soluzione

Calcolo delle sollecitazioni di una struttura
Lo scopo di questa esercitazione è il calcolo delle sollecitazioni agenti su una struttura ed
il tracciamento dei relativi grafici; in pratica bisogna tracciare i diagrammi di sforzo
normale (N), taglio (T) e momento flettente (Mf) di una semi-ala con asta di controvento
(schematizzata nella figura sottostante); bisogna inoltre individuare i punti in cui le
sollecitazioni sono massime.
L1=2,540
L2=0,918
q1=3560 N/m
q2=1780 N/m
B
C
A
Osservando lo schema, si puó notare che l’intera struttura è sottoposta ad un carico
uniformemente distribuito e questo, a primo avviso, non sembra essere un problema
poiché esiste un teorema in meccanica che afferma che un carico distribuito su una
lunghezza L è pari ad un carico concentrato applicato peró nel baricentro della stessa
figura. Si ottiene pertanto quanto segue:
L1=2,540
L2=0,918
Q1
Q2
B
C
A
La difficoltà risiede peró nel fatto che nel tratto L2 il carico assume la geometria di un
trapezio e quindi il relativo baricentro non si trova nella metà di L2 (come avviene nel
tratto L1 essendo esso un rettangolo) ma sarà spostato dalla parte in cui il carico sarà piú
elevato. E` necessario pertanto determinare il valore della distanza del baricentro sulla
1
lunghezza L2; per fare ció bisogna scomodare la meccanica e prendere in considerazione
la teoria dei momenti statici, secondo la quale è necessario scomporre il trapezio in aree
elementari; si ha:
Si ottiene un rettangolo ed un triangolo; applicando la seguente formula (tratta sempre dai
momenti statici) si ricava la coordinata x del baricentro della figura totale, che non è altro
che la distanza del baricentro su L2.
Sostituendo i valori si ottiene:
xg =
b
h h
1780
0,918 0,918
+ (B − b ) ⋅ ⋅
1780 ⋅ 0,918 ⋅
+ (3560 − 1780 ) ⋅
⋅
2
2 3 =
2
2
3 = 0,408[m] = 408[mm]
h
0,918
b ⋅ h + (B − b ) ⋅
1780 ⋅ 0,918 + (3560 − 1780 ) ⋅
2
2
b⋅h⋅
n
xg =
Sy
=
At
∑A ⋅x
i
i
i =1
n
∑A
i
i =1
Per quanto riguarda la distanza del baricentro su L1 non è altro che L1 diviso due, ovvero
2,540/2 = 1,270.
Determino ora il valore dei carichi concentrati applicati come abbiamo già detto nei due
baricentri; essi sono definiti nel seguente modo:
Q1 = q1 ⋅ L1 = 3560 ⋅ 2,540 = 9042,4[N ]
e per quanto riguarda Q2:
Q2 =
q1 + q2
3560 + 1780
⋅ L2 =
⋅ 0,918 = 2451,06[N ]
2
2
Procedo adesso al calcolo delle reazioni vincolari agenti sulla nostra struttura (vedasi
schema sottostante).
2
L1=2,540
L2=0,918
Q1
Q2
B
α
C
A
Applicando le tre equazioni della statica è possibile ricavare Rax, Ray, Rbx, Rby. Tali
equazioni sono: ∑ Fxi = 0
∑ Fyi = 0
∑ Mi = 0
Comincio facendo l’equilibrio dei momenti attorno al punto, immaginati in senso orario:
↵A Rbx ⋅ L3 − Q1
L1
− Q2 ⋅ (xg + L1 ) = 0
2
3560 ⋅ 2,540 ⋅
Rbx =
2,540 ⎛ 1780 + 3560
⎞
+⎜
⋅ 0,918 ⎟ ⋅ (0,408 + 2,540 )
2
2
⎝
⎠
= 10522,82(N )
1,778
Ora equilibro le forze orizzontali, immaginate positive quelle da destra verso sinistra:
→ Rax + Rbx = 0
Rax = − Rbx = −10522,82(N )
Usando la trigonometria è possibile calcolare il valore di Ray:
AB Ray
=
= tagα
BC Rax
Ray =
1,778
AB
⋅ Rax =
⋅ (− 10522,82 ) = −7365,974(N )
2,540
BC
Infine calcolo Rby equilibrando le forze verticali, assumendo positivi i vettori con
direzione basso-alto:
↑ Rby + Ray + Q1 + Q2 = 0
⎛ 1780 + 3560
⎞
Rby = − (− 7365,974 ) − 3560 ⋅ 2,540 − ⎜
⋅ 0,918 ⎟ = −4127,49(N )
2
⎝
⎠
3
Riassumo il tutto per comodità nella seguente tabella:
Rax
Ray
Rbx
Rby
-10522,8
-7365,97
10522,82
-4127,49
Per determinare i valori di taglio, sforzo normale e momento flettente per la
determinazione dei grafici è necessario immaginare di dividere la struttura in tratti presi
prima e dopo il punto C. Vien da chiedersi peró perché proprio nel punto C. Rispondendo
a tale quesito si puó dire che in quel punto se viene tolta l’asta di controvento si ha una
tensione interna che si libera e per questo le sezioni sono effettuate prima e dopo tale
punto. Inoltre tale tensione sarà visibile come un salto di forze nei vari diagrammi.
Chiamiamo pertanto le due sezioni con S1 e S2:
B
C
A
Consideriamo per prima la sezione che va da B a S1:
Indico con x una lunghezza arbitraria che va puó variare da un minimo di 0 ad un massimo
di 2,54 m; inoltre indico con Qx il carico concentrato applicato nella mezzaria del tratto
interessato, che nel nostro caso equivale a dire Qx = 3560•x. Equilibro quindi le forze
verticali, orizzontali e faccio un momento positivo in senso orario nel punto P; si ricava
quanto segue:
4
↑ Rby − T + Qx = 0 ⇒ T = Rby + Qx
→ Rbx + N = 0 ⇒ N = Rbx
↵P Mf − Qx ⋅
x
x
− Rby ⋅ x = 0 ⇒ Mf = Qx ⋅ + Rby ⋅ x
2
2
Adesso basta far variare il valore della x tra il campo di variazione consentito (che
ricordiamo va da 0 a 2,54m) ed otteniamo i valori delle varie sollecitazioni; per comodità
non vengono riportati qui di seguito i calcoli poiché si diventerebbe ripetitivi, ed al loro
posto è stata inserita una tabella riassuntiva dei conti svolti:
x
(m)
0
0,4
0,8
1
1,2
1,6
2
2,4
2,54
Qx
(N)
Mf
(N⋅m)
T
(N)
N
(N)
0
0
-4127,49 -10522,8
1424
-1366 -2703,49 -10522,8
2848 -2162,4 -1279,49 -10522,8
3560 -2347,49 -567,49 -10522,8
4272 -2389,2 144,51 -10522,8
5696 -2046,4 1568,51 -10522,8
7120
-1134 2992,51 -10522,8
8544
348
4416,51 -10522,8
9042,4 1000,02 4914,91 -10522,8
Fatto ció non resta che calcolare i valori che si hanno nella sezione che va da B a S2,
ovvero nella struttura completa. Si ricava:
C
Osservando la figura si nota che avendo tolto l’asta di controvento sono nate (come già
premesso nelle precedenti pagine) le forze Rcx e Rcy che prima erano interne; inoltre si
possono notare i carichi Q2x e Q3x . Essi sono nati dall’utilizzo del principio di
sovrapposizione degli effetti ed equivalgono ad un unico carico concentrato nel baricentro
del trapezio originale (Q2x = q2x ⋅(x-L1) e Q3x = (((q1-q2x)⋅(x-L1))/2)). La Xg per tali carichi
è: per Q2x si ha xg = 1/2⋅(x-L1), e per Q3x si ha xg = 2/3⋅(x-L1).
5
Prima di procedere al calcolo delle sollecitazioni in questa sezione, devo determinare il
carico agente su Q2x e lo faccio tramite un’interpolazione lineare; in essa si nota il
parametro f che è la distanza in cui vogliamo tagliare la semi-ala dopo il punto C:
x − x1
y − y1
L1 − x
Q − Q2
L1 − x
=
⇒
= 1
⇒ Q2 x =
⋅ (Q1 − Q2 ) + Q2
x2 − x1 y2 − y1
L1 + f − x Q2 x − Q2
L1 + f − x
Agendo come già fatto per la sezione S1 determino le sollecitazioni equilibrando le forze
verticali (positive verso l’alto), orizzontali (positive verso destra) e facendo un momento
attorno al punto P (positivo in senso orario).
↑ −T + Q2 x + Q1 + Rcy + Rby = 0 ⇒ T = Q2 x + Q3 x + Q1 − Rcy + Rby
→ N + Rbx + Rcx = 0 ⇒ N = − Rbx + Rcx
L ⎞
⎛2
⎞
⎛1
⎞
⎛
↵P Mf − Q2 x ⋅ ⎜ ⋅ ( x − L1 )⎟ − Q3 x ⋅ ⎜ ⋅ ( x − L1 )⎟ − Rcy ⋅ ( x − L1 ) − Q1 ⋅ ⎜ x − 1 ⎟ − Rby ⋅ x = 0 ⇒
2⎠
⎝3
⎠
⎝2
⎠
⎝
L ⎞
⎛1
⎞
⎛
⎛2
⎞
⇒ Mf = Q2 x ⋅ ⎜ ⋅ ( x − L1 )⎟ + Q2 x ⋅ ⎜ ⋅ ( x − L1 )⎟ + Rcy ⋅ (x − L1 ) + Q1 ⋅ ⎜ x − 1 ⎟ + Rby ⋅ x
2⎠
⎠
⎝2
⎠
⎝
⎝3
Adesso basta far variare il valore della x tra il campo di variazione consentito (che
ricordiamo va da 2,54 a 3,458m) ed otteniamo i valori delle varie sollecitazioni; per
comodità non vengono riportati qui di seguito i calcoli poiché si diventerebbe ripetitivi, ed
al loro posto è stata inserita una tabella riassuntiva dei conti svolti:
x
(m)
f
(m)
q2x
(N/m)
2,54
2,84
3,04
3,24
3,458
0
0,3
0,5
0,7
0,918
3560
2978,3
2590,5
2202,7
1780
Q1
(N)
Q2x
(N)
Q3x
(N)
Mf
(N⋅m)
T
(N)
9042,4
0
0
1000,02 -2541
9042,4 87,26 893,49 416,18 -1470
9042,4 242,5 1295,25 179,1 -913,44
9042,4 475,055 1541,89 45,63 -434,11
9042,4 817,02 1634,04
0
0
N
(N)
0
0
0
0
0
Ora, avendo tutti i dati a disposizione è possibile tracciare i diagrammi di taglio, sforzo
normale e momento flettente; si ricava quanto segue:
6
DIAGRAMMA DI TAGLIO
6000
Taglio (N)
4000
2000
0
-2000 0
1
2
3
4
-4000
-6000
Lunghezza x (m)
DIAGRAMMA DI SFORZO NORMALE
Sforzo normale (N)
0
-2000 0
1
2
3
4
-4000
-6000
-8000
-10000
-12000
Lunghezz x (m)
7
DIAGRAMMI DEL MOMENTO FLETTENTE
Momento flettente
(N*m)
Lunghezza x (m)
-3000
-2500
-2000
-1500
-1000
-500 0
0
500
1000
1500
1
2
3
4
8