appelli2012
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Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 20 Giugno 2012 - A) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio 1. Siano dati, al variare del parametro k ∈ R, i piani: π1 : x − 2y + 2z = 2, π2 : z = 5, π3 : kx − y = 3. 1. Determinare i valori di k per cui π1 ∩ π2 ∩ π3 6= ∅. 2. Determinare, se possibile, una retta passate per l’origine e ortogonale a π1 e π2 . Svolgimento: Esercizio 2. Siano ¶ µ 1 2 3 A1 = , 0 0 0 ¶ µ 0 1 0 , A2 = 1 0 0 µ ¶ 2 2 2 A3 = . 0 1 1 1. È possibile scrivere ogni matrice in M2×3 (R) come combinazione lineare di A1 , A2 , A3 ? Giustificare la risposta. 2. Stabilire se A1 , A2 , A3 sono linearmente indipendenti. Svolgimento: nµ 3 ¶ µ 0 ¶o n µπ ¶ µ0¶ o 0 Esercizio 3. Siano B = , eB = , due basi ordinate di R2 . 2π −1 0 1 Sia L : R2 −→ R2 l’applicazione lineare definita da ¶ µ ¶ µ x πx L = . y 2x − y 1. Determinare MB,B0 e MB0 ,B . 2. Determinare MB,B (L) e MB0 ,B0 (L). Svolgimento: Esercizio 4. Si consideri la matrice 0 −1 0 √ A = 1 √0 − 2 ∈ M3×3 (K), 0 2 0 (K = R, o K = C). 1. Discutere, nei due casi K = R e K = C, la possibilità o meno di diagonalizzare A. In caso affermativo, diagonalizzare la matrice A. 2. Nel caso K = R, stabilire se le colonne di A formano una base ortonormale rispetto al prodotto scalare standard di R3 . Svolgimento: Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 20 Giugno 2012 - B) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio 1. Siano dati, al variare del parametro k ∈ R, i piani: π1 : z = 5, π2 : x − 2y + 2z = 2, π3 : kx − y = 3. 1. Determinare i valori di k per cui π1 ∩ π2 ∩ π3 6= ∅. 2. Determinare, se possibile, una retta passate per l’origine e ortogonale a π1 e π2 . Svolgimento: Esercizio 2. Siano ¶ µ 3 2 1 A1 = , 0 0 0 ¶ µ 0 1 0 , A2 = 1 0 0 µ ¶ 1 1 1 A3 = . 0 2 2 1. È possibile scrivere ogni matrice in M2×3 (R) come combinazione lineare di A1 , A2 , A3 ? Giustificare la risposta. 2. Stabilire se A1 , A2 , A3 sono linearmente indipendenti. Svolgimento: nµ 3 ¶ µ 0 ¶o n µπ ¶ µ0¶ o 0 Esercizio 3. Siano B = , eB = , due basi ordinate di R2 . 2π −1 0 1 Sia L : R2 −→ R2 l’applicazione lineare definita da ¶ µ ¶ µ x πx L = . y 2x + y 1. Determinare MB,B0 e MB0 ,B . 2. Determinare MB,B (L) e MB0 ,B0 (L). Svolgimento: Esercizio 4. Si consideri la matrice 0 −1 0 √ A = 1 √0 − 2 ∈ M3×3 (K), 0 2 0 (K = R, o K = C). 1. Discutere, nei due casi K = R e K = C, la possibilità o meno di diagonalizzare A. In caso affermativo, diagonalizzare la matrice A. 2. Nel caso K = R, stabilire se le colonne di A formano una base ortonormale rispetto al prodotto scalare standard di R3 . Svolgimento: Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 12 Luglio 2012 - A) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio 1. Siano dati il punto P = (2, 1, 2) e la retta r di equazioni ½ x − y + z = 2, x − 4 = 0. 1. Determinare un’equazione cartesiana per il piano π contenente r e P . 2. Determinare un’equazione parametrica per la retta passante per P e parallela a r. Svolgimento: Esercizio 2. Siano dati i sottospazi W1 = {(x1 , x2 , x3 , x4 , x5 )T ∈ R5 | x1 = 0, 3x2 + 2x3 − 3x4 − 3x5 = 0} , W2 = {(x1 , x2 , x3 , x4 , x5 )T ∈ R5 | x1 − x2 + 6x3 − 9x4 − 9x5 = 0} . 1. Determinare una base e la dimensione di W1 ∩ W2 . 2. Determinare una base e la dimensione di W1 + W2 . Svolgimento: Esercizio 3. Si consideri il prodotto scalare g di R2 , rappresentato dalla matrice ¶ µ 4 2 A= 2 2 rispetto alla base canonica di R2 . µµ ¶ µ ¶¶ 0 1 . , 1. Calcolare g −3 0 2. Determinare lo spazio ortogonale al sottospazio W = {(x1 , x2 )T ∈ R2 | 3x1 = 2x2 }, rispetto al prodotto scalare g. Svolgimento: Esercizio 4. Si consideri l’applicazione lineare L : R3 −→ R3 che è rappresentata dalla matrice 1 0 0 2 5 0 , k ∈ R, 3 7 k rispetto alla base canonica di R3 , presa come base di partenza e di arrivo. 1. Determinare, al variare del parametro k ∈ R, una base per ogni autospazio di L. 2. Stabilire per quali valori di k ∈ R l’applicazione L è diagonalizzabile. Svolgimento: Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 12 Luglio 2012 - B) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio 1. Siano dati il punto P = (2, 1, 2) e la retta r di equazioni ½ y − z = 2, x − 4 = 0. 1. Determinare un’equazione cartesiana per il piano π contenente r e P . 2. Determinare un’equazione parametrica per la retta passante per P e parallela a r. Svolgimento: Esercizio 2. Siano dati i sottospazi W1 = {(x1 , x2 , x3 , x4 , x5 )T ∈ R5 | x1 − x2 + 6x3 − 9x4 − 9x5 = 0} , W2 = {(x1 , x2 , x3 , x4 , x5 )T ∈ R5 | x1 = 0, 3x2 + 2x3 − 3x4 − 3x5 = 0} . 1. Determinare una base e la dimensione di W1 ∩ W2 . 2. Determinare una base e la dimensione di W1 + W2 . Svolgimento: Esercizio 3. Si consideri il prodotto scalare g di R2 , rappresentato dalla matrice ¶ µ 4 2 A= 2 2 rispetto alla base canonica di R2 . µµ ¶ µ ¶¶ 3 0 . , 1. Calcolare g 0 −1 2. Determinare lo spazio ortogonale al sottospazio W = {(x1 , x2 )T ∈ R2 | 3x1 = 2x2 }, rispetto al prodotto scalare g. Svolgimento: Esercizio 4. Si consideri l’applicazione lineare L : R3 −→ R3 che è rappresentata dalla matrice 1 0 0 2 5 0 , k ∈ R, 3 7 k rispetto alla base canonica di R3 , presa come base di partenza e di arrivo. 1. Determinare, al variare del parametro k ∈ R, una base per ogni autospazio di L. 2. Stabilire per quali valori di k ∈ R l’applicazione L è diagonalizzabile. Svolgimento: Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 17 settembre 2012 - A) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio 1. Nello spazio R3 , si considerino le rette x=1−t x=0 y=1 y = t0 . s1 : , s2 : z = 3t z=0 1. Specificare la posizione rispettiva delle due rette. 2. Determinare equazioni cartesiane della retta r passante per P = (0, 1, 2) e incidente s1 e s2 . Svolgimento: Esercizio 2. In R4 , si considerino i vettori w1 = (2, 1, 0, 1)T , w2 = (−1, 2, 1, 3)T , w3 = (−4, 3, 2, 5)T . 1. Scrivere un sistema di equazioni cartesiane per il sottospazio W generato da w1 , w2 , w3 . 2. Trovare una base per lo spazio ortogonale a W , rispetto al prodotto scalare standard di R4 . Svolgimento: Esercizio 3. Sia data la matrice 5 0 −4 A = 0 3 0 , 4 0 −5 1. Stabilire se la matrice A è diagonalizzabile su R e in tal caso trovare una matrice invertibile P e una matrice diagonale D, tali che A = P DP −1 . 2. Calcolare la potenza A17 . Svolgimento: Esercizio 4. Si consideri l’applicazione lineare L : R3 −→ R3 definita da x1 x1 − x2 + x3 L x2 = x1 + x2 + x3 . x3 2x1 + 2x3 1. Determinare una base per il nucleo e una base per l’immagine di L. 2. Stabilire se il vettore (1, 0, 2)T appartiene all’immagine di L. 3. Calcolare la controimmagine tramite L del vettore (0, 2, 2)T . Svolgimento: