Laboratorio I

LABORATORIO 1
1. Esercizi introduttivi
Leggere i paragrafi 2.1.1 e 2.1.2 del capitolo 1 delle dispense.Gli operatori aritmetici di base si inseriscono
da tastiera e sono riportati nel riquadro Arithmetic Operators a pag.15 degli appunti. In alternativa si
possono selezionare usando i tasti della tavolozza Calculator
1.1. Verificare che per x := 2
2
y := x − 3.33 assegnazioni delle variabili
y = 0.67 valutazione della y
Leggete i paragrafi 1.5 e 2.2.1
1.2 definire α := e
2
a −4
e valutarne il valore
perchè è rosso??
α=
ricordate che per scrivere alfa si specifica "a ctrl g"
oppure si apre la barra Greek Menù View-->Toolbars-->Greek
La radice quadrata è nella tavolozza Calculator:
Menù View-->Toolbars-->Calculator
Fate la correzione
Leggete il paragrafo 2.2.2
1.3. Definire un intervallo di x da 1 a 6 con incrementi unitari. Stampare i valori di x
x=
x := 1 .. 6
1
2
3
4
5
6
NB le variabili intervallo non sono vettori!!!! Infatti
1.4
x =
2
Definiamo una variabile di range che vada da 1 a 7 con incrementi di 1.5
z=
z := 1 , 2.5 .. 7
1
2.5
4
5.5
7
1.5. Definire unintervallo x che vari da 10π a 0 con decrementi di 2π. Stampate la x
1.6. Definire il seguente intervallo per la variabile a; a: 20,17,14 fino a -1. Stampare i valori di a
Leggete il paragrafo 1.6
1.6 Verificare che per
x := 1
x−4
y := 2
z := 3
x−4
y+ 2
⋅ z − 2 = −4.25
1.7. Verficare che per
x := 1.56
y := −34.78
( x − 4) + ( z − 2 )
= −0.627
y+ 2
z := 25
mentre
(x − 4) +
(z − 2)
y+ 2
= −3.142
2. Vettori e Matrici
Leggete il paragrafo 2.2.3
Per inserire vettori e matrici usiamo il Menù Insert--> Matrix o apriamo la barra Matrix Menù
View-->Toolbars-->Matrix
2.1 Costruiamo un vettore colonna A che contenga 6 righe. Definiamo quindi una matrice che contenga 6 righe e 1
colonna. Costruiamo un vettore riga B di 6 colonne. Definiamo quindi una matrice di 1 riga e 6 colonne
0.67
1.18
3.89
A :=
B := ( 4.78 18.67 −2.33 8.65 10.35 1.44 )
−4.78
13.89
5.78
Fate il prodotto del terzo elemento di A per il quarto di B
A ⋅B
2
0, 3
= 33.649
Infatti
3.89⋅ 8.65 = 33.649
L'
indice della matrice si specifica usando "[" o cliccando il simbolo Xn nella barra Matrix
2.2 Costruiamo una matrice C di dimensione 3x3 che contenga i numeri da 1 a 9
1 2 3
C :=
4 5 6
7 8 9
Facciamo il prodotto dell'
elemento di C seconda riga e terza colonna per il quarto elemento del vettore colonna A
C
⋅ A = −28.68
1, 2
3
2.3 Ancora sulla costruzione delle matrici. Se i valori di tutti gli elementi di un vettore seguono una stessa regola, tale
regola può essere usato per definire l'
elemento generico del vettore e quindi il vettore stesso. Consiveriamo un vettore P
formato da 7 numeri random compresi tra 0 e 1.
La funzione rnd(a) genera un numero random compreso tra 0 e a. Le funzioni e la relativa sintassi si possono leggere ed
inserire usando il Menù Insert --> Function o cliccando l'
icona f(x) nella barra degli strumenti. Se se ne conosce il
nome e la sintassi possono essere introdotte direttamente da tastiera. Leggete con attenzione i paragrafi 2.3 e 2.4
degli appunti
Si definisce una variabile di range b che assuma i valori degli indici del vettore cioè che vari da 0 a 6. Definiamo
l'
elemento generico del vettore Pb usando la funzione random
−3
1.268 × 10
b := 0 .. 6
P := rnd( 1 )
b
0.193
0.585
0.585
P=
0.35
0.823
0.174
0.71
2.4 Costruisco adesso un vettore che contiene i numeri : 0.78, 1, 23, 4.89, 13.98, 8.666.Utilizzo Insert -->Matrix e
chiamo il vettore Q. In alternativa posso definire un vettore con l'
aiuto delle variabili di range. Occorre definire una variabile
di range (ad esempio k) che copra i valori degli indici del vettore quindi che vada da 0 a 5. Chiamo il vettore M.
0.78
Uso insert -->Matrix
Q :=
0.78
verifico il valore di Q
1
1
23
Q=
4.89
13.98
23
4.89
13.98
8.666
8.666
Uso le variabili di range
k := 0 .. 5
M :=
Abbiamo costruito il vettore colonna M.
Infatti verificate che
k
0.78
1
23
4.89
13.98
8.666
I numeri si introducono
separati da una virgola.
0.78
1
M=
23
4.89
M = 23
2
13.98
8.666
2.5 1) Costruite un vettore A di 30 elementi che contenga i primi 30 numeri pari incluso lo zero senza inserire i numeri a
mano.
Individuate una regola per definire un numero pari (osservate che un qualunque numero moltiplicato per 2 è
sempre pari). Se j è l'
indice del vattore allora 2j sono i primi j numeri pari.
Definite il generico elemento del vettore usando tale regola (Considerate gli esercizi 2.3 e 2.5)
L'
elemento generico di A si può indicare A := 2 ⋅ j
j
Stampate il vettore per verificarne il contenuto e fate un grafico a punti a uno a barre
j := 0 .. 29
A := 2⋅ j
0
j
A=
0
0
1
2
2
4
3
6
4
8
5
10
6
12
7
14
8
16
Spiegate i risultati dell'esercizio 2.5
NB Ora salvate il foglio di lavoro con un nome a piacere e chiudetelo
3 Funzioni e grafici
NB create un nuovo foglio di lavoro
Leggete i paragrafi 2.3 e 2.4
3.1 Mathcad possiede molte funzioni matematiche ed altre nuove possono essere create
Le funzioni principali sono raccolte nella barra Calculator (Menù View ->Toolbars-->Calculator)
log( 100) = 2
ln( 100) = 4.605
Il formato del risultato è quello di default.
ln( 100) = 4.60517
Ho cambiato il Formato solo di questo numero Menù Format--> Result dopo
averlo evidenziato con il mouse
exp( 4.60517) = 100
sin
π
L'
argomento delle funzioni trigonometriche è in radianti.
= 0.707
4
5 = 2.236
5 − 2 = 0.486
−4 = 2i
dist( x, y) :=
2
2
x +y
calcoliamo il valore della funzione nei punti x=2.78
e y=16.778
dist( 2.78 , 16.778) = 17.007
NB chiudete il foglio di lavoro
Aprite un nuovo foglio di lavoro
3.2
Grafico di una funzione. Definiamo la funzione f(x) e plottiamone il grafico
Leggete il paragrafo 3.1
f ( x) := sin( 2 ⋅ x) + 1.5
3
3
2
Cambiamo il dominio delle x in
modo che x sia compresa tra -5 e
5. Clicco sul grafico e cambio -10
con -5 e 10 con 5
2
f ( x)
f ( x)
1
0
1
10
0
10
x
0
5
0
5
x
3
2
Modifico l'
apparenza grafica del plot. Clicco due volte sul grafico con il
tasto sinistro del Mouse. Seleziono Traces. Poi Lines-->Dash;
Color-->Blu; Weight-->2 (Leggete il Paragrafo 3.4)
f ( x)
1
0
5
0
x
5
3. 3 Prova di grafici multipli Leggete il Paragrafo 3.2
funzioni sin(α), sin(2α)+2, α/4 da digitare nell'
apposito spazio sull'
asse delle ordinate,
separandole con una virgola e da rappresentare in [-10,10]
sin( α )
sin( 2⋅ α ) + 2
α
0
4
10
0
10
α
3.4 Grafico di un vettore contro un altro. I vettori devono avere le stesse dimensioni.
Leggete il Paragrafo 3.3.2
vx :=
−1
10
0
9
1
7
2
3
vy :=
5
4
4
3
5
0
6
−1
10
5
vy
0
5
5
0
5
10
vx
In alto e'così genera il plot MathCad. In realtà i vettori descrivono una
situazione discreta e non continua come nel caso di una funzione.
Quindi un rappresentazione a punti è più appropriata. Inoltre ho
modificato il range di definizione delle ordinate tra 12 e -5 per rendere
il grafico più leggibile
10
vy
0
5
0
5
10
vx
3.5 Grafico di un vettore. Costruisco il vettore A che contiene 6 numeri a piacere
LEGGETE il Paragrafo 3.3.1
0.78
12.56
A :=
8.78
Per plottare il vettore devo definire una variabile di range che assuma i valori degli
indici del vettore e cioè da 0 a 5
6.45
3.56
2.45
m := 0 .. 5
Plotto quindi A in funzione di m
m
15
Anche in questo caso il vettore descrive una situazione discreta
percui una rappresenrazione a punti o a barre è più appropriata.
Ho cambiato il range delle ascisse tra -1 e 6 per rendere il grafico
più leggibile
10
Am
5
15
0
0
2
4
15
6
m
10
10
Am
Am
5
0
5
0
5
m
0
0
5
m
3.6 Riportate in un unico grafico i vettori definiti negli esercizi 2.1 e 2.3
3.7 Riportare in grafico una funzione definita in un dominio a piacere
1
Data la funzione g( z) :=
1+z
2
Il suo grafico nel dominio di defoult e'al solito:
1
g( z)
0.5
0
10
0
10
z
Voglio ora definire come dominio per la variabile indipendente tra -6 e 6
Definisco quindi una variabile di range h che assume questi valori.
g(h) fornisce i valori della funzione in questi punti.
h := −6 , −5.9 .. 6
1
g( h)
0.5
0
5
0
5
h
3.8 Fate ora il grafico della funzione dell'
esercizio 3.7 ma definita SOLO nei punti corrispondenti ai numeri interi tra -5 e 5.
Fate un grafico per punti
4. Formato dei numeri
Leggete il Paragrafo 4 del capitolo 1 delle dispense
Aprite due fogli di lavoro. Affiancateli verticalmente. Usate Menù Window--> Tile Vertically (pag. 8 degli appunti).
In uno fate gli esercizi 4.1-4.4 senza modificare le opzioni di defaoult. Nell'
altro foglio ripete gli esercizi ma
ponete la Zero Tolerance (o Zero Threshold) al valore massimo possibile (qual è?) e il numero di cifre decimali del
risultato uguale a 5. (Menù Format Result dopo aver cliccato con il mouse su un punto qualsiasi del secondo foglio
--le modifiche avranno effetto su tutto il foglio). Confrontate i risultati e scrivete i vostri commenti
Esercizio 4.1 . Formato dei numeri
R costante dei gas
k costante di Boltzmann
Na numero di Avogadro
R = k⋅ Na
k := 1.38066⋅ 10
− 23
23
Na := 6.02214 ⋅ 10
Vediamo i valori di K e Na che stampa MathCad. Usiamo uguale di valutazione
23
k=0
Perche'se k=0,
k⋅ Na
Na = 6.022 × 10
k⋅ Na = 8.315
da'il valore corretto? Nell'
altro foglio di lavoro cosa è successo?
Esercizio 4.2 Costante di Planck h
Definiamo h
− 34
h := 6.626068⋅ 10
Valutate il valore di h
Calcolate
h
3
e
10
100 3
⋅h
Come spiegate i risultati?
In cosa differiscono i valori stampati da MathCad nei due fogli di lavoro?
307
Esercizio 4.3. più grande numero che può essere rappresentato in Mathcad è 10
calcolo dà un risultato più piccolo di 10
− 307
− 307
, il più piccolo è 10
sarà sostituito con 0. Risultati più grandi daranno luogo ad un errore.
l
s := 10
− 308
w := 10
308
vediamo i valori di s e w che stampa MathCad nei due fogli di lavoro.Usate l'
uguale di valutazione
s=0
w=
In cosa differiscono i valori stampati da MathCad nei due fogli di lavoro?
N.B. Chiudete i due fogli di lavoro
5. Uso delle unita'di misura. Gas Reali.
Leggere il Paragrafo 5
N.B. aprite un nuovo foglio di lavoro
Esercizio 5.1 NB MatCad associa R ad una costante relativa ad una scala di temperatura. Se vogliamo usare tale
simbolo per la costante dei gas dobbiamo definirla Ricordiamo che MathCad usa di default il sistema SI
infatti
R = 0.556 K
Definiamo R come costante dei gas
. Se un
R := 8.31451 ⋅
Le unità di misura si inseriscono dopo il valore numerico e dopo aver
digitato *, nel quadratino nero che compare
joule
K⋅ mol
si possono cambiare le unità di misura cliccando
sul risultato R e inserendo le nuove unità di misura
nel quadratino nero
2
R = 8.315
kg m
2
s K mol
R = 0.082
liter⋅ atm
K⋅ mol
Calcoliamo il volume molare di un gas alla T=273.15 K e alla pressione di 1.013 10^5 Pa. Ricordiamo che P⋅ V = R⋅ T
V :=
R⋅ 273.15⋅ K
3
5
( 1.013⋅ 10) ⋅ Pa
V = 21.291
m
V = 0.021
mol
liter
NB Mathcad riconosce la Mole
come unità di misura!!!!!
mol
Il risultato viene espresso di default nel sistema SI. L'
unità di misura del risultato può essere modificata
Calcoliamo a che pressione una mole di gas occupa un volume di 22.414 litri?Abbiamo la R in joule/K*mol per cui
dobbiamo esprimere il volume in metri cubici
3
22.414⋅ liter = 0.022 m
P :=
R ⋅ 273.15⋅ K
3
0.022⋅
m
5
5
P = 1.032 × 10 Pa
P = 1.032 × 10 Pa
P = 1.019 atm
mol
Esercizio 5.2 Equazione di Van der Waals
P( Vm , T) =
R⋅ T
Vm − b
−
a
2
Vm
6
Prima di procedere definiamo una nuova unita'di misura di comodo il megapascal MPa := 10 ⋅ Pa
a e b possono essere calcolati noti i parametri critici temperatura e pressione del gas. Per la molecola
di anidride carbinica abbiamo:
Tc := 305.33⋅ K
p c := 4.8721⋅ MPa
b :=
Verifichiamo i valori delle costanti a e b
5
a = 0.558
kg m
2
R ⋅ Tc
8⋅ p c
2
a :=
27⋅ R ⋅ Tc
2
64⋅ pc
3
−5 m
b = 6.513 × 10
2
s mol
mol
Esercizio 5.3. Calcoliamo la pressione di un gas che occupa un volume molare di 22.414 metri cubici a 273.15 K
3
Vm := 22.414⋅
P( Vm , T) :=
m
T := 273.15⋅ K
mol
R⋅ T
−
Vm − b
a
2
Vm
Possiamo esprimere il risultato in diverse unita'di misura, Semplicemnete digitando le unita'richieste
nel quadratino nero vicino alle unita'di misura
−4
P( Vm , T) = 10 × 10
atm
P( Vm , T) = 101.325 Pa
P( Vm , T) = 0.03 in_Hg
P( Vm , T) = 0.76 torr
LABORATORIO 1
ESERCIZI RIASSUNTIVI.
NB create un nuovo foglio di lavoro per ogni esercizio
0) Costruite un vettore di 10 numeri definiti da voi a piacere.Stampate il vettore per verificarne il contenuto e fate un
grafico a punti a uno a barre (Considerate l'
esercizio 3.5)
1) Costruite un vettore A di 8 elementi che contenga i primi 8 numeri pari escluso lo zero. Fate il grafico del vettore
Traccia.
Individuate una regola per definire un numero pari (osservate che un qualunque numero moltiplicato per 2 è
sempre pari). Se j è l'
indice del vattore allora 2j sono i primi j numeri pari.
Definite il generico elemento del vettore usando tale regola (Considerate gli esercizi 2.3 e 2.5)
L'
elemento generico di A si può indicare A := 2⋅ j
j
Stampate il vettore per verificarne il contenuto e fate un grafico a punti a uno a barre
2) Fate il grafico della funzione
2
0.078⋅ x + 0.678⋅ x − 55.45⋅ sin( x)
Modificate il dominio delle x tra -5 e 7
Usate una linea a tratti di spessore 3 e colore blu
3) Definiamo un vettore A di 10 numeri random compresi tra 0 e 5.Definiamo un secondo vettore B che contenga i numeri
interi da 1 a 10. Entrambi i vettori devono essere definiti usando l'
elemento generico. I valori non vanno inseriti a
mano!!!!
Stampate i due vettori per verificare che siano corretti.
Fate il grafico per punti del vettore A contro il vettore B.
4) Costruire un vettore che contenga i primi 20 numeri pari incluso lo zero. Riportare in grafico i dati contenuti nel vettore.
Traccia:
Procedere come nell'
esercizio 1)
5) Costruire un vettore che contenga i primi 20 numeri dispari. Riportare in grafico i dati contenuti nel vettore.
Traccia:
Procedere come nell'
esercizio precedente
4
2
6) Data la funzione x − 1.48⋅ x + 5.76⋅ 10
Fare un grafico della funzione nell'
intervallo x=[-5,7]
Calcolare il valore della funzione nel punto x=0
7) Calcolate la pressione (in atm) di 500g di CO2 in un volume di 5 litri a 250 K. Possiamo usare queste unita'
di misura invece di quelle del sistema SI. Oppure usare le unità SI e trasformare il risultato in atm alla fine.
Occorre pero'che tutti i dati del problema vengano forniti nelle stesse unità.
8) Riportate in un grafico a punti il vettore dell'
esercizio 4 contro il vettore dell'
esercizio 5