prismi e piramidi - IIS Severi

1
Nuovi assiomi
1) Sono dati quattro punti non complanari, tre di essi possono essere allineati?
2) Sono dati quattro punti non complanari a tre a tre non allineati, quanti piani generano?
3) Quante coppie di rette sghembe generano quattro punti a tre a tre non allineati non
complanari?
4) A quanti piani possono dare origine tre rette incidenti in uno stesso punto?
5) A quanti piani possono dare origine due rette r, s parallele e una retta t incidente r?
6) Se due rette nello spazio sono complanari, ci sono rette complanari all’una ma non all’altra?
7) Sono date tre rette distinte tali che ciascuna interseca le altre due, dimostrare che sono
complanari o passano tutte per uno stesso punto.
8) Dimostrare che se tre rette distinte r , s , t dello spazio passano per uno stesso punto O e
ciascuna di esse interseca una quarta retta z in un punto distinto da O, allora le quattro rette
sono complanari.
9) Dati un punto P e una retta r non passante per P, quali sono le rette sghembe con r e
passanti per P?
10) Date due rette incidenti r, s, una retta può essere sghemba con r ma non con s?
11) Nello spazio sono date due rette parallele r, s e una retta t incidente r, quali sono le possibili
posizioni di s e t?
12) Vero o falso? Nello spazio due rette che non hanno punti in comune
a) Sono parallele
b) Possono essere parallele
c) Sono sghembe
d) Possono essere sghembe
e) Non possono giacere su uno stesso piano
13) Dopo aver fornito la definizione di rette sghembe, si consideri la seguente proposizione:
“Comunque si prendano nello spazio tre rette x, y, z a due a due distinte, se x e y sono
1
2
sghembe e così pure se sono sghembe y e z, allora anche x e z sono sghembe.” Dire se è vera
o falsa e fornire una esauriente spiegazione della risposta. (Mat. Sc. 2003)
14) Vero o falso?
a) Due rette nello spazio si dicono sghembe quando non hanno alcun punto in
comune
b) se due rette AB e CD sono sghembe tra loro, lo sono anche le rette AC e BD
c) Se due rette nello spazio sono complanari, ogni retta complanare all’una lo
è anche all’altra
d) Per due rette distinte nello spazio passa sempre uno e un solo piano
e) tre rette nello spazio a due a due incidenti o sono complanari o passano per uno stesso
punto.
15) Sono date quattro rette p, r, s, t passanti per uno stesso punto O, in cui p è perpendicolare a r
e a s. Se t non è complanare con r e s, può essere perpendicolare a p?
16) Siano α e β due piani incidenti, O un loro punto comune, r una retta perpendicolare ad α in
O: può essere r perpendicolare a β in O?
Il teorema delle tre perpendicolari
_____________Esercizio guida 1 ________________
In un piano α è dato un triangolo acutangolo ABC e H è la proiezione di A sul lato BC. Indicato
con P un generico punto sulla retta perpendicolare in A al piano α, dimostrare che i triangoli
PAH, PBH, PCH sono rettangoli.
Il segmento AP è perpendicolare in A al piano α, perciò
è perpendicolare a tutte le rette di α passanti per A e in
particolare al segmento AH: risulta così dimostrato che
PAH è un triangolo rettangolo in A.
Per dimostrare che anche PBH e PCH sono triangoli
rettangoli, si osserva che AH è la perpendicolare al
segmento BC condotta dal piede A della perpendicolare
al piano α: per il teorema delle tre perpendicolari, BC è
perpendicolare in H al piano generato dai punti P, A, H, quindi è perpendicolare al segmento
PH. Ne consegue che i triangoli PBH, PCH sono entrambi rettangoli in H.
____________________________________
17) In un piano α è data una circonferenza γ di centro O, tracciare nel piano α la retta t tangente
a γ in un generico punto A. Indicato con P un generico punto sulla perpendicolare in O al
piano α, dimostrare che AP e t sono tra loro perpendicolari.
18) Data una generica retta r, siano O, P due suoi punti. Tracciare il piano α perpendicolare in
O a r e, in tale piano, un rettangolo ABCD in modo che O sia il punto medio del lato AD.
2
3
Dimostrare che BC è perpendicolare al segmento che ha per estremi P e il punto medio di
BC.
19) Dato un quadrato ABCD di lato 3a tracciare la retta r perpendicolare in A al piano del
quadrato e indicare con P il punto di r tale che AP 4 . Calcolare la distanza di P da
ciascuno dei vertici del quadrato. [ PB = PD 5 ; PD √34 ]
______________Esercizio guida 2 _________
In un piano α sono assegnati un segmento AB di misura 4a e un punto O sull’asse di AB
distante 4a dal segmento stesso. Tracciata la retta r perpendicolare al piano α in O, indicare
con C il punto di r in corrispondenza del quale
= 4a. Calcolare la distanza di C dagli
estremi del segmento AB.
Poiché r è perpendicolare in O al piano α generato
dai punti O, A, B e OH è perpendicolare ad AB, si ha,
per il teorema delle tre perpendicolari, che CH è
perpendicolare ad AB. CB è quindi ipotenusa del
triangolo CHB di cui è noto il cateto HB e calcolabile
il cateto CH. HB 2 , CH è ipotenusa del triangolo
rettangolo isoscele COH, pertanto CH 4√2 .
Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo CHB si ottiene:
BC
√32
AC
≅
BC
perché
i
_________________________
4
= 6a
triangoli
CHA
e
CHB
sono
congruenti.
20) Dato un cerchio γ di centro O e raggio 3a, sia ABCD un quadrato ad esso circoscritto.
Tracciata la retta r perpendicolare in O al piano di γ indicare con P un punto di r che ha
distanza 4a da O, calcolare la distanza di P da ciascuno dei vertici del quadrato. [ a 34 ]
21) Dal centro di un triangolo equilatero di lato 6√3 tracciare la retta r perpendicolare al piano
del triangolo e indicare con P un punto di r che ha distanza 2√3 dal piano. Calcolare la
distanza di P da ciascuno dei tre vertici del triangolo.
[4 a 3 ]
22) Un triangolo ABC rettangolo in A ha AC 3 e BC 5 . Tracciata la retta r
perpendicolare in C al piano del triangolo, sia P un punto di r in corrispondenza del quale
PC 4 . Calcolare la distanza di P da M punto medio di AB.
[ PM = a 29 ]
23) Un triangolo rettangolo ABC ha i cateti AB= 3a e AC= 4 a , tracciare la retta r
perpendicolare al piano del triangolo in A e indicare con P un punto di r tale che AP ≅ AC.
Indicato con Q un punto di BC, per quale posizione di Q il segmento BC è perpendicolare al
piano generato dai punti A, P, Q? Quanto misura PQ?
9
4
[Q deve essere distante a dal vertice B, allora PQ = a 34 ]
5
5
3
4
24) In un piano π si consideri il quadrato ABCD di lato a; sulla perpendicolare in B a π si
prenda il punto V tale che VB ≅ BD. Siano: P un generico punto del segmento DV, Q la
proiezione di P su π , H la proiezione di Q su DC. Posto DH = x ,
a) Provare che PH è perpendicolare a DC
b) Calcolare in funzione di x e di a le misure di DV, PQ, DP
c) esprimere in funzione di x
f ( x) = PH 2 − BQ 2 , e determinare per quale valore di x la
funzione assume valore massimo.
[0 ≤ x ≤ a; DV = 2a , DP = 2 x , PQ = x 2 ; f(x) = x2 + 4ax – 2a2 , max. x = a]
Prismi, parallelepipedi, cubo
1. Dimostrare l’inverso del teorema 27: Se le diagonali di un parallelepipedo sono tutte
uguali, il parallelepipedo è rettangolo.
2. Dato un cubo di lato l calcolare la misura delle sue diagonali. [ l 3 ]
3. Le diagonali di un cubo sono perpendicolari tra loro?
Un parallelepipedo rettangolo può avere le diagonali perpendicolari? [se ha base
quadrata, lato di base x, altezza √2x]
4. Riferendosi alla figura, calcolare l’angolo che
la diagonale BD’ del cubo di lato l forma con il
piano della faccia ABCD.
[ arsen
1
3
]
5. Dimostrare che la perpendicolare condotta da
un vertice A di un cubo ad una diagonale non
uscente da A divide la diagonale stessa in due
parti, una doppia dell’altra.
6. AB e BC sono le diagonali di due facce di un cubo. Dimostrare che il triangolo ABC è
equilatero.
7. AB e BC sono due diagonali delle facce di un cubo come in figura. Quanto misura
l’angolo ABC?
A
B
C
4
5
8. Siano AB, AC e AD tre spigoli di un cubo. Sapendo che lo spigolo è lungo s, calcolare la
s
distanza del vertice A dal piano dei punti B,C e D. (Mat. Sup. 2005) [
]
3
9. Le sezioni di un cubo con un piano possono avere forma di triangolo, quadrilatero,
pentagono, esagono a seconda della posizione del piano rispetto agli spigoli del cubo.
Illustrare le diverse situazioni.
10. Dato un cubo ABCDEFGH (nel quale i vertici H,E,F,G sono rispettivamente opposti ad
A, B, C, D), si prendano i punti medi degli spigoli AB, BG, GH, HE, ED, DA e si
congiungano a due a due nell’ordine indicato. Dimostrare che l’esagono che si ottiene è
regolare, e determinare il rapporto tra la sua area e la superficie totale del cubo.
11. Considerare quelle sezioni di un cubo con un piano che sono poligoni di quattro lati:
riconoscere che il tipo di quadrilatero dipende dalla posizione del piano rispetto al cubo.
12. Si consideri il cubo di spigoli AA’, BB’, CC’, DD’, in cui due facce opposte sono i
quadrati ABCD e A’B’C’D’. Sia E il punto medio dello spigolo AB. I piani ACC’A’ e
D’DE dividono il cubo in quattro parti. Dimostrare che la parte più estesa è il quintuplo di
quella meno estesa.
[Mat. Sc. 2001]
13. Quali tra queste figure sono lo sviluppo piano di un prisma retto che ha per base un
triangolo
equilatero?
14. Un parallelepipedo retto ha per base un rettangolo che ha un lato di misura √5 e la
2
diagonale del rettangolo forma con questo lato un angolo α = ar cos
. Sapendo che
5
5
6
l’altezza del parallelepipedo vale 2 calcola le diagonali del parallelepipedo.
41
[
a]
2
Triedri
15. Quali relazioni tra gli elementi di un triedro non corrispondono all’analogia triangolotriedro, e perché?
16. “Un triedro non può avere due diedri retti, perché nella figura piana che gli corrisponde, il
triangolo, non possono esserci due angoli retti”: questa proposizione è vera o falsa?
Perché?
17. Tre angoli di 60° possono essere le facce di un triedro? Dimostrare il teorema usato per
rispondere.
18. Esiste un triedro le cui facce siano π/2, 3π/2, π/3? Enunciare e dimostrare il teorema usato
per rispondere.
19. Enunciare le disuguaglianze che valgono per gli elementi di un triedro, e spiegarne il
significato. Quali tra esse valgono anche per un generico angoloide?
20. Dimostrare che, se un triedro ha le tre facce congruenti tra loro, anche i suoi diedri sono
tra loro congruenti.
21. Dimostrare che, se in un triedro due facce sono angoli retti, allora nel triedro vi sono due
diedri retti.
22. E’ dato un triedro avente due facce di ampiezza π/3 e una di ampiezza π/2. Calcolare
2
]
l’ampiezza del suo diedro compreso tra le due facce congruenti.
[ 2 arsen
3
23. E’ dato un triedro avente le facce di ampiezza π/3 (triedro equilatero). Calcolare
1
l’ampiezza dei suoi diedri.
[2 arsen
]
3
24. Vero o falso?
a) Tutti i triedri aventi le tre facce uguali tra loro (triedri equilateri) sono congruenti tra loro
b) E’ possibile che un triedro abbia le tre facce di ampiezza π/3, ma non è possibile che
abbia i tre diedri di ampiezza π/3.
c) Un triedro non può avere due diedri retti, perché nella figura piana che gli corrisponde, il
triangolo, non possono esserci due angoli retti.
6
7
25. Dire se e come, intersecando con un piano α non passante per il vertice un triedro
trirettangolo (avente per facce tre angoli retti), si può ottenere come sezione:
a. un triangolo equilatero
b. un triangolo rettangolo
c. un triangolo isoscele non equilatero
d. un angolo retto
e. un angolo acuto
f. un angolo ottuso.
26. S e S’ sono due sezioni parallele di un angoloide tetraedro, e S’ = 8S. Calcolare il
rapporto esistente tra le distanze rispettive di S e S’ dal vertice dell’angoloide, e
dimostrare il teorema che si è usato per rispondere.
[h’/h = 2√2]
Quale ipotesi avrebbe potuto essere omessa senza compromettere l’esito del problema?
Piramidi
27. Data una piramide VABCD a base quadrata di lato a, avente le quattro facce triangolari
che sono triangoli equilateri, calcolare:
a) L’altezza VH della piramide
[VH = a /√2]
b) l’ampiezza β dei diedri che le facce laterali formano con la base
c) l’ampiezza α dei diedri che concorrono nel vertice V.
2
2
,α = 2⋅arsen
]
[β = arsen
3
6
28. a. Dimostrare che se una piramide a base quadrangolare è retta, allora la somma di
due facce laterali non consecutive è equivalente alla somma delle altre due.
b. Se la piramide del punto a. ha base quadrata e superficie laterale doppia di quella
di base, calcolare l’ampiezza dei diedri formati dalle facce laterali con il piano di
base e le ampiezze degli angoli formati dagli spigoli laterali sempre con il piano di
⎛ 3⎞
π
base.
[ ; arctg ⎜⎜
⎟⎟ ]
3
⎝ 2⎠
29. Un piano interseca tutti gli spigoli laterali di una piramide quadrangolare regolare.
Descrivere le caratteristiche dei possibili quadrilateri sezione a seconda della posizione
del piano rispetto alla piramide.
[Mat. Sc. 2003]
30. Un ragno vuole ispezionare la superficie esterna di una piramide a base quadrata, le cui
facce laterali sono triangoli equilateri. Partendo dal centro di una faccia laterale, vuole
toccare i centri di tutte le altre facce laterali, seguendo il cammino più breve possibile.
Sapendo che uno spigolo della piramide misura 2, trovare la lunghezza totale del
percorso.
a) 4
b) 2√3
c) 3
d) 3√2/2
e) nessuna delle precedenti [Gare 2003]
__________________Esercizio guida 1_______________________Dato un rettangolo ABCD di
dimensioni
AB
2√2
e
tracciare
la
BC 2 ,
perpendicolare in A al piano del
rettangolo e indicare con V il
7
8
punto della retta che ha distanza 2a da A. Calcolare la misura degli spigoli della piramide
VABCD.
VB= √4
VC
√4
VD
2√2
8
= 2√3a
12
=4
(teorema di Pitagora applicato al triangolo VAB)
(teorema di Pitagora applicato al triangolo VAC)
(VAD triangolo rettangolo isoscele) __________________________
AC 2 e angolo al
31. Una piramide ha per base un triangolo isoscele ABC di lati AB
3
vertice α = arcos( − ). Sapendo che l’altezza AV misura 3a, calcolare la superficie della
5
piramide e l’angolo che la faccia VBC forma con il piano di base.
2
66 2
[superficie totale =
a ; β = arcos ]
5
7
32. Una piramide retta di vertice V ha per base un triangolo equilatero ABC di lato 12a.
Calcola l’altezza e l’apotema della piramide sapendo che lo spigolo AV forma un angolo
di 30° con il piano di base.
[ altezza = 4 a; apotema = 2 a 7 ]
33. Una piramide retta di vertice V ha per base un quadrato ABCD di lato 4a. Calcolare
l’altezza e l’apotema della piramide sapendo che lo spigolo AV forma un angolo di 30°
5
2
con il piano di base
[ altezza = 2a
; apotema = 2a
]
3
3
34. Una piramide retta ha per base un quadrato di perimetro 48a. Sapendo che l’altezza della
piramide è 8a, calcolare la superficie laterale della piramide e l’angolo che le facce
4
laterali formano con il piano di base.
[ 240a2 , α = artg ]
3
3
35. Una piramide retta a base quadrata ha apotema che forma un angolo α = artg con il
4
piano di base. Sapendo che il lato del quadrato misura 8a, calcolare la superficie della
piramide.
[ 144a2 ]
36. Una piramide retta ha per base un quadrato di lato 6a, calcolare la superficie della
piramide sapendo che gli spigoli laterali formano con il piano di base un angolo α = arsen
4
.
[(36 + 12 41 )a2]
5
37. Una piramide retta ha per base un triangolo equilatero, calcolare la superficie della
piramide sapendo che la sua altezza misura 8a e che le facce laterali formano un angolo α
= arctg2 con il piano di base.
[48√3 1 √5
]
38. E’ assegnato un triangolo isoscele ABC di lati AB AC 3 e angolo al vertice α =
1
arcos ( − ). Sulla perpendicolare in A al piano del triangolo sia P il punto in
3
8
9
corrispondenza del quale il piano PBC forma un angolo di 30° con il piano del triangolo.
]
Calcolare la superficie della piramide PABC. [ 3 3√2 2√6
39. Una piramide retta di vertice V ha per base un quadrato ABCD di lato 4a e ha un’altezza
tale che le superfici laterali formano un angolo di 45° con il piano di base. A quale
distanza dal vertice si deve sezionare la piramide con un piano parallelo al piano di base
per ottenere una piramide VA’B’C’D’ che ha superficie pari al 25% di quella della
piramide ABCD? Quanto misurano le due superfici?
[distanza dal vertice = a; A=
16 1 √2 , A’= 4 1 √2 ]
40. Una piramide retta VABC ha per base un triangolo rettangolo ABC che ha il cateto AB =
1 √3 e l’angolo in B di 60°. Calcolare la superficie della piramide sapendo che
l’altezza misura . Qual è l’angolo α che le superfici laterali formano con il piano di
[ 1
base?
√3
; α = 60° ]
41. Una piramide retta di vertice V ha altezza h = 3 a e per base un triangolo equilatero di lato
6 a. Calcolare
a) l’apotema della piramide
b) la superficie totale della piramide
c) l’angolo che ciascuna faccia della piramide forma con il piano di base.
[ a) 2√3 ; b) 27√3 ; c) 60°]
42.
Una piramide retta a base quadrata ha lato di base l = 8 e altezza h = 3. Dimostrare che
tutte le facce laterali hanno la stessa area, e calcolarne il valore. [a =5, Area=20]
43. Una piramide ha per base un rettangolo di lati a e 2a e la sua altezza cade nel punto
medio di uno dei lati maggiori.
a. Giustificare che le facce laterali della piramide sono due triangoli rettangoli e due
triangoli isosceli
b. Sapendo che l’ampiezza dei diedri che i triangoli rettangoli formano con il piano di base
è , calcolare la superficie totale della piramide
44. Esprimere in funzione dello spigolo s l’altezza h e la superficie totale St di un tetraedro
2
regolare.
[h = s
; St = s2 √3]
3
45. Di un tetraedro regolare
a. Calcolare l’ampiezza α dei diedri.
[α = arcos(1/3), α = arsen(2√2/3), α = 2 arsen(1/√3)]
b. calcolare l’ampiezza dell’angolo γ fra uno spigolo e la base.
[γ = arcos(1/√3)]
9
10
46. In un piano α è dato il triangolo isoscele ABC, di lati AB = AC = a e tale che
23
. Tracciare da A la perpendicolare a α e prendere su essa il punto V tale
cos( BAC ) =
32
che AV=2a ; congiungere V con B e C..
a. Calcolare la superficie totale del tetraedro ottenuto.
b. Preso un punto P su AB, tracciare la parallela r al lato BC, e costruire il piano β
passante per r e perpendicolare a α. Dimostri che la sezione del tetraedro ottenuta sul
piano β è un rettangolo.
Sezionando una piramide parallelamente alla base
47. Dimostrare che se una piramide di altezza h viene tagliata con un piano parallelo alla
base ad una distanza h’ dal vertice V:
a) L’area A della sezione ottenuta e l’area B della base della piramide stanno tra
loro come i quadrati delle rispettive distanze h’ e h da V
b) detta S la superficie laterale della piramide di partenza e S’ quella della
piramide ottenuta, vale la relazione: S : S’ = h2: h’2.
c) Vale la relazione analoga per le superfici totali delle due piramidi?
_________________________________Esercizio guida 2__________________________
Una piramide di vertice V ha per base un quadrilatero ABCD che ha area 20 a2 e ha altezza
6a. Calcolare a quale distanza dal vertice è stato tracciato il piano parallelo al piano di base
che stacca sulla piramide un poligono che ha area 15 a2.
VH’ = x
Per il teorema sulle sezioni parallele di un angoloide vale la proporzione:
20
: 15
6
:
Risolvendola, si ottiene x2 = 27a2 →
x = 3√3 .
_____________________________________________
10
11
48. Considerare una piramide retta a base quadrata, di altezza h e vertice V. A quale distanza
h’ da V deve essere condotto un piano parallelo alla base per ottenere una sezione che sia
la metà della sezione di base? Dimostrare il teorema usato per rispondere.
[h’ = h/√2]
49. Una piramide retta ha per base un esagono regolare di lato 4a. Sapendo che l’altezza della
piramide è 2a calcolare la superficie. A distanza dal vertice della piramide tracciare un
piano parallelo al piano di base e indicare con S’ la sezione ottenuta. Calcolare la
superficie della piramide che ha base S’ e vertice V.
[ (48+24√3
; (3+ √3
]
50. Una piramide retta a base quadrata ha altezza 4a e le facce laterali formano un angolo α =
artg2 con il piano di base.
a) Calcolare la superficie della piramide.
b) Determinare a quale distanza dal vertice della piramide si deve tracciare un piano
parallelo al piano di base per ottenere una piramide che ha superficie laterale pari al
90% della superficie laterale della piramide assegnata.
2
[ a) 16 (1 + 5 ) a 2 ; b) 6a
]
5
51. Una piramide retta di vertice V ha per base un esagono regolare; l’apotema della piramide
misura 10a e forma un angolo α =arcsen con il piano di base. Calcolare la superficie
della piramide e l’angolo che ciascuno spigolo forma con il piano di base. Ricavare a
quale distanza dal vertice V si deve condurre un piano parallelo al piano di base per
ottenere una piramide la cui superficie laterale è metà di quella della piramide assegnata.
[ superficie = 192√3 , β= artg , distanza dal vertice = 4√2 ]
√
52. Un rettangolo ABCD ha i lati AB = 8 a e BC = 6 a; indicare con V il punto sulla retta
perpendicolare in B al piano del rettangolo tale che VB = 10 a.
a) Calcolare gli angoli che gli spigoli VB, VC, VD formano il piano di base della piramide
VABCD
b) Tracciato un piano α parallelo al piano di base e distante 5√2a dal vertice della
piramide, calcolare l’area della sezione staccata sulla piramide.
5
5
[a) α = artg , β = artg
, δ = ; b) 24 ]
4
3
53. In figura è rappresentato un cubo di lato 2a .
Sapendo che V è il punto d’intersezione
delle diagonali e che O’ è il piede della
perpendicolare condotta da V al piano del
quadrato ABCD:
a) dimostrare che O’ è il centro del quadrato
ABCD
11
12
b) calcolare la superficie totale della piramide che ha vertice V e base coincidente con il
quadrato ABCD.
54. Un prisma retto ha per basi triangoli equilateri di lato l e ha altezza uguale a quella delle
facce di base. Indicato con V il centro di una faccia di base considerare la piramide che ha
vertice V e base sulla faccia opposta del prisma. Calcolare la somma delle superfici
laterali del prisma e della piramide.
√
√
Prismi inscritti in una piramide
55. Una piramide regolare a base quadrata ha gli spigoli laterali inclinati di 30° sul piano di
base; il lato di base è k 6 . Calcolare:
a.la superficie totale della piramide
[ (3 + 4 3 ) k 2 ]
b. il lato del cubo inscritto nella piramide avente una faccia parallela alla base della
piramide stessa.
56. Una piramide retta ha per base un esagono regolare di lato 2a e altezza h = a.
a. Calcolare la superficie della piramide
b. Calcolare a quale distanza dal vertice bisogna tracciare un piano parallelo al piano di
base della piramide affinché il prisma che ha per basi la sezione staccata e la sua
8
proiezione sulla base della piramide abbia superficie laterale a 2 .
3
2
]
[ a) 6a ( 2 + 3 ) ; b)
,
57. Una piramide retta che ha base quadrata di lato 2a e altezza h = 6 a , viene secata con un
piano parallelo al piano di base. Calcolare a quale distanza dal vertice si deve condurre
tale piano, affinché il prisma che ha per basi la sezione di cui sopra e la sua proiezione
ortogonale sul piano di base abbia superficie laterale
.[4 ∨ 2 ]
58. Una piramide ha base quadrata ABCD di lato a, vertice V e altezza condotta dal punto
a
medio H del lato AB in modo che sia VH = . Condotto per un punto K di VH un piano
2
α parallelo al piano di base, indicare con A’B’C’D’ il poligono staccato da α sulla
piramide VABCD.
a. Calcolare tutti gli spigoli della piramide assegnata e l’angolo che ciascuno forma con il
piano di base.
b. Determinare per quale posizione di K il prisma che ha per basi A’B’C’D’ e la sua
1
proiezione sulla base della piramide è un cubo.
[c) KV = a ]
6
12
13
59. Una piramide di vertice V ha per base un triangolo equilatero ABC e altezza congruente
al lato di base situata sulla perpendicolare in A al piano di base. Nel caso in cui il lato di
base sia 4 , determinare a quale distanza dal vertice si deve tracciare un piano parallelo al
piano di base affinché il prisma che ha per basi la sezione ottenuta e la sua proiezione sul
.
piano di base della piramide abbia superficie laterale
[
,
]
13