La geometria con Cabri - Nucleo di Ricerca in Didattica dell

Transcript

LA GEOMETRIA
CON CABRI
Paolo Giangrandi
[email protected]
Università degli Studi di Udine
Polo scientifico-tecnologico Rizzi
16 maggio 2008
Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008
1
Indice
1. Introduzione .....................................................................................................................................5
Cabri vs. Programmi applicativi per disegnare................................................................................7
La rivincita della geometria .............................................................................................................8
Da Logo a Cabri...............................................................................................................................9
2. Familiarizziamo con Cabri.............................................................................................................10
L’ambiente di lavoro......................................................................................................................11
I menù ............................................................................................................................................11
I menù ............................................................................................................................................12
Gli strumenti da disegno ................................................................................................................13
Tracciare gli oggetti geometrici di base.........................................................................................14
Aggiungere le relazioni geometriche .............................................................................................16
Esempio: Tracciare rette parallele..................................................................................................17
Costruire segmenti congruenti ......................................................................................................19
Salvare e recuperare figure ............................................................................................................21
3. Manipolare figure dinamiche .........................................................................................................23
Manipolare figure dinamiche .........................................................................................................24
Relazioni geometriche e manipolazione delle figure.....................................................................25
Figure dinamiche............................................................................................................................28
4. Costruzioni Geometriche ...............................................................................................................29
Costruiamo un quadrato .................................................................................................................30
La didattica delle costruzioni geometriche ....................................................................................32
La prova trascinamento..................................................................................................................33
La grammatica delle figure ............................................................................................................35
Ricostruire figure passo-passo .......................................................................................................37
5. Cambiare l’aspetto delle figure ......................................................................................................41
Gli strumenti di Visualizza ............................................................................................................42
Etichettare gli oggetti di una figura................................................................................................43
Gli strumenti di Disegna ................................................................................................................44
Esempio: uso degli strumenti di Disegna.......................................................................................45
Nascondere gli elementi ausiliari di una costruzione.....................................................................46
6. Verificare relazioni e misurare.......................................................................................................48
Gli strumenti di Verifica proprietà.................................................................................................49
Esempio: Verificare proprietà........................................................................................................50
Gli strumenti di Misura ..................................................................................................................52
Esempio: Rapporto tra circonferenza e diametro...........................................................................53
Misurare l’area delle figure............................................................................................................54
Esempio: Triangoli equivalenti......................................................................................................55
Lo strumento Calcolatrice..............................................................................................................56
Esempio: la somma degli angoli di un triangolo............................................................................57
Misurare vuol dire Esplorare..........................................................................................................59
Esplorare vuol dire fare congetture................................................................................................60
Misurare non vuol dire Dimostrare!!!............................................................................................61
Visualizzare le dimostrazioni: il teorema di Pitagora ....................................................................62
7. Isometrie.........................................................................................................................................66
Simmetrie assiali ............................................................................................................................67
Simmetrie centrali ..........................................................................................................................68
2
Vettori e Traslazioni.......................................................................................................................69
Rotazioni ........................................................................................................................................70
8. Costruire nuovi strumenti per fare geometria ................................................................................71
Macro: nuove primitive..................................................................................................................72
Macro: istruzioni per l’uso.............................................................................................................74
Salvare e ricaricare macro..............................................................................................................79
9. Luoghi geometrici ..........................................................................................................................81
L’uso di traccia e l’uso di luogo.....................................................................................................82
Visualizzare un luogo geometrico..................................................................................................84
Esempio: Costruire una parabola ...................................................................................................88
10. Cabri e il piano cartesiano............................................................................................................89
Coordinate e griglie........................................................................................................................90
Equazioni di rette e curve...............................................................................................................92
Equazioni di rette e curve...................................................... Errore. Il segnalibro non è definito.
Bibliografia ........................................................................................................................................95
3
Sommario
1. Introduzione......................................................................5
2. Familiarizziamo con Cabri .............................................10
3. Manipolare figure dinamiche .........................................23
4. Costruzioni Geometriche................................................29
5. Cambiare l’aspetto delle figure ......................................41
6. Verificare relazioni e misurare .......................................48
7. Isometrie .........................................................................66
8. Costruire nuovi strumenti per fare geometria ................71
9. Luoghi geometrici ..........................................................81
10. Cabri e il piano cartesiano ............................................89
Bibliografia.........................................................................95
4
1. Introduzione
Cabri-géomètre (o più semplicemente Cabri) è un
software per l'apprendimento della geometria (piana).
Strumenti simili a Cabri sono i programmi The
Geometer’s Sketchpad, Cinderella e diffusi
soprattutto negli Stati Uniti e Dr. Geo e GeoGebra.
Cabri è stato sviluppato in Francia alla fine degli
anni ’80 da tre studiosi Yves Baulac, Frank
Bellemain e JeanMarie Laborde al Laboratoire de
Structures Discrètes et de Didactique dell’Institut
d’Informatique et Matematiques Appliqueés presso
l’Université Joseph Fourier di Grenoble.
5
Al momento, esistono fondamentalmente tre versioni
per le macchine PC:
• Cabri II per l’ambiente Windows ’95 arricchita con
nuovi strumenti interfaccia d’uso più amichevole; è
attualmente quella più diffusa;
• Cabri II Plus, che perfeziona alcune funzionalità
della precedente versione e aggiunge la possibilità
di rappresentare grafici di funzione e la possibilità di
inserire e manipolare immagini nei fogli di disegno
di Cabri;
• Cabri 3D, orientato per la geometria solida
tridimensionale (che non tratteremo nel presente
incontro).
Versioni analoghe sono disponibili per l’ambiente
Macintosh.
In questo incontro faremo riferimento alle versioni
Cabri II e Cabri II Plus per i PC.
6
Cabri vs. Programmi applicativi per disegnare
Cabri è uno strumento didattico la cui filosofia di
fondo va ben compresa, altrimenti si rischia di
scambiare questo strumento per un programma con
cui fare disegni.
Microsoft Paint: un ambiente per disegnare figure
Cabri non serve per tracciare figure geometriche,
ma serve a “ragionare” sulle figure geometriche e
sulle loro proprietà.
7
La rivincita della geometria
Negli anni ’50 e ’60 il movimento bourbakista ha
contribuito ad un rinnovamento della matematica
attraverso lo studio dei concetti matematici in termini
di strutture matematiche.
Sul piano didattico l’influenza di questo movimento ha
portato all’introduzione della “matematica moderna”
con un ridimensionamento, se non addirittura un
abbandono, dello studio della geometria tradizionale.
Le esperienze successive hanno però rivelato i limiti
della matematica moderna e hanno evidenziato
l’importanza della geometria nella formazione degli
studenti.
A partire dagli anni ’90, Cabri si è inserito in questo
processo di recupero della geometria:
• ha contribuito ad un rinnovamento dei metodi
didattici per l’insegnamento di tale disciplina,
• ha arricchito il tradizionale metodo di studio con
un’attività di scoperta, fondamentale per stimolare
le capacità di osservazione e di intuizione dello
studente,
• ha permesso di conservare il rigore deduttivo
dell’approccio tradizionale.
8
Da Logo a Cabri
Cabri ha permesso di riportare l’attenzione sulla
procedura costruttiva coniugando in modo efficace le
capacità operative dell’allievo con le conoscenze
teoriche di geometria.
La filosofia di CABRI è quella tipica degli ambienti
software per l’esplorazione (il linguaggio Logo si
può considerare un antesignano di tale corrente),
assimilabile alla filosofia dei mattoncini Lego: i mattoni
di base sono i punti, i segmenti, le rette, i cerchi, …
con cui l’allievo può costruire nuovi oggetti geometrici
e manipolarli per comprenderne le proprietà.
Logo e Cabri mettono lo studente di fronte a due
micromondi in cui “sperimentare” la geometria:
palestre cognitive per il “problem finding” e il “problem
solving”.
Diversamente dal Logo, con Cabri non è necessario
imparare un linguaggio di programmazione per
poter costruire le figure, ma queste possono essere
descritte con azioni molto vicine a quello in uso
nell’ambiente familiare di “carta e matita”.
9
2. Familiarizziamo con Cabri
Cabri rappresenta un ambiente ricco di strumenti
grafici che permettono di disegnare in modo intuitivo
un po’ tutte le figure di base della geometria piana.
10
L’ambiente di lavoro
menù per gestire
file, per modificare
opzioni e per
selezionare finestra
di lavoro
stato degli
attributi grafici
strumenti per
disegnare
area di disegno
(foglio di disegno)
11
strumenti per
controllare
l’aspetto grafico
degli oggetti
barre di scorrimento per
spostarsi sul foglio di
disegno (per vedere le parti
non visibili del disegno)
I menù
menù Archivi:
per
recuperare e
salvare file,
per stampare,
...
menù Edita:
per annullare
comandi, per
copiare o
tagliare disegni,
...
menù Opzioni:
per
visualizzazione
di attributi,
impostazione di
valori
predefiniti,
configurazioni
particolari, ...
menù Finestra:
per passare da
un foglio di
lavoro ad un
altro, per
affiancare più
fogli, ...
menù Aiuto:
per avere
informazioni
di aiuto sui
vari strumenti
12
Gli strumenti da disegno
Gli strumenti rappresentano gli attrezzi che l’utente
può utilizzare per realizzare le costruzioni
geometriche. Questi strumenti sono divisi in diversi
gruppi come mostra la seguente figura.
proprietà: per
verificare
relazioni
geometriche
punti: per
creare
punti, ...
puntatore:
per
selezionare,
muovere, o
deformare
oggetti
macro:
per
definire
nuovi
strumenti
curve: per
tracciare
circonferenze
e altre coniche
rette: per
creare rette,
segmenti,
poligoni, ...
trasforma: per
realizzare
simmetrie,
omotetia, ...
costruisci: per
tracciare parallela,
perpendicolare, asse,
bisettrice, ...
misura: per
misurare
lunghezze,
angoli, aree,
...
visualizza: per
annotazioni e
per animare
disegni
disegna: per
modificare
l’aspetto degli
oggetti
13
Tracciare gli oggetti geometrici di base
Gli strumenti di base in Cabri sono delle
virtualizzazioni dei più comuni strumenti di disegno:
• la penna,
• la riga,
• la squadra,
• il compasso, e
• la gomma per cancellare.
In Cabri questi strumenti vengono simulati mediante
l’uso del mouse.
Per tracciare rette, segmenti, ecc. è disponibile un
gruppo di strumenti illustrati nella seguente figura:
Dopo aver selezionato nel menù l’oggetto desiderato,
è possibile tracciarlo sul foglio di lavoro mediante il
puntatore controllato dal mouse.
14
Ad esempio, dopo aver selezionato lo strumento
è
possibile
tracciare
una
Circonferenza,
circonferenza sul foglio di lavoro indicando il centro
del cerchio e un punto qualsiasi della circonferenza.
15
Aggiungere le relazioni geometriche
In geometria non sono importanti solo gli oggetti
geometrici, ma giocano un ruolo altrettanto
fondamentale le relazioni geometriche. Per
studiare le proprietà delle figure è infatti essenziale
tener conto delle relazioni geometriche. La relazioni
geometriche più semplici sono “essere parallelo”,
“essere perpendicolare”.
lo strumento Retta perpendicolare
crea una retta passante per un punto e
perpendicolare ad un oggetto lineare
selezionato (retta, segmento, semiretta
o lato di un poligono)
lo strumento Retta parallela crea una
retta passante per un punto e parallela
ad un oggetto lineare selezionato
(retta, segmento, semiretta o lato di un
poligono)
lo strumento Punto medio crea un
punto a metà di un segmento, o di un
lato di un poligono o tra due punti;
lo strumento Asse crea una retta
perpendicolare a un segmento, al lato
di un poligono o tra due punti e
passante per il punto medio
dell’oggetto selezionato
lo strumento Bisettrice crea una retta
che divide un angolo dato in due angoli
congruenti.
16
Esempio: Tracciare rette parallele
Supponiamo di aver già tracciato una retta r e un
punto P ad essa esterno. Proviamo a tracciare una
retta parallela. Per costruire una retta passante per un
punto P e parallela ad una retta r, bisogna selezionare
lo strumento Retta parallela.
E’ quindi possibile selezionare il punto P e poi la retta
r.
17
Notiamo che quando ci avviciniamo al punto P, Cabri
evidenzia il messaggio “per questo punto” in modo
che l’utente decide se far passare la parallela per P o
per un punto prossimo a P, ma da esso distinto.
18
Costruire segmenti congruenti
• Un compasso reale mantiene fissa l’apertura delle
aste fino a quando si desidera. Questo permette di
tracciare vari cerchi della medesima ampiezza e di
costruire anche segmenti congruenti.
• In Cabri, lo strumento Circonferenza non consente
di fare questa operazione, ma occorre invece usare
lo strumento Compasso. Questo strumento
permette di costruire un cerchio di raggio pari ad un
segmento dato. Il centro del cerchio può trovarsi in
una posizione qualsiasi del piano. In tal modo è
possibile costruire segmenti congruenti:
Dato un segmento AB e un punto C su una retta r,
supponiamo di voler staccare sulla retta r un
segmento congruente ad AB a destra di C.
19
Prima si selezionano i due estremi del segmento AB
e, poi, il centro C del cerchio da tracciare.
Esempio: Dati tre segmenti, costruite il triangolo che
ha i lati congruenti ai tre segmenti.
20
Salvare e recuperare figure
Le figure realizzate sul foglio di lavoro possono essere
conservate per più sessioni di lavoro memorizzandolo su
hard disk, o su floppy disk. Il salvataggio può essere
effettuato con il comando Salva con nome presente nel
menù File.
Dopo aver selezionato Salva con nome, compare una
finestra dove è possibile specificare il nome del file e
scegliere la cartella dove conservare il file.
Le figure possono essere salvate in tre diversi formati.
21
Con il comando Apri presente nel menù File è possibile
recuperare (“aprire”) una figura precedentemente salvata.
22
3. Manipolare figure dinamiche
<<In Cabri cambia totalmente il concetto di figura
geometrica che da oggetto statico diventa un oggetto
dinamico, che racchiude in sé “infinite” figure
diverse>> [E. Castagnola]
Una delle caratteristiche fondamentali di Cabri è la
dinamicità delle figure: mentre il disegno che
possiamo fare su un foglio di carta è essenzialmente
statico, in Cabri, una volta create, le figure
geometriche possono essere facilmente manipolate,
trascinando direttamente sullo schermo punti o lati
delle figure costruite, mantenendo però le relazioni
che erano state loro attribuite al momento della
costruzione.
23
Manipolare figure dinamiche
Una volta che avete tracciato alcuni oggetti
geometrici, Cabri vi permette di manipolarli
attraverso il mouse tirando i punti che caratterizzano
la figura:
(a)
(b)
Cabri risponde alle nostre azioni modificando in tempo
reale l’oggetto.
Osservazione!
Se un punto appartiene ad una retta o ad una
circonferenza può essere spostato solo lungo la retta
o la circonferenza.
24
Relazioni geometriche e manipolazione delle
figure
Nelle figure di Cabri ci sono
• elementi geometrici
“liberi”, tracciati con gli
strumenti Punto, Retta, Circonferenza, ecc., ed
• elementi geometrici “vincolati” ai precedenti
secondo le relazioni geometriche scelte dall’utente;
questi vengono costruiti mediante gli strumenti di
relazione, come Perpendicolare, Parallelo, Punto
medio, Asse, Bisettrice, ecc.
Supponiamo di aver tracciato una retta r e un punto P
ad essa esterno e la parallela s ad r passante per P:
parallela s:
elemento
vincolato
retta r e punto
P: elementi
liberi
25
La distinzione tra elementi liberi ed elementi
vincolati è fondamentale quando si vuole modificare
la figura, poiché solo gli elementi liberi possono
essere afferrati con il puntatore e spostati
mediante il mouse.
Gli elementi vincolati rispondono ai trascinamenti
effettuati sugli elementi liberi conservando le
relazioni imposte nella costruzione.
Modificando la direzione della retta r, la retta s si
muoverà automaticamente in modo da continuare ad
essere parallela ad r e da passare per il punto P:
26
Questa dipendenza vale anche per le relazioni
composte: se oltre ad s, c’è una retta t
perpendicolare ad s, anche t si muove nel momento
in cui spostiamo r.
27
Figure dinamiche
<<… con i software di geometria dinamica, cambia la
stessa nozione di figura geometrica, che da statica,
come nelle figure tracciate alla lavagna o nel
quaderno, diventa qualcosa di dinamico, con la
quale si può interagire>>. [L. Tomasi]
Lavorare su figure dinamiche significa dare allo
studente la possibilità di manipolare direttamente le
figure per scoprirne le proprietà. Nell’apprendimento
tradizionale della geometria egli può solo osservare
figure statiche sul libro o sul proprio quaderno.
Questa dinamicità è fondamentale
• per cercare invarianti (formulando congetture),
• per esplorare i luoghi geometrici,
• per aiutare lo studente nella dimostrazione,
• per vedere se una costruzione è ben fatta (come
vedremo più avanti).
La geometria tradizionale tende ad essere una
geometria statica, dove le proprietà si riferiscono a
figure “ferme” e dove il movimento e le trasformazioni
(geometriche) entrano a fatica. Cabri, grazie alla sua
dinamicità, contribuisce alla comprensione della
geometria
del
movimento
presente
nell’insegnamento più moderno.
28
4. Costruzioni Geometriche
<<Cabri aiuta a focalizzare l’attenzione sulla
procedura costruttiva e non solo sul disegno come
risultato della procedura.>> [M.A. Mariotti]
29
Costruiamo un quadrato
In geometria esiste una differenza fondamentale tra
• disegnare una figura: è importante solo l’aspetto
finale (forma) della figura;
• costruire una figura: la realizzazione della figura
deve essere basata sugli strumenti di disegno in
modo da rispettare le relazioni geometriche che
caratterizzano la definizioni della figura. Esempio:
Supponiamo
di
voler
costruire un quadrato di
data base
Prima
tracciamo
la
perpendicolare alla base.
30
Sulla
perpendicolare
costruiamo
con
lo
strumento Circonferenza
un segmento di lunghezza
pari alla base.
Tracciamo
un’altra
perpendicolare e su di
essa individuiamo un
segmento sempre di
lunghezza uguale alla
base tracciando una
circonferenza.
Infine, completiamo il
quadrato tracciando il
quarto lato.
31
La didattica delle costruzioni geometriche
Cabri ha portato a riscoprire il valore formativo delle
costruzioni geometriche. Le costruzioni geometriche
permettono di applicare:
• la conoscenza delle definizioni,
• la conoscenza dei teoremi,
• la conoscenza delle possibilità costruttive dei vari
strumenti di disegno.
Le costruzioni geometriche aiutano lo studente:
• a rinforzare il tradizionale studio della geometria,
troppo legato alle dimostrazioni geometriche;
• a compiere ragionamenti spaziali e a manipolare gli
oggetti geometrici;
• a risolvere problemi rispettando regole costruttive
precise;
• ad applicare i teoremi per costruire una data figura o
per giustificare un dato procedimento costruttivo;
• a concatenare/integrare insieme diversi concetti
geometrici al fine di risolvere un dato problema.
Riga graduata: molti studenti non sanno costruire le
figure geometriche perché il loro modo di disegnare è
influenzato negativamente dall’uso della riga graduata
e da sistemi di riferimento già presenti nel foglio da
disegno (carta quadrettata, …).
Interdisciplinarietà: matematica e disegno tecnico.
32
La prova trascinamento
Cabri permette di distinguere
• un disegno geometrico fatto a occhio da
• una costruzione geometrica eseguita rispettando le
relazioni geometriche.
Esempio: cosa succede se costruiamo il quadrato a
occhio senza usare le relazioni geometriche?
Prova trascinamento: tiriamo, ad esempio, il vertice B
Se il quadrato non è stato costruito utilizzando le
opportune
relazioni
geometriche,
la
prova
trascinamento finirà per “distruggere” il quadrato.
Infatti, trascinando con il mouse i vertici del quadrato,
la figura si deforma in un quadrilatero irregolare.
Nella realizzazione del quadrato non è sufficiente
costruire una figura composta di quattro segmenti
disposti con la forma del quadrato.
33
Diversamente, in una costruzione geometrica la prova
trascinamento conserva la figura del quadrato:
La prova trascinamento è il paradigma didattico in
Cabri e in un certo senso ne costituisce l’essenza. E’
l’elemento chiave che distingue CABRI dai disegni su
un foglio di carta. Se una figura geometrica viene
costruita seguendo solo la forma e non le proprietà
della definizione, la prova trascinamento la distrugge.
Questo criterio di accettazione direttamente visibile è
di particolare importanza didattica ed è assolutamente
impossibile con i disegni su carta o su lavagna.
<<Mentre di fronte ad una dimostrazione personale lo
studente non ha alcun modo di vedere se è giusta, la
prova trascinamento è qualcosa di visibile, che può
essere fatto dallo studente stesso.>> [M.A. Mariotti]
34
La grammatica delle figure
Per costruire un quadrato, lo studente non deve
tracciare solo quattro segmenti congruenti, ma deve
esplicitare anche le relazione di perpendicolarità tra
di essi.
In definitiva, le figure di CABRI sono costituite da
• oggetti grafici visibili (punti, rette, segmenti,
circonferenze, ecc.), e
• relazioni
geometriche
(parallelismo,
perpendicolarità,
congruenza,
appartenenza,
simmetria assiale, ecc.) non direttamente visibili.
Le relazioni geometriche sebbene invisibili,
• sono importanti quanto gli elementi geometrici
visibili e giocano un ruolo essenziale nelle
costruzioni e nelle dimostrazioni geometriche;
• insieme agli elementi visibili contribuiscono a
definire “la grammatica delle figure”.
Questo fatto comporta che per costruire le figure
geometriche (quadrato, parallelogramma, ecc.)
bisogna conoscere le loro definizioni in forma corretta
e completa, altrimenti la prova trascinamento
distrugge la figura. Non è sufficiente ricordare la forma
di una figura, poiché conoscere la forma non significa
conoscerne le relazioni geometriche tra gli elementi
della figura.
35
La prova trascinamento rende visibili le relazioni
geometriche e obbliga lo studente a esplicitare (e
quindi a conoscere) la definizione di una figura.
In altri programmi per il disegno grafico le relazioni
geometriche (perpendicolarità, parallelismo, ...)
rimangono quasi sempre implicite o al più in secondo
piano. Anzi, questi programmi offrono primitive che
permettono già di tracciare numerose figure comuni,
senza lasciare allo studente la possibilità di applicare
le definizioni di tali figure. In questi programmi le
primitive di base riguardano quasi esclusivamente gli
oggetti grafici: punti, rette, cerchi, poligoni, ecc.
Per costruire le figure CABRI offre invece una serie di
comandi di base corrispondenti alle “relazioni”
geometriche più comuni: punto appartenente ad una
retta, punto appartenente ad una circonferenza, retta
parallela ad un’altra, retta perpendicolare ad un’altra,
ecc.
L’apparente semplicità ed essenzialità degli
strumenti disponibili in Cabri costituiscono il vero
punto di forza di questo software e lo rendono
didatticamente più efficace di tanti altri pacchetti
applicativi professionali per il disegno.
Esempio rette perpendicolari: es1, es2, es3.
36
Ricostruire figure passo-passo
Dopo aver realizzato una data figura, spesso è utile rivedere
i vari passi seguiti per la costruzione. Il comando
Ricostruzione passo a passo consente di rivedere la
costruzione di una figura passo per passo.
Proviamo ad esempio a rivedere la costruzione passo per
passo del quadrato realizzato in precedenza.
Il comando Ricostruzione passo a passo opera come la
tastiera di un registratore:
a) permette di andare all’inizio della costruzione;
b) tipo di oggetto costruito;
c) permette di tornare indietro di un singolo passo;
d) permette di avanzare di un singolo passo;
e) permette di andare alla fine della costruzione.
Esempio costruzione quadrato.
37
Avanzamento di un passo:
Dopo alcuni passi in avanti:
38
Dopo alcuni passi in avanti:
Fine della costruzione:
39
40
5. Cambiare l’aspetto delle figure
Le costruzioni realizzate con Cabri possono essere rese più
“leggibili” migliorandone l’aspetto grafico e introducendo
nomi o commenti per gli elementi della figura. Questi
elementi aiutano a ragionare sulle figure tracciate e,
soprattutto, a descrivere le figure al fine di comunicare agli
altri le osservazioni compiute.
41
Gli strumenti di Visualizza
Permette di
etichettare i vari
elementi
geometrici (punti,
rette, angoli, ...)
Permette di scrivere un
commento sul foglio di
disegno
Permette di scrivere un numero sul
foglio da usare, ad esempio, per una
rotazione o per una omotetia
Permette di contrassegnare un
angolo con un archetto
Permette di bloccare o
sbloccare la posizione di
un punto libero
42
Etichettare gli oggetti di una figura
In generale per descrivere le figure e per ragionare su di
esse è comodo poter dare un nome agli oggetti grafici della
figura. Lo strumento Nomi permette di associare un nome o
una lettera ai vari elementi grafici.
Num
Testo di commento
Etichette
Archetto
per segnare
un angolo
E’ possibile anche aggiungere al testo dei riquadri con
commenti utili a descrivere aspetti della figura. Questo può
essere fatto mediante lo strumento Testo. Su foglio
possono essere scritti anche numeri utili per la costruzione
di figure mediante lo strumento Numeri.
43
Gli strumenti di Disegna
Questi strumenti permettono di migliorare l’aspetto
delle figure da noi realizzate rendendole più chiare. La
seguente
figura mostra la funzione di ciascun
strumento presente in tale gruppo.
Permette di
nascondere
oggetti o di farli
riapparire
Permette di modificare il
colore di un oggetto
Permette di colorare figure
chiuse (poligoni, cerchi, ...)
Permette di cambiare lo
spessore del contorno di
un oggetto
Permette di modificare una
linea da continua a tratteggiata
Permette di cambiare
l’aspetto di un punto, i
segni di un angolo o di un
segmento, ...
Gli ultimi tre strumenti servono per la geometria del
piano cartesiano...
44
Esempio: uso degli strumenti di Disegna
La seguente figura mostra come siano stati utilizzati
diversi espedienti grafici per migliorare l’aspetto delle
figure:
Possiamo notare l’uso del colore di riempimento per i
quadrilateri, l’uso del tratteggio, la marcatura di un
angolo retto, …
45
Nascondere gli elementi ausiliari di una
costruzione
Nella realizzazione di una costruzione geometrica
spesso è necessario tracciare numerosi oggetti grafici
ausiliari che non sono rivelanti per i successivi
ragionamenti geometrici. Cabri consente di rendere
invisibili questi elementi ausiliari in modo da aiutare lo
studente a concentrarsi sugli elementi di interesse. Ad
esempio, riconsideriamo la costruzione realizzata in
precedenza per il quadrato.
Può essere migliorata evidenziando i lati del quadrato
e nascondendo tutti i dettagli costruttivi impiegati per
arrivare al quadrato.
46
Il risultato finale mostra solo la figura che interessa:
47
6. Verificare relazioni e misurare
Cabri non è solo un ambiente ideale per costruire e
manipolare figure geometriche, ma può essere
impiegato proficuamente per studiare teoremi e per
formulare congetture sulle proprietà di figure
geometriche. A tale scopo, Cabri mette a disposizione
due tipi diversi di strumenti per acquisire informazioni
sulle figure realizzate:
- strumenti per verificare proprietà, permettono di
verificare la validità di proprietà come l’allineamento di
punti, la congruenza di segmenti, il parallelismo tra
rette, ecc.
- strumenti per misurare, permettono di compiere
misurazioni di vario genere sugli elementi delle figure,
come determinare la lunghezza di segmenti,
l’ampiezza di angoli, l’area di figure, ecc.
48
Gli strumenti di Verifica proprietà
Questi strumenti permettono di verificare la validità di
alcune relazione geometriche, come parallelismo,
allineamento, ecc. La seguente figura mostra gli
strumenti a nostra disposizione.
Permette di verificare se tre
punti giacciono sulla stessa
retta
Permette di verificare
se due rette (o
segmenti o semirette)
sono parallele
Permette di verificare
se due rette (o
segmenti, o semirette)
sono perpendicolari
Lo strumento valuta se
dati tre punti, il primo
punto è equidistante
dagli altri due
Permette di verificare se
un punto si trova su un
dato oggetto geometrico
49
Esempio: Verificare proprietà
Consideriamo un triangolo inscritto in una
circonferenza con un lato coincidente con il diametro.
Verifichiamo che i lati AC e BC sono perpendicolari.
Dopo
aver
selezionato
lo
strumento
Perpendicolare?, possiamo selezionare i due
segmenti AC e BC, di cui vogliamo controllare la
perpendicolarità.
50
Modificando la figura si può osservare che la
proprietà sussiste ancora:
Con un’altra figura in cui nessuno dei tre lati è
diametro della circonferenza si osserva che la
proprietà non sussiste più.
Questo tipo di osservazione dovrebbe aiutare lo
studente
• a formulare come congettura che ogni triangolo
inscritto in una semicirconferenza è rettangolo e
• a interrogarsi sul perché.
Naturalmente rimane il compito di procedere alla
dimostrazione della verità della congettura.
51
Gli strumenti di Misura
Gli strumenti di Misura permettono di compiere
misurazioni di vario tipo sulle figure.
Permette di determinare la
lunghezza di un segmento, o
la distanza tra due oggetti, o
il perimetro di un poligono o
di un cerchio.
Permette di determinare
l’area di una figura (occorre
selezionare un poligono o una
circonferenza)
Permette di determinare
l’ampiezza di un angolo ABC
(selezionando prima il punto A,
poi il punto B e, infine, il punto
C, oppure selezionando
l’archetto che marca l’angolo).
Deformando la figura, le misure vengono
aggiornate automaticamente in modo da riflettere la
nuova figura. Esempio triangolo isoscele.
Mentre la riga graduata reale può essere usata sia in
fase costruttiva che in fase di acquisizione dati (per
fare congetture), in Cabri queste due funzionalità
sono separate.
52
Esempio: Rapporto tra circonferenza e diametro
modificando il diametro del cerchio …
53
Misurare l’area delle figure
Per misurare l’area di una figura limitata Cabri mette a
disposizione lo strumento Area tra gli strumenti di
Misura.
Selezionando la figura è possibile avere la misura
dell’area nel sistema di misura selezionato.
Per poter misurare l’area, è necessario che la figura
sia stata tracciata con gli strumenti Triangolo, o
Poligono o Circonferenza.
54
Esempio: Triangoli equivalenti
Tutti i triangoli con
la stessa base e la
stessa altezza sono
equivalenti
55
Lo strumento Calcolatrice
Nello studio delle proprietà di una figura geometrica è
utile poter considerare non solo semplici misurazioni
sugli elementi delle figura, ma anche poter compiere
operazioni su tali dati. A tale scopo, Cabri mette a
disposizione lo strumento Calcolatrice (presente
negli strumenti di Misura) che offre tutte le funzioni
matematiche di una normale calcolatrice tascabile
scientifica.
I dati vengono inseriti digitando direttamente i numeri,
oppure selezionando misurazioni effettuate sui
disegni.
Il risultato dell’operazione matematica si ottiene
cliccando il tasto = e può essere trasportato con il
mouse sul foglio da disegno dopo aver selezionato la
casella del risultato.
Questo strumento risulta utile sia per verificare
teoremi, sia per formulare congetture.
56
Esempio: la somma degli angoli di un triangolo
Consideriamo un triangolo scaleno e misuriamone gli
angoli interni.
Attiviamo la voce Calcolatrice negli strumenti di
Misura. Selezioniamo le misure degli angoli da
sommare intercalate dall’operatore di somma.
57
Premendo il tasto uguale possiamo ottenere il
risultato.Tale risultato può essere trasportato nel
disegno e mediante lo strumento Testo possiamo
anche modificare il testo associato al risultato:
58
Misurare vuol dire Esplorare
Date due circonferenze secanti nei punti A e B e
considerato un qualsiasi punto C su una delle due
circonferenze, tracciamo le semirette CA e CB che
incontrano l’altra circonferenza in D e in E
rispettivamente. Esaminate i vari segmenti.
Cosa potete dire? … Provate a spostare C …
59
Esplorare vuol dire fare congetture
Invariante: Il segmento DE conserva la stessa
lunghezza al variare di C.
60
Misurare non vuol dire Dimostrare!!!
Cabri permette di misurare segmenti, angoli e aree
osservando in tempo reale l’evoluzione di queste
misure al variare della figura. Attraverso un altro
strumento (Tabella) lo studente può anche tabulare i
valori raccolti nelle proprie esplorazioni.
Le osservazioni e le misurazioni realizzate con Cabri
sono un aiuto importante per fare geometria e
permettono all’allievo di “scoprire” nuove proprietà.
Non bisogna comunque dimenticare di sottolineare
con gli allievi che la misurazione di per sé non dà una
dimostrazione delle proprietà scoperte: la verità di un
teorema deve essere sempre provata mediante
una dimostrazione.
Le misurazioni effettuate sulle figure non possono
essere considerate come dimostrazioni poiché
• al pari delle misurazioni effettuate sugli oggetti reali,
ogni misurazione fa riferimento a figure specifiche e
la manipolazione di queste figure non consente di
cogliere la totalità delle figure a cui fanno riferimento
i teoremi (“... in tutti i triangoli rettangoli...”);
• la precisione delle misurazioni realizzate in Cabri è
sempre finita e non esatta in senso matematico.
61
Visualizzare le dimostrazioni: il teorema di
Pitagora
In alcuni casi la dinamicità delle figure si rivela un
ausilio prezioso per illustrare la dimostrazione di un
teorema…
62
63
64
65
7. Isometrie
66
Simmetrie assiali
67
Simmetrie centrali
68
Vettori e Traslazioni
69
Rotazioni
70
8. Costruire nuovi strumenti per fare geometria
All’inizio l’universo di Cabri presenta solo un piccolo
numero di oggetti primitivi e di costruzioni possibili.
Ma l’insieme di queste primitive può essere ampliato
grazie alle “macro-costruzioni” che permettono di
definire una nuova costruzione semplicemente
indicandone gli elementi iniziali e il risultato finale su
un prototipo realizzato sullo schermo. In questo modo,
l’universo geometrico si arricchisce di nuove
astrazioni che segnano la scoperta della geometria e
permettono di andare verso situazioni di complessità
crescente.
<<La macro sintetizza una conoscenza (teorica e
operativa) acquisita per diventare uno strumento per
costruzioni (e conoscenze) ulteriori.>> [P. Boieri]
71
Macro: nuove primitive
Cabri permette all’utente di memorizzare la sequenza
di passi di una costruzione dando ad essa un nome
simbolico. Questa sequenza può essere richiamata e
riutilizzata quante volte si desidera per costruire figure
analoghe a quella originale.
Le macro generalizzano la costruzione da noi
realizzata in quanto non permettono solo di creare
copie identiche della costruzione originale, ma
possono essere applicate su figure dove le dimensioni
degli elementi geometrici sono diverse da quelle degli
oggetti originali. Ad esempio, nel caso del triangolo
equilatero la stessa macro può essere usata per
tracciare triangoli equilateri di dimensione diversa.
MACRO: TRIANGOLO
GENERALIZZAZIONE
PROTOTIPO
72
Questa cosa può essere realizzata mediante l’uso
delle macro che, in tal modo, consentono di arricchire
l’insieme degli strumenti disponibili in Cabri con un
nuovi strumenti realizzati dall’utente permettendo di
realizzare figure sempre più complesse. Le macro
sono quindi un meccanismo fondamentale per
dominare la complessità delle figure geometriche.
Le macro costituiscono un meccanismo per definire
astrazioni simile alla definizione di procedure nei
linguaggi di programmazione. Ad esempio, una
volta che lo studente ha scoperto come realizzare un
triangolo isoscele, dati base e lato obliquo, è possibile
dare un nome a tale procedura e conservarla per
riutilizzarla in seguito.
La parametrizzazione rende ancora più generale la
procedura, poiché consente allo studente di definire la
procedura a partire da un prototipo, cioè da una caso
particolare, indicando poi quali lati vanno considerati
parametri. La cosa interessante è legata al fatto che
la definizione non richiede istruzioni simboliche
(tipiche di un linguaggio di programmazione), ma può
essere specificata manipolando direttamente gli
oggetti grafici tracciati sullo schermo.
73
Macro: istruzioni per l’uso
Le “macro-costruzioni” permettono di definire un
nuovo
strumento
di
costruzione
a
partire
semplicemente da un prototipo. Su tale prototipo è
sufficiente indicare gli elementi iniziali, il risultato
finale e poi dare un nome al nuovo strumento.
Immaginiamo di dover tracciare numerosi triangoli
equilateri sul foglio di disegno. Una volta che abbiamo
costruito un primo triangolo equilatero, sarebbe
comodo poter realizzare gli altri automaticamente
senza dover compiere di nuovo tutti i passi della
costruzione geometrica.
Innanzi tutto costruiamo un triangolo equilatero a
partire dal segmento base. Ricordiamoci che il
triangolo finale deve essere realizzato con lo
strumento Triangolo (non con tre segmenti).
Attiviamo quindi la voce Oggetti iniziali nello
strumento Macro:
74
Selezioniamo quindi il segmento iniziale da cui siamo
partiti per realizzare il triangolo equilatero.
75
Ora selezioniamo la voce Oggetti finali nello
strumento Macro.
e selezioniamo l’intero triangolo:
76
A questo punto è possibile definire la macro attivando
la voce Definizione della macro nello strumento
Macro. Mediante la finestra di dialogo possiamo
indicare il nome con cui richiamare la sequenza di
passi, possiamo specificare un eventuale messaggio
di aiuto e possiamo associare al nuovo strumento
un’icona di riconoscimento:
La definizione così realizzata determina un nuovo
strumento a disposizione nel gruppo Macro. Questo
strumento ora può essere richiamato e usato come gli
altri strumenti predefiniti di Cabri. Dopo aver attivato lo
strumento selezioniamo un segmento.
77
Cliccando avremo
equilatero:
come
risultato
un
triangolo
78
Salvare e ricaricare macro
Per salvare la macro da utilizzare in più sessioni è
necessario attivare la spunta di Salva come file nella
finestra di dialogo Definizione della macro:
Chiudendo la finestra si apre un’altra finestra che ci
consente di memorizzare la macro come file:
79
Quando vogliamo invece ricaricare la macro è
sufficiente utilizzare la voce Apri nel menù File
indicando come Tipo file le macro:
80
9. Luoghi geometrici
La dinamicità di Cabri ne fa uno strumento
particolarmente efficace per lo studio dei luoghi
geometrici. La possibilità di modificare una figura per
trascinamento permette di vedere la “traiettoria”
percorsa da un punto. A tutto questo si aggiunge il
fatto che Cabri permette di visualizzare luoghi
geometrici materializzando la traccia di un punto
prescelto quando un altro punto è spostato
rispettando certi vincoli.
In questo ambito Cabri mostra una superiorità netta
nei confronti del disegno su carta che non ha la
possibilità di visualizzare la traccia di un punto mobile.
Il luogo geometrico è un concetto intrinsecamente
legato al movimento e pertanto Cabri costituisce un
ambiente ideale per studiare i luoghi geometrici.
81
L’uso di traccia e l’uso di luogo
In Cabri esistono due modalità per materializzare la
curva di un luogo geometrico:
• Traccia: questa primitiva era l’unica disponibile
nella prima versione di cabri per DOS;
• Luogo: rappresenta un perfezionamento della
primitiva precedente ed è disponibile solo nella
versione Cabri-II.
82
Mentre Traccia consente solo di visualizzare la
traiettoria percorsa da un punto, la primitiva Luogo
genera un oggetto che può essere parzialmente
manipolato come le altre rette e circonferenze
(fissando, ad esempio, su di esso un punto, ecc.)
83
Visualizzare un luogo geometrico
Non tutte le definizioni date in geometria si prestano
per una costruzione diretta (definizioni costruttive). Ad
esempio:
“L’asse del segmento è il luogo geometrico dei punti
equidistanti dagli estremi”.
Cabri offre un comando per costruire un luogo
geometrico e questo permette di cogliere definizioni
non di tipo costruttivo.
Innanzi tutto, costruiamo un punto equidistante dagli
estremi del segmento AB.
Questo
può
essere
fatto
costruendo
una
circonferenza di centro A e raggio AC. Quindi
costruiamo con lo strumento Compasso una
circonferenza con lo stesso raggio e centro B. Siano P
84
e P’ i punti intersezione: questi punti sono ovviamente
equidistanti da A e B.
Variando il raggio AC della circonferenza vedremo
spostarsi anche i punti P e P’. Per studiare il percorso
di tali punti utilizziamo lo strumento Luogo disponibile
nel gruppo di strumenti Costruisci.
Attiviamo strumento e selezioniamo i due punti P e P’.
85
Purtroppo, Cabri II non riesce a costruire in modo
completo l’asse, ma lascia incompleta una parte.
Nella nuova versione Cabri II Plus l’inconveniente
tecnico è stato invece risolto.
Possiamo verificare che il luogo tracciato da tali punti
corrisponde esattamente alla definizione data in
precedenza del concetto di asse del segmento.
Tracciamo due punti qualsiasi R e S sul luogo
geometrico e facciamo passare una retta per questi
due punti.
86
Utilizzando gli strumenti del menù Verifica possiamo
verificare che la retta per RS è perpendicolare al
segmento AB e, inoltre, passa per il punto medio del
segmento AB.
87
Esempio: Una scala appoggiata al muro
Una scala è appoggiata al muro. A metà della
presente un gancio. Ad un certo momento la scala
comincia a scivolare. Quale traiettoria viene percorsa
dal gancio?
88
10. Cabri e il piano cartesiano
Nello studio della geometria analitica, il rapporto tra
figure ed equazioni è invertito rispetto a DERIVE. In
questo caso, l’utente costruisce l’oggetto grafico e
Cabri visualizza equazione e coordinate di punti.
Modificando l’oggetto grafico o spostando punti, lo
studente può vedere come cambiano i parametri delle
equazioni.
Dal punto di vista del linguaggio verbale CABRI non è
particolarmente efficace perché tende a bypassare
l’uso delle parole grazie all’interfaccia ad icone, che
contribuisce a mantenere l’attenzione dello studente
sugli elementi geometrici e sulle relazioni
geometriche. Per compensare questa carenza è
opportuno integrare il lavoro con schede di lavoro.
89
Coordinate e griglie
90
91
Equazioni di rette e curve
92
93
94
Bibliografia
1. P. Boieri e C. Dané (2003) Cabri – Laboratorio
informatico per la matematica. Loescher.
2. P. Boieri e C. Dané (2003) Geometria con Cabri –
Costruire, scoprire e dimostrare. Loescher.
3. Brambilla M., Facciotto L. e Lamanna E. (1999)
Moduli operativi per Cabri-géomètre. Paravia.
4. Brigaglia A., Indovina G. (2003) Stelle, Girandole e
altri oggetti matematici. Decibel Zanichelli.
5. Cabrirrsae – Bollettino degli utilizzatori di software
matematici. IRRE Emilia Romagna.
6. Di Stefano C. (2000) Cabri. Matematica
Laboratorio. Ghisetti e Corvi. voll. A, B, C.
in
7. Paola D. e Robutti O. (1999) Dall’assiomatico al
virtuale: Cabri-géométre. In ITER Scuola Cultura e
Società, n.6 Treccani.
8. Manara C.F. e Cantoni M.M (1999) Logica e realtà
virtuale in geometria. In Nuova Secondaria, n.4.
9. Maraschini W., Meneghini M. e Palma (1996)
Strategie Matematiche: Costruire, Dimostrare.
Pitagora Editrice.
95
10. MPI Geometria e Multimedialità. Quaderni della
Direzione Generale Istruzione Classica e Scientifica
e Magistrale, n. 35.
11. Polya G. (1962) Mathematical Discovery. John
Wiley & Sons.
12. Quaderni
Romagna.
di
CABRIRRSAE
-
IRRE
Emilia
13. Texas Instruments Instructional Communications
(1997) Cabri Geometre II. Guida per Macintosh,
Windows e MS-DOS. Texas Instruments.
14. Trudeau R.J. (1991) La rivoluzione non euclidea.
Boringhieri.
15. Verdiani R. (1998) Costruzioni Geometriche. In
Nuova Secondaria, n.3.
http://www.fardiconto.it/flatlandia
http://www.fardiconto.it/cabrirrsae/
http://kidslink.bo.cnr.it/fardiconto/cabrijava/risorse.html
http://www.fardiconto.it/esplorare/Defalut.htm
96

La geometria con Cabri - Nucleo di Ricerca in Didattica dell

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