lucidi 6 - Dipartimento di Matematica

a.a. 2011/12
Laurea triennale in Scienze della Natura
Matematica ed Elementi di Statistica
Calcolo integrale
Avvertenza
Questi sono appunti “informali” delle lezioni,
che vengono resi disponibili per comodità degli studenti.
Parte del materiale presentato è tratto dai libri di testo consigliati,
la cui consultazione è vivamente incoraggiata.
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Integrale indefinito
Definizione
Sia f : A → R .
Si dice che la funzione g è una primitiva (o anti-derivata) di f in A
se g è derivabile in A e g 0 (x) = f (x) per ogni x ∈ A.
L’insieme di tutte le primitive di una funzione
f si chiama integrale
R
indefinito di f e si denota con il simbolo f (x) dx .
Esempi “pratici” di primitive?
Osservazione
Se l’insieme A è un intervallo, tutte le primitive di f differiscono per
una costante additiva. Perché?
Pertanto, se g è una qualsiasi primitiva di f , si ha
Z
f (x) dx = g (x) + c, c ∈ R.
In altre parole: per determinare tutte le primitive di una funzione è
sufficiente determinarne una.
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Integrali indefiniti immediati
Z
Z
1 dx = x + c
x p+1
x dx =
+c
↑ p+1
p
Z
1
dx = ln |x| + c
x
p6=−1
Z
Z
e x dx = e x + c
p x dx =
Z
Z
sin(x) dx = − cos(x) + c
Z
Z
px
+c
ln(p)
1
dx =
(cos(x))2
√
Z
cos(x) dx = sin(x) + c
(1 + (tan(x))2 ) dx = tan(x) + c
1
dx = arcsin(x) + c
1 − x2
Z
1
dx = arctan(x) + c
1 + x2
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Regole di integrazione (corrispondono a regole di derivazione)
1
Integrazione per scomposizione (regola della somma e del multiplo)
Z
Z
Z
f (x) + g (x) dx =
f (x) dx + g (x) dx
Z
Z
c f (x) dx = c f (x) dx
2
Integrazione per sostituzione
(regola della funzione composta)
Z
Z
f (g (x)) g 0 (x) dx = f (t) dt |t=g (x)
3
Integrazione per parti
(regola del prodotto)
Z
Z
f (x)g 0 (x) dx = f (x)g (x) − f 0 (x)g (x) dx.
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Esempi
Calcolare l’integrale indefinito delle seguenti funzioni:
3e x − 2x 4
4
2
+ − 3 cos(x)
3
x
x
cos(5x)
x sin(2x)
x e −x
(x 2 + x) cos(3x)
e 2x sin(x)
ln(x), arctan(x), arcsin(x)
1
3x − 1
x
1 + x2
ex
e 2x + 1
x2
1 + x2
x +3
x2 + 9
e sin(x) cos(x)
(arcsin(x))2
√
1 − x2
1
p
3
x ln(x) + 2
x 3 − 4x 2 + 3
√
5
+ e −3x
1 − x2
g 0 (x)
g (x)
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Osservazione
Si può dimostrare che ogni funzione continua in un intervallo è dotata
di primitiva. Tuttavia:
• per alcune funzioni la determinazione esplicita di una primitiva
può essere notevolmente complicata;
−→ software
• esistono funzioni continue per le quali non esiste una primitiva
esprimibile attraverso funzioni elementari, come ad esempio le
sin(x)
2
funzioni x 7→ e −x , x 7→
.
−→ sviluppi in serie,
x
approssimazioni
Una applicazione delle tecniche di integrazione:
modello di Verhulst per la dinamica di popolazione
−→ funzione logistica . . .
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Integrale definito
Definizione
Sia [a, b] un intervallo chiuso e limitato e sia n ∈ N∗ .
b−a
Per k = 0, 1, 2, . . . , n , poniamo xk := a + k
.
n
Chiamiamo l’insieme Pn := {x0 , x1 , . . . , xn } partizione uniforme
n -esima dell’intervallo [a, b].
Esempio
Determinare la partizione sesta dell’intervallo [1, 4].
Osservazione
I punti di Pn determinano una suddivisione dell’intervallo [a, b]
b−a
=: ∆x .
in n sottointervalli di ampiezza
n
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Definizione
Sia f : [a, b] → R una funzione continua e sia n ∈ N∗ .
Per ogni k = 1, . . . , n scegliamo un punto x̄k ∈ [xk−1 , xk ].
Definiamo la somma di Cauchy:
n
X
Significato geometrico per
Sn (f ) :=
f (x̄k ) (xk − xk−1 )
funzioni non negative?
k=1
Osservazioni
• In generale, ciascuna somma di Cauchy dipende da n e dalla
scelta dei punti x̄k .
• Il limite per n → +∞ di Sn (f ) esiste, è finito, e non dipende
dalla scelta dei punti x̄k . (È un teorema!)
Tale limite si chiama integrale definito di f in [a, b] e si denota
Rb
con a f (x)dx . In simboli:
Z b
n
X
f (x) dx := lim Sn (f ) = lim
f (x̄k ) (xk − xk−1 ) .
n→+∞
n→+∞
a
{z
}
|
k=1
:= ∆x
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Osservazione
Se f è una funzione non negativa, dall’interpretazione geometrica della
somma Sn (f ) segue l’interpretazione geometrica dell’integrale definito:
Z b
f (x) dx = area del rettangoloide sotteso al grafico di f ,
a
definito come l’insieme
n
o
(x, y ) | a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x) .
Esempio
Z
Se f (x) ≡ c è una funzione costante, si ha
Verificare con la definizione . . .
b
f (x) dx = c (b − a).
a
Osservazione
Se f non è continua, il limite delle somme di Cauchy può dipendere
dalla scelta dei punti x̄k .
Esempio: funzione di Dirichlet
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Osservazione
Nella definizione di somma di Cauchy, e quindi di integrale, abbiamo
implicitamente supposto a < b .
Possiamo eliminare questa restrizione, ponendo


se a = b
Z b
 0
Z
a
f (x) dx :=

f (x) dx
se a > b
a
 −
b
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Proprietà degli integrali definiti
Siano f , g continue nell’intervallo A e siano a, b, c ∈ A, λ ∈ R .
1
Proprietà di linearità
Z b
(f (x) + g (x)) dx
b
Z
=
a
f (x) dx +
a
Z
b
= λ
a
Proprietà di additività
Z b
Z c
Z b
f (x) dx =
f (x) dx +
f (x) dx
a
3
b
f (x) dx
a
2
g (x) dx
a
Z
(λ f (x)) dx
b
Z
a
c
(integrale per funzioni
continue a tratti . . . )
Proprietà di monotonia
Z
f (x) ≤ g (x) in [a, b] =⇒
b
Z
f (x) dx ≤
a
b
g (x) dx
a
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Formula fondamentale del calcolo integrale
Sia f una funzione continua nell’intervallo A.
Sia g una qualsiasi primitiva di f in A.
Allora: per ogni a, b ∈ A si ha
Z b
b
f (x) dx = g (b) − g (a) =: g (x) a .
a
Dimostrazione . . .
Esempio
Calcolare l’integrale definito tra 0 e π della funzione sin(x).
Osservazione
La formula fondamentale del calcolo integrale fornisce il legame tra
i due concetti di integrale che abbiamo introdotto, cioè l’integrale
definito e l’integrale indefinito.
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Esempi
Calcolare l’area del rettangoloide sotteso al grafico della funzione
f (x) = x 2 , x ∈ [0, 3].
Calcolare l’area della regione piana compresa tra il grafico di
f (x) = x cos(x), l’asse delle ascisse, le rette x = 0, x = 3π/2.
Calcolare l’area della regione piana compresa tra i grafici di f (x) = x ,
g (x) = x 2 e le rette x = 0, x = 4.
Nota
Per f non negativa in [a, b], l’area della regione piana compresa tra il
Rb
grafico di f e l’asse delle ascisse è uguale a a f (x) dx .
Per f di segno qualsiasi in [a, b], l’area della regione piana compresa
Rb
tra il grafico di f e l’asse delle ascisse è uguale a a |f (x)| dx .
Per f , g : [a, b] → R , l’area della regione piana compresa tra il grafico
Rb
di f e il grafico di g è uguale a a |f (x) − g (x)| dx .
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Definizione
Sia f una funzione continua in [a, b]. Il numero
Z b
1
Media(f ) :=
f (x) dx
b−a a
si chiama media integrale di f in [a, b].
Motivazione . . .
Proprietà della media integrale
• min f ≤ Media(f ) ≤ max f .
[a,b]
[a,b]
• Esiste x0 ∈ [a, b] tale che f (x0 ) = Media(f ).
Interpretazione
geometrica?
[A], esempio 7.24
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Integrali impropri
Definizione
Sia f : [a, +∞) → R una funzione continua.
Se esiste, il limite
Z t
Z +∞
lim
f (x) dx =:
f (x) dx
t→+∞ a
a
si chiama integrale improprio di f su [a, +∞).
Interpretazione
geometrica?
Se il limite è finito, diciamo che l’integrale improprio converge e che
la funzione f è integrabile in senso improprio su [a, +∞).
Se il limite è infinito, diciamo che l’integrale improprio diverge.
Esempio

Z +∞
 1
1
p−1
dx =

xp
1
+∞
se p > 1
Verifichiamo . . .
se p ≤ 1
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Analogamente si definisce l’integrale improprio per f : (−∞, a] → R :
Z a
Z a
f (x) dx := lim
f (x) dx.
−∞
t→−∞ t
Se f : R → R è integrabile in senso improprio sia su (−∞, a] che su
[a, +∞), per qualche a ∈ R , diciamo che f è integrabile in senso
improprio su R e poniamo
Z +∞
Z a
Z +∞
f (x) dx :=
f (x) dx +
f (x) dx.
−∞
−∞
a
Esempi
Z +∞
−∞
Z
+∞
−∞
1
dx = π
1 + x2
Verifichiamo . . .
1
2
φ(x) dx = 1, con φ(x) := √ e −x /2 funzione Gaussiana
2π
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