Sviluppo in Serie Ortonormale di una Funzione

Graziano Donati
Rappresentazione in serie ortonormale di funzioni
Massimi e minimi di una funzione in una variabile
Data una funzione y = f(t) dipendente da una sola variabile t, i valori di tale variabile, in corrispondenza dei quali, la
funzione f(t) assume i suoi valori massimi o i suoi valori minimi, si ottengono, calcolando la derivata della funzione f(t)
e risolvendo l'equazione f '(t) = 0
df(t)
=0
dt
&
t1,t2, .... punti di massimo o di minimo
Punti nei quali la derivata si annulla
t1
t2
Massimi e minimi di una funzione di più variabili
Data una funzione y = f(c1,c2,...,cn ) dipendente da n variabili c1,c2,...,cn, il valore della i-esima variabile indipendente ci ,
in corrispondenza della quale, la funzione y = f(c1,c2,...,cn) assume i suoi valori massimi o i suoi valori minimi, si
ottengono, calcolando la derivata parziale della funzione y = f(c1,c2,...,cn) fatta rispetto alla variabile i-esima ci e
risolvendo l'equazione 𝜕𝜕f (c1,c2,...,cn) / 𝜕𝜕𝑐𝑐𝑖𝑖 = 0
2f(c1,c2,...,c n)
=0
2c i
&
c, .... punto di massimo o di minimo
Integrale indefinito di una funzione
Data una funzione y = f(t), si chiama integrale indefinito della funzione f(t), la famiglia di funzioni F(t) + c (con c
costante arbitraria), tale che, la sua derivata è uguale alla funzione di partenza f(t). Ovvero:
# f(t) dt = F (t) + c
dF (t) dc dF (t)
dF (t)
d6
@=
=
=
= f(t)
dt F (t) + c
dt + dt
dt + 0
dt
&
Esempio:
# t dt = 13 t + c
2
3
infatti:
d :1 3
D = d : 1 t 3D + d 6 c @ = 3 t 2 + 0 = t 2
dt 3 t + c
dt 3
dt
3
Integrale definito di una funzione
Si chiama integrale definito di una funzione y = f(t) calcolato rispetto a t, nell'intervallo [t1,t2], l'area sottesa dal grafico
della funzione f(t), dall'asse delle ascisse e dalle rette t = t1 e t = t2. Il valore di tale area, si ottiene calcolando l'integrale
indefinito della funzione nel punto t = t2 e sottraendo ad esso, il valore dell'integrale indefinito della funzione nel punto t
= t1. Ovvero:
#
t1
t2
f^ t h dt = 6 F ^ t h@ tt = F ^t2 h - F ^t1 h
2
1
Esempio:
#
4
2
4
- 8 = 56
t 2 dt = : 1 t 3D = 13 ^ 4 h3 - 13 ^2 h3 = 64
3
3
3
3 2
Integrale definito di una differenza tra due funzioni
L'integrale definito della differenza tra due funzioni f1(t) e f2(t), rappresenta l'area compresa tra il grafico di f1(t), il
grafico di f2(t) e le due rette t = t1 e t = t2
f1(t)
#
t1
t2
6 f1 ^ t h - f2 ^ t h@ dt
f2(t)
t1
t2
Integrale definito del quadrato di una differenza tra due funzioni
L'integrale definito del quadrato della differenza tra due funzioni f1(t) e f2(t), rappresenta l'area compresa tra il grafico
sempre positivo di [f1(t)- f2(t)]2 , l'asse delle ascisse e le due rette t = t1 e t = t2.
f1(t)
f2(t)
f1(t) - f2(t)
[f1(t) - f2(t)]2
#
t1
t2
6 f1 ^ t h - f2 ^ t h@2 dt
Funzioni ortonormali
Due funzioni f1(t) e f2(t), definite in un dato intervallo [t1,t2] sono dette ortonormali nell'intervallo [t1,t2], se e solo se:
#
t2
f1 ^ t h f2 ^ t h dt = 0
t1
Insieme di funzioni ortonormali
Un insieme di n funzioni {f1(t), f2(t), ... , fn(t)} definite in un certo intervallo [t1,t2], è detto un insieme di funzioni
ortonormali, se e solo se:
#
fi ^ t h fj ^ t h dt = (
t2
t1
0 se i ! j
1sei=j
Approssimazione di una funzione f(t) mediante sviluppo in serie ortonormale
Data una funzione y = f(t) definita in un dato intervallo [t1,t2], ci proponiamo di approssimare tale funzione, per mezzo
di una combinazione lineare di n assegnate funzioni ortonormali su tale intervallo {f1(t), f2(t), ... , fn(t)} a coefficienti
c1,c2,...,cn, determinando tali coefficienti, in modo tale che l'approssimazione risulti la migliore possibile. Ovvero:
f^ t h c c1 f1 ^ t h + c2 f2 ^ t h + ... + c n fn ^ t h =
/ c f ^t h
n
i i
i=1
I coefficienti incogniti c1,c2,...,cn devono essere scelti in modo tale che l'approssimazione risulti la migliore possibile.
Ponendo c1f1(t)+c2f2(t)+...+cnfn(t) = g(t) possiamo scrivere:
f^ t h c g(t)
dove g(t) è la funzione che approssima la funzione f(t) nell'intervallo [t1,t2]. L'errore compiuto in tale approssimazione, è
ovviamente dato da:
f (t) = f^ t h - g(t)
Per minimizzare tale funzione errore, decidiamo di minimizzare l'energia media di tale funzione errore nell'intervallo
[t1,t2], (l'energia media della funzione errore nell'intervallo [t1,t2] è data dall'integrale della funzione ε2(t), calcolato tra t1
e t2, diviso per l'ampiezza dell'intervallo stesso [t1,t2]). Quindi, cerchiamo di minimizzare la quantità:
1
fr 2 = t t1
2
Poichè ε(t) = f(t) - g(t) possiamo anche scrivere:
1
fr 2 = t t1
2
#
t2
t1
#
t2
f 2 ^ t h dt
t1
6 f^ t h - g^ t h@2 dt
poichè g(t) = c1f1(t)+c2f2(t)+...+cnfn(t), abbiamo anche:
1
fr 2 = t t1
2
#
t1
t2
6 f^ t h - ^c1 f1 ^ t h + c2 f2 ^ t h + ... + c n fn ^ t hh@2 dt
Tale quantità, risulta quindi funzione degli n coefficienti incogniti c1,c2,...,cn. Quindi, possiamo scrivere:
1
fr 2 ^c1,c2,...,c n h = t t1
2
#
t2
6 f^ t h - ^c1 f1 ^ t h + c2 f2 ^ t h + ... + c n fn ^ t hh@2 dt
#
t2
> f^ t h -
t1
ed anche:
1
fr 2 ^c1,c2,...,c n h = t t1
2
t1
/
n
i=1
2
c i fi ^ t hH dt
e sviluppando il quadrato del binomio otteniamo:
1
fr 2 ^c1,c2,...,c n h = t t1
2
#
t1
t2
/
> f2 ^ t h - 2f^ t h
n
i=1
c i fi ^ t h + e
/
n
i=1
2
c i fi ^ t h o H dt
Per determinare il valore del generico coefficiente numerico ci che minimizza la funzione, calcoliamo la derivata
parziale della funzione fatta rispetto a ci e poniamo il risultato uguale a zero, dopo di ché, risolviamo l'equazione
ottenuta rispetto a ci. Abbiamo allora:
2fr 2 ^c1,c2,...,c n h
2 ) 1
= 2c
t2 - t1
2c i
i
#
t1
t2
/ c f ^ t h + e / c f ^ t ho H dt 3
> f ^ t h - 2f^ t h
2
n
n
2
i i
i i
i=1
i=1
L'integrale, può essere spezzato in tre integrali, ovvero:
2fr 2 ^c1,c2,...,c n h
2 ( 1
= 2c
t2 - t1
2c i
i
#
t1
t2
2 ) 1
f2 ^ t h dt 2 - 2c
t2 - t1
i
#
t1
t2
/
2f^ t h
n
i=1
2 ) 1
c i fi ^ t h dt 3 + 2c
t2 - t1
i
# /
t2
t1
e
n
i=1
2
c i fi ^ t h o dt 3
Calcoliamo allora, le tre derivate parziali:
1
2
2c i ( t2 - t1
#
t2
t1
f2 ^ t h dt 2 = 0 poichè la quantità entro parentesi graffe non dipende da c i
quindi, abbiamo:
2fr 2 ^c1,c2,...,c n h
2 ) 1
= - 2c
t2 - t1
2c i
i
#
t2
t1
/
2f^ t h
n
i=1
2 ) 1
c i fi ^ t h dt 3 + 2c
t2 - t1
i
# e / c f ^ t ho dt 3
n
t2
2
i i
t1
i=1
Portando gli operatori di derivazione parziale all'interno degli integrali, abbiamo:
2fr 2 ^c1,c2,...,c n h
1
=- t t1
2c i
2
#
t2
t1
/
#
n
1
2
^ h
^ h
2c i e 2f t i = 1 c i fi t odt + t2 - t1
t2
t1
/ c f ^ t ho dt
n
2
2c i e
2
i i
i=1
da cui:
2fr 2 ^c1,c2,...,c n h
1
=- t t1
2c i
2
#
t2
t1
1
2 " ^ h6 ^ h
^ h@ ,
^ h
2c i 2f t c1 f1 t + c1 f1 t + ... + c1 f1 t dt + t2 - t1
# 2 e / c f ^ t ho 2c2 e / c f ^ t hodt
n
n
t2
i i
t1
i=1
i i
i
i=1
da cui:
2fr 2 ^c1,c2,...,c n h
2
=- 2c i
t2 t1
#
t2
t1
2 "
1
,
2c i f^ t h c1 f1 ^ t h + f^ t h c2 f2 ^ t h + ... + f^ t h c n fn ^ t h dt + t2 - t1
# 2 e / c f ^ t ho 2c2 e / c f ^ t hodt
n
t2
n
i i
t1
i=1
i
i i
i=1
Poichè:
2 " ^ h ^ h ^ h ^ h
^ h, = f ^ t h fi ^ t h
^ h
^ h ^ h
2c i f t c1 f1 t + f t c2 f2 t + ... + f t c i fi t + ... + f t c n fn t
abbiamo:
2fr 2 ^c1,c2,...,c n h
2
=- t t1
2c i
2
#
t2
#
t2
t1
1
f^ t h fi ^ t h dt + t t1
2
# 2 e / c f ^ t ho 2c2 e / c f ^ t hodt
f^ t h fi ^ t h dt +
# 2 e / c f ^ t ho 2c2 " c f ^ t h + c f ^ t h + ... + c f ^ t h,dt
n
n
t2
i i
t1
i
i=1
i i
i=1
da cui:
2fr 2 ^c1,c2,...,c n h
2
=- t t1
2c i
2
t1
1
t2 - t1
n
t2
i i
t1
i
i=1
2 2
1 1
n n
Poichè:
2 "
^ h, = fi ^ t h
^ h
^ h
^ h
2c i c1 f1 t + c2 f2 t + ... + c i fi t + ... + c n fn t
abbiamo:
2fr 2 ^c1,c2,...,c n h
2
=- t t1
2c i
2
#
t2
#
t2
t1
1
f^ t h fi ^ t h dt + t t1
2
# 2 e / c f ^ t hof ^ t hdt
1
f^ t h fi ^ t h dt + t t1
2
#
n
t2
i
i i
t1
i=1
da cui:
2fr 2 ^c1,c2,...,c n h
2
=- t t1
2c i
2
t1
t2
t1
2 6c1 f1 ^ t h + c2 f2 ^ t h + ... + c i fi ^ t h + ... + c n fn ^ t h@ fi ^ t h dt
da cui:
2fr 2 ^c1,c2,...,c n h
2
=- t t1
2c i
2
da cui:
#
t1
2fr 2 ^c1,c2,...,c n h
2
=- t2 t1
2c i
t2
2
f^ t h fi ^ t h dt + t t1
2
#
t2
t1
2
+ ... + t t1
2
#
t1
t2
6c1 f1 ^ t h fi ^ t h + c2 f2 ^ t h fi ^ t h + ... + c i fi ^ t h fi ^ t h + ... + c n fn ^ t h fi ^ t h@ dt
2
f^ t h fi ^ t h dt + t t1
2
#
t1
t2
#
t2
t1
2
c1 f1 ^ t h fi ^ t h dt + t t1
2
c i fi ^ t h fi ^ t h dt + ... +
2
t2 - t1
#
t1
t2
#
t2
t1
c2 f2 ^ t h fi ^ t h dt +
c n fn ^ t h fi ^ t h dt
Da cui:
2fr 2 ^c1,c2,...,c n h
2
=- t t1
2c i
2
#
t1
t2
f^ t h fi ^ t h dt +
2 c
+ ... + t t1 i
2
#
t1
t2
2
t 2 - t 1 c1
#
t1
t2
f1 ^ t h fi ^ t h dt +
2 c
fi ^ t h fi ^ t h dt + ... + t t1 n
2
#
t1
t2
2
t 2 - t 1 c2
fn ^ t h fi ^ t h dt
#
t1
t2
f2 ^ t h fi ^ t h dt +
Poichè, per ipotesi, le funzioni f1(t), f2(t), ... , fn(t) sono ortonormali nell'intervallo [t1,t2] allora:
#
t2
t1
f1 ^ t h fi ^ t h dt = 0
,
#
t2
#
t2
t1
f2 ^ t h fi ^ t h dt = 0
,
....
#
t2
t1
fi ^ t h fi ^ t h dt = 1 ...,
,
#
t1
t2
fn ^ t h fi ^ t h dt = 0
da cui ne risulta:
2fr 2 ^c1,c2,...,c n h
2
=- t t1
2c i
2
t1
2 c
f^ t h fi ^ t h dt + t t1 i
2
Ponendo tale derivata uguale a zero, otteniamo:
2
-t t1
2
#
t2
2 c =0
f^ t h fi ^ t h dt + t t1 i
2
#
t2
2 c
f^ t h fi ^ t h dt = - t t1 i
2
t1
da cui:
2
-t t1
2
t1
ovvero:
#
t1
t2
f^ t h fi ^ t h dt = c i
Tale coefficiente ci , è quello che minimizza l'errore commesso nella rappresentazione della funzione f(t) per mezzo
della combinazione lineare c1f1(t)+c2f2(t)+...+cnfn(t). Quindi, in conclusione:
Dato un insieme di funzioni ortonormali {f1(t), f2(t), ... , fn(t)} in un certo intervallo [t1,t2], qualunque funzione f(t) può
essere approssimata nell'intervallo [t1,t2] per mezzo di una combinazione lineare delle funzioni ortonormali f1(t), f2(t), ...
, fn(t) a coefficienti c1,c2,...,cn; ovvero:
f^ t h c
/
n
i=1
c i fi ^ t h
con:
ci =
#
t2
t1
f^ t h fi ^ t h dt
I coefficienti ci dati dal precedente integrale, sono quelli che minimizzano l'energia media della funzione errore.
Se l'insieme ortonormale di funzioni {f1(t), f2(t), ... , fn(t), ...} costituisce un insieme completo di funzioni, allora, la
combinazione lineare per i che va da 1 ad ∞ delle n funzioni ortonormali, fornisce la funzione f(t) con un energia media
dell'errore che tende a zero. Possiamo allora scrivere:
f^ t h =
/ c f ^t h
3
i i
i=1
con:
ci =
#
t1
t2
f^ t h fi ^ t h dt