Idraulica - Bernoulli

Idraulica
Equazione Indefinita
Teorema di Bernoulli
armando carravetta
19/03/2007
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Equazione indefinita del movimento
Consideriamo
l’equilibrio di un
prismetto elementare
di fluido in movimento
Per l’equilibrio del
prisma deve essere
rispettata la prima
equazione cardinale
della dinamica
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d
= A dm
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Equazione indefinita del movimento
d
= A dm
dm=ρ dxdydz è la massa elementare contenuta
nel prismetto.
d è la risultante delle forze agenti sulla massa
fluida, cioè :
• delle forze di massa ρFdm,
• degli sforzi agenti attraverso il contorno del
prisma.
A è l’accelerazione cui detta massa è soggetta.
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Equazione indefinita del movimento
La risultante degli sforzi agenti sulle coppie di
faccie ortogonali a ciascun asse è data dai tre
termini:
∂Φ x
∂x
∂Φ y
∂y
∂Φ z
∂z
di conseguenza la relazione di equilibrio si scrive:
∂Φ x ∂Φ y ∂Φ z
ρ (F − A ) =
+
+
∂x
∂y
∂z
Equazione indefinita del movimento
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Fluido ideale
Per un fluido ideale, nel quale il movimento non da
luogo a sforzi tangenziali, l’equazione indefinita del
movimento si scrive:
∂p
∂p
∂p
ρ (F - A ) = i + j + k = grad (p)
∂x
∂y
∂z
Equazione di Eulero
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Ipotesi del teorema di Bernoulli
ρ (F - A ) = grad (p)
Per un fluido
ideale:
Soggetto al solo
campo
gravitazionale:
Incomprimibile
F = - g grad (z)
ρ F = - ρ g grad (z) = - grad (γ z)
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Terna intrinseca
L’equazione di Eulero si scrive:
 p
A
1 dV
− =−
= grad z + 
g
g dt
 γ
Introduciamo la
terna intrinseca:
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s
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Proiezione sulla terna intrinseca
A partire dalla
proiezione lungo s si
ottiene:
∂
∂s
 p
1 dv
z + γ  = − g dt


v = v(t , s(t ))
dv ∂v ∂v ds ∂v
∂v ∂v ∂  v 2 
=
+
=
+v
=
+  
dt ∂t ∂s dt ∂t
∂s ∂t ∂s  2 
∂
∂s
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 p
1 dv
1 ∂v ∂  v 2 
z + γ  = − g dt = − g ∂t − ∂s  2 g 




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Variabilità della quota piezometrica
Per la:
∂
∂b
 p
z + γ  = 0 la quota piezometrica


lungo la binormale è costante.
Per la:
∂
∂n
 p
v2
z + γ  = − gr


la quota piezometrica
lungo la normale è generalmente variabile, tale
variabilità dipende dal modulo della velocità e dal
raggio di curvatura delle traiettorie.
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Variabilità della quota piezometrica
Per la:
∂
∂n
 p
v2
z + γ  = − gr



pB  
pA 
v2
∆ = z B +  − z A +  = − ∫ dr
γ  
γ 
gr

A
B
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Correnti gradualmente variate
∂
Per la:
∂n
 p
v2
z + γ  = − gr


è molto grande risulta:
se il raggio di curvatura
 p
z + γ  ≅ costante

n
Nel caso in cui i filetti fluidi siano sensibilmente
rettilinei e paralleli la corrente si dice
gradualmente variata e la pressione varia con
legge idrostatica lungo la normale n ai filetti.
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Teorema di Bernoulli
Nell’ulteriore ipotesi di moto permanente,
v=v(x, y, z), introducendo il carico totale:
p
2
v
H = z+ +
γ 2g
Significato energetico
Otteniamo il teorema di Bernoulli:
∂H
=0
∂s
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Teorema di Bernoulli
Nel moto permanente di un fluido perfetto pesante
incomprimibile il carico totale si mantiene costante
lungo ogni traiettoria
∂H
=0
∂s
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Applicazione – Tubo di Pitot
Per un fluido perfetto
il carico totale è
costante:
p v2
z+
γ
+
2g
= cost
Lo sarà anche tra le
sezioni 1 e 2 del
dispositivo
2
p1
2
essendo z1=z2 e v2=0 si ha:
2
v
p
+ 1 = 2
γ 2g γ
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1
2
v1
p2 v2
z1 + +
= z2 + +
γ 2g
γ 2g
p1
∆
e in definitiva
p2
p1
2
v
∆=
− = 1
γ γ 2g
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Significato del teorema di Bernoulli
Ad ogni incremento di altezza cinetica
corrisponde una riduzione di quota piezometrica
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Estensione ad una corrente
La potenza della corrente,
energia che detta corrente
fa passare nell’unità di
tempo, deve essere
costante

p v2 
 v dA
P = ∫ γ H dQ = ∫ γ H v dA = γ ∫  z + +
γ 2g 
Q
A
A
Nell’ipotesi di corrente
gradualmente variata è
possibile integrare i primi
due termini, ottenendo:
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
p
V2 
 Q
P =  z + + α
γ
2g 

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Estensione ad una corrente
∫ v vdA
2
Si è introdotto il
coefficiente di Coriolis:
α=
A
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V A
Con questo artificio abbiamo evitato di svolgere
il terzo integrale che dipende dalla distribuzione
delle velocità puntuali nella sezione trasversale.
Per la costanza di P e di Q dovrà risultare:
p
2
V
H = z + +α
= costante
2g
γ
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Applicazione – Venturimetro
Per un corrente di fluido
perfetto il carico totale è
costante:
p
V2
z+
γ
+α
2g
= cost
Tra le sezioni 1 e 2 del
dispositivo

p  
p  V
V
 z1 + 1  -  z 2 + 2  = 2 − 1
γ  
γ  2g 2g

2
δ
2
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Q=
2
V
p V
z1 + + 1 = z 2 + 2 + 2
γ 2g
γ 2g
γm −γ
V2 V1
∆h =
−
=δ
2g 2g
γ
2
Per la continuità della massa fluida
e in definitiva
2
p1
A1 A2
A12 − A22
2
Q = V1 A1 = V2 A2
γ m −γ
2gδ
γ
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Interpretazione energetica
Il teorema di Bernoulli si presta
alla seguente interpretazione:
Al deflusso dQ della massa fluida
all’interno del condotto è associato una
energia somma di tre contributi:
quota della massa rispetto al piano cui
l’energia è riferita;
p/γγ
altezza piezometrica (quota
virtualmente raggiunta per
effetto della pressione);
energia cinetica.
V2
H = z + +α
= costante
γ
2g
p
V2/2g
z
z=0
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Estensione a fluidi reali
Nelle correnti costituite da fluidi reali, per la
presenza delle dissipazioni, risulterà:
V2
H = z + +α
= funzione decrescente
2g
γ
p
Potremo peraltro scrivere una equazione di
bilancio che tenga conto delle perdite di carico
di tipo continuo o localizzato:
s1
H ( s1 ) = H ( s0 ) − ∫ J ( s )ds − ∑ λi
s0
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i
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Perdite continue e localizzate
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