Superfici Quadriche

SUPERFICIE SFERICA O SFERA
Luogo dei punti dello spazio equidistanti da un punto fisso detto centro.
Detto C (x0 , y 0 , z 0 ) il centro, l’equazione di una sfera di raggio r è
( x − x 0 )2 + ( y − y 0 )2 + ( z − z 0 )2 = r 2
1
0.5
0
-0.5
-1
-1
-1
-0.5
-0.5
0
0
0.5
0.5
1
1
ELLISSOIDE
Chiamasi ellissoide la superficie di equazione
x2 y2 z 2
+ 2 + 2 =1
2
a
b
c
Più precisamente, tale equazione rappresenta un ellissoide con centro nell’origine e
semiassi a, b, c.
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
1.5
1
-3
-2
0.5
-1
0
0
-0.5
1
-1
2
-1.5
3
In generale, le sezioni piane di un ellissoide sono delle ellissi. Ad esempio,
intersecando la superficie con il piano xy (z = 0) si ottiene
x2 y2
+
=1
a 2 b2
che interpretata nel piano xy rappresenta un’ellissi di semiassi a, b.
Si noti che un ellissoide risulta interamente contenuto nel parallelepipedo definito da:
−a ≤ x ≤ a;
−b ≤ y ≤ b;
−c ≤ z ≤c.
IPERBOLOIDI
Chiamasi iperboloide a una falda la superficie di equazione
x2 y2 z 2
+
− =1
a 2 b2 c 2
2
1
0
-1
-2
20
10
4
2
0
0
-10
-2
-20
-4
Le intersezioni di tale superficie con piani paralleli al piano coordinato xy sono delle
ellissi, mentre i piani paralleli ai piani coordinati zx e yz intersecano l’iperboloide
lungo delle iperboli.
Chiamasi iperboloide a due falde la superficie di equazione
x2 y2 z 2
+
− = −1
a 2 b2 c 2
0.8
0.6
0.4
z
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
5
2
0
0
-5
-2
y
x
Come l’iperboloide a una falda, l’iperboloide a due falde presenta sezioni ellittiche
lungo piani paralleli al piano xy e sezioni iperboliche lungo piani verticali.
Entrambe le iperboloidi sono asintotiche al cono di equazione:
x2 y2 z 2
+ 2 − 2 = 0.
2
a
b
c
CONI
Si chiama Superficie di Rotazione (o superficie rotonda) una superficie generata da
una curva che ruota attorno a una retta fissa detta asse (con la quale la curva è
rigidamente legata).
L’equazione della superficie rotonda generata da una curva del piano yz, di equazione
z = f ( y ) , che ruoti attorno all’asse z, si ottiene sostituendo nell’equazione della
curva, la variabile y con ±
x2 + y2 .
Facendo ruotare la retta di equazione z = y attorno all’asse z, la superficie che si
2
2
ottiene è un cono circolare retto: z = ± x + y ⇒
x2 + y2 − z 2 = 0
Fonte dell’immagine: http://www.isit100.fe.it/~cavicchi.m/soluzioni/cono.jpg
L’equazione generale di un cono (avente sezioni ellittiche lungo piani paralleli al
piano xy) è:
x2 y2 z 2
+ 2 − 2 =0
2
a
b
c
SUPERFICIE CILINDRICA O CILINDRO
Si chiama Superficie Cilindrica (o cilindro) una qualunque superficie ottenuta
conducendo dai punti di una curva le parallele a una direzione fissa, o in altri termini,
ogni superficie generata da un retta che si muove (mantenendo costante la sua
direzione) lungo una curva. La curva lungo cui si muove la retta è detta direttrice,
mentre la retta che “disegna” la superficie è detta retta generatrice.
Data l’equazione di una curva del piano xy, f ( x, y ) = 0 , la stessa equazione
rappresenta nello spazio una superficie cilindrica le cui generatrice è parallela all’asse
z. Un’analoga interpretazione sussiste per le equazioni della forma f ( y, z ) = 0 ,
f ( x, z ) = 0 , pertanto riassumendo si ha:
nello spazio, un’equazione contenente due sole variabili rappresenta una superficie
cilindrica le cui rette generatrici sono parallele all’asse corrispondente alla
variabile mancante.
Pertanto, l’equazione
x2 + y 2 = r 2
rappresenta un cilindro circolare retto avente raggio r e generatrici parallele all’asse z.
5
4
3
2
z
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
1
0.5
1
0.5
0
0
-0.5
-0.5
-1
x
-1
y
In base alla definizione, le superfici cilindriche possono presentarsi anche in altre
forme, quali cilindri ellittici, cilindri parabolici e cilindri iperbolici. Ad esempio,
z = x 2 , rappresenta un cilindro parabolico avente l’asse y per “vertice”:
25
20
z
15
10
5
0
5
0
-5
-5
-4
-3
-1
-2
x
y
0
1
2
3
4
5