Il giunto di Cardano

ITIS Omar Dipartimento di Meccanica
1
IL GIUNTO DI CARDANO
Il giunto di Cardano viene usato per collegare due alberi con assi concorrenti formanti fra loro un angolo
generalmente diverso da zero.
Per effettuare lo studio cinematico del giunto si faccia riferimento alle viste in pianta e in prospetto della
trasmissione.
Quando gli alberi ruotano, gli estremi aa della crociera si muoveranno nel piano frontale a descrivere una
circonferenza, mentre gli estremi bb della crociera descriveranno un’ellisse (rappresentata con linea a tratti).
Se l’albero A ruota di un angolo α (da aa a a1 a1 ), anche la proiezione di bb ruoterà di un angolo α fino a
portarsi in b1 b1 . L’angolo β di rotazione dell’albero condotto B si ricava determinando la vera posizione di
b1 b1 (ovvero vista lungo l’asse di B)
ITIS Omar Dipartimento di Meccanica
2
Il punto b1 sul piano frontale corrisponde, in pianta, al punto b1 ’ . Il punto b1 ’ viene successivamente ribaltato
nel piano contenente aa (punto c2 ). La proiezione di c2 sul piano frontale determina il punto b2 permettendo
la definizione dell’angolo β. Valgono allora le seguenti relazioni:
oc1
oc
oc
tan β = 2 = 2
b1 c1
b2 c2 b1c1
tan α oc1 oc1
=
=
= cos δ
tan β oc2 ob1'
tan α = tan β ⋅ cos δ
[1]
tan α =
Derivando entrambi i membri della [1] rispetto al tempo si ricava la relazione tra le velocità degli alberi.
dα
dβ
= sec 2 β
cos δ
dt
dt
sec 2 α ⋅ ω a = sec 2 β ⋅ ω b ⋅ cos δ
sec 2 α
sec 2 α ⋅ ω a = (1 + tan 2 β ) ⋅ cos δ
dalla [1] si ottiene
 tan 2 α 
sec α ⋅ ω a =  1 +
 ⋅ ω b ⋅ cos δ
2
 cos δ 
2
ωa
( cos
=
2
δ + tan 2 α )
cos δ
ωb
cos δ
=
ω a 1 − sin 2 δ ⋅ cos2 α
⋅ cos 2 α ⋅ ω b
[2]
ITIS Omar Dipartimento di Meccanica
3
Il rapporto ωb /ωa ha un valore massimo pari a 1/cosδ che viene raggiunto quando cosα = ±1 ovvero quando
α vale 0, 180°, etc…
Il rapporto ωb /ωa ha invece un valore minimo pari a cosδ che viene raggiunto quando cosα = 0 ovvero
quando α vale 90, 270°, etc..
L’irregolarità periodica della trasmissione I , per ωa costante è pari a:
I=
ω 
ω b max − ω b min  ω b 
1
=  − b  =
− cos δ = sin δ ⋅ tan δ
ωbmedio
 ω a  max  ω a  min cos δ
L’albero condotto e conduttore hanno la stessa velocità quando:
cos δ
=1
1 − sin 2 δ ⋅ cos 2 α
1 − cos δ
1
cos 2 α =
=
2
sin δ
1 + cos δ
2
tan α = ( 1+ cos δ ) ⋅ sin2α = cosδ
tanα = ± cosδ
[3]
Ci sono pertanto quattro angoli di rotazione in corrispondenza dei quali durante ciascun giro la velocità
dell’albero condotto uguaglia quella dell’albero motore
Calcolo delle accelerazioni
Supponendo costante la velocità angolare ωa dell’albero motore, l’accelerazione dell’albero condotto vale:
dωb dα sin 2 δ ⋅ cos δ ⋅ sin2α dα
=
⋅
⋅
dt
dt (1− sin2 δ ⋅ cos 2 α )2 dt
d ωb
sin 2 δ ⋅ cos δ ⋅ sin2α
= −ω a2 ⋅
2
dt
(1 − sin 2 δ ⋅ cos 2 α )
[4]
L’accelerazione dell’albero condotto si annulla per valori di α multipli di π/2 e assume valori uguali e
opposti per valori di α supplementari.
Il valore massimo dell’accelerazione si trova ponendo a zero la derivata prima della [4]
d
sin2α

=0

2
2
dt  1 − sin δ ⋅ cos α 
2
(1 − sin δ ⋅ cos α ) ⋅ cos2α =sin 2α ⋅sin δ
(1 − 0.5 ⋅ sin δ (1 + cos2α ) ) ⋅ cos2α = (1 − cos
2
2
2
2
2
2
2α ) ⋅ sin 2 δ
2cos2α − sin 2 δ ⋅cos2α − sin 2 δ ⋅cos2α = 2sin 2 δ − 2sin 2 δ ⋅ cos 2 2α
cos2α =
sin 2 δ ⋅ ( 2 − cos 2 2α )
2 − sin 2 δ
[5]
ITIS Omar Dipartimento di Meccanica
4
Facendo riferimento ai valori ai consueti valori di δ (valori non superiori a 30°) la soluzione della [5]
fornisce valori di α prossimi a 45°. In queste condizioni cos 2 2α è molto piccolo e può essere trascurato nei
confronti di 2. La [5] pertanto può essere semplificata come di seguito proposto:
2sin 2 δ
cos2α ;
2 − sin 2 δ
[6]
Ipotizzando che il valore massimo dell’accelerazione si ottenga, come è stato detto in precedenza, in
corrispondenza di un angolo di rotazione α pari a 45°, tale massimo può essere immediatamente calcolato
con la seguente relazione:
2
 dωb 
2 sin δ ⋅ cos δ
;
ω


a
2
 dt max
 sin2 δ 
1− 2 


Bibliografia
G. Bongiovanni, G. Roccati
R. Giovannozzi
J.Hannah, R.C. Stephens
Giunti fissi, articolati, elastici e di sicurezza
Costruzione di macchine vol. I
Mechanics of machines
Levrotto & Bella To
Patron
Arnold