Programma del corso di Equazioni Differenziali C.L. in Matematica

Programma del corso di Equazioni Differenziali
C.L. in Matematica
Prof.ssa Anna Canale
Teoria delle equazioni differenziali.
Introduzione alle equazioni differenziali.
Equazione differenziale di ordine n, integrale particolare, integrale generale e curve integrali. Rappresentazione grafica di curve integrali. Equazioni in forma normale e condizioni
iniziali. Problema della ricerca di una primitiva di una funzione in un intervallo. Problema di Cauchy. Esempi di equazioni differenziali lineari e relativa risoluzione. Esempi
di equazioni differenziali non lineari e relativi problemi di Cauchy: soluzioni locali. Differenze tra equazioni lineari e non lineari in riferimento all’esistenza ed unicità. Il teorema
di esistenza ed unicità di Cauchy. Condizioni sufficienti per l’esistenza locale di soluzioni:
esempi e controesempi. Il teorema di esistenza ed unicità globale. Prolungabilità delle
soluzioni. Condizioni sufficienti per l’esistenza globale di soluzioni: esempi e controesempi.
Teorema di regolarità.
Equazioni lineari. Equazioni lineari. Proprietà delle soluzioni. Teorema di esistenza
ed unicità. Equazioni omogenee: teorema sul wronskiano, teorema sull’esistenza di n integrali linearmente indipendenti, teorema sull’integrale generale. Equazioni non omogenee:
teorema sull’integrale generale. Il metodo della variazione delle costanti.
Problemi ai limiti. Problema ai limiti e problemi ai limiti di tipo omogeneo. Esistenza
e unicità delle soluzioni. Problemi ai limiti con parametro. Autovalori ed autofunzioni.
Condizioni ai limiti dette di periodicità.
Analisi qualitativa delle soluzioni. Introduzione all’analisi qualitativa di soluzioni
di equazioni differenziali.
Rappresentazione grafica sulla base dell’analisi qualitativa.
Curve isocline.
Equazioni esatte. Richiami sulle forme differenziali. Equazioni esatte e loro risoluzione.
Fattore integrante.
Metodi risolutivi di equazioni differenziali. Equazioni lineari e fattore integrante.
Equazioni a variabili separabili. Equazioni di Riccati. Equazioni del primo ordine tipo:
y 0 = f ( yx ), y 0 = g(ax + by), y 0 = g( aax+by+c
Equazioni non normali della forma:
0 x+b0 y+c0 ).
x = g(y 0 ), y = g(y 0 ). Equazioni differenziali non lineari di ordine superiore al primo della
forma: g(x, y 0 , y 00 ) = 0, g(y, y 0 , y 00 ) = 0. Equazioni di Bernoulli. Equazioni di Eulero.
Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti e loro risoluzione. Equazioni
differenziali lineari non omogenee a coefficienti costanti con il termine noto del tipo: pm (x)
(polinomio di grado m), A eαx , pm (x) eαx , pm (x) eαx cosβx, pm (x) eαx senβx, f1 (x) + f2 (x)
con f1 e f2 funzioni del tipo indicato..
Sistemi di equazioni differenziali. Equivalenza tra equazioni di ordine superiore al
primo e sistemi di equazioni differenziali del primo ordine. Sistemi lineari. Teorema di
esistenza ed unicità. Soluzioni di sistemi lineari. Lineare dipendenza ed indipendenza
delle soluzioni. Esistenza di n integrali linearmente indipendenti di un sistema omogeneo. Soluzioni di sistemi lineari a coefficienti costanti omogenei. Autovalori ed autofunzioni di una matrice. Equazione caratteristica: soluzioni reali semplici, soluzioni reali di
molteplicità maggiore di uno, soluzioni complesse. Soluzioni di sistemi lineari non omogenei. Risoluzione di sistemi del I ordine mediante lo studio di equazioni differenziali di
ordine superiore al primo.
Equazioni differenziali alle derivate parziali. Equazione delle onde. Equazione
del calore. Equazione di Laplace. Serie di Fourier. Metodo della separazione delle variabili.
Testi consigliati
Appunti sul corso.
N. Fusco - P. Marcellini - C. Sbordone, Elementi di Analisi Matematica II, Liguori
Editore.
N. Fusco - P. Marcellini - C. Sbordone, Analisi Matematica II, Liguori Editore.
F. Conti - P. Acquistapace - A. Savojni, Analisi Matematica. Teoria ed Applicazioni,
McGraw-Hill Libri Italia.
A.Baciotti - F.Ricci, Lezioni di Analisi Matematica 2, Editrice Levrotto e Bella.
P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Analisi Matematica, Volume II, parte
prima, Liguori Editore.
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S.Salsa - A.Squellati, Esercitazioni di Analisi Matematica 2. Parte terza, Equazioni
differenziali ordinarie, Zanichelli Editore.
Laurence C. Evans, Partial Differential Equations, Graduate Studies in Mathematics,
Vol 19, American Mathematical Society.
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