Domande di Teoria per la prova orale

NOZIONI DI BASE
1. Nozione di:
a. minorante/maggiorante di un insieme numerico.
b. insieme numerico limitato inferiormente/superiormente.
c. estremo inferiore/superiore di un insieme numerico limitato inferiormente
/superiormente.
d. insiemi numerici separati.
e. elemento di separazione tra insiemi numerici separati.
f. insiemi numerici contigui.
2. Fornire la definizione di funzione reale di variabile reale: Fornire un esempio di funzione e
disegnarne il grafico in rappresentazione cartesiana o sagittale.
3. Dare la definizione di funzione ingettiva, e fornirne un esempio di funzione ingettiva e uno di
funzione non ingettiva in rappresentazione cartesiana o sagittale
4. Dare la definizione di funzione surgettiva, e fornirne un esempio di funzione surgettiva e uno di
funzione non surgettiva in rappresentazione sagittale
5. Dare la definizione di funzione bigettiva, e fornirne un esempio di funzione bigettiva e uno di
funzione non bigettiva in rappresentazione sagittale. Della funzione bigettiva proposta dare
anche la rappresentazione sagittale dell’inversa.
6. Descrivere l’operazione di restrizione di una funzione ad un insieme suggerendo un possibile
utilizzo della stessa.
7. Descrivere l’operazione di riduzione di una funzione suggerendo un possibile utilizzo della
stessa.
8. Descrivere almeno una delle “funzioni elementari”.
9. Dare la definizione di insieme simmetrico e di parità/disparità di una funzione definita su un
insieme simmetrico.
10. Dare la definizione di parte pari/dispari di una funzione.
11. Dare la definizione delle funzioni parte positiva e parte negativa di una funzione f descrivendo i
rapporti che sussistono tra queste e le funzioni f e |f|.
12. Fornire le condizioni di “componibilità” per le funzioni f : A→ B e g : C→ D necessarie per
poter considerare la funzione composta g o f . Si determini la funzione g o f specificando ciascun
insieme della terna ordinata di insiemi che la costituiscono.
13. Descrivere, fornendo un esempio, come varia il grafico y = f(x) di una funzione f quando
a. Si agisce in modalità additiva sulla variabile x
b. Si agisce in modalità additiva sulla variabile y
c. Si agisce in modalità moltiplicativa sulla variabile x
d. Si agisce in modalità moltiplicativa sulla variabile y
14. Fornire le condizioni di “componibilità” per le funzioni f : A→ B e g : C→ D necessarie per
poter considerare la funzione composta go f assegnando gli insiemi che la determinano come
terna ordinata di insiemi.
LIMITI, CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ
15. Commentare l’espressione matematica lim௫→௫బ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = ݈ evidenziando le ipotesi da fare sul
punto x0 , nei confronti dell’insieme di definizione della funzione f, per dar senso all’espressione
stessa, nel caso in cui:
a.
‫ݔ‬଴ ∈ ܴ
e
݈∈ܴ
b.
‫ݔ‬଴ ∈ ܴ
e
݈ = +∞
c.
‫ݔ‬଴ ∈ ܴ
e
݈ = −∞
d.
‫ݔ‬଴ = +∞ e
݈∈ܴ
e.
‫ݔ‬଴ = +∞ e
݈ = +∞
f.
‫ݔ‬଴ = +∞ e
݈ = −∞
g.
‫ݔ‬଴ = −∞ e
݈∈ܴ
h.
‫ݔ‬଴ = −∞ e
݈ = +∞
i.
‫ݔ‬଴ = −∞ e
݈ = −∞
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Dare la definizione di funzione continua in un punto.
Classificare i punti di discontinuità di una funzione.
Enunciare e commentare geometricamente il Teorema della permanenza del segno.
Enunciare il teorema sulla continuità della funzione inversa.
Enunciare e commentare il Teorema di Weierstrass.
Enunciare e commentare geometricamente il Teorema di Bolzano.
Enunciare e commentare geometricamente il Teorema degli Zeri.
Dare la definizione di funzione derivabile in un punto.
Fornire l’interpretazione geometrica/fisica della nozione di derivata prima di una funzione in un
punto.
Esprimere i rapporti che sussistono tra la nozione di derivabilità e quella di continuità di una
funzione in un punto fornendo teoremi e “contro”-esempi.
Enunciare il teorema di derivabilità della funzione composta di due funzioni.
Enunciare il teorema sulla derivabilità della funzione inversa.
Enunciare e commentare geometricamente/fisicamente il Teorema di Rolle.
Enunciare e commentare geometricamente/fisicamente il Teorema di Lagrange.
Fornire alcune conseguenze del Teorema di Lagrange.
Definire il concetto di funzione n volte derivabile in un punto.
Dare la definizione di Polinomio di Taylor di ordine n relativo ad una funzione f in un punto x0
(dell’insieme di definizione di f) esplicitando sotto quali ipotesi detto Polinomio esiste.
Esprimere, utilizzando la simbologia relativa agli ordini di infinitesimo (simbolo di Landau “o
piccolo”), la “bontà” dell’approssimazione della funzione, in un intorno del punto x0, mediante il
relativo Polinomio di Taylor.
Descrivere come è possibile studiare il segno di una funzione regolare nelle vicinanze di un suo
zero (punto in cui la funzione si annulla).
Descrivere lo studio della monotonia di una funzione (mediante lo studio del segno di r0(x)).
Descrivere lo studio della convessità di una funzione (mediante lo studio del segno di r1(x)).
Descrivere le fasi previste dallo studio del grafico di una funzione.
Descrivere la ricerca di eventuali asintoti obliqui esplicitando sotto quali ipotesi tale ricerca va
condotta.
TEORIA DI INTEGRAZIONE
39. Fornire la definizione di integrale di Riemann di una funzione limitata in un intervallo chiuso e
limitato [a, b].
40. Illustrare sinteticamente e giustificare il metodo di integrazione per parti. Fornire un esempio di
integrale cui il metodo è applicabile.
41. Illustrare sinteticamente il metodo di integrazione per sostituzione. Fornire un esempio di
integrale cui il metodo è applicabile.
42. Rapporti tra la teoria dell’integrale definito e la teoria del calcolo differenziale. Commentare,
giustificandoli, i risultati principali.
43. Spiegare la differenza tra integrale definito e integrale indefinito.
44. Interpretazione geometrica di ‫ࢇ[׬‬,࢈] ࢌሺ࢞ሻࢊ࢞ (integrale esteso ad un intervallo [a,b]) e
ࢉ
dell’integrale definito ‫ ࢉ׬‬૛ ࢌሺ࢞ሻࢊ࢞ tra due numeri c1 e c2.
૚
45. Enunciare e dimostrare il Teorema fondamentale del calcolo integrale.
FUNZIONI DI DUE VARIABILI
46. Dare la definizione di derivata parziale di una funzione in un punto.
47. Dare la definizione di derivata direzionale di una funzione in un punto lungo un versore.
48. Fornire l’interpretazione geometrica di derivata direzionale (lungo un versore v) di una funzione
f in un punto di coordinate (x0,y0).
49. Fornire l’interpretazione geometrica della nozione di differenziabilità di una funzione f in un
punto di coordinate (x0,y0).
50. Fornire esempi di funzioni derivabili ma non differenziabili (motivando opportunamente le
affermazioni fatte)
51. Fornire esempi di funzioni derivabili ma non continue (motivando opportunamente le
affermazioni fatte)
52. Descrivere le proprietà del vettore gradiente di una funzione differenziabile.
53. Dati un insieme aperto A di R2 ed una funzione f : A→ R, dire cosa sono un punto di minimo e
un punto di massimo locali per f su A.
54. Dare la definizione di funzione convessa e di funzione concava; ed enunciare un criterio per
verificare la convessità di una funzione.
55. Fornire un esempio di una funzione con un punto di minimo, di una funzione con un punto di
massimo, di una funzione con un punto di sella.
56. Descrivere le fasi della ricerca dei punti estremanti di una funzione di due variabili.
GEOMETRIA
Enunciare e commentare un teorema a scelta
Fornire la definizione di …