Percorsi didattici di geometria dello spazio: lavorando con CABRI

Roma, 6-7 giugno 2007
Incontro su
“Ricerche in didattica della matematica con l’uso dei DGS”
Percorsi didattici di geometria
dello spazio:
lavorando con CABRI 3D…
Luigi Tomasi
L.S. “G. Galilei” Adria – SSIS Ferrara
[email protected]
Motivazioni del lavoro svolto
(cosa si ricerca?)
z
Uso delle tecnologie informatiche al fine di facilitare
l’insegnamento di argomenti di geometria 3D che si
ritengono fondamentali nel curricolo di matematica.
z Elaborazione di percorsi didattici di geometria dello
spazio per la scuola secondaria, per gli studenti della
SSIS e per insegnanti di scuola secondaria.
z Analisi delle difficoltà (non solo degli studenti) nella
rappresentazione di oggetti 3D.
z Ruolo della visualizzazione dinamica permessa dai
DGS nell’apprendimento insegnamento della
geometria dello spazio.
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Motivazioni del lavoro svolto
(perché della ricerca…)
z
E’ possibile anche per la geometria dello spazio
progettare delle attività che portino a formulare
congetture, come avviene per la geometria del piano
ad esempio con un software come Cabri II Plus ?
z Si può intraprendere qualche strada nuova per
l’insegnamento della geometria dello spazio e
affrontare l’argomento in modo più motivante e nello
stesso tempo più efficace?
z E’ possibile collegare nell’insegnamento la geometria
del piano e la geometria dello spazio?
“Idee guida” presenti nel lavoro
svolto (corsi, seminari,
conferenze, articoli,...)
z
z
z
z
Le tecnologie software sono utili solo per la
geometria del piano o anche per quella dello
spazio?
Si può fare per lo spazio quello che si è fatto con i
DGS per la geometria del piano?
Strumenti software e percorsi didattici, ovvero: è
possibile fare dei percorsi di insegnamento –
apprendimento di geometria dello spazio, più
rapidi, ma efficaci, usando i software 3D?
Vantaggi della visualizzazione dinamica (in 3D):
esistono? Come si possono verificare?
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Il lavoro è stato svolto con
obiettivi finalizzati
all’insegnamento-apprendimento
z
Cosa può fare un insegnante con un DGS?
z Quali problemi di insegnamento e apprendimento
della geometria dello spazio si posso risolvere?
z Esplorare alcune delle enormi potenzialità delle
tecnologie informatiche, ma inserire questo in un
quadro preciso e verificato…
z Nello stesso tempo esaminare le difficoltà, i problemi,
le concezioni sbagliate che possono insorgere quando
si usano le tecnologie (questo è un problema più
generale, che si pone anche se non si usano le
tecnologie…)
Difficoltà degli studenti nello
studio della geometria 3D
z Difficoltà
con il disegno di oggetti 3D
(questo riguarda quasi tutti, anche gli
insegnanti…)
z Conoscenze non adeguate di geometria
del piano
z Poca intuizione spaziale… ; difficoltà di
visualizzazione e a “vedere nello
spazio”.
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Difficoltà degli studenti nella
geometria 3D e insegnamento
Alcune delle difficoltà degli allievi sono una
conseguenza di come la geometria solida viene
insegnata:
z Insegnamento prevalentemente “cartaceo” (libro di
testo, quaderno, disegni “carta e matita”,…)
z basato su disegni alla lavagna (difficili da realizzare
dalla maggior parte degli insegnanti)
z mancanza di visualizzazione (al massimo si usano dei
modelli statici)
z La rappresentazione viene fatta in un piano (questo è
vero anche per i DGS…); soprattutto nella geometria
dello spazio una figura fatta male può provocare idee
sbagliate (al contrario di quel che succede per il
piano, se seguiamo la famosa battuta di Polya sulla
geometria).
Rappresentazione
degli oggetti 3D
e software di geometria dinamica
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Il problema della rappresentazione
assonometria o prospettiva?
Un problema di “Flatlandia”, rubrica di problemi (febbraio 2006)
e il disegno di un’allieva di III media
Congiungendo i centri delle facce (con uno spigolo in comune)
di un cubo si ottengono gli spigoli di un poliedro.
1) Di quale poliedro si tratta? E' regolare?
2) Determinare il rapporto fra il suo volume e quello del cubo.
Motivare le risposte.
Il problema della rappresentazione
assonometria o prospettiva?
la stessa figura
con Cabri 3D
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Con Cabri 3D
z si possono costruire figure di geometria 3D
senza conoscere i metodi di rappresentazione
come l’assonometria o la prospettiva
z si può imparare a “disegnare nello spazio” in
poco tempo
ma soprattutto:
z Le figure ottenute sono facilmente
manipolabili mediante il trascinamento o
cambiando il punto di vista
Gli strumenti di Cabri 3D vers.2
Trasformazioni
Punti
Poliedri regolari
Superfici
Puntatore
Costruzioni
Poliedri
Linee
Misura
Poligoni regolari
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Il piano di riferimento e la
rappresentazione in prospettiva
Rappresentazione di un cubo…
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Questa è una circonferenza!
Percorsi didattici di geometria
dello spazio che si possono
proporre con l’uso di un DGS
(qui Cabri 3D)
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Percorsi di geometria dello
spazio: esempi
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Rette e piani nello spazio
Poliedri (prismi, piramidi, poliedri regolari)
Costruzioni “con riga e compasso” nello spazio
Sezioni di un cubo
Poliedri regolari
Simmetrie dei poliedri regolari
Equiscomponibilità ed equiestesione tra poliedri
Trasformazioni geometriche dello spazio (isometrie e
omotetie)
Poliedri archimedei
Sezioni di un (doppio) cono
Un po’ di geometria sulla sfera.
Rette e piani nello spazio
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Angolo tra una retta e un piano
Domande: cosa si deve sapere prima?
e’ la stessa cosa usare Cabri 3D oppure soltanto il libro di
testo?
Distanza tra due rette sghembe
Stesse domande di prima: cosa si deve sapere prima?
E’ la stessa cosa usare Cabri 3D per fare questa
costruzione oppure usare soltanto il libro di testo o la
lavagna?
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Teorema delle tre perpendicolari
cosa si deve saper prima per dimostrare questo teorema?
Poliedri con l’uso di Cabri 3D
(cenno a Poly)
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Altezze di un tetraedro
Mediane di un tetraedro
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Dallo spazio al piano: sezioni di un
poliedro
Dallo spazio al piano: sezioni
particolari di un cubo
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Le costruzioni dipendono dagli
strumenti del software->percorsi
didattici diversi e diverse definizioni!
prismi
piramidi
I poliedri regolari (solidi platonici):
problema della definizione
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Diverse possibilità di costruire un
poliedro regolare: costruzioni con
“riga e compasso nello spazio”
Dualità tra i poliedri regolari
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Costruzioni: alcuni poliedri archimedei
Relazione di (Cartesio) Eulero
V +F −S =2
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Sviluppo di un poliedro e
costruzione di un modello
dal piano allo spazio; difficoltà
difficoltà: Cabri 3D fornisce un solo
sviluppo di un poliedro
Questo è lo sviluppo di un tetraedro
regolare?
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Questo è lo sviluppo di un tetraedro?
Dal piano allo spazio e viceversa
Questo è lo sviluppo di un cubo?
Dal piano allo spazio e viceversa
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Un solido più complicato da
sviluppare… (dallo spazio al piano)
Cilindro, cono e sfera
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Sezioni coniche (dallo spazio al piano)
Un po’ di geometria della sfera
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Assi di rotazione di un cubo
Piani di simmetria di un cubo
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Animazione e traccia (strumenti per la
scoperta di proprietà
proprietà)
Equiestensione nello spazio:
prisma e piramide triangolari
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Misura nello spazio
Altra “domanda guida”
Si può fare geometria analitica
dello spazio senza conoscere
quella sintetica?
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L’algebra lineare è uno strumento
molto potente.
Ma si può fare solo algebra lineare, come
spesso succede all’università?
Cosa apprende uno studente di
geometria dello spazio se impara soltanto
l’algebra lineare?
Dal punto di vista didattico (ma occorre
verificare anche questo), forse si può dire:
Abbasso Dieudonné!
Coordinate e vettori nello spazio
in forma interattiva
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Geometria analitica dello
spazio in forma interattiva
Conclusioni e prospettive (da
sperimentare) 1
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Sperimentare dei percorsi didattici di geometria
dello spazio e osservare gli allievi alle prese
con il software in situazioni controllate.
Produrre dei percorsi didattici che siano alla
portata dei docenti di scuola secondaria e
facilmente trasferibili in classe.
Usare diversi software utili per insegnare la
geometria dello spazio per studiarne e
confrontarne le potenzialità e i limiti.
Esaminare l’approccio analitico integrato con
quello sintetico.
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Conclusioni e prospettive (da
sperimentare) 2
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z
Studio delle false opinioni su alcuni nodi
cruciali della geometria dello spazio (ad
esempio il problema delle sezione di un cubo,
sezioni di un diedro,…)
Esaminare percorsi che integrino la geometria
piana con quella solida (ad esempio usando
Cabri II Plus e Cabri 3D).
Sperimentare, usando il software di geometria
3D percorsi che facciano maggiormente uso dei
vettori per la risoluzione dei problemi.
Produrre dei percorsi didattici che integrino
maggiormente la geometria solida con
l’architettura, il disegno e l’arte.
Riferimenti bibliografici
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Accascina G., Rogora E (2005), Using Cabri 3D: First impressions,
Proceedings of the 7th International Conference on Technology in
Mathematics Teaching, Bristol, 26-29 July 2005, ed. Olivero F.,
Sutherland R., pp. 53-60.
Bainville E. (2004), Alcune costruzioni con Cabri 3D, in Cabri World
2004, Percorsi di geometria dinamica, Media Direct, pp. 199-208.
Tomasi L. (2003), Geometria dello spazio e visualizzazione:
considerazioni su insegnamento e uso del software, in
L’insegnamento della Matematica e delle scienze integrate, Vol. 26
A-B N. 6, Novembre-Dicembre 2003, pp. 781-798.
Tomasi L. (2004), Geometria dello spazio, da Cabri II a Cabri 3D:
rappresentazione e visualizzazione dinamica, in Cabri World 2004,
Percorsi di geometria dinamica, Media Direct, pp. 187-198.
Tomasi L., Bainville E. (2006), Introduzione e a Cabri 3D. Un
software per esplorare la geometria dello spazio, Media Direct,
Bassano del Grappa.
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