SP500 vs AEX - "PARTHENOPE"

Transcript

Giovanni De Luca
Statistica dei mercati
monetari e finanziari
A.A. 2007/2008
Σk ρ2
i=1 k
10
8
6
0.15
0.1
0.05
4
0
2
0
0
200
400
600
−0.05
Order book
0
10
20
30
SP500 vs
AEX
0.5
−15
0.4
−20
0.3
−25
0.2
0.1
−30
−4
Statistica MMF 2007/08 G. De Luca
0
5
10
Università di Napoli Parthenope
e-mail: [email protected]
webpage: docenti.dsmre.uniparthenope.it/deluca
−2
0
2
4
2
Introduzione
Il corso di Statistica dei mercati monetari e finanziari si propone l’obiettivo
di descrivere semplici, ma pur sempre efficaci, metodologie statistiche finalizzate all’analisi delle più rilevanti grandezze in ambito finanziario, in primis i
rendimenti.
È opinione non sporadica quella di poter divenire in grado di prevedere i
movimenti dei prezzi delle attività finanziarie dopo aver opportunamente studiato l’architettura dei mercati finanziari e acquisito gli strumenti matematicostatistici idonei a rappresentarne il funzionamento. In realtà, lo studio dei mercati finanziari (in generale, e dunque anche utilizzando l’approccio statistico)
ha il primario obiettivo di meglio conoscere una realtà (la struttura dei mercati
finanziari, i comportamenti degli operatori, le strategie più diffuse) senza poter
trasmettere competenze tali da essere in grado di anticipare il futuro.
Capitolo 1
Definizione di rendimento
finanziario
L’analisi statistica dei mercati finanziari si concretizza nell’analisi delle piú
rilevanti variabili nell’ambito dei mercati finanziari. Un ruolo cruciale è sicuramente attribuito ai prezzi delle attività finanziarie. Varie sono le attività finanziarie a disposizione per le contrattazioni. I titoli azionari rappresentano l’attività finanziaria più diffusamente scambiata e per questo motivo la trattazione
nel seguito farà costante riferimento a questa tipologia di attività finanziaria.
Giova comunque sapere che esistono altre forme di attività finanziarie, talune
anche particolarmente complesse, come futures, options e cosı̀ via.
I titoli azionari sono scambiati in un apposito mercato, il mercato azionario,
normalmente gestito da una società, in Italia la Borsa Italiana S.p.A.
La definizione di prezzo di un titolo azionario non è univoca. Nell’ambito di
una giornata di contrattazioni, si ha
• il prezzo di apertura (o prezzo Open);
• il prezzo di chiusura (o prezzo Close);
• il prezzo più elevato (o prezzo High);
• il prezzo più basso (o prezzo Low);
• il prezzo ufficiale (media dei prezzi di tutte le transazioni effettuate in una
giornata ponderati per le quantità scambiate);
• prezzo di riferimento (media ponderata dei prezzi dell’ultimo 10% delle
transazioni effettuate).
Tipicamente si fa riferimento al prezzo di chiusura oppure al prezzo di riferimento. Ma il maggiore interesse è focalizzato sull’analisi dei rendimenti, che
dei prezzi sono trasformazioni, in quanto questi forniscono una misura della variazione relativa dei prezzi. Ogni investitore è infatti interessato ai guadagni o
alle perdite in valore relativo (es. 1% oppure 2%) e non in valore assoluto.
3
4
CAPITOLO 1. DEFINIZIONE DI RENDIMENTO FINANZIARIO
Il rendimento di un titolo finanziario può essere definito in diversi modi.
Avendo indicato il prezzo al tempo t di uno specifico titolo con pt , e il prezzo al
tempo t − j dello stesso titolo con pt−j , il rendimento nell’intervallo temporale
(t − j, t) è definito come
pt − pt−j
r(t−j,t) =
,
pt−j
ovvero come variazione relativa dei prezzi.
Un rendimento positivo implica pt > pt−j , ovvero un aumento del prezzo
nel periodo considerato. Un rendimento negativo implica pt < pt−j , ovvero un
decremento del prezzo nel periodo considerato.
Se j = 1, allora il rendimento è calcolato rispetto al tempo precedente,
r(t−1,t) =
pt − pt−1
.
pt−1
Si pensi ai prezzi di un titolo rilevati giornalmente. Il tempo t − 1 indica un
giorno (es. 14 marzo), il tempo t indica il giorno successivo di apertura della
Borsa (es. 15 marzo). In questo caso il rendimento rt è dunque un rendimento
giornaliero. Nel corso delle lezioni si farà riferimento ai rendimenti giornalieri
quando non diversamente specificato.
Qualora si tenga conto anche dei dividendi riscossi tra il tempo t − j e il
tempo t (indicati con dt ), il rendimento rt viene definito come
r(t−j,t) =
pt + dt − pt−j
.
pt−j
Infine si parla di rendimenti logaritmici (log-returns nella terminologia anglosassone) quando il rendimento viene definito come logaritmo naturale del
rapporto tra il prezzo al tempo t e il prezzo al tempo t − j, ovvero
r(t−j,t) = ln
pt
,
pt−j
che, nel caso di rendimenti calcolati rispetto al periodo precedente (j = 1),
diviene
pt
r(t−1,t) = ln
.
pt−1
L’ipotesi di una legge di capitalizzazione composta continua è alla base della
nozione di log-returns. Sulla base di questa legge, ipotizzando un tasso d’interesse annuale i pari a 0.05 (5%), 100 euro producono dopo 1 anno (un montante
di) 100 exp(0.05) = 105.27. Se indico con pt−1 la somma in euro investita al
generico tempo t − 1 e con pt la somma finale al tempo t, e i è il tasso d’interesse
(o rendimento) del periodo che intercorre tra t − 1 e t, allora
pt−1 exp (i) = pt .
Ricavando i dalla suddetta espressione, si ottiene
i = ln
pt
.
pt−1
5
Per i rendimenti logaritmici vale un’utile proprietà. Il rendimento del genept
rico periodo (t − j, t), ln pt−j
, può essere espresso come somma dei rendimenti
intermedi. Infatti
ln
pt
pt−j
=
=
pt pt−1
pt−j+1
...
pt−1 pt−2
pt−j
pt
pt−1
pt−j+1
ln
+ ln
+ . . . + ln
.
pt−1
pt−2
pt−j
ln
Ad esempio, il rendimento settimanale di un titolo può essere calcolato come
somma dei rendimenti giornalieri della settimana.
È possibile dimostrare che
ln
pt
pt − pt−j
≈
pt−j
pt−j
pt
attraverso un’approssimazione di ln pt−j
utilizzando la formula di Taylor.1
pt
assume solitamente un valore vicino all’unità, si apPoiché il rapporto pt−j
prossima la suddetta funzione con un polinomio di grado 1 (ovvero una funzione
lineare) intorno al valore 1. Risulta
ln
pt
pt−j
≈ ln 1 +
≈
pt
−1
pt−j
pt − pt−j
.
pt−j
L’approssimazione è tanto migliore quanto più vicino all’unità è il rapporto
pt−j .
pt
1 Una
funzione f (x) può essere approssimata intorno ad un punto x0 secondo l’espressione
f (x) ≈ f (x0 ) +
k
X
i=1
di f (x)
dxi
(x − x0 )i
x0
i!
.
6
CAPITOLO 1. DEFINIZIONE DI RENDIMENTO FINANZIARIO
Capitolo 2
L’analisi descrittiva dei
rendimenti finanziari
La ricerca delle caratteristiche peculiari dei rendimenti finanziari è un tema
che è stato affrontato da una moltitudine di studiosi. Con l’ausilio dei più diffusi
indici statistici sintetici, è possibile descrivere le principali caratteristiche di un
insieme di rendimenti osservato in uno specifico periodo di tempo.
Come già detto, nel corso delle lezioni si utilizzeranno rendimenti giornalieri,
salvo differente specificazione. La scelta è motivata dalla semplice considerazione che l’analisi dei rendimenti finanziari tipicamente viene svolta su base
giornaliera. Sebbene un diverso intervallo temporale per il calcolo dei rendimenti (ad esempio la settimana o il mese) non altera del tutto certe caratteristiche,
tuttavia, in linea di principio, le conclusioni a cui si giunge con l’analisi dei
rendimenti giornalieri non possono essere automaticamente estese a rendimenti calcolati con riferimento a un diverso intervallo temporale (come rendimenti
settimanali o mensili).
Si dispone di una serie (un campione) di rendimenti, ad esempio dal 03/01/2002
al 30/12/2003, ovvero nell’arco di due anni, dei quali si intendono studiare
le principali caratteristiche. Gli indici statistici più frequentemente calcolati
sono: la media, lo scarto quadratico medio (o deviazione standard), gli indici
di asimmetria e curtosi e i coefficienti di autocorrelazione dei rendimenti e dei
rendimenti al quadrato.
2.1
Il valore medio
Utilizzando una delle definizione precedentemente date, si definisca il rendimento di un titolo finanziario nell’intervallo di tempo (t − 1, t) come rt (che per
brevità d’ora in poi sostituisce la notazione r(t−1,t) ) e lo si osservi dal tempo 1
al tempo T (t = 1, 2, . . . , T ). Il rendimento medio è allora dato da
T
1X
rt .
r̄ =
T t=1
7
8CAPITOLO 2. L’ANALISI DESCRITTIVA DEI RENDIMENTI FINANZIARI
0.06
0.04
0.02
0
−0.02
−0.04
−0.06
−0.08
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
Figura 2.1: Andamento del rendimento Eni, rendimento medio calcolato per
l’intero periodo (linea tratt.) e rendimento medio calcolato negli otto trimestri.
Da un punto di vista empirico i valori di r̄ sono sempre molto prossimi alla
zero.1
Si analizzano i rendimenti giornalieri dei titoli Eni e Generali nel periodo dal 03/01/2002
al 30/12/2003. Il numero di rendimenti è pari a 501. Il valore medio è risultato pari
a 0.000329 (0.0329% in termini percentuali) per il primo e -0.000543 (-0.0543%
in termini percentuali) per il secondo. Entrambi, dunque, sono molto prossimi allo
zero.
Il rendimento medio tende ad essere abbastanza costante nel tempo. Se si
divide il periodo di osservazione in subperiodi e si confronta il rendimento medio
dell’intero periodo con i rendimenti medi dei subperiodi, si rilevano differenze
trascurabili.
Per i rendimenti giornalieri dei titoli Eni e Generali si divide il periodo considerato
(due anni) in otto subperiodi di uguale ampiezza (ogni subperiodo equivale ad un
trimestre). Nelle figure 2.1 e 2.2 all’andamento del rendimento del titolo sono
sovrapposti il valore medio complessivo (linea tratteggiata) e gli otto valori medi
dei subperiodi. Le differenze sono effettivamente trascurabili.
2.2
La deviazione standard
In statistica la media rappresenta un valore di sintesi che va opportunamente
integrato con un indicatore della variabilità del fenomeno in esame. Uno stesso
1 Si precisa che in presenza di rendimenti calcolati come variazioni relative, dovrebbe
utilizzarsi la media geometrica. Tuttavia le differenze ottenute nei risultati sono trascurabili.
9
2.2. LA DEVIAZIONE STANDARD
0.08
0.06
0.04
0.02
0
−0.02
−0.04
−0.06
−0.08
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
Figura 2.2: Andamento del rendimento Generali, rendimento medio calcolato per l’intero periodo (linea tratt.) e rendimento medio calcolato negli otto
trimestri.
valore medio può infatti derivare da popolazioni con gradi di variabilità anche
molto eterogenei.
Tra la moltitudine di indici di variabilità che la letteratura statistica propone,
la deviazione standard (o scarto quadratico medio) rappresenta l’indicatore a
cui si farà maggiormente riferimento.
La deviazione standard è definita come media quadratica degli scarti di rt
dalla media aritmetica, ovvero
v
u
T
u 1 X
s=t
(rt − r̄)2 .
T − 1 t=1
Maggiore è il valore assunto da s, maggiore è la dispersione dei rendimenti,
ovvero minore è la concentrazione dei rendimenti intorno al valore medio r̄. In
altre parole, maggiore è il valore di s, maggiore è la volatilità dei rendimenti. E
poiché una elevata volatilità implica che i rendimenti possano assumere valori
molto più bassi della media, il concetto di volatilità equivale a quello di rischio.
Quindi, maggiore è il valore assunto da s, maggiore è il rischio che si affronta
detenendo quel titolo.
Al fine di esprimere un giudizio sulla volatilità (e quindi sul rischio) dei titoli Eni e
Generali nel periodo indicato, è stata calcolata la deviazione standard. Si è ottenuto
un valore di 0.0177 per il titolo Eni e 0.0216 per il titolo Generali. Il secondo titolo
ha dunque presentato più ampie oscillazioni intorno al proprio valore medio.
Una caratteristica rilevante della volatilità dei titoli finanziari è la non costanza del tempo. In altre parole, è frequente osservare, per uno specifico titolo, peri-
0.03
0.02
0.01
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Figura 2.3: La deviazione standard calcolata negli otto trimestri (barre verticali)
e la deviazione standard calcolata per l’intero periodo (linea dash-dot) per il
titolo Eni.
odi caratterizzati da ampie oscillazioni (e quindi maggiore variabilità e maggiore
rischio) e periodi caratterizzti da oscillazioni di lieve entità (minore variabilità
e minore rischio).
Per verificare se questa caratteristica appartiene anche alle serie che si stanno esaminando, si suddivide il periodo di osservazione ancora in otto trimestri. Si calcolano
quindi per ciascun titolo otto deviazioni standard. Come si può vedere nelle figure
2.3 e 2.4, la deviazione standard cambia nel tempo. Per entrambi i titoli assume
valori più elevati negli ultimi due trimestri del 2002 e nel primo trimestre dell’anno
successivo, mentre è chiaramente al di sotto negli ultimi due trimestri del 2003.
2.3 L’asimmetria
Statistica
MMF 2007/08 G. De Luca
In generale, la distribuzione di una variabile è simmetrica intorno alla propria
media µ se valori equidistanti da µ presentano la stessa frequenza. Se f è la
funzione di densità, allora si ha simmetria se
f (µ − k) = f (µ + k),
ovvero se la funzione di densità della grandezza (µ − k) è uguale a quella di
(µ + k). Se f (µ − k) 6= f (µ + k), allora si parla di asimmetria (skewness nella
terminologia anglosassone).
Tra gli indicatori dell’eventuale asimmetria di una distribuzione di rendi-
11
2.3. L’ASIMMETRIA
0.035
0.03
0.025
0.02
0.015
0.01
0.005
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Figura 2.4: La deviazione standard calcolata negli otto trimestri (barre verticali)
e la deviazione standard calcolata per l’intero periodo (linea dash-dot) per il
titolo Generali.
menti, il piú rilevante è dato dall’indice
sk =
m̄3
s3
dove m̄3 è la stima del momento centrale di ordine 3.2 Se sk = 0 (e ciò si
verifica se m̄3 = 0) la distribuzione è simmetrica, in caso contrario si parla di
distribuzione asimmetrica. L’asimmetria può essere positiva oppure negativa.
L’asimmetria è positiva se sk > 0, o anche se m̄3 > 0.3 La positività implica
che la distribuzione dei valori del fenomeno (in questo caso i rendimenti) tende
ad allungarsi verso la coda destra. Un esempio di distribuzione positivamente
asimmetrica (o asimmetrica a destra) con media pari a zero è riportato in figura
2.5. Da questa si evince che la moda della distribuzione è minore della media.
Inoltre, caratteristica di ogni distribuzione asimmetrica a destra è la differenza
tra media e mediana (o valore centrale). La mediana è minore della media.
Ciò implica che il numero di osservazioni con un valore inferiore alla media è
maggiore del numero di osservazioni con un valore superiore (nelle distribuzioni
simmetriche essi coincidono).
L’asimmetria è negativa se sk < 0 (m̄3 < 0). In tal caso la distribuzione
dei valori del fenomeno (in questo caso i rendimenti) tende ad allungarsi verso
2 Il
generico momento centrale di ordine r è dato da
m̄r =
1
T
T
X
t=1
3 Infatti
s3 non può mai essere negativo.
(rt − r̄)r .
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
−2
−1
0
1
2
3
4
Figura 2.5: Esempio di distribuzione con asimmetria positiva e media nulla
la coda sinistra. Un esempio di distribuzione negativamente asimmetrica (o
asimmetrica a sinistra) è riportato in figura 2.6. In questo caso sia la moda che la
mediana della distribuzione sono maggiori della media. Il numero di osservazioni
con un valore superiore alla media è maggiore del numero di osservazioni con
un valore inferiore.
Tuttavia va specificato che l’indice sk è altamente sensibile a valori molto
lontani dalla media. Nel caso che esista un rendimento molto basso (molto alto),
questo può influenzare l’indice di asimmetria sk rendendolo negativo (positivo)
indipendentemente dalla forma della distribuzione.
Le indagini empiriche tendono a rilevare nei rendimenti finanziari l’assenza di asimmetria oppure un un lieve grado di asimmetria (in genere negativa).
Una delle ipotesi finalizzate a spiegare l’esistenza di un certo grado di asimmetria negativa nella distribuzione dei rendimenti è rappresentata dalle differenti
reazioni degli operatori finanziari alle informazioni. Reazioni più marcate si
registrano in presenza di notizie non buone (con conseguente discesa dei prezzi
e dei rendimenti), mentre reazioni più caute solitamente seguono notizie buone
(i prezzi e i rendimenti aumentano ma non nella stessa misura delle riduzioni).
La più nota teoria che spiega l’esistenza di una asimmetria negativa nella
distribuzione dei rendimenti è basata sull’assunzione del cosiddetto volatility
feedback, che può essere definito come il risultato dell’effetto delle notizie e della volatilità sui prezzi (e quindi sui rendimenti) di titoli finanziari. Se una
notizia rilevante e non positiva arriva sul mercato, il prezzo di un’attività finanziaria tende a ridursi. Questa riduzione causa un aumento della volatilità
(variabilità). Ma l’aumento della volatilità (aumento del rischio) implica una
ulteriore riduzione del prezzo. Il primo effetto è dunque rafforzato dal secondo.
Essi vanno nella stessa direzione. Al contrario, se una notizia rilevante e positiva
13
2.4. LA CURTOSI
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
−4
−3
−2
−1
0
1
2
Figura 2.6: Esempio di distribuzione con asimmetria negativa e media nulla
arriva sul mercato il prezzo dell’attività tende ad aumentare. Tuttavia, il movimento causa un aumento della volatilità (variabilità) che causa una riduzione del
prezzo. Questo secondo effetto è dunque di segno opposto al primo e ha l’effetto
di mitigare l’effetto iniziale dei prezzi. La conseguenza di questo meccanismo
è un certo grado di asimmetria negativa dei rendimenti finanziari, in quanto
grandi rendimenti negativi sono più frequenti di larghi rendimenti positivi.
Gli indici di asimmetria calcolati per i titoli Eni e Generali sono risultati pari, rispettivamente, a -0.31276 e 0.0128. Nel primo caso c’è una lieve asimmetria negativa,
mentre nel secondo caso la distribuzione dei rendimenti è praticamente simmetrica
Le figure 2.7 e 2.8 forniscono un riscontro grafico. Esse contengono gli istogrammi
dei rendimenti dei due titoli.
2.4
La curtosi
L’indice di curtosi rappresenta un indicatore di forma della distribuzione dei
dati. Piú in dettaglio l’indice di curtosi serve a misurare la distanza della distribuzione di cui si dispone da uno specifico modello teorico, il modello normale
(o gaussiano).
L’indice di curtosi abitualmente utilizzato per una distribuzione di rendimenti è dato da
m̄4
k=
.
s4
Nel modello gaussiano k = 3. Valori dell’indice inferiori a 3 sono indicativi
di una distribuzione platicurtica, ovvero con i valori centrali, quelli intorno alla media, e valori estremi, quelli lontani dalla media, meno frequenti rispetto
30
25
20
15
10
5
0
−0.08
−0.04
0
0.04
0.08
Figura 2.7: Istogramma dei rendimenti del titolo Eni.
25
20
15
10
5
0
−0.08
−0.06
−0.04
−0.02
0
0.02
0.04
0.06
Figura 2.8: Istogramma dei rendimenti del titolo Generali.
0.08
15
2.5. L’AUTOCORRELAZIONE DEI RENDIMENTI
0.5
0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
Figura 2.9: Confronto tra una distribuzione normale (linea puntata) e una
distribuzione leptocurtica (linea continua)
al modello normale. Valori dell’indice superiori a 3 sono indicativi di una distribuzione leptocurtica, ovvero con i valori centrali e valori estremi piú frequenti
rispetto al modello normale.
Un esempio di distribuzione leptocurtica (o ipernormale) è riportato in figura
2.9.
L’evidenza empirica supporta in modo netto la leptocurtosi delle distribuzioni
dei rendimenti. Lo stesso fenomeno è anche indicato con l’espressione fat tails
largamente utilizzata per indicare, in particolare, la maggiore frequenza rispetto
al modello gaussiano delle osservazioni lontane dalla media e ubicate, quindi,
nelle code della distribuzione.
Gli indici di curtosi dei titoli Eni e Generali, entrambi superiori a 3 (4.419 e 4.091),
evidenziano la presenza del fenomeno della leptocurtosi. Nelle figure 2.10 e 2.11 la
curva Gaussiana è sovrapposta agli istogrammi.
Statistica
2.5 L’autocorrelazione dei rendimenti
L’eventuale legame tra il rendimento di un generico tempo t e il rendimento
del tempo t−k può essere stimato attraverso il coefficiente di correlazione lineare
ρ̂k =
γ̂k
,
s2
PT
d t , rt−k ) = 1
dove γ̂k = Cov(r
t=k+1 (rt − r̄) (rt−k − r̄).
T −k
Poiché si tratta di una correlazione misurata tra lo stesso fenomeno osservato in tempi diversi, si parla di autocorrelazione. Ogni coefficiente di (auto)correlazione può assumere valori compresi tra -1 e 1, estremi inclusi. Valori
30
25
20
15
10
5
0
−0.08
−0.04
0
0.04
0.08
Figura 2.10: Istogramma dei rendimenti del titolo Eni con una curva Gaussiana.
25
20
15
10
5
0
−0.08
−0.06
−0.04
−0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
Figura 2.11: Istogramma dei rendimenti del titolo Generali con una curva
Gaussiana.
2.6. L’AUTOCORRELAZIONE DEI RENDIMENTI AL QUADRATO
17
Autocorrelation Plot
1
0.8
0.6
0.4
0.2
ρ
k
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
k
Figura 2.12: Autocorrelazione per il rendimento ENI fino al ritardo 10.
prossimo all’estremo inferiore (superiore) indicano l’esistenza di una relazione
di tipo lineare inversa (diretta), mentre valori prossimi allo zero sono indicativi
dell’assenza di una relazione lineare.
Le ricerche empiriche sui rendimenti evidenziano una correlazione prossima
allo zero per ogni ritardo k considerato.
Si riportano graficamente le autocorrelazioni fino al ritardo k = 10 per i titoli
Eni e Generali (figure 2.12 e 2.13). Tutte le autocorrelazioni, siano esse positive
o negative, sono molto vicine allo zero, evidenziando l’assenza di un significativo
legame tra i rendimenti osservati in tempi diversi.
2.6
L’autocorrelazione dei rendimenti al quadrato
Lo stesso coefficiente di correlazione lineare viene utilizzato per misurare il
2
legame che esiste tra rt2 e rt−k
.
L’analisi della correlazione tra i rendimenti al quadrato può essere vista
come un’analisi della relazione tra l’entità dei rendimenti nel tempo, indipendentemente dal segno. Una correlazione positiva implica che rendimenti lontani
dallo zero (ovvero lontani dalla media) tendono ad essere seguiti da rendimenti
lontani dalla media, anche se di segno opposto.
In genere, si rileva una correlazione positiva mediamente alta, comunque
maggiore di quella tra i rendimenti analizzata nel paragrafo precedente. Tale
relazione è stata enfatizzata per la prima volta da Mandelbrot nel 1963.4 Egli
4 ”...large changes tend to be followed by large changes - of either sign - and small changes
tend to be followed by small changes” (Mandelbrot, 1963).
1
0.8
0.6
0.4
0.2
ρ
k
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
k
Figura 2.13: Autocorrelazione per il rendimento Generali fino al ritardo 10.
diede a tale fenomeno la denominazione di volatility clustering e ancora oggi si
utilizza questa espressione per indicare l’aggregazione temporale tra rendimenti
lontani dallo zero e l’aggregazione temporale tra rendimenti prossimi allo zero.
L’esistenza del fenomeno del volatility clustering implica l’alternarsi di periodi
turbolenti, caratterizzati da rendimenti lontani dalla media, e periodi di calma,
con rendimenti che non si discostano molto dalla media.
I plot dei rendimenti dei titoli Eni e Generali (figure 2.1 e 2.2) esemplificano
l’esistenza di periodi di calma e periodi turbolenti. Le figure 2.14 e 2.15 confermano
l’esistenza di una correlazione tra i rendimenti al quadrato non trascurabile.
19
1
0.8
0.6
0.4
0.2
ρ
k
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
k
Figura 2.14: Autocorrelazione per il rendimento ENI al quadrato fino al ritardo
10.
1
0.8
0.6
0.4
0.2
ρ
k
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
k
Figura 2.15: Autocorrelazione per il rendimento Generali al quadrato fino al
ritardo 10.
Capitolo 3
L’analisi inferenziale dei
Un’analisi descrittiva dei rendimenti di un certo periodo fornisce indicazioni
concernenti solo quel periodo, quindi un’informazione temporalmente limitata.
Se si è interessati a qualche conclusione piú estesa, è necessario passare ad
un’ottica inferenziale.
In questo caso, le conclusioni dedotte dal campione di osservazioni possono
essere estese alla popolazione tramite oppportune procedure statistiche. Ad
esempio, il rendimento medio del titolo Fiat in uno specifico periodo è un’indicazione del fatto che il valore atteso del titolo è effettivamente zero? Oppure,
l’indice di asimmetria negativo dello stesso titolo nello stesso periodo supporta
l’ipotesi di una distribuzione asimmetrica a sinistra?
Al fine di perseguire questo tipo di analisi è necessario fare un’ipotesi sulla
distribuzione della popolazione, ovvero definire la forma della popolazione. Si
definisce R la variabile casuale che rappresenta la popolazione (dei rendimenti).
La sua media è indicata con E(R) = µ e la sua varianza con Var(R) = σ 2 .
Ciascuna unità da estrarre dalla popolazione per costituire un campione
è allora una variabile casuale con la stessa forma e gli stessi parametri della
popolazione di provenienza.
3.1
Il valore medio
Si consideri un campione di osservazioni costituito dai rendimenti di un titolo finanziario osservato dal tempo 1 al tempo T estratto da una popolazione di
rendimenti che siano identicamente e indipendentemente distribuiti.1 Il rendimento al generico tempo t, Rt , è una variabile casuale con la stessa forma di
1 A questo stadio preme solo sottolineare la necessità delle ipotesi di indipendenza e identica
distribuzione dei rendimenti. Nella realtà, prima di procedere all’implementazione del test
descritto, è opportuno verificare la plausibilità di tali ipotesi.
21
22CAPITOLO 3. L’ANALISI INFERENZIALE DEI RENDIMENTI FINANZIARI
R. Il rendimento osservato al tempo t, rt , è una realizzazione della variabile
casuale Rt .
Il rendimento medio campionario è dato da
R̄ =
T
1 X
Rt .
T t=1
Poiché R̄ è stato calcolato con riferimento ad un periodo limitato di tempo
(in altre parole non si sono considerati tutti i rendimenti di tutti i tempi), R̄ è
uno stimatore della media della variabile casuale R, ovvero è una stimatore di
µ. Inoltre R̄ è una variabile causale perché somma di variabili casuali.
Il rendimento medio osservato (su uno specifico campione)
r̄ =
T
1 X
rt
T t=1
è una stima di µ. Si noti che r̄ è un numero, ed è una realizzazione della variabile
casuale R̄.
Da un punto di vista empirico le stime di µ forniscono sempre valori molto
prossimi alla zero. Tuttavia, al fine di trarre conclusioni sulla popolazione, è
opportuno implementare un test statistico sul valore atteso della popolazione
dei rendimenti. Le due ipotesi sono
H0 : µ = 0
H1 : µ 6= 0
È noto che se R si distribuisce come una una variabile gaussiana con media
µ e varianza σ 2 , allora R̄ è una variabile casuale normale, poiché combinazione
linerare di variabili casuali normali, con valore medio E(R̄) = µ e varianza
Var(R̄) = σ 2 /T (ciascuna variabile Rt è incorrelata con le altre). In simboli,
σ2
.
R̄ ∼ N µ,
T
Standardizzando R̄ sotto l’ipotesi nulla, si ottiene
√ R̄ − 0
T
∼ N(0, 1).
σ
Ricordando che r̄ è una realizzazione della v.c. R̄ e stabilito un livello di
significatività α, v’è evidenza contro l’ipotesi nulla se il valore r̄ è lontano dal
valore 0, in modo tale che
√ r̄ T > z α2
σ
dove z α2 è il percentile della variabile normale standard Z, cioè
α
P Z > z α2 = .
2
23
3.1. IL VALORE MEDIO
Tuttavia, essendo nel caso in cui i parametri della popolazione sono ignoti,
è necessario sostituire il parametro σ con un quantità stimata dal campione di
osservazioni. Si considera lo stimatore
v
u
T
u 1 X
S=t
(Rt − R̄)2 .
T − 1 t=1
Standardizzando R̄ si ottiene ora
√ R̄ − 0
T
∼ tT −1 ,
S
ovvero una variabile casuale t di Student con parametro ν = T − 1, la cui
realizzazione è
√ r̄ − 0
,
T
s
dove
v
u
T
u 1 X
t
s=
(rt − r̄)2 .
T − 1 t=1
A rigore ci si dovrebbe dunque riferire ai percentili di questa variabile casuale. Ma è noto che all’aumentare del parametro ν, i percentili della t sono
ben approssimabili dai percentili della variabile casuale normale standard. In
pratica, con ν > 120 non sussiste alcuna differenza apprezzabile, e i percentili
della Z possono essere considerati con molta fiducia. Nelle analisi empiriche i
dati considerati sono sovente parecchie centinaia, per cui l’approssimazione alla
normale standard rappresenta la procedura piú frequentemente adottata.
In conclusione, si ritiene esserci un’evidenza contro l’ipotesi nulla se il valore
r̄ è lontano dal valore 0 in modo tale che
√ r̄ (3.1)
T > z α2
s
La figura 3.1 riporta una curva Gaussiana standard in cui sono evidenziate
la regione di accettazione e le due regioni di rifiuto nell’ipotesi in cui α = 0.05.
L’ipotesi di media nulla per i rendimenti dei titoli Eni e Generali può essere ritenuta plausibile sulla base del campione osservato per il periodo dal 03/01/2002 al
30/12/2003? Per rispondere è necessario implementare la procedura descritta,
ovvero verificare la (3.1), sotto l’ipotesi che i rendimenti siano identicamente e
indipendentemente distribuiti come una variabile casuale normale.
Per il titolo Eni, poiché r̄ = 0.000329, s = 0.0177 e T = 501,
√
501 0.000329 = 0.4160.
0.0177 Fissato il livello di significatività α = 0.05, z α2 = 1.96, per cui si conclude che
v’è una forte evidenza a favore dell’ipotesi di media nulla dei rendimenti Eni.
0.4
0.35
0.95
0.3
0.25
0.2
Regione di
accettazione
0.15
0.1
0.025
0.025
0.05
0
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
Figura 3.1: Regione di accettazione e regioni di rifiuto in una curva normale
standard con α = 0.05.
Per il titolo Generali, poiché r̄ = −0.000543, s = 0.0216 e T = 501,
√
501 −0.000543 = 0.5627.
0.0216 Fissato il livello di significatività α = 0.05, z α2 = 1.96, per cui si conclude che
v’è una forte evidenza a favore dell’ipotesi di media nulla dei rendimenti Generali.
3.2
La deviazione standard
Ai fini della stima della deviazione standard si è già accennato ad una possibile stima, s, essendo un punto cruciale per il test di ipotesi sulla media di una
popolazione. Non si è soliti svolgere test di ipotesi sulla deviazione standard.
3.3 L’asimmetria
Statistica
Con un campione di T elementi, come la stima dell’indice di asimmetria
avviene attraverso la statistica
b̄
c = µ3 ,
Sk
σ
b3
b̄3 indica lo stimatore del momento centrale di ordine 3.2
dove µ
2 Piú
in dettaglio
b̄
µ3 =
1
T
T
X
t=1
(Rt − R̄)3 .
25
3.3. L’ASIMMETRIA
La stima dell’indice di asimmetria è utilizzata per sottoporre a test l’ipotesi
di simmetria dei rendimenti,
H0 : Sk = 0
H1 : Sk 6= 0
c non è nota. Se la popolazione di
La distribuzione della variabile casuale Sk
origine fosse normale, allora vale il risultato asintotico
Ne consegue che
c → N(0, 6/T ).
Sk
r
Tc
Sk → N(0, 1).
6
(3.2)
c la realizzazione della variabile casuale Sk,
c
Definita sk
1 PT
3
t=1 (rt − r̄)
T
c
sk = q
3 ,
1 PT
2
t=1 (rt − r̄)
T
e stabilito un livello di significatività α, si rifiuta l’ipotesi nulla se
r
T c > z α .
sk
2
6 L’ipotesi di asimmetria nulla nella distribuzione dei rendimenti dei titoli Eni e
Generali può essere ritenuta plausibile sulla base dei campioni osservati?
c = −0.313,
Per il titolo Eni, poiché sk
r
501
(−0.313) = 2.86.
6
Fissato il livello di significatività α = 0.05, z α2 = 1.96, per cui si conclude che v’è
una evidenza contro l’ipotesi di asimmetria nulla nella distribuzione dei rendimenti
Eni.
c = 0.0128,
Per il titolo Generali, poiché sk
r
501
(0.0128) = 0, 117.
6
Fissato il livello di significatività α = 0.05, z α2 = 1.96, per cui si conclude
che v’è una evidenza a favore dell’ipotesi di asimmetria nulla nella distribuzione dei
rendimenti Generali.
3.4
La curtosi
Con un campione di T elementi, la stima dell’indice di curtosi avviene
attraverso la statistica
b̄
b = µ4 .
K
σ
b4
Questa stima è utilizzata per sottoporre a test l’ipotesi di curtosi pari a 3
(ovvero normalità) per i rendimenti,
H0 : K = 3
H1 : K 6= 3
b non è nota. Sotto l’usuale
Anche la distribuzione della variabile casuale K
ipotesi di normalità della popolazione di origine, la distribuzione asintotica di
b è
K
b → N(3, 24/T ).
K
Ne consegue che
r
T b
K − 3 → N(0, 1).
24
(3.3)
b
Definita b
k la realizzazione della variabile casuale K,
1 PT
(rt − r̄)4
b
k = T P t=1
2 ,
T
1
2
(r
−
r̄)
t=1 t
T
r
T b
k − 3 > z α2 .
24
L’ipotesi di assenza di curtosi nella distribuzione dei rendimenti dei titoli Eni e
Generali può essere ritenuta plausibile sulla base dei campioni osservati?
Per il titolo Eni, poiché b
k = 4.419,
r
501
(4.419 − 3) = 6.48.
24
Fissato il livello di significatività α = 0.05, z α2 = 1.96, per cui si conclude che
v’è una forte evidenza contro l’ipotesi di assenza di curtosi nella distribuzione dei
rendimenti Eni. In particolare il campione fornisce evidenza a favore dell’ipotesi di
una distribuzione leptocurtica.
Per il titolo Generali, poiché b
k = 4.091,
r
501
(4.091 − 3) = 4.98.
24
3.5. L’AUTOCORRELAZIONE DEI RENDIMENTI
27
v’è una forte evidenza contro l’ipotesi di assenza di curtosi nella distribuzione dei
rendimenti Generali. In particolare il campione fornisce evidenza a favore dell’ipotesi
di una distribuzione leptocurtica.
3.5
L’autocorrelazione dei rendimenti
Ragionando in un’ottica inferenziale, la stima del legame tra il rendimento
di un generico tempo t e il rendimento del tempo t − k è ottenibile attraverso il
coefficiente di correlazione lineare campionario
d t , Rt−k )
Cov(R
,
σ
b2
d t , Rt−k ) = 1 PT
Rt−k − R̄ .
dove Cov(R
t=k+1 Rt − R̄
T
Al fine di trarre conclusioni sulla popolazione, il test delle ipotesi usualmente
utilizzato considera
ρbk =
H0 : ρ k = 0
H1 : ρk 6= 0
Sotto l’ipotesi che i rendimenti siano incorrelati e provenienti da una popolazione normale,
il risultato
ρbk → N con media nulla e varianza approssimaPvale
∞
bile a T1 1 + 2 k=1 [ρ(k)]2 . Tuttavia un’ulteriore approssimazione è di fatto
utilizzata, ovvero Var[b
ρk ] ≈ T1 . In sintesi,
ρbk → N(0, T −1 ).
Definita rbk la realizzazione della variabile casuale ρbk ,
PT
(rt − r̄) (rt−k − r̄)
rbk = t=k+1
,
PT
2
t=1 (rt − r̄)
√
T rbk > z α2 .
L’ipotesi di autocorrelazione nulla al ritardo 1 nella distribuzione dei rendimenti dei
titoli Eni e Generali può essere ritenuta plausibile sulla base dei campioni osservati?
Per il titolo Eni, poiché rb1 = −0.0386,
√
501 (−0.0386) = 0.864.
v’è una evidenza a favore dell’ipotesi di autocorrelazione nulla al ritardo 1 nella
distribuzione dei rendimenti Eni.
Per il titolo Generali, poiché rb1 = −0.0308,
√
501 (−0.0308) = 0.689.
v’è una evidenza a favore dell’ipotesi di autocorrelazione nulla al ritardo 1 nella
distribuzione dei rendimenti Generali.
Una più generale procedura è rappresentata dal test di Ljung-Box, la cui
ipotesi da verificare è l’assenza di correlazione per i primi m ritardi,
H0 : ρ 1 = ρ 2 = . . . = ρ m = 0
contro l’ipotesi alternativa che almeno uno dei coefficienti di autocorrelazione
sia diverso da zero.
Il test si basa sulla statistica
Q = T (T + 2)
m
X
k=1
2
(T − k)−1 [ρ̂k ] .
Se l’ipotesi nulla è vera Q si distribuisce approssimativamente come una
variabile χ2m , e quindi, fissato un livello di significatività α, l’ipotesi nulla è
rifiutata se
m
X
2
T (T + 2)
(T − k)−1 [r̂k ] > χ2m,α ,
k=1
χ2m,α
dove
è quel percentile di una variabile casuale χ2m tale che P (χ2m > χ2m,α ) =
α.
La figura 3.2 riporta una χ25 in cui sono evidenziate la regione di accettazione
e la regione di rifiuto nell’ipotesi in cui α = 0.05.
L’ipotesi nulla di autocorrelazione nulla ai primi 5 ritardi nella distribuzione dei
rendimenti dei titoli Eni e Generali può essere ritenuta plausibile sulla base dei
campioni osservati?
Per il titolo Eni, dopo aver calcolato le prime 5 autocorrelazioni si ottiene
Q = 4, 878.
Fissato il livello di significatività α = 0.05, il valore critico che separa regione di
accettazione e regione di rifiuto risulta, utilizzando la tavola della χ25 , pari a 11.07.
Si conclude quindi che v’è una chiara evidenza a favore dell’ipotesi nulla
H0 : ρ1 = ρ2 = ρ3 = ρ4 = ρ5 = 0.
Per il titolo Generali, dopo aver calcolato le prime 5 autocorrelazioni si ottiene
Q = 4, 088.
29
0.16
0.14
0.95
0.12
0.1
0.08
Regione di
accetazione
0.06
0.04
0.05
0.02
0
0
5
10
15
Figura 3.2: Regione di accettazione e regione di rifiuto in una χ2 con m = 5 e
α = 0.05.
Si conclude quindi che v’è una chiara evidenza a favore dell’ipotesi nulla
H0 : ρ1 = ρ2 = ρ3 = ρ4 = ρ5 = 0.
3.6
L’autocorrelazione dei rendimenti al quadrato
Le stesse procedure possono essere utilizzate per verificare l’autocorrelazione
dei rendimenti al quadrato. L’ipotesi di autocorrelazione nulla al ritardo 1 nella
distribuzione dei rendimenti al quadrato dei titoli Eni e Generali può essere ritenuta
plausibile sulla base dei campioni osservati?
Per il titolo Eni, poiché rb1 = 0.1405,
√
501 (0.1405) = 3.145.
v’è una evidenza netta contro l’ipotesi di autocorrelazione nulla al ritardo 1 nella
distribuzione dei rendimenti al quadrato del titolo Eni.
Per il titolo Generali, poiché rb1 = 0.1433,
√
501 (0.1433) = 3.207.
v’è una evidenza netta contro l’ipotesi di autocorrelazione nulla al ritardo 1 nella
distribuzione dei rendimenti al quadrato del titolo Generali. L’ipotesi nulla di autocorrelazione nulla ai primi 5 ritardi nella distribuzione dei rendimenti al quadrato dei
titoli Eni e Generali può essere ritenuta plausibile sulla base dei campioni osservati?
Per il titolo Eni, dopo aver calcolato le prime 5 autocorrelazioni si ottiene
Q = 92.812.
Si conclude quindi che v’è una chiara evidenza contro l’ipotesi nulla.
Per il titolo Generali, dopo aver calcolato le prime 5 autocorrelazioni si ottiene
Q = 121.15.
Si conclude quindi che v’è una chiara evidenza a favore dell’ipotesi nulla.
3.7
Il test di Jarque-Bera
Se un’analisi meramente descrittiva dei rendimenti di un titolo finanziario
è di per sé limitata per le considerazioni esposte, è anche vero che un’analisi
condotta con un’ottica inferenziale deve essere ben curata. Le ipotesi che sono
alla base vanno finché possibile opportunamente valutate. Ad esempio l’ipotesi
di normalità è cruciale per l’implementazione di molti test statistici, come si è
visto nel precedente paragrafo.
Al fine di verificare l’ipotesi di normalità, una delle piú note procedure è il
test di Jarque-Bera (noto anche come test di Bowman e Shenton) la cui ipotesi
nulla è la distribuzione normale del fenomeno in esame. Facendo riferimento alle
distibuzioni asintotiche (3.2) e (3.3) e ricordando che la somma dei quadrati di
n variabili normali standardizzate indipendenti è una variabile casuale χ2ν con
parametro ν = n, Jarque e Bera considerano che
T c2
T b
Sk + (K
− 3)2 → χ22 ,
(3.4)
6
24
poiché si può dimostrare che le distribuzioni (3.2) e (3.3) sono indipendenti.
L’ipotesi nulla di normalità è rifiutata per valori alti della statistica. Infatti
2
c e/o (K
b − 3)2 , eventi
valori alti della (3.4) sono causati da un alto valore di Sk
che si verificano quando si è lontani dall’ipotesi di normalità.
ceb
c e K,
b e definito un
Definite sk
k le realizzazioni delle variabili casuali Sk
3
livello di significatività α, l’ipotesi nulla è rifiutata se
T
T c2
sk + (b
k − 3)2 > χ22,α .
6
24
3 Si tratta ovviamente di un test unilaterale, poiché c’è evidenza contro l’ipotesi nulla solo
per valori molto alti della statistica.
3.8. L’ASSENZA DI IPOTESI DI NORMALITÀ
31
L’ipotesi di distribuzione normale dei rendimenti dei titoli Eni e Generali può essere
ritenuta plausibile sulla base dei campioni osservati?
c = −0.313 e b
Per il titolo Eni, poiché sk
k = 4.419,
501
501
2
(−0.313) +
(4.4191 − 3)2 = 50.216.
6
24
Fissato il livello di significatività α = 0.05, χ2,α = 5.99, per cui si conclude che
v’è una netta evidenza contro l’ipotesi di normalità distributiva dei rendimenti Eni.
c = 0.0128 e b
Per il titolo Generali, poiché sk
k = 4.091,
501
501
2
(0.0128) +
(4.0911 − 3)2 = 24.869.
6
24
Fissato il livello di significatività α = 0.05, χ2,α = 5.99, per cui si conclude
che v’è una netta evidenza contro l’ipotesi di normalità distributiva dei rendimenti
Generali.
3.8
L’assenza di ipotesi di normalità
Se sulla base del test di Jarque-Bera c’è una evidenza contro l’ipotesi di normalità cosa succede alle procedure inferenziali che hanno come ipotesi basilare
la distribuzione gaussiana dei rendimenti?
Nel test di ipotesi sul valore medio µ, l’allontanamento dall’ipotesi di normalità non ha conseguenze drammatiche. Infatti, è noto dalla teoria statistica
che la variabile casuale media campionaria proveniente da un campione distribuito come una variabile diversa dalla gaussiana può essere ben approssimata
da una variabile normale al crescere della numerosità del campione.
Quando le analisi empiriche si svolgono su campioni numerosi (il che è quel
che avviene tipicamente per variabili finanziarie) allora la media campionaria R̄
si distribuisce approssimativamente come una v.c. normale con la stessa media
2
µ e la stessa varianza σT . Dunque si rientra nel caso esaminato in precedenza.
Per il test di ipotesi sull’indice di asimmetria occorre invece seguire procedure
alternative qui non esposte.
Per i test sui coefficienti di autocorrelazione, i risultati ρbk → N(0, T −1 ) e
Q ∼ χ2 (m) continuano ad essere validi e quindi le procedure esposte possono
essere poste in essere.
Capitolo 4
L’analisi del portafoglio
Per portafoglio si intende un generico insieme di N titoli finanziari detenuti
in proporzioni (w1 , w2 , . . . , wN ). La somma delle proporzioni deve essere pari a
PN
1, i=1 wi = 1.
L’analisi dei portafogli è sicuramente di rilevante interesse pratico, poiché
nella realtà l’acquisto e la detenzione di più titoli rappresenta un’elementare
regola di diversificazione del rischio.
Ad essere più precisi, tale obiettivo di diversificazione dipende crucialmente
dalla relazione esistente tra i rendimenti dei titoli costituenti il portafoglio. Un
esempio limite potrebbe essere utile. Se il portafoglio fosse costituito da titoli
azionari di società diverse ma appartenenti allo stesso settore, una crisi del settore potrebbe causare una discesa dei rendimenti di tutti i titoli. In tal caso il
rischio non è diversificato, ma piuttosto amplificato. Intuitivamente, la diversificazione è ottenuta componendo il portafoglio di titoli che si presume non siano
influenzati dagli stessi fattori. Da un punto di vista statistico, occorre guardare
agli indici che esprimono la relazione esistente tra i titoli che compongono il
portafoglio.
Un esempio che considera un portafoglio P composto di due soli titoli può
essere didatticamente efficace. I titoli considerati sono indicati con 1 e 2 detenuti
rispettivamente in proporzione w1 e w2 .
Indicando con Ri la variabile casuale che descrive il rendimento del generico
titolo i = 1, 2 di media E(Ri ) = µi e varianza Var(Ri ) = σi2 , si definisce
il rendimento del portafoglio come la combinazione lineare dei rendimenti dei
titoli costituenti il portafoglio secondo i pesi specificati,
RP = w1 R1 + w2 R2 .
Ad esempio si consideri di avere un portafoglio costituito da 2 titoli, il titolo
1 e il titolo 2 aventi al tempo t come prezzi P1 = 20 e P2 = 5. Al tempo t il
nostro portafoglio ha un valore pari a 25. Il peso del titolo 1 è ottenuto come
20
5
w1 = 25
= 0.80 mentre il peso del titolo 2 è w2 = 25
= 0.20. Se i rendimenti al
tempo t + 1 sono rispettivamente R1 = 0.10 e R2 = 0.20, allora il rendimento
33
34
CAPITOLO 4. L’ANALISI DEL PORTAFOGLIO
del portafoglio è
RP = 0.80 · 0.10 + 0.20 · 0.20 = 0.12,
il che implica che al tempo t+1 il valore del portafoglio diviene 25·(1+0.12) = 28.
Allo stesso risultato si perviene consierando che al tempo t+ 1 il valore del titolo
1 diviene 20 · (1 + 0.10) = 22 e il valore del titolo 2 5 · (1 + 0.20) = 6. La somma
22 + 6 = 28 riporta al risultato prima ottenuto.
Il valore atteso e la varianza della variabile casuale RP sono
E(RP ) = w1 µ1 + w2 µ2 ,
e
Var(RP ) = w12 σ12 + w22 σ22 + 2w1 w2 σ12 .
Fissate le quantità σ12 e σ22 , Var(RP ) muterà al mutare della quantità σ12
che esprime la covarianza (quindi il legame lineare) esistente tra i rendimenti
dei due titoli. Se si considerano i tre casi possibili, σ12 < 0, σ12 = 0 e σ12 > 0,
è evidente che essi corrispondono a situazioni di crescente variabilità (Var(RP )
aumenta) ovvero situazioni caratterizzate da una decrescente diversificazione del
rischio.
Il livello più basso che Var(RP ) può raggiungere in questo esempio si ha
quando tra i due titoli esiste una perfetta relazione lineare negativa1
σ12 = −σ1 σ2 .
In generale, considerando un portafoglio P costituito da N titoli, si ha
RP =
N
X
wi Ri .
i=1
La variabile casuale RP ha media
E(RP ) =
N
X
wi µi
i=1
e varianza
Var(RP ) =
N
X
wi2 σi2 + 2
i=1
N
−1 X
X
wi wj σij ,
i=1 j>i
dove σij è la covarianza tra Ri e Rj .
4.1
1 Il
La frontiera dei portafogli efficienti con N
titoli rischiosi
risultato si basa sulla considerazione che ρij , il coefficiente di correlazione lineare tra
σ
Ri e Rj , è uguale a σ ij
, e poiché −1 ≤ ρij ≤ 1, il valore minimo che può assumere σij è
i σj
−σi σj .
4.1. LA FRONTIERA DEI PORTAFOGLI EFFICIENTI CON N TITOLI RISCHIOSI35
Dati N titoli rischiosi è possibile costruire infiniti portafogli cambiando le
proporzioni dei diversi titoli. È possibile che esistano portafogli che dominino
altri portafogli. È possibile, cioè, che esistano 2 portafogli, PA e PB , tali che
1. E(RPA ) > E(RPB )
2. Var(RPA ) ≤ Var(RPB )
In questo caso, il portafoglio PA domina il portafoglio PB , poiché ha un rendimento atteso maggiore e un rischio minore o al massimo uguale rispetto al rischio
di PB . È razionale, dunque, scegliere il portafoglio PA .
Allo stesso modo, se
1. E(RPA ) ≥ E(RPB )
2. Var(RPA ) < Var(RPB )
il portafoglio PA domina il portafoglio PB perché presenta un rischio minore e
un rendimento atteso maggiore o al limite uguale al rendimento atteso di PB .
Anche in questo caso è razionale scegliere il portafoglio PA .
In generale, sono definiti efficienti quei portafogli che presentano la più bassa
varianza a parità di valore atteso e il più alto valore atteso a parità di varianza.
Si pone dunque il problema della individuazione dei portafogli efficienti
tra tutti i possibili portafogli che si possono formare con N titoli. Si tratta di un problema di ottimizzazione vincolata. Fissato un rendimento atteso
E(RP ) = µ̄P , si vogliono individuare quei pesi (w1 , w2 , . . . , wN ) che minimizzano la varianza del portafoglio Var(RP ) = σP2 .2
Da un punto di vista formale si tratta di un problema di minimizzazione
vincolata:
PN
PN −1 P
2 2
Minwi σP2 =
i=1 wi σi + 2
i=1
j>i wi wj σij
s.v.
PN
= µ̄P
i=1 wi µi
P
N
= 1
i=1 wi
wi ≥ 0 ∀i
Il primo vincolo stabilisce qual è il rendimento atteso che si desidera ottenere.
Il secondo vincolo assicura che la somma delle proporzioni sia pari all’unità.
Inoltre, è imposto un vincolo di non-negatività delle proporzioni. Ciò implica
che una proporzione wi non può risultare negativa.3
Lo stesso problema di minimizzazione può essere scritto in maniera più compatta utilizzando la forma matriciale. Definendo:
R il vettore di ordine N × 1 dei rendimenti degli n titoli,
2 In alternativa, fissato un valore della varianza, si vogliono individuare quei pesi
(w1 , w2 , . . . , wN ) che massimizzano il rendimento atteso E(RP ).
3 Un w negativo è teoricamente concepibile. Esso descrive una posizione short, ovvero
i
una vendita allo scoperto del titolo i. Tuttavia, poiché tali posizioni short sono difficili da
implementare, non pochi operatori preferiscono considerare il vincolo di non-negatività dei
pesi wi .
36
0.12
b
0.1
c
0.08
µ
P
0.06
a
GMV
d
0.04
0.02
0
1.8
1.9
2
2.1
σ
2.2
2.3
2.4
2.5
P
Figura 4.1: La curva che descrive i portafogli a varianza minima.
w il vettore di ordine N × 1 delle proporzioni degli N titoli,
µ il vettore di ordine N × 1 dei valori attesi dei rendimenti degli N titoli,
Σ la matrice N × N di varianza e covarianza dei rendimenti degli N titoli,4
1 il vettore N × 1 composto da 1, [1 1 . . . 1]0 ,
il problema di minimizzazione vincolato può impostarsi come
Minwi
σP2
s.v.
w0 µ
w0 1
wi
= w0 Σw
= µ̄P
= 1
≥ 0 ∀i
La risoluzione analitica di un problema di ottimizzazione vincolato richiede
l’impiego del metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Ma il progresso informatico consente di utilizzare semplici algoritmi numerici per raggiungere lo stesso
obiettivo in pochi secondi.5
Al termine si ottiene una coppia di valori (σP2 , µP ) che contraddistingue
un portafoglio a varianza minima. A partire dagli N titoli considerati non è
cioè possibile costituire un portafoglio con lo stesso rendimento atteso e una
varianza (rischio) minore. Ripetendo il problema per diversi valori di E(RP ),
4 Più
5 In
in dettaglio

σ12
Σ =  ..
.
σN1
σ12
σN2
...
...
σ1N
..
.
2
σN

 .
Excel la funzione Risolutore fornisce le soluzioni di un problema di ottimizzazione
vincolato.
4.1. LA FRONTIERA DEI PORTAFOGLI EFFICIENTI CON N TITOLI RISCHIOSI37
0.12
0.1
0.08
µ
P
0.06
0.04
0.02
0
1.8
1.9
2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
σP
Figura 4.2: La frontiera efficiente nel caso di soli titoli rischiosi.
si ottengono diverse coppie (σP2 , E(RP )). Riportando queste coppie di valori su
un sistema di assi cartesiani e congiungendo i relativi punti si ottiene una curva.
Tradizionalmente si considera sull’asse delle ascisse lo scarto quadratico medio
(in luogo della varianza) di un portafoglio.
La rappresentazione grafica dell’insieme delle soluzioni è riportata in figura
4.1, dove sull’asse delle ascisse viene considerata la deviazione standard σP e
sull’asse delle ordinate il rendimento medio µP .
Tutti punti interni alla curva rappresentano portafogli realizzabili (ad esempio il punto a). L’insieme dei punti esterni alla curva sono portafogli non realizzabili. Si consideri ad esempio il punto b: esso rappresenta una coppia rendimento atteso - scarto quadratico medio che non è possibile ottenere combinando
gli N titoli esistenti sul mercato.
Il portafoglio ubicato sul vertice sinistro della curva è il portafoglio con la
varianza minima globale (GM V ). Ogni portafoglio situato sulla parte crescente
della curva è un portafoglio efficiente. Si confrontino, ad esempio, i portafogli c
e d. Essi risultano dalla risoluzione di due distinti problemi di minimizzazione
vincolata, partendo da differenti livelli del rendimento atteso. Tuttavia, è evidente che il portafoglio c domina il portafoglio d, poiché ha un valore atteso
maggiore, a parità di varianza. Quindi il portafoglio c è efficiente, mentre il
portafoglio d non è efficiente. Lo stesso ragionamento può essere fatto per dimostrare che ogni portafoglio della parte decrescente della curva è dominato da
un portafoglio situato nella parte crescente della curva. L’insieme dei portafogli
efficienti dà luogo alla cosiddetta frontiera dei portafogli efficienti (figura 4.2).
38
4.2
La frontiera dei portafogli efficienti in presenza di un riskfree
Il problema della individuazione della frontiera dei portafogli efficienti dà
origine ad una diversa soluzione quando in aggiunta agli N titoli rischiosi (dunque
con varianza non nulla) si considera un (N +1)-esimo titolo caratterizzato da un
rendimento certo, senza alcun rischio (riskfree nella terminologia anglosassone).
Il rendimento del titolo riskfree, Rf , non è dunque una variabile casuale, ma
una costante, un dato certo. Quindi E(Rf ) = Rf e Var(Rf ) = 0. L’inserimento
di un riskfree in un portafoglio costituito da N titoli rischiosi modifica il rendimento atteso del portafoglio, ma non la sua varianza. Infatti un rendimento di
un portafoglio P costituito da N + 1 titoli, di cui N rischiosi e uno non rischioso
in proporzione wf , è dato da
E(RP ) =
N
X
wi E(Ri ) + wf Rf ,
i=1
PN
PN −1 P
mentre la sua varianza continua ad essere σP2 = i=1 wi2 σi2 +2 i=1
j>i wi wj σij .
Il problema di minimizzazione vincolata diviene allora
PN
PN −1 P
2 2
Minwi σP2 =
i=1 wi σi + 2
i=1
j>i wi wj σij
s.v.
PN
wi µi + wf Rf = µ̄P
i=1P
N
= 1
i=1 wi + wf
wi ≥ 0 ∀i
wf ≥ 0
oppure, scritto in forma matriciale,
Minwi σP2
s.v.
w0 µ + wf Rf
w0 1 + wf
wi
wf
= w0 Σw
=
=
≥
≥
µ̄P
1
0 ∀i
0
La soluzione di questo problema ci dice come il portafoglio è efficientemente
ripartito tra componente non rischiosa e componente rischiosa, e la composizione
di quest’ultima.
La rappresentazione grafica dell’insieme delle soluzioni origina la frontiera
dei portafogli efficienti in presenza di un risk-free. Un esempio è riportato in
figura 4.3. In tal caso la relazione tra σP e µP è di tipo lineare. Dunque è la
linea retta a rappresentare la frontiera efficiente nel caso di N titoli rischiosi e
un titolo privo di rischio. L’altra curva nel grafico è la frontiera efficiente ricavata in precedenza (N titoli rischiosi). Le due curve sono tangenti in un punto
che sarà successivamente richiamato. La retta interseca l’asse delle ascisse nel
4.2. LA FRONTIERA DEI PORTAFOGLI EFFICIENTI IN PRESENZA DI UN RISKFREE39
0.12
0.1
M
0.08
µ
P
0.06
0.04
0.02
R
f
0
0
0.5
1
1.5
2
σ
2.5
3
3.5
4
P
Figura 4.3: Frontiera efficiente nel caso di N titoli rischiosi e un titolo privo di
rischio.
punto di coordinate (0, Rf ). Questo punto individua un portafoglio costituito
esclusivamente dal titolo privo di rischio, ovvero quel portafoglio caratterizzato da pesi wi = 0 per i = 1, . . . , N e wf = 1. Naturalmente il rendimento
medio di un simile portafoglio è uguale al rendimento del risk-free, Rf e la sua
deviazione standard è nulla. Spostandosi da questo punto lungo la retta si incontrano portafogli caratterizzati da un rendimento medio via via superiore e
una variabilità (non nulla) crescente. Questi portafogli sono costituiti non solo
dal risk-free (wf < 1), ma anche da altri titoli rischiosi. Ad un certo punto si
incontra il portafoglio caratterizzato da wf = 0, ovvero un portafoglio costituito
solamente da titoli rischiosi. Si può dimostrare che questo portafoglio, indicato con M , appartiene anche alla frontiera dei portafogli efficienti costruita in
presenza solamente di N titoli rischiosi. Da un punto di vista grafico, questo
portafoglio è ubicato nel punto di tangenza tra le due curve.
Questo particolare portafoglio M è noto come portafoglio di mercato e riveste
una grande importanza nella teoria del portafoglio. Esso rappresenta la combinazione ottimale di titoli rischiosi, poiché è una combinazione non migliorabile.
Tutti i portafogli efficienti situati sulla frontiera individuata nel caso di N titoli
rischiosi, ad eccezione del portafoglio di mercato, infatti, sono migliorabili poiché
l’inclusione del titolo privo di rischio consente di individuare un portafoglio con
lo stesso rischio ma con un rendimento maggiore.
È semplice verificare che la soluzione dei problemi di minimizzazione vincolata nel caso di N titoli rischiosi e un titolo privo di rischio dà origine ad una
retta. Infatti, si consideri il portafoglio P costituito da una componente rischiosa
(l’insieme dei titoli rischiosi presenti in P ) e una componente non rischiosa. Si
indichi con A la componente rischiosa, che a sua volta è un portafoglio, e con
40
RA la variabile casuale che descrive il rendimento di A di media µA e varianza
2
σA
.
La proporzione di questa componente rischiosa del portafoglio è pari a 1−wf ;
quindi il rendimento del portafoglio P può scriversi come
RP = (1 − wf )RA + wf Rf ,
per cui il rendimento atteso è
µP = (1 − wf )µA + wf Rf ,
(4.1)
mentre la varianza può scriversi come
2
σP2 = (1 − wf )2 σA
.
Dall’espressione della varianza si deduce l’espressione di (1 − wf ), come rapporto tra la deviazione standard del portafoglio P e la deviazione standard del
portafoglio A,
σP
1 − wf =
(4.2)
σA
A questo punto, sostituendo la (4.2) nella (4.1) si ottiene
σP
σP
µP =
µA + 1 −
Rf ,
σA
σA
da cui si facilmente si deduce
µP = Rf +
1
(µA − Rf ) σP .
σA
(4.3)
È evidente l’esistenza di una relazione lineare tra µP e σP . La retta (4.3) ha
intercetta Rf e coefficiente angolare pari a σ1A (µA − Rf ).
La (4.3) è la cosidetta capital market line.
Alla risoluzione pratica dei problemi di minimizzazione vincolata presentati
(con e senza il titolo privo di rischio) si giunge sostituendo ai valori non noti
della popolazione, (µi , σi e σij ) le stime ottenute dai dati a disposizione (r̄i , σ̂i
e σ̂ij ).
4.3
L’asset allocation
Il problema della scelta dei titoli e dei loro pesi per la composizione di un
portafoglio è noto come asset allocation. In questa sede si è tralasciata la prima
fase, la scelta dei titoli (stock selection) e si è posto l’accento sul problema per
l’individuazione dei pesi dei singoli titoli. Il modello più semplice e largamente
utilizzato è stato esposto nei paragrafi precedenti. Esso è ampiamente noto
come modello di Markowitz. Questa struttura di base può essere modificata o
integrata sulla base di specifiche esigenze.
4.3. L’ASSET ALLOCATION
41
1. È possibile inserire ulteriori vincoli che tengano conto di limiti (inferiori
e/o superiori) sui pesi dei titoli. Ad esempio, si potrebbe voler imporre che
il peso di ogni titolo non sia superiore al 5%. Il problema di minimizzazione
vincolata diviene
PN
PN −1 P
2 2
Minwi σP2 =
i=1 wi σi + 2
i=1
j>i wi wj σij
s.v.
PN
wi µi + wf Rf = µ̄P
i=1P
N
= 1
i=1 wi + wf
0 ≤ wi ≤ 0.05 ∀i
0 ≤ wf ≤ 0.05
In alternativa si potrebbe voler imporre che la somma dei pesi dei titoli
appartenenti ad uno specifico settore (titoli indicati da 1 a M ) non sia
inferiore al 30%. Il problema di minimizzazione vincolata diviene
Minwi σP2
s.v.
PN
w
µ
+
w
Rf
i
i
f
i=1P
N
w
+
wf
i=1 i
wi
wf
PM
i=1 wi
=
=
=
≥
≥
≥
PN
i=1
wi2 σi2 + 2
µ̄P
1
0 ∀i
0
0.30
PN −1 P
i=1
j>i
wi wj σij
2. È possibile modificare la funzione obiettivo. Tipicamente, l’obiettivo è
la minimizzazione della varianza, ovvero la minimizzazione della somma
degli scarti al quadrato tra i rendimenti e il rendimento medio. Come
è noto, questi scarti possono essere negativi (il rendimento è inferiore al
rendimento medio) oppure positivi (il rendimento è superiore al rendimento medio), assumendo nei due casi una diversa rilevanza. Sono gli scarti
negativi a suscitare preoccupazione. Si definisce allora la semivarianza dei
rendimenti del titolo i, σi2∗ , ovvero la varianza calcolata attribuendo valore nullo ad ogni scarto positivo dal rendimento medio. La semivarianza
è una misura del cosiddetto down-side risk. Essa viene stimata con i dati
a disposizione attraverso
σ̂i2∗ =
T
1X
2
(rit − r̄i ) I [rit − r̄i < 0] ,
T t=1
dove rit è il rendimento del titolo i al tempo t, r̄i è il rendimento medio
del titolo i calcolato nel periodo da 1 a T e I [rit − r̄i < 0] è una funzione
indicatrice, tale che
1 se rit − r̄i < 0
I [rit − r̄i < 0] =
0 se rit − r̄i ≥ 0
42
L’obiettivo diviene la minimizzazione della semivarianza del portafoglio.
Il problema di minimizzazione vincolata è
Minwi σP2∗
s.v.
PN
w
µ
+
w
Rf
i
i
f
i=1P
N
w
+
wf
i=1 i
wi
wf
=
=
≥
≥
µ̄P
1
0
0
3. È possibile ancora modificare la funzione obiettivo. Non ci si pone più
l’obiettivo di comporre un portafoglio che, sotto certi vincoli, abbia la
minima varianza (o semivarianza), ma si intende comporre un portafoglio
che si avvicini il più possibile ad un benchmark.
Per benchmark si intende un portafoglio che rappresenta l’obiettivo di
un investitore. Se si intende acquistare un portafoglio di azioni italiane, allora un benchmark potrebbe essere costituito dall’indice Mibtel che
viene considerato rappresentativo del mercato azionario italiano, oppure
dall’indice Mib30 o dall’indice Comit. La bontà della gestione di un
portafoglio di titoli (ovvero, in altre parole, l’abilità del gestore) viene
valutata confrontando il rendimento del portafoglio con il rendimento del
benchmark.
Quando l’obiettivo è quello di replicare il rendimento del benchmark, ovvero
ottenere un rendimento uguale o molto vicino a quello del benchmark, si
parla di gestione passiva di un portafoglio. La problematica connessa con
una gestione passiva del portafoglio concerne la scelta di un opportuno
sottoinsieme dei titoli che compongono il benchmark. Se, ad esempio, il
benchmark è rappresentato dal Mib30, un indice composto da 30 titoli
azionari, allora l’obiettivo di una gestione passiva può essere quello di raggiungere un rendimento uguale (o molto vicino) a quello del Mib30 con
un portafoglio costituito da 10-12 titoli. Si parla di gestione attiva di un
portafoglio quando l’obiettivo del gestore finanziario è quello di ottenere
un rendimento superiore a quello del benchmark, ovvero superiore a quello
che si otterebbe se si detenesse un portafoglio costituito dagli stessi titoli
del benchmark e con gli stessi pesi.
La differenza tra il rendimento ottenuto con il portafoglio scelto dal gestore
e il rendimento del benchmark viene denominata tracking error. Il tracking
error misura la bontà della strategia di replica del benchmark. Più piccolo
è il tracking error, più somigliante al benchmark è il portafoglio selezionato.
Definito RP il rendimento del portafoglio scelto dal gestore e RB il rendimento del benchmark, il tracking error è semplicemente dato dalla differenza
RP − RB .
4.3. L’ASSET ALLOCATION
43
Poiché RP e RB sono, dal punto di vista statistico, due variabili casuali, anche la differenza (tracking error) rappresenta una variabile casuale.
L’analisi statistica del tracking error è dunque l’analisi statistica della
variabile casuale RP − RB .
Nell’ambito del problema di asset allocation, l’obiettivo diviene quello di
minimizzare la varianza non centrata del tracking error,
τ 2 = E[RP − RB ]2 .
La varianza non centrata del tracking error indica la possibile ampiezza
della differenza tra il rendimento del portafoglio gestito e il rendimento del
benchmark. Se τ 2 assume un valore basso, vuol dire che gli scostamenti tra
i due rendimenti sono limitati. Se τ 2 è elevato, vuol dire che gli scostamenti
di RP rispetto a RB possono essere anche molto elevati.
Ai fini della stima della varianza, dobbiamo far riferimento ad un insieme
di dati sul rendimento del portafoglio P e sul rendimento del benchmark,
osservati nei tempi t = 1, 2, . . . , T . Quindi, la stima della varianza non
centrata del tracking error è data da
T
1X
2
τ̂ =
(rP t − rBt ) ,
T t=1
2
dove con rP t si intende il rendimento del portafoglio P al generico tempo
t e analogamente con rBt si intende il rendimento benchmark al tempo t.
Il problema di minimizzazione vincolata è
Minwi τ 2
s.v.
PN
wi µi + wf Rf
i=1P
N
i=1 wi + wf
wi
wf
=
=
≥
≥
µ̄P
1
0
0
44
Capitolo 5
La volatilità dei rendimenti
finanziari
Il termine volatilità è largamente utilizzato per l’analisi dei rendimenti di
attività finanziarie. Come già specificato, esso può essere considerato un sinonimo di variabilità. Quindi con volatilità si intende l’attitudine di una grandezza
ad assumere valori lontani dal suo valore medio. Un titolo è tanto più volatile
quanto più ampie sono le oscillazioni dei suoi prezzi e quindi dei suoi rendimenti.
Un indicatore della volatilità è dunque un qualsiasi indicatore della variabilità.
In questo contesto si fa riferimento alla deviazione standard.
Le cause della volatilità, ovvero le cause delle oscillazioni dei prezzi (e quindi
dei rendimenti) di un’attività finanziaria, sono principalmente
1. l’arrivo di nuova informazione sul mercato;
2. l’attività di trading.
Le analisi empiriche rivelano che la volatilità dei rendimenti dei titoli finanziari non è generalmente costante. A periodi caratterizzati da lievi oscillazioni dei rendimenti seguono periodi caratterizzati da ampie oscillazioni degli
stessi. L’espressione anglosassone volatility clustering indica proprio questo
fenomeno: l’alternarsi di periodi tranquilli e periodi turbolenti. La volatilità,
inoltre, non è osservabile. Nasce dunque la necessità di stimarla. A tal fine, i
metodi più rilevanti proposti in letteratura sono
1. il metodo della volatilità storica (o historical volatility);
2. il metodo Exponential Smmothing;
3. i modelli di tipo ARCH.
45
46
CAPITOLO 5. LA VOLATILITÀ DEI RENDIMENTI FINANZIARI
Rendimenti Generali
0.1
0.05
0
−0.05
−0.1
0
100
200
300
400
500
600
400
500
600
Historical volatility
0.03
0.025
0.02
0.015
0.01
0
100
200
300
Figura 5.1: Andamento del rendimento Generali e stima della volatilità (metodo
della volatilità storica).
5.1
La volatilità storica
Sulla base del metodo della volatilità storica, la stima della volatilità al
tempo t avviene tramite
s
Pt−1
2
i=0 (rt−i − r̄)
st =
,
t−1
dove r̄ è la media del campione di dati.
Tutte le osservazioni hanno lo stesso peso, ovvero la stessa importanza.
Muovendosi nel tempo, cioè passando dal tempo t al tempo t + 1, il campione a
disposizione si amplia.
In alternativa si può conservare la sua dimensione costante eliminando, cioè,
la prima osservazione nel momento in cui una nuova osservazione si rende
disponibile. Quindi, se per stimare la volatilità al tempo t si utilizzano le osservazioni dal tempo 1 al tempo t, per la stima della stessa al tempo t + 1
si utilizzano le osservazioni dal tempo 2 al tempo t + 1. In questo caso si ha
un rolling sample. La formula generale della stima della deviazione standard,
considerando un’ampiezza del campione pari a k, è data da
s
Pk−1
2
i=0 (rt−i − r̄)
st =
.
k−1
Le figure 5.1 e 5.2 riportano la stima della volatilità storica considerando, rispettivamente, campioni con dimensioni variabile e campioni rolling. Le stime sono
47
5.2. L’EXPONENTIAL SMOOTHING
Rendimenti Generali
0.1
0.05
0
−0.05
−0.1
0
100
200
300
400
500
600
400
500
600
Historical volatility (rolling)
0.035
0.03
0.025
0.02
0.015
0.01
0
100
200
300
della volatilità storica, rolling sample).
riferite ai rendimenti giornalieri del titolo Generali osservati nel periodo 03/01/2002
- 30/12/2003.
5.2
L’Exponential Smoothing
Uno dei limiti del metodo della volatilità storica è l’attribuzione dello stesso
peso a dati con differente ubicazione temporale. Con il metodo Exponential
Smoothing (ES) si attribuisce un peso diverso alle varie osservazioni. I pesi
sono esponenzialmente descrescenti man mano che ci si allontana dal tempo t di
riferimento: le osservazioni più recenti sono le più rilevanti, dunque esse devono
avere un peso maggiore. Ciò spiega la denominazione del metodo. In questo
caso la stima della volatilità al tempo t è data da
v
u
t−1
u
X
st = t(1 − λ)
λi (rt−i − r̄)2
i=0
con 0 < λ < 1.
Generalmente λ è un valore scelto dal ricercatore e non stimato.1
È facile dimostrare che la (5.1) può anche essere scritta come
st =
1 Naturalmente
q
(1 − λ)(rt − r̄)2 + λs2t−1
sarebbe preferibile stimare il parametro λ.
(5.1)
48
Rendimenti Generali
0.1
0.05
0
−0.05
−0.1
0
100
200
300
400
500
600
400
500
600
EWMA (0.78)
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
0
100
200
300
ES, λ = 0.78).
Quindi s2t può essere interpretato come una media ponderata tra s2t−1 e
(rt − r̄)2 , ovvero tra la volatilità al tempo precedente e l’ultima informazione
disponibile.
In pratica la stima del periodo precedente è aggiornata sulla base di quanto
accaduto nell’ultimo periodo, t. Al variare del parametro λ cambia la rilevanza
attribuita a tale aggiornamento. Maggiore è λ, minore è il peso del termine
(rt − r̄)2 .
Le figure 5.3 e 5.4 riportano la stima della volatilità con il metodo ES considerando, rispettivamente, λ = 0.78 e λ = 0.94. La figure 5.5 è finalizzata a porre
un confronto grafico tra le due stime. Le stime sono sempre riferite ai rendimenti
giornalieri del titolo Generali osservati nel periodo 03/01/2002 - 30/12/2003.
49
5.2. L’EXPONENTIAL SMOOTHING
Rendimenti Generali
0.1
0.05
0
−0.05
−0.1
0
100
200
300
400
500
600
400
500
600
EWMA (0.94)
0.04
0.03
0.02
0.01
0
0
100
200
300
ES, λ = 0.94).
EWMA (0.78)
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
0
100
200
300
400
500
600
0.05
EWMA (0.94)
0.04
0.03
0.02
0.01
0
0
100
200
300
400
500
600
Figura 5.5: Confronto delle stime della volatilità del rendimento Generali (λ =
0.78 e λ = 0.94).
50
5.3
I modelli di tipo ARCH
Nel 1982 Engle pubblicò sulla rivista Econometrica un articolo poi destinato a cambiare la storia della metodologia statistica applicata alle serie storiche
finanziarie. Nell’articolo si propone il modello AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity (ARCH) idoneo a rappresentare le principali caratteristiche
delle variabili finanziarie osservate nel tempo. Con l’espressione modelli di tipo
ARCH si suole comprendere il modello ARCH di Engle (1982), nonché tutti
gli altri modelli proposti e studiati come varianti della formulazione originaria. Poiché la trattazione dei modelli di tipo ARCH richiede una conoscenza di
base delle nozioni della metodologia di Box-Jenkins (1976) per l’analisi delle serie storiche, tale approccio sarà qui analizzato senza eccessivi approfondimenti.
Fondamentale è il concetto di momento condizionato, come sarà specificato nei
successivi paragrafi.
5.3.1
Il modello ARCH(1)
Nel modello ARCH(1) si assume
rt
=
µ + σt t
σt2
=
α0 + α1 (rt−1 − µ)2
ovvero che il rendimento al tempo t è pari µ più il prodotto tra la quantità
σt e t , dove t è una variabile casuale con media nulla, E(t ) = 0, varianza
unitaria, Var(t ) = 1 e incorrelata con s con s 6= t. La quantità σt2 dipende dal
rendimento osservato al tempo t − 1. Si intende ora calcolare alcuni momenti
del rendimento al tempo t condizionatamente all’informazione al tempo t − 1,
in simboli It−1 , ovvero conoscendo tutto ciò che è avenuto fino al tempo t − 1.
Il valore atteso condizionato di rt è dato da
E(rt |It−1 ) = E(µ + σt t |It−1 ).
Poiché l’espressione di σt2 dipende da valori dal tempo t − 1, ciò implica che
conoscendo quanto è successo fino al tempo t − 1 implica la conoscenza di rt−1
e dunque σt2 non è una quantità ignota (una variabile casuale) ma una costante
(non c’è incertezza sul suo valore). Quindi
E(rt |It−1 )
= E(µ + σt t |It−1 )
= µ + σt E(t |It−1 )
= µ
(5.2)
dato che E(t |It−1 ) = 0. Inoltre, la varianza condizionata risulta
Var(rt |It−1 )
= Var(µ + σt t |It−1 )
= σt2 Var(t |It−1 )
= σt2
(5.3)
5.3. I MODELLI DI TIPO ARCH
51
dato che Var(t |It−1 ) = 1. Dunque σt2 è la varianza condizionata (si intende
condizionatamente all’informazione fino al tempo t − 1).
Nell’espressione della varianza, si nota che un valore dei rendimenti lontano
dal valore medio (sia esso positivo o negativo) causa una maggiore volatilità.
Dunque, un ampio movimento dei rendimenti causa un incremento della volatilità,
indipendentemente dalla direzione del movimento.
La stima di σt è data da
p
st = αˆ0 + αˆ1 (rt−1 − r̄)2 ,
dove r̄, αˆ0 e αˆ1 sono le stime dei parametri µ, α0 e α1 .
Il parametro α0 dell’equazione della varianza deve essere positivo, mentre il
parametro α1 deve essere non negativo. Inoltre, per la stazionarietà del modello,
deve essere α1 < 1.
La previsione della volatilità al tempo T + 1, note le osservazioni fino al
tempo T , è data da
p
sT (1) = αˆ0 + αˆ1 (rT − r̄)2 .
Più in generale, si definisce il modello ARCH(q) come
rt
=
σt2
=
µ + σt t
q
X
α0 +
αi (rt−i − µ)2
i=1
La varianza al tempo t dipende da quanto accaduto ai rendimenti al tempo
t − 1, al tempo t − 2 e cosı̀ fino al tempo t − q. La relativa importanza di questi
movimenti è espressa dai coefficienti αi . Maggiore è il coefficiente, più rilevante
è il movimento.
Si noti che i momenti condizionati (5.2) e (5.3) sono sempre validi, in particolare σt2 è sempre la varianza condizionata. Ciò che cambia è la sua espressione.
La stima della volatilità è data da
v
u
q
X
u
st = tαˆ0 +
α̂i (rt−i − r̄)2 .
i=1
v
u
q
X
u
sT (1) = tαˆ0 +
α̂i (rT +1−i − r̄)2 .
i=1
5.3.2
Test per la componente ARCH
È necessario fare un test per verificare se la serie storica di cui si dispone
esibisce una time-varying volatilità rappresentabile da un modello ARCH.
52
Engle (1982) ha derivato il seguente test basato sul principio dei moltiplicatori di Lagrange. Si stima una regressione dei quadrati di rt su una costante e
p ritardi,
2
2
rt2 = κ + α1 rt−1
+ . . . + αq rt−p
+ et ,
per t = 1, . . . , T . La quantità T R2 , dove R2 è il coefficiente di determinazione
della regressione, converge ad una variabile χ2 con p gradi di libertà. Quindi si accetta l’ipotesi di eteroschedatisticità se T R2 > χ2p,α , dove χ2p,α è quel
percentile di una variabile casuale χ2p tale che P (χ2p > χ2p,α ) = α.
5.3.3
Il modello GARCH(1,1)
Il modello GARCH(1,1) è una generalizzazione del modello ARCH. Nella
sua formulazione si ha
2
σt2 = α0 + α1 (rt−1 − µ)2 + β1 σt−1
.
La varianza al tempo t dipende da quanto è accaduto ai rendimenti al tempo
t − 1, ma dipende altresı̀ dalla passata varianza, e precisamente dalla varianza
al tempo t − 1. Quali sono le conseguenze dal punto di vista interpretativo?
Nel modello ARCH(1) un improvviso movimento influenza nettamente la varianza; nel modello GARCH(1,1) lo stesso improvviso movimento contribuisce a
modificare la varianza ma in modo non drastico.
Empiricamente, il modello GARCH(1,1) riesce a ben descrivere statisticamente una ampia quantità di serie storiche finanziarie (non solo rendimenti di
azioni). È ampiamente utilizzato, a volte in maniera acritica.
q
st = αˆ0 + αˆ1 (rt−1 − r̄)2 + βˆ1 s2t−1 .
Il parametro α0 dell’equazione della varianza deve essere positivo. Gli altri
devono essere non-negativi. Inoltre, α1 +β1 < 1 per la stazionarietà del modello.
q
sT (1) = αˆ0 + αˆ1 (rT − r̄)2 + βˆ1 s2T .
Più in generale, si ha il modello GARCH(p, q),
σt2
= α0 +
q
X
i=1
2
αi (rt−i − µ) +
p
X
2
βj σt−j
j=1
Viene utilizzato raramente (il GARCH(1,1) è normalmente preferito).
v
u
q
q
X
X
u
st = tαˆ0 +
α̂i (rt−i − r̄)2 +
βˆj s2t−j .
i=1
j=1
5.3. I MODELLI DI TIPO ARCH
53
tempo T , segue le regole già viste.
54
5.3.4
Asimmetria nei modelli di tipo ARCH: il modello
QGARCH
I modelli fin qui visti hanno la caratteristica di trattare allo stesso modo
shock positivi e negativi della stessa ampiezza. Nell’equazione della varianza,
2
2
2
infatti, compaiono i termini rt−1
, rt−2
, . . ., rt−q
, a seconda del particolare or2
dine del modello, che influenzano σt . Ciò implica che l’influenza è la stessa
considerando due valori rt−j e −rt−j uguali in valore assoluto. In altre parole,
uno shock positivo e uno shock negativo della stessa ampiezza hanno lo stesso effetto sulla volatilità. Si parla, in tal caso di effetti simmetrici. È questo
quanto si riscontra nella realtà? O forse è più giusto pensare ad effetti diversi
(o asimmetrici) e quindi separare i due effetti gli effetti di shock positivi dagli
effetti di shock negativi?
Per rispondere a questa domanda, si può effettuare un test per verificare
l’asimmetria degli effetti sulla volatilità. Ci sono diverse proposte in letteratura
tra le quali il Sign Bias Test e il Negative Size Bias Test (si rinvia per i dettagli al
testo di Gallo GM e Pacini B. (2002) Metodi quantitativi per i mercati finanziari,
Carocci Editore).
Il modello QGARCH (Quadratic GARCH) costituisce un esempio di modello di tipo ARCH con effetti asimmetrici. Nella sua formulazione più semplice,
ovvero con gli ordini p = q = 1 e assumendo µ = 0,
rt
=
σt t
σt2
=
2
+ δrt−1 + β1 σt−1
α0 + α1 rt−1
con δ < 0.
In tal caso il termine aggiuntivo rispetto alla formulazione GARCH è finalizzato a cogliere l’eventuale asimmetria della volatilità rispetto agli shock. Un
valore negativo di δ implica che un rendimento negativo al tempo t − 1 aumenta
la volatilità in misura maggiore rispetto ad un rendimento positivo della stessa
entità.
Capitolo 6
Modelli fattoriali per la
misura del rischio
La ricerca dei portafogli efficienti si basa su un problema di ottimizzazione
vincolato che può essere risolto dopo aver stimato i rendimenti attesi e le varianze
dei singoli titoli e le covarianze tra i titoli. Se i titoli sono N , è necessario stimare
N valori attesi, N varianze e N (N2−1) covarianze. Al crescere di N , ciò può
portare a complicazioni. L’analisi empirica ha però rivelato che i rendimenti
dei titoli sono influenzati da alcuni fattori comuni. Se si riuscisse ad esprimere
questi rendimenti in funzione di un fattore comune (o di più fattori comuni),
si raggiungerebbe una semplificazione notevole. I fattori possono essere di tipo
economico o finanziario.
I modelli che hanno riscosso maggiore successo sono il modello di mercato e il
Capital Asset Pricing Model (CAPM). Caratteristica comune dei due modelli è
l’inclusione di un solo fattore finanziario per spiegare la variabilità dei rendimenti
dei titoli azionari.
6.1
Il modello di mercato
Il modello di mercato (market model o single index model nella terminologia anglosassone) è un modello statistico che considera il rendimento di un’attività finanziaria in funzione del rendimento del portafoglio di mercato. La
specificazione assunta è quella più semplice, ovvero la specificazione lineare.
Il modello di mercato considera
Rit = αi + βi RMt + it ,
(6.1)
dove Rit è il rendimento del titolo i al tempo t, RMt è il rendimento del
portafoglio di mercato al tempo t e la variabile it è la componente di disturbo.
Il rendimento del titolo i al tempo t, Rit , è dunque scomponibile in tre
componenti:
55
56CAPITOLO 6. MODELLI FATTORIALI PER LA MISURA DEL RISCHIO
1. αi rappresenta un fattore non legato all’andamento del mercato, specifico
del titolo i e costante nel tempo;
2. βi RMt è la componente legata alla performance del mercato. In particolare, βi misura la sensibilità del rendimento del titolo i al rendimento del
portafoglio di mercato;
3. la componente it racchiude gli eventi imprevedibili che possono avere
un’influenza su Rit .
Da un punto di vista statistico si tratta di un modello di regressione semplice
in cui Rit è la variabile dipendente e RMt è la variabile esplicativa.
6.2
L’inosservabilità del portafoglio di mercato
Nel modello di mercato la variabile esplicativa è rappresentata dal rendimento del portafoglio di mercato. La definizione di questo particolare portafoglio è
stata data qualche pagina addietro. Ma è possibile individuare esattamente il
portafoglio di mercato? La risposta è negativa, poiché sarebbe necessario considerare congiuntamente tutte le attività rischiose esistenti.1 Da qui deriva il
carattere di inosservabilità del portafoglio di mercato. Esso viene quindi sostituito da un indice del mercato azionario dove sono contrattati i più importanti
titoli rischiosi. In questo modo si utilizza una proxy del portafoglio di mercato. Spesso gli indici sono costruiti sulla base di una parte dei titoli scambiati
(ad esempio, in Italia, il Mib30), altre volte sono rappresentati da tutti i titoli
scambiati (ad esempio, in Italia, il Mib e il Mibtel). In ogni caso non possono
includere titoli rischiosi non quotati in un mercato organizzato come la Borsa.
È naturale, quindi, che tutte le conclusioni derivanti dall’applicazione di un
modello di mercato siano di fatto influenzate dall’utilizzazione di una proxy in
luogo della vera variabile esplicativa.
Per il mercato italiano, i più rilevanti indici della Borsa che si utilizzano per
la stima del modello di mercato sono
• l’indice Mibtel
• l’indice Mib30
• l’indice S&P/Mib
Ciascun indice si configura come una media aritmetica ponderata dei rapporti tra il prezzo al tempo corrente t, Pit , e ad un tempo base 0, Pi0 ,
It =
PN
Pit
i=1 Pi0 Wi
PN
i=1
Wi
,
1 Nel concetto di portafoglio di mercato ero rientrare anche attività rischiose come opere
d’arte, immobili e altro.
6.3. LE IPOTESI DEL MODELLO DI MERCATO
57
dove Wi rappresenta il peso del titolo i e N è il numero dei titoli.
Il Mibtel è un indice relativo a tutte le azioni quotate in Borsa. Ha base
01.03.1994 = 10000 ed è calcolato ogni minuto. L’individuazione dei pesi avviene
ogni anno, l’ultimo giorno in cui la Borsa è aperta.
Il Mib30 è un indice che fa riferimento alle 30 azioni più importanti del mercato azionario. Ha base 31.12.1992 = 10000. Esso viene rinnovato due volte
all’anno, in marzo e settembre, ma possono esserci revisioni straordinarie. Il requisito dell’importanza è stabilito sulla base di due elementi: la capitalizzazione
e la liquidità. La capitalizzazione dell’azione i, CAPi , è data dal prodotto tra il
numero di azioni emesse e il prezzo medio del semestre di riferimento. La liquidità dell’azione i, LIQi , è quantificata attraverso il volume medio di scambi giornalieri relativo al semestre. Quindi si calcola per ogni azione i (delle N esistenti)
un indice di liquidità e capitalizzazione, ILCi , che considera congiuntamente le
due grandezze descritte,
N
X
LIQi
ILCi = CAPi + PN
CAPi .
i=1 LIQi i=1
Le 30 azioni con il più elevato indice di liquidità e capitalizzazione sono quelle
considerate per la costruzione del Mib30. Il generico peso Wi è rappresentato
dal rapporto tra la capitalizzazione del titolo i (calcolata alla data di revisione
dell’indice) e quella dell’insieme dei 30 titoli.
L’indice S&P/Mib è il più recente. Esso è calcolato e diffuso dal 2 giugno
2003. Comprende 40 azioni. L’indice S&P/Mib è l’unico indicatore azionario
italiano disegnato secondo l’approccio internazionale di Standard&Poor. L’indice
copre circa l’80% dell’universo azionario del mercato italiano.
Altri indici sono il MIDEX per le società a media capitalizzazione, il NUMTEL per le società del cosiddetto nuovo mercato. Maggiori dettagli possono
essere conosciuti consultando il sito della Borsa Italiana, www.borsaitalia.it.
6.3
Le ipotesi del modello di mercato
Le assunzioni del modello di mercato sono le tipiche assunzioni del modello
di regressione lineare semplice:
1. la variabile casuale it è una variabile casuale gaussiana;
2. il valore atteso di it è nullo, ovvero E[it |RMt ] = 0;
3. la varianza di it è costante e finita, Var[it |RMt ] = σ2i ;
4. la covarianza tra it e is è nulla, Cov [it , is ] = 0, t 6= s;
5. esiste indipendenza tra RMt e is , ∀t, ∀s.
Più in dettaglio:
1. Distribuzione della it
Nel modello di regressione (6.1) il termine it rappresenta il termine di
errore. Infatti è irrealistico assumere che la relazione tra Rit e RMt sia
perfettamente lineare, ovvero di tipo deterministico. Il termine di errore è
altresı̀ detto termine di disturbo. Il valore che il termine di errore assume
non è fissato a priori, it è dunque una variabile casuale. Una prima
assunzione sul termine di errore concerne la sua distribuzione. L’ipotesi
di gaussianità rappresenta la scelta più naturale e conveniente.
2. Valore medio di it
L’assunzione di normalità del termine di disturbo deve essere completata
specificando la media e la varianza. Il valore atteso di it è assunto pari a
zero, poiché ciò significa che l’errore, seppur esiste, è in media nullo.
3. Varianza di it
La varianza del termine di errore è assunta costante, ovvero pari ad un
numero finito, ed è genericamente posta pari a σ2i . Tale ipotesi è nota
come omoschedasticità, evidenziando dunque che la varianza è la stessa
per ogni termine di errore, ovvero Var[it |RMt ] = σ2i ∀t.
4. Covarianza tra it e is
L’assunzione di covarianza nulla tra due qualsiasi termini di errore, Cov [it , is |RMt ] =
0, con t 6= s, implica che un fattore casuale imprevedibile che ha influenzato il rendimento al tempo t non ha alcun legame con il fattore imprevedibile
che ha influenzato il rendimento ad un qualsiasi tempo s 6= t.
5. Indipendenza tra RMt e is
Le realizzazioni della variabile casuale RMt non sono legate alle realizzazioni della variabile casuale is . In altre parole, la componente di errore del tempo t non è legata al rendimento del portafoglio di mercato di
qualsiasi tempo s.
Dalle ipotesi elencate, e considerando che il modello di mercato può anche
scriversi come
Ri = αi + βi RM + i ,
(6.2)
segue che
E(Ri ) = αi + βi E(RM )
e che
Var(Ri ) = βi2 Var(RM ) + Var(i ),
che può anche scriversi
2
σi2 = βi2 σM
+ σ2i .
La covarianza tra il rendimento del titolo i e il rendimento del titolo j è data
da
σij
=
=
Cov(Ri , Rj )
E [(Ri − E(Ri )) (Rj − E(Rj ))]
59
6.3. LE IPOTESI DEL MODELLO DI MERCATO
=
=
=
E [(Ri − αi − βi E(RM )) (Rj − αj − βj E(RM ))]
E [(βi (RM − E(RM )) + i ) (βj (RM − E(RM )) + j )]
2
βi βj σM
assumendo la ragionevole ipotesi che la covarianza (e quindi il legame) tra i e
j sia nulla.
Il valore atteso di un generico portafoglio P composto da N titoli al tempo
t può quindi scriversi come
N
X
E(RP ) =
wi E(Ri )
i=1
N
X
=
wi (αi + βi E(RM ))
i=1
N
X
=
wi αi +
i=1
N
X
wi βi E(RM )
i=1
= ᾱ + β̄E(RM )
P
PN
dove ᾱ = N
i=1 wi αi e β̄ =
i=1 wi βi .
Inoltre, la varianza dello stesso generico portafoglio può scriversi come
Var(RP ) =
N
X
wi2 σi2 + 2
i=1
=
N
X
i=1
N
−1 X
X
wi wj σij
i=1 j>i
N
−1 X
X
2
2
wi2 βi2 σM
+ σ2i + 2
wi wj βi βj σM

2 
= σM
i=1 j>i
N
X
wi2 βi2 + 2
i=1
2
= β̄ 2 σM
+
N
X
N
−1 X
X
i=1 j>i

wi wj βi βj  +
N
X
wi2 σ2i
i=1
wi2 σ2i
i=1
Si può osservare che il rendimento atteso e la varianza del portafoglio dipendono ora da 3N + 2 quantità (si contano infatti N αi , N βi , N varianze delle
componenti di errore e il rendimento atteso e la varianza del portafoglio di
mercato).
Se, ad esempio, N = 40, l’analisi dei portafogli efficienti senza il ricorso a
= 860 quantità. Utilizzando
modelli fattoriali implica la stima di 40 + 40 + 40∗39
2
il modello di mercato, è necessario stimare 122 quantità.
L’utilizzo del modello di mercato è inoltre utile per suddividere il rischio connesso alla detenzione di un portafoglio in due componenti, quella diversificabile
e quella non diversificabile (o sistematica). Infatti, al fine di ridurre il rischio
di un portafoglio, si potrebbe scegliere di detenere un’ampia quantità di titoli,
ciascuno con un peso molto piccolo. Si supponga di detenere N titoli ciascuno
con una quota pari a N1 , ovvero wi = N1 , ∀i.
Si consideri ora il limite per N → ∞ dell’espressione di Var(RP ),
"
#
X 1 2
2 2
2
2
lim Var(RP ) = lim β̄ σM +
σi = β̄ 2 σM
.
N →∞
N →∞
N
i
L’interpretazione è chiara: anche ampliando a dismisura il numero di titoli
e detenendo di ciascuno di essi una quota molto bassa, non è possibile annullare
il rischio.
Più in dettaglio, una componente del rischio tende ad annullarsi, un’altra
componente tende a permanere. La prima componente viene quindi detta rischio diversificabile, la seconda rischio non diversificabile. Il rendimento del
portafoglio di mercato è un fattore che influenza tutti i titoli, e quindi esso non
può essere eliminato incrementando il numero di titoli in portafoglio.
Come già detto, il coefficiente βi fornisce una misura della reattività del
rendimento del titolo i a variazioni dell’indice di mercato. Se βi non è diverso
da zero l’indice (il mercato) non ha alcun effetto statistico sul rendimento del
titolo. Se, al contrario, βi è significativamente diverso da zero vale la conclusione
opposta.
Poiché il mercato rappresenta la fonte del rischio non diversificabile, comune
a tutti i titoli, e βi riflette la rischiosità di un titolo relativamente all’andamento
del mercato, βi è una misura del rischio non diversificabile del titolo i. In
particolare, un β < 1 caratterizza titoli a basso rischio (low risk) mentre un
β > 1 identifica titoli ad alto rischio (high risk).
6.4
La stima dei parametri
Il modello di mercato è una relazione che concerne una popolazione di rendimenti. Avendo a disposizione un campione di osservazioni di numerosità T ,
ovvero T coppie (rMt , rit ) con t = 1, . . . , T , è possibile stimare i parametri della
popolazione αi e βi . Le osservazioni (rMt , rit ) sono realizzazioni delle variabili
casuali (RMt , Rit ).
Il metodo più largamente utilizzato è il metodo dei minimi quadrati ordinari (ordinary laest squares nella terminologia anglosassone), in seguito indicato
come OLS.2
La ratio del metodo consiste nella ricerca di quei valori α̂i e β̂i che minimizzano la somma degli errori (scarti tra dati empirici e dati teorici) al quadrato
per il periodo di osservazione. Avendo definito
S(α̂i , β̂i ) =
T
X
ˆ2it ,
t=1
2 Altri
metodi di stima sono il metodo dei momenti e il metodo della massima
verosimiglianza.
61
6.4. LA STIMA DEI PARAMETRI
l’obiettivo può dunque scriversi come
T
X
MinS(α̂i , β̂i ) =
ˆ2it
t=1
T X
=
t=1
rit − α̂i − β̂i rMt
2
Trattandosi di un problema di minimizzazione senza alcun vincolo, è sufficiente uguagliare a zero le derivate prime della funzione S calcolate rispetto alle
incognite del problema, ovvero α̂i e β̂i . Quindi
∂S
∂ α̂i
=
∂S
=
∂ β̂i
−2
−2
T X
t=1
T X
t=1
rit − α̂i − β̂i rMt = 0
rit − α̂i − β̂i rMt rMt = 0
Risolvendo si ottiene un sistema di 2 equazioni in 2 incognite,
T α̂i + β̂i
T
X
rMt
=
t=1
α̂i
T
X
rMt + β̂i
t=1
T
X
T
X
rit
t=1
2
rMt
t=1
=
T
X
rMt rit
t=1
La risoluzione del sistema fornisce le stime dei minimi quadrati
β̂i
=
PT
α̂i
=
r̄i − β̂i r̄M
(rMt − r̄M ) (rit − r̄i )
PT
2
t=1 (rMt − r̄M )
t=1
(6.3)
(6.4)
dove r̄i e r̄M indicano rispettivamente le medie delle T osservazioni delle due
variabili del modello.
Le stime dei minimi quadrati α̂i e β̂i sono dei numeri ottenuti a partire da
un campione di osservazioni. Si noti, tuttavia, che al variare del campione, i
valori numerici delle stime cambiano. In generale, è utile considerare ogni stima
campionaria di un parametro di una popolazione come la realizzazione di una
variabile casuale che riassume tutti i possibili valori delle stime al variare del
campione estratto.
Si definiscono Ai e Bi le due variabili casuali che riassumono le stime di αi
e βi . Ai e Bi sono gli stimatori dei minimi quadrati.
6.5
Le proprietà degli stimatori OLS
Le espressioni degli stimatori Bi e Ai sono rispettivamente
PT
Rit − R̄i
t=1 RMt − R̄M
Bi =
2
PT
t=1 RMt − R̄M
Ai
(6.5)
= R̄i − Bi R̄M
(6.6)
In pratica, nelle espressioni (6.3) e (6.4) i valori di rMt e rit sono sostituiti
con le corrispondenti variabili casuali RMt e Rit .
Le distribuzioni di Ai e Bi sono necessarie per l’implementazione di test di
ipotesi sui coefficienti αi e βi .
Dalla teoria statistica è noto che si può approssimare la distriubuzione dello
stimatore Bi ad una distribuzione normale e questa approssimazione è tanto
migliore quanto maggiore è il numero di osservazioni a disposizione. Inoltre Bi
è uno stimatore corretto, poiché il suo valore atteso è esattamente pari a βi .
L’ipotesi di indipendenza tra RMt e it è necessaria per questo risultato. Infatti
il valore atteso di Bi può scriversi come
" PT
#
Rit − R̄i
t=1 RMt − R̄M
E(Bi ) = E
2
PT
t=1 RMt − R̄M
#
" PT
R
−
R̄
(β
(R
−
R̄
)
+
−
¯
)
Mt
M
i
Mt
M
it
i
t=1
= E
2
PT
t=1 RMt − R̄M
" PT
#
¯i )
t=1 RMt − R̄M (it − = βi + E
2
PT
t=1 RMt − R̄M
= βi
per l’ipotesi di indipendenza tra RMt e it . Bi è dunque uno stimatore corretto
(non distorto) del parametro βi .
2
,
La varianza dello stimatore Bi può essere approssimata da PT σ
2
posto, per brevità, σ2i = σ 2 .
Riassumendo i tre risultati conseguiti può scriversi
!
σ2
Bi → N βi , PT
.
2
t=1 (rMt − r̄M )
t=1
(rM t −r̄M )
(6.7)
Inoltre lo stimatore Bi è consistente, ovvero uno stimatore sempre più preciso
all’aumentare della dimensione del campione. Infatti, si tratta di uno stimatore
corretto e con una varianza che tende a zero all’aumentare della dimensione campionaria. Maggiori dettagli sulle nozioni di consistenza possono essere trovati
in testi di inferenza statistica.
6.6. INFERENZA SUI PARAMETRI DELLA REGRESIONE
63
In maniera analoga può studiarsi la distribuzione dello stimatore Ai , il suo
valore atteso e la sua varianza. Il risultato che si ottiene è
"
#!
2
1
r̄
M
Ai → N αi , σ 2
+ PT
.
(6.8)
2
T
(r
− r̄M )
Mt
t=1
6.6
Inferenza sui parametri della regresione
Come già ricordato, il modello di mercato è una relazione che concerne una
popolazione ed è stata stimata attraverso un campione di osservazioni. Le stime
dei parametri, ottenute con il metodo dei minimi quadrati ordinari, consentono
di considerare plausibili o meno alcune ipotesi sui parametri della popolazione,
attraverso specifiche procedure inferenziali.
In pratica, si è interessati a verificare le ipotesi che i due parametri αi e βi
siano nulli o meno. Le due ipotesi da sottoporre a test sono
H0 : αi = 0
H1 : αi 6= 0
e
H0 : βi = 0
H1 : βi 6= 0
Il primo test di ipotesi concerne l’esistenza della componente αi nel rendimento medio del titolo i al tempo t, ovvero della componente indipendente dalla
performance del mercato. Il secondo test fa riferimento al parametro βi e dunque
all’esistenza della componente del rendimento atteso di Rit legata all’andamento del mercato. Il secondo test è il più rilevante poiché è dal suo esito che si
accetta o meno il modello di mercato. Accettare come plausibile l’ipotesi βi = 0
implica il rifiuto del modello di mercato in favore del più semplice modello dei
rendimenti con valore atteso costante.
Utilizzando la (6.7) questo test può effettuarsi considerando che sotto l’ipotesi nulla H0 : βi = 0
Tuttavia il parametro σ non è noto, ma può essere stimato utilizzando i dati
campionari. Poiché σ 2 è per ipotesi la varianza di it , è naturale stimare tale
parametro con la varianza calcolata sulle stime delle suddette variabili casuali,
ît , t = 1, 2, . . . , T , ottenute come
ît = rit − α̂i − β̂i rMt .
P
Poichè il metodo dei minimi quadrati implica necessariamente che Tt=1 ît =
0 (è sufficiente considerare la derivata della funzione S(α̂i , β̂i ) rispetto a α̂i ), si
stima il parametro σ 2 calcolando la media dei quadrati delle ît . In sintesi
PT 2
ˆ
2
s = t=1 it .
(6.9)
T −2
Il denominatore è pari a T − 2 poiché si intende far riferimento ad uno
stimatore corretto.
Fissato un livello di significatività pari ad α, si ritiene esserci evidenza contro
H0 se
β̂i
r
> zα.
2
1
s PT
(rM t −r̄M )2 t=1
La stessa procedura può essere utilizzata per sottoporre a test altre ipotesi
rilevanti dal punto di vista finanziario (ad esempio H0 : βi = 1 vs H0 : βi 6= 1).
Per il test di ipotesi sul parametro αi parte dalla (6.8) sotto l’ipotesi nulla
H0 : αi = 0.
Sostituendo al parametro incognito σ la stima campionaria ricavata dalla
(6.9), e fissato un livello di significatività pari ad α, si ritiene esserci evidenza
contro H0 se
α̂
i
> zα.
r
2
2
s 1 + PT r̄M
2 T
t=1
6.7
(rM t −r̄M )
La bontà di accostamento
Ai fini del giudizio sulla bontà di adattamento del modello di mercato alla
realtà osservata, si possono utilizzare diversi indici. Tra questi il più noto è sicuramente l’indice di determinazione R2 . Esso è basato sulla scomposizione della
devianza totale della variabile in osservazione in due componenti, la devianza
di regressione e la devianza residua. La devianza campionaria totale è pari a
Dtot =
T
X
(rit − r̄i )2 .
t=1
Questa quantità è scomponibile in due parti,3 ovvero
Dtot
= Dreg + Dres
=
T
X
t=1
(r̂it − r̄i )2 +
T
X
t=1
(rit − r̂it )2
dove r̂it è il valore teorico del rendimento del titolo i al tempo t sulla base del
modello di mercato.
Da questa scomposizione si definisce il coefficiente di determinazione
R2 =
3 Per
Dreg
.
Dtot
la dimostrazione si rinvia ad un qualsiasi testo base di statistica.
6.8. VERIFICA DELLE IPOTESI DEL MODELLO DI REGRESSIONE 65
che varia tra 0 e 1. È pari a zero se la variabile indipendente considerata, rMt ,
non ha alcun potere esplicativo sulla variabile dipendente rit . In questo caso la
devianza totale coincide con la devianza residua. È pari a uno se, al contrario,
esiste una perfetta relazione lineare tra rMt e rit per cui, una volta individuata
questa relazione, non esiste alcuna differenza tra valori empirici (osservati) e
valori teorici (Dres = 0).
6.8
Verifica delle ipotesi del modello di regressione
Le ipotesi alla base del modello di mercato condizionano la stima, le proprietà
degli stimatori e le procedure inferenziali sui parametri della popolazione. È
dunque opportuno verificare se esse possano essere ritenute plausibili, e quali
sono le conseguenze nel caso di non difendibilità delle stesse.
La prima ipotesi prevede la distribuzione gaussiana per la componente stocastica it . Per esprimere un giudizio sulla plausibilità di questa ipotesi, si può
fare un test sulla normalità sulle it , utilizzando le ît , ovvero le stime delle
variabili di disturbo che si possono ottenere applicando il metodo dei minimi
quadrati. Tra le varie procedure proposte in letteratura per la normalità di una
popolazione, il test di Jarque-Bera rappresenta un utile punto di riferimento. La
ratio del test è stata già presentata; alla formula presentata bisogna quindi far
riferimento considerando gli indici di skewness e di curtosi calcolati sull’insieme
delle ît .
L’ipotesi 2 fa riferimento al valore atteso dei residui. Come si è già detto,
l’applicazione del metodo di stima dei minimi quadrati ordinari ha come conseguenza la somma nulla dei residui stimati ît , per cui tale ipotesi è sempre
verificata.
L’ipotesi 3 concerne l’omoschedasticità dei residui, ovvero la costanza della
varianza delle variabili it ,
Var(it ) = σ2i = σ 2
∀t
Al contrario, si parla di eteroschedasticità quando Var(it ) = σt2 , cioè quando la varianza della componente stocastica (o di disturbo) cambia nel tempo.
Per verificare la plausibiltà dell’ipotesi di omoschedasticità, numerose procedure
sono state proposte in letteratura. Un test molto diffuso è stato proposto da
Robert Engle (premio Nobel per l’Economia nel 2003), il quale considera la
regressione
ˆ2it = δ0i + δ1i ˆ2i,t−1 + δ2i ˆ2i,t−2 + . . . + δpi ˆ2i,t−p + ηit .
Analizzando il coefficiente di determinazione R2 che scaturisce da questa
regressione si giudica la plausibilità dell’ipotesi nulla di omoschedasticità.
La statistica T R2 (si ricorda che T è la numerosità delle osservazioni) si
distribuisce come una variabile χ2p . Quindi si rifiuta H0 se T R2 > χ2p,α , dove
χ2p,α è quel percentile di una variabile casuale χ2p tale che P (χ2p > χ2p,α ) = α.
L’assenza dell’ipotesi di omoschedasticità ha influenza sulle proprietà degli
stimatori OLS. Rimandando a testi specifici per i risultati analitici, ci si limita
in questo testo ad evidenziare che in assenza dell’ipotesi di omoschedasticità,
gli stimatori OLS Ai e Bi risultano ancora corretti e consistenti, tuttavia presentano una varianza maggiore di quella che dovrebbero avere (non sono più
efficienti), per cui i test delle ipotesi dei coefficienti risultano scarsamente affidabili (le ipotesi nulle αi = 0 e βi = 0 vengono accettate più del dovuto, in altre
parole c’è un aumento della probabilità di commettere un errore di II tipo).
La quarta ipotesi fa riferimento alla correlazione tra le componenti di disturbo in tempi diversi. Per verificare la plausibilità di questa ipotesi è naturale
esaminare l’autocorrelazione esistente tra i residui stimati. Per l’autocorrelazione di ordine k, si esaminano la serie ît per t = k + 1, . . . , T e la serie ît
per t = 1, 2, . . . , T − k.
Tra i test più comuni nella letteratura econometrica c’è da menzionare il test
di Ljung-Box, già esposto, e al quale, quindi, si rimanda.
L’ultima ipotesi concerne l’indipendenza tra RMt e is . In generale, ci si
limita a verificare l’assenza di correlazione tra RMt e it , utilizzando le stime
ît .
In teoria, nel portafoglio di mercato sono compresi tutti i titoli rischiosi,
e quindi anche il titolo i. Il rendimento del portafoglio di mercato, quindi,
dipende anche dal rendimento del titolo i. Quest’ultimo, sulla base del modello
di mercato, è influenzato da it e quindi dovrebbe esistere una relazione anche tra
RMt e it . Questa relazione non è rilevante se il peso del titolo i nel portafoglio
di mercato è molto contenuto. In generale, in un mercato finanziario sviluppato,
sono molti i titoli rischiosi, e di conseguenza il peso di ogni singolo titolo sul
portafoglio di mercato è trascurabile. In questo caso, l’ipotesi in questione è da
ritenersi plausibile.
Da un punto di vista empirico è possibile calcolare il coefficiente di correlazione tra RMt e ît .
6.9
La stabilità del parametro βi
La stima del parametro βi è ottenuta sulla base della disponibilità di un
campione di T osservazioni. Nel momento in cui si viene a conoscenza di ulteriori
valori della variabile dipendente e della variabile esplicativa, ad esempio al tempo
T +1, si potrebbe pensare di ripetere la regressione, utilizzano T +1 osservazioni.
Conoscendo le variabili ai tempi T + 2, T + 3, e cosı̀ via, si potrebbero ottenere
altre stime più aggiornate. Se le nuove stime del parametro βi fossero simili
alla stima originaria (quella ottenuta con T osservazioni), allora si potrebbe
concludere che il parametro βi tende ad essere stabile nel tempo, ovvero la
relazione tra Ri e RM tende ad essere stabile nel tempo.
Per comprendere la stabilità della relazione, avendo a disposizione solo il
campione iniziale di T osservazioni (prima quindi della disponibilità di ulteriori
osservazioni), si può agire con il metodo delle regressioni ricorsive nel seguente
modo:
6.10. IL CAPITAL ASSET PRICING MODEL
67
1. si stabilisce un tempo S, con 1 < S < T ;
2. si stima il modello di mercato considerando le osservazioni per t = 1, 2, . . . , S,
(S)
e si indica la stima del coefficiente βi con β̂i ;
3. si ripete la stima del modello di mercato aggiungendo ogni volta un’osservazione (t = 1, 2, . . . , S + 1, poi t = 1, 2, . . . , S + 2 e cosı̀ via) oppure
aggiungendo ogni volta un’osservazione e contemporaneamente eliminando la meno recente (t = 2, 3, . . . , S + 1, poi t = 3, 4, . . . , S + 2 e cosı̀ via).
(S+1)
(S+2)
(T )
Si indicano le stime con β̂i
, β̂i
, . . ., β̂i .
4. si costruisce un grafico in cui si considera sull’asse delle ascisse il tempo
k dell’ultima osservazione utilizzata (k = S, S + 1, . . . , T ) e sull’asse delle
(k)
ordinate le corrispondenti stime β̂i . Dall’andamento delle stime si può
giudicare la stabilità del coefficiente βi e quindi della relazione del modello
di mercato. In particolare è di interesse verificare se la stima di βi si è
modificata passando da valori inferiori all’unità a valori superiori all’unità
(o viceversa).
Esistono in letteratura anche test analitici per giudicare la stabilità di una
relazione. Per approfondimenti si suggerisce un testo di econometria.
6.10
Il Capital Asset Pricing Model
Il Capital Asset Pricing Model (CAPM) è sicuramente uno dei più diffusi
modelli in ambito finanziario. Il suo scopo è quello di descrivere il premio per
il rischio di un titolo finanziario. Si definisce premio per il rischio del titolo i la
differenza tra il rendimento atteso del titolo e il rendimento del titolo privo di
rischio presente sul mercato.
In questo contesto non si fornisce una derivazione analitica del CAPM,
preferendo sottolinearne l’intuzione.
Il possesso di un generico titolo i deve essere giustificato non solo in funzione
del suo premio per il rischio, ma anche sulla base del suo rischio. In altre
parole, indicando con Ri il suo rendimento, e con rf il rendimento del titolo
privo di rischio, la differenza E(Ri ) − rf , il premio per il rischio, è un primo
indicatore della convenienza ad acquistare il titolo, ma una misura per esprimere
un giudizio più completo è data dal rapporto tra il premio per il rischio e il
rischio, ovvero
E(Ri ) − rf
,
σi
dove σi è la deviazione standard del rendimento del titolo i.
Il rapporto in questione è noto come indice di Sharpe ed è una misura a cui
si fa ampiamente riferimento (può anche essere interpretato come il rendimento
in eccesso per unità di rischio). Se si dovesse scegliere tra due titoli, i e j, si
preferirebbe quello il cui indice di Sharpe è maggiore.
Ma come cambia il criterio di scelta quando si dispone già di un portafoglio
P ben diversificato costituito da N titoli rischiosi e un titolo privo di rischio? Si
indichi con RP la variabile casuale che descrive il suo rendimento. Il suo valore
atteso è E(RP ).
Supponiamo di voler incrementare la proporzione del titolo i nell’ambito del
portafoglio, riducendo la quota del titolo privo di rischio.
Qual è l’impatto sul rendimento atteso del portafoglio iniziale? E qual è
l’impatto sul rischio del portafoglio iniziale?
Il rendimento del portafoglio P è esprimibile come
X
RP = w1 R1 + w2 R2 + . . . + wN RN + (1 −
wi )rf ,
i
e il rendimento atteso come
E(RP ) = w1 E(R1 ) + w2 E(R2 ) + . . . + wN E(RN ) + (1 −
X
wi )rf .
i
L’impatto sul rendimento atteso del portafoglio P è dato da
∂E(RP )
= E(Ri ) − rf ,
∂wi
ovvero il premio per il rischio del titolo i.
La deviazione standard del portafoglio P è

 12
N
N
−1 X
X
X
1
σP = 
wi2 σi2 + 2
wi wj σij  = σP2 2 .
i=1
i=1 j>i
L’impatto sulla deviazione standard del portafoglio P è dato da
∂σP
1 2 − 12 ∂σP2
=
σ
.
∂wi
2 P
∂wi
Poichè
σP2 =
N
X
i=1
wi2 σi2 + 2
N
−1 X
X
wi wj σij ,
i=1 j>i
allora
X
∂σP2
= 2wi σi2 + 2
wj σij = 2σiP .
∂wi
j6=i
Infatti, dato un portafoglio P composto da N titoli presenti in proporzioni
P
(w1 , w2 , . . . , wN ) e dal titolo privo di rischio presente in proporzione 1 − i wi ,
la covarianza tra il rendimento del portafoglio e il rendimento di un generico
titolo i è data da
X
wi )rf )
σiP = Cov(Ri , w1 R1 + w2 R2 + . . . + wN RN + (1 −
i
= w1 Cov(Ri , R1 ) + . . . + wi Cov(Ri , Ri ) + . . . + wN Cov(Ri , RN ))
= w1 σi1 + . . . + wi σi2 + . . . + wN σiN .
6.10. IL CAPITAL ASSET PRICING MODEL
69
Quindi, alla fine,
∂σP
σiP
=
.
∂wi
σP
Il rischio associato al titolo i, in questo contesto, non è dunque misurabile
attraverso un indicatore della sua variabilità (es. la deviazione standard). Il
rischio, in questo contesto, è rappresentato dal contributo del titolo i alla deviazione standard del portafoglio di partenza P , misurabile dal rapporto tra
la covarianza tra il rendimento del titolo i e il rendimento del portafoglio P ,
indicata con σiP , e la deviazione standard del portafoglio P .
A questo punto è necessario legare rendimento atteso e rischio. In relazione
all’incremento della quota del titolo i, si definisce quindi il rapporto tra l’impatto
sul rendimento atteso del portafoglio P (premio per il rischio) e l’impatto sul
rischio dello stesso portafoglio,
E(Ri ) − rf
.
σiP /σP
(6.10)
Si supponga di ripetere il ragionamento per il titolo j. Il rapporto tra il
premio per il rischio e il rischio associato è dato da
E(Rj ) − rf
.
σjP /σP
(6.11)
In una situazione di equilibrio, deve esserci uguaglianza tra (6.10) e (6.11),
E(Rj ) − rf
E(Ri ) − rf
=
.
σiP /σP
σjP /σP
Se cosı̀ non fosse, uno dei due titoli sarebbe più conveniente dell’altro. A
parità di rendimento atteso uno dei due titoli ha un rischio inferiore, oppure
a parità di rischio uno dei due titoli presenta un rendimento atteso superiore.
Tutti gli investitori acquisterebbero il titolo più conveniente, il suo prezzo aumenterebbe e il suo rendimento atteso cadrebbe, fino al punto in cui il rapporto
di cui sopra diviene uguale per i due titoli.
Naturalmente, l’uguaglianza deve valere non solo per due titoli, ma per tutti
i titoli presenti sul mercato. E altresı̀ deve valere per ogni possibile combinazione
di titoli, ovvero per ogni possibile portafoglio, e quindi anche per il portafoglio
di partenza P , ovvero
E(Ri ) − rf
E(Rj ) − rf
E(RP ) − rf
=
=
,
σiP /σP
σjP /σP
σP P /σP
dove è facilmente dimostrabile che σP P è pari a σP2 .4
E tutto ciò vale anche quando il portafoglio P è il portafoglio di mercato M ,
per cui
E(Ri ) − rf
E(RM ) − rf
=
.
σiM /σM
σM
4 Infatti
2.
σP P = Cov(RP , RP ) = Var(RP ) = σP
Da questa ultima relazione si ricava che
E(Ri ) − rf =
Ponendo βi =
σiM
2
σM
σiM
2 (E(RM ) − rf ) .
σM
, si giunge alla nota espressione del CAPM,
E(Ri ) − rf = βi (E(RM ) − rf ) .
(6.12)
La (6.12) esprime la relazione tra il premio per il rischio del titolo i e il
premio per il rischio del portafoglio di mercato.
Il coefficiente βi è dato dal rapporto tra la covarianza tra Ri e RM e dunque è
lo stesso β ricavato dal modello di mercato. e dunque ha la stessa interpretazione
presentata qualche pagina addietro.
6.11
La critica di Roll
Una delle più note critiche alla validità delle conclusioni tratte da un modello
di mercato o dal CAPM è stata posta da Roll. La sua obiezione fa riferimento all’inosservabilità del portafoglio di mercato, e dunque alla impossibilità di
disporre di dati sul suo rendimento. In pratica si utilizza una proxy, ovvero un
portafoglio rappresentativo, generalmente costituito da un indice della borsa.
Cosı̀ per l’Italia si può far riferimento all’indice Comit, oppure all’indice Mibtel.
Per i dati americani si può utilizzare lo S&P500.
In ogni caso si tratta di portafogli che sostituiscono il portafoglio di mercato.
La critica di Roll è incentrata proprio su questa considerazione. La sua conclusione è la seguente: se il modello di mercato o il CAPM sembrano descrivere
inadeguatamente la realtà osservata, sue sono le possibili cause:
1. l’effettiva inadeguatezza del modello a descrivere la realtà;
2. l’inadeguatezza del portafoglio utilizzato come proxy del portafoglio di
mercato.
Capitolo 7
La distribuzione dei
Come si è visto nelle pagine precedenti, l’ipotesi di una distribuizione Gaussiana per i rendimenti finanziari non è supportata dall’analisi empirica. Utilizzando uno specifico test, il test di Jarque-Bera, presentato nelle pagine precedenti, l’ipotesi di normalità dei rendimenti viene costantemente rifiutata, in parte
per l’asimmetria, ma molto più chiaramente per la curtosi. Nasce dunque l’esigenza di individuare una ipotesi distribuzionale che meglio si adatti alla realtà.
Avere un valido modello teorico a disposizione aiuta per il calcolo di probabilità
che potrebbero essere di interesse per gli operatori finanziari. Ad esempio, qual
è la probabilità che il rendimento del titolo XXX possa scendere al di sotto del
-4%? Il calcolo di questa probabilità con un modello errato porta a conclusioni
errate. Si potrebbe sottostimare questa probabilità, trascurando l’eventualità
di un evento che invece è più probabile di quanto non risulti. Al contrario, si
potrebbe sovrastimare questa probabilità, con conseguenze opposte.
Un’ipotesi più complessa, ma altamente flessibile, è rappresentata dalla mistura di due variabili casuali normali (o Gaussiane). La funzione di densità di
una mistura di due normali è data da una media ponderata di due funzioni di
densità Gaussiane, f1 (x) e f2 (x), con parametri µ1 e σ12 per la prima e µ2 e σ22
per la seconda,
f (x) = pf1 (x) + (1 − p)f2 (x),
dove p è un parametro compreso tra 0 e 1.
La mistura di due normali è ampiamente flessibile perché può dar luogo a
densità molto differenti (simmetriche, asimmetriche, unimodali, bimodali). In
questo contesto si è interessati ad una funzione di densità leptocurtica, ossia più
alta di una normale in corrispondenza dei valori intorno alla media e dei valori
lontani dalla media (ovvero nelle code).
La ratio che giustifica l’utilizzo di una mistura di due distribuzioni normali può sintetizzarsi come segue. È noto che un’unica distribuzione normale
non è idonea a descrivere il fenomeno dei rendimenti finanziari. E una dis71
72 CAPITOLO 7. LA DISTRIBUZIONE DEI RENDIMENTI FINANZIARI
40
35
30
25
20
15
10
5
0
−0.2
−0.15
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
Figura 7.1: Istogramma dei rendimenti del titolo Cattolica e funzione di densità
stimata Gaussiana.
tribuzione normale è caratterizzata da due parametri: la media µ e la varianza
σ 2 . È altesı̀ noto che una varianza costante lungo un definito arco temporale è
un’ipotesi restrittiva per i rendimenti finanziari. Con una mistura di due distribuzioni normali, entrano in gioco due medie, µ1 e µ2 , e due varianze, σ12 e
σ22 . Con specifico riferimento a questi ultimi due parametri, l’esistenza di due
varianze può essere interpretata come esistenza di due regimi per i rendimenti
finanziari. Un regime è caratterizzato da bassa variabilità ed è rappresentato
dalla distribuzione con varianza minore, il secondo regime è caratterizzato da
alta variabilità ed è rappresentato dalla distribuzione con varianza maggiore. Il
parametro p può quindi essere interpretato come la probabilità di osservare un
regime e 1 − p è la probabilità di osservare l’altro regime.
Si considerano i rendimenti del titolo Cattolica per il periodo dal 03/01/2002 al
30/12/2003. Il numero di rendimenti è pari a 501. Si intende studiare quale funzione di densità sia la più appropriata confrontando la funzione di densità Gaussiana
e la funzione di densità di una mistura di due normali. Si stimano i parametri delle
due distribuzioni con il metodo della massima verosimiglianza (i dettagli del metodo sono riportati successivamente). Per la funzione di densità Gaussiana risulta
µ̂ = 0.00039 e σ̂ = 0.01503. Per la mistura di due normali, le stime risultano
µ̂1 = 0.00116, σ̂1 = 0.01054, µ̂2 = −0.01013, σ̂2 = 0.04066 e p̂ = 0.9312. Si
rappresentano le due funzioni di densità (normale e mistura di due normali) insieme
all’istogramma dei dati (figure 7.1 e 7.2). Graficamente è evidente che la seconda ipotesi distribuzionale sia da preferire. In particolare si evidenzia l’esistenza di
due regimi, uno dei quali presenta una deviazione standard quattro volte maggiore
dell’altro.
73
40
35
30
25
20
15
10
5
0
−0.2
−0.15
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
Figura 7.2: Istogramma dei rendimenti del titolo Cattolica e funzione di densità
stimata della mistura di 2 Gaussiane.
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
−0.15
Figura 7.3:
Cattolica.
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
Funzione di distribuzione empirica dei rendimenti del titolo
0.08
0.06
0.04
0.02
0
−0.02
−0.04
−0.045
−0.04
−0.035
−0.03
−0.025
−0.02
−0.015
Figura 7.4: Particolare della funzione di distribuzione empirica dei rendimenti
del titolo Cattolica.
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
0.15
Figura 7.5: Funzione di distribuzione empirica dei rendimenti del titolo Cattolica
e funzione di distribuzione stimata Gaussiana.
75
7.1. IL CONFRONTO TRA PIÙ DISTRIBUZIONI
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
0.15
Figura 7.6: Funzione di distribuzione empirica dei rendimenti del titolo Cattolica
e funzione di distribuzione stimata della mistura di 2 Gaussiane.
7.1
Il confronto tra più distribuzioni
Al fine di comparare più ipotesi distribuzionali, è possibile inoltre considerare il confronto tra le funzioni di distribuzione (o ripartizione) ipotizzate e la
funzione di distribuzione empirica. Si ricorda che la funzione di distribuzione è
definita da F (x) = P (X ≤ x). La funzione di distribuzione empirica, indicata
con F̂ (x), è pari al numero di osservazioni effettivamente inferiori o uguali al
valore x. Se si osservano i rendimenti rt di un titolo dal tempo 1 al tempo T ,
allora si può scrivere
#{rt ≤ x}
F̂ (x) =
T
dove il simbolo #{·} indica il numero di volte in cui si è osservato l’evento in
parentesi.
Si rappresenta la funzione di distribuzione empirica dei rendimenti del titolo Cattolica
(figura 7.3). Si noti che essa è una funzione a gradini. Un particolare di questa
funzione è rappresentato in figura 7.4.
Si rappresentano inoltre le funzioni di distribuzione della normale e della mistura di due normali insieme a quella empirica1 (figura 7.5 e 7.6). La funzione di
distribuzione della mistura è più vicina alla funzione di distribuzione empirica.
Quanto più la funzione di distribuzione ipotizzata si avvicina alla funzione
di distribuzione empirica, tanto più affidabile è l’ipotesi. Il confronto può
avvenire, oltre che graficamente, anche statisticamente, utilizzando un’appro-
1 Per una mistura di due normali, F (x) = pF (x) + (1 − p)F (x), dove F (x) e F (x) sono
1
2
1
2
le funzioni di distribuzione corrispondenti a f1 e f2 .
priata procedura di test di ipotesi. Tra le procedure più diffuse, c’è il test di
Kolmogorov-Smirnov.
L’ipotesi nulla del test di Kolmogorov-Smirnov può sciversi come H0 : F (x) =
F0 (x), ovvero la funzione di distribuzione è una particolare specificata funzione
F0 (x). L’ipotesi alternativa è H1 : F (x) 6= F0 (x). Il test si basa sul massimo
delle differenze in valore assoluto tra la funzione di distribuzione empirica e
quella specificata, ovvero
D = sup F̂ (x) − F0 (x) .
Il valore ottenuto deve essere confrontato con dei valori critici opportunamente calcolati. Tuttavia, per un campione maggiore di 35, situazione sempre
verificata per i rendimenti finanziari, si possono utilizzare delle approssimazioni
fornite dagli stessi autori. In pratica, si calcola la statistica D, quindi si considera una regione critica definita da D ≥ √dαT con d0.05 = 1.358 e d0.01 = 1.628.
Se, ad esempio, risulta D = 0.045 sulla base di un campione di numerosità
T = 1500, allora la regione critica (rifiuto dell’ipotesi nulla) è definita da quei
valori maggiori di √1.358
= 0.035. Poiché il valore D > 0.035, si rifiuta l’ipotesi
1500
che la distribuzione ipotizzata sia idonea per i rendimenti sotto osservazione.
Per i rendimenti del titolo Cattolica si calcola il test di Kolmogorov-Smirnov per le
due ipotesi distribuzionali considerate. Nel primo caso (distribuzione Gaussiana),
risulta D = 0.115, nel secondo caso D = 0.057. La regione critica (α = 0.05)
1.358
= 0.061. Si rifiuta, quindi, l’ipotesi di
è definita dai valori maggiori di √
501
distribuzione Gaussiana, si ritiene accettabile l’ipotesi di una funzione di densità
costituita come mistura di due distribuzioni normali.
7.2
Il metodo di stima della massima verosimiglianza
Tra i metodi di stima, il metodo della massima verosimiglianza ha un ruolo
primario nell’ambito della teoria statistica. Prima di descrivere il metodo con
riferimento al problema trattato, si dà qualche esempio per chiarire la ratio
sottostante al metodo.
Si supponga di lanciare una moneta 10 volte e di ottenere 5 volte testa
e 5 volte croce. È più verosimile ottenere tale esito quando le probabilità di
ottenere testa e croce sono rispettivamente 0.5 e 0.5, oppure quando queste
probabilità sono rispettivamente 0.7 e 0.3? La risposta è abbastanza intuitiva.
È più verosimile ottenere tale risultato quando p = P(testa) = 0.5 e 1 − p =
P(croce) = 0.5. Lasciando da parte l’intuizione e procedendo analiticamente,
si calcoli la probabilità di osservare 5 testa e 5 croce nei due casi, ovvero con
riferimento alle due diverse probabilità. Se si considera P(testa) = P(croce) =
0.5, la probabilità di osservare il risultato campionario in questione è
(P(testa))5 (P(croce))5 = (0.5)5 (0.5)5 = (0.5)10 = 0.00097.
7.2. IL METODO DI STIMA DELLA MASSIMA VEROSIMIGLIANZA
77
Se si considera la seconda popolazione, quella per la quale P(testa) = 0.7 e
P(croce) = 0.3, la probabilità di osservare l’esito ottenuto è
5
5
5
5
(P(testa)) (P(croce)) = (0.7) (0.3) = 0.00040.
È più probabile (verosimile) ottenere l’esito osservato quando P(testa) =
P(croce) = 0.5.
Si supponga ora di lanciare una moneta 90 volte e di ottenere 43 volte testa
e 47 volte croce. Quali sono le probabilità di ottenere testa (p) e croce (1-p)
in modo tale che l’esito osservato sia quello più verosimile? In tal caso non si
confrontano diversi valori di p e 1 − p, ma si cerca direttamente il valore di p
più verosimile, attraverso la massimizzazione di
p43 (1 − p)47 .
Si consideri ora il caso in cui si dispone di un campione costituito da 4
osservazioni estratto da una popolazione che si distribuisce come una variabile
casuale normale: x1 = 4, x2 = 3, x3 = 5 e x4 = 4. È più verosimile ottenere tale
campione quando si considera una variabile casuale normale con media µ = 4
e varianza σ 2 , oppure quando si considera una variabile casuale normale con
media µ = 14 e varianza σ 2 ? La risposta è intuitiva. Avendo sotto osservazione
solo realizzazioni intorno al 4 e sapendo che per una variabile casuale normale i
valori più frequenti (e quindi più probabili) sono quelli intorno al valore medio,
si può a ragione ritenere che la variabile normale con media 4 è quella che più
verosimilmente ha generato il campione sotto osservazione. Da un punto di vista
analitico si confronta il prodotto delle funzioni di densità dei 4 valori campionari
sotto le due ipotesi. Nella prima ipotesi (popolazione normale con media 4 e
varianza σ 2 ), il prodotto è pari a
f (x1 )f (x2 )f (x3 )f (x4 ),
ovvero
4
Y
i=1
1
1 (xi − 4)2
√ exp −
.
2
σ2
σ 2π
Nella seconda ipotesi (popolazione normale con media 14 e varianza σ 2 ), il
prodotto è pari a
4
Y
1
1 (xi − 14)2
√ exp −
.
2
σ2
σ 2π
i=1
Attribuendo a σ 2 un valore di 1, il primo prodotto restituisce un valore di
0.009318, mentre il secondo prodotto restituisce un valore prossimo allo zero. È
più probabile (verosimile) ottenere il campione quando µ = 4.
Se invece non si vuole limitare il confronto a due sole distribuzioni normali, ma si vuole considerare ogni possibilità, allora è necessario considerare
un insieme infinito di distribuzioni normali, poiché infiniti sono i valori che il
parametro µ può assumere. In questo caso qual è quel valore di µ tale che il
campione osservato sia quello più verosimile? È necessario, cioè, trovare quel
valore di µ che massimizza il prodotto
f (x1 )f (x2 )f (x3 )f (x4 ),
dove il parametro µ è l’incognita.
Questa è l’essenza del metodo della massima verosimiglianza: cercare quei
parametri della popolazione in base ai quali il campione sotto osservazione sia
il più verosimile, ovvero il più probabile da osservare.
In generale, avendo a disposizione un campione di T elementi, la funzione
di verosimiglianza da massimizzare è data dal prodotto delle funzioni di densità
e si indica con L(θ), dove θ è il vettore che contiene i parametri da stimare.
Dunque
T
Y
L(θ) =
f (xi ).
i=1
A fini computazionali, è più semplice massimizzare il logaritmo della verosimiglianza (log-verosimiglianza), ovvero
!
T
T
Y
X
l(θ) = log
f (xi ) =
log f (xi ).
i=1
i=1
Nel caso in cui si intenda stimare i parametri di una normale, ovvero la
media µ e la varianza σ 2 , a partire da un insieme di T rendimenti, r1 , r2 , . . .,
rT , la funzione di log-verosimiglianza da massimizzare è
T
l(µ, σ 2 ) = −
T
T
1 X (rt − µ)2
log(2π) − log(σ 2 ) −
.
2
2
2 t=1
σ2
Nel caso in cui si intenda stimare i parametri di una mistura di due normali,
ovvero le medie µ1 e µ2 , le varianze σ12 e σ22 , e il parametro p, a partire da un
insieme di T rendimenti, r1 , r2 , . . ., rT , la funzione di log-verosimiglianza da
massimizzare può essere scritta come
l(µ1 , µ2 , σ12 , σ22 , p) =
T
X
t=1
log f (rt ) =
T
X
t=1
log (pf1 (rt ) + (1 − p)f2 (rt )) ,
dove f1 (rt ) è la funzione di densità gaussiana con parametri µ1 e σ12 , mentre
f2 (rt ) è la funzione di densità gaussiana con parametri µ2 e σ22 .
Capitolo 8
Il Value at Risk
Il Value at Risk (VaR) è uno degli strumenti più largamente utilizzati per
misurare il rischio di mercato. Il VaR di una attività finanziaria è definito come
la perdita che in uno specifico orizzonte temporale h (un giorno oppure due
settimane) viene superata con una definita (bassa) probabilità (ad esempio 0.05
oppure 0.01).
A tale misura fanno ampiamente ricorso banche e regulators in tutto il mondo; esso è quindi diventato uno strumento standard per stimare possibili perdite
legate alla detenzione e al trading di attività finanziarie (non solo azioni, ma
anche titoli derivati, come futures, opzioni, etc.).
Il VaR viene presentato come un concetto finanziario, ma di fatto è un concetto statistico. Esso si concretizza, infatti, in un percentile della distribuzione
delle perdite.
Si proceda con ordine. Si supponga di detenere al tempo t un portafoglio
il cui valore sia pari a 100.000 euro. Qual è la perdita che in un giorno può
essere superata con una probabilità di 0.05 (5%)? In altre parole, qual è quella
perdita tale che una perdita maggiore abbia una probabilità di verificarsi pari a
0.05 (5%)? Per rispondere a questa domanda, si deve conoscere la funzione di
densità dei rendimenti giornalieri del portafoglio. Sulla base della storia passata,
ovvero sulla base dei rendimenti giornalieri passati del portafoglio, si costruisce
una distribuzione dei rendimenti.
È necessario disporre, naturalmente, di un numero sufficiente di osservazioni
(ad esempio tre anni) per poter ottenere risultati affidabili. Se il portafoglio è
detenuto da un breve periodo (ad esempio una settimana) è comunque possibile
ricostruire i rendimenti passati conoscendo i titoli che compongono il portafoglio
e i rispettivi pesi.
Si individua il quinto percentile della distribuzione pari, ad esempio, a −0.061.
Si tratta di un rendimento negativo. Si moltiplichi -0.061 per il valore del
portafoglio al tempo t. Si ottiene -6100. La perdita è dunque pari a 6100,
V aR0.05 = 6100.
79
80
CAPITOLO 8. IL VALUE AT RISK
Infatti, se -0.061 è il quinto percentile della distribuzione dei rendimenti,
allora la probabilità di osservare un rendimento inferiore a -0.061 è pari a 0.05,
e dunque la probabilità di osservare una perdita maggiore di 6100 è pari a
0.05. È quindi possibile perdere in un giorno (è questo l’orizzonte temporale di
riferimento) con quel portafoglio più di 6100 euro, ma la probabilità di questo
evento è molto bassa (0.05).
Naturalmente è anche possibile individuare il VaR con un diverso livello di
probabilità (ad esempio facendo riferimento al primo percentile). In tal caso il
VaR sarà rappresentato da un valore più elevato.
Il calcolo del VaR poggia dunque in modo cruciale sulla distribuzione dei
rendimenti (è la conoscenza della distribuzione dei rendimenti che consente di
individuare il percentile di interesse). A diverse distribuzioni corrispondono diversi VaR. E la stima della distribuzione dei rendimenti è operazione meramente
statistica. Si può procedere in vari modi. Una distinzione fondamentale è quella
tra metodi non parametrici e metodi parametrici.
8.1
Metodi non parametrici
Quando si considerano metodi non parametrici non si fa riferimento ad alcuna funzione di densità nota per la descrizione dei rendimenti finanziari. In altre
parole, ci si basa esclusivamente sull’insieme dei rendimenti noti. Il percentile
della distribuzione dei rendimenti si individua in maniera empirica. Se si intende
calcolare un VaR al livello del 5%, il quinto percentile della distribuzione dei
rendimenti è il percentile di interesse. Se si intende calcolare un VaR al livello
dell’1%, il primo percentile della distribuzione dei rendimenti è il percentile di
interesse. Affinché questa metodologia dia risultati affidabili, è generalmente
consigliato di utilizzare un insieme di rendimenti che coprano un periodo non
breve (almeno tre anni).
8.2
Metodi parametrici
I metodi parametrici fanno riferimento a distribuzioni dei rendimenti rappresentate da funzioni di densità note. La funzione di densità più diffusa è quella
normale (o Gaussiana). Un primo metodo è quindi quello che considera la distribuzione normale dei rendimenti R con una certa media µ e una certa varianza
σ 2 , R ∼ N(µ, σ 2 ), In questo caso il problema diviene il calcolo di un percentile
di una distribuzione normale non standard. Definito Rα il percentile legato alla
probabilità α, P (R < Rα ) = α, il suo calcolo avviene dopo aver individuato
l’analogo percentile di una distribuzione normale standard. Se il livello di significatività precelto è pari al 5%, allora il quinto percentile della distribuzione
normale standard è pari a −1.65. L’operazione di standardizzazione restitusce
P
R0.05 − µ
Z<
= 0.05
σ
81
8.2. METODI PARAMETRICI
da cui
R0.05 − µ
= −1.65
σ
e
R0.05 = −1.65σ + µ.
Un rendimento inferiore a −1.65σ + µ si verifica con una probabilità pari
a 0.05. La perdita corrispondente a questo rendimento è −V0 R0.05 , ovvero
−V0 (−1.65σ + µ) = V0 (1.65σ − µ), dove V0 è il valore del portafoglio detenuto.
Dunque
V aR0.05 = V0 (1.65σ − µ).
È possibile avere una perdita superiore a V aR0.05 = V0 (1.65σ − µ) con una
probabilità pari a 0.05.
Esempio. Si dispone di un portafoglio per un valore V0 pari a 100.000 euro.
Si ipotizza che la funzione di densità dei rendimenti giornalieri del portafoglio sia
una distribuzione normale. La media e la varianza di questa distribuzione sono
stimate dai dati passati (ad esempio due anni di rendimenti giornalieri); si ottengono
µ̂ = 0.004 e σ̂ = 0.022. Fissato un livello di probabilità α = 0.05 e un orizzonte
temporale di 1 giorno, si ricava
V aR0.05
=
=
100000(1.65 · 0.022 − 0.004)
100000(0.0323) = 3230.
Con una probabilità del 5% si registra in un giorno una perdita superiore a 3230
euro.
Risulta evidente che il VaR dipende dalla distribuzione scelta. Per i rendimenti finanziari, l’ipotesi di normalità è, però, ben lungi dall’esere plausibile. I
test di normalità (ad esempio il test di Jarque-Bera) costantemente suggeriscono
di rifiutare l’ipotesi di normalità per i rendimenti finanziari. Un modo migliore
per l’individuazione del VaR è quello di partire da una diversa funzione di densità
dei rendimenti.
Una delle ipotesi distribuzionali che rappresentano i rendimenti finanziari in
maniera soddisfacente, come visto, è la mistura di due normali. In questo caso,
tuttavia, partendo dalla conoscenza dei parametri µ1 , µ2 , σ12 , σ22 e p, non esiste
una formula per individuare un percentile. È necessario ricorrere a metodi di
simulazione. Bisogna quindi generare N realizzazioni di quella variabile casuale
e scegliere, empiricamente, il percentile di interesse.
82
CAPITOLO 8. IL VALUE AT RISK
Indice
1 Definizione di rendimento finanziario
2 L’analisi descrittiva dei rendimenti finanziari
2.1 Il valore medio . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 La deviazione standard . . . . . . . . . . . . .
2.3 L’asimmetria . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 La curtosi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 L’autocorrelazione dei rendimenti . . . . . . .
2.6 L’autocorrelazione dei rendimenti al quadrato
3
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7
7
8
10
13
15
17
3 L’analisi inferenziale dei rendimenti finanziari
3.1 Il valore medio . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 La deviazione standard . . . . . . . . . . . . . .
3.3 L’asimmetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 La curtosi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 L’autocorrelazione dei rendimenti . . . . . . . .
3.6 L’autocorrelazione dei rendimenti al quadrato .
3.7 Il test di Jarque-Bera . . . . . . . . . . . . . . .
3.8 L’assenza di ipotesi di normalità . . . . . . . .
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21
21
24
24
26
27
29
30
31
4 L’analisi del portafoglio
33
4.1 La frontiera dei portafogli efficienti con N titoli rischiosi . . . . . 34
4.2 La frontiera dei portafogli efficienti in presenza di un riskfree . . 38
4.3 L’asset allocation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5 La volatilità dei rendimenti finanziari
5.1 La volatilità storica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 L’Exponential Smoothing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 I modelli di tipo ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Il modello ARCH(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 Test per la componente ARCH . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.3 Il modello GARCH(1,1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.4 Asimmetria nei modelli di tipo ARCH: il modello QGARCH
83
45
46
47
50
50
51
52
54
84
6 Modelli fattoriali per la misura del rischio
6.1 Il modello di mercato . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 L’inosservabilità del portafoglio di mercato . .
6.3 Le ipotesi del modello di mercato . . . . . . . .
6.4 La stima dei parametri . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Le proprietà degli stimatori OLS . . . . . . . .
6.6 Inferenza sui parametri della regresione . . . .
6.7 La bontà di accostamento . . . . . . . . . . . .
6.8 Verifica delle ipotesi del modello di regressione
6.9 La stabilità del parametro βi . . . . . . . . . .
6.10 Il Capital Asset Pricing Model . . . . . . . . .
6.11 La critica di Roll . . . . . . . . . . . . . . . . .
INDICE
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55
56
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60
62
63
64
65
66
67
70
7 La distribuzione dei rendimenti finanziari
71
7.1 Il confronto tra più distribuzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7.2 Il metodo di stima della massima verosimiglianza . . . . . . . . . 76
8 Il Value at Risk
79
8.1 Metodi non parametrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
8.2 Metodi parametrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

SP500 vs AEX - "PARTHENOPE"

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