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Capitolo 8
Moduli di Fredholm, Triple spettrali e forme di Dirichlet
A. Operatori di Fredholm e Indice.
1. Operatori di Fredholm : definizione.
H è un spazio di Hilbert. K ⊂ L(H) è la C∗ -algebra degli operatori
compatti.
Per dirlo semplicemente, un operatore di Fredholm è un operatore
in L(H) che è invertibile modulo i compatti.
Definizione.
T ∈ L(H) è un operatore di Fredholm se esiste S ∈ L(H),
ST − I ∈ K e TS − I ∈ K.
Proprietà caratteristica.
T ∈ L(H) è un operatore di Fredholm se e soltanto se soddisfa le
tre proprietà
Ker (T ) di dimensione finita,
Im(T ) chiusa e di codimensione finita.
Operatori di Fredholm : definizione.
Prova. Senso diretto : supponiamo ST = I + k, TS = I + k 0 ,
k, k 0 ∈ K.
ξ ∈ Ker (T ) ⇒ kξ = −ξ : Ker (T ) ⊂ E−1 (k) che è di dimensione
finita.
Poi T Fredholm ⇒ T ∗ Fredholm ⇒ Ker (T ∗ ) = Im(T )p erp di
dimensione finita. Abbiamo provato Ker (T ) e Im(T )⊥ di
dimensione finita. Per l’immagine chiusa, serve questo lemma :
Lemma
Im(I + k 0 ) è chiusa di codimensione finita.
Operatori di Fredholm : definizione.
Prova del lemma : Im(I + k 0 ) è chiusa di codimensione finita.
a) Im(I + k 0 ) ⊥= Ker (I + k ∗ ) = E−1 (k ∗ ) di dimensione finita.
b) Se ηn = ξn + k 0 ξn → η, possiamo supporre ξn ⊥ E−1 (k 0 ).
Proviamo che i ξn sono limitati. Se no, con una sotosuccessione,
ξn0 = ξn /||ξn || di norma 1 e k(ξn0 ) + ξn0 → 0. Con una
sottosuccessione, ξn0 → η 0 debolmente et k(ξn0 ) → k(η 0 ) in norma,
dunque ξn0 → −k(η 0 ) in norma, dunque ||η 0 || = 1 e k 0 (η 0 ) = −η 0 .
Questo contradice ξn ⊥ E−1 (k 0 ) e dunque η 0 ⊥ E−1 (η 0 ).
Abbiamo provato che i ξn sono limitati. Quindi, possiamo supporre
ξn → ξ debolmente, che prova η = ξ + k 0 (ξ) ∈ Im(I + k 0 ).
Torniamo alla proprietà caratteristica, senso diretto : abbiamo
Im(T ) ⊃ Im(TS) = Im(I + k 0 ) che è chiusa di codimensione finita.
Ma, se E ⊂ H è chiuso, per ogni ξ 6∈ E , E + Cξ è chiuso. Per
induzione finita, Im(T ) è chiuso. Il senso diretto è provato.
Operatori di Fredholm : definizione.
Proprietà caratteristica, senso reciproco : Ker (T ) di dim.
finita, Im(T ) chiusa di codimensione finita.
Poniamo P = proi. su Ker (T ), Q = proi. su Im(T )⊥ : sono
operatori di rango finito, dunque compatti.
T è una biiezione di Ker (T )⊥ su Im(T ). Chiamando
S : Im(T ) → Ker (T )⊥ la biiezione inversa, questa è limitata per il
teorema del grafo chiuso.
Completando con S(ξ) = 0 se ξ ∈ Im(T )⊥ = Q(H), abbiamo
ST (ξ) = ST (ξ − Pξ) = ξ − Pξ, cioè ST = I − P
TS(ξ) = TS(ξ − Qξ) = ξ − Qξ, cioè TS = I − Q.
Osservazione.
Se T è Fredholm e ` compatto, T + ` è Fredholm.
Prova. Se ST = I + k e TS = I + k 0 ,
S(T + `) = I + k + S` ∈ I + K, (T + `)S = I + k 0 + `S ∈ I + K.
2. L’insieme degli operatori di Fredholm.
Proposizione.
L’insieme F(H) degli operatori di Fredholm è aperto in L(H).
Prova. Si parte di T ∈ F(H), poi di S t.c. ST = I + k,
TS = I + k 0 , k, k 0 ∈ K.
Si prova che, per T 0 :||T − T 0 || < ||S||−1 , T 0 ∈ F(H).
Per questo, si osserva ||S(T − T 0 )|| < 1 e quindi
I − S(T − T 0 ) ∈ GL(H), cioè −k + ST 0 ∈ GL(H), d’inverso A.
I = A(−k + ST 0 ), oppure AST 0 = I + Ak ∈ I + K.
Similarmente, (T − T 0 )S|| < 1,
I − (T − T 0 )S = −k 0 + T 0 S ∈ GL(H), d’inverso B, e
T 0 SB ∈ I + K.
Abbiamo provato ∃ Σ, Σ0 ∈ L(H), κ, κ0 ∈ K :
ΣT 0 = I + κ, T 0 Σ0 = I + κ0 .
ΣT 0 Σ0 = Σ0 + κΣ0 = Σ + Σκ0 , quindi Σ0 = Σ+ compatto e
T 0 Σ = T 0 Σ0 + compatto = I + compatto.
3. Indice di un operatore di Fredholm.
Definizione.
Per T Fredholm,
Ind(T ) = dim(Ker (T )) − codim(Im(T )) ∈ Z.
Prima proprietà.
La mappa T → Ind(T ) di F(H) in Z è continua (quindi
localmente costanta).
Seconda proprietà.
Per T ∈ F(H) e k ∈ K, abbiamo
T + k ∈ F(H) e Ind(T + k) = Ind(T ).
Prova della seconda proprietà : La mappa
[0, 1] 3 t → Ind(T + tk) ∈ Z
è continua, quindi costante.
Indice di un operatore di Fredholm
Prova della seconda proprietà : invarianza locale dell’indice.
Si parte di T0 ∈ F(H), e T ∈ L(H) vicino di T .
Si pone V0 = Ker (T0 )⊥ e W0 = Im(T0 )⊥ . Per T ∈ F(H), si pone
ϕT : V0 ⊕ W0 → H, T (v ⊕ w ) = Tv + w .
T0 essendo iniettivo di V0 in Im(T0 ) = W0⊥ , ϕT0 è biiettivo, quindi
un isomorfismo.
Per T vicino di T0 , ϕT sara’ ancora un isomorfismo di V0 ⊕ W0 su
H. In particolare, Ker (T ) ∩ V0 = {0}. V0 ammette un
sopplementario Z0 t.c. Ker (T ) ⊂ Z0 , oppure Z0 = Z ⊕ Ker (T ).
Abbiamo dim(Z0 ) = dim(Ker (T0 ))
Dim(Ker (T0 )) = dim(Ker (T )) + dim(Z ).
(Notare dim(Ker (T )) ≤ dim(Ker (T0 )).
D’altra parte, H = Ker (T ) ⊕ Z ⊕ V0 , Im(T ) = T (Z ) ⊕ T (V0 ) e
questa è una somma diretta (T ini. su Z ⊕ V0 ). Di cui
codim(Im(T )) = codim(T (V0 )) − dim(T (Z )) = codim(V0 ) − dim(Z ).
Indice di un operatore di Fredholm
Terza proprietà.
T ∈ F(H) ⇒ T ∗ ∈ L(H) con Ind(T ∗ ) = −Im(T ).
Prova : ovvia.
Quarta proprietà.
∀S, T ∈ F(H) , ST ∈ F(H) con Ind(ST ) = Ind(S) + Ind(T ).
Prova : omessa.