Elenco definitivo delle domande scritte della - e-Learning

Domande da 7 punti
Numeri complessi e Algebra lineare
Domanda 1. Dare la definizione di:
• numero complesso;
• somma e prodotto di numeri complessi;
• parte reale e parte immaginaria di un numero complesso;
• forma algebrica di un numero complesso;
• forma trigonometrica di un numero complesso.
Domanda 2. Fornire le definizioni di modulo, argomento e complesso coniugato di un numero
complesso. Elencare infine le proprietà del modulo e del complesso coniugato rispetto alla somma
e al prodotto complessi ed enunciare il teorema fondamentale dell’algebra.
Domanda 3. Nello spazio vettoriale Rn , dare la definizione di
• somma di vettori;
• prodotto per uno scalare;
• prodotto interno;
• norma.
Descrivere la relazione che c’è tra prodotto interno e angolo tra due vettori e scrivere le diseguaglianze di Schwarz e triangolare.
Domanda 4.
• Dare la definizione di combinazione lineare di vettori, indipendenza e dipendenza di vettori fornendo qualche esempio.
• Dare la definizione di base e di dimensione di uno spazio vettoriale fornendo qualche esempio.
Domanda 5. Spiegare (anche solo utilizzando esempi) cosa si intende per
• matrice;
• matrice trasposta;
• somma di matrici;
• prodotto di una matrice per un numero;
• prodotto di due matrici;
mettendo in evidenza le proprietà godute e non godute da tali operazioni.
Domanda 6. Dare la definizione di applicazione lineare fornendo esempi di applicazioni lineari e
applicazioni non lineari.
Domanda 7. Spiegare (anche solo tramite esempi) come si calcola il determinante di una matrice
di qualsiasi ordine ed elencare le proprietà del determinante.
Domanda 8. Dare la definizione di rango di una matrice fornendo qualche esempio di calcolo e
descrivere un’applicazione in cui viene usato il calcolo del rango di una matrice.
1
Domanda 9. Dare la definizione di matrice inversa e fornire una caratterizzazione delle matrici
che ammettono la matrice inversa. La matrice


−1 0
2
 3 −1 −2
1 −1 1
ammette la matrice inversa? Giustificare la risposta.
Domanda 10. Enunciare il teorema di Rouché-Capelli e descrivere il suo legame con il problema
della determinazione dell’indipendenza di un insieme di vettori.
Domanda 11. Descrivere (anche solo usando un esempio non banale) l’algoritmo di eliminazione
di Gauss per la soluzione dei sistemi di equazioni lineari.
Domanda 12. Dare la definizione di autovalore e autovettore di una matrice quadrata. Descrivere
un procedimento per il calcolo degli autovalori e autovettori. Fornire infine l’enunciato del teorema
spettrale per matrici simmetriche.
Domanda 13. Dare la definizione di forma quadratica e segno (definita positiva, negativa etc.) di
una forma quadratica. Enunciare il teorema di riconoscimento del segno di una forma quadratica
(si intende il teorema che permette di stabilire il segno a partire dai valori dei determinanti di
opportune sottomatrici della matrice associata alla forma quadratica).
Domanda 14. Dire che relazione c’è tra il segno di una forma quadratica (definita positiva,
negativa etc.) e il segno degli autovalori della matrice associata.
Domanda 15. Se q (h) è una foma quadratica definita positiva, che relazione c’è tra q (h) e khk?
E se q (h) fosse definita negativa?
Calcolo differenziale in più variabili reali
Domanda 16. Dare la definizione di arco di curva continua, di sostegno di una curva, di curva
chiusa, di curva semplice e di curva piana fornendo qualche esempio.
Domanda 17. Dare la definizione di derivata di una funzione vettoriale di una sola variabile
reale. Dire qual è il significato geometrico della derivata di una curva. Dare le definizioni di curva
regolare e di curva regolare a tratti.
Domanda 18. Spiegare cos’è la forma polare delle equazioni parametriche di una curva piana e
dire come si passa dalla forma polare della curva alla sua espressione in forma cartesiana.
Domanda 19. Dare la definizione di curva rettificabile e di lunghezza di una curva. Scrivere la
formula usata per calcolare la lunghezza di una curva r : [a, b] → Rm di classe C1 .
Domanda 20. Data una funzione f : [a, b] → R derivabile con derivata continua, scrivere la
formula che ne fornisce la lunghezza del grafico. Scrivere inoltre la formula che fornisce la lunghezza
di una curva data in forma polare: ρ = q (θ), θ ∈ [a, b].
Domanda 21. Dare la definizione di integrale di linea (di prima specie) di una funzione lungo
una curva fornendo anche un esempio.
Domanda 22. Dare la definizione di insieme di livello e di grafico per una funzione reale di più
variabili reali. Fornire degli esempi.
Domanda 23. Dare la definizione di intorno sferico di un punto e le definizioni dei seguenti limiti:
1. lim f (x) = ℓ,
x→xo
2. lim f (x) = +∞,
x→xo
2
3.
lim
kxk→+∞
f (x) = ℓ.
Domanda 24. Enunciare e dimostrare il teorema di permanenza del segno menzionandone
qualche conseguenza importante.
Domanda 25. Dato un insieme E ⊂ Rn , dare le definizioni di punto esterno, punto interno e
punto di frontiera per E. Un punto di frontiera appartiene necessariamente ad E? Fare qualche
esempio.
Domanda 26. Dare le definizioni di insieme aperto, chiuso, limitato e connesso per archi, facendo
qualche esempio. Enunciare il teorema di Weierstrass.
Domanda 27. Dare la definizione di derivata parziale, derivata direzionale, gradiente e differenziabilità.
Domanda 28. Enunciare la condizione sufficiente di differenziabilità per una funzione reale di
più variabili reali illustrandone l’utilizzo anche con esempi.
Domanda 29. Dare la definizione di differenziabilità per funzioni reali di più variabili reali
illustrandone il significato e la sua relazione con il piano tangente al grafico di una funzione.
Domanda 30. Descrivere il significato geometrico del gradiente e spiegare che relazione c’è tra
il gradiente e le curve di livello.
Domanda 31. Dire cos’è la matrice Hessiana ed enunciare il teorema di Schwarz illustrandolo con
un esempio. Che implicazioni ha il teorema di Schwarz relativamente alle proprietà della matrice
Hessiana?
Domanda 32. Scrivere le formule di Taylor con resto secondo Lagrange e con resto secondo
Peano per funzioni di più variabili reali specificandone le ipotesi di validità.
Domanda 33. Dare la definizione di punto di massimo relativo, di punto di massimo assoluto,
di punto di minimo relativo e di punto di minimo assoluto per funzioni reali di più variabili reali.
Enunciare il teorema di Fermat (condizione necessaria per l’esistenza di un punto estremante libero
per una funzione differenziabile).
Domanda 34. Fornire la definizione di matrice Jacobiana e la definizione di differenziabilità per
una funzione vettoriale di più variabili reali.
Domanda 35. Enunciare il teorema della derivazione
della funzione composta nel suo caso più
generale (f : Rn → Rm , g : Rm → Rq , h (x) = g f (x) ).
Integrali multipli ed equazioni differenziali
Domanda 36. Dare la definizione di integrabilità secondo Riemann di una funzione definita su
un generico dominio E ⊂ R2 limitato dando per nota la definizione di integrabilità su domini
rettangolari e fornire la definizione di insieme misurabile.
Domanda 37. Enunciare il teorema di Fubini (o di riduzione) su un dominio rettangolare e
fornendone un esempio di applicazione.
Domanda 38. Dare la definizione di insieme y–semplice e descrivere come si calcola un integrale
usando il teorema di Fubini su un insieme y–semplice. Fornire un esempio di applicazione.
Domanda 39. Dare la definizione di diffeomorfismo ed enunciare in modo preciso la formula per
il cambiamento di variabili negli integrali doppi.
Domanda 40. Descrivere le coordinate cilindriche e sferiche e spiegare come possono venire
utilizzate nel calcolo degli integrali tripli.
3
Domanda 41. Dare la definizione di equazione differenziale e di equazione differenziale in forma
normale. Mostrare anche solo tramite un esempio che un’equazione differenziale in forma normale
di ordine maggiore di uno può essere scritta come un sistema di equazioni differenziali del primo
ordine.
Domanda 42. Dire, anche solo tramite esempi, cosa sono le equazioni differenziali lineari a
coefficienti costanti e a coefficienti non costanti, omogenee e non omogenee.
Domanda 43. Descrivere la struttura dell’integrale generale di un’equazione differenziale lineare
di ordine n non omogenea.
Domanda 44. Descrivere, anche solo tramite un esempio non banale (cioè usare un’equazione
almeno di secondo grado) il metodo di soluzione di un’equazione lineare a coefficienti costanti non
omogenea.
Domanda 45. Sia f : R → R una funzione differenziabile con continuità il cui grafico è
rappresentato nella seguente figura:
f (y)
2
1
−4
−3
−2
−1
1
2
3
y
−1
−2
−3
Rappresentare in modo qualitativo il grafico della soluzione del seguente problema di Cauchy:
(
y ′ = f (y)
y(0) = 1
4
y
3
2
1
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
t
−1
−2
−3
Domanda 46. Scrivere il sistema di Lotka–Volterra preda predatore e descriverne l’andamento
qualitativo delle soluzioni.
Domanda 47. Descrivere il metodo di Eulero e il metodo di Eulero migliorato per la soluzione
numerica di equazioni differenziali ordinarie del primo ordine in forma normale.
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Domande da 12 punti
Domanda 48. Descrivere la forma trigonometrica di un numero complesso, descrivere come
si effettua la moltiplicazione di due numeri complessi dati in forma trigonometrica. Scrivere e
dimostrare la formula di Eulero.
Domanda 49. Descrivere la forma trigonometrica di un numero complesso, descrivere come si
effettua la moltiplicazione di due numeri complessi dati in forma trigonometrica. Dire quante sono
le radici n-esime di un numero complesso, descrivere come si trovano e come sono disposte nel
piano complesso dimostrando il tutto.
Domanda 50. Dare la definizione di integrale definito di una funzione vettoriale di variabile
reale r : [a, b] → Rm . Enunciare il teorema fondamentale del calcolo per funzioni vettoriali
di variabile reale. Scrivere e dimostrare la relazione che sussiste tra l’integrale del modulo e il
modulo dell’integrale di una funzione vettoriale di variabile reale.
Domanda 51. Data una funzione continua f : Rn → R, dire se l’insieme {x ∈ Rn : f (x) > 0} è
aperto, chiuso o nessuno dei due e dimostrare l’affermazione fatta. Inoltre enunciare e dimostrare
il teorema degli zeri.
Domanda 52. Dare la definizione di funzione differenziabile in un punto. Dimostrare che una
funzione differenziabile in un punto è anche continua e derivabile in quel punto.
Domanda 53. Definire le derivate direzionali. Enunciare e dimostrare la formula del gradiente.
Domanda 54. Enunciare il teorema della derivazione della funzione composta nei casi
1. g(x) = h (f (x)) con f : R2 → R, h : R → R;
2. p(t) = f (r(t)) con f : R2 → R, r : R → R2 .
Dimostrare il teorema nel secondo caso.
Domanda 55. Enunciare e dimostrare il teorema del valor medio per funzioni di più variabili e
descriverne una conseguenza.
Domanda 56. Data una funzione reale di più variabili reali definita su un insieme aperto, dire che
relazioni ci sono tra la natura (punto di massimo, di minimo o di sella) di un suo punto stazionario
e la matrice Hessiana calcolata in quel punto. Dimostrare almeno uno dei risultati citati.
Domanda 57. Descrivere la retta ai minimi quadrati mostrando come si ottengono le formule
usate per ottenere la pendenza e l’intercetta della retta.
Domanda 58. Dare la definizione di integrabilità secondo Riemann di una funzione di due variabili definita su un dominio rettangolare, definendo e spiegando tutti gli elementi usati nella
definizione.
Domanda 59. Descrivere le coordinate polari e calcolare l’integrale della Gaussiana:
Z
2
e−x dx.
R
Domanda 60. Dire cos’è il Problema di Cauchy ed enunciare i teoremi di esistenza locale e di
esistenza e unicità locale per il problema di Cauchy. Scrivere e risolvere un problema di Cauchy
che ammette più di una soluzione.
Domanda 61. Descrivere il metodo di soluzione delle equazioni differenziali a variabili separabili
fornendone la dimostrazione e qualche esempio.
Domanda 62. Descrivere e dimostrare la formula che fornisce l’integrale generale per le equazioni
differenziali lineari del primo ordine.
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Domanda 63. Ricavare e descrivere le soluzioni dell’oscillatore armonico smorzato al variare dei
valori delle costanti positive ν e κ:
y ′′ + νy ′ + κy = 0.
Domanda 64. Determinare una soluzione particolare dell’equazione per l’intensità di corrente
I(t) in un circuito RLC con forzante periodica:
I ′′ +
R ′
1
I +
I = cos (ω̄t) .
L
LC
(R, C, L sono costanti positive indicanti rispettivamente la resistenza, la capacità e l’induttanza
del circuito).
Domanda 65. Scrivere l’equazione logistica e l’equazione logistica con estinzione e studiarne in
modo qualitativo l’andamento delle soluzioni. Descrivere cosa succede se si considera un termine
di raccolta.
Domanda 66. Scrivere il sistema di equazioni differenziali (visto a lezione) che descrive due popolazioni in competizione per le stesse risorse. Utilizzando grafici opportuni, fornire una descrizione
qualitativa delle soluzioni al variare dei parametri del sistema.
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