (1 + cos 2πxσ 1 ) + I 2 (1 + cos 2πxσ 2 )} con σ
2
= λ-1
SPETTROMETRO FT utilizza due sorgenti di radiazione
1 - policromatica (globar)
2 - monocromatica (laser He-Ne, λ = 632 nm)
radiazione utilizzata per
determinare la
posizione dello specchio
percorso dello specchio
LASER
S
I0
0123
i
n
d
radiazione utilizzata per la
registrazione dello spettro
λ
He-Ne 2
λ⁄2 = 316 nm
lo strumento risulta
AUTOCALIBRATO
Lo ZERO è dato dalla
posizione dello specchio
corrispondente al
massimo
nell’interferogramma
della radiazione
policromatica
xn
0
SORGENTE
POLICROMATICA
D
x
La posizione xn dello
specchio in ogni istante è
data dal numero di creste
osservate nello
interferogramma della
sorgente laser a partire
dallo zero: xn = n × λ ⁄ 2
xn xM x
xm
ZERO
interferogramma
I m (x) =
1
2
1
P0 (σ ) =
2
∞
TRASFORMATE DI FOURIER
∫ P (σ )(1 + cos 2πxσ )dσ
0
−∞
∞
funzione teorica dell’interferogramma ottenibile con un
interferometro ideale per radiazione policromatica. Da essa è
possibile ottenere lo spettro P0 (σ) mediante trasformazione di
Fourier
∞
∫ I (x)(1 + cos 2πσx)dx = ∫ I (x)(1 + cos 2πσx)dx
m
−∞
m
0
poiché la
funzione è →
simmetrica
∞
∫
−∞
∞
= 2∫
0
spettro
Noto l’interferogramma da 0 ad ∞ lo spettro può essere calcolato con
risoluzione infinita.
In realtà esistono varie limitazioni strumentali:
(1) lo specchio si muove su una distanza finita, cioè da xm a xM e non ad ∞
TRONCAMENTO dell’INTERFEROGRAMMA → deformazione della forma della banda
(2) l’interferogramma viene campionato ad intervalli finiti ∆σ e non infinitamente piccoli
dσ
σ . TEMPO DI RISPOSTA FINITO del DETECTOR → FT discreta (le sommatorie comportano
notevoli complicazioni matematiche rispetto alla semplice soluzione di integrali)
(3) i componenti dello strumento (beam-splitters, sorgenti, detectors, ecc.) funzionano
solo in un intervallo spettrale ristretto (oltre ad altre complicazioni legate all’acquisizione
ed elaborazione del segnale)
Si registrano gli interferogrammi
senza e con campione
1
I m (x) =
2
∞
∫ P (σ )(1 + cos 2πxσ )dσ
0
−∞
Si calcolano i rispettivi spettri
(trasformata di Fourier)
1
P0 (σ ) =
2
∞
∫ I (x)(1 + cos 2πxσ )dσ
m
−∞
Si calcola il rapporto dei due spettri per
ottenere lo spettro relativo (trasmittanza,
riflettanza, ecc.)
RISOLUZIONE di un interferometro
→ è determinata dalla
escursione massima dello specchio mobile.
DUE ONDE di lunghezza λ1 e
λ2 interferendo danno luogo ad una onda somma che
si ripete secondo una unità la cui lunghezza dipende dalla differenza |λ
λ1 - λ2| = ∆λ
λ2 = 3 λ 1
Utilizzando i numeri d’onda σ = λ-1
si ritrova interferenza costruttiva quando il
ritardo tra le due onde è
δ = (∆σ)-1
Il fenomeno interferenziale completo si
ha quando lo specchio ha percorso una
∆λ = 0.1 λ1
9λ2 = 10λ1
distanza
x = δ/2 = (∆σ)-1 /2
Risoluzione (cm-1)
∆x(cm)
δ (cm)
8
4
2
1
0.5
0.25
0.0625
0.125
0.25
0.5
1.0
2.0
0.125
0.25
0.5
1.0
2.0
4.0
APODIZZAZIONE – operazione matematica che si effettua per correggere le
distorsioni spettrali derivanti dal troncamento dell’interferogramma (deformazioni delle bande)
Esempio: caso di due righe λ1 e λ2
interferogramma
TRONCATO
Interferogramma infinito
spettro
ideale
λ1 λ2
spettro
deformato
λ1 λ2
SENZA apodizzazione
apodizzazione con GAUSSIANA
FONTI di ERRORE nei cammini ottici in spettrometri FTIR
φ2
l’effetto è tanto più marcato quanto minore λ e
cresce con il diametro φ della sezione del raggio
φ1
i
non ortogonalità tra specchi e raggio per vibrazioni
od irregolarità traslazione dello specchio mobile
i
non parallelismo dei raggi incidenti sugli specchi
(conicità raggio) → dipende dall’angolo i formato dai
raggi incidenti rispetto alla normale incidenza
i
l’effetto è tanto più
marcato quanto minore è λ
e cresce con il diametro φ
della sezione del raggio
iM
φ2
im
φ1