Teorema di Archimede. L`area racchiusa da una parabola e da una

Teorema di Archimede.
L’area racchiusa da una parabola e da una retta ad essa secante parallela all’asse x è uguale
a 4/3 l’area del triangolo ABC (dove A e B i punti di intersezione e C il vertice).
4
Area ( parabola ) = Area( ABC )
3
Se la parabola è y = ax 2 + bx + c la retta che taglia la parabola è y=k e
x +x
A( x A , y A ) B( xB , yB ) e il vertice C ( xC , yC ) è tale che xC = A B
2
a
Area ( parabola) = ( xB − x A )3 . (Fig. 1)
6
In generale:
L’area racchiusa da una parabola e da una retta ad essa secante è uguale a 4/3 l’area del
triangolo ABC (dove A e B i punti di intersezione e C il punto della parabola la cui tangente è
4
parallela ad AB ). Area ( parabola ) = Area( ABC )
3
Se la parabola è y = ax 2 + bx + c e la retta che taglia la parabola è y=mx+q e A( x A , y A ) B( xB , yB )
x +x
e il punto C di tangenza della retta parallela a AB, C ( xC , yC ) è tale che xC = A B
2
a
Area ( parabola) = ( xB − x A )3 . (Fig. 2)
6
Fig. 1
Fig.2
Dimostrazione:
Trasliamo la parabola è y = ax 2 + bx + c e la retta che taglia la parabola è y=mx+q di un vettore
G JJJG
v = OA ovvero portiamo a coincidere il punto A con l’origine degli assi.
Allora la parabola diventa y = ax 2 + bx , la retta diventa y=mx
A(0, 0) intersecando la parabola con la retta otteniamo che ax 2 + bx = mx
m−b
x(ax + (b − m)) = 0 da cui x=0 e x =
= t (indico xB=t)
a
Da cui B (t , at 2 + bt ) ≡ B(t , t (at + b))
Consideriamo la retta tangente alla parabola e parallela ad AB, e indichiamo con C ( xC , yC ) il punto
m−b 1 m−b t
t2
t t ⎛ at
⎞
=
= . yC = a + b = ⎜ + b ⎟
4
2 2⎝ 2
2a
2 a
2
⎠
Quindi il punto di tangenza C ha l’ascissa che la media delle ascisse di A e di B.
di tangenza 2axC + b = m da cui
xC =
Premesso ciò
t
⎡ x3
x2 ⎤
Area ( parabola) = ∫ ax + bx − mx = ∫ ax + (b − m) x = ⎢ a + (b − m) ⎥ = .
0
0
2 ⎦0
⎣ 3
⎡ t3
t 2 ⎤ ⎡ t3
t 2 ⎤ ⎡ t3
t3 ⎤
t3
⎢
⎥
= ⎢ a + (b − m) ⎥ = a + (b − m)
= a −a ⎥ = a
2 ⎦ ⎢ 3 at 2 ⎥ ⎢⎣ 3
2⎦
6
⎣ 3
(
_
)
vedi
sopra
⎣
⎦
t
t
at 2 + bt
( a + b)
y
y
y
y
−
−
t2 t
1 B
1
1t
2
2
A
C
A
2
Area ( ABC ) =
(at + bt ) − (a + b) =
=
=
t
2 xB − x A xC − x A 2
22
2 2
t
2
2
3
1t
t
t
=
(at + b − a − b) = a
22
2
8
t
t
2
t3
Area( parabola )
2
= 63 =
t
Area ( ABC )
3
a
8
a
Area ( parabola ) =
Dato la traslazione iniziale t = xB − x A
Area ( parabola) = a
2
( x − x A )3
t3
=a B
6
6
2
Area( ABC )
3