Esercizio pagina 375 n° 447 Determina l`equazione della parabola
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Esercizio pagina 375 n° 447 Determina l`equazione della parabola
Esercizio pagina 375 n° 447 Determina l'equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all'asse y, passante per il punto P(1 ; 0) ed avente vertice nel punto V(2 ; -1). Nel fascio di rette per P trova la retta, con coefficiente angolare positivo, che intersecando la parabola trovata, individua un segmento 32 parabolico di area . [y = x2 – 4 x + 3; m = 2] 3 passaggio per P (1 ; 0) → 0=a + b+ c (A) b =2 → −b=4 a → b=−4 a (B) imposizione ascissa vertice xV → − 2a Δ Δ b2 −4 a c imposizione ordinata vertice yV → − 4 a =−1 → 4 a =1 → =1 → 4a 2 b −4 a c−4 a=0 (C) (B) sostituita in (A) dà a−4 a +c → c =3 a (D) (B) e (D) sostituite in (C) danno: −(4 a)2−4 a ⋅3 a−4 a=0 → 16 a 2−12 a 2−4 a=0 → 2 4 a −4 a=0 → 4 a (a−1)=0 a1 = 0 questa soluzione non genera una parabola a2 = 1 a questa soluzione sostituita in (B) dà b = - 4 ed in (D) dà c = 3 percui la parabola é: 2 y = x −4 x + 3 fascio di rette che passano per P → y – yP = m (x – xP) → y = m(x-1) → y = mx -m Punto d'intersezione fra fascio di rette e parabola: SISTEMA fra y = x 2 −4 x + 3 ed y =mx −m che da x 2 −4 x + 3−mx +m =0 ossia: 2 x −( 4+ m) x + 3+ m =0 le cui soluzioni (ascisse dei punti d'intersezione fra fasci di rette e parabole) sono; 4+ m∓ √ (4+ m)2−4 (3+ m) 4+ m∓√ 16+ 8 m + m 2−12−4 m = x 1,2 = = 2 2 2 4 +m ∓√ (m + 2)2 4 + m∓(m + 2) = 4+ m∓√ m + 4 m + 4 = da cui x 1 =1 ed x 2 =m +3 = 2 2 2 valori della x che sostituiti o nella parabola o nella retta danno gli stessi valori di y poichè sono la loro intersezione ossia i valori che hanno in comune le due funzioni. Ci conviene sostituire le x nella retta: y 1 =y (x 1 )=0 ed y 2 =y (x 2 )=m (m + 3)−m =m 2 + 2 m come riprova x1 ed x2 possono sostituirsi nella equazione della parabola. Vediamo ora una possibile soluzione con pendenza > 0 e una con pendenza < 0 (che dobbiamo scartare): RIPROVA: ogni tanto fa bene a piccole dosi ! Il coefficiente angolare della retta passante per P(1 ; 0) e per A(m+3 ; m2 +2m) è: y A−y P m 2 + 2 m m (m + 2) = = =m x A−x P m + 3−1 m+2 Per calcolare l'area del rettangolo contenente il "segmento di parabola" occorre calcolare le sue dimensioni: uno dei lati è la distanza fra P ed A quindi: PA= √ (y A −y P )2 −(x A −x P )2 =√ [m (m + 2)]2 +(m + 2)2 = √ (m + 2)2 (m 2 + 1)=( m + 2) √ m 2 + 1 facendo la parallela a PA tangente alla parabola e facendo le perpendicolari per P e per A si può valutare anche l'altro lato (vedi figura): Le distanze PC e AD corrispondono all'altra dimensione con cui si può calcolare l'area del rettangolo: evidentemente conviene calcolare la distanza PC. Iniziamo con il valutare la retta tangente (passante per B) alla parabola che deve avere lo stesso coefficiente angolare m della retta che passa per PA e del quale occorre trovare il termine noto q con le ovvie condizioni. Il sistema di cui bisognerà valutare un delta nullo è fra la parabola y = x2- 4 x +3 = 0 e la retta y=mx+q si ha → x2 - 4 x + 3 – m x – q = 0 ossia: x2 – (4 + m)x + 3 – q = 0 ∆ = b2 – 4 a c = [-(4 + m)2] – 4(3-q) = 0 → 16 + 8m + m2 – 12 + 4q = 0 → q=− m2+ 8 m + 4 da 4 2 cui la retta tangente è: m +8m+ 4 (retta passante per C, B e D). y =mx − 4 La perpendicolare passante per P alle rette avente coeff. angolare m ha coeff. angolare − In particolare la retta passante per P (che interseca in C l'altra) è: y −0=− 1 . m 1 ( x −1) ossia: m 1 1 x+ m m Facendo sistema fra questa retta e la retta precedente si trova prima la l'ascissa di C: In particolare sottraendo la seconda equazione della retta alla prima si trova: 1 (m 2 +8 m + 4) m + 4 1 m2 + 8 m + 4 1 (m + ) x − =0 → m x + x− − =0 → m 4 m m 4m m 2 +1 m 3 +8 m 2 + 4 m+ 4 m3 + 8 m2 + 4 m + 4 x− =0 → (m 2 +1) x = → m 4m 4 m 3 +8 m 2 + 4 m + 4 xC= 4( m 2 + 1) che sostituita nella retta passante per PC dà: 1 m 3 +8 m 2 + 4 m + 4 1 1 m3 + 8 m2 + 4 m + 4 y =− + =− ( −1) = m m m 4 (m 2 + 1) 4(m 2 + 1) (m + 2)2 1 m 3 + 8 m 2 + 4 m + 4−4 m 2 −4 m2 + 4 m + 4 y =− − =− = ossia C 2 2 m 4 (m + 1) 4 (m +1) 4 (m 2 + 1) y =− La distanza del punto C da P è: √ PC = [− (m + 2)2 2 m 3 + 8 m 2 + 4 m + 4−4 m 2−4 2 ] +[ ] = 4 ( m 2 + 1) 4 m2+ 4 1 √(m+ 2)4 +(m3 + 4 m2 +4 m)2 = 4 (m 2 +1) 1 √((m +2)2 )2 +[m (m +2)2 ]2 = 4 (m 2 +1) (m + 2)2 √1 + m2 = 2 4 (m +1) moltiplicando quest'ultima distanza fra C e P con quella fra A e P si trova l'area del rettangolo che 2 moltiplicata secondo la legge di Archimede per ci deve dare secondo quanto imposto dal testo 3 32 . Ossia: del problema 3 2 ( m + 2)2 32 2 2 1 2 (m + 2)3 32 1+ m ( m + 2) 1 +m = √ √ (m + 2)3 =32 = → → 2 2 3 4( m + 1) 3 3 4 3 3 (m + 2) =64 → m +2= √3 64 → m +2=4 → m =2