Topologia differenziale - Dipartimento di Matematica

Topologia differenziale a.a. 2013‐2014, I semestre, M. Dedò Programma presunto (bozza dell’11 novembre) 
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Varietà differenziabili, applicazioni differenziabili, diffeomorfismi, spazi tangente ([M1], §1) . Punti critici/regolari e valori critici/regolari. Teorema di Sard ([M1], §2). Grado modulo 2 ([M1], §4). Varietà orientate e grado in Z ([M1], §5). Campi vettoriali, teorema di Hopf‐Poincaré ([M1], §6). Numero di Eulero ([R], [2], [4]). Immersioni e submersioni ([GP], cap. 1, §3 e 4). Posizione generica; omotopia e stabilità ([GP], cap. 1, §5 e 6). Funzioni di Morse ([GP], cap. 1, §7). Trasversalità e teoria dell’intersezione ([GP], cap. 2, §3 e 4). Cenni alla teoria di Morse. Qualche esempio di applicazioni (numeri di allacciamento; nodi; classificazione delle superfici;…). Testi di riferimento [B] Banchoff, Torus decomposition of regular polytopes in 4‐space, in “Shaping space”, a cura di Senechal e Fleck, Birkhauser, 1988 [G] Gowers, The work of John Milnor, reperibile in rete [GP] Guillemin Pollack, Differential topology, Prentice Hall, 1974, reperibile in rete [H] Hirsch, Differential topology, Springer, 1976 [M1] Milnor, Topology from the differentiable viewpoint, Landmarks in mathematics 1997 (ed. orig del 1965), reperibile in rete [M2] Milnor, Morse theory, Princeton University Press, 1963 [R] Richeson, Euler’s gem, Princeton University Press, 2008 [W] Wallace, Differential topology, first steps, Benjamin, 1968 Ulteriori segnalazioni bibliografiche saranno date durante il corso. Siti utili [1] http://www.dimensions‐math.org/ qui si può vedere online o scaricare la serie di film di Ghys “Dimensions”. In particolare il settimo e l’ottavo film riguardano la fibrazione di Hopf. [2] http://www.geom.uiuc.edu/docs/education/institute91/ qui si possono scaricare le note del seminario Geometry and the imagination, tenuto nel 1991 nell’università di Minneapolis, e diretto a un pubblico “misto”. [3] http://matematita.science.unitn.it/braids/download.html qui si possono vedere on line o scaricare quattro film sulle trecce: in particolare il terzo riguarda la relazione fra trecce e nodi e vi si può vedere una sorta di “dimostrazione” del teorema di Alexander (ogni nodo è chiusura di una treccia). [4] http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/euler/ un sito che raccoglie venti diverse dimostrazioni della relazione di Eulero [5] http://www.youtube.com/watch?v=0z1fIsUNhO4 un film sulla proiezione stereografica (e il legame tra trasformazioni di Moebius e movimenti rigidi della sfera) Modalità d’esame A (forma standard) Colloquio orale sugli argomenti trattati nel corso, riferendosi ai due testi [GP] e [M1]. In alternativa, si può proporre (e preliminarmente concordare con la commissione) un diverso sottoinsieme degli argomenti trattati nei testi di riferimento qui elencati. Modalità d’esame B (riservata agli studenti che frequentano in maniera attiva il corso 2013‐‘14) Si richiedono allo studente 4 cose 1. (leggere) si vuole verificare che lo studente abbia acquisito gli strumenti per essere in grado di leggere autonomamente argomenti connessi a ciò che viene trattato nel corso. L’argomento sarà concordato e in linea di massima andrà scelto da un apposito elenco di cui qui di seguito si vede un inizio e che via via verrà aggiornato a lezione; 2. (raccontare) lo stesso argomento andrà esposto agli altri studenti nelle lezioni finali del corso (in linea di massima negli incontri del mese di gennaio); 3. (scrivere) lo stesso argomento andrà esposto in forma scritta e presentato (in linea di massima contestualmente all’esposizione orale di cui sopra); 4. (ripensamenti) alla fine del corso andrà riconsegnato il secondo dei due questionari distribuito a inizio corso (e disponibile in questa pagina); si vuole verificare, anche attraverso il confronto fra i due questionari consegnati a inizio e fine corso, come il corso possa aver contribuito alla formazione, e soprattutto al riconoscimento, di alcune idee trasversali in matematica. I punti 1, 2 e 3 devono essere gestiti a piccoli gruppi (due o tre studenti). Nel punto2 si può e nel punto 3 si deve distinguere il contributo personale di ciascuno studente. Il punto 4 deve essere gestito individualmente. NB queste modalità sono valide solo fino a settembre 2014. Elenco di argomenti per i primi tre punti della modalità d’esame B 
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NB NB Equivalenza fra diverse possibili definizioni di sottovarietà di Rn e discussione del rapporto con la definizione di varietà astratta. Dimostrazione del teorema fondamentale dell’algebra usando i punti critici (p. es. [M1], pagg.8‐9). Classificazione delle superfici a meno di diffeomorfismo (p.es. [W] capp 6‐7; oppure [H], cap. 9). Dimostrazione del teorema di Sard (p.es. [M1] cap3). Classificazione delle varietà di dimensione 1 a meno di diffeomorfismo (p.es. [M1] appendice). La fibrazione di Hopf e le decomposizioni che induce sui politopi ([B]). La costruzione di Pontryagin ([M1], cap. 7). Intorno tubolare ([M1], problemi 11 e 12 del cap. 8; vedi anche [H], cap. 4) Embedding di una varietà in uno spazio euclideo (p.es [GP], cap. 1, §8). Numeri di allacciamento e teorema di Jordan (p.es [GP], cap. 2, §5). Teorema di Borsuk Ulam (p.es [GP], cap. 2, §6). Teoria dei punti fissi di Lefschetz (p.es [GP], cap. 3, §4). Le mappe da una varietà alla sfera della stessa dimensione sono caratterizzate dal grado (teorema di Hopf: p.es [GP], cap. 3, §6). Gli argomenti qui elencati NON sono fra loro equivalenti. Questa lista va intesa come (solo!) esemplificativa: si possono utilizzare altri argomenti, direttamente proposti degli studenti, previo averli presentati alla commissione con un certo anticipo.