Lezione 3 - Movimento ed equilibrio

Lezione 3.
M i
Movimento
edd Equilibrio
E ilib i
F. Previdi - Automatica - Lez. 3
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Schema della lezione
1. Movimento dell’uscita di un sistema LTI SISO
2. Movimento libero e movimento forzato
3 Equilibrio di un sistema LTI SISO
3.
4. Guadagno statico di un sistema LTI SISO
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1. Movimento dell’uscita di un sistema LTI SISO
u (t )
y (t )
S
d i y (t ) m
d i u (t )
αi
= ∑ βi
∑
i
i
dt
dt
i =0
i =0
y0 ; y1,0 ; L ; yn −1,0
n
Assegnato
g
un andamento dell’ingresso
g
u(t)
( ) [[la “forzante”]] e
assegnate le condizioni iniziali, è possibile integrare l’equazione
differenziale e ottenere l’andamento
y (t ) , t ≥ 0
movimento dell’uscita
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Esempio
u (t )
portata volumetrica
l
i
in ingresso (m3/s)
k
k
y& (t ) + y (t ) = u (t )
A
A
livello
h (t )
portata volumetrica
in uscita (m3/s)
y (t ) = kh (t )
A = 1 m2
m2
k =1
s
y& (t ) + y (t ) = u (t )
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Sia assegnato l’ingresso u (t ) = 2, t ≥ 0 con livello iniziale h (0) = 5
Per trovare il movimento dell’uscita,
dell’uscita partendo da 5 m ed
erogando
d una portata
t t costante
t t di 2 m3/s,
/ bisogna
bi
risolvere
i l
l’equazione differenziale lineare del primo ordine
y& (t ) + y (t ) = 2
con la condizione iniziale y (0) = kh (0) = 5
Innanzitutto si ricordi che:
t
[
]
d τ
t
(
)
e
y
τ
d
τ
=
e
y (t ) − y (0)
∫0 dτ
Quindi, si moltiplichino entrambi i membri dell’equazione per et ≠ 0
d t
t
t
t
e y& (t ) + e y (t ) = 2e
(
e y (t )) = 2et
dt
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5
Integrando entrambi i membri si ottiene
t
et y (t ) − y (0) = ∫ 2eτ dτ
0
t
y (t ) = e −t y (0) + ∫ 2e −(t −τ )dτ
Sfruttando la condizione iniziale: y (0) = 5
t
t
0
0
0
y (t ) = 5e −t + ∫ 2e −(t −τ )dτ = 5e −t + 2e −t ∫ eτ dτ =
−t
−t
[ ]
τ t
= 5e + 2e e
0
= 5e −t + 2e −t (et − 1) = 5e −t + 2 − 2e −t = 3e −t + 2
Il movimento dell’uscita è y (t ) = 3e − t + 2, t ≥ 0
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2. Movimento libero e movimento forzato
u (t )
y (t )
S
d i y (t ) m
d i u (t )
αi
= ∑ βi
∑
i
i
dt
dt
i =0
i =0
y0 ; y1,0 ; L ; yn −1,0
n
Si consideri il movimento dell’uscita che si ottiene in corrispondenza
di u(t)=0 e con condizioni iniziali assegnate y0 ; y1,0 ; L ; yn −1,0
[è la soluzione dell’equazione omogenea associata].
Tale
a e movimento
ov e to ssi ddice
ce Movimento
ov e to libero
be o de
dell’uscita
usc ta
Alternativamente, si consideri il movimento dell’uscita che si ottiene
in corrispondenza di condizioni iniziali nulle y0=y1,0=…=yn−1,0=0 e
con u(t) assegnato.
Tale movimento si dice Movimento forzato dell’uscita
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Movimento libero
Il movimento libero dell’uscita si ottiene integrando l’equazione
differenziale
d i y (t )
αi
=0
∑
i
dt
i =0
n
con c.i.
y0 ; y1,0 ; L ; yn −1,0
La sua soluzione passa attraverso la ricerca delle soluzioni
dell’equazione
dell
equazione caratteristica associata, dette autovalori:
ϕ (s ) = s n + α n −1s n −1 + L + α 0 = 0
dove ϕ (s ) è il polinomio caratteristico.
N t B
Nota
Bene
Con un piccolo abuso, si parlerà di “autovalori del sistema” e
“polinomio
li
i caratteristico
tt i ti del
d l sistema
it
”
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Se gli autovalori si sono reali e distinti le soluzioni parziali
si t
d ll’
dell’equazione
i
differenziale
diff
i l sono del
d l tipo
ti e e la
l soluzione
l i
generale è data dalla loro combinazione lineare
n
y (t ) = ∑ ci e si t
i =1
Se gli autovalori sono complessi coniugati e distinti (a coppie),
cioè si=σi±jωi , le soluzioni parziali dell
dell’equazione
equazione differenziale
σ it
sono del tipo e sin (ωi t ) , eσ i t cos(ωi t ) e la soluzione generale è
data dalla loro combinazione lineare
n
y (t ) = ∑ ci eσ i t sin (ωi t ) + d i eσ it cos(ωi t )
i =1
I valori dei coefficienti della combinazione lineare si calcolano
imponendo il rispetto dei vincoli imposti dalle condizioni iniziali
iniziali.
Le soluzioni p
parziali si dicono modi del sistema dinamico LTI.
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Le cose si complicano un po’ se le radici dell’equazione
caratteristica non sono distinte.
In particolare, se un autovalore ha molteplicità algebrica uguale alla
sua molteplicità geometrica continuano a valere i risultati di prima.
In caso contrario si hanno modi del tipo
te sit , t 2e sit ,L
teσ i t sin (ωi t ), teσ i t cos(ωi t ), t 2eσ i t sin (ωi t ), t 2 eσ i t cos(ωi t ),L
La potenza di t dipende dalla “deficienza” di molteplicità.
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3. Equilibrio di un sistema LTI SISO
Si definisce uscita di equilibrio di un sistema dinamico
lineare tempo-inviariante il valore costante dell’uscita y (t ) = y
(se esiste) che si ottiene in corrispondenza di un assegnato
valore costante dell’ingresso u (t ) = u , t ≥ t0
Operativamente si tratta di annullare le derivate
dell’ingresso e dell’uscita nell’equazione differenziale.
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Esempio
y& (t ) + 2 y (t ) = −3u (t )
Calcolare ll’uscita
uscita di equilibrio in corrispondenza
dell’ingresso costante u = 2, t ≥ 0
Bisogna risolvere l’equazione algebrica
2 y = −3 ⋅ 2
y = −3 Uscita di equilibrio
(per u (t ) = u = 2 )
(p
Osservazione
L’uscita di equilibrio è diversa per diversi valori costanti
dell’ingresso, per questo si sottolinea “in corrispondenza di”.
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Osservazione
Non è sempre detto che esista o sia unica l’uscita di equilibrio.
Per es. il sistema dinamico LTI
&y&(t ) + 2 y& (t ) = u (t )
Non ammette alcuna uscita di equilibrio in corrispondenza di
valori costanti dell’ingresso non nulli u ≠ 0
Teorema
Un sistema LTI SISO può avere (in corrispondenza di un dato u ):
¾ una sola uscita di equilibrio
¾ infinite uscite di equilibrio
¾ nessuna uscita di equilibrio
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4. Guadagno statico di un sistema LTI SISO
Dato un sistema LTI SISO che ammette un’unica uscita di
equilibrio y in corrispondenza di un ingresso costante
assegnato u , si dice guadagno statico del sistema il
rapporto tra l’uscita
l uscita di equilibrio ed il corrispondente
ingresso costante:
y
μ=
u
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