Metodi Matematici della Meccanica Quantistica

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Note del corso di
Metodi Matematici della Meccanica Quantistica
”Chi dice di aver capito qualcosa della meccanica quantistica in realtà non ha
capito nulla” R. Feynman
1 Novembre, 2014
Bibliografia essenziale
- L.Landau e Lifsitz: Meccanica Quantistica non relativistica;
- M.Reed e B.Simon: Methods of Mathematical Physics I. Functional Analysis (Academic
Press, 1980);
- J.G.Taylor: Quantum Mechanics: an introduction (1970);
- G.Teschl: Mathematical Methods in Quantum Mechanics, with applications to Schrödinger
operators (American Mathematical Society, 2009).
Citazioni serie ...
- ”I think I can safely say that nobody understands quantum mechanics”; Richard Feynman, Nobel Laureate.
- ”Anyone who is not shocked by quantum theory has not understood a single word”;
Niels Bohr, Nobel Laureate.
- ”I do not like it (Quantum Mechanics), and I am sorry I ever had anything to do
with it” e ”Had I known that we were not going to get rid of this damned quantum
jumping, I never would have involved myself in this business!”; Erwin Schrödinger,
Nobel Laureate.
- ”God does not play dice with the cosmos”; Albert Einstein (Nobel Laureate). ”Do not
presume to tell God what to do”; Niels Bohr (Nobel Laureate), in risposta ad Albert
Einstein.
- ”If that (Quantum Mechanics) turns out to be true, I’ll quit physics”; Max von Laue,
Nobel Laureate 1914, parlando a riguardo della tesi ondulatoria di de Broglie.
- ”A philosopher once said, ’It is necessary for the very existence of science that the same
conditions always produce the same results.’ Well, they don’t!”; Richard P. Feynman,
Nobel Laureate.
... e meno serie ...
- ”Very interesting theory - it makes no sense at all”; Groucho Marx (attore comico di
Hollywood).
- ”You think quantum physics has the answer? I mean, you know, what purpose does it
serve for me that time and space are exactly the same thing? I mean I ask a guy what
time it is, he tells me 6 miles? What the hell is that?”; Woody Allen tratto dal film
”Anything else”
Indice degli argomenti ragionato
1. Le difficoltà della Meccanica Classica e la nascita della Meccanica Quantistica
2. Equazione di Schrödinger indipendente dal tempo unidimensionale: proprietà generali
ed esempi notevoli
3. Spazi di Hilbert: definizione e proprietà fondamentali, concetto di sistema ortonormale,
completezza, esempi notevoli di spazi di Hilbert e di sistemi ortonormale completi,
teorema di proiezione.
4. Funzionale lineare e teorema di rappresentazione di Riesz.
5. Operatori lineari limitati su uno spazio di Hilbert: definizione e norma dell’operatore;
aggiunto di un operatore lineare limitato.
6. Convergenza forte e debole di vettori.
7. Convergenza di operatori: convergenza forte e debole; convergenza in norma di operatori limitati; estensione di un operatore limitato e densamente definito.
8. Struttura assiomatica della Meccanica Quantistica.
9. Operatore auto-aggiunto: definizione di operatore simmetrico, di operatore aggiunto
e di operatore auto-aggiunto; dominio di un operatore; operatori simmetrici e forme
quadratiche a valori reali; criterio di autogiunzione.
10. Esempi notevoli di operatori simmetrici e loro estensione (operatore di moltiplicazione
e operatore differenziale).
11. Chiusura di un operatore: definizione e proprietà principali; operatore essenzialmente
auto-aggiunto e criterio di essenziale autogiunzione; Teorema del grafico chiuso.
12. Forme quadratiche ed estensione di Friedrichs: operatori simmetrici non-negativi e limitati dal basso; spazio dell’energia, Teorema di estensione di Friedrichs; forma quadratica e dominio di forma; esempio notevole (operatore laplaciano unidimensionale).
13. Risolvente e spettro: operatore risolvente ed insieme risolvente; spettro di un operatore; prima formula del risolvente e sue conseguenze; esempio (risolvente dell’operatore
differenziale); successione di Weyl.
14. Spettro di operatori auto-aggiunti ed unitari: proprietà fondamentali e stima dell’operatore
risolvente per operatori auto-aggiunti.
15. Teorema spettrale: definizione di p.v.m. e proprietà fondamentali; risoluzione dell’identità
P (λ); teorema spettrale e sue conseguenze; decomposizione spettrale per operatori
auto-aggiunti (spettro puramente puntuale, assolutamente continuo e singolare continuo) e per operatori qualunque (spettro discreto ed essenziale); formula di Stone.
VIII
16. Operatori relativamente limitati e Teorema di Kato-Rellich: definizione di operatore
relativamente limitato e proprietà principali; Teorema di Kato-Rellich; seconda formula
del risolvente.
17. Operatori di rango finito e compatti: definizione di operatore di rango finito; definizione
di operatore compatto e proprietà fondamentale; operatore relativamente compatto;
operatori di Hilbert-Schmidt.
18. Teorema di Weyl: Criterio di Weyl; Teorema di Weyl.
19. Convergenza del risolvente: definizione e proprietà fondamentali; criterio per la convergenza del risolvente; Teorema di stabilità dello spettro.
20. Principio di min-max.
21. Teorema di Stone: operatore di evoluzione; generatore di un operatore di evoluzione;
Teorema di Stone.
22. Teorema RAGE: Teorema di Wiener e media secondo Cesàro; Teorema RAGE.
23. Operatore di Schrödinger libero: dominio di autogiunzione e spettro; operatore di
evoluzione temporale; forma esplicita dell’operatore risolvente.
Sommario
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Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1 Le difficoltà della Meccanica Classica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 La stabilità della materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Spettro di emissione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Radiazione di un corpo nero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 L’effetto fotoelettrico ed il fotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Introduzione del quanto d’azione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Crash course in Quantum Mechanics for beginners . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1 Concetti fondamentali della Meccanica Quantistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Funzione d’onda di una particella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Principio di sovrapposizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Misure di una grandezza fisica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Equazioni di Schrödinger e limite classico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.5 Stati stazionari ed equazione di Schrödinger indipendente dal tempo .
2.1.6 Proprietà fondamentali dell’operatore H e delle soluzioni
dell’equazione di Schrödinger indipendente dal tempo . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Equazione di Schrödinger in dimensione 1- Applicazioni elementari . . . . . . .
2.2.1 Proprietà generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Esempi notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Operazioni elementari sugli spazi di Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 Spazio di Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Base ortonormale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Il teorema di proiezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Distribuzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Spazio delle funzioni test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Definizione di distribuzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3 Operazioni sulle distribuzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Funzionale lineare e Teorema di rappresentazione di Riesz . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Operatore aggiunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Convergenza forte e debole di vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8 Convergenza di operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Sommario
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Operatori auto-aggiunti e spettro di operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1 Struttura assiomatica della Meccanica Quantistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Operatori auto-aggiunti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Indice di difetto di un operatore simmetrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Chiusura di un operatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Forme quadratiche ed estensione di Friedrichs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Risolvente e spettro di un operatore lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Spettro di Operatori auto-aggiunti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.2 Somma ortogonale di operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Teoria perturbativa per operatori auto-aggiunti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1 Il Teorema spettrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Decomposizione spettrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Operatori relativamente limitati e teorema di Kato-Rellich . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Operatori di rango finito e operatori compatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Operatori di Hilbert-Schmidt ed operatori di classe traccia . . . . . . . . .
5.4 Operatori relativamente compatti e Teorema di Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Convergenza del risolvente in norma e forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 Il principio min-max . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Dinamica di un sistema quantistico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1 Il Teorema di Stone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Il Teorema Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Il Teorema RAGE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Esempi notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1 L’operatore di Schrödinger libero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Evoluzione temporale per il problema libero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.2 Il risolvente e la funzione di Green. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 δ uni-dimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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A La trasformata di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
1
Introduzione
1.1 Le difficoltà della Meccanica Classica
É ben noto che lo scopo della meccanica classica è determinato il moto di un dato sistema
fisico riducendosi allo studio di un numero finito, anche se grande, di parametri lagrangiani
qh (t) e determinandone il loro comportamento in funzione del tempo. Questo problema
viene affrontato partendo dalle leggi di Newton e la posizione e velocità iniziale del sistema
determina lo stato del sistema ad ogni istante successivo.
Questa descrizioe classica di ogni sistema fisico in realtá è stata dimostrata non più
adeguata verso la fine dell’ ’800; infatti certi fenomeni riguardanti sistemi di dimensioni
dell’ordine di 10−6 metri non potevano essere spiegati classicamente. Per spiegare questi
fenomeni ”recalcitranti” una nuova meccanica venne introdotta per sostituire la meccanica
classica, questa meccanica venne chiamata ”Meccanica Quantistica” e riuscı́ nell’intento
di spiegare questi fenomeni, oltre che essere in accordo con la meccanica classica dove
questa era corretta.
La Meccanica Quantistica ha avuto sostanzialmente 2 periodi di sviluppo distinti.
- Il primo periodo inizia con l’introduzione del concetto di quanto d’azione nel 1900
dovuto a Planck (o più correttamente nel 1905 con il lavoro di Einstein). In questo
periodo la nuova meccanica era sostianzalmente una ”miscela” di concetti classici e
non-classici, e non era considerata completamente soddisfacente.
- Il secondo periodo, che inizia nel 1925, è sostanzalmente frutto dei progressi, ottenuti
indipendentemente ma alla fine equivalenti, di Heisenberg e Schrödinger. Le difficoltà
della precedente versione della Meccanica Quantistica sono ora completamente risolte
ed è a questa versione che viene dato il nome di Meccanica Quantistica. L’approccio
di Schrödinger si basa sullo studio dell’equazione di Schrödinger ed è quello che noi
adotteremo nel corso; l’approccio di Heisenberg, detto anche metodo delle matrici, non
viene da noi trattato. Comunque entrambi gli aprocci sono equivalenti.
In realtà la Meccanica Quantistica, nella sua versione definitiva, descrive il comportamento di particelle quali atomi, elettroni, nuclei, molecole, fotoni, etc.. La descrizione
delle particelle sub-atomiche richiede un ulteriore sviluppo della Meccanica Quantistica
che prende il nome di Quantum Field Theory e che inizia sostanzialmente attorno al 1947.
Riassumendo:
2
1 Introduzione
- Meccanica Classica. Valida per oggetti di dimensione maggiore di 10−6 metri.
- (Vecchia) Meccanica Quantistica. Nasce nel 1900/05 e fino al 1925 viene utilizzata
per descrivere la dinamica di oggetti di dimensione minore di 10−6 metri.
- (Nuova) Meccanica Quantistica. Nasce nel 1925 viene utilizzata per descrivere la
dinamica di oggetti di dimensione minore di 10−6 metri, ma comunque di scala atomica
(atomi, elettroni, etc.).
- Teoria dei campi quantistica. Nasce attorno al 1947 per descrivere la dinamica di
oggetti di dimensione sub-atomica (quark, muoni, neutrini, etc.).
Per meglio comprendere lo sviluppo della Meccanica Quantistica sarà di aiuto soffermarsi brevemente sui fenomeni ”recalcitranti” che non potevano spiegarsi classicamente, seguendo la loro scansione temporale. Di fatto questi fenomeni ”recalcitranti” nascono quando alle usuali legge della Meccanica Classica si accostano le leggi
dell’elettromagnetismo o della termodinamica.
1.1.1 La stabilità della materia
La materia è fatta di molecole, che a sua volta sono fatte di atomi. Gli atomi non sono
mai in equilibrio, infatti essi sono costituiti di particelle cariche con diverse positività
tenuti insieme dalla legge di Coulomb. Seguendo l’approccio della Meccanica Classica
l’elettrone, come un satellite attratto da un pianeta, non cade sul nucleo solo se è in moto
lungo un’orbita. D’altra parte la teoria di Maxwell afferma che particelle cariche accelerate devono emettere radiazione elettromagnetica, quindi l’elettrone attorno al nucleo
dovrebbe emettere radiazione e quindi perdere energia e rapidamente colassare sul nucleo
stesso nell’ordine di 10−10 secondi. É evidente che un tale collasso avrebbe conseguenze
catastrofiche e tutta la chimica non potrebbe funzionare; il fatto che i sistemi non collassino dopo 10−10 secondi significa che l’elettrone in orbita non emette radiazione (che
infatti non viene misurata) e quindi la spiegazione classica è lei a colassare!
1.1.2 Spettro di emissione
Quando riscaldiamo un elemento (ad esempio una barra di metallo) o la sottomettiamo ad una forte scarica elettrica (come nel caso dei gas) esso emette una radiazione
elettromagnetica (luce). Questa radiazione è formata solamente da un certo numero di
frequenze. La descizione classica stabilisce che queste frequenze devono essere le stesse
(o loro combinazione lineare) delle frequenze normali dei moti periodici delle particelle
cariche negli atomi. Più precisamente, se ωj sono le frequenze elementari
allora noi ci
P
aspettiamo (classicamente) di osservare frequenze della forma ω = nj ωj dove nj sono
numeri interi positivi. In realtà, quello che sperimentalmente si osserva è che le frequenza
′
dove ωn′ sono un fissato
dell’emissione elettromagnetica sono della forma ω = ωn′ − ωm
insieme di frequenze.
1.1.3 Radiazione di un corpo nero
Consideriamo la radiazione elettromagnetica all’interno di un dominio racchiuso che sia in
equilibrio con l’ambiente; questa radiazione à anche storicamente detta radiazione di un
1.1 Le difficoltà della Meccanica Classica
3
corpo neroperché se pensiamo idealmente di fare un piccolo foro nell’involucro, per permettere alla radiazione di uscire ed essere misurata, allora la radiazione che dall’esterno entra
non ha praticamente possibilità di uscire e quindi il piccolo buco assorbe la radiazione, e
quindi appare come nero. La spiegazione classica porta a concludere che il numero (in
realtà la funzione densità) n(ω) di onde elettromagnetiche con frequenza tra ω e ω + dω
è dato da
n(ω)dω =
8πω 2
dω
c3
dove c è la velocità della luce. In termini di energia sia ha che l’energia per unità di
volume d’onda ha densità
E(ω)dω =
8πω 2
kT dω
c3
dove T è la temperatura del corpo e k è la costante di Boltzmann. Quest’ultima prende
il nome di formula di Rayleigh-Jeans ed è in buon accordo con gli esperimenti solo per
basse frequenze; per alte frequenze essa nonR vale e ciò non sorprende, infatti se vogliamo
calcolare l’energia totale essa risulta essere 0∞ E(ω)dω é un integrale divergente.
Questo paradosso venne risolto da Planck nel 1900 per mezzo di una proposta radicale.
Egli suggerı́ che la radiazione di una data frequenza ω può solo scambiare energia con la
materia in pacchetti discreti di quanti, ognuno di energia hω, dove h è una costante, ora
detta costante di Planck, che ha un valore fissato e che ha le dimensioni di una energia
per un tempo. Con questo approccio segue che la legge di distribuzione dell’energia ha
la forma
E(ω)dω =
1
8πhω 3
dω
c3 ehω/kT − 1
(1.1)
nota come legge di Planck. Osserviamo che per ω piccolo (o per T grande) ritroviamo
la legge di Rayleigh-Jeans. La legge di Planck descrive correttamente gli esperimenti per
ogni frequenza e l’energia totale emessa vale
Z
∞
0
E(ω)dω =
4σ 4
T
c
dove
σ=
2π 5 k 4
15h3 c2
è nota come costant di Stefan. Poiché c è noto e poiché l’energia totale si misura sperimentalmente allora si trova che il valore della costante di Planck vale:
h = 6.55 × 10−34 joule per secondo.
1.1.4 L’effetto fotoelettrico ed il fotone
Quando una luce ultra-violetta colpisce una superficie metallica si osserva sperimentalmente che si genera una corrente di elettroni, anche quando un potenziale ritardante è
4
1 Introduzione
presente purché questo non sia troppo grande. Se il potenziale ritardante è abbastanza
grande allora non si osserva nessuna emissione di elettroni. Il più grande potenziale rtardante per il quale si osserva emissione di elettroni viene denominato Vs ed è detto stopping
potential, ed é proporzionale alla massima energia di elettroni emessa dalla superficie
irradiata. Sulla base del formalismo classico ci si aspetta che l’energia degli elettroni aumenta con l’intensità della luce ultra-violetta e quindi, se l’energia della luce ultra-violetta
aumenta, dovrebbe aumentare anche lo stopping potential. D’altra parte sperimentalmente è stato trovato che lo stopping potential era indipendente dall’intensità della
luce, ma aumentava linearmente con la frequenza della luce. Questo fatto non trova spiegazione classica, infatti cambiare la frequenza non dovrebbe avere nessun effetto sullo
stopping potential.
L’estensione logica dell’ipotesi quantistica di Planck fu fatta nel 1905 da A. Einstein
per spiegare l’effetto fotoelettrico. Egli suggerı́ non solo che lo scambio di energia tra
radiazione e materia avviene attraverso pacchetti di quanti, ma che la radiazione effettivamente consiste solamente di quanti discreti di energia detti fotoni, ognuno di
energia hω (dove ω è la frequenze della luce). Sulla base di questa ipotesi trova spiegazione
l’effetto fotoelettrico; infatti se il fotone che colpisce la superficie metallica ha energia hω
superiore al lavoro W necessario per ”strappare” l’elettrone all’atomo allora l’elettrone
emergerà con energia hω−W e quindi lo stopping potential sarà questa differenza. Quindi
Vs sarà linearmente proporzionale a ω e la costante di proporzionalità è la costante h. É
rimarchevole sottolineare che tale costante di proporzionalità può essere sperimentale misurata e coincide, con buon accordo, alla costante trovata nella radiazione del corpo nero.
Più precisamente, i dati sperimentali in possesso di Einstein nel 1905 gli permisero solo
di stabilire che entrambe le costanti avevano valori compatibili; successivamente Millikan
arrivò ad una misura più precisa trovando che nell’effetto fotoelettrico
h = 6.5 × 10−34 joule per secondo.
in sostanziale accordo con ilrisultato precedente.
Le moderne misurazioni di h danno il valore
h = 6.62606896(33) × 10−34 joule per secondo.
1.2 Introduzione del quanto d’azione
La Meccanica Quantistica nasce con il concetto di quanto d’azione. Anche se è indiscussa la parternità del quanto a Max Karl Ernst Ludwig Planck non è inutile vedere come
questo concetto è stato introdotto nel 1900.
Planck naque nel 1858 e venne nominato professore di Fisica presso l’Università di
Berlino nel 1889; la sua tesi di dottorato presso l’Università di Monaco riguardava la
seconda legge della termodinamica, argomento che fu soggetto di ricerca prevalente fino
al 1905.
Lo studio della radiazione del corpo nero ebbe inizio nel 1859 con i lavori di Robert
Kirchoff, precedessore di Planck a Berlino. La prima legge empirica riguardante la radiazione fu introdotta da Wien e derivata rigorosamente successivamente da Planck. Questa
1.2 Introduzione del quanto d’azione
5
legge, inizialmente in accordo con gli esperimenti, venne messa rapidamente in discussione
a causa di esperimenti realizzati a Berlino che mostravano che essa non descriveva correttamente lo spettro. Planck riprese le sue ricerche e arrivò finalmente alla legge (1.1) in
accordo con gli esperimenti, questa legge venne presentata alla riunione della Società Fisica
della Germania il 19 Ottobre 1900. Nel Novembre 1900 Plack realizzò che la derivazione
della formula (1.1) non era basata su una derivazione rigorosa e cercò tenacemente di
colmare questa lacuna; questo risultato arrivò solamente il 14 Dicembre 1900 a seguito di
un atto di disperazione (come Planck stesso commentò il suo lavoro ”as an act of despair
... I was ready to sacrifice any of my previous convictions about physics”): egli ammise,
senza nessuna motivazione fisica ma solo come artificio matematico, che l’energia E sia
di divisa in porzioni attraverso un processo di ”quantizzazione”.
Se il 14 Dicembre 1900 avvenne una rivoluzione non se ne accorse nessuno, nemmeno
Plack. Di fatto la sua legge enunciata il 19 Ottobre 1900 fu immediatamente accettata, ma
la novità relativa all’introduzione dei quanti fu sostanzialmente ignorata. Uno delle poche
persone che prese sul serio l’idea di Planck fu un impiegato dell’ufficio brevetti di Zurigo:
Albert Einstein, che nel 1905 pose l’idea dei quanti a base della spiegazione dell’effetto
fotoelettrico; a questo lavoro ne seguirono altri che posero le basi della Meccanica Quantistica.
Possiamo concludere che l’introduzione del quanto d’azione è avvenuto nel 1900 per
opera di Planck, ma che la nascita della Meccanica Quantistica vede la luce nel 1905 con
il lavoro di Albert Einstein.
The Nobel Prize in Physics 1918 was awarded to Max Planck ”in recognition of the
services he rendered to the advancement of Physics by his discovery of energy quanta”.
The Nobel Prize in Physics 1921 was awarded to Albert Einstein ”for his services to
Theoretical Physics, and especially for his discovery of the law of the photoelectric effect”.
2
Crash course in Quantum Mechanics for beginners
2.1 Concetti fondamentali della Meccanica Quantistica
2.1.1 Funzione d’onda di una particella
Denotiamo con q ∈ M = RN l’insieme delle coordinate di un sistema quantistico (nel caso
di una sola particella allora N = 3 in generale, nel caso di M particelle allora N = 3M ),
denotiamo poi con dq il prodotto dei differenziali di queste coordinate, cioé l’elemento
di volume nello spazio delle configurazioni. Nel seguito, per semplicità, supponiamo di
considerare una sola particella.
La meccanica quantistica nella interpretazione di Copenaghen si basa sulla proposizione che lo stato di un sistema ad ogni istante t può essere descritto da una funzione
detta funzione d’onda a valori complessi ψ(q, t) delle coordinate e del tempo. Più precisamente il quadrato del modulo di questa funzione definisce la distribuzione delle
probabilità dei valori delle coordinate: sia A ⊆ M un qualunque insieme dello spazio
delle fasi misurabile, allora
P t (A) =
Z
A
|ψ(q, t)|2 dq
è la probabilità di trovare la particella in A all’istante t. La funzione ψ prende il nome
di funzione d’onda.
Poiché la somma delle probabilità di tutti i valori possibili delle coordinate del sistema
deve, per definizione di probabilità, essere uguale a 1 allora segue che la funzione d’onda
deve soddisfare alla seguente condizione di normalizzazione
Z
M
|ψ(q, t)|2 dq = 1 , ∀t.
(2.1)
Quindi la funzione d’onda deve essere quadrato sommabile su tutto lo spazio delle
configurazioni e l’ambito naturale in cui lavorare in meccanica quantistica è lo spazio di
Hilbert H = L2 (M) sul quale è definito il prodotto scalare
hf, gi =
Z
M
f¯(q)g(q)dq .
La condizione di normalizzazione (2.1) si traduce quindi nella richiesta
8
2 Crash course in Quantum Mechanics for beginners
kψ(·, t)k = 1 dove kf k =
q
hf, f i.
Poiché le grandezze fisiche dipendono dalla funzione d’onda attraverso il suo modulo
segue che la funzione d’onda è sempre definita a meno di un fattore di fase del
tipo eiα , dove α è una costante reale. Ovvero la funzione d’onda ψ e la funzione d’onda
ψeiα definiscono lo stesso stato quantistico. Questa assenza di univocità non può essere
eliminata, tuttavia essa non è essenziale perché non influisce sulla descrizione del sistema
quantistico.
Inoltre osserviamo che
Nota 2.1: Se una funzione d’onda ψ viene moltiplicata per un numero complesso c non
nullo, allora la nuova funzione d’onda cψ corrisponderà allo stesso stato quantistico poiché,
una volta normalizzata, ha la stessa funzione di distribuzione.
2.1.2 Principio di sovrapposizione
Il principio di sovrapposizione degli stati costituisce una delle tesi fondamentali della
meccanica quantistica. In forma elementare il principio di sovrapposizione degli stati si
può esprimere nelle seguenti due proposizioni.
Ipotesi 1. Se un sistema si può trovare in stati descritti dalle funzioni d’onda ψ1 e
ψ2 , allora esso può trovarsi anche in stati descritti da una funzione d’onda
ψ = a1 ψ 1 + a2 ψ 2
ottenuta mediante una combinazione lineare di ψ1 e ψ2 ; dove a1 e a2 sono dei numeri
complessi qualsiasi indipendenti dal tempo.
Questa proposizione costituisce il principio fondamentale della meccanica quantistica
e da esse segue necessariamente che tutte le equazioni cui soddisfano le funzioni d’onda
devono necessariamente essere lineari rispetto alla funzione d’onda ψ.
2.1.3 Misure di una grandezza fisica
Consideriamo una data grandezza fisica f a valori reale detta anche osservabile (ad
es. posizione, momento, energia, etc.) e i valori che questa può assumere. In meccanica
classica tipicamente può assumere una distribuzione continua di valori. In meccanica
quantistica la situazione è diversa: i valori che l’osservabile può assumere in meccanica
quantistica non sono, in generale, distribuiti con continuità e i valori ammessi sono detti
autovalori, e si parla del loro insieme come spettro puntuale. In meccanica quantistica esistono ugualmente fisiche (ad esempio le coordinate) i cui valori ammettono una
distribuzione continua, in tal caso si parla di spettro continuo. L’unione insiemistica
dello spettro puntuale e dello spettro continuo prende il nome di spettro.
Dire che fn è l’autovalore associato all’osservabile f corrispondente all’autovettore ψn
vuole dire che quando lo stato è rappresentato dalla funzione d’onda ψn allora l’osservabile
f ha valore fn .
Supponiamo, al momento, che lo spettro sia puramente puntuale e indichiamo con
fn , n = 0, 1, 2, . . ., l’insieme dei suoi autovalori; indichiamo con ψn le funzioni d’onda corrispondenti allo stato quantistico di energia fn , queste funzioni sono denotate autovettori
o autofunzioni e sono convenzionalmente assunte normalizzate, cioé
Z
M
9
|ψn (q)|2 dq = 1 , ∀n.
In virtù del principio di sovrapposizione consideriamo una funzione d’onda combinazione lineare delle singole funzione d’onda
ψ(q) =
X
an ψ n ,
(2.2)
n
dove le costanti complesse an saranno scelte in modo da rendere questa somma convergente, nello spazio di Hilbert H assegnato. La nuova funzione d’onda normalizzata ψ(q)
rappresenta un nuovo stato quantistico. Osserviamo che se l’insieme degli autovettori è
un sistema ortonormale allora deve necessariamente essere
Z
an = hψn , ψi =
M
ψ̄n (q) ψ(q)dq
e inoltre
X
n
|an |2 = 1 .
(2.3)
Il viceversa non è sempre possibile, più precisamente un qualunque stato quantistico
può essere rappresentato da una funzione d’onda (2.2) se il sistema degli vettori ψn è un
sistema (ortonormale) completo per lo spazio di Hilbert H.
Nel caso in cui lo spettro sia (almeno in parte) continuo allora questi concetti possono
essere generalizzati considerando, in alternativa alla (2.2), lo sviluppo
ψ(q) =
Z
σc
af ψf (q)df
dove σc denota lo spettro continuo, ψf (q) la ”autofunzione” associata al valore f
dell’osservabile e af denota una densità che deve essere normalizzata:
Z
σc
|af |2 df = 1.
Sia dato uno stato quantistico avente rappresentazione data dalle funzioni d’onda ψ
decomposte sugli autovettori ψn dalla (2.2). Introduciamo ora il concetto di valore medio
(o valore atteso) hf i di un’osservabile f in un dato stato ψ definito dalla (2.2):
hf i =
X
n
fn |an |2
(2.4)
dove fn sono i valori ammessi dal’osservabile f e dove abbiamo supposto lo spettro puramente discreto.
Introduciamo l’operatore integrale F formalmente definito su un vettore ”test” φ ∈ H
nel seguente modo:
(F φ) (q) =
avente nucleo K definito come
Z
M
K(q, q ′ )φ(q ′ )dq ′
10
K(q, q ′ ) =
X
fn ψ̄n (q ′ )ψn (q)
n
Per definizione segue formalmente che l’operatore agisce sul vettore ψ definito dalla (2.2)
nel seguente modo
(F ψ) (q) =
=
Z
X
M n
X
fn ψ̄n (q ′ )ψn (q)ψ(q ′ )dq ′
fn ψn (q)
n
Z
M
ψ̄n (q ′ )ψ(q ′ )dq ′ =
X
an fn ψn (q)
n
e quindi
hf i = hψ, F ψi
Ovvero, l’operatore lineare F è l’operatore formalmente associato all’osservabile f , ed il
valore attteso hf i è definito dall’azione dell’operatore F associato sulla funzione d’onda
dello stato quantistico. Occorre osservare che questa procedura è al momento solo una
procedura formale e non ben definita da un punto di vista matematico. Come risultato
si osserva che è possibile associare, mediante una opportuna operazione detta quantizzazione di un’osservabile, un’operatore lineare auto-aggiunto su uno spazio di Hilbert
H = L2 (M):
Osservabile f −→ Operatore lineare F .
È immediato osservare che se la funzione ψ è una delle autofunzioni ψn (in modo che
′
an′ = δnn ) allora
F ψ n = fn ψ n
(2.5)
cioé i valori fn coincidono con gli autovalori dell’operatore lineare F e ψn ne sono gli
autovettori associati.
Nota 2.2: Poiché gli autovalori fn ed il valore medio hf i di una grandezza fisica a valori
reali sono numeri reali allora l’operatore F deve essere un operatore simmetrico:
hψ, F φi = hF ψ, φi , ∀ψ, φ ∈ H
(2.6)
perché i suoi autovalori devono essere numeri reali. Infatti,
hψ, F φi =
=
=
=
*
X
an ψ n , F
n
X
X
bn ψ n ′
n′
+
X
n,n′
ān bn′ hψn , F ψn′ i =
n,n′
ān bn′ fn′ hψn , ψn′ i =
X
X
ān bn fn
n
dalla relazione (2.5). Similmente segue che
n,n′
ān bn′ hψn , fn′ ψn′ i
X
n,n′
ān bn′ fn′ δnn
′
hF ψ, φi =
X
11
ān bn f¯n
n
dove le due sommatorie coincidono poiché fn = f¯n .
Gli operatori lineari che soddisfano alla condizione (2.6) prendono il nome di operatori hermitiani o operatori simmetrici; quindi gli operatori che sono di interesse
nell’apparato matematico della meccanica quantistica, corrispondenti a grandezze fisiche
reali, devono essere hermitiani. Esiste la seguente corrispondenza tra osservabili classiche
e operatori lineari:
coordinata spaziale
momento
Energia
x→x
∂
px → −ih̄ ∂x
1 2
h̄2
E = 2m
p + V (x1 , . . . , xN ) → H = − 2m
∆ + V (x1 , . . . , xN )
dove
∆=
N
X
∂2
j=1
∂x2j
e dove h̄ è una costante introdotta da M. Planck nel 1900 (più esattamente Planck introdusse la costante h = 2πh̄) che vale
h̄ = 1.054 · 10−27 erg · s.
Consideriamo ora due osservabili classiche f e g e i due operatori associati F e G. Se le
osservabili f e g possono essere simultaneamente misurabili allora entrambe insistono
sugli stessi autovettori ψn (con autovalori fn e gn non necessariamente coincidenti).
Di conseguenza il prodotto dei due operatori ha come risultato
F Gψ = F G
X
an ψ n =
X
an ψ n =
X
n
f n g n an ψ n
e similmente
GF ψ = GF
X
n
g n f n an ψ n .
Di conseguenza possiamo affermare che i due operatori commutano:
[F, G] = F G − GF = 0 .
Poiché vale il viceversa possiamo affermare che date due osservabili f e g e dati gli
operatori associati F e G allora le due osservabili sono misurabili simultaneamente se, e solo se, i due operatori associati commutano tra loro.
Esempio 2.1: Le osservabili x e px non sono misurabili simultaneamente. Infatti
x → x e px → −ih̄
e quindi
∂
∂x
12
"
#
∂
x, −ih̄
= ih̄ 6= 0 .
∂x
Invece x e py sono misurabili simultaneamente, infatti
"
#
∂
= 0.
x, −ih̄
∂y
Nota 2.3: Come conseguenza del fatto che
"
#
∂
x, −ih̄
= ih̄ e
∂x
"
#
∂
x, −ih̄
=0
∂y
vale la seguente disuguaglianza (detto principio di indeterminazione di Heisemberg)
1
∆x ∆px ≥ h̄ e ∆x ∆py ≥ 0
2
in cui ∆x l’errore sulla posizione e ∆px (risp. ∆py ) quello sulla quantit di moto rispetto
alla direzione x (risp. y).
2.1.4 Equazioni di Schrödinger e limite classico
Nella meccanica quantistica la funzione d’onda ψ determina, ad ogni istante, in modo
completo lo stato di un sistema fisico. Di conseguenza la sua variazione temporale ∂ψ
∂t
deve essere determinata a partire dalla funzione stessa:
∂ψ
= H(ψ)
∂t
per una dato operatore H. D’altra parte, per il principio di sovrapposizione necessariamente segue che la dipendenza di H da ψ deve essere lineare e quindi tale equazione
prende la forma
ih̄
∂ψ
= Hψ , ψ = ψ(q, t),
∂t
(2.7)
dove H è un operatore lineare, dove il fattore i è legato alla conservazione della norma di
ψ e dove h̄ è la costante di Plack.
Nota 2.4: L’operatore H deve essere hermitiano, ciò segue dalla conservazione della
norma: se kψ(·, t)k = 1 allora
*
+
*
d
∂ψ
∂ψ
0 = hψ(·, t), ψ(·, t)i =
(·, t), ψ(·, t) + ψ(·, t),
(·, t)
dt
∂t
∂t
1
= [h−iHψ(·, t), ψ(·, t)i + hψ(·, t), −iHψ(·, t)i]
h̄
i
= [hHψ(·, t), ψ(·, t)i − hψ(·, t), Hψ(·, t)i]
h̄
+
13
Come operatore H viene scelto l’operatore associato all’osservabile energia:
H=−
h̄2
∆+V
2m
(2.8)
in tale modo l’equazione di Schrödinger dipendente dal tempo prende la forma
"
#
∂ψ
h̄2
= −
∆ + V ψ , ψ = ψ(q, t).
ih̄
∂t
2m
(2.9)
Tal scelta è l’unica compatibile con il principio di corrispondenza formulato da N.
Bohr nel 1920
Ipotesi 2. Le grandezze fisiche quantistiche devono tendere alle corrispondenti classiche nel limite macroscopico.
Con limite macroscopico si intende una scala fisica nella quale l’azione classica
S=
Z
L [q(t), q̇(t)] dt
è molto più grande della costante di Planck h̄. In questo limite si può sostanzialmente
affermare che h̄ è trascurabile e che gli effetti quantistici sono molto piccoli. Per questa
ragione il limite macroscopico si chiama anche limite semiclassico e si denota, in modo
improprio, h̄ → 0; questo limite non deve essere ovviamente preso alla lettera, infatti h̄ è
una costante (molto piccola) che non può variare e comunque porre h̄ = 0 nell’equazione
(2.9) darebbe luogo ad un limite singolare.
Per rendersi conto del limite classico andiamo a considerare l’equazione (2.9) dove cerchiamo la soluzione ψ(q, t) nella seguente forma (detta trasformazione di Madelung)
ψ(q, t) = a(q, t)eiS(q,t)/h̄
dove a ed S sono due funzioni incognite a valori reali. Sostituendo e separando tra loro
la parte reale ed immaginaria si trova che queste devono soddisfare al seguente sistema di
equazioni
(
∂S
∂t
∂a
∂t
2
1
h̄
+ 2m
(∇S)2 + V − 2ma
∆a = 0
a
1
+ 2m ∆S + m ∇S · ∇a
=0
Trascurando nella prima di queste equazioni il termine contenente h̄2 (limite semiclassico)
si ottiene che la funzione S soddisfa all’equazione
1
∂S
+
(∇S)2 + V = 0
∂t
2m
(2.10)
che risulta essere l’equazione classica di Hamilton-Jacobi per l’azione S della particella.
Dalla seconda equazione si ottiene invece la seguente relazione
∂a2
∇S
+ div a2
∂t
m
=0
A questa equazione possiamo attribuire un significato fisico importante: ricordando che
14
ρ := |a|2 = |ψ|2
rappresenta la densità di probabilità e che dalla (2.10)
classica della particella allora l’equazione
∇S
m
=
p
m
= v rappresenta la velocità
ρ̇ + div (ρv) = 0
rappresenta l’equazione di continuità per la densità ρ che esprime il fatto che la densità
di probabilità ρ si evolve nel tempo spostandosi secondo le leggi della meccanica classica
attraverso la velocità v.
2.1.5 Stati stazionari ed equazione di Schrödinger indipendente dal tempo
La legge di conservazione dell’energia in meccanica classica implica che l’energia di un dato
stato quantistico si conserva nel tempo. Infatti, sia H l’operatore associato all’energia E e
sia f una qualunque altra osservabile associata ad un operatore F , è immediato osservare
che ponendo hf i = hψ, F ψi
dhf i
d
= hψ, F ψi dove ψ = ψ(q, t)
dt
dt
= hψ̇, F ψi + hψ, Ḟ ψi + hψ, ψ̇F i
1
= hψ, Ḟ ψi + [h−iHψ, F ψi + hψ, −iF Hψi]
h̄
i
= hψ, Ḟ ψi + hψ, [H, F ]ψ, i
h̄
∂
i
= hf i + hψ, [H, F ]ψi
∂t
h̄
In particolare, se F = H e se lo stato ψ corrisponde ad una autofunzione ψn di autovalore
En segue che
dhEi
∂
i
dEn
=
= hEi + hψn , [H, H]ψn i = 0
dt
dt
∂t
h̄
poiche E non dipende esplicitamente dal tempo e [H, H] = 0
Gli stati di un sistema in cui l’energia ha valori determinati En sono detti stati
stazionari; la funzione d’onda ψn associata ha una forma ben definita, infatti l’equazione
(2.7) prende la forma
ih̄
∂ψn
= Hψn = En ψn
∂t
che ha soluzione elementare
ψn (q, t) = e−iEn t/h̄ ψn (q)
(2.11)
dove En e ψn (q) sono la soluzione del seguente problema agli autovalori
"
#
h̄2
−
∆ + V ψ = Eψ
2m
(2.12)
15
L’equazione (2.12) prende il nome di equazione di Schrödinger indipendente dal
tempo e gioca un ruolo molto importante.
Supponiamo, per un momento, che il problema agli autovalori Hψ = Eψ ammetta
soluzioni ψn ed En con ψn ∈ H = L2 (M), cioé quadrato sommabili; supponiamo inoltre
che la famiglia delle autofunzioni {ψn }n costituisca un sistema (ortonormale) completo.
Di conseguenza, in virtù del metodo di separazione delle variabli e assumendo che lo
spettro di H sia puramente puntuale, la soluzione generale del problema (2.9) prende
la forma
ψ(q, t) =
X
an e−iEn t/h̄ ψn (q)
(2.13)
n
dove i coefficienti an sono determinati dalla funzione d’onda in un dato istante iniziale
ψ 0 (q) = ψ(q, 0) attraverso la relazione
an = hψn , ψ 0 i
e dove i quadrati |an |2 rappresentano fisicamente le probabilità dei diversi valori dell’energia
del sistema.
Se lo spettro non è puramente puntuale, ma è ammesso anche una parte di spettro
continuo σc , allora per E ∈ σc la corrispondente soluzione ψE (q) dell’equazione (2.12) non
sarà quadrato sommabile (ma solamente limitata) e il contributo della spettro continuo
alla soluzione generale sarà dato da
ψ(q, t) =
Z
σc
aE e−iEt/h̄ ψE (q)dE
Di qui in seguito assumiamo che lo spettro sia puramente puntuale e enunciamo
(ed in parte dimostriamo) alcune proprietà fondamentali degli autovettori. Premettiamo
che lo stato stazionario con valore dell’energia minimo tra tutti quelli possibili si chiama
stato fondamentale, o anche ground state, del sistema.
2.1.6 Proprietà fondamentali dell’operatore H e delle soluzioni dell’equazione di
Schrödinger indipendente dal tempo
2
h̄
∆ + V , definito su H = L2 (M) nell’ipotesi
Anzitutto osserviamo che l’operatore H = − 2m
in cui M = RN e V (x) è a valori reali, è simmetrico. Infatti, siano dati due vettori test
ϕ, ψ ∈ C0∞ (RN ) e osserviamo che (per fissare le idee poniamo N = 1)
"
!
#
!
Z
∂
∂
−ih̄
V (q)ψ̄(q)ϕ(q) dq
ψ̄(q) ϕ(q) dq +
· −ih̄
∂x
∂x
R
"
!
!
#
Z
∂
∂
1 Z
−ih̄
· −ih̄
ψ̄(q) ϕ(q) dq +
= lim
R→+∞ 2m |q|≤R
∂x
∂x
R
1 Z
hHψ, ϕi =
2m R
"
1 
= lim
R→+∞ 2m
+
Z
R
!
∂ ψ̄(q)
−ih̄
ϕ(q)
∂x
#R
−R
−
Z
|q|≤R
∂ ψ̄(q)
−ih̄
∂x
!
∂ϕ(q)
−ih̄
∂x
!

dq  +
16
"
Z
∂ ψ̄(q)
1
−
−ih̄
= lim
R→+∞ 2m
∂x
|q|≤R
"
∂ϕ(q)
1 
ψ̄(q) −ih̄
= lim
R→+∞ 2m
∂x
+
Z
R
!
!#R
∂ϕ(q)
−ih̄
∂x
+
−R
Z
|q|≤R
!
dq +
ψ̄(q)
"
1 Z
= lim
ψ̄(q)
R→+∞ 2m |q|≤R
= hψ, Hϕi
"
∂
−ih̄
∂x
!
!
#
Z
R
∂
−ih̄
∂x
!
!
#
#
Z
∂
−ih̄
ϕ(q) dq +
∂x
R
Poiché lo spazio C0∞ è denso in L2 la proprietà vale.
Proprietà 1
Stati stazionari ψn e ψm corrispondenti a diversi livelli En 6= Em dell’energia sono ortogonali tra loro:
En hψn , ψm i = hEn ψn , ψm i = hHψn , ψm i = hψn , Hψm i = hψn , Em ψm i
= Em hψn , ψm i
poiché H è simmetrico, da cui segue che (En − Em )hψn , ψm i = 0. Osserviamo che stati
stazionari degeneri, ovvero corrispondenti ad uno stesso livello energetico, non sono necessariamente ortogonali tra loro; è comunque sempre possibile, mediante una opportuna
scelta, determinare stati stazionari ortonormali.
Proprietà 2
Poiché in uno stato stazionario (discreto) la norma kψk2 = 1 è finita segue che la funzione
d’onda deve decrescere rapidamente all’infinito e quindi il sistema si ”muove” in una
regione finita, si trova cioé in uno stato legato. Diverso è il caso dello spettro
continuo in cui la norma kψk2 non è finita.
Proprietà 3
Se l’energia potenziale V (q) è una funzione continua a tratti allora la funzione d’onda,
soluzione dell’equazione (2.12), è continua insieme alla sua derivata prima; solo nel caso in
cui l’energia potenziale sia singolare sono presenti discontinuità nella funzione d’onda. In
particolare se l’energia potenziale V ”assume” il valore ∞ in una regione allora su questa
regione la funzione d’onda deve annullarsi identicamente.
Proprietà 4
Sia
Vmin = min V (q)
q∈M

∂
−ih̄
ϕ(q) dq  +
∂x
17
Allora i valori dell’energia En in corrispondenza agli stati stazionari soddisfano alla
seguente proprietà
En > Vmin .
(2.14)
Infatti, sia ψn l’autovettore associato, esso ovviamente non può essere identicamente
costante e inoltre soddisfa alla relazione (2.12); di conseguenza, moltiplicandola scalarmente per ψn , si ottiene la seguente reazione
h̄2
hψn , (i∇)2 ψn i + hψn , V ψn i = En
2m
Poiché
hψn , V ψn i ≥ hψn , Vmin ψn i = Vmin
e
hψn , (i∇)2 ψn i = hi∇ψn , i∇ψn i > 0
allora segue la disuguaglianza (2.14).
Proprietà 5
Sia
V∞ = lim
inf V (q)
q→∞
allora le soluzioni E < V∞ del problema (2.12) corrispondono a stati legati, cioé i corrispondenti autovettori sono quadrato sommabili. D’altra parte, le soluzioni E ≥ V∞ del
problema (2.12) corrispondono a stati non legati, cioé i corrispondenti autovettori non
sono quadrato sommabili. Ovvero, se denotiamo con σp lo spettro puntuale e con σc lo
spettro continuo segue che
σp ⊂ (Vmin , V∞ ) e σc ⊆ [V∞ , +∞).
Proprietà 6
Sia E un autovalore non degenere soluzione dell’equazione (2.12) con autofunzione associata ψ, allora ψ può sempre essere scelta a valori reali. Infatti, se ψ è soluzione
dell’equazione (2.12) allora, prendendone il complesso coniugato, segue che anche ψ̄ ne è
soluzione (assumendo che V è a valori reali), e di conseguenza anche la loro combinazione
lineare 12 (ψ + ψ̄) ne è soluzione. Osserviamo inoltre che se una funzione d’onda ψ è
soluzione dell’equazione (2.9) allora l’equazione ottenuta a partire dalla (2.9) invertendo
l’asse dei tempi t → −t ammette soluzione ψ̄.
18
Proprietà 7
Il calcolo degli autovalori del problema (2.12) può essere affrontato in modo variazionale.
Introduciamo il funzionale energia
F : H = L2 (M) → R
definito nel seguente modo (su un dominio appropriato)
h̄2
hψ, (i∇)2 ψi + hψ, V ψi
2m
h̄2
h̄2
=
hi∇ψ, i∇ψi + hψ, V ψi =
ki∇ψk2 + hψ, V ψi
2m
2m
F(ψ) = hψ, Hψi =
Da qui appare che il dominio del funzionale è lo spazio di Sobolev H 1 , con condizioni di
normalizzazione kψk = 1. Premesso ciò segue che gli autovettori di H sono tutti e soli
i ”punti” di stazionarietà per F. In particolare il minimo del funzionale sarà il ground
state dell’operatore H:
min
ψ∈H 1 , kψk=1
F(ψ) = E0 .
Il ”punto” ψ0 di stazionarietà in corrispondenza al quale si determina in minimo del
funzionale F(ψ0 ) = E0 sarà quindi l’autovettore (in senso debole) di H associato a E0 . In
virtù di teoremi del calcolo variazionale si può sempre dimostrare che ψ0 non si annulla
mai in alcun punto.
Per determinare il secondo autovalore E1 andreamo a cercare il minimo del funzionale
F sul sottospazio ortogonale a ψ0 :
E1 =
min
ψ∈H 1 , kψk=1, hψ,ψ0 i=0
F(ψ)
e di seguito gli altri autovalori.
Proprietà 8
Il livello energetico corrispondente al ground state è sempre non degenere. Infatti, se
esso fosse degenere allora esistono almeno due diverse autofunzioni ψ0′ e ψ0′′ corrispondeti
ad E0 , ed anche una loro combinazione lineare c′ ψ0′ +c′′ ψ0′′ è associata allo stesso autovalore
E0 . D’altra parte quest’ultima funzione si può annullare in un qualunque punto prefissato
per una opportuna scelta delle costanti c′ e c′′ in contraddizione con il fatto che la funzione
d’onda associata al ground state non si annulla mai.
2.2 Equazione di Schrödinger in dimensione 1- Applicazioni elementari
2.2.1 Proprietà generali
Consideriamo il caso particolare in cui la dimensione dello spazio si riduce a 1. In questo
caso l’equazione indipendente dal tempo prende la forma
d2 ψ 2m
+ 2 [E − V (x)] ψ = 0, kψk =
dx2
h̄
Z
2
R
|ψ(x)| dx
1/2
=1
19
(2.15)
Anzitutto osserviamo che se V (x) è una funzione di classe C r allora la soluzione ψ(x) del
problema agli autovettori (2.15) deve essere di classe C r+2 .
Una prima proprietà caratteristica dei sistemi unidimensionali è la seguente.
Teorema 2.1. I livelli energetici dello spettro puntuale sono non degeneri.
Dimostrazione. Supponiamo, per assurdo, che ad un dato valore E corrispondono due autofunzioni ψ1 e ψ2 linearmente indipendenti. Poiché sono soluzioni della stessa equazione
deve essere
ψ1′′
2m
ψ ′′
= 2 [E − V (x)] = 2
ψ1
ψ2
h̄
ovvero
ψ1′′ ψ2 − ψ2′′ ψ1 = 0 .
Integrando ambo i membri segue che deve essere
ψ1′ (x)ψ2 (x) − ψ2′ (x)ψ1 (x) = C
dove C è una costante. Poiché questa relazione vale per ogni x, e quindi vale anche nel
limite x → ±∞, e poiché le funzioni ψ1,2 (x) sono quadrato sommabili e quindi si annullano
all’infinito segue che deve essere C = 0. Di conseguenze
ψ1′ (x)ψ2 (x) − ψ2′ (x)ψ1 (x) = 0
da cui segue
ψ2′
ψ1′
=
.
ψ1
ψ2
Integrando una seconda volta segue che deve essere ψ2 = cψ1 , cioé le due funzioni sono
linearmente indipendenti, cadendo in assurdo.
Un secondo risultato, del quale omettiamo la dimostrazione, è il seguente.
Teorema 2.2. Consideriamo gli autovalori En dello spettro puntuale, ordinati in ordine
crescente, e siano ψn gli autovettori associati, n = 0, 1, 2, . . .. Il numero degli zeri reali
di ψn (x), contandone la molteplicità, è esattamente uguale a n.
Se il potenziale è soggetto a proprietà di simmetria allora queste si riflettono anche
sulle soluzioni.
Teorema 2.3. Se V (x) è una funzione pari, ovvero V (−x) = V (x), allora le autofunzioni
ψn (x) sono funzioni pari se n = 0, 2, 4, . . ., sono invece funzioni dispari se n = 1, 3, 5, . . ..
20
Dimostrazione. Infatti, se V (−x) = V (x) allora l’equazione (2.15) con soluzione reale ψ(x)
resta invariata se scambiamo x → −x e di conseguenza ψ(−x) è anch’esso soluzione. Per
la condizione di non degenerazione deve essere ψ(−x) = cψ(x) per una qualche costante
c e, dalla condizione di normalizzazione, deve essere c = ±1. Quindi le soluzioni ψ(x)
sono funzioni pari o dispari. D’altra parte se n è pari allora l’autofunzione ammette un
numero pari di zeri, e quindi non può che essere una funzione pari; se invece n è dispari
allora l’autofunzione ammette un numero dispari di zeri, e quindi non può che essere una
funzione dispari.
2.2.2 Esempi notevoli
Particella in dimensione 1 in una scatola
Come prima applicazione consideriamo un modello molto semplice: una particella in dimensione 1 mobile tra due barriere di potenziale in x = 0 ed x = a, a > 0. Il potenziale
V (x) si scrive come
V (x) =
(
+∞ se x < 0 o x > a
.
0
se 0 ≤ x ≤ a
Quindi, per 0 ≤ x ≤ a, la particella è libera ed essa non può penetrare le due barriere
infinite; ovvero ψ(x) ≡ 0 per x ≤ 0 e per x ≥ a, gli estremi sono inclusi per continuità
della funzione d’onda in x = 0 ed in x = a.
Come primo passo studiamo l’equazione di Schrödinger indipendente dal tempo all’interno
dell’intervallo [0, a]
h̄2 d2
ψ(x) = Eψ(x)
−
2m dx2
(2.16)
con condizioni al contorno
ψ(0) = ψ(a) = 0
e con condizione di normalizzazione
Z
a
0
|ψ(x)|2 dx = 1
È immediato riconoscere che l’equazione (2.16) non ha soluzioni compatibili con le
condizioni al contorno per E ≤ 0, per determinare le soluzioni corrispondenti a E > 0
poniamo
√
2mE
k=
h̄
e la soluzione generale dell’equazione
d2
ψ(x)
dx2
= −k 2 ψ(x) ha la forma
ψ(x) = C sin(kx + ϕ) .
Dalla condizione ψ(0) = 0 immediatamente segue che ϕ = 0, dalla seconda condizione
ψ(a) = 0 segue invece che il parametro k non può essere arbitrario ma deve soddisfare
21
alla condizione ka = nπ, n ∈ N. Quindi abbiamo una famiglia di soluzioni {ψn }+∞
n=1 date
da
nπ
,
(2.17)
ψn (x) = Cn sin(kn x), kn =
a
2 2
π h̄
2
corrispondenti al valore
dell’energia En = 2ma
2 n . La costante Cn di normalizzazione è
q
semplicemente Cn = 2/a. In conclusione, gli autovalori e le autofunzioni associate sono
date da
s
2
π 2 h̄2 2
nπ
sin
x , En =
n , n = 1, 2, . . . .
(2.18)
a
a
2ma2
Nota 2.5: Si osserva che la densità dei livelli energetici En aumenta al crescere di a e di
m; questo fatto implica che quando m ed a sono grandi (come nel caso dei corpi macroscopici) allora i livelli quantistici diventano approssimativamente continui. Similmente
per h̄ molto piccolo.
Nota 2.6: Dalla teoria delle serie di Fourier si può osservare che l’insieme delle autofunzioni è una base per lo spazio di Banach X delle funzioni continue in [0, a] con condizione
nulle agli estremi. Se denotiamo con H lo spazio di Hilbert delle funzioni quadrato sommabili su [0, a] con condizione nulle agli estremi e se osserviamo che X ⊂ H ed è denso in H
con la norma L2 allora possiamo affermare che ogni ψ ∈ H può essere decomposta come
somma di una serie di Fourier convergente il H:
ψn (x) =
ψ(x) =
+∞
X
n=1
cn ψn (x) , cn = hψn , ψi =
Z
a
0
ψ̄n (x)ψ(x)dx .
Poiché {ψn }n costituisce una base per lo spazio H siamo ora in grado di determinare
la soluzione ψ(x, t) dell’equazione di Schrödinger dipendente dal tempo
h̄2 ∂ 2
∂
ψ , x ∈ [0, a] , ψ(0) = ψ(a) = 0 ,
ih̄ ψ = −
∂t
2m ∂x2
a partire da una configurazione iniziale ψ(x, 0) = ψ 0 (x) ∈ H. Ponendo
0
ψ (x) =
+∞
X
n=1
cn ψn (x), cn = hψn , ψ 0 i ,
segue che la soluzione ψ(x, t) ha la forma
ψ(x, t) =
+∞
X
n=1
cn ψn (x)e
−iEn t/h̄
√
X
π 2 h̄
2
2 +∞
nπ
=
x .
cn e−i 2ma2 n t sin
a n=1
a
(2.19)
Esercizio 2.1: Poniamo a = 1, m = 1 e h̄ = 1 e scegliamo le condizioni iniziali
ψ0 (x) = cx(x − 1)eivx , v ∈ R
dove c è una costante di normalizzazione. Determinare c e la soluzione ψ(x, t) dell’equazione
di Schrödinger dipendente dal tempo mediante la serie (2.19). Calcolare poi per diversi
valori di v
hxi = hψ(·, t), ·ψ(·, t)i =
Z
a
0
x|ψ(x, t)|2 dx .
22
Buca di potenziale finita
Consideriamo ora un modello più complesso: il potenziale esterno è una buca quadrata di
profondità finita:
V (x) =
(
V0 se x < 0 o x > a
,
0 se 0 ≤ x ≤ a
dove V0 > 0 è un valore fissato. Distinguiamo l’asse reale in tre regioni


 (I)
x<0
(II) 0 ≤ x ≤ a

 (III) a < x
e cerchiamo le soluzioni dell’equazione di Schrödinger indipendente dal tempo per valori
dell’energia E ∈ (0, V0 ). Nelle regioni (I) e (III) questa equazione prende la forma
(imponendo fin d’ora che ψ ∈ L2 )
d2
ψ = h2 ψ, dove h =
dx2
q
2m(V0 − E)
h̄
.
Nella regione (II) l’equazione prende la forma
d2
ψ = −k 2 ψ, dove k =
2
dx
√
2mE
.
h̄
Osserviamo che per E = 0 segue che k = kmin = 0 e per E = V0 allora k = kmax =
La soluzione generale prende quindi la forma


 ψI (x)
= cI · ehx , x < 0
ψII (x) = cII · sin(kx + ϕ) , 0 ≤ x ≤ a

 ψ (x) = c
−hx
, x>a
III
III · e
√
2mV0
.
h̄
(2.20)
dove dobbiamo imporre la condizione di continuità della funzione d’onda ψ e della sua
derivata prima in corrispondenza di x = 0 e x = a (matching conditions):


cI
ψI (0) = ψII (0)






c h
 ψ ′ (0) = ψ ′ (0)
I
II
⇒  I

cII sin(ka + ϕ)
ψ
(a)
=
ψ
(a)
II
III





 ′
′
= cII sin(ϕ)
= cII k cos(ϕ)
= cIII e−ha
cII k cos(ka + ϕ) = −cIII he−ha
ψII (a) = ψIII (a)
(2.21)
Da quest’ultimo sistema si perviene alla seguente condizione
tan(ϕ) =
k
k
e tan(ka + ϕ) = − ,
h
h
ovvero deve valere la seguente condizione
!
k
, n = 1, 2, . . . ,
nπ − ka = 2arctan
h
(2.22)
23
dove la funzione arctan prende valori nell’intervallo [0, π/2]. Tornando all’espressione
iniziale di h e k in funione di E si perviene all’equazione
s
√
!
2a2 mE
E
, g(E) := 2arctan
f (E) = g(E) dove f (E) := nπ −
(2.23)
h̄
V0 − E
È immediato osservare che f (E) è una funzione monotona decrescente tale che
√ 2
2a mV0
f (0) = nπ > 0 e f (V0 ) = nπ −
;
h̄
inoltre g(E) è una funzione monotona crescente e tale che
g(0) = 0 e g(V0 ) = π .
Quindi,per ogni fissato n l’equazione f (E) = g(E) ammette una sola soluzione En =
h̄2 kn2 /2m a condizione che il parametro n sia tale che
√ 2
2a mV0
> (n − 1)π .
(2.24)
g(V0 ) > f (V0 ) ⇒
h̄
Le rimanenti equazioni del sistema (2.21) e la condizione di normalizzazione
1=
Z
+∞
−∞
2
|ψ(x)| dx =
Z
0
2
−∞
|ψI (x)| dx +
Z
a
0
2
|ψII (x)| dx +
Z
+∞
a
|ψIII (x)|2 dx
permettono di determinare i valori dei restanti parametri cI , cII e cIII e della fase ϕ.
Nota 2.7: Non è possibile determinare in forma esplicita gli autovalori En e le autofunzioni
associate, ma solo in forma approssimata.
Nota 2.8: A differenza dell’esempio 2.2.2 in questo caso noi otteniamo un numero finito
N di autovalori, dove N è tale che
√ 2
2a mV0
N <1+
.
h̄π
2
Quindi il sistema degli autovettori {ψn }N
n=1 non fornisce una base per lo spazio L (R).
Nota 2.9: In questo modello osserviamo un fenomeno tipico della meccanica quantistica
che non trova il corrispondente in meccanica classica. La funzione d’onda non è identicamete nulla al di fuori dell’intervallo [0, a], anzi è possibile calcolare la probabilità P di
trovare la particella al di fuori di questo intervallo attraverso gli integrali
P=
Z
0
−∞
2
|ψI (x)| dx +
Z
+∞
a
|ψIII (x)|2 dx .
Questo fenomeno, denominato effetto tunnel, è un effetto puramente quantistico che
non ha controparte classica; infatti in meccanica classica la regione in cui E < V (x) è
completamente interdetta al moto delle particelle.
Nota 2.10: Per E > V0 l’equazione di Schrödinger indipendente dal tempo non ha
soluzioni quadrato sommabili, ma solo limitate, coerentemente con il fatto che lo spettro
discreto sia un sottoinsieme di (0, V0 ), mentre lo spettro continuo σc = [V0 , +∞).
24
Potenziale singolare di tipo δ di Dirac
Consideriamo ora un modello collegato con il modello precedente in cui il potenziale
esterno V è una δ di Dirac che, per fissare le idee, assumiamo posizionata nell’origine:
V (x) = αδ(x) dove α ∈ R è un parametro fissato che misura l’intensità della δ; se α > 0
si parla di δ repulsiva, invece se α < 0 si parla di δ attrattiva. Si può dimostrare che
l’effetto della δ sulla funzone d’onda consiste nel preservare la continuità e impone una
discontinuità della derivata prima:
ψ(0 + 0) = ψ(0 − 0) e ψ ′ (0 + 0) = ψ ′ (0 − 0) + αψ(0 + 0)
(2.25)
Esercizio 2.2: È ben noto che una distribuzione δ può essere costruita come limite
distribuzionale di una buca di potenziale Vn di profondità n e ampiezza 1/n:
Vn (x) =
(
−n, x ∈ [0, 1/n]
.
0, x ∈
/ [0, 1/n]
Dimostrare che le condizioni di matching del tipo (2.21) si traducono, nel limite n → +∞,
nella condizione (2.25).
Per risolvere l’equazione di Schrödinger indipendente dal tempo
−
h̄2 d2
ψ + αδψ = Eψ
2m dx2
(2.26)
distinguiamo l’asse reale in due regioni
(
(I) x < 0
(II) 0 < x
e cerchiamo separatamente le soluzioni dell’equazione di Schrödinger indipendente dal
tempo per valori dell’energia E ∈ R. Per ottenere soluzioni in L2 deve essere E < 0 e la
soluzione generale (in L2 ) prende quindi la forma
(
√
2mE
ψI (x) = cI · ekx , x < 0
, k = −E > 0 , E =
,
−kx
ψII (x) = cII · e
, x>0
h̄2
dove dobbiamo imporre la matching conditions (2.25) dove poniamo α̃ = α 2m
:
h̄2
(
ψI (0)
= ψII (0)
⇒
′
′
ψI (0) + α̃ψI (0) = ψII
(0)
(
cI
= cII
kcI + α̃cI = −kcII
Da quest’ultimo sistema si perviene alla seguente condizione
1
e k = − α̃
2
cI = cII
ovvero deve valere la seguente condizione
α̃ < 0 .
(2.27)
25
Sotto la condizione (2.27) segue quindi che il problema agli autovalori (2.26) ammette
il solo autovalore
1
m
E = − α̃2 ⇒ E = − 2 α2
4
2h̄
con autofunzione normalizzata associata
ψ(x) =
s
k −k|x|
e
=
2
s
m|α| − |α|m
|x|
h̄2
.
2 e
2h̄
n
o
m 2
, ovvero ha cardiNota 2.11: Per α < 0 possiamo quindi concludere che σd = − 2h̄
2α
nalità 1, e σc = [0, +∞). Invece, per α ≥ 0 segue che σd = ∅ e σc = [0, +∞).
Potenziale di tipo doppia buca simmetrico realizzato con due δ di Dirac
Il problema agli autovalori
"
#
h̄2 d2
−
+ βδ−a + βδ+a ψ = Eψ
2m dx2
per β < 0 è equivalente al problema agli autovalori
Hα ψ = Eψ
dove abbiamo posto E = 2mE/h̄2 e dove
d2
+ αδ−a + αδ+a , α = 2mβ/h̄2
dx2
Le condizioni di matching sono date da
Hα = −
ψ(±a + 0) = ψ(±a − 0)
e
ψ ′ (±a + 0) − ψ ′ (±a − 0) = αψ(±a + 0) .
Esercizio 2.3: Dimostrare che se α < 0 allora (2.28) ha i seguenti autovalori
- se a ≤ − α1 allora si ha un solo autovalore E1 (a, α) definito da
E1 (a, α) = −
1
[W (−aαeaα ) − aα]2 ;
2
4a
- se a > − α1 allora si hanno due autovalori E1 (a, α) and E2 (a, α) dove
E2 (a, α) = −
1
[W (+aαeaα ) − aα]2 .
2
4a
dove W (x) è la funzione speciale di Lambert che soddisfa alla relazione
W (x)eW (x) = x.
I due autovettori associati hanno la seguente forma
(2.28)
26
i) Sia
k1 =
q
E1 =
i
[W (−aαeaα ) − aα]
2a
allora
 −ik1 x

e
ψ1 (x) = C1 

2k1 +iα
2k1
+ik1 x
e
−ik1 x
+e
ik1 x
e
, x < −a
, −a ≤ x ≤ +a
, x > +a
dove C1 è la costante di normalizzazione data da
ii) Sia
C1 = q
k2 =
|k1 |
(2|k1 | + α) (2|k1 |a + aα + 1)
q
E2 =
.
i
[W (+aαeaα ) − aα]
2a
allora
ψ2 (x) = C2
 −ik2 x

e


2k2 +iα
e−ik2 x
2k2
+ik2 x
−e
−e
ik2 x
, x < −a
, −a ≤ x ≤ +a
, x > +a
dove C2 è la costante di normalizzazione data da
C2 = q
|k2 |
−(2|k2 | + α) (2|k2 |a + aα + 1)
.
Nota 2.12: Ricordando che la funzione speciale di Lambert W (x) ha il seguente andamento asintotico
3
W (x) ∼ x − x2 + x3 + O(x4 )
2
allora segue che lo splitting è esponenzialmente piccolo:
|E1 − E2 | ∼ h̄2 α2 eaα =
β 2 aβ/h̄2
β 2 −a|β|/h̄2
e
=
e
.
h̄2
h̄2
Nota 2.13: Si osserva che le due autofunzioni soddisfano a condizioni di simmetria:
ψ1 (−x) = ψ1 (x) e ψ2 (−x) = −ψ2 (x)
Consideriamo ora la dinamica associata all’equazione di Schrödinger dipendente dal
tempo
"
27
#
∂
h̄2 ∂ 2
ih̄ ψ = −
+ βδ−a + βδ+a ψ
∂t
2m ∂x2
per β < 0 e dove assumiamo che all’istante iniziale la funzione d’onda ψ(x, t) sia una
combinazione lineare dei soli due autovettori ψ1,2 (x):
ψ(x, 0) = ψ 0 (x) = c1 ψ1 (x) + c2 ψ2 (x)
La soluzione ψ(x, t) ha quindi la forma
ψ(x, t) = c1 e−iE1 t/h̄ ψ1 (x) + c2 e−iE2 t/h̄ ψ2 (x) .
Per studiare la funzione d’onda ψ(x, t) andiamo ad introdurre i seguenti due vettori
normalizzati di L2 (R):
ψR =
ψ1 + ψ2
√
2
e ψL =
ψ1 − ψ2
√
2
(2.29)
ψR − ψL
√
.
2
(2.30)
La relazione inversa è immediata:
ψ1 =
ψR + ψL
√
2
e ψ2 =
Esercizio 2.4: Dimostrare che i vettori ψR e ψL sono localizzati solo su una delle due
”buche”, nel senso che
Z
+∞
0
|ψL (x)|2 dx = termine esponenzialmente piccolo rispetto a h̄
e similmente
Z
0
−∞
|ψR (x)|2 dx = termine esponenzialmente piccolo rispetto a h̄ .
Esprimendo ψ(x, t) attraverso questa base si ottiene che
ψ(x, t) = c1 e−iE1 t/h̄ ψ1 (x) + c2 e−iE2 t/h̄ ψ2 (x)
ψR (x) + ψL (x)
ψR (x) − ψL (x)
√
√
= c1 e−iE1 t/h̄
+ c2 e−iE2 t/h̄
2
2
h
i
i
1 h −iE1 t/h̄
1
= √ c1 e
+ c2 e−iE2 t/h̄ ϕR (x) + √ c1 e−iE1 t/h̄ − c2 e−iE2 t/h̄ ϕL (x)
2
2
)
(
h
i
i
1 h iωt/h̄
1
iωt/h̄
−iωt/h̄
−iωt/h̄
−iΩt/h̄
√ c1 e
+ c2 e
− c2 e
ϕR (x) + √ c1 e
ϕL (x)
=e
2
2
dove abbiamo posto
Ω=
E1 + E2
2
e ω=
E2 − E1
2
Segue quindi che ψ(x, t) è, a meno di un fattore comune di fase E −iΩt/h̄ inessenziale,
una funzione periodica in t con periodo
28
T =
πh̄
ω
Consideriamo infine il caso particolare in cui all’istante iniziale sia c1 = c2 =
√1 ,
2
ovvero
ψ 0 (x) = ψR (x)
lo stato è inizialmente localizzato tutto su una buca (diciamo la buca destra). Con queste
condizioni iniziali la funzione d’onda ψ(x, t) prende la forma
ψ(x, t) = e−iΩt/h̄ [cos(ωt/h̄)ϕR (x) + sin(ωt/h̄)ϕL (x)]
e osserviamo che ha luogo un moto di battimento: all’istante iniziale lo stato è tutto
= 12 T lo stato è invece localizzato
localizzato sulla buca destra, dopo un tempo t = πh̄
2ω
completamente sull’altra buca. Il passaggio della funzione da una buca all’altra è permesso
dall’effetto tunnel.
Oscillatore armonico
Consideriamo una particella che compie piccole oscillazioni unidimensionali (il cosidetto
oscillatore armonico o anche oscillatore lineare). L’energia potenziale V (x) della
particella di massa m è uguale a
1
V (x) = mω 2 x2
2
dove ω rappresenta nella meccanica classica la frequenza propria delle oscillazioni.
L’equazione di Schrödinger dipendente dal tempo assume la forma
ih̄
h̄2 ∂ 2
1
∂
ψ=−
ψ + mω 2 x2 ψ
2
∂t
2m ∂x
2
(2.31)
Poiché l’energia potenziale diventa infinita nel limite x → ±∞ allora la particella
sostanzialemnte può compiere solo un moto finito e di conseguenza ci aspettiamo che
lo spettro sia solamente puntuale e che l’insieme delle autofunzioni del problema agli
autovalori
−
h̄2 d2
1
ψ + mω 2 x2 ψ = Eψ, kψk = 1,
2
2m dx
2
(2.32)
costituisca una base dello spazio di Hilbert L2 (R). Osserviamo inoltre che deve essere
E > min V = 0.
Per risolvere l’equazione (2.32) conviene fare il cambio di variabile
ξ=
r
mω
x
h̄
In tal modo l’equazione (2.32) prende la forma
2E
ψ +
− ξ 2 ψ = 0 dove
h̄ω
′′
′
=
d
.
dξ
(2.33)
29
è trascurabile allora
Se osserviamo che per grandi valori di ξ il termine costante 2E
h̄ω
′′
2
l’equazione approssimata prende la forma ψ = ξ ψ che ammette soluzioni con com2
portamento asintotico del tipo e±ξ /2 . Poiché la funzione d’onda ψ deve essere quadrato
sommabile allora occorre scegliere la sola soluzione con il segno −. Di conseguenza la
soluzione dell’equazione completa (2.33) può essere scritta nella forma
ψ(ξ) = e−ξ
2 /2
χ(ξ)
(2.34)
dove χ(ξ) è una funzione incognita che deve essere finita per ξ finito e che nel limite
ξ → ±∞ può crescere con velocità al più di tipo potenza. Sostituendo la (2.34) nella
(2.33) si ottiene che χ soddisfa alla equazione differenziale
χ′′ − 2ξχ′ + 2nχ = 0
(2.35)
dove abbiamo posto
2n =
2E
−1
h̄ω
Si può dimostrare che l’equazione (2.35) ammette sempre due soluzioni linearmente
2
indipendente; per n ∈
/ N entrambe divergono all’infinito con velocità maggiore di eξ /2 ,
2
invece per n ∈ N una diverge all’infinito con velocità maggiore di eξ /2 mentre l’altra
diverge all’infinito con velocità di tipo potenza. Quest’ultima soluzione ha la forma
χ(ξ) = an Hn (ξ)
dove an è una costante di normalizzazione e dove Hn (ξ) sono polinomi di Hermite di grado
n in ξ definiti dalla formula
n ξ2 d
Hn (ξ) = (−1) e
n −ξ 2
e
.
dξ n
(2.36)
Dove ricordiamo che i polinomi di Hermite sono funzioni a valori reali e soddisfano alle
seguenti proprietà:
i. H0 (ξ) = 1, H1 (ξ) = 2ξ e in generale
Hn (ξ) = 2ξHn−1 (ξ) − 2(n − 1)Hn−2 (ξ) .
ii. sono ortogonali, nel senso che
Z
R
√
2
e−ξ Hn (ξ)Hm (ξ)dξ = δnm 2n n! π .
2
Esercizio 2.5: Dimostrare che il sistema di vettori {e−ξ /2 Hn (ξ)} é un sistema ortonormale completo.
Di conseguenza i soli valori ammessi per l’energia sono dati da
En =
2n + 1
h̄ω, n = 0, 1, 2, . . .
2
30
Imponendo le condizioni di normalizzazione kψn k = 1 segue che i corrispondenti autovettori costituiscono un sistema ortonormale completo e sono dati da
ψn (x) =
r
4
r
mω 2
mω 1
mω
√
e− 2h̄ x Hn x
h̄π 2n n!
h̄
(2.37)
Poiché il sistema di autovettori ψn è un sistema ortonormale completo dello spazio di
Hilbert L2 (R) si può determinare la soluzione dell’equazione (2.31) attraverso lo sviluppo
in serie. Assegnata la funzione d’onda ψ(x, t) all’istante iniziale:
ψ 0 (x) = ψ(x, 0)
e ponendo
cn = hψn , ψ 0 i , n = 0, 1, 2, 3, . . .
segue che la soluzione ψ(x, t) è determinata dalla serie
ψ(x, t) =
∞
X
cn e−iEn t/h̄ ψn (x)
(2.38)
n=0
Esercizio 2.6: Sia assegnata la funzione d’onda all’istante inziale
ψ 0 (x) = ceivx e−(x−µ)
2 /σ 2
dipendente dai parametri µ, σ e v; c è una costante di normalizzazione (da calcolare).
Si deve calcolare la soluzione ψ(x, t) mediante la serie (2.38). Si calcoli poi il valore di
aspettazione
hxit = hψ, xψi
e lo si confronti, per diversi valori dei parametri, con il moto x(t) classico della particella.
Coefficiente di trasmissione
Consideriamo l’equazione di Schrödinger dipendente dal tempo in cui il potenziale V (x)
forma una barriera; per fissare le idee e per semplicità assumiamo che questa barriera
sia quadrata:
V (x) =
(
0 se x < 0 o x > a
,
V0 se 0 ≤ x ≤ a
dove V0 è una grandezza positiva assegnata.
Consideriamo una particella che si muove da sinistra verso destra con velocità positiva
assegnata, sia E la sua energia totale. In meccanica classica è ben noto che se:
i. l’energia totale E è minore del massimo V0 della barriera allora la particella sarà
totalmente riflessa dalla barriera e non potrà mai visitare la regione destra;
ii. l’energia totale E è maggiore del massimo V0 della barriera allora la particella sarà
totalmente trasmessa dalla barriera e potrà visitare la regione destra, uscendo completamente dalla regione sinistra.
31
In meccanica quantistica si osservano invece due fenomeni nuovi. Se
i’. l’energia totale E è minore del massimo V0 della barriera allora la particella sarà
parzialmente riflessa dalla barriera, nel senso che la probabilità della particella di
attraversare la barriera di potenziale (effetto tunnel) e di visitare la regione destra è
non nulla (anche se piccola);
ii’. l’energia totale E è maggiore del massimo V0 della barriera allora la particella sarà
parzialmente trasmessa dalla barriera, nel senso che una piccola frazione della funzione d’onda sarà riflessa.
Per semplicità consideriamo solo onde piane (anche se non sono quadrato sommabili ....
). Un’onda piana trasmessa √
di energia E ha la forma eikx mentre un’onda piana riflessa
ha la forma e−ikx , dove k = 2mE/h̄. Infatti, la velocità, più precisamente il momento
p, associata all’onda piana (consideriamo l’onda piana su un dominio limitato in modo da
poterla normalizzare) è data da
*
+
∂
hpi = ψ, −ih̄ ψ = kh̄hψ, ψi = kh̄ .
∂x
Fissato E andiamo a determinare la soluzione dell’equazione indipendente dal tempo
h̄2 d2
−
ψ(x) = Eψ(x)
2m dx2
(2.39)
con la condizione
ψ(x) = Deikx , x > a, k =
√
2mE/h̄
corrispondente al fatto che a destra della barriera abbiamo solo un’onda trasmessa. Il
coefficiente D misura la ”quantità” di onda trasmessa e la grandezza |D|2 misura il coefficiente di trasmissione T . A sinistra della barriera la soluzione generale dell’equazione
(2.39) ha la forma
√
ψ(x) = eikx + Ae−ikx , x < 0, k = 2mE/h̄
corrispondente al fatto che a sinistra della barriera abbiamo sia un’onda piana che si
muove verso destra sia un’onda riflessa con coefficiente A. Il coefficiente A misura la
”quantità” di onda riflessa e la grandezza |A|2 misura il coefficiente di riflessione R.
Osserviamo che deve sussistere la seguente relazione tra i due coefficienti: R = 1 − T .
Consieriamo separatamente due casi: E > V0 ed E < V0 .
Caso 1: E > V0 . In questo caso all’interno della barriera la soluzione dell’equazione
(2.39) prende la forma
ψ(x) = Beihx + Ce−ihx , 0 < x < a, h =
q
2m(E − V0 )/h̄
(2.40)
Le costanti A, B, C e D sono determinate imponendo le condizioni di raccordo nei punti
x = 0 e x = a: ψ e ψ ′ continua in questi punti.
Esercizio 2.7: Verificare che un calcolo porta al seguente risultato
32
T =
4h2 k 2
.
(k 2 − h2 )2 sin2 (ah) + 4h2 k 2
(2.41)
Nota 2.14: Osserviamo che
T < 1 e quindi R > 0 , ∀E > V0 tale che ah 6= nπ, n = 1, 2, . . . ,
e che
lim T (E) = 1 e
E→+∞
lim+ =
E→V0
1
.
1 + mV0 a2 /2h̄
Inoltre per ah = nπ abbiamo che T = 1 e R = 0; cioé abbiamo che l’onda viene completamente trasmessa.
Caso 2: E < V0 . In questo caso all’interno della barriera la soluzione dell’equazione
(2.39) prende ancora la forma (2.40) dove ora h è una grandezza puramente immaginaria
h=
q
2m(E − V0 )/h̄ = iχ , χ =
q
2m(V0 − E)/h̄
Di conseguenza il coefficiente di trasmissione T ha la stessa forma data in (2.41) dove è
sufficiente ricordare che sin(iθ) = i sinh(θ):
T =
4χ2 k 2
.
(k 2 + χ2 )2 sinh2 (aχ) + 4χ2 k 2
(2.42)
Nota 2.15: Osserviamo che
T >0
∀E > V0 ,
e che
lim+ T (E) = 0 e
E→0
lim− =
E→V0
1
.
1 + mV0 a2 /2h̄
Di conseguenza una piicola parte dell’onda viene trasmessa.
Esercizio 2.8: Fissato V0 > 0, m > 0 e a > 0 determinare lo sviluppo asintotico della
(2.42) nel limite semiclassico h̄ → 0.
3
Operazioni elementari sugli spazi di Hilbert
3.1 Spazio di Hilbert
Sia H uno spazio vettoriale. Sia
h·, ·i : H2 → C
una forma bilineare nel seguente senso
(
hλ1 u1 + λ2 u2 , vi = λ̄1 hu1 , vi + λ̄2 hu2 , vi
, λ1 , λ2 , µ1 , µ2 ∈ C ,
hu, µ1 v1 + µ2 v2 i = µ1 hu, v1 i + µ2 hu, v2 i
(3.1)
e tale che hu, vi = hv, ui. Una forma bilineare che sia anche definita positiva
hu, ui ≥ 0 ∧ [hu, ui = 0 ⇔ u = 0]
prende il nome di prodotto interno o prodotto scalare. Associato al prodotto scalare
si introduce la norma
kuk =
q
hu, ui .
(3.2)
La disuguaglianza triangolare segue dalla disuguaglianza di Schwarz
|hu, vi| ≤ kuk · kvk ,
(3.3)
e l’uguaglianza vale se, e solo se, u e v sono paralleli, cioé v = λu per un qualche λ ∈ C.
Se le spazio H è completo rispetto a questa norma, allora è detto spazio di Hilbert.
Nota 3.1: Se non c’è ambiguità di notazione nel seguito indicheremo con hu, vi e kvk
il prodotto scalare e la norma dello spazio di Hilbert H, dove u, v sono vettori di H.
Se invece sono presenti più spazi di Hilbert allora noi denoteremo il prodotto scalare e
lanorma dello spazio di Hilbert H con la notazione hu, viH e kukH .
Esempio 3.1: Lo spazio L2 (M, dµ) è uno spazio di Hilbert con prodotto scalare definito
da
hf, gi =
Z
M
f (x)g(x)dµ(x) .
(3.4)
Esempio 3.2: Lo spazio ℓ2 (N) è uno spazio di Hilbert con prodotto scalare definito come
34
3 Operazioni elementari sugli spazi di Hilbert
hu, vi =
∞
X
j=1
ūj vj , u = (u1 , u2 , . . . , un , . . .) , uj ∈ C .
(3.5)
Osserviamo che quest’ultimo esempio è un caso particolare dell’esempio precedente in cui
M = R e µ è una somma di misure di Dirac:
µ(x) =
∞
X
j=1
δ(x − xj ), uj = f (xj ) e vj = g(xj ) .
Un vettore ψ ∈ H è detto normalizzato o vettore unitario se kψk = 1. Due vettori
ψ, ϕ ∈ H sono detti ortogonali o perpendicolari (ϕ ⊥ ψ) se hϕ, ψi = 0, e paralleli se
uno è il multiplo dell’altro.
Se ψ e ϕ sono ortogonali allora vale il Teorema di Pitagora
ψ ⊥ ϕ ⇒ kψ + ϕk2 = kψk2 + kϕk2 .
(3.6)
Supponiamo che ϕ sia un vettore unitario. Allora la proiezione di ψ nella direzione
di ϕ è definita da
ψk = hϕ, ψiϕ
(3.7)
ψ⊥ = ψ − hϕ, ψiϕ
(3.8)
e il vettore
è perpendicolare a ϕ. Queste proprietà possono anche essere generalizzate a più di un
vettore. Un insieme di vettori {ϕj }j∈J , dove J è un insieme di cardinalità finita, è detto
un insieme ortonormale se
hϕi , ϕj i =
δij
dove
δij
=
(
1 se i = j
.
0 se i 6= j
Osserviamo che, in generale, un qualunque insieme di vettori {φj }j∈J linearmente
indipendenti può sempre essere associato ad un insieme di vettori ortonormali {ϕj }j∈J ,
ed entrambi generano lo stesso spazio vettoriale. Questa procedura, che prende il nome
di metodo di ortogonalizzazione di Gram-Schimdt, opera nel seguente modo. Il
primo vettore ϕ1 è semplicemente
ϕ1 =
φ1
.
kφ1 k
Il secondo vettore viene definito come
ϕ2 =
φ2 − hϕ1 , φ2 iϕ1
,
kφ2 − hϕ1 , φ2 iϕ1 k
per costruzione ϕ2 è normalizzato e inoltre è immediato verificare che
hϕ1 , ϕ2 i =
hϕ1 , φ2 i − hϕ1 , φ2 ikϕ1 k2
=0
kφ2 − hϕ1 , φ2 iϕ1 k
3.1 Spazio di Hilbert
35
Il procedimento procede in modo iterativo: definiti i primi n vettori ϕj , j = 1, 2, . . . , n,
normalizzati ed ortogonali tra loro, allora si definisce il vettore n + 1-esimo come
φn+1 −
Pn
j=1 hϕj , φn+1 iϕj
.
ϕn+1 = Pn
φn+1 − j=1 hϕj , φn+1 iϕj In conclusione, è immediato verificare che il nuovo sistema di vettori {ϕj }j∈J è ortonormale
e che gli spazi vettoriali generati dalle due basi coincidono.
Nel seguito possiamo quindi sempre supporre che la base di ogni spazio vettoriale,
sottoinsieme di uno spazio di Hilbert nel quale è stato introdotto un prodotto scalare, sia
formata da un insieme ortonormale.
Lemma 3.1. Supponiamo che {ϕj }j∈J sia un insieme ortonormale. Allora ogni vettore
ψ ∈ H può essere scritto come
ψ = ψk + ψ⊥ dove ψk =
X
j∈J
hϕj , ψiϕj
(3.9)
dove ψk e ψ⊥ sono ortogonali. Inoltre hϕj , ψ⊥ i = 0 per ogni j ∈ J. In particolare
kψk2 =
X
j∈J
|hϕj , ψi|2 + kψ⊥ k2 .
(3.10)
Inoltre, ogni vettore φ appartenente allo span set di {ϕj }j∈J soddisfa alla relazione
kψ − φk ≥ kψ⊥ k
(3.11)
la cui uguaglianza vale se, e solo se, ψ = ψk . In altre parole, ψ⊥ è unicamente caratterizzato come il vettore appartenente allo span set di {ϕj }j∈J più vicino a ψ.
Dimostrazione. Posto ψk =
hψ⊥ , ψk i = 0. Infatti
hψ⊥ , ψk i =
=
P
j hϕj , ψiϕj
X
e posto ψ⊥ = ψ − ψk è immediato dimostrare che
j
hhϕj , ψiϕj , ψi −
j
|hϕj , ψi|2 −
X
X
i,j
X
i,j
hhϕj , ψiϕj , hϕi , ψiϕi i
hϕj , ψi hϕi , ψi hϕj , ϕi i = 0 .
La proprietà hϕj , ψ⊥ i = 0 si verifica immediatamente, e analogamente la (3.10). Per
dimostrare la (3.11) si consideri un qualunque vettore φ appartenente allo span set di
{ϕj }j∈J :
φ=
X
c j ϕj
j∈J
dove cj ∈ C. Un calcolo immediato porta alla seguente relazione
kψ − φk2 = kψ⊥ + ψk − φk2 = kψ⊥ k2 + kψk − φk2 ≥ kψ⊥ k2
e l’uguaglianza ovviamente vale se, e solo se, ψk = φ.
36
Nota 3.2: Dalla (3.10) segue la disuguaglianza di Bessel
X
j∈J
|hϕj , ψi|2 ≤ kψk2
(3.12)
e l’uguaglianza vale se, e solo se, ψ appartiene allo span set {ϕj }j∈J .
Nota 3.3: Ricordiamo che il prodotto scalare h·, ·i può essere ottenuto dalla norma (da
esso definita) attraverso la identità di polarizzazione:
hϕ, ψi =
i
1h
kϕ + ψk2 − kϕ − ψk2 + ikϕ − iψk2 − ikϕ + iψk2 .
4
(3.13)
Definizione 3.2. Un operatore lineare biiettivo U tra due spazi di Hilbert H1 e H2 è
detto unitario se U preserva i prodotti scalari:
hUϕ, UψiH2 = hϕ, ψiH1 , ∀ψ, ϕ ∈ H1 .
(3.14)
Nota 3.4: In virtù dell’identità di polarizzazione (3.13) un operatore lineare biiettivo U
tra due spazi di Hilbert H1 e H2 è unitario se preserva le norme:
kUψkH2 = kψkH1 , ∀ψ ∈ H1 .
3.2 Base ortonormale
Estendiamo le proprietà della sezione precedente al caso in cui l’insieme dei vettori ortonormali {ϕj }j∈J ha cardinalità infinitamente numerabile: J = N. Dalla disuguaglianza di
Bessel (3.12) segue immediatamente che la serie
∞
X
j=1
|hϕj , ψi|2
converge, essendo superiormente limitata. Inoltre la serie di vettori
verge in norma. Infatti, la sua norma è data da
2
X
N
X
N
hϕj , ψiϕj =
|hϕj , ψi|2
j=1
j=1
(3.15)
P∞
j=1 hϕj , ψiϕj
con-
in virtù del Teorema di Pitagora. Poiché la serie a destra converge quando N → +∞
allora entrambe sono di Cauchy, inoltre essendo H uno spazio completo segue che la serie
considerata converge in H. Di conseguenza il Lemma 3.1 continua a sussistere anche nel
caso in cui J = N.
Definizione 3.3. Un insieme ortonormale {ϕj }j∈J si dice completo, o anche base
ortonormale dello spazio di Hilbert H, se per ogni vettore ψ ∈ H allora
ψ=
X
j∈J
hϕj , ψiϕj ,
dove la convergenza si intende in norma di H.
(3.16)
3.2 Base ortonormale
37
Si hanno seguenti criteri di equivalenza.
Teorema 3.4. Per un sistema ortonormale {ϕj }j∈J le seguenti condizioni sono equivalenti:
i. {ϕj }j∈J è un sistema ortonormale completo;
ii. per ogni vettore ψ ∈ H vale la seguente
kψk2 =
X
j∈J
|hϕj , ψi|2 ;
(3.17)
iii.hϕj , ψi = 0 per ogni j ∈ J, implica che ψ = 0.
Dimostrazione. i. ⇒ ii. segue immediatamente poiché i. implica che ψ⊥ = 0.
ii. ⇒ iii. se hϕj , ψi = 0 per ogni j allora la somma (3.17) implica che kψk = 0 e quindi
ψ = 0.
iii. ⇒ i. supponiamo, per assurdo, che esista un vettore ψ tale che
φ := ψ −
X
j∈J
hϕj , ψiϕj 6= 0 .
Moltiplicando scalarmente φ per ϕi , per ogni i ∈ J, segue che
hϕi , φi = hϕi , ψi −
X
j∈J
hϕj , ψihϕi , ϕj i = hϕi , ψi −
X
j∈J
hϕj , ψiδij = 0
Quindi φ = 0 in virtù della proprietà iii..
Esercizio 3.1: In virtù della disuguaglianza di Bessel dimostrare che la mappa ψ → ψk
è continua (nella norma dello spazio di Hilbert).
Nota 3.5: Poiché l’applicazione ψ → ψk è continua allora è sufficiente verificare le proprietà di completezza (3.16) o (3.17) su un sottoinsieme denso di H.
Esercizio 3.2: Determinare un sistema ortonormale completo per i seguenti spazi di
Hilbert:
i. L2 ([0, 2π], dx), cercare una base formata da funzioni armoniche;
ii. L2 ([−1, +1], dx), cercare una base formata da polinomi;
iii. L2 (R+ , dx);
iv. L2 (R, dx);
v ℓ2 (N).
Definizione 3.5. Uno spazio di Hilbert H si dice separabile se, e solo se, esiste un
sistema ortonormale completo di cardinalità finita o numerabile.
Nota 3.6: È immediato osservare che se H è separabile allora una qualunque sua base
ha la stessa cardinalità; la cardinalità delle sue basi prende il nome di dimensione dello
spazio di Hilbert. Nel seguito supporremo di lavorare con spazi di Hilbert separabili.
38
3.3 Il teorema di proiezione
Definizione 3.6. Sia dato un sottoinsieme M di uno spazio di Hilbert H: M ⊆ H. Si
definisce complemento ortogonale di M l’insieme
M ⊥ = {ψ ∈ H : hψ, ϕi = 0, ∀ϕ ∈ M } .
Esercizio 3.3: Dimostrare che M ⊥ è un sottospazio vettoriale chiuso di H. Dimostrare inoltre che
⊥
span(M ) = M ⊥
e
M⊥
⊥
= span(M ) .
Teorema 3.7. Sia M un sottospazio lineare chiuso di H. Allora ogni vettore ψ ∈ H può
essere scritto in modo univoco come somma di due vettori ϕ ∈ M e φ ∈ M ⊥ :
ψ = ϕ + φ, ϕ ∈ M , φ ∈ M ⊥ .
In questa situazione si scrive
H = M ⊕ M⊥
(3.18)
Dimostrazione. La dimostrazione è immediata. Infatti, se M è chiuso allora a sua volta è
uno spazio di Hilbert ed ammetterà una base ortonormale {ϕj }j∈J , dove J ha cardinalità
finita o numerabile. In virtù del Lemma 3.1 e della sua estensione al caso numerabile
possiamo quindi scrivere
ψ = ψk + ψ⊥
dove ψk ∈ M per costruzione e ψ⊥ ∈ M ⊥ .
In altri termini, ad ogni vettore ψ ∈ H noi possiamo associare un unico vettore ψk che
è il vettore di M più vicino a ψ.
Definizione 3.8. Assegnato un sottoinsieme chiuso M di H, l’operatore
PM ψ = ψk
è detta la proiezione ortogonale corrispondente a M .
Nota 3.7: È immediato osservare che l’operatore di proiezione ortogonale soddisfa alle
seguenti proprietà
2
PM
= PM
e hPM ψ, ϕi = hψ, PM ϕi .
(3.19)
3.4 Distribuzioni
39
3.4 Distribuzioni
3.4.1 Spazio delle funzioni test
Per introdurre il concetto di distribuzione sulla retta reale partiamo dallo spazio vettoriale
C0∞ (R), su questo spazio introduciamo la seguente nozione di convergenza (che si pió
dimostrare discendere da una famiglia di norme): sia data una sucessione di funzioni a
supporto compatto infinitamente derivabili ϕn ∈ C0∞ (R), questa converge ad una funzione
ϕ ∈ C0∞ (R)
ϕn → ϕ
se:
1. Esiste un insieme compatto K indipendente dall’indice n tale che ϕn (x) = 0 per ogni
x∈
/ K;
(k)
2. Per ogni indice k la successione ϕ(k)
n (x) converge a ϕ (x) uniformemente rispetto ad
x (ma non rispetto all’indice k).
Lo spazio D := C0∞ (R), munito di questa nozione di convergenza, prende il nome di
spazio delle funzioni test.
3.4.2 Definizione di distribuzione
Si chiama distribuzione (sulla retta R) ogni funzionale continuo definito sullo spazio
delle funzioni test:
T : D → R;
dove la continuitá deve essere intesa nel senso che T (ϕn ) → T (ϕ) (convergenza in R) se
ϕn → ϕ (convergenza intesa nella topologia dello spazio delle funzioni test D).
É immediato che ad ogni funzione f (x), integrabile su ogni intervallo finito, é possibile
associare una distribuzione Tf nel seguente modo
Tf (ϕ) =
Z
f (x)ϕ(x) dx ;
(3.20)
R
dove é immediato verificare che Tf risulta essere un funzionale lineare e continuo. Le
distribuzioni del tipo (3.20) sono anche dette distribuzioni regolari, le distribuzioni non
regolari sono invece dette distribuzioni singolari.
Vediamo alcuni esempi di distribuzioni singolari.
1. La ”funzione” δ. Consideriamo il funzionale definito come
T (ϕ) = ϕ(0) ,
che risulta un funzionale lineare e continuo su D, ossia una distribuzione. Di solito
questo funzionale si scrive come
Z
δ(x)ϕ(x)dx
R
dove δ é Rintesa come una ”funzione” nulla per ogni x 6= 0 e infinita nel punto x = 0 e
tale che R δ(x)dx = 1.
40
2. La ”traslazione della funzione” δ definita come
T (ϕ) = ϕ(a) .
Di solito questo funzionale si scrive come
Z
R
δa (x)ϕ(x)dx
dove δa (x) = δ(x − a).
3. La ”derivata della funzione δ definita come
T (ϕ) = −ϕ′ (0) ,
che risulta un funzionale lineare e continuo su D, ossia una distribuzione.
4. Consideriamo la funzione f (x) = x1 , che non risulta integrabile sugli intervalli contenenti l’origine. Tuttavia l’integrale
Z
1
ϕ(x)dx
Rx
esiste definito nel senso del valore principale:
Z
Z
1
1
1
T (ϕ) := P
ϕ(x)dx = lim+
ϕ(x)dx = lim+
ϕ(x)dx
ǫ→0
ǫ→0
R\[−ǫ,+ǫ] x
[−R,+R]\[−ǫ,+ǫ] x
Rx
Z
Z
ϕ(0)
ϕ(x) − ϕ(0)
dx + lim+
dx
= lim+
ǫ→0
ǫ→0
x
[−R,+R]\[−ǫ,+ǫ] x
[−R,+R]\[−ǫ,+ǫ]
Z
ϕ(x) − ϕ(0)
=
dx
x
[−R,+R]
Z
dove il supporto di ϕ ∈ D é contenuto nell’intervallo [−R, +R] e dove la funzione
ϕ(x)−ϕ(0)
risulta essere integrabile.
x
Si osserva che nessuna di queste 4 distribuzioni é regolare.
3.4.3 Operazioni sulle distribuzioni
La operazione elementare di somma é ovvia. Introduciamo nello spazio delle distribuzioni
l’operazione di passaggio al limite: si dice che Tn → T se per ogni funzione test ϕ ∈ D si
ha che Tn (ϕ) → T (ϕ). Indicheremo con D′ lo spazio delle distribuzioni munito di questa
nozione di convergenza (detto anche lo spazio duale di D). Se α(x) ∈ C ∞ allora definiamo
la nuova distribuzione αT come
αT (ϕ) := T (αϕ) ,
dove la definizione é ben posta poiché αϕ ∈ D. Introciamo ora l’operazione di derivata
di una distribuzione (detta anche derivata distribuzionale o derivata in senso debole),
a tal fine consideriamo una distribuzione regolare T := Tf asociata ad una funzione f
infinitamente derivabile:
3.4 Distribuzioni
T (ϕ) =
É naturale definire
dTf
dx
Z
R
41
f (x)ϕ(x)dx .
:= Tf ′ da cui, per integrazione per parti, segue che
Z
Z
df (x)
dϕ(x)
dTf
(ϕ) =
ϕ(x)dx = − f (x)
dx = −T (ϕ′ ) .
dx
dx
dx
R
R
Ció premesso, si chiama derivata di una distribuzione il funzionale definito dalla relazione
dT
(ϕ) := −T (ϕ′ ) .
dx
Analogamente si definiscono le derivate seconde, terze, etc..
(ϕ) é un simbolo che definisce la derivata di una disNota 3.8: Warning notation: dT
dx
tribuzione, non ha nessuna relazione con il limite di un rapporto incrementale.
Non é difficile dimostrare che:
1. Ogni distribuzione T ammette derivate di ogni ordine.
2. Se Tℓ é una successione di distribuzioni convergente ad una data distribuzione T aln
n
lora anche la successione ddxTnℓ delle derivate n-esime converge alla distribuzione ddxTn ,
insomma ogni serie di distribuzioni convergente si puó derivare termine a termine un
numero qualsiasi di volte.
Concludiamo considerando alcuni esempi
1. Sia f (x) la funzione di Heaviside e sia Tf la distribuzione regolare associata
Tf (ϕ) =
Z
+∞
0
ϕ(x)dx ,
segue che la sua derivata é la distribuzione δ; infatti:
Z +∞
dTf
=−
ϕ′ (x) = ϕ(0) .
dx
0
In generale, se f (x) é una funzione avente nei punti xi dei salti uguali a hi e derivabile
(nel senso usuale) diversamente allora
X
dTf
= Tf ′ +
h i δ xi .
dx
i
dδ
2. Si puó definire la derivata della distribuzione δ ed essa vale dx
(ϕ) = −ϕ′ (0).
P
sin(nx)
3. Consideriamo la funzione f (x) definita dalla serie di Fourier ∞
; é facile rin=1
n
conoscere che questa é la serie di Fourier della funzione periodica, di periodo 2π, definita
come

1

 2 (π − x)
0 < x ≤ +π
f (x) =  − 21 (π + x) −π ≤ x < 0 .
0
x=0
La sua derivata distribuzionale vale
42
+∞
X
1
dTf
δ(x − 2kπ) .
= − T1 +
dx
2
k=−∞
(3.21)
P
D’altra parte la derivata della serie di Fourier produce la serie ∞
n=1 cos(nx) divergente
nel senso ordinario. Tuttavia, nel senso della convergenza delle distribuzioni, questa
serie in realtá converge (e precisamente alla espressione (3.21)); quindi la nozione di
distribuzione consente di attribuire un significato ben determinato alla somma di una
serie divergente nel senso usuale.
3.5 Funzionale lineare e Teorema di rappresentazione di Riesz
Ricordiamo che
Definizione 3.9. Si dice funzionale lineare ogni operatore lineare
ℓ : H→C
dove H é un dato spazio di Hilbert (in generale è sufficiente che H sia uno spazio di
Banach).
Nota 3.9: Il funzionale lineare ℓ sarà definito su un sottoinsieme di H, detto dominio del
funzionale lineare. Se il funzionale lineare è limitato, ovvero
∃C > 0 : |ℓ(ψ)| ≤ Ckψk, ∀ψ ∈ H,
e il suo dominio coincide con H stesso.
Esempio 3.3: Consideriamo un esempio notevole di funzionale lineare: dato un vettore
ϕ ∈ H definiamo il seguente funzionale lineare ℓϕ nel seguente modo:
ℓϕ (ψ) = hϕ, ψi =
Z
ϕ̄(x)ψ(x)dx = Tϕ̄ (ψ)
coincidente con una distribuzione regolare. É immediato osservare che ℓϕ è un funzionale
lineare limitato:
∃C > 0 : |ℓϕ (ψ)| ≤ CkψkH ,
infatti è sufficiente prendere C = kϕkH e la proprietà di limitatezza è conseguenza della
disugualianza di Schwarz. Inoltre segue che
kℓϕ k = kϕkH
dove kℓϕ k è la norma del funzionale lineare definita come
kℓϕ k =
sup
ψ : kψkH =1
|ℓϕ (ψ)| .
Infatti,
kℓϕ k :=
sup
ψ : kψkH =1
|ℓϕ (ψ)| =
sup
ψ : kψkH =1
|hϕ, ψi| ≤
sup
ψ : kψkH =1
kϕkH · kψkH = kϕkH
3.5 Funzionale lineare e Teorema di rappresentazione di Riesz
D’altra parte siamo in grado di dimostrare che kℓϕ k ≥ kϕkH :
kℓϕ k =
ψ :
sup |ℓϕ (ψ)| ≥ ℓϕ
kψk =1
H
ϕ
kϕkH
*
!
= ϕ,
ϕ
kϕkH
43
!+
= kϕkH .
Da quanto segue dal prossimo Teorema si ha che questo non è, in realtà, un caso
particolare, ma ogni funzionale lineare limitato ha la forma di prodotto scalare per un
dato vettore.
Teorema 3.10 (Lemma di rappresentazione di Riesz). Sia ℓ un funzionale lineare
limitato su un dato spazio di Hilbert H. Allora esiste un unico vettore ϕ ∈ H tale che
ℓ(ψ) = hϕ, ψi per ogni ψ ∈ H. Inoltre kℓk = kϕkH .
Dimostrazione. Anzitutto ricordiamo che se ℓ è un funzionale lineare limitato allora il
dominio di questo funzionale coincide con lo spazio di Hilbert H. Se ℓ ≡ 0 allora, banalmente, ϕ = 0. In caso contrario lo spazio
Ker(ℓ) = {ψ ∈ H : ℓ(ψ) = 0}
é un sottospazio proprio di H, ovvero esiste un vettore, che possiamo assumere unitario,
φ ∈ Ker(ℓ)⊥ . Per ogni ψ ∈ H immediatamente segue che
ℓ(ψ)φ − ℓ(φ)ψ ∈ Ker(ℓ) .
Infatti, per la linearità,
ℓ [ℓ(ψ)φ − ℓ(φ)ψ] = ℓ(ψ)ℓ(φ) − ℓ(φ)ℓ(ψ) = 0
e quindi
0 = hφ, ℓ(ψ)φ − ℓ(φ)ψi = ℓ(ψ)kφk2 − ℓ(φ)hφ, ψi = ℓ(ψ) − ℓ(φ)hφ, ψi
perché abbiamo assunto φ unitario. Di conseguenza
ℓ(ψ) = ℓ(φ)hφ, ψi = hℓ(φ)φ, ψi .
Quindi abbiamo dimostrato l’esistenza del vettore ϕ cercato, basta infatti porre
ϕ = ℓ(φ)φ .
Sebbene il vettore ϕ apparentemente dipende dalla scelta del vettore φ, in realtà esso è
unico. Siano infatti ϕ1 e ϕ2 due vettori che soddifsano la stessa proprietà, quindi
hϕ2 − ϕ1 , ψi = hϕ2 , ψi − hϕ1 , ψi = ℓ(ψ) − ℓ(ψ) = 0 , ∀ψ ∈ H.
Da qui segue che (ϕ2 − ϕ1 ) ⊥ ψ per ogni ψ, e quindi (ϕ2 − ϕ1 ) = 0. Infine, il fatto che
kℓk = kϕkH segua da quanto visto per ℓϕ .
Come conseguenza ovvia vale il seguente.
44
Corollario 3.11. Supponiamo che s sia una forma bilineare limitata; cioé
|s(ψ, ϕ)| ≤ Ckψk kϕk .
Allora, esiste un unico operatore lineare e limitato A tale che
s(ψ, ϕ) = hAψ, ϕi ,
e inoltre kAk ≤ C.
Nota 3.10: Dato uno spazio normato X (ad esempio uno spazio di Banach o di Hilbert),
si denota con X ⋆ lo spazio duale di X come lo spazio vettoriale formato da tutti i
funzionali lineari limitati definiti su X . Una conseguenza del Lemma di rappresentazione
di Riesz è che lo spazio duale di uno spazio di Hilbert H è equivalente allo spazio di
Hilbert stesso.
Esercizio 3.4: Sia U una trasformazione unitaria di uno spazio di Hilbert H in se stesso,
e sia M ⊆ H. Provare che UM ⊥ = (UM )⊥ .
Esercizio 3.5: Sia PM un proiettore ortogonale (dove M 6= ∅). Dimostrare che PM ha
norma 1. Ricordiamo che la definizione di norma di un operatore lineare A : H1 → H2
qualunque è la seguente:
kAk :=
sup
ψ∈H1 , kψkH1 =1
kAψkH2 ≡
sup
ψ∈H1 , kψkH1 ≤1
kAψkH2 ≡
kAψkH2
ψ6=0 kψkH1
sup
ψ∈H1 ,
Dimostrare inoltre che le tre definizioni sono equivalenti e che un operatore lineare è
limitato se, e solo se, è continuo. Dimostrare inoltre che nel caso H1 = H2 sia uno spazio
di Hilbert allora
kAk ≡
sup
kψk=kϕk=1
|hAψ, ϕi|
Esercizio 3.6: Sia H uno spazio di Hilbert e sia A : H1 → H2 un operatore lineare e
limitato su H1 a valori in H2 . L’insieme di tali operatori si denota con L(H1 , H2 ). Sia
P ∈ L(H, H) tale che
Dimostrare che:
P 2 = P e hP ψ, ϕi = hψ, P ϕi, ∀ψ, ϕ ∈ H .
i. M = Ran(P ) è un insieme chiuso;
ii. P ψ = ψ per ogni ψ ∈ M ;
iii. P ϕ = 0 per ogni ϕ ∈ M ⊥ .
Di conseguenza P = PM è un operatore di proiezione ortogonale su M .
Esercizio 3.7: Siano P1 e P2 due proiettori ortogonali. Dimostrare che P1 ≤ P2 (cioé
hψ, P1 ψi ≤ hψ, P2 ψi) se, e solo se, Ran(P1 ) ⊆ Ran(P2 ). Dimostrare inoltre che, in
quest’ultimo caso, i due operatori commutano (cioé [P1 , P2 ] = P1 P2 − P2 P1 ) e che anche P2 − P1 è un’operatore di proiezione ortogonale.
Esercizio 3.8: Consideriamo il seguente operatore lineare su H = L2 (R, dx):
1
(Af )(x) = [f (x) + f (−x)] .
2
Dimostrare che:
3.6 Operatore aggiunto
45
i. è limitato;
ii. é un proiettore (cioé un operatore di proiezione);
iii. determinarne il range ed il kernel.
3.6 Operatore aggiunto
Consideriamo operatori lineari limitati su uno spazio di Hilbert H in se stesso. Questa
classe di operatori viene denotata
L(H) = L(H, H) .
Definizione 3.12. Sia dato A ∈ L(H). Si dice che l’operatore A⋆ ∈ L(H) è l’operatore
aggiunto di A se
hϕ, A⋆ ψi = hAϕ, ψi , ∀ψ, ϕ ∈ H .
(3.22)
Esempio 3.4: Se H = Cn e l’operatore A = (aij )ni,j=1 si identifica con una matrice n × n;
allora A⋆ = (aji )ni,j=1 .
Lemma 3.13. Siano dati A, B ∈ L(H) e sia α ∈ C; allora,
i. (A + B)⋆ = A⋆ + B ⋆ e (αA)⋆ = ᾱA⋆ ;
ii. A⋆ ⋆ = A;
iii.(AB)⋆ = B ⋆ A⋆ ;
iv. kAk = kA⋆ k e kA⋆ Ak = kAk2 .
Dimostrazione. Le proprietà i. e ii. sono ovvie, anche la proprietà iii. immediatamente
segue osservando che
hϕ, (AB)ψi = hA⋆ ϕ, Bψi = hB ⋆ A⋆ ϕ, ψi .
Infine, la prima delle proprietà iv. segue dalla seguente relazione
kA⋆ k =
sup
kϕk=kψk=1
|hψ, A⋆ ϕi| =
sup
kϕk=kψk=1
|hAψ, ϕi| = kAk
Riguardo alla seconda proprietà osserviamo che
kA⋆ Ak =
sup
kϕk=kψk=1
|hψ, A⋆ Aϕi| =
sup
kϕk=kψk=1
|hAψ, Aϕi| ≥ sup kAϕk2 = kAk2
kϕk=1
D’altra parte
kA⋆ Ak =
=
≤
sup
kϕk=kψk=1
|hψ, A⋆ Aϕi| =
sup
kϕk=kψk=1
|hAψ, Aϕi| =
sup
φ=Aψ,kϕk=kψk=1
|hφ, Aϕi|
|hφ, Aϕi|
|hφ, Aϕi|
kAϕk ≤
sup
sup kAϕk
φ=Aψ,kϕk,kψk=1 kAϕk
φ=Aψ,kϕk=1 kAϕk kϕk=1
sup
sup
φ=Aψ,kψk=1
kφk sup kAϕk = kAk2
kϕk=1
dove abbiamo usato la proprietà
kϕk = sup |hψ, ϕi| .
kψk=1
(3.23)
46
Esercizio 3.9: Dimostrare la (3.23).
Definizione 3.14. Un operatore lineare e limitato A ∈ L(H) è detto:
-
Normale se AA⋆ = A⋆ A;
Auto-aggiunto se A = A⋆ ;
Unitario se AA⋆ = A⋆ A = I;
Proiettore (operatore di proiezione ortogonale) se A = A⋆ = A2 ;
Positivo se A = BB ⋆ per un qualche B ∈ L(H)
Nota 3.11: In realtà un operatore A si dice positivo se hAψ, ψi ≥ 0 per ogni ψ. Si può
comunque dimostrare che le due definizioni sono equivalenti. Inoltre, se A = BB ⋆ allora
si dice che B è la “radice quadrata” di A.
Esercizio 3.10: Sia A ∈ L(H). Mostrare che A è normale se, e solo se,
kAψk = kA⋆ ψk, ∀ψ ∈ H .
Esercizio 3.11: Mostrare che un operatore U : H → H è unitario se, e solo se, U ⋆ = U −1
(dove U −1 è l’operatore inverso di U).
Esercizio 3.12: Consideriamo il seguente operatore A : ℓ2 (N) → ℓ2 (N) che ad ogni
sequenza associa la sequenza ottenuta mettendo uno 0 come primo elemento e shiftando
gli altri a destra:
(a1 , a2 , . . .) → (0, a1 , a2 , . . .) .
Calcolarne l’aggiunto.
3.7 Convergenza forte e debole di vettori
Definizione 3.15. Sia {ψn }n∈N una successione di vettori ψn ∈ H. Si dice che la successione converge fortemente ad un vettore ψ ∈ H se
lim kψ − ψn k = 0 ;
n→∞
la convergenza forte si denota
s − n→∞
lim ψn = ψ o anche ψn → ψ .
Si dice che la successione converge debolmente ad un vettore ψ ∈ H se
lim hψ − ψn , ϕi = 0 , ∀ϕ ∈ H ,
n→∞
La convergenza debole si denota
w − n→∞
lim ψn = ψ o anche ψn ⇀ ψ .
Esercizio 3.13: Dimostrare che la convergenza forte implica la convergenza debole. Dimostrare, fornendo un contro-esempio, che il viceversa è falso.
3.7 Convergenza forte e debole di vettori
47
Definizione 3.16. Una successione {ψn }n∈N di vettori ψn ∈ H è detta una successione
debole di Cauchy se hϕ, ψn i ∈ C è di Cauchy per ogni ϕ ∈ H.
Lemma 3.17. Sia H uno spazio di Hilbert. Valgono le seguenti proprietà:
i. ψn ⇀ ψ implica che kψk ≤ lim inf kψn k;
ii. ogni successione debole di Cauchy è limitata, ovvero esiste C > 0 tale che kψn k ≤ C
per ogni n;
iii.se la successione ψn converge debolmente a ψ allora questa converge in senso forte se,
e solo se, lim sup kψn k ≤ kψk.
Dimostrazione. La i. segue immediatamente poiché
kψk2 = hψ, ψi = |hψ, ψi| = n→∞
lim |hψ, ψn i|
= lim
inf |hψ, ψn i| ≤ kψk lim
inf kψn k .
n→∞
n→∞
Per dimostrare la ii. sia fissato ϕ ∈ H e consideriamo la successione di Cauchy hϕ, ψn i
in C. Questa converge in C e quindi risulta essere limitata da una costante C = C(ϕ):
|hϕ, ψn i| ≤ C(ϕ). Da questa proprietà e dal Teorema di Banach-Steinhaus segue la tesi 1
Infatti, il Teorema di Banach-Steinhaus implica che la famiglia di operatori An ϕ = hψn , ϕi
risulta essere uniformemente limitata:
C ≥ kAn k = sup |hψn , ϕi| = kψn k .
kϕk=1
Infine, per dimostrare la iii. osserviamo che l’implicazione
ψn → ψ ⇒ lim sup kψn k ≤ kψk
é immediata. Per dimostrare l’implicazione inversa si osserva che l’ipotesi lim sup kψn k ≤
kψk e la i. implicano limn→∞ kψn k = kψk e quindi
kψ − ψn k2 = kψk2 − 2ℜhψ, ψn i + kψn k2 → kψk2 − 2hψ, ψi + kψk2 = 0 .
Lemma 3.18. Sia H uno spazio di Hilbert. Da ogni successione ψn limitata è possibile
estrarre una sottosuccesione debolmente convergente.
Dimostrazione. Sia {ϕk }k una base ortonormale e consideriamo la doppia successione di
numeri complessi hϕk , ψn i è uniformemente limitata. Mediante argomento usuale (diagonal sequence argument che descriveremo in coda alla dimostrazione) noi possiamo estrarre
una sotto-successione ψnm tale che hϕk , ψnm i converge per ogni k. Poiché ψn è limitata
allora hϕ, ψnm i converge per ogni ϕ ∈ H e quindi ψnm è una successione di Cauchy debole.
Resta da illustrare il diagonal sequence argument: partiamo dalla successione hϕ1 , ψm i
limitata, quindi esiste una sotto-successione convergente che indicheremo con hϕ1 , ψm′ i.
Consideriamo poi lanuova sotto-successione hϕ2 , ψm′ i anch’essa limitata, quindi da questa
possiamo estrarre una sotto successione convergente che indicheremo con hϕ2 , ψm′′ i; per
1
Teorema di Banach-Steinhaus: Sia X uno spazio di Banach e Y uno spazio normato. Sia {Aα } ⊆ L(X , Y) una
famiglia di operatori limitati. Supponiamo che kAα xkY ≤ C(x) sia uniformemente limitato rispetto a α per
ogni fissato x. Quindi kAα k ≤ C è uniformemente limitato.
48
costruzione le due successioni hϕ1 , ψm′′ i e hϕ2 , ψm′′ i sono entrambe convergenti. È chiaro
come sará generata la terza sotto-successione hϕ3 , ψm′′′ i, la quarta, etc.. Ciò premesso,
i vettori ψnm si trovano nel seguente modo: ψn1 è il primo vettore ψm′ associato alla
successione hϕ1 , ψm′ i, ψn2 è il secondo vettore ψm′′ associato alla successione hϕ2 , ψm′′ i,
etc..
3.8 Convergenza di operatori
I concetti di convergenza introdotti nella sezione precedente possono essere estesi a successioni di operatori. Consideriamo una famiglia di operatori lineari {An }n definiti sullo
stesso spazio di Hilbert. Con
D(A) = {ψ ∈ H : Aψ ∈ H}
indichiamo il dominio dell’operatore A. Se A è un operatore limitato allora D(A) = H;
per operatori non limitati il dominio è un sottoinsieme proprio di H.
Definizione 3.19. Una successione di operatori lineari {An }n∈N converge fortemente
ad un operatore lineare A se D(A) ⊆ D(An ) e se
An ψ → Aψ , ∀ψ ∈ D(A) ⊆ D(An ) ;
(3.24)
la convergenza forte si indica
s − lim An = A .
n→∞
Una successione di operatori lineari {An }n∈N converge debolmente ad un operatore
lineare A se D(A) ⊆ D(An ) e se
An ψ ⇀ Aψ , ∀ψ ∈ D(A) ⊆ D(An ) ;
(3.25)
la convergenza debole si indica
w − n→∞
lim An = A .
Nota 3.12: Chiaramente la convergenza forte implica la convergenza debole.
Nota 3.13: Sia data una successione di operatori {An }n limitata e sia data la successione {A⋆n }n degli operatori aggiunti. Osserviamo che se An converge debolmente ad un
operatore A allora anche A⋆n converge debolmente a A⋆ :
hϕ, A⋆n ψi = hAn ϕ, ψi → hAϕ, ψi = hϕ, A⋆ ψi
(3.26)
La convergenza forte della successione An ad A non implica necessariamente la convergenza forte A⋆n a A⋆ ; questa implicazione vale se aggiungiamo l’ipotesi che An ed A sono
operatori normali. Infatti, in questo caso vale la relazione
k(An − A)⋆ ψk = k(An − A)ψk .
(3.27)
3.8 Convergenza di operatori
49
Lemma 3.20. Supponiamo che {An }n∈N sia una successione di operatori limitati An ∈
L(H). Allora
i. s − limn→∞ An = A implica che kAk ≤ lim inf n→∞ kAn k;
ii. ogni successione di Cauchy forte An è limitata, ovvero esiste C > 0 tale che kAn k ≤ C;
Dimostrazione. Anzitutto osserviamo che D(An ) = H per ogni n. La proprietà i. segue
immediatamente da questa disuguaglianza:
kAψk = n→∞
lim kAn ψk = lim
inf kAn ψk ≤ lim
inf kAn k kψk
n→∞
n→∞
che vale per ogni ψ ∈ H. In particolare segue che A è limitato e D(A) = H. Per dimostrare
la proprietà ii. scriviamo l’ipotesi: {An ψ}n è di Cauchy per ogni ψ ∈ H e quindi converge
ad un dato vettore, in particolare si avrà che
kAn ψk ≤ C := C(ψ)
e quindi utilizzando ancora il Teorema di Banach-Steinhous la tesi segue.
Teorema 3.21 (Estensione di un operatore densamente definito). Sia A un operatore lineare definito su un insieme denso D ⊆ H e limitato su D:
kAψk ≤ Ckψk, ∀ψ ∈ D .
Allora A si può estendere su tutto lo spazio di Hilbert H ad un operatore Ã limitato e tale
estensione è unica, inoltre
sup
ψ∈H, kψk=1
kÃψk =
sup
ψ∈D, kψk=1
kAψk .
Dimostrazione. Definiamo l’operatore Ã nel seguente modo:
Ãψ = Aψ, se ψ ∈ D ;
se ψ ∈
/ D sia {ϕn }n una successione di vettori di D che converge fortemente a ψ, in
particolare la successione è di Cauchy fortemente. Consideriamo quindi la successione di
vettori {Aϕn }n , questa risulta essere di Cauchy fortemente
kAϕn − Aϕm k = kA(ϕn − ϕm )k ≤ Ckϕn − ϕm k
e quindi converge. Definiamo quindi
Ãψ = s − n→∞
lim Aϕn .
É immediato verificare (esercizio) che questa definizione è ben posta, ovvero che non
dipende dalla particolare successione che approssima ψ, e che l’operatore Ã è lineare.
L’operatore Ã è limitato e ha norma kÃk. Per dimostrare ciò cominciamo ad osservare
che
sup
ψ∈H, kψk=1
kÃψk ≥
sup
ψ∈D, kψk=1
kÃψk =
sup
ψ∈D, kψk=1
kAψk .
50
Supponiamo per assurdo che tale disuguaglianza sia stretta, quindi esiste ψ̃ ∈
/ D unitario
tale che
kÃψ̃k >
sup
ψ∈D, kψk=1
kAψk .
Questa disuguaglianza porta subito ad una contraddizione, infatti basta prendere una
successione di vettori ϕn tali che ϕn → ψ̃ e osservare che in questo caso Aϕn → Ãψ̃ per
definizione di Ã.
Verifichiamo che Ã è unicamente definito. Supponiamo, per assurdo, che esista un
altro operatore lineare A♯ limitato coincidente con Ã su un insieme denso D. Sia ψ ∈
/D
e consideriamo
kÃψ − A♯ ψk = kÃψ − Ãϕn k + kÃϕn − A♯ ϕn k + kA♯ ϕn − A♯ ψk
= kÃψ − Ãϕn k + kA♯ ϕn − A♯ ψk ≤ Ckψ − ϕn k → 0 .
Corollario 3.22. Se An ψ → Aψ per ψ in un qualche insieme denso D e kAn k ≤ C,
allora s − limn→∞ An = Ã, dove Ã è l’estensione di A su tutto lo spazio di Hilbert H.
Dimostrazione. Dalla proprietà i. del Lemma 3.20 segue che A definito su D è limitato e
quindi ammette una unica estensione Ã. Sia assegnato ψ ∈ H e vogliamo dimostrare che
An ψ → Aψ. Se ψ ∈ D allora non c’é altro da dire; se invece ψ ∈ H \ D allora scegliamo
un vettore ϕ ∈ D tale che
kAn ψ − Ãψk ≤ kAn ψ − An ϕk + kAn ϕ − Ãϕk + kÃϕ − Ãψk
≤ Ckψ − ϕk + kAn ϕ − Ãϕk + Ckψ − ϕk ≤ ǫ
dove scegliamo prima ϕ in modo che sia Ckψ − ϕk ≤ 14 ǫ, e poi fissato ϕ scegliamo n tale
che kAn ϕ − Ãϕk ≤ 21 ǫ.
Esercizio 3.14: Supponiamo che ψn → ψ e ϕn ⇀ ϕ. Allora hψn , ϕn i → hψ, ϕi.
Esercizio 3.15: Sia {ϕj }∞
j=1 una base ortonormale. Dimostrare che ψn ⇀ ψ se, e solo
se, ψn è limitato e hϕj , ψn i → hϕj , ψi per ogni j. Esibire un controesempio nel quale si
elimina l’ipotesi di limitatezza.
4
Operatori auto-aggiunti e spettro di operatori
4.1 Struttura assiomatica della Meccanica Quantistica
In Meccanica Quantistica una singola particella, mobile nello spazio Euclideo R3 , viene
descritta da una funzione a valori complessi, detta funzione d’onda, ψ(x, t), (x, t) ∈
R3 × R, dove la variabile spaziale x corrisponde ad un punto nello spazio e la variabile
temporale t corrisponde ad us istante di tempo.
La quantità ρt (x) = |ψ(x, t)|2 viene interpreta come una densità di probabilità della
particella all’istante t. In particolare, ψ deve essere normalizzata nel senso che
Z
R
3
|ψ(x, t)|2 dx = 1, t ∈ R .
(4.1)
La posizione x della particella è una quantità che può essere osservata, cioé misurata, e
quindi viene denominata osservabile. In virtù della nostra interpretazione probabilistica,
essa è una variabile casuale il cui valore di aspettazione è dato da
Etψ (x) =
Z
R3
x|ψ(x, t)|2 dx , t ∈ R .
(4.2)
In Meccanica Quantistica non è possibile misurare x esattamente e la particella non
è mai localizzata in un punto ben preciso. In particolare, la deviazione media (o
varianza) é data da
[∆tψ (x)]2 = [Etψ (x2 )] − [Etψ (x)]2 .
Lo spazio delle configurazioni di un sistema quantistico è uno spazio di Hilbert H
complesso e ogni possibile stato del sistema è rappresentato da un elemento ψ ∈ H che
soddisfa alla condizione di normalizzazione kψkH = 1. Osserviamo che vettori ψ ed eiθ ψ
che differiscono tra loro per un solo termine di fase, definiscono lo stesso stato quantistico
perché sono associati alla stessa funzione di probabilità.
Un’osservabile classica a, ad esempio la posizione, la velocità o l’energia, corrisponde
ad un operatore lineare A sullo spazio di Hilbert H e la sua aspettazione, se il sistema è
nello stato (rappresentato da) ψ, è dato dal numero
Eψ (A) = hψ, Aψi
(4.3)
52
4 Operatori auto-aggiunti e spettro di operatori
dove h·, ·i denota il prodotto scalare sullo spazio di Hilbert H. Poiché fisicamente la
grandezza attesa Eψ (A) deve essere un numero reale, allora A deve essere simmetrico.
Similmente, la deviazione media è data da
[∆ψ (A)]2 = Eψ (A2 ) − [Eψ (A)]2 = k(A − Eψ (A)) ψk2
(4.4)
Nota 4.1: Dalla (4.4) osserviamo che ∆ψ (A) si annulla se, e solo se, ψ è un autovettore
di A corrispondente all’autovalore Eψ (A): Aψ = Eψ (A)ψ.
Osserviamo che le espressioni (4.3) e (4.4) hanno significato per ogni ψ ∈ H solo nel
caso in cui l’operatore A risulti essere limitato. In generale l’operatore A sarà solamente
definito su un sottoinsieme D(A) ⊆ H che prende il nome di dominio di A. È naturale
richiedere che il dominio di A sia un sottoinsieme almeno denso di H, in modo che le
grandezze Eψ (A) e ∆ψ (A) siano definite sul numero maggiori di stati.
Consideriamo ora l’evoluzione temporale di un tale sistema quantistico. Dato uno
stato iniziale ψ(0) := ψ(x, 0) del sistema, ci deve essere una unica (definita a meno di un
termine di fase) funzione ψ(t) := ψ(x, t) rappresentante lo stato del sistema all’istante
t ∈ R. Noi scriveremo
ψ(t) = U (t)ψ(0)
(4.5)
Inoltre, deve valere il principio di sovrapposizione degli stati; cioé, dati α1 , α2 ∈ C tali
che |α1 |2 + |α2 |2 = 1, allora segue che
U (t) [α1 ψ1 (0) + α2 ψ2 (0)] = α1 ψ1 (t) + α2 ψ2 (t)
In altre parole U (t) deve essere un operatore lineare, inoltre dovendo essere ψ(t) normalizzato segue che
kU (t)ψk = kψk
(4.6)
Cioé U (t) deve essere unitario. Inoltre, poiché abbiamo assunto l’unicità della soluzione
associata ad un dato iniziale deve essere
U (0) = I, U (t + s) = U (t)U (s).
(4.7)
Una famiglia di operatori unitari U (t) aventi queste proprietà è detta gruppo unitario
ad un parametro. In aggiunta, è naturale assumere che questo gruppo sia fortemente
continuo; cioé
lim U (t)ψ = U (t0 )ψ , ∀ψ ∈ H
t→t0
(4.8)
Si può dimostrare che un tale gruppo ha un generatore infinitesimo H definito come
Hψ = ih̄ lim
t→0
U (t)ψ − ψ
tale che U (t) = e−itH/h̄
t
e questo operatore lineare H ha dominio
D(H) = {ψ ∈ H : il limite (4.9) esiste}
(4.9)
4.2 Operatori auto-aggiunti
53
L’operatore H prende il nome di Hamiltoniana e corrisponde all’energia del sistema. Se
ψ(0) ∈ D(H), allora ψ(t) è una soluzione dell’equazione di Schrödinger
ih̄
d
ψ(t) = Hψ(t) .
dt
(4.10)
In conclusione, possiamo introdurre i seguenti assiomi della Meccanica Quantistica.
Assioma 1. Lo spazio delle configurazioni di un sistema quantistico è uno spazio di
Hilbert H separabile e i possibili stati del sistema sono rappresentati dagli elementi di H
che hanno norma 1.
Assioma 2. Ogni osservabile a corrisponde ad un operatore lineare simmetrico definito
su un insieme denso D(A) massimale. Il valore di aspettazione per una misura di a,
quando il sistema è nello stato ψ ∈ D(A) con kψk = 1, è dato dalla (4.3), che è a valori
reali.
Assioma 3. L’evoluzione temporale è determinata da una famiglia di operatori unitari
U (t) che dipende dal tempo in modo fortemente continuo e che soddisfa alla struttura di
gruppo. Il generatore di questa famiglia corrisponde all’energia del sistema e l’evoluzione
temporale soddisfa al problema di Cauchy
(
∂
ih̄ ∂t
ψ(t) = Hψ(t), ψ(t) ∈ H, kψ(t)k = 1 ∀t
.
ψ(t = 0) = ψ(0)
Sia H uno spazio di Hilbert sul campo dei numeri complessi e separabile. Un operatore
lineare è una mappa lineare
A : D(A) → A
(4.11)
dove il dominio
D(A) = {ψ ∈ H : Aψ ∈ H}
dell’operatore A è un sottospazio lineare di H.
Definizione 4.1. L’operatore A è detto limitato se D(A) = H e se la norma dell’operatore
definita come
kAk := sup kAψkH ≡ sup kAψkH ≡ sup
kψkH =1
kψkH ≤1
ψ6=0
kAψkH
≡
sup
|hφ, AψiH |(4.12)
kψkH
kφkH ≡kψkH =1
é finita.
Nota 4.2: L’insieme di tutti gli operatori lineari su H si denota come L(H) e, munito
della norma (4.12), è uno spazio di Banach. Si può introdurre il prodotto (o composizione)
tra due operatori:
54
(AB)ψ = A [Bψ]
il cui dominio è definito come:
D(AB) = {ψ ∈ H : ψ ∈ D(B) ∧ Bψ ∈ D(A)} .
Osserviamo che l’operazione di prodotto tra due operatori non soddisfa alla proprietà
commutativa; in generale:
AB 6= BA .
Definizione 4.2. Dati due operatori lineari A e Ã si dice che Ã è una estensione di A,
e si denota A ⊆ Ã, se D(A) ⊆ D(Ã) e se
Aψ = Ãψ, ∀ψ ∈ D(A) .
Nota 4.3: La richiesta che il dominio D(A) sia massimale è importante. Se l’operatore
A è limitato allora D(A) = H e quindi non ci sono difficoltà in questo caso. Se invece
A non è un operatore limitato allora la ricerca di un dominio massimale è importante e
questa viene realizzata attraverso il concetto di operatore auto-aggiunto.
Definizione 4.3. Un operatore lineare A densamente definito è detto simmetrico (o
anche Hermitiano) se
hϕ, Aψi = hAϕ, ψi , ∀ϕ, ψ ∈ D(A) .
(4.13)
d
su H = L2 (R, dx) non è simmetrico. Invece, l’operatore
Esempio 4.1: L’operatore A = dx
d
A = i dx
su H = L2 (R, dx) è simmetrico.
Vale il seguente:
Lemma 4.4. Un operatore A lineare e densamente definito è simmetrico se, e solo se, la
forma quadratica corrispondente
qA (ψ) = hψ, Aψi , ψ ∈ D(A) ,
(4.14)
é a valori reali. In altri termini, A è simmetrico se, e solo se,
hψ, Aψi = hAψ, ψi ∀ψ ∈ D(A) .
(4.15)
Dimostrazione. Chiaramente la (4.13) implica che ℑ[qA (ψ)] = 0. Per dimostrare la relazione inversa partiamo dalle seguenti identità
qA (ψ + iϕ) = qA (ψ) + qA (ϕ) + i [hψ, Aϕi − hϕ, Aψi]
qA (ψ + ϕ) = qA (ψ) + qA (ϕ) + [hψ, Aϕi + hϕ, Aψi]
in virtù della quale e essendo qA (ψ + iϕ), qA (ψ + ϕ), qA (ψ) e qA (ϕ) a valori reali, segue
che
ℜhψ, Aϕi = ℜhϕ, Aψi = ℜhAψ, ϕi
e
ℑhψ, Aϕi = −ℑhϕ, Aψi = ℑhAψ, ϕi .
55
Definizione 4.5. Dato un operatore lineare A densamente definito, si definisce operatore
aggiunto l’operatore
A⋆ : D(A⋆ ) → H
nel seguente modo:
D(A⋆ ) = {ψ ∈ H : ∃ψ̃ ∈ H tale che hψ, Aϕi = hψ̃, ϕi , ∀ϕ ∈ D(A)}
(4.16)
A⋆ ψ = ψ̃ .
(4.17)
dove
Nota 4.4: Osserviamo che, essendo A densamente definito, l’operatore A⋆ è unicamente
definito. Nulla si può dire sul dominio di A⋆ , ovvero non è possibile sapere se A⋆ è
densamente definito o no.
Esercizio 4.1: Dimostrare che
(αA)⋆ = ᾱA⋆
e che
(A + B)⋆ ⊆ A⋆ + B ⋆
dove
D(A⋆ + B ⋆ ) = D(A⋆ ) ∩ D(B ⋆ ) .
Dimostrare anche che l’uguaglianza vale se uno dei due operatori A o B è limitato; fornire
infine un contro-esempio per il quale vale l’inclusione in senso stretto.
Esercizio 4.2: Supponiamo che AB sia densamente definito. Dimostrare che B ⋆ A⋆ ⊆
(AB)⋆ . Inoltre, se A è limitato, allora B ⋆ A⋆ = (AB)⋆ .
Esercizio 4.3: Dimostrare che
Ker(A⋆ ) = [Ran(A)]⊥ .
(4.18)
Definizione 4.6. Se A è un operatore simmetrico allora chiaramente abbiamo che
A ⊆ A⋆ ,
infatti ψ̃ = Aψ per ogni ψ ∈ D(A) e quindi D(A) ⊆ D(A⋆ ). Se, in aggiunta, vale la
relazione
A = A⋆ ,
ovvero D(A) = D(A⋆ ), allora A è detto auto-aggiunto.
56
Nota 4.5: Osserviamo che vale la seguente relazione
A ⊆ B ⇒ B ⋆ ⊆ A⋆ ,
(4.19)
cioé incrementando il dominio di un operatore A conseguentemente diminuisce il dominio
del suo aggiunto A⋆ . Quindi non c’é possibilità di estendere ulteriormente il dominio di un operatore auto-aggiunto. Infatti, se A è auto-aggiunto e B ne è una sua
estensione auto-aggiunta allora dalla relazione
A ⊆ B ⊆ B ⋆ ⊆ A⋆ = A
segue che A = B. In sostanza abbiamo provato che
Corollario 4.7. Gli operatori auto-aggiunti sono massimali; cioé essi non hanno una
estensione simmetrica.
Se A⋆ è densamente definito (é il caso in cui A è simmetrico) noi possiamo considerare
A⋆⋆ . In analogia alla proprietà degli spazi lineari M ⊥⊥ = M l’estensione A⋆⋆ viene
denominata la chiusura di A (vedremo in seguito le sue proprietà). Osserviamo poi che
se A è simmetrico allora dalla relazione A ⊆ A⋆ segue anche che Ā = A⋆⋆ ⊆ A⋆ e quindi
A ⊆ Ā ⊆ A⋆ .
Inoltre
hψ, A⋆ ϕi = hĀψ, ϕi, ∀ψ ∈ D(Ā) , ϕ ∈ D(A⋆ ) ,
implica che Ā è simmetrico poiché A⋆ ϕ = Āϕ per ogni ϕ ∈ D(Ā).
Esempio 4.2: Consideriamo l’operatore di moltiplicazione: sia data una funzione
A : Rn → C
misurabile e consideriamo il seguente operatore lineare definito su H = L2 (Rn , dx):
(Af )(x) = A(x)f (x), D(A) = {f ∈ L2 (Rn , dx) : Af ∈ L2 } .
Anzitutto osserviamo che D(A) è denso in H. A tal fine poniamo
Ωm = A−1 ([−m, m]) = {x ∈ Rn : −m ≤ A(x) ≤ m} , m ∈ N ,
chiaramente Ωm è un insieme misurabile tale che
n
Ωm ⊆ Ωm+1 e ∪+∞
m=1 Ωm = R
Quindi, per ogni f ∈ L2 (Rn , dx) la funzione fm = χΩm f è una funzione che appartiene a
D(A) e inoltre vale la convergenza dominata fm → f .
Premesso ciò, procediamo ora al calcolo (formale) dell’aggiunto di A: siano dati f, h ∈
D(A), quindi
hh, Af i =
Z
R
n h(x)A(x)f (x)dx =
Z
Rn
h(x)A(x)f (x)dx = hAh, f i ,
(4.20)
57
dove Ā (warning notation: qui Ā denota il complesso coniugato della funzione A(x) e
NON la chiusura dell’operatore A) è l’operatore di moltiplicazione per A(x):
(Āf )(x) = A(x)f (x) , D(Ā) = {f ∈ L2 (Rn , dx) : Āf ∈ L2 } = D(A) .
Segue quindi immediatamente che Ā ⊆ A⋆ . Per dimostrare l’uguaglianza sia dato h ∈
D(A⋆ ) e chiamiamo g = A⋆ h ∈ H, consideriamo poi la relazione
Z
⋆
Rn
g(x)f (x)dx = hg, f i = hA h, f i = hh, Af i =
Z
Rn
h(x)A(x)f (x)dx
da cui segue che
Z
R
n
h
i
h(x)A(x) − g(x) f (x)dx , ∀f ∈ L2 (Rn , dx) .
(4.21)
Quindi deve essere
(A⋆ h)(x) = g(x) = h(x)A(x) = A(x)h(x)
e quindi A⋆ è realmente l’operatore di moltiplicazione per Ā con D(A⋆ ) = D(A).
Esempio 4.3: Consideriamo l’operatore differenziale con condizioni di Dirichlet al
bordo sullo spazio di Hilbert H = L2 ([0, 2π]). Introduciamo l’operatore
A0 f = −i
d
f, D(A0 ) = {f ∈ C 1 ([0, 2π]) : f (0) = f (2π) = 0} .
dx
(4.22)
L’operatore A0 è chiaramente simmetrico (basta fare una semplice integrazione per parti)
in virtù delle condizioni al bordo di Dirichlet. Calcoliamo ora l’aggiunto A⋆0 di A0 . Sia
g ∈ D(A⋆0 ) e poniamo g̃ = A⋆0 g, allora segue
Z
2π
0
g̃(x)f (x)dx = hg̃, f i =
hA⋆0 g, f i
= hg, A0 f i =
Z
2π
0
g(x)[−if ′ (x)]dx
(4.23)
Ricordando che f (0) = f (2π) = 0 e integrando per parti segue che
Z
2π
0
f ′ (x) g(x) − i
Z
x
0
g̃(s)ds dx = 0 .
(4.24)
Quindi
g(x) − i
Z
x
0
g̃(s)ds ∈ {f ′ : f ∈ D(A0 )}⊥
dove f ∈ C 1 ([0, 2π]) implica che esiste h ∈ C([0, 2π]) tale che
f (x) =
Z
x
0
h(s)ds + C;
la condizione al contorno f (0) = f (2π) implica che
R 2π
0
{f ′ : f ∈ D(A0 )} = h ∈ C([0, 2π]) :
h(s)ds = 0 e quindi
Z
2π
0
h(s)ds = 0 .
(4.25)
58
Se consideriamo una funzione h(s) continua in [0, 2π] la possiamo sviluppare in serie di
Fourier
∞
X
1
[an cos(ns) + bn sin(ns)] .
h(s) = a0 +
2
n=1
R
In particolare, se 02π h(s)ds = 0 allora deve necessariamente essere a0 = 0 e quindi
l’insieme {f ′ : f ∈ D(A0 )}⊥ ⊆ H è formato dalle costanti, da cui segue che deve
necessariamente essere
g(x) − i
Z
x
0
g̃(s)ds = C = g(0) ⇒ g(x) = g(0) + i
Z
x
0
g̃(s)ds .
Osservando che g̃ ∈ L2 ([0, 2π]) ⊂ L1 ([0, 2π]), quindi segue che g(x) ∈ AC([0, 2π]) è una
funzione assolutamente continua dove
1
AC([a, b]) = f ∈ C([a, b]) : ∃g ∈ L ([a, b]) tale che f (x) = f (a) +
Z
x
a
g(s)ds
In conclusione, g ∈ D(A⋆0 ) implica che g ∈ AC([0, 2π]) e A⋆0 g = g̃ = −ig ′ ∈ L2 ([0, 2π]);
quindi1
D(A⋆0 ) ⊆ H 1 ([0, 2π]) = {f ∈ AC([0, 2π]) : f ′ ∈ L2 ([0, 2π])} .
Viceversa, per ogni g ∈ H 1 ([0, 2π]) la relazione (4.23) vale con g̃ = −ig ′ . In conclusione
d
A⋆0 = −i dx
e D(A⋆0 ) = H 1 ([0, 2π]).
Esempio 4.4: In particolare, A0 è simmetrico ma la sua chiusura non è auto-aggiunta.
Consideriamone la chiusura
Ā0 = A⋆⋆
0
⋆
ricordando che A⋆⋆
0 ⊆ A0 . Per integrazioni per parti segue che
h
0 = hg, Ā0 f i − hA⋆0 g, f i = i f (0)g(0) − f (2π)g(2π)
i
e poiché le condizioni al bordo per g ∈ D(A⋆0 ) posso essere prescritte arbitrariamente deve
necessariamente essere f (0) = f (2π) = 0. Quindi
D(Ā0 ) = {f ∈ D(A⋆0 ) : f (0) = f (2π) = 0} ⊂ D(A⋆0 ) ,
pertanto anche la chiusura Ā0 di A0 non coincide con A⋆0 e quindi Ā0 non è autoaggiunto.
1
Ricordiamo che W k,p (Ω) denota lo spazio di Sobolev definito come
W k,p (Ω) =
n
u ∈ Lp (Ω) :
∂αu
, |α| ≤ k
∂xα
munito della norma (almeno per 1 ≤ p < +∞)
kukW k,p (Ω)
Convenzionalmente H k = W k,2 .

1/p
α p
X
∂ u 
=
.
α p
|α|≤k
∂x
L
o
59
Esempio 4.5: Consideriamo l’operatore differenziale sullo spazio di Hilbert H =
L2 ([0, 2π]) con condizioni periodiche al bordo. Introduciamo l’operatore
Af = −i
d
f, D(A) = {f ∈ C 1 ([0, 2π]) : f (0) = f (2π)} ,
dx
(4.26)
che è chiaramente una estensione di A0 poiché D(A0 ) ⊆ D(A). Calcoliamo ora A⋆ g per
g ∈ D(A⋆ ) osservando che A⋆ ⊆ A⋆0 e quindi g ∈ D(A⋆ ) ⊆ D(A⋆0 ) = H 1 e A⋆ g = A⋆0 g =
−ig ′ , ottenendo
h
i
0 = hg, Af i − hA⋆ g, f i = if (0) g(0) − g(2π) .
Poiché questa relazione deve valere per ogni f ∈ D(A) segue che g(0) = g(2π) e
A⋆ f = −i
d
f , D(A⋆ ) = {f ∈ H 1 ([0, 2π]) : f (0) = f (2π)} .
dx
(4.27)
Similmente, come prima se ne determina la chiusura Ā, ma in questo caso Ā = A⋆ e quindi
Ā è auto-aggiunto.
Nota 4.6: Uno potrebbe pensare che non c’é una differenza sostanziale tra i due operatori
simmetrici A e A0 , coincidenti su un insieme denso di vettori. In realtà la differenza è
sostanziale: ad esempio A0 non ha autovettori in D(A0 ), mentre A ha una base ortonormale
di autovettori in D(A).
Esercizio 4.4: Calcolare gli autovalori e autovettori di A e A0 .
Dagli esempi considerati possiamo concludere che, in generale, è abbastanza semplice
verificare se un operatore è simmetrico o meno; molto più difficile è dimostrare se questo
ha una chiusura auto-aggiunta. Se un dato operatore simmetrico A non è auto-aggiunto
allora si pone il problema dell’esistenza di una estensione auto-aggiunta.
Definizione 4.8. Sia A un operatore simmetrico su D(A). Se Ā è auto-aggiunto allora
questa è la sola estensione auto-aggiunta di A. In tal caso A è detto essenzialmente
auto-aggiunto e D(A) è detto un core per Ā.
Nota 4.7: Se A non è essenzialmente auto-aggiunto allore sono possibili più estensioni
auto-aggiunte dello stesso operatore. Quindi un buon punto di partenza è costruire operatori essenzialmente auto-aggiunti, in modo da garantirsi l’esistenza di una unica estensione
auto-aggiunta.
Poiché il calcolo di A⋆ non è sempre facile, introduciamo un criterio per l’autoaggiunzione senza fare uso di A⋆ .
Lemma 4.9. Sia A simmetrico e tale che Ran(A + z) = Ran(A + z̄) = H per almeno un
z ∈ C. Allora A è auto-aggiunto.
Dimostrazione. Si consideri A⋆ ψ dove A⋆ è l’aggiunto di A e dove ψ ∈ D(A⋆ ). Fissato ψ
e dato z ∈ C nell’ipotesi del Lemma, consideriamo l’equazione
(A + z̄)ϕ = (A⋆ + z̄)ψ
di incognita ϕ. Poiché abbiamo supposto Ran(A+ z̄) = H allora esiste, almeno un vettore
ϕ ∈ D(A) che soddisfa a questa equazione. Ciò premesso, calcoliamo
60
hψ, (A + z)φi = h(A⋆ + z̄)ψ, φi = h(A + z̄)ϕ, φi = hϕ, (A + z)φi, ∀φ ∈ D(A) .
Per l’arbritarietà di φ e poiché Ran(A + z) = H segue che deve essere ψ = ϕ ∈ D(A) e
quindi D(A) = D(A⋆ ) da cui segue la tesi.
4.2.1 Indice di difetto di un operatore simmetrico
In molte applicazioni fisiche è dato un operatore simmetrico; se questo operatore risulta
essere essenzialmente auto-aggiunto allora esiste una unica estensione auto-aggiunta e in
questo caso non ci sono problemi. In caso contrario è opportuno trovare tutte le estensioni
auto-aggiunte e classificarle.
Nelle sezioni precedenti si è dimostrato che un operatore A è essenzialmente autoaggiunto se
Ker(A⋆ − z) = Ker(A⋆ − z̄) = {0}
(4.28)
per un qualche z ∈ C\R. Quindi, la proprietà di auto-aggiunzione è strettamente collegata
alla dimensione di questi spazi, introduciamo i seguenti numeri
d± (A) = dimK± , K± = Ker(A⋆ ∓ i)
(4.29)
detti indice di difetto di A (dove prendiamo, per semplicità, z = i, comunque ogni
altro numero complesso z ∈ C \ R va bene altrettanto; di fatto gli indici di difetto sono
indipendenti dalla scelta del numero complesso z).
Quindi possiamo concludere che se
d+ (A) = d− (A) = 0
allora c’é una sola estensione auto-aggiunta di A data dalla sua chiusura Ā. In generale,
però, la siuazione è più intricata.
4.3 Chiusura di un operatore
In precedenza abbiamo introdotto la chiusura di un operatore simmetrico A come Ā = A⋆⋆ .
Diamo ora una definizione diversa che poi proveremo essere equivalente. Il modo più
semplice di considerare la chiusura di un operatore è prendere la chiusura del suo grafico;
cioé se la successione (Aψn , ψn ) → (ψ̃, ψ) allora ψ̃ è il candidato ad essere Aψ. Affinché
Aψ sia ben definita occorre premettere la seguente definizione.
Definizione 4.10. Dato un operatore lineare A su uno spazio di Hilbert H si definisce
grafico di A il seguente sotto-insieme di H2 :
Γ (A) = {(ψ, Aψ) : ψ ∈ D(A)} ⊆ H2 .
Definizione 4.11. Un operatore lineare A è detto chiudibile se data una qualunque successione ψn → 0 e tale che Aψn → v allora v = 0. Di conseguenza, l’operatore Ā che
soddisfa alla relazione Γ (Ā) = Γ (A), dove Γ (A) è unico ed è la chiusura di Γ (A) nella
topologia di H2 , è detto la chiusura di A. L’operatore A è chiuso se A = Ā, e in questo
caso il grafico di A è chiuso.
4.3 Chiusura di un operatore
61
Nota 4.8: Equivalentemente, A è chiuso se, e solo se, Γ (A), equippaggiato con la norma
del grafico
k(ψ, Aψ)k2Γ (A) = kψk2 + kAψk2
é uno spazio di Hilbert. Per costruzione, Ā è la più piccola estensione chiusa di A.
Esempio 4.6: Consideriamo ancora l’operatore di moltiplicazione per A(x), già discusso
nell’esempio precedente, definendolo a partire dall’operatore A0 sul dominio
(A0 f )(x) = A(x)f (x), D(A0 ) = {f ∈ L2 (Rn , dx) : supp(f ) è compatto} .
Si prova che la chiusura di A0 è l’operatore A: Ā0 = A. In particolare, A0 è essenzialmente
auto-aggiunto e D(A0 ) è un core per A. Per dimostrare che Ā0 = A sia dato f ∈ D(A)
e consideriamo fn = χ{x | |x|≤n} f . Per costruzione fn ∈ D(A0 ) e
fn (x) → f (x) e A(x)fn (x) → A(x)f (x)
sia puntualmente che, per il teorema della convergenza dominata, in L2 (Rn , dx). Quindi
D(A) ⊆ D(Ā0 ) e, essendo A chiuso, vale la relazione di uguaglianza.
Lemma 4.12. Supponiamo che A sia un operatore lineare densamente definito. Allora:
i. A⋆ è chiuso.
Inoltre si può dimostrare che
ii. A ammette chiusura se, e solo se, D(A⋆ ) è denso; in tal caso si ha che Ā = A⋆⋆ e
(Ā)⋆ = A⋆ .
iii.Se A è iniettivo e Ran(A) è denso, allora (A⋆ )−1 = (A−1 )⋆ . Inoltre, se A ammette
chiusura e Ā è iniettivo, allora Ā−1 = A−1 .
Dimostrazione. Dimostriamo la sola proposizione i. e omettiamo le dimostrazioni delle
proposizioni ii. e iii.. Per dimostrare la i. consideriamo il grafico di A⋆ :
n
Γ (A⋆ ) = (ϕ, ϕ̃) ∈ H2 : ϕ ∈ H ∧ ϕ̃ è tale che hϕ, Aψi = hϕ̃, ψi , ∀ψ ∈ D(A)
n
o
= (ϕ, ϕ̃) ∈ H2 : h(ϕ, ϕ̃), (Aψ, −ψ)iH2 = 0, ∀ψ ∈ D(A) , (ψ, Aψ) ∈ Γ (A)
= (U Γ (A))⊥
o
(4.30)
dove U (ψ, Aψ) = (Aψ, −ψ). Quindi A⋆ è chiuso.
Corollario 4.13. Se A è un operatore auto-aggiunto ed iniettivo, allora anche l’operatore
inverso A−1 è auto-aggiunto.
Dimostrazione. L’equazione (4.18) nel caso A = A⋆ implica che
Ran(A)⊥ = Ker(A) = {0}
e quindi segue la tesi in virtù della proprietà (iii) del Lemma 4.12.
Possiamo poi generalizzare il Lemma 4.9 al caso di operatori essenzialmente autoaggiunti.
62
Lemma 4.14. Un operatore simmetrico è essenzialmente auto-aggiunto se, e solo se, esiste almeno un z ∈ C − R tale che
Ran(A + z) = Ran(A + z̄) = H
o
Ker(A⋆ + z) = Ker(A⋆ + z̄) = {0} .
Se in aggiunta A è non-negativo, cioé hψ, Aψi ≥ 0 per ogni ψ ∈ D(A), allora si può
ammettere z ∈ (0, +∞).
Dimostrazione. Anzitutto osserviamo che in virtù della (4.18) le due condizioni sono equivalenti. Assumiamo, senza perdere in generalità, inoltre che A sia chiuso; in caso contrario
ne prendiamo la chiusura. Ciò premesso, poniamo z = x + iy, y 6= 0. Dalla relazione
k(A + z)ψk2 = k(A + x)ψ + iyψk2 = k(A + x)ψk2 + y 2 kψk2 ≥ y 2 kψk2
(4.31)
segue che Ker(A + z) = {0} e quindi (A + z)−1 esiste. Segue poi che l’operatore inverso
è chiuso e limitato; infatti ponendo ψ = (A + z)−1 ϕ, per y 6= 0, la (4.31) implica che
kϕk = k(A + z)(A + z)−1 ϕk ≥ |y| k(A + z)−1 ϕk
e quindi
k(A + z)−1 k ≤ |y|−1 .
L’operatore inverso (A+z)−1 è definito su Ran(A+z), che per ipotesi è denso in H. Quindi
l’operatore inverso (A + z)−1 , chiuso e limitato, ha come dominio tutto H. Similmente,
rimpiazzando z con z̄, segue che Ran(A + z̄) = H e applicando il Lemma 4.9 segue che
che A è auto-aggiunto. Viceversa, se A = A⋆ , i calcoli di cui sopra portano a dimostrare
che Ker(A⋆ + z) = {0}.
Concludiamo la dimostrazione osservando che nell’ipotesi A non-negativo allora, con
ǫ ∈ (0, +∞), basta osservare che
ǫkψk2 ≤ hψ, (A + ǫ)ψi ≤ kψk k(A + ǫ)ψk
da cui segue
k(A + ǫ)−1 k ≤ ǫ−1 , ǫ > 0 .
Concludiamo la sezione provando il teorema del grafico chiuso, da cui segue che un
operatore chiuso e non limitato non può essere definito su tutto lo spazio di Hilbert.
Teorema 4.15 (Teorema del grafico chiuso). Siano H1 e H2 due spazi di Hilbert e
sia
A : H1 → H2
(4.32)
un operatore definito su tutto H1 . Allora A è limitato se, e solo se, Γ (A) è chiuso.
4.4 Forme quadratiche ed estensione di Friedrichs
63
Dimostrazione. Se A è limitato, allora è immediato vedere che Γ (A) è chiuso. Viceversa,
supponiamo che Γ (A) sia chiuso; allora per ogni vettore unitario ϕ ∈ D(A⋆ ) noi abbiamo
che il funzionale lineare
ℓϕ (ψ) = hA⋆ ϕ, ψi
é limitato puntualmente:
|ℓϕ (ψ)| = |hA⋆ ϕ, ψi| ≤ |hϕ, Aψi| ≤ kAψk .
Quindi, dal principio di uniforme limitatezza esiste una costante C tale che kℓϕ k =
kA⋆ ϕk ≤ C. Cioé A⋆ è limitato e quindi anche A = Ā = A⋆⋆ lo è.
Come conseguenza immediata di questo teorema, e osservando che operatori simmetrici
ammettono sempre chiusura, allora essi sono automaticamente chiusi se essi sono definiti
sull’intero spazio di Hilbert. Da ciò segue che
Corollario 4.16. Un operatore simmetrico definito sull’intero spazio di Hilbert H è necessariamente limitato.
Concludiamo la sezione con un paio di esercizi:
Esercizio 4.5: Dimostrare che il kernel di un operatore chiuso è chiuso.
Esercizio 4.6: Se A è chiuso e B limitato, allora AB è chiuso. E BA?
Siamo ora pronti a trarre alcune considerazioni a riguardo delle osservabili, cercando
di dimostrare che una osservabile ha almeno una estensione auto-aggiunta. Cominciano
considerando il caso, relativamente più semplice, di operatori non-negativi.
Definizione 4.17. Un operatore simmetrico è detto non-negativo (rispettivamente positivo), e si scrive A ≥ 0 (rispettivamente A > 0), se
hψ, Aψi ≥ 0 (rispettivamente > 0) ∀ψ ∈ D(A), ψ 6= 0 .
Definizione 4.18. Un operatore simmetrico è detto limitato dal basso se esiste una
costante γ ∈ R tale che
hψ, Aψi ≥ γkψk2 , ∀ψ ∈ D(A) .
(4.33)
In tal caso scriviamo A ≥ γ.
Se A è positivo e simmetrico allora l’applicazione (ϕ, ψ) → hϕ, Aψi è un prodotto
scalare. In realtà questo prodotto scalare ha un inconveniente: potrebbe indurre una
topologia diversa dalla topologia iniziale. Per evitare questo problema introduciamo il
prodotto scalare
hϕ, ψiA = hϕ, (A + 1)ψi, A ≥ 0 ,
definito su D(A) e tale che
(4.34)
64
kψk ≤ kψkA .
(4.35)
Da questa disuguaglianza segue che successioni di Cauchy, rispetto alla norma k · kA ,
risultano essere tali anche rispetto alla norma k · k.
Sia HA il completamento di D(A) rispetto a questa norma; in virtù della (4.35) segue
che
D(A) ⊆ HA ⊆ H .
In maggior dettaglio: se {ψn }n è una sequenza di Cauchy in D(A) con la norma k · kA ,
allora essa è anche di Cauchy in H e quindi noi possiamo identificare il limite in HA come
il limite della successione riguardata come successione in H. Per avere l’unicità di questa
identificazione resta solo da dimostrare che se {ψn }n ⊂ D(A) è una successione di Cauchy
in HA tale che kψn k → 0 allora kψn kA → 0. Ciò segue dalla seguente relazione
kψn k2A = hψn , ψn − ψm iA + hψn , ψm iA
≤ kψn kA kψn − ψm kA + kψn k k(A + 1)ψm k
(4.36)
dove il termine di destra può essere reso piccolo a piacere scegliendo n e m sufficientemente
grandi. Più precisamente: esiste N tale che se n, m > N allora kψn − ψm kA < ǫ, fissato
questo valore di m esiste N1 > N tale che se n > N1 allora kψn k < ǫ. Quindi, per m > N
e n > N1 si ha che
kψn k2A ≤ ǫkψn k + Cǫ , C = k(A + 1)ψm k
da cui segue che
√
kψn kA ≤ C ǫ
per una qualche costante ǫ > 0.
k·kA
Nota 4.9: Talvolta lo spazio HA = D(A)
prende anche il nome di spazio dell’energia.
Nota 4.10: Nel caso di operatori simmetrici limitati dal basso la norma dell’energia puó
essere definita attraverso la norma
kψkA−γ = hψ, (A − γ)ψi + kψk2 .
Per operatori non-negativi (o limitati dal basso) vale il seguente risultato (del quale ne
omettiamo la dimostrazione)
Teorema 4.19 (Estensione di Friedrichs). Sia A un operatore simmetrico limitato
dal basso da γ. Allora esiste una estensione auto-aggiunta Ã che è anche limitata dal
basso da γ e che soddisfa alla condizione D(Ã) ⊆ HA−γ . Inoltre, Ã è la solo estensione
auto-aggiunta tale che D(Ã) ⊆ HA−γ .
Nota 4.11: Se A è un operatore non-negativo l’estensione Ã è definita sul dominio
n
D(Ã) = ψ ∈ H : ∃ψ̃ ∈ H tale che hϕ, ψiA = hϕ, ψ̃i , ∀ϕ ∈ HA
o
65
nel seguente modo:
Ãψ = ψ̃ − ψ .
Nel caso in cui A non sia non-negativo, ma limitato dal basso da γ allora si opera similmente sostituendo A − γ al posto di A.
Definizione 4.20. Introduciamo ora la forma quadratica
qA (ψ) = kψk2A − kψk2 = hψ, Aψi ,
(4.37)
Questa viene inizialmente definita su D(A) e poi estesa, attraverso l’operazione di
chiusura, su tutto la spazio HA . L’insieme
Q(A) = HA
prende il nome di dominio di forma dell’operatore A.
Esempio 4.7: Operatore di moltiplicazione. Sia A l’operatore di moltiplicazione
n
2
per una data funzione A(x) ≥
q 0 in L (R , dx). Allora possiamo definire l’operatore di
moltiplicazione (A1/2 ψ)(x) = A(x)ψ(x) da cui
Q(A) = D(A1/2 ) = {ψ ∈ L2 (Rn , dx) : A1/2 ψ ∈ L2 (Rn , dx)}
(4.38)
e
qA (ψ) =
Z
Rn
A(x)|ψ(x)|2 dx .
(4.39)
Esempio 4.8: Sia H = L2 ([0, π]) e consideriamo l’operatore
Af = −
d2
f , D(A) = {f ∈ C 2 ([0, π]) : f (0) = f (π) = 0} .
dx2
(4.40)
Questo problema rappresenta il modello uni-dimensionale di una particella confinata in
una scatola di lunghezza π.
Anzitutto dimostriamo che A è simmetrico e positivo:
hg, Af i =
Z
π
0
g(x)[−f ′′ (x)]dx =
Z
π
0
g ′ (x)f ′ (x)dx =
Z
π
0
−g ′′ (x)f (x)dx = hAg, f i(4.41)
in virtù delle condizioni periodiche f (0) = f (π) = 0 e g(0) = g(2π) = 0. Similmente si
ottiene che
hf, Af i =
Z
π
0
f (x)[−f ′′ (x)]dx =
Z
π
0
f ′ (x)f ′ (x)dx =
Z
π
0
|f ′ (x)|2 dx > 0
(4.42)
per ogni funzione f (x) non identicamente nullo.
Come secondo step determiniamo lo spazio dell’energia e otteniamo che
HA = {f ∈ H 1 ([0, π]) : f (0) = f (π) = 0} .
(4.43)
66
Infatti, partiamo dalla relazione (ovvia)
hg, f iA =
Z
π
0
h
i
g ′ (x)f ′ (x) + g(x)f (x) dx = hf, gi + hf ′ , g ′ i
(4.44)
per dimostrare che fn è di Cauchy in HA se, e solo se, sia fn che fn′ sono di Cauchy in
L2 ([0, π]). Di conseguenza, data una successione fn di Cauchy in HA allora dovrà essere
che fn → f e fn′ → h per un qualche f, h ∈ L2 ([0, π]); d’altra parte
fn (x) = fn (0) +
R
Z
x
fn′ (s)ds =
0
Z
x
0
fn′ (s)ds
f ∈ AC([0, π]). Le condizioni al contorno per f
convergerà a f (x) = 0x h(s)ds e quindi
R0
seguono immediatamente: f (0) = 0 h(s)ds = 0, e
Z
f (π) = lim
π
n→+∞ 0
fn′ (s)ds = lim [fn (π) − fn (0)] = 0
n→+∞
Tutto ciò porta ad affermare che
HA ⊆ {f ∈ H 1 ([0, π]) : f (0) = f (π) = 0} .
Per provare il viceversa sia dato f ∈ H 1 ([0, π]) tale che Rf (0) = f (π) = 0 e approssimiamo
contrario
f ′ ∈ L2 ([0, π]) mediante
funzioni regolari hn tali che 0π hn (s)ds = 0 (in caso
R
R
prendiamo hn (x) − π1 0π hn (s)ds invece che hn ). Definiamo poi fn (x) = 0x hn (t)dt e
notiamo che, per costruzione, fn ∈ D(A) ed è tale che fn → f :
fn (x) =
Z
x
0
hn (s)ds → f (x) =
Infatti
f (x) − fn (x) =
Z
x
0
Z
x
0
f ′ (s)ds.
[f ′ (s) − hn (s)] ds
e quindi
Z x
2
′
kfn − f k =
[f (s) − hn (s)] ds dx
0
0
Z π
2
2
Z
π
≤π
|f ′ (s) − hn (s)| ds
0
≤ π 3 kf ′ − hn k2 → 0 .
Di conseguenza f ∈ HA .
Calcoliamo infine l’estensione Ã. Dalla definizione noi abbiamo che f ∈ D(Ã) ⊆ HA
se esiste f˜ tale che hg, f iA = hg, f˜i per ogni g ∈ HA , cioé
Z
π
0
g ′ (x)f ′ (x)dx
=
Z
π
0
g(x)[f˜(x) − f (x)]dx .
(4.45)
Un’integrazione per parti porta alla seguente relazione
Z
π
0
g ′ (x) f ′ (x) +
Z
x
0
h
i
f˜(t) − f (t) dt dx = 0 .
(4.46)
4.5 Risolvente e spettro di un operatore lineare
67
Per l’arbitrarietà di g dovrà quindi essere
′
f (x) +
Di conseguenza f ′ (x) =
Rx
0
Z
x
0
[f˜(s) − f (s)]ds = costante.
q(s)ds per un qualche q ∈ L2 e quindi
f ∈ H 2 ([0, π])
e Ãf = f˜ − f = −f ′′ . Il viceversa è ovvio e quindi
Ãf = −
d2
f , D(Ã) = {f ∈ H 2 (0, π]) : f (0) = f (π) = 0} .
dx2
(4.47)
Esercizio 4.7: (⋆) Sia A un operatore simmetrico, allora la (4.12) viene generalizzata nel
senso che
kAk = sup |hψ, Aψi| .
(4.48)
kψk=1
Esercizio 4.8: Sia A invertibile. Dimostrare che A > 0 se, e solo se, A−1 > 0.
Esercizio 4.9: Supponiamo che A sia un operatore chiuso. Dimostrare che A⋆ A ≥ 0;
dopo dimostrare che l’operatore A⋆ A definito sul dominio
D(A⋆ A) = {ψ ∈ D(A) : Aψ ∈ D(A⋆ )}
é auto-aggiunto. Infine dimostrare che Q(A⋆ A) = D(A).
Esercizio 4.10: (⋆) Sia
A0 = −
d2
definita su D(A0 ) = C0∞ (R)
dx2
dove C0∞ (R) è lo spazio delle funzioni infinitamente derivabili a supporto compatto, è ben
noto che tale spazio è denso in L2 (R, dx). Calcolarne l’estensione A e dimostrare che
Q(A) = H 1 (R) e che D(A) = H 2 (R).
Esercizio 4.11: (⋆) Dimostrare che la (4.48) è falsa se A non è simmetrico.
Sia A un operatore chiuso e densamente definito sullo spazio di Hilbert H.
Definizione 4.21. L’insieme risolvente di A è l’insieme definito come
n
o
ρ(A) := z ∈ C : (A − z)−1 ∈ L(H) .
Ovvero z ∈ ρ(A) se, e solo se, l’operatore
(A − z) : D(A) → H
é biiettivo e l’operatore inverso è limitato.
(4.49)
68
Nota 4.12: In virtù del Teorema del grafico chiuso (4.15) è sufficiente controllare, per
operatori simetrici, che (A − z) sia invertibile.
Definizione 4.22. L’insieme complementare dell’insieme risolvente si chiama spettro
dell’operatore A ed è definito come
σ(A) = C \ ρ(A) .
(4.50)
Nota 4.13: In particolare z ∈ σ(A) se A − z ha nucleo non banale: Ker(A − z) 6= {0}.
Un vettore ψ ∈ Ker(A − z) è detto un autovettore di A e z è detto autovalore. È
opportuno sottolineare che l’insieme degli autovalori di A è un sottoinsieme dello spettro
di A, ma non è detto che coincida con tutto lo spettro; ovvero possono esistere dei valori
z ∈ σ(A) che non sono autovalori di A.
Definizione 4.23. L’operatore
RA (z) : ρ(A) → L(H)
z → (A − z)−1
(4.51)
é detto l’operatore risolvente di A.
Nota 4.14: Osservando semplicemente che
h
RA (z)⋆ = (A − z)−1
i⋆
= (A⋆ − z̄)−1 = RA⋆ (z̄)
(4.52)
segue che (Warning Notations: ρ̄ qui denota il complesso coniugato e non la chiusura
di ρ)
ρ(A⋆ ) = ρ(A) e σ(A⋆ ) = σ(A)
(4.53)
Esempio 4.9: Consideriamo ancora l’operatore di moltiplicazione: sia A(x) una funzione
misurabile assegnata, x ∈ Rn , e sia A l’operatore lineare definito sullo spazio di Hilbert
H = L2 (Rn , µ) come
(Af )(x) = A(x)f (x) , D(A) = {f ∈ H : Af ∈ H} .
(4.54)
L’operatore inverso è definito come
(A − z)−1 f =
f (x)
.
A(x) − z
Quest’operatore è limitato se A(x) − z 6= 0 nel senso che
ρ(A) = {z ∈ C : ∃ǫ > 0 : µ(Bǫ ) = 0}
dove Bǫ è l’insieme
Bǫ = {x ∈ Rn : |A(x) − z| < ǫ} .
Viceversa
(4.55)
σ(A) = {z ∈ C : ∀ǫ > 0 : µ(Bǫ ) > 0} .
69
(4.56)
Esempio 4.10: Consideriamo l’operatore differenziale A sullo spazio di Hilbert
L2 (0, 2π) definito come
Af = −i
d
f , D(A) = {f ∈ AC[0, 2π] : f ′ ∈ L2 , f (0) = f (2π)}
dx
(4.57)
É ben noto che gli autovalori di A sono i numeri interi n = 0, ±1, ±2, . . . e che le corrispondenti autofunzioni normalizzate
1
un (x) = √ einx
2π
(4.58)
formano una base ortonormale. Per calcolarne il risolvente noi dobbiamo trovare la
soluzione della corrisponde equazione non-omogenea
−if ′ (x) − zf (x) = g(x) .
Un calcolo immediato porta a
f (x) = f (0)eizx + i
Z
x
0
eiz(x−t) g(t)dt .
(4.59)
Poiché f deve appartenere al dominio di A allora si deve avere f (0) = f (2π) da cui segue
che f (0) deve assumere il valore
f (0) =
i
e−2iπz − 1
Z
2π
0
e−izt g(t) dt , z ∈ C \ Z.
(4.60)
Quindi l’operatore inverso (A − z)−1 è un operatore integrale
di nucleo
h
−1
i
(A − z) g (x) =
G(z, x, t) = e
Z
iz(x−t)
2π
0
(
G(z, x, t)g(t)dt
−i
e−2iπz −1
−i
e2iπz −1
, t>x
, t<x
(4.61)
(4.62)
Da ciò segue che (A − z)−1 è limitato se z ∈ C \ Z, e quindi σ(A) = Z.
Teorema 4.24 (First Resolvent Formula). Sia dato un operatore lineare A su uno
spazio di Hilbert H, siano z, z0 ∈ ρ(A), allora
RA (z) − RA (z0 ) = (z − z0 )RA (z)RA (z0 ) = (z − z0 )RA (z0 )RA (z) .
(4.63)
Dimostrazione. Infatti, un calcolo immediato prova che
RA (z) − (z − z0 )RA (z0 )RA (z) = [1 − (z − z0 )RA (z0 )] RA (z)
= RA (z0 ) [(A − z0 ) − (z − z0 )] RA (z) = RA (z0 )
da cui segue la seconda identità (4.63). La prima identità segue semplicemente scambiando
z con z0 .
70
Riscriviamo ora la (4.63) nel seguente modo
RA (z) = RA (z0 ) + RA (z0 )(z − z0 )RA (z)
(4.64)
da cui seguono due conseguenze. La prima produce la seguente identità
RA (z) = RA (z0 ) [1 − RA (z0 )(z − z0 )]−1 .
(4.65)
Fissiamo ora z0 , applicando la formula (4.63) in modo ricorsivo si ottiene la seguente
relazione
RA (z) =
n
X
(z − z0 )j [RA (z0 )]j+1 + (z − z0 )n+1 [RA (z0 )]n+1 RA (z) .
(4.66)
j=0
Consideriamo ora il problema della convergenza in norma di operatori della serie di operatori
Rn :=
n
X
(z − z0 )j [RA (z0 )]j+1 .
(4.67)
j=0
Sia z0 ∈ ρ(A) e sia z ∈ C tale che
|z − z0 | < kRA (z0 )k−1 ;
allora z ∈ ρ(A) e inoltre la serie (4.67) converge all’operatore risolvente in z:
RA (z) = lim
n→+∞
n
X
(z − z0 )j [RA (z0 )]j+1 .
j=0
A tal fine, anzitutto osserviamo che la serie (4.67) converge in norma ad un operatore
limitato, che al momento denotiamo R∞ . Sia assegnato ora ψ ∈ H e sia
ϕ = R∞ ψ e ϕ n = Rn ψ .
Un calcolo immediato prova che
Aϕn = ARn ψ = (A − z0 )Rn ψ + z0 ϕn = ψ + (z − z0 )ϕn−1 + z0 ϕn
(4.68)
da cui segue che
(ϕn , Aϕn ) → (ϕ, ψ + zϕ)
e quindi ϕ ∈ D(A), poiché A è un operatore chiuso, e (A − z)R∞ ψ = ψ. Similmente, per
ψ ∈ D(A) segue che
Rn Aψ = ψ + (z − z0 )ϕn−1 + z0 ϕn
e quindi R∞ (A − z)ψ = ψ dopo essere passati al limite.
In conclusione, noi abbiamo provato che
(4.69)
71
Teorema 4.25. L’insieme risolvente ρ(A) è un insieme aperto, e quindi lo spettro σ(A)
è un insieme chiuso, e l’applicazione
z ∈ ρ(A) → RA (z) ∈ L(H)
é analitica, cioé essa ammette uno sviluppo in serie di potenze assolutamente convergente
attorno ad ogni punto z0 ∈ ρ(A).
Nota 4.15: Se A è un operatore limitato un argomento simile porta alla serie di
Neumann per il risolvente per ogni |z| > kAk:
RA (z) = −
n−1
X
j=0
∞
X
1 n
Aj
Aj
+
A
R
(z)
=
−
A
j+1
z j+1 z n
j=0 z
(4.70)
Inoltre si ha che {z ∈ C : |z| > kAk} ⊆ ρ(A).
Come conseguenza si ha che
Corollario 4.26. Si ha che z ∈ σ(A) se esiste una successione, detta successione di
Weyl, ψn ∈ D(A) tale che kψn k = 1 e k(A − z)ψn k → 0.
Dimostrazione. Sia ψn una successione di Weyl associata a z, allora non può essere z ∈
ρ(A) poiché
1 = kψn k = kRA (z)(A − z)ψn k ≤ kRA (z)k k(A − z)ψn k → 0 .
Nota 4.16: Se z ∈ σ(A) e inoltre z sta sul bordo di ρ(A) allora il viceversa del Corollario
vale; ovvero esiste una successione di Weyl associata a tale z.
Segue inoltre il seguente risultato.
Corollario 4.27. Supponiamo che l’operatore A sia iniettivo e sia A−1 l’operatore inverso. Allora
σ(A−1 ) \ {0} = [σ(A) \ {0}]−1 .
(4.71)
Inoltre, Aψ = zψ, z 6= 0, ψ ∈ H, se e solo se A−1 ψ = z −1 ψ.
Dimostrazione. Sia z ∈ ρ(A) \ {0} fissato. Osserviamo che
RA−1 (z −1 ) = −zARA (z) = −z − z 2 RA (z) .
Infatti, il termine sinistro è un operatore limitato da H → D(A−1 ) = Ran(A) e inoltre
(A−1 − z −1 )(−zARA (z))ϕ = (−z + A)RA (z)ϕ = ϕ, ϕ ∈ H.
Viceversa, se ψ ∈ D(A−1 ) = Ran(A), allora noi abbiamo che ψ = Aϕ per un qualche
ϕ ∈ D(A) e quindi
[−zARA (z)] (A−1 − z −1 )ψ = ARA (z)[(A − z)ϕ] = Aϕ = ψ .
Quindi z −1 ∈ ρ(A−1 ). Il resto della dimostrazione segue scambiando i ruoli di A e A−1 .
72
Similmente, si può caratterizzare lo spettro di operatori unitari (dove una biiezione U
è unitaria se hU ψ, U ϕi = hψ, ϕi, ovvero U è unitaria se, e solo se, U ⋆ = U −1 ).
Teorema 4.28. Sia U un operatore unitario. Allora σ(U ) ⊆ {z ∈ C : |z| = 1}; in
particolare tutti gli autovalori hanno modulo 1 e autovettori corrispondenti a differenti
autovalori sono ortogonali tra loro.
Dimostrazione. Essendo kU k ≤ 1 segue che σ(U ) ⊆ {z ∈ C : |z| ≤ 1}. D’altra parte
anche U −1 è unitario e quindi σ(U −1 ) ⊆ {z ∈ C : |z| ≤ 1}, d’altra parte, in virtù del
Lemma 4.13 segue che
h
σ(U ) = σ(U −1 )
i−1
⊆ {z ∈ C : |z| ≥ 1}
e quindi σ(U ) ⊆ {z ∈ C : |z| = 1}. Se U ψj = zj ψj , j = 1, 2, noi abbiamo che
(z1 − z2 )hψ1 , ψ2 i = hU ⋆ ψ1 , ψ2 i − hψ1 , U ψ2 i = 0.
Infine, si osserva che U ⋆ ψj = U −1 ψj = zj−1 ψj = z̄j ψj .
4.5.1 Spettro di Operatori auto-aggiunti
Caratterizziamo ora lo spettro di operatori auto-aggiunti.
Teorema 4.29. Sia A un operatore simmetrico. Allora:
i. A è auto-aggiunto se, e solo se, σ(A) ⊆ R; inoltre
kRA (z)k ≤ |ℑz|−1 .
ii. σ(A) ⊆ [E, +∞), per un dato numero reale E, se, e solo se, (A − E) ≥ 0; inoltre
kRA (z)k ≤ |z − E|−1 , ∀z ∈ (−∞, E) .
Dimostrazione. Cominciamo a considerare la i.; sia σ(A) ⊆ R, quindi per ogni z ∈ C segue
che z ∈ ρ(A) e (A−z)−1 è un operatore limitato e quindi Ran(A−z) = D ([A − z]−1 ) = H,
z ∈ C \ R e quindi A è autoaggiunto in virtù del Lemma 4.14. Viceversa, se A è autoaggiunto (risp. A ≥ E), allora RA (z) esiste per z ∈ C \ R (risp. z ∈ C \ [E, ∞)) ed esso
soddisfa alle stime, come si può vedere anche nella dimostrazione del Lemma 4.14.
In particolare, noi otteniamo che
Teorema 4.30. Sia A un operatore auto-aggiunto. Allora
inf σ(A) =
inf
hψ, Aψi
(4.72)
sup
hψ, Aψi .
(4.73)
ψ∈D(A), kψk=1
e
sup σ(A) =
ψ∈D(A), kψk=1
73
Esercizio 4.12: Dimostrare il Teorema 4.30.
Per ciò che riguarda gli autovalori ed i corrispondenti autovettori vale il seguente risultato.
Lemma 4.31. Sia A un operatore simmetrico. Allora tutti gli autovalori di A sono reali
e gli autovettori corrispondenti ad autovalori differenti sono ortogonali.
Dimostrazione. Sia Aψj = λj ψj , j = 1, 2, con λ1 6= λ2 . La tesi segue osservando che
λj kψj k2 = hψj , λj ψj i = hψj , Aψj i = hAψj , ψj i = hλj ψj , ψj i = λ̄j kψj k2
e che
(λ2 − λ1 )hψ1 , ψ2 i = hψ1 , Aψ2 i − hAψ1 , ψ2 i = hψ1 , Aψ2 i − hψ1 , Aψ2 i = 0
completando la dimostrazione.
Nota 4.17: Il risultato non implica che due autofunzioni linearmente indipendenti allo
stesso autovalore sono necessariamente ortogonali; comunque noi possiamo sempre supporre che siano ortogonali tra loro e normalizzate in virtù del metodo di Gram-Schmidt.
In particolare, se H è uno spazio finito dimensionale, noi possiamo sempre trovare una
base ortonormale di autovettori.
Nel caso infinito dimensionale questo non è vero in generale. Comunque, se H ammette una base ortonormale di autovettori, allora A è essenzialmente auto-aggiunto. Più
precisamente:
Teorema 4.32. Supponiamo che A sia un operatore simmetrico che ammetta una base
ortonormale di autofunzioni {ϕj } tale che span {ϕj } sia denso su H. Allora A è essenzialmente auto-aggiunto. In particolare, esso è essenzialmente auto-aggiunto su span
{ϕj }.
P
Dimostrazione. Consideriamo l’insieme di tutte le combinazioni
lineari finite ψ = nj=0 cj ϕj ,
Pn
j
che risulta essere un insieme denso in H. Allora φ = j=0 λjc±i
ϕj ∈ D(A), e (A ± i)φ = ψ
mostrando che Range (A ± i) è denso.
Esercizio 4.13: Supponiamo che A sia un operatore limitato. Dimostrare che I + A ha
inversa limitata quando kAk < 1.
Esercizio 4.14: Calcolare l’operatore risolvente dell’operatore
Af = f ′ , D(A) = {f ∈ H 1 [0, 1] : f (0) = 0} .
Discutere lo spettro dell’operatore A e osservare che esistono operatori illimitati con spettro vuoto.
Esercizio 4.15: Calcolare gli autovalori ed autovettori dell’operatore
Af = −f ′′ , D(A) = {f ∈ H 2 [0, π] : f (0) = f (π) = 0} .
Calcolare l’operatore risolvente di A.
d2
Esercizio 4.16: Trovare una successione di Weyl per l’operatore autoaggiunto A = − dx
2,
D(A) = H 2 (R), per ogni z ∈ (0, +∞), e determinare lo spettro di A. [Suggerimento:
risolvere l’equazione −u′′ = zu e sulla soluzione generale u costruire il termine generico
della successione di Weyl ψn a partire da u e con una ”‘operazione”’ di cut-off.]
74
4.5.2 Somma ortogonale di operatori
Siano Hj , j = 1, 2, due distinti spazi di Hilbert e siano Aj : D(Aj ) → Hj due dati
operatori. Ponendo H = H1 ⊕ H2 noi definiamo l’operatore
A = A1 ⊕ A2 , D(A) = D(A1 ) ⊕ D(A2 )
(4.74)
ponendo
A(ψ1 + ψ2 ) = A1 ψ1 + A2 ψ2 , ψj ∈ D(Aj ) .
L’operatore A è chiuso, auto-aggiunto, etc., se tali sono i singoli operatori Aj ; inoltre,
tali considerazioni si possono estendere ad un numero qualunque di operatori ponendo
H = ⊕nj=1 Hj e definendo
A = ⊕nj=1 Aj , D(A) = ⊕nj=1 D(Aj ) .
(4.75)
In particolare segue che se tutti gli operatori Aj sono auto-aggiunti, dove n ∈ N ∪ {∞},
sul loro dominio D(Aj ) allora anche A è auto-aggiunto e
RA (z) = ⊕nj=1 RAj (z), z ∈ ρ(A) = C \ σ(A)
(4.76)
dove (l’operazione di chiusura può essere omessa se n ∈ N)
σ(A) = ∪nj=1 σ(Aj ) .
(4.77)
Esercizio 4.17: Sia A l’operatore definito dalla (4.75), dimostrare che kAk = supj kAj k.
Consideriamo ora il problema inverso: dato un operatore A può essere utile decomporre
A mediante una somma ortogonale e considerare separatamente ogni singolo termine.
Sia H1 ⊆ H sia un sottospazio chiuso e sia P1 il proiettore corrispondente; noi diciamo
che H1 riduce l’operatore A se
P1 (D(A)) ⊆ D(A) e se P1 Aψ = AP1 ψ, ∀ψ ∈ D(A) .
Inoltre se poniamo H2 = H1⊥ segue che H = H1 ⊕H2 e l’operatore di proiezione P2 = I−P1
riduce anch’esso l’operatore A.
In generale, supponiamo che H = ⊕nj=1 Hj dove ogni Hj riduce A, n ∈ N ∪ {∞}.
Allora l’operatore A si può decomporre come A = ⊕nj=1 Aj dove
Aj ψ = Aψ, D(Aj ) = Pj (D(A)) ⊆ D(A) .
(4.78)
Se A ammette chiusura Ā allora anche Hj riduce Ā e Ā = ⊕nj=1 Āj .
Nota 4.18: In particolare, se A è auto-aggiunto, allora H1 riduce A se P1 D(A) ⊆ D(A)
e AP1 ψ ∈ H1 per ogni ψ ∈ D(A); infatti, se ψ ∈ D(A) noi possiamo scrivere ψ = ψ1 ⊕ ψ2
con P2 = I − P1 e ψj = Pj ψ ∈ D(A). Poiché AP1 ψ = Aψ1 e
P1 Aψ = P1 Aψ1 + P1 Aψ2 = Aψ1 + P1 Aψ2
noi dobbiamo semplicemente provare che P1 Aψ2 = 0. Ma ciò segue dalla relazione
hϕ, P1 Aψ2 i = hAP1 ϕ, ψ2 i = 0
per ogni ϕ ∈ D(A).
(4.79)
5
Teoria perturbativa per operatori auto-aggiunti
5.1 Il Teorema spettrale
In questa sezione vogliamo definire il concetto di funzione di un operatore f (A) dove f è
una funzione assegnata e A un operatore auto-aggiunto. Se f è una funzione polinomiale
allora f (A) è ben definita; il problema si pone quando f non è semplicemente una funzione
polinomiale. Un primo approccio potrebbe
consistere nel definire f (A) attraverso lo
P∞
sviluppo in serie di potenze: se f (x) = n0 cn xn è convergente per un qualche |x| ≤ R
P
n
allora si può definire f (A) = ∞
n=0 cn A purché A sia un operatore limitato con norma
kAk < R; in caso contrario ciò non è possibile.
Ad esempio, supponiamo che A sia una matrice simmetrica su Cm con m autovalori
(reali) λj e autovettori ψj associati: Aψj = λj ψj . Poiché un qualunque vettore ψ ∈ Cm si
può scrivere come combinazione lineare dei vettori ψj :
ψ=
m
X
aj ψ j
m
X
aj λ j ψ j
m
X
aj λnj ψj .
j=1
allora segue che
Aψ =
j=1
e, in generale,
An ψ =
j=1
Quindi
f (A)ψ :=
=
=
∞
X
n=0
m
X
j=1
m
X
j=1
cn An ψ =
aj
"
∞
X
n=0
∞
X
#
cn
m
X
j=1
cn λnj ψj =
n=0
f (λj )Pj ψ
aj λnj ψj
m
X
aj f (λj )ψj
j=1
(5.1)
76
5 Teoria perturbativa per operatori auto-aggiunti
dove Pj ψ = hψj , ψiψj = aj ψj è l’operatore di proiezione sull’autospazio associato da λj .
La formula (5.1) è essenzialmente un risultato di decomposizione spettrale per operatori
formati da matrici di dimenione finita (che sono un caso particolare di operatori limitati).
Vediamo ora come estenderlo ad un operatore qualunque. A tal fine introduciamo la
funzione caratteristica χΩ (A), dove Ω è un insieme assegnato, invece che le potenze di
An , per definire in modo preciso χΩ (A), dove A è un operatore, dobbiamo introdurre le
p.v.m. (cioé le projection-valued measure)
Definizione 5.1. Sia B la sigma algebra dei Borelliani su R, sia H uno spazio di Hilbert e
sia L(H) l’insieme degli operatori limitati su H. Si definisce p.v.m. (projection-valued
measure) una mappa
Ω ∈ B → P (Ω) ∈ L(H)
(5.2)
che soddisfa alle seguenti proprietà:
i. P (Ω)⋆ = P (Ω) e P (Ω)2 = P (Ω);
ii. P (R) = I;
iii.vale la proprietà di σ-additività: se Ω = ∪∞
n=1 Ωn con Ωn ∩ Ωm = ∅, per n 6= m, allora
per ogni ψ ∈ H si ha che
P (Ω)ψ =
∞
X
P (Ωn )ψ .
(5.3)
n=1
Nota 5.1: Notiamo che richiediamo la convergenza forte (5.3) invece che la convergenza
in norma. Infatti, anche nel caso banale in cui H = L2 (I), dove I è un intervallo reale, e
P (Ω) = χΩ (x) è una
funzione caratteristica (operatore di moltiplicazione) la convergenza
P
in norma P (Ω) = ∞
n=1 P (Ωn ) cade.
Nota 5.2: Notiamo infine che era sufficiente richiedere la convergenza debole invece che
della convergenza forte (5.3) poiché la prima, in questo caso, implica la seconda. A tal
fine è sufficiente osservare che
hψ, Pn ψi = hψ, Pn2 ψi = hPn ψ, Pn ψi = kPn ψk2 .
Esempio 5.1: Sia H = Cn e sia A una matrice simmetrica, siano λj , j = 1, 2, . . . , m, i
suoi autovalori distinti, siano Pj gli operatori di proiezione sui rispettivi autospazi:
Pj ψ =
X
hϕ, ψiϕ
dove la somma è estesa su tutti gli autovettori ϕ, ortogonali tra loro e normalizzati,
associati all’autovalore λj . Allora
PA (Ω) =
X
Pj
(5.4)
j : λj ∈Ω
é una p.v.m..
Esempio 5.2: Sia H = L2 (R) e sia f una funzione misurabile a valori reali. Se poniamo
P (Ω) = χf −1 (Ω)
non è difficile fare vedere che essa è una p.v.m..
Vediamo ora alcune proprietà delle p.v.m. la cui dimostrazione è immediata.
(5.5)
77
Teorema 5.2. Sia P (Ω) una p.v.m., allora si prova che
i. P (∅) = 0 e P (R \ Ω) = I − P (Ω);
ii. P (Ω1 ∪ Ω2 ) + P (Ω1 ∩ Ω2 ) = P (Ω1 ) + P (Ω2 );
iii.P (Ω1 ∩ Ω2 ) = P (Ω1 )P (Ω2 );
iv. se Ω1 ⊆ Ω2 allora P (Ω1 ) ≤ P (Ω2 ), nel senso che
hψ, P (Ω1 )ψi ≤ hψ, P (Ω2 )ψi .
Dimostrazione. Le proprietà i., ii. e iv. sono ovvie; resta solo da dimostrare la iii.. Supponiamo per un momento che sia Ω1 ∩ Ω2 = ∅, e quindi P (Ω1 ∩ Ω2 ) = 0, ed eleviamo al
quadrato ambo i membri della relazione ii. ottenendo che
P (Ω1 ∪ Ω2 )2 = P (Ω1 )2 + P (Ω2 )2 + P (Ω1 )P (Ω2 ) + P (Ω2 )P (Ω1 )
ovvero
P (Ω1 ∪ Ω2 ) = P (Ω1 ) + P (Ω2 ) + P (Ω1 )P (Ω2 ) + P (Ω2 )P (Ω1 )
ovvero
P (Ω1 )P (Ω2 ) + P (Ω2 )P (Ω1 ) = 0 .
Moltiplicando a destra ambo i membri di questa equazione per P (Ω2 ) si ottiene che
P (Ω1 )P (Ω2 )2 + P (Ω2 )P (Ω1 )P (Ω2 ) = 0
da cui segue
P (Ω1 )P (Ω2 ) = −P (Ω2 )P (Ω1 )P (Ω2 )
e quindi P (Ω1 )P (Ω2 ) è simmetrico (e quindi auto-aggiunto essendo limitato). Possiamo
infine concludere che
2P (Ω1 )P (Ω2 ) = −2P (Ω2 )P (Ω1 ) = P (Ω1 )P (Ω2 ) + P (Ω2 )P (Ω1 ) = 0 .
Consideriamo ora il caso in cui Ω1 6= Ω2 (se Ω1 = Ω2 allora è ovvio): osservando che il
generico insieme Ωj , j = 1, 2, può essere visto come unione disgiunta Ωj = (Ωj − Ωi ) ∪
(Ωj ∩ Ωi ), i 6= j, segue che
P (Ω1 )P (Ω2 ) = [P (Ω1 − Ω2 ) + P (Ω1 ∩ Ω2 )] · [P (Ω2 − Ω1 ) + P (Ω1 ∩ Ω2 )]
= P (Ω1 − Ω2 )P (Ω2 − Ω1 ) + P (Ω1 − Ω2 )P (Ω1 ∩ Ω2 ) +
+P (Ω1 ∩ Ω2 )P (Ω2 − Ω1 ) + P (Ω1 ∩ Ω2 )P (Ω1 ∩ Ω2 )
= P (Ω1 ∩ Ω2 ) ,
poiché
P (Ω1 − Ω2 )P (Ω2 − Ω1 ) = 0
P (Ω1 − Ω2 )P (Ω1 ∩ Ω2 ) = 0
P (Ω1 ∩ Ω2 )P (Ω2 − Ω1 ) = 0
78
Definizione 5.3. Sia P (Ω) una p.v.m., per λ ∈ R definiamo la seguente funzione denominata risoluzione dell’identità (e denotata P (λ), con abuso di notazione)
P (λ) = P ((−∞, λ]) .
(5.6)
É immediato verificare quanto segue
Lemma 5.4. La funzione P (λ) soddisfa alle seguenti proprietà
i. P (λ) è una proiezione ortogonale;
ii. P (λ1 ) ≤ P (λ2 ) se λ1 ≤ λ2 ;
iii.P (λ) è continua da destra:
s − lim+ P (µ) = P (λ);
µ→λ
iv. valgono i seguenti limiti:
s − lim P (λ) = 0 e s − lim P (λ) = I .
λ→−∞
λ→+∞
Assegnata alla p.v.m. P (Ω) possiamo associare una misura nel seguente modo: fissato
ψ ∈ H si definisce la seguente misura dipendente dal vettore ψ
Ω ∈ B → µψ (Ω) = hψ, P (Ω)ψi ∈ R
É immediato osservare che µ(0) = 0 e inoltre µ(R) = kψk2 < ∞; la funzione di distribuzione viene denotata con µψ (λ), λ ∈ R, ed ha la forma
µψ (λ) = hψ, P (λ)ψi .
(5.7)
Andiamo ora a definire l’integrale associato alle p.v.m.. Cominciamo considerando una
funzione f costante a tratti: siano assegnati n numeri α1 , α2 , . . . , αn e n insiemi di Borel
Ω1 , Ω2 , . . . , Ωn e sia
f (x) =
n
X
αj χΩj (x)
j=1
dove χΩj (x) è la funzione caratteristica su Ωj :
χΩj (x) =
(
1 se x ∈ Ωj
0 se x ∈
/ Ωj
Chiaramente, per costruzione, Ωj = f −1 (αj ). Ciò premesso poniamo
P (f ) :=
Z
R
f (λ)dP (λ) =
n
X
αj P (Ωj ).
(5.8)
j=1
Da questa definizione segue immediatamente che P (χΩ ) = P (Ω) per ogni borelliano Ω.
Inoltre si osserva che:
79
- P è una mappa lineare che trasforma funzioni f costanti a tratti in operatori lineari
su H;
- l’operatore P (f ) è limitato; infatti osserviamo che
kP (f )ψk2 =
da cui segue che
Z
R
|f (λ)|2 dµψ (λ) ;
(5.9)
kP (f )ψk ≤ kf k∞ kψk ≤ max |αj | kψk .
(5.10)
- l’operatore P f ) è infine simmentrico, poiché αj ∈ R, e quindi auto-aggiunto.
L’estensione della definizione di P (f ) a funzioni misurabili f avviene per continuità
con tecniche standard.
Siamo ora in grado di enunciare il teorema spettrale (che non dimostreremo).
Teorema 5.5 (Teorema Spettrale). Ad ogni operatore auto-aggiunto A corrisponde
una unica p.v.m. PA (λ) tale che
A=
Z
f (A) =
Z
Inoltre
λdPA (λ) .
R
(5.11)
f (λ)dPA (λ) .
R
Nota 5.3: La forma quadratica associata all’operatore A è data da
qA (ψ) =
Z
λdµψ (λ)
e può essere definita per ogni ψ sul dominio di forma
1
2
Q(A) = D(|A| ) = ψ ∈ H :
Z
R
(5.12)
(5.13)
|λ|dµψ (λ) < ∞ ⊇ D(A) .
(5.14)
Nota 5.4: Notiamo che se due operatori auto-aggiunti A e B sono unitariamente equivalenti allora dµψ = dνU ψ dove dν indica la misura associata all’operatore B. In particolare
abbiamo che
U PA (f ) = PB (f )U, U D(PA (f )) = D(PB (f )) .
Nota 5.5: Come conseguenza del Teorema spettrale segue la seguente importante proprietà
kf (A)ψk2 =
da cui segue che
D(A) = ψ ∈ H :
Z
R
Z
R
|f (λ)|2 dµψ (λ)
(5.15)
|λ|2 dµψ (λ) < +∞ .
(5.16)
Infine, diamo una caratterizzazione dello spettro di A in termine delle proiezioni associate PA .
80
Teorema 5.6. Lo spettro σ di un operatore auto-aggiunto A è dato da
σ(A) = {λ0 ∈ R : PA (λ0 − ǫ, λ0 + ǫ) 6= 0 per ogni ǫ > 0} .
(5.17)
Dimostrazione. Sia fissato λ0 e sia Ωn = λ0 − n1 , λ0 + n1 . Supponendo che PA (Ωn ) 6= 0
allora esiste almeno un vettore ψn ∈ PA (Ωn )H con kψn k = 1. Di conseguenza PA (Ωn )ψn =
ψn ; infatti dalla definizione ψn = PA (Ωn )ϕ per un qualche ϕ ∈ H e quindi
PA (Ωn )ψn = PA (Ωn )PA (Ωn )ϕ = PA (Ωn )2 ϕ = PA (Ωn )ϕ = ψn .
Quindi dalla formula (5.15) segue che
k(A − λ0 )ψn k2 = k(A − λ0 )PA (Ωn )ψn k2 =
Z
R
(λ − λ0 )2 χΩn (λ)dµψn (λ) ≤
1
n2
da cui segue che λ ∈ σ(A) in virtù del Corollario 4.26. Viceversa, se PA (λ0 − ǫ, λ0 + ǫ) = 0
per ogni ǫ > 0 sufficientemente piccolo, allora noi poniamo
fǫ (λ) =
χR\(λ0 −ǫ,λ0 +ǫ) (λ)
λ − λ0
e dimostriamo (omettendo i dettagli)
(A − λ0 )PA (fǫ ) = PA [R \ (λ0 − ǫ, λ0 + ǫ)] = I
e
PA (fǫ )(A − λ0 ) = I|D(A) .
Segue che (A − λ0 ) è invertibile e quindi λ0 ∈ ρ(A).
In particolare, PA ((λ1 , λ2 )) = 0 se, e solo se, (λ1 , λ2 ) ⊆ ρ(A)
Nota 5.6: Come conseguenza del Teorema Spettrale segue che
PA (σ(A)) = I e PA (R ∩ ρ(A)) = 0 .
(5.18)
Nota 5.7: Come conseguenza della relazione (5.18) segue che
PA (f ) = PA (σ(A))PA (f ) = PA (χσ(A) f ) .
(5.19)
Cioé PA (f ) non dipende dai valori di f su R \ σ(A). Inoltre è estremamente intuitivo
scrivere PA (f ) = f (A), infatti è sufficiente notare che

PA 
n
X
j=0

α j λj  =
n
X
αj Aj .
(5.20)
j=0
In particolare, segue anche che se A è un operatore limitato allora f (A) può essere definita
per mezzo di una serie di potenze convergente.
Nota 5.8: Mostrare che per un operatore auto-aggiunto A si ha che
kRA (z)k =
81
1
dist(z, σ(A))
Nota 5.9: Supponiamo che A sia un operatore auto-aggiunto e C un operatore limitato
tale che kC − z0 k ≤ r. Segue che
σ(A + C) ⊆ σ(A) + Br (z0 )
dove Br (z0 ) è la boccia di raggio r attorno a z0 .
Nota 5.10: Dimostrare che per ogni operatore auto-aggiunto A si ha che
kARA (z)k ≤
|z|
.
ℑ(z)
Concludere inoltre che per ogni ψ ∈ H si ha che
lim kARA (z)ψk = 0
z→∞
(5.21)
dove il limite è preso in ogni settore Sǫ , per ǫ > 0,
Sǫ = {z ∈ C : ǫ|ℜz| ≤ |ℑz|} .
Nota 5.11: Si può dimostrare che λ0 è un autovalore se, e solo se, P ({λ0 }) 6= 0. Provare
poi che Range(P ({λ0 })) è l’autospazio corrispondente in questo caso.
Formula di Stone
Tra le conseguenze del Teorema spettrale ricordiamo il seguente importante risultato, del
quale ne omettiamo la dimostrazione.
Teorema 5.7 (Formula di Stone). Sia A un operatore auto-aggiunto. Allora per ogni
λ1 , λ2 ∈ R, dove λ1 < λ2 , si ha che
s − lim+
ǫ→0
Z
λ2
λ1
[RA (λ + iǫ) − RA (λ − iǫ)] dλ =
1
(PA ([λ1 , λ2 ]) + PA ((λ1 , λ2 ))) . (5.22)
2
Nota 5.12: In particolare, facendo uso della prima formula del risolvente, la formula di
Stone può essere scritta nella forma
1
1 Z λ2
ψ, (P ([λ1 , λ2 ]) + P ((λ1 , λ2 ))) ψ = lim+
ℑhψ, RA (λ + iǫ)ψidλ
ǫ→0 π λ1
2
ǫ Z λ2
kRA (λ + iǫ)ψk2 dλ
= lim+
ǫ→0 π λ1
82
5.1.1 Decomposizione spettrale
Ricordiamo il seguente risultato generale di Teoria della Misura. Si consideri lo spazio
L2 (R, dµ) e sia µ una misura di Borel finita. Allora sussiste una decomposizione unica di
µ rispetto alla misura di Lebesgue:
µ = µac + µs
(5.23)
dove µac è assolutamente continua rispetto alla misura di Lebesgue (cioé µac (B) = 0
per ogni insieme misurabile B avente misura di Lebesgue nulla) e µs è singolare rispetto
alla misura di Lebesgue (cioé µs è supportata su un insieme B, µs (R \ B) = 0, a misura di
Lebesgue nulla). La parte singolare µs può essere ulteriormente decomposta in una parte
singolare continua ed in una parte puramente puntuale:
µs = µsc + µpp
(5.24)
dove µsc è singolare continua e µpp è una funzione a scalino. Un esempio di misura
puramente assolutamente continua è la misura di Lebesgue, un esempio di misura
puramente singolare continua è la misura di Cantor.
Si definisce infine misura continua la somma delle due misure singolare ed assolutamente continua:
µc = µac + µsc .
(5.25)
In generale, sia dato un’operatore autoaggiunto A su uno spazio di Hilbert H e sia
µψ = hψ, PA ψi, allora, definendo
Hac = {ψ ∈ H : µψ è assolutamente continuo} ,
Hsc = {ψ ∈ H : µψ è singolare continuo} ,
Hpp = {ψ ∈ H : µψ è puramente puntuale} ,
(5.26)
H = Hac ⊕ Hsc ⊕ Hpp
(5.27)
si ha che
e lo spettro di A assolutamente continuo, singolare continuo e puramente puntuale è definito come
σac (A) = σ (A|Hac ) , σsc (A) = σ (A|Hsc ) e σpp (A) = σ A|Hpp
(5.28)
Nota 5.13: É importante osservare che σpp (A) non è in generale uguale all’insieme degli
autovalori. Più precisamente se chiamiamo Σ l’insieme di tutti gli autovalori di A
Σ := {λ ∈ R : λ è un autovalore di A}
(5.29)
allora si ha che σpp = Σ.
Nota 5.14: La decomposizione spettrale dello spettro nelle sue parti puramente puntuale,
assolutamente continua e singolare continua vale solo per operatori auto-aggiunti. È
comunque possibile considerare una decomposizione più semplice, che ha senso per ogni
5.2 Operatori relativamente limitati e teorema di Kato-Rellich
83
operatore A non necessariamente auto-aggiunto, dello spettro nella sua parte discreta e
essenziale:
σ(A) = σd (A) ∪ σess (A)
dove la lo spettro discreto è formato da tutti gli autovalori di A isolati e di
molteplicità finita e dove lo spettro essenziale è semplicemente dato da σ(A) \ σd (A).
Nota 5.15: Sia H = ℓ2 (N) e sia A l’operatore definito come
1
ψn
n
dove ψn ∈ H è il vettore che ha tutte le componenti nulle tranne che la componente nesima che è 1, cioé sostanzialmente A è una matrice quadrata con infinite righe e colonne,
puramente diagonale e con numeri n1 sulla diagonale principale. È immediato osservare
che Σ(A) = { n1 , n = 1, 2, 3, . . .}; d’altra parte osserviamo che il risolvente è dato da
n
ϕ
RA (z)ϕ =
1 − nz
Aψn =
e quindi è definito per ogni z ∈ ρ(A) = {z ∈ C , z 6= n1 , z 6= 0}, quindi 0 ∈ σ(A) e
di conseguenza σsc ∪ σac ⊆ {0}. Poiché una misura continua non può essere supportata
su un singolo punto allora deve necessariamente essere σsc = σac = ∅ e di conseguenza
σpp = Σ(A) ∪ {0}.
5.2 Operatori relativamente limitati e teorema di Kato-Rellich
La funzione Hamiltoniana di un sistema quantistico è usualmente la somma tra l’energia
cinetica H0 (operatore di Schrödinger libero) ed un operatore (tipicamente di moltiplicazione) V associato ad un potenziale esterno. Poiché H0 è abbastanza facile da essere
studiato uno usualmente cerca di considerare V come una perturbazione di H0 ; o, più
in generale, H0 + V viene considerato come perturbazione di un problema esplicitamente
solubile. Quindi gioca un ruolo di grande importanza lo studio delle perturbazioni di un
operatore auto-aggiunto.
É ovvio che il caso più favorevole di perturbazione è dato dalle perturbazioni limitate:
se H0 è un operatore auto-aggiunto e V un operatore limitato e simmetrico, allora anche
H0 + V è un operatore auto-aggiunto sulla stesso dominio di autogiunzione. Se V non è
limitato allora ci potrebbero essere problemi nella definizione stessa dell’operatore H0 +V .
Definizione 5.8. Un operatore B è detto A limitato o relativamente limitato rispetto
ad A se:
- D(A) ⊆ D(B);
- esistono due costanti a, b ≥ 0 tale che
kBψk ≤ akAψk + bkψk, ∀ψ ∈ D(A) .
(5.30)
L’estremo inferiore a∞ di tutte le costanti a per le quali esiste il corrispondente b tale
che la (5.30) vale è detto A-bound di B; in particolare se a∞ = inf a = 0 allora si dice
che B è infinitesimally relatively bounded rispetto a A.
84
Nota 5.16: Se nella (5.30) si ha a = 0 allora si rientra nel caso di un operatore B limitato.
d
definito su L2 (R) non è limitato.
Esercizio 5.1: Osservare che l’operatore B = −i dx
Provare poi che B è infinitesimally relatively bounded rispetto al Laplaciano A =
d2
− dx
2.
Vediamo immediatamente due proprietà.
Lemma 5.9. Supponiamo che due operatori B1 e B2 siano entrambi A-limitati con Abound a1 ed a2 . Allora anche α1 B1 + α2 B2 è A-limitato con A-bound minore o uguale a
|α1 |a1 + |α2 |a2 .
Questa proprietà è una immediata conseguenza della disuguaglianza triangolare. Inoltre
Lemma 5.10. Supponiamo che A e B siano operatori chiusi. Allora le seguenti proprietà
sono equivalenti:
i. B è A-limitato;
ii. D(A) ⊆ D(B);
iii.BRA (z) è limitato per uno (e quindi, in virtù della prima formula del risolvente, per
ogni) z ∈ ρ(A).
Inoltre, se a denota il A-bound di B si ha che
a ≤ inf kBRA (z)k .
z∈ρ(A)
Dimostrazione. L’implicazione i. ⇒ ii. è vera per definizione. L’implicazione ii. ⇒ iii.
segue poiché BRA (z) è un operatore chiuso (vedi Esercizio 4.3) definito su tutto H, e
quindi limitato in virtù del Teorema del Grafico Chiuso (Teorema 4.15). Infine, per
dimostrare l’implicazione iii. ⇒ i. sia ψ ∈ D(A) e sia C la norma di BRA (z) per un
assegnato z ∈ ρ(A), allora
kBψk = kBRA (z)(A − z)ψk ≤ Ck(A − z)ψk ≤ CkAψk + [C|z|]kψk
completando, di fatto, la dimostrazione.
Esempio 5.3: Sia A un l’operatore auto-aggiunto
d2
, D(A) = {f ∈ H 2 (0, 1) : f (0) = f (1) = 0}
dx2
sullo spazio di Hilbert H = L2 (0, 1). Se noi aggiungiamo un potentiale V , rappresentato
da un operatore di moltiplicazione con una funzione misurabile h(x) a valore reali, allora
V è relativamente limitata se h ∈ H, infatti D(A) ⊆ C(0, 1) ⊆ L2 (0, 1) = D(V ).
Noi siamo prevalentemente interessati alla situazione in cui A è auto-aggiunto e B è
simmetrico; pertanto noi ci restringiamo a questo caso. Premettiamo il seguente risultato
del quale omettiamo la dimostrazione.
A=−
Lemma 5.11. Supponiamo che A sia un operatore auto-aggiunto e che B sia A-limitato.
Allora il A-bound di B è dato da
lim kBRA (±iλ)k
λ→+∞
(5.31)
Se, inoltre, A è limitato inferiormente allora noi possiamo rimpiazzare ±iλ con −λ.
5.3 Operatori di rango finito e operatori compatti
85
Teorema 5.12 (Teorema di Kato-Rellich). Supponiamo che A sia (essenzialmente)
auto-aggiunto e che B sia simmetrico e A-limitato con A-bound minore di 1. Allora A+B
è (essenzialmente) auto-aggiunto sul dominio D(A + B) = D(A). In particolare, se A è
essenzialmente auto-aggiunto allora segue che D(Ā) ⊆ D(B̄) e inoltre Ā + B̄ = A + B.
Dimostrazione. Mettiamoci nel caso in cui A sia chiuso e auto-aggiunto, altrimenti ragioniamo sulla sua chiusura e sulla proprietà di essenziale autogiunzione. È quindi sufficiente
dimostrare che Ran(A + B ± iλ) = H. Dal Lemma precedente noi possiamo trovare λ > 0
tale che kBRA (±iλ)k < 1; quindi −1 ∈ ρ(BRA (±iλ)) e pertanto BRA (±iλ) + I è invertibile. Da ciò segue che
(A + B ± iλ) = [BRA (±iλ) + I] (A ± iλ)
é invertibile e quindi Ran(A + B ± iλ) = H, da cui segue che A + B è autoaggiunto.
Osserviamo che essendo D(A) ⊆ D(B) allora il dominio di autogiunzione di A+B coincide
il dominio di A.
Nota 5.17: Se A è limitato dal basso allora noi possiamo rimpiazzare ±iλ con −λ e
dall’equazione precedente segue che RA+B (−λ) esiste per λ sufficientemente grande.
Esempio 5.4: Nell’esempio precedente si è visto che un potenziale V di moltiplicazione
associato ad una funzione h ∈ L2 (0, 1) è relativamente limitato rispetto all’operatore
d2
A = − 2 , D(A) = {f ∈ H 2 (0, 1) : f (0) = f (1) = 0}
dx
Si può dimostrare che V è infinitesimally relatively bounded rispetto ad A, e quindi
A + V è autoaggiunto su D(A).
Concludiamo con il seguente risultato che sarà utile nel seguito.
Lemma 5.13 (Seconda formula del risovente). Supponiamo che A e B siano due
operatori chiusi e che D(A) ⊆ D(B). Allora vale la seconda formula del risolvente
RA+B (z) − RA (z) = −RA (z)BRA+B (z) = −RA+B (z)BRA (z)
(5.32)
per ogni z ∈ ρ(A) ∩ ρ(A + B).
Dimostrazione. La dimostrazione si basa su una analisi diretta
RA+B (z) + RA (z)BRA+B (z) = [A + B − z]−1 + [A − z]−1 B[A + B − z]−1
n
= [A − z]−1 [A − z][A + B − z]−1 + B[A + B − z]−1
o
= [A − z]−1 {A + B − z} [A + B − z]−1 = [A − z]−1 = RA (z)
Definizione 5.14. Un operatore K ∈ L(H) è detto operatore di rango finito se il suo
range ha dimensione finita. La dimensione
rank(K) = dim Ran(K)
del range di K è detta rango (rank) di K.
86
Sia rank(K) = n e sia {ψj }nj=1 una base ortonormale di Ran(K) allora noi abbiamo
che
Kψ =
n
X
hψj , Kψiψj =
j=1
n
X
hϕj , ψiψj
(5.33)
j=1
dove ϕj = K ⋆ ψj . Poiché è noto che Ran(K) = [Ker(K ⋆ )]⊥ allora gli elementi ϕj sono
linearmente indipendenti e quindi ogni operatore di rango finito è della forma (5.33) e,
similmente, l’aggiunto di K è anch’esso di rango finito ed ha la forma
K ⋆ψ =
n
X
hψj , ψiϕj .
(5.34)
j=1
Definizione 5.15. La chiusura (rispetto alla norma di operatori) dell’insieme di tutti
gli operatori di rango finito in L(H) è detta insieme degli operatori compatti, ed è
denotata con C(H).
Esercizio 5.2: Gli operatori compatti possono essere caratterizzati anche nel seguente
modo, equivalente alla Definizione 5.15: un operatore K ∈ L(H) è compatto se l’immagine
{Kψn } di ogni successione {ψn } limitata contiene una sottosuccessione di Cauchy. Inoltre
si può dimostrare che se K è un operatore compatto e se ψn ⇀ ψ allora Kψn → Kψ in
norma1 .
Definizione 5.16. Sia A un operatore, non necessariamente limitato, definito sul dominio
D(A) ⊆ H. Un operatore K si dice relativamente compatto rispetto ad A se esiste
almeno z ∈ ρ(A) tale che
KRA (z) ∈ C(H).
(5.35)
Nota 5.18: É immediato riconoscere che se K è un operatore compatto allora K è
relativamente compatto rispetto ad ogni operatore A.
Esercizio 5.3: Dimostrare, facendo uso della prima formula del risolvente, che se la (5.35)
vale per almeno un z ∈ ρ(A) allora vale per ogni z ∈ ρ(A).
Gli operatori compatti si possono decomporre come somma di operatori di proiezione
in virtù del seguente teorema (del quale omettiamo la dimostrazione).
Teorema 5.17 (Teorema spettrale per operatori compatti). Supponiamo che K
sia un operatore auto-aggiunto e compatto. Allora lo spettro σ(K) di K consiste in,
al più, una infinità numerabile di autovalori, di dimensione finita, che possono avere
solo l’origine come eventuale punto di accumulazione. Inoltre l’operatore K ammette la
seguente decomposizione spettrale:
K=
X
λPK ({λ})
(5.36)
λ∈σ(K)
dove PK ({λ}) è l’operatore di proiezione sullo spazio span{ψ}) dove ψ è la famiglia di
autovettori (in numero finito) associati a λ.
1
Vedi Lemma 6.8 in G. Teschl.
87
5.3.1 Operatori di Hilbert-Schmidt ed operatori di classe traccia
Nella classe degli operatori compatti due tipi di operatori hanno particolare importanza:
gli operatori di Hilbert-Schmidt.
Definizione 5.18. Sia k(x, y) una funzione appartenente allo spazio L2 (M ×M, dµ⊗dµ).
Definiamo operatore integrale, o operatore di Hilbert-Schmidt, l’operatore definito
sullo spazio di Hilbert L2 (M, dµ) come
(Kψ) (x) =
Z
M
k(x, y)ψ(y)dµ(y).
(5.37)
La funzione k(x, y) si dice nucleo dell’operatore K
Osserviamo subito che
Teorema 5.19. L’operatore Kψ definito dalla (5.37) è limitato.
Dimostrazione. La dimostrazione è una immediata conseguenza della disuguaglianza di
Cauchy-Schwarz:
kKψk2 =
=
≤
=
Z
Z
Z
M
M
|(Kψ) (x)|2 dµ(x)
Z
2
k(x, y)ψ(y)dµ(y) dµ(x)
M
Z
Z
2
M
Z
M
Z
|k(x, y)| dµ(y)
M
2
M
M
|k(x, y)| dµ(y)dµ(x)
2
|ψ(y)| dµ(y)
Z
dµ(x)
2
M
|ψ(y)| dµ(y)
da cui segue la limitatezza di K.
Si può andare oltre e analizzare se l’operatore è compatto o meno.
Teorema 5.20. L’operatore Kψ definito dalla (5.37) è compatto.
Dimostrazione. Prendiamo una base ortonormale {ϕj (x)}j di L2 (M, dµ). Allora, segue
che {ϕi (x)ϕj (y)}i,j è una base ortonormale di L2 (M ×M, dµ⊗dµ) e possiamo decomporre
il nucleo k(x, y) su questa base:
k(x, y) =
X
i,j
dove
X
i,j
2
|ci,j | =
Z
ci,j ϕi (x)ϕj (y) , ci,j = hϕi , k ϕ̄j i
M
Z
M
(5.38)
|k(x, y)|2 dµ(y)dµ(x) < ∞ .
In particolare
(Kψ) (x) =
X
i,j
ci,j hϕ̄j , ψiϕi (x)
(5.39)
mostrando che K possa essere approssimato mediante operatori di rango finito, e quindi
K è compatto.
88
Possiamo infine dare anche una caratterizzazione, della quale omettiamo la dimostrazione,
degli operatori di Hilbert-Schmidt.
Lemma 5.21. Un operatore compatto K è di Hilbert-Schmidt se, e solo se,
X
n
kKψn k2 < ∞
(5.40)
per una qualche base ortonormale ψn e inoltre
kKk2 :=
"
X
n
2
kKψn k
#1/2
(5.41)
dove il risultato della somma è indipendente dalla base ψn scelta.
Introduciamo ora lo spazio
I2 (H) = {K ∈ C(H) : kKk2 < ∞} , H = L2 (M, dµ) .
(5.42)
Segue che
Corollario 5.22. Sia K un operatore compatto di Hilbert-Schmidt e sia A un operatore
limitato, allora
kKAk2 ≤ kAk kKk2 rispettivamente kAKk2 ≤ kAk kKk2 .
(5.43)
Dimostrazione. Sia K di Hilbert-Schmidt e A limitato, allora AK è compatto e inoltre
kAKk22 =
X
n
kAKψn k2 ≤ kAk2
X
n
kKψn k2 = kAk2 kKk22 .
Per KA ne consideriamo l’aggiunto (KA)⋆ = A⋆ K ⋆ .
5.4 Operatori relativamente compatti e Teorema di Weyl
Nella sezione precedente abbiamo visto che la somma tra un operatore auto-aggiunto con
una operatore simmetrico, insteso come perturbazione dell’operatore auto-aggiunto, dà
luogo ad una operatore auto-aggiunto purché la perturbazione sia abbastanza piccola. In
questa sezione cercheremo di studiare l’influenza di perturbazioni sullo spettro sperando
che almeno alcune parti dello spettro restino invarianti. A tal fine introduciamo preliminarmente alcune notazioni.
Definizione 5.23. Sia dato un operatore A, si definisce spettro discreto dell’operatore
A, e si denota con σd (A), l’insieme di tutti gli autovalori di A che sono isolati nell’insieme
σ(A) e che hanno molteplicità finita. L’insieme complementare dello spettro discreto vien
denominato spettro essenziale e si denota come
σess (A) = σ(A) \ σd (A) .
89
Nota 5.19: In virtù del Teorema spettrale per un operatore autoaggiunto A si ha la
seguente caratterizzazione:
σd (A) = {λ ∈ σ(A) : rank [PA ((λ − ǫ, λ + ǫ))] < ∞ per qualche ǫ > 0} , (5.44)
e rispettivamente
σess (A) = {λ ∈ R : rank [PA ((λ − ǫ, λ + ǫ))] = ∞ per ogni ǫ > 0} .
(5.45)
Nota 5.20: Se K è un operatore compatto allora, in virtù del Teorema 5.17, segue che
σess (K) ⊆ {0}
(5.46)
e l’uguaglianza vale se, e solo se, H ha dimensione infinita.
Sia ora A un operatore auto-aggiunto e notiamo che se aggiungiamo ad A l’operatore
identità (o un suo multiplo), il nuovo operatore +λI, λ ∈ R, è ancora un operatore autoaggiunto il cui spettro si ottiene dallo spettro di A semplicemente shiftando di λ. Quindi,
in generale, noi ci aspettiamo che lo spettro di un operatore non sia invariante per effetto
di perturbazioni mediante operatori limitati (o relativamente limitati). In particolare lo
spettro discreto è estremamente sensibile a perturbazioni anche molto piccole (ad esempio di rango finito), mentre lo spettro essenziale, sotto alcune condizioni, garantisce una
migliore stabilità.
Lemma 5.24 (Criterio di Weyl). Sia A un operatore auto-aggiunto, un numero λ ∈
σess (A) se, e solo se, esiste una successione di Weyl ψn , cioé tale che kψn k = 1 e k(A −
λ)ψn k → 0, che converge debolmente a zero. Inoltre la successione può essere scelta
ortonormale.
Dimostrazione. Sia ψn una successione di Weyl relativa a λ0 ∈ R. In virtù del Corollario
4.26 segue che λ0 ∈ σ(A) e quindi è sufficiente solamente provare che λ0 ∈
/ σd (A) usando
il fatto che ψn ⇀ 0. Supponiamo per assurdo che λ0 ∈ σd (A) allora esiste ǫ > 0 tale che
Pǫ := PA ((λ0 − ǫ, λ0 + ǫ))
ha rango finito e quindi è un operatore compatto. Consideriamo la nuova successione
ψ̃n = Pǫ ψn dove, essendo Pǫ compatto poiché di rango finito, segue che ψ̃n → 0 in virtù
dell’esercizio 5.3. D’altra parte,
kψn − ψ̃n k2 = k(I − Pǫ )ψn k2 = h(I − Pǫ )ψn , (I − Pǫ )ψn i
= hψn , (I − Pǫ )2 ψn i = hψn , (I − Pǫ )ψn i
=
Z
dµψn (λ)
R\(λ−ǫ,λ+ǫ)
1 Z
1 Z
2
(λ − λ0 ) dµψn (λ) ≤ 2 (λ − λ0 )2 dµψn (λ)
≤ 2
ǫ R\(λ−ǫ,λ+ǫ)
ǫ R
1
= 2 k(A − λ0 )ψn k2 → 0
ǫ
e quindi kψ̃n k → 1 cadendo in contraddizione.
90
Viceversa, sia λ0 ∈ σess (A). Se λ0 è un autovalore di A con molteplicità infinita allora
è sufficiente scegliere come successione ψn la successione degli autovalori. Se invece λ0 è
un punto di accumulazione di autovalori di A consideriamo la successione di proiettori
Pn := PA
1
1
1
1
λ0 − , λ0 −
∪ λ0 +
, λ0 +
n
n+1
n+1
n
,
allora si ha che rank(Pnj ) > 0 per una certa successione nj , j ∈ N. La successione
ψnj ∈ Ran Pnj soddisfa alle condizioni del criterio di Weyl.
Sia ora K un operatore auto-aggiunto compatto e sia ψn una successione di Weyl
per A convergente debolmente a zero e quindi
k(A + K − λ)ψn k ≤ k(A − λ)ψn k + kKψn k → 0
(5.47)
poiché k(A − λ)ψn k → 0 per ipotesi e kKψn k → 0 dall’esercizio 5.3. Quindi
σess (A) ⊆ σess (A + K)
e similmente, invertendo i ruoli,
σess (A + K) ⊆ σess (A + K − K) = σess (A) .
In particolare, A e A + K hanno lo stesse successioni di Weyl.
Di fatto abbiamo dimostrato che
Lemma 5.25. Lo spettro essenziale di un operatore auto-aggiunto A è la parte invariante
rispetto a perturbazioni compatte; in particolare
σess (A) = ∩K∈C(H),
K=K ⋆ σ(A
+ K) .
(5.48)
Veniamo infine al Teorema di Weyl che generalizza il Lemma 5.25.
Teorema 5.26 (Teorema di Weyl). Supponiamo che A e B siano operatori autoaggiunti. Se
RA (z) − RB (z) ∈ C(H)
(5.49)
per almeno un z ∈ ρ(A) ∩ ρ(B), allora
σess (A) = σess (B) .
(5.50)
Dimostrazione. Supponiamo λ ∈ σess (A), z ∈ ρ(A) ∩ ρ(B) e sia ψn la corrispondente
successione di Weyl convergente debolmente a zero. Allora
RA (z) −
e quindi
RA (z) −
1
1
ψn =
RA (z)(A − λ)ψn
λ−z
z−λ
1
1
ψn =
kRA (z)(A − λ)ψn k
λ−z
|λ − z|
kRA (z)k
k(A − λ)ψn k → 0 .
≤
|λ − z|
(5.51)
(5.52)
91
Inoltre, in virtù delle nostre ipotesi segue anche che
RB (z) −
1
1
ψn ≤ k[RB (z) − RA (z)] ψn k + RA (z) −
ψn → 0
λ−z
λ−z
per la (5.52) e poiché RB (z) − RA (z) è compatto e ψn ⇀ 0. Poniamo ora ϕn = RB (z)ψn
e osserviamo che k(B − λ)ϕn k → 0; infatti
k(B − λ)ϕn k = k(B − λ)RB (z)ψn k = k[(B − z) + (z − λ)] RB (z)ψn k
= kI + (z − λ)RB (z)ψn k = |λ − z| (z − λ)−1 + RB (z)ψn → 0 .
Osserviamo inoltre che ϕn converge debolmente a zero; infatti, sia ψ ∈ H un qualunque
vettore fissato, allora il limite
hψ, ϕn i = hψ, RB (z)ψn i = hRB (z̄)ψ, ψn i → 0
poiché abbiamo supposto che ψn ⇀ 0. Poiché
segue che
RA (z) −
1
1
ψn = RA (z)(A − λ)ψn → 0
λ−z
z−λ
lim kϕn k = n→∞
lim kRB (z)ψn k = |λ − z|−1 6= 0
n→∞
e quindi ϕn è una successione di Weyl convergente debolmente a zero per l’operatore
B provando che λ ∈ σess (B). Abbiamo cosı̀ dimostrato che σess (A) ⊆ σess (B), per
dimostrare l’implicazione inversa basta scambiare A con B.
Vediamo ora alcuni risultati che permettono di utilizzare il Teorema di Weyl.
Un primo risultato, del quale omettiamo la dimostrazione, è il seguente.
Lemma 5.27. Supponiamo che la (5.49) valga per almeno un z ∈ ρ(A) ∩ ρ(B), allora
essa vale per ogni z ∈ ρ(A) ∩ ρ(B). Inoltre, se A e B sono due operatori auto-aggiunti,
allora
f (A) − f (B) ∈ C(H)
(5.53)
per ogni f ∈ C∞ (R) (dove C∞ (R) è la classe di funzioni che si annullano all’infinito).
Nota 5.21: Ricordiamo che noi abbiamo detto K un operatore relativamente compatto
rispetto ad A se KRA (z) è compatto (per uno, e quindi per ogni, z) e notiamo che la
differenza dei risolventi RA+K (z) − RA (z) è compatto se K è relativamente compatto; in
particolare il Teorema 5.26 si applica a B = A + K, dove K è relativamente compatto.
Inoltre segue che
Lemma 5.28. Supponiamo che A sia auto-aggiunto e B sia simmetrico con A-bound
minore di 1. Se un operatore K è relativamente compatto rispetto a A, allora esso è
relativamente compatto anche rispetto ad A + B.
92
Dimostrazione. La dimostrazione è una conseguenza immediata della seconda formula
del risolvente. Poiché B è A-limitato con A-bound minore di 1, allora noi possiamo
scegliere un numero z ∈ C tale che kBRA (z)k < 1 e quindi
BRA+B (z) = BRA (z) [I + BRA (z)]−1
(5.54)
provando che B è anche (A + B)-limitato e il risultato segue osservando che
KRA+B (z) = KRA (z) [I − BRA+B (z)]−1
(5.55)
poiché KRA (z) è compatto e BRA+B (z) è limitato.
Nota 5.22: Sia V l’operatore di moltiplicazione per una funzione h(x) ∈ L∞ (R) ∩ L2 (R)
a valori reali. Si ha che:
2
d
2
i. L’operatore A = − dx
2 + V è auto-aggiunto su D(A) = H (R) poiché V è limitato e
simmetrico.
d2
d2
e
quindi
σ
(A)
=
σ
−
ii. L’operatore V è relativamente compatto rispetto a − dx
=
ess
2
dx2
[0, +∞).
5.5 Convergenza del risolvente in norma e forte
Definizione 5.29. Consideriamo una successione An di operatori auto-aggiunti ed un
operatore A auto-aggiunto, definiti sui corrispondenti domini di autogiunzione. Sia
Σ = σ(A) ∪ [∪n σ(An )] ⊆ R .
(5.56)
Noi diremo che An converge ad A nel senso del risolvente in norma (risp. nel senso
del risolvente forte) se
lim RAn (z) = RA (z) (risp. s − n→∞
lim RAn (z) = RA (z) ) ,
n→∞
(5.57)
per almeno un z ∈ C \ Σ.
Nota 5.23: Supponiamo che An converga ad A nel senso del risolvente in norma o
forte per un qualche z ∈ C \ Σ, allora tale convergenza vale per ogni z ∈ C \ Σ.
Nota 5.24: Osserviamo che non ha senso introdurre la nozione di convergenza nel senso
del risolvente debole. Più precisamente si può dimostrare che se An converge ad A nel
senso del risolvente debole allora converge anche nel senso del risolvente forte.
Vale il seguente risultato (del quale omettiamo la dimostrazione):
Teorema 5.30. Supponiamo che An converga ad A nel sendo del risolvente in norma
(risp. forte), allora f (An ) converge a A in norma (risp. forte) per ogni funzione f limitata
e continua.
Come conseguenza immediata di questo teorema seguono il seguente corollario.
Corollario 5.31. Supponiamo che An converga ad A nel senso del risolvente forte,
allora
s − n→∞
lim eitAn = eitA , t ∈ R.
(5.58)
5.5 Convergenza del risolvente in norma e forte
93
Vediamo ora un criterio operativo per verificare la convergenza nel senso del risolvente
Teorema 5.32. Siano An ed A operatori auto-aggiunti sullo stesso dominio di autogiunzione D(An ) = D(A). Allora An converge ad A nel senso del risolvente in norma se
esistono due successioni di numeri reali an e bn convergenti a 0 e tali che
k(An − A)ψk ≤ an kψk + bn kAψk, ∀ψ ∈ D(An ) = D(A) .
(5.59)
Dimostrazione. Dalla seconda formula del risolvente segue che
RAn (z) − RA (z) = RAn (z)[A − An ]RA (z)
valida per ogni z ∈
/ Σ, dove Σ è definita dalla (5.56). In particolare vale per z = i, e
quindi si ha che
k[RAn (i) − RA (i)] ψk ≤ kRAn (i)[A − An ]RA (i)ψk
≤ kRAn (i)k (an kRA (i)ψk + bn kARA (i)ψk)
≤ (an + 2bn )kψk
poiché kRAn (i)k ≤ 1 e kRA (i)k ≤ 1; da cui segue la convergenza del risolvente in norma:
kRAn (i) − RA (i)k ≤ an + 2bn → 0 .
In particolare, la convergenza in norma di operatori limitati implica la convergenza nel
senso del risolvente:
Corollario 5.33. Siano An ed A operatori auto-aggiunti e limitati tali che An → A in
norma. Allora An converge ad A nel senso del risolvente in norma.
Vediamo ora un criterio per la convergenza nel senso del risolvente forte (del quale
omettiamo la dimostrazione).
Concludiamo la discussione studiando l’effetto della convergenza sullo spettro.
Teorema 5.34. Siano An ed A operatori auto-aggiunti. Se An converge a A nel senso
del risolvente forte allora
σ(A) ⊆ n→∞
lim σ(An ) .
(5.60)
Se An converge a A nel senso del risolvente in norma allora
σ(A) = n→∞
lim σ(An ) .
(5.61)
Dimostrazione. Supponiamo che la (5.60) non sia valida, ovvero possiamo trovare λ ∈
σ(A) ed ǫ > 0 tale che
∀N > 0 ∃n > N tale che σ(An ) ∩ (λ − ǫ, λ + ǫ) = ∅ .
Consideriamo ora una funzione f continua che soddisfa alle seguenti proprietà
0 ≤ f (x) ≤ 1 e f (x) =
(
1 se x ∈ λ − 12 ǫ, λ + 12 ǫ
0 se x ∈
/ (λ − ǫ, λ + ǫ)
94
Quindi f (An ) = 0 per il Teorema spettrale e di conseguenza
f (A)ψ = lim
f (An )ψ = 0 , ∀ψ .
n
D’altra parte, poiché λ ∈ σ(A) esiste un vettore non nullo
ψ ∈ Ran PA
1
1
λ − ǫ, λ + ǫ
2
2
per il quale f (A)ψ = ψ, cadendo cosı̀ in contraddizione.
Per dimostrare la (5.61) è sufficiente ricordare che kRA (z)k = 1/dist(z, σ(A)). In
particolare λ ∈
/ σ(A) se, e solo se, kRA (λ + i)k < 1. quindi λ ∈
/ σ(A) implica che
kRA (λ + i)k < 1 da cui segue che kRAn (λ + i)k < 1 per n sufficientemente grande, da cui
infine segue λ ∈
/ σ(An ) per n abbastanza grande.
Nota 5.25: Il Teorema 5.34 garantisce la stabilità dello spettro dell’operatore per ”piccole” perturbazioni; nulla però si può affermare sulle singole parti (puramente puntuale,
singolare continua e assolutamente continua o discreto e essenziale) dello spettro.
5.6 Il principio min-max
In molte applicazioni un operatore auto-aggiunto ha autovalori sotto lo spettro essenziale.
Vediamo alcune idee per il calcolo degli autovalori corrispondenti all’energia più bassa.
Denotiamo con E1 l’autovalore con energia più bassa (detto ground state), si ha che
E1 =
inf
ψ∈D(A), kψk=1
hψ, Aψi .
Se denotiamo con ϕ1 il suo autovettore associato normalizzato:
Aϕ1 = E1 ϕ1 , kϕ1 k = 1 .
Allora si ha che per ogni altro vettore normalizzato ψ1 ∈ D(A) (vedi Teorema 4.30) vale
la seguente disuguaglianza:
hψ1 , Aψ1 i ≥ hϕ1 , Aϕ1 i = E1 .
(5.62)
Possiamo calcolare il secondo autovalore E2 ? Supponiamo di conoscere l’autovettore
ϕ1 e denotiamo con H1 lo spazio ortogonale a ϕ1 :
H1 = H − P1 H, P1 ψ = hϕ1 , ψiϕ1 .
Quindi
E2 =
inf
ψ∈D(A)∩H1 , kψk=1
hψ, Aψi .
Il problema è che, in generale, non conosciamo l’autovettore ϕ2 .
In generale, sia {ϕj }N
j=1 una base ortonormale (non esplicitamente nota!) per l’autospazio
associato ai primi N autovalori Ej , contandone la molteplicità, di A sotto lo spettro essenziale:
5.6 Il principio min-max
95
Aϕj = Ej ϕj , j = 1, 2, . . . , N.
Definiamo ora il seguente spazio vettoriale
U (ψ1 , . . . , ψn ) = {ψ ∈ D(A) : kψk = 1, ψ ∈ span{ψ1 , . . . , ψn }⊥ }.
(5.63)
Osserviamo che valgono le seguenti proprietà:
i. Per ogni scelta di ψ1 , ψ2 , . . . , ψn−1 si ha che
inf
ψ∈U (ψ1 , ψ2 , ...,ψn−1 )
hψ, Aψi ≤ En
(5.64)
P
n−1
Infatti consideriamo un vettore del tipo ψ = j=1
αj ϕj dove i coefficienti αj sono stati
scelti in modo tale che ψ ∈ U (ψ1 , ψ2 , . . . , ψn−1 ), quindi
hψ, Aψi =
n−1
X
j=1
|αj |2 Ej ≤ En
(5.65)
ii. Per ogni ǫ > 0 arbitrario segue che
inf
ψ∈U (ϕ1 , ϕ2 , ...,ϕn−1 )
hψ, Aψi ≥ En − O(ǫ)
(5.66)
dove 0 ≤ O(ǫ) ≤ Cǫ per un qualche C > 0. La (5.66) segue immediatamente ponendo
ψ = ϕn .
Poiché ǫ può essere scelto arbitrariamente piccolo allora abbiamo provato la seguente
proprietà.
Teorema 5.35 (Min-max). Sia A un operatore auto-aggiunto e siano
E1 ≤ E2 ≤ E3 ≤ . . . ≤ En ≤ · · ·
gli autovalori di A sotto lo spettro essenziale. Allora
En =
sup
inf
ψ1 ,...,ψn−1 ψ∈U (ψ1 , ψ2 , ...,ψn−1 )
hψ, Aψi .
(5.67)
Nota 5.26: Il vantaggio della formula (5.67) è evidente: per il calcolo dell’autovalore En
non è necessario conoscere i primi n − 1 autovettori.
Corollario 5.36. Se A e B sono due operatori auto-aggiunti tali che A ≥ B allora
En (A) ≥ En (B).
Nota 5.27: Supponiamo che An sia una successione di operatori limitati che converge in
norma ad un operatore limitato A. Dimostrare che il k-esimo autovalore Ek (An ) di An
tende al k-esimo autovalore di A:
lim
Ek (An ) = Ek (A)
n
per ogni k fissato.
6
Dinamica di un sistema quantistico
Formalmente la soluzione dell’equazione di Schrödinger dipendente dal tempo
(
ih̄ dtd ψ(t) = Hψ(t) , ψ(t) ∈ H
ψ(0) = ψ0 ∈ H
(6.1)
ψ(t) = e−itH/h̄ ψ0 .
(6.2)
ha la forma
Nel caso finito dimensionale (cioé H è uno spazio di Hilbert in dimensione finita n)
allora H è di fatto una matrice quadrata n × n e il problema (6.1) si riduce ad un sistema
dinamico lineare che ha soluzione esatta della forma (6.2). Quindi, una volta che è noto
lo spettro di H l’evoluzione temporale (6.2) è completamente determinata. Osserviamo
che se H è un operatore simmetrico allora lo spettro è puramente reale e quindi si ha la
conservazione della norma della soluzione ψ(t) e, a differenza di alcuni casi iperbolici (quali
l’equazione del calore), non si avranno soluzione di tipo esponenzialmente decrescenti (o
crescenti), bensı̀ oscillatorie.
Tornando al caso infinito dimensionale occorre, come primo passo, attribuire un significato all’espressione e−itH/h̄ .
6.1 Il Teorema di Stone
Se A è un operatore autoggiunto su uno spazio di Hilbert allora in virtù del Teorema
spettrale si può definire l’operatore di evoluzione e−itA come
e−itA =
Z
R
e−itλ dPA (λ) ,
dove PA è la p.v.m. associata all’operatore A.
L’operatore di evoluzione soddisfa alla seguente proprietà.
Teorema 6.1. Sia A un operatore auto-aggiunto su uno spazio di Hilbert H e sia U (t) =
e−itA l’operatore di evoluzione associato. Allora si prova che
98
6 Dinamica di un sistema quantistico
i. il limite del rapporto incrementale
1
[U (t) − I] ψ
t
per t → 0 esiste se, e solo se, ψ ∈ D(A) ed in tal caso si ha che vale il seguente limite
in senso forte
1
[U (t) − I] ψ = −iAψ .
t→0 t
lim
(6.3)
ii. U (t)D(A) = D(A) e AU (t) = U (t)A.
Nota 6.1: Dalla relazione (6.3) segue quindi che
ψ(t) = U (t)ψ0 = e−itA ψ(0)
(6.4)
é soluzione del problema di Cauchy
i
d
ψ(t) = Aψ(t) , ψ(t) ∈ H , ψ(0) = ψ0 .
dt
Nota 6.2: L’operatore di evoluzione U (t) si dimostra essere un gruppo unitario ad un
parametro continuo rispetto a t (nella norma forte):
U (t)U (s) = U (t + s) , U ⋆ (t) = U (t)−1 = U (−t) , U (0) = I
e inoltre
s − lim U (t) = U (t0 ) .
t→t0
In particolare, è sufficiente osservare che
2
t→t0
Z
2
−itλ
e
− e−it0 λ dµψ (λ)
t→t0 R
Z
2
=
lim e−itλ − e−it0 λ dµψ (λ) = 0
lim e−itA ψ − e−it0 A ψ = lim
R t→t0
in virtù del Teorema della convergenza dominata.
Dimostrazione. Per dimostrare la proprietà i. sia ψ ∈ D(A) e, in virtù del Teorema spettrale, consideriamo il seguente limite
2
Z
1
lim e−itA ψ − ψ + iAψ = lim
t→0
t→0
t
2
e−itλ − 1
+
iλ
dµψ (λ) = 0 .
t
R
(6.5)
Infatti, ricordiamo che i vettori ψ ∈ D(A) sono caratterizzati dalla proprietà
Z
R
λ2 dµψ (λ) < ∞
−itλ
2
e osservando che e t −1 + iλ ≤ Cλ2 per ogni t possiamo affermare che fissato ǫ > 0
esiste R > 0 tale che
6.1 Il Teorema di Stone
Z
99
2
e−itλ − 1
+
iλ
dµψ (λ) ≤ ǫ .
t
R−[−R,R]
2
−itλ
D’altra parte è immediato osservare che in virtù della disuguaglianza e t −1 + iλ ≤
Cλ4 t2 segue che
2
e−itλ − 1
+ iλ dµψ (λ) ≤ C(R)t2 < ǫ
t
[−R,R] Z
per |t| abbastanza piccolo; da cui segue la (6.5). Viceversa, sia Ã un operatore generato
dal gruppo di evoluzione:
i
Ãψ := lim [U (t)ψ − ψ]
t→0 t
definito sul dominio
i
D(A) = ψ ∈ H : lim [U (t)ψ − ψ] ∈ H .
t→0 t
Si vede immediatamente che Ã è simmetrico, infatti
i
−i
hϕ, Ãψi = lim ϕ, [U (t)ψ − ψ] = lim
[U (−t)ϕ − ϕ] , ψ = hÃϕ, ψi
t→0
t→0
t
t
e quindi, essendo Ã una estensione simmetrica di un operatore auto-aggiunto A, segue
Ã = A in virtù del Corollario 4.7 provando cosı̀ la i.. La proprietà ii. segue semplicemente
sostituendo ψ → U (s)ψ nella i.:
−iAU (s)ψ = lim [U (t) − I] U (s)ψ = U (s) lim [U (t) − I] ψ = −iU (s)Aψ .
t→0
t→0
A riguardo del problema originale segue che la formula (6.4) è di fatto la soluzione
del problema ai valori iniziali associato all’equazione di Schrödinger. Inoltre segue che
l’aspettazione di A sullo stato ψ(t) è indipendente dal tempo:
hU (t)ψ, AU (t)ψi = hU (t)ψ, U (t)Aψi = hψ, Aψi
(6.6)
da cui segue la conservazione del valore di apettazione di A; in particolare se A = H =
−∆ + V segue la conservazione dell’energia. D’altra parte il generatore dell’operatore di
evoluzione temporale di un sistema quantistico deve sempre essere associato ad un operatore auto-aggiunto poiché esso corrisponde all’osservabile energia; inoltre ci aspettiamo
che questa corrispondenza sia uno-ad-uno. Questo, di fatto, è il contenuto del seguente
teorema di Stone (del quale ne omettiamo la dimostrazione).
Teorema 6.2 (Teorema di Stone). Sia U (t) un gruppo unitario ad un paramentro
debolmente continuo. Allora il suo generatore A è auto-aggiunto e inoltre U (t) = e−itA .
100
6.2 Il Teorema Wiener
Uno degli obiettivi principali è determinare l’evoluzione temporale di un sistema quantistico. Noi abbiamo visto che l’evoluzione temporale è generata da un operatore autoaggiunto, la Hamiltoniana H, ed essa è associata ad una equazione differenziale del primo
ordine, l’equazione di Schrödinger. Per comprendere quindi tale evoluzione temporale
uno deve determinare lo spettro del generatore. Vediamo ora come la decomposizione
spettrale è importante in questo contesto
Premettiamo il seguente risultato tecnico.
Lemma 6.3 (Teorema di Wiener). Sia µ una misura di Borel a valori complessi finita
su R e sia
µ̂(t) =
Z
R
e−itλ dµ(λ)
(6.7)
la sua trasformata di Fourier. Allora la media temporale, secondo Cesàro, di µ̂(t) ha
limite
X
1ZT
|µ̂(t)|2 dt =
|µ({λ})|2 ,
T →∞ T 0
λ∈R
lim
(6.8)
dove la somma che compare sul termine di destra è finita.
Nota 6.3: Si osserva immediatamente
che se µ è una misura continua, rispetto alla misura
R
di Lebesgue, allora limT →∞ T1 0T |µ̂(t)|2 dt = 0.
Dimostrazione. Il Lemma è una conseguenza immediata del teorema di Fubini, infatti:
1 Z T Z Z −i(x−y)t
1ZT
2
|µ̂(t)| dt =
e
dµ(x)dµ̄(y)dt
T 0
T 0 "R R
#
Z Z
1 Z T −i(x−y)t
e
dt dµ(x)dµ̄(y)
=
R R T 0
dove osserviamo che il termine all’interno della parentesi è limitato da uno e converge
puntualmente alla seguente funzione:
(
1 Z T −i(x−y)t
1 se x = y
lim
e
dt = χ[0] (x − y)
.
0 se x 6= y
T →∞ T 0
Quindi, per il teorema della convergenza dominata segue che
#
Z Z
1 Z T −i(x−y)t
e
dt dµ(x)dµ̄(y) =
χ[0] (x − y)dµ(x)dµ̄(y)
lim
T →∞ R R T 0
R R
Z
Z
"
=
completando la dimostrazione.
Z
R
µ({y})dµ̄(y) =
X
y∈R
|µ({y})|2
6.3 Il Teorema RAGE
101
Torniamo ora alla discussione della decomposizione dello spettro e alla sua rilevanza
fisica. Siano dati due stati ϕ e ψ in H normalizzati (kψk = kϕk = 1). Il vettore
hϕ, ψiϕ
é la proiezione di ψ sul vettore ϕ e quindi |hϕ, ψi|2 viene interpretata come la componente
di ψ sullo spazio generato da ϕ. Supponiamo di porre la seguente questione, come si
evolve nel tempo questa grandezza? Più precisamente, cosa possiamo dire a riguardo
delle seguenti grandezze
|hϕ, U (t)ψi| e |hψ, U (t)ψi| , dove U (t) = e−itA ,
nel limite t → ∞? Concentrandoci sul secondo termine (il primo si tratta in modo
simile) è opportuno osservare che, dal teorema spettrale, segue che dobbiamo analizare
l’evoluzione temporale della misura
µ̂ψ (t) = hψ, U (t)ψi =
Z
R
e−itλ dµψ (λ)
(6.9)
che è la trasformata di Fourier della misura µψ . Siamo quindi pronti ad applicare il
Teorema di Wiener. A tal fine è necessario osservare preliminarmente che i sottospazi
Hac , Hsc e Hpp sono invarianti rispetto all’evoluzione temporale: ad esempio (similmente
si ragiona anche per gli spazi Hsc e Hpp )
Pac U (t) = U (t)Pac .
Quindi abbiamo provato quanto segue.
Teorema 6.4. Se ψ ∈ Hc = Hsc ⊕ Hac allora la media di Cesàro di hψ, U (t)ψi tende a
zero quando t → ∞.
Nota 6.4: Il teorema ci dice, in altre parole, che se lo stato iniziale ψ ∈ Hc allora la media
temporale della probabilità di trovarlo nel suo stato iniziale tende a zero. Più in generale
il teorema si estende al seguente fatto: se ψ ∈ Hc e se ϕ ∈ H allora la media temporale
del seguente termine hϕ, U (t)ψi tende a zero quando t → ∞.
Nota 6.5: Se ψ in particolare appartiene allo spazio Hac allora la misura µψ è assolutamente continua rispetto alla misura di Lebesque e, in virtù del Lemma di RiemannLebesgue, segue che µ̂(t) converge a zero puntualmente, e non nel senso della media di
Cesàro, quando t → ∞.
6.3 Il Teorema RAGE
Il teorema RAGE, che prende il nome dai suoi autori (Ruelle, Amrien, Gorgescu e Enss),
riguarda il compostamento dell’operatore di evoluzione.
Prima di formulare il Teorema RAGE premettiamo il seguente risultato intermedio
Teorema 6.5. Sia A un operatore auto-aggiunto e sia K un operatore relativemente compatto rispetto a A. Allora si prova che per ogni ψ ∈ D(A) valgono i seguenti limiti
102
e
2
1 Z T −itA
Ke
Pc ψ dt = 0
lim
T →∞ T 0
(6.10)
lim Ke−itA Pac ψ = 0 .
t→∞
(6.11)
Se, in aggiunta, K è anche limitato allora questi risultati valgono per ogni ψ ∈ H.
Dimostrazione. Cominiciamo supponendo che K sia un operatore di rango finito, in particolare supponiamo che K sia un operatore di rango uno; quindi esistono ϕ1 e ψ1 tali
che:
Kψ = hϕ1 , ψiψ1 , ∀ψ ∈ H .
In questo caso si ha che (similmente per Pac )
D
2
E2
Ke−itA Pc ψ = ϕ1 , e−itA Pc ψ kψ1 k2
da cui, e in virtù del Teorema di Wiener (rispettivamente dal Lemma di RiemannLebesgue), segue la tesi. Nello stesso modo si dimostra il risultato nel caso in cui K
è un operatore di rango finito n, n = 1, 2, . . ..
Se K è compatto allora esiste una sequenza di operatori Kn di rango finito tali che
kK − Kn k ≤ n1 e quindi (similmente per Pac )
1
1 Ke−itA Pc ψ ≤ Kn e−itA Pc ψ + e−itA Pc ψ ≤ Kn e−itA Pc ψ + kψk
n
n
da cui segue la tesi perché ci siamo sostanzialmente ricondotti al caso precedente, ad
esempio:
2
2
1 Z T 2
1 Z T −itA
1ZT
−itA
Ke
Pc ψ dt ≤ 2 lim
Kn e
Pc ψ + 2 lim
lim
kψk2
T →∞ T 0
T →∞ T 0
n T →∞ T 0
2
≤ 0 + 2 kψk2 = 0
n
per l’arbitrarietà di n. Quindi il teorema vale per ogni operatore compatto.
Dimostriamo infine la tesi per operatori relativamente compatti. Sia ψ ∈ D(A) ∩ Hc
(rispettivamente ψ ∈ D(A) ∩ Hac ), essendo A auto-aggiunto allora i ∈ ρ(A) e quindi
l’operatore A − i è invertibile ed esiste ϕ ∈ Hc tale che
ψ = (A − i)−1 ϕ .
Quindi ci possiamo ricondurre al caso precedente poiché
Ke−itA Pc ψ = Ke−itA Pc (A − i)−1 ϕ = K(A − i)−1 e−itA Pc ϕ = Ke−itA Pc ϕ
dove
K = K(A − i)−1
6.3 Il Teorema RAGE
103
é un operatore compatto per ipotesi. Si osservi che abbiamo fatto uso dei seguenti fatti:
[Pc , (A − i)−1 ] = 0, [e−itA , (A − i)−1 ] = 0 e Hc riduce A (ovvero Pc D(A) ⊆ D(A) e
Pc Aψ = APc ψ per ogni ψ ∈ D(A)) .
Se, infine, K è, in aggiunta, un operatore limitato allora, dato un vettore qualunque
ψ ∈ H, esiste una successione ψn ∈ D(A) tale che kψ − ψn k ≤ n1 e quindi
Ke−itA Pc ψ ≤ Ke−itA Pc ψn + Ke−itA Pc (ψn − ψ)
≤ Ke−itA Pc ψn + kKk e−itA Pc (ψn − ψ)
1
≤ Ke−itA Pc ψn + kKk
n
concludendo la dimostrazione.
Siamo ora pronti a formulare il Teorema RAGE (di cui ne omettiamo la dimostrazione).
Teorema 6.6 (Teorema RAGE). Sia A auto-aggiunto. Supponiamo che Kn ∈ L(H)
sia una successione di operatori relativamente compatti che convergono fortemente all’identità:
s − limn→∞ Kn = I .
Allora:
(
e
)
1 Z T −itA Hc = ψ ∈ H : lim lim
Kn e
ψ dt = 0
n→∞ T →∞ T 0
(
Hpp = ψ ∈ H :
lim sup (I − Kn )e−itA ψ = 0
n→∞ t≥0
)
.
(6.12)
(6.13)
Nota 6.6: In conclusione possiamo affermare che le proprietà di regolarità delle misure
spettrali sono associate ad un comportamento temporale dei sistemi quantistici corrispondenti.
7
Esempi notevoli
7.1 L’operatore di Schrödinger libero
Nelle sezioni precedenti abbiamo visto che lo spazio corrispondente ad una particella in
R3 è lo spazio di Hilbert L2 (R3 ); in generale, lo spazio di Hilbert per N particelle in Rd è
lo spazio L2 (Rn ) dove n = dN . Il corrispondente operatore Hamiltoniano, se le particelle
non interagiscono e se non sono soggette a campi di forze esterne, è dato da
H0 = −∆, ∆ =
n
X
∂2
j=1
∂x2j
,
(7.1)
dove, per fissare le idee, abbiamo assunto le unità di misura tali che h̄2 /2m = 1
Il primo compito è trovare un buon dominio sul quale H0 è autoggiunto. Per il Lemma
A.2 si ha che
2
∨
−∆ψ(x) = p ψ̂(p) (x)
(7.2)
e quindi ∆ψ ∈ L2 se ψ ∈ H 2 . In particolare si ha che l’operatore
H0 ψ = −∆ψ , D(H0 ) = H 2 (Rn ) ,
(7.3)
é unitariamente equivalente all’operatore di moltiplicazione definito sul suo dominio massimale
n
o
FH0 F −1 ϕ(p) = p2 ϕ(p) , D(p2 ) = ϕ ∈ L2 (Rn ) : p2 ϕ(p) ∈ L2 (Rn ) .
A riguardo del suo spettro si ha che
(7.4)
Teorema 7.1. L’operatore di Schrödinger libero H0 è auto-aggiunto sul D(H0 ) = H 2 (Rn )
ed il suo spettro è caratterizzato da
σ(H0 ) = σac (H0 ) = [0, +∞) e σsc (H0 ) = σpp (H0 ) = ∅ .
(7.5)
Nota 7.1: Come diretta conseguenza del Teorema 7.1 si ha che σess (H0 ) = [0, +∞) e
σd (H0 ) = ∅.
106
7 Esempi notevoli
Dimostrazione. L’autogiunzione di H0 è già stata discussa. Per studiarne la natura dello
spettro è sufficiente dimostrare che dµψ è puramente assolutamente continuo per ogni ψ.
Anzitutto osserviamo che (per n > 1)
hψ, RH0 (z)ψi = hF −1 Fψ, RH0 (z)F −1 Fψi = hFψ, FRH0 (z)F −1 Fψi
= hψ̂, Rp2 (z)ψ̂i =
Z
Z
|ψ̂(p)|2 n
1
d
p
=
dµ̃ψ (r)
n
R p2 − z
R r2 − z
dove abbiamo riscritto l’integrale in coordinate polari e dove abbiamo posto
dµ̃ψ (r) = χ[0,+∞) (r)r
n−1
Z
2 n−1
S n−1
|ψ̂(rω)| d
ω dr .
Quindi, dopo il cambio di coordinate λ = r2 , noi abbiamo che
hψ, RH0 (z)ψi =
dove
Z
1
dµψ (λ) ,
R λ−z
1
1
dµψ (λ) = fψ (λ)dλ e fψ (λ) = χ[0,+∞) (λ)λ 2 n−1
2
Z
S n−1
√
|ψ̂( λω)|2 dn−1 ω
é una funzione misurabile rispetto a λ e integrabile, provando cosı̀che lo spettro è puramente assolutamente continuo. Nel caso n = 1 non c’é bisogno di passare in coordinate
polari e semplicemente
√ 2
ˆ
f
λ fψ (λ) = χ[0,+∞) (λ) √
.
λ
Poiché già si era visto che σ(H0 ) = [0, +∞) allora segue la tesi.
Nota 7.2: Osserviamo che l’insieme delle funzioni regolari a supporto compatto è un
core per H0 . In particolare, per dimostrare che S(Rn ) è un core per H0 si può usare la
stessa strategia della dimostrazione del Lemma seguente, ovvero mostrare che la chiusura
di H0 |S(Rn ) contiene H0 .
Lemma 7.2. L’insieme di funzioni
C0∞ (Rn ) = {f ∈ C ∞ (Rn ) : f ha supporto compatto }
é un core per H0 .
Dimostrazione. Poiché è già noto che S(Rn ) è un core per H0 è sufficiente provare che la
chiusura di H0 |C ∞ (Rn ) contiene H0 |S(Rn ) . A tal fine sia ϕ ∈ C0∞ (Rn ) definita nel seguente
0
modo:
0 ≤ ϕ(x) ≤ 1 e ϕ(x) =
Poniamo poi
(
1 se |x| ≤ 1
0 se |x| ≥ 2
7.1 L’operatore di Schrödinger libero
ϕn (x) = ϕ
1
x
n
107
e ψn = ψ(x)ϕn (x)
dove è chiaro che per ogni ψ ∈ S(Rn ) allora la successione ψn (x) ∈ C0∞ (Rn ) è tale che
ψn → ψ e ∆ψn → ∆ψ
in norma quando n → ∞.
Esercizio 7.1: Dimostrare che lo spazio
{ψ ∈ S(R) : ψ(0) = 0}
2
d
é denso in L2 (R) ma che non è un core per H0 = − dx
2.
7.1.1 Evoluzione temporale per il problema libero
Per studiare l’evoluzione temporale del problema libero consideriamo il problema attraverso la trasformata di Fourier:
h
2
i
e−itH0 ψ(x) = F −1 Fe−itH0 F −1 ψ̂(p) = F −1 e−itp ψ̂(p) .
2
(7.6)
Il termine di destra è il prodotto tra le due funzioni e−itp e ψ̂(p), quindi il risultato sarebbe
il prodotto in convoluzione delle rispettive anti-trasformate. C’é però una difficoltà di
2
carattere tecnico: la funzione e−itp non appartiene allo spazio L2 e quindi non possiamo
considerarne la anti-trasformata, dobbiamo quindi avere qualche precauzione.
Consideriamo una nuova funzione
2
fǫ (p2 ) = e−(it+ǫ)p , ǫ > 0 ,
(7.7)
2
che converge a e−itp nel limite ǫ → 0+ . Quindi
fǫ (H0 )ψ → e−itH0 ψ .
in virtù del Teorema spettrale. Inoltre, dalla formula A.8 e dalla formula di convoluzione
segue che
Z
|x−y|2
1
− 4(it+ǫ)
(fǫ (H0 )ψ) (x) =
e
ψ(y)dn y
[4itπ]n/2 Rn
(7.8)
Z
|x−y|2
1
i 4t
e
ψ(y)dn y
[4itπ]n/2 Rn
(7.9)
e quindi
e−itH0 ψ (x) =
per ogni t 6= 0 e ψ ∈ L2 ∩ L1 .
Lemma 7.3. Per ogni t 6= 0 e ψ ∈ L2 ∩ L1 l’operatore di evoluzione e−itH0 del problema
libero è un operatore integrale di nucleo
Qt (x, y) =
|x−y|2
1
i 4t
e
.
[4itπ]n/2
108
7 Esempi notevoli
Nota 7.3: Se ψ ∈ L2 allora l’integrale generalizzato che compare nella (7.9) deve essere
inteso nel senso del valore principale di Cauchy.
Esercizio 7.2: Partendo dalla (7.9) dimostrare che limt→0+ e−itH0 ψ (x) = ψ(x).
Nota 7.4: Sia ψ ∈ L2 ∩ L1 , allora, in virtù del teorema di convergenza dominata e della
continuità dell’esponenziale, segue che ψ(t) ∈ C(Rn ) per ogni t 6= 0 (anche se la funzione
iniziale ψ(x) non è continua), ed inoltre soddisfa alla seguente stima dispersiva
1
kψ(0)k1 .
|4πt|n/2
kψ(t)k∞ ≤
(7.10)
Cioé il pacchetto d’onda di allarga/diffonde in accordo con il Teorema RAGE.
7.1.2 Il risolvente e la funzione di Green.
Concludiamo calcolando l’operatore risolvente di H0 . A tal fine osserviamo che vale la
seguente relazione
RH0 (z) =
Z
∞
0
ezt e−tH0 dt .
(7.11)
La dimostrazione della (7.11) si basa sul Teorema spettrale e sulla seguente osservazione
Z
Z
Z
+∞
1
RH0 (z) = [H0 − z] =
dPH0 (λ) =
ezt−tλ dt dPH0 (λ)
λ−z
R
R
0
Z
Z +∞
Z +∞
=
ezt
e−tλ dPH0 (λ) dt =
ezt e−tH0 dt .
0
R
0
Ricordando la (7.9) per t → it e facendo uso del Teorema di Fubini segue quindi che
−1
(RH0 (z)ψ) (x) =
dove
G0 (z, r) =
Z
∞
0
Z
Rn
G0 (z, |x − y|)ψ(y)dn y
2
1
− r4t +zt
dt, r > 0, ℜ(z) < 0.
e
[4πt]n/2
La funzione G0 (z, r) prende il nome di funzione di Green di H0 .
Esercizio 7.3: Se n = 1 dimostrare che
√
1
G0 (z, r) = √ e− −zr .
2 −z
(7.12)
(7.13)
(7.14)
Esercizio 7.4: Se n = 3 dimostrare che
G0 (z, r) =
1 −√−zr
.
e
4πr
(7.15)
Nota 7.5: Per n 6= 1, 3 è possibile comunque dare una espressione esplicita della funzione
di Green mediante le funzione speciali di Bessel di secondo tipo.
2
Esercizio 7.5: Consideriamo lo stato iniziale ψ0 (x) = xe−x +iv0 x dove v0 ∈ R e c è una
costante di normalizzazione. Calcolare c e calcolare inoltre ψ(x, t) = e−itH0 ψ0 . [Risposta:
(i(x2 −ixv0 +iv 2 t)
ψ(x, t) = c e √ √ 0
]
(−i+4t)t it
(−i+4t)t
7.2 δ uni-dimensionale
109
7.2 δ uni-dimensionale
Consideriamo ora il caso in cui sia presente un potenziale di tipo δ di Dirac. Restringiamo
la nostra analisi al caso unidimensionale e enunciamo semplicemnte i risultati principali
riferendo la dimostrazione al testo di S.Albeverio, F.Gesztesy, R. Hoegh-Krohn e H.Holden
Solvable Models in Quantum Mechanics.
Il corrispondente operatore Hamiltoniano sullo spazio di Hilbert L2 (R, dx) è dato da
H0 = −
d2
+ αδ ,
dx2
(7.16)
dove, per fissare le idee, abbiamo assunto le unità di misura tali che h̄2 /2m = 1 e dove δ
indica la ”funzione” δ di Dirac.
L’operatore H0 ammette estensione auto-aggiunta (denotata con il simbolo H) definita
come
H=−
d2
,
dx2
(7.17)
sul dominio d’autogiunzione
n
o
D(H) = ψ ∈ H 1 (R) ∩ H 2 (R \ {0}) : ψ ′ (0 + 0) − ψ ′ (0 − 0) = αψ(0) .
(7.18)
L’operatore risolvente RH (z) è un operatore integrale di nucleo G(x, y; z). Più precisamente sia
z = k 2 ∈ ρ(H) ℑk > 0 ,
si dimostra che
[RH (z)ϕ] (x) =
Z
+∞
−∞
G(x, y; z)ϕ(y)dy ,
(7.19)
dove
G(x, y; z) =
α
i ik|x−y|
e
+
eik[|x|+|y|] .
2k
2k(iα + 2k)
(7.20)
Lo spettro di H ha la seguente struttura: lo spettro essenziale coincide con lo spettro
assolutamente continuo
σess (H) = σac = [0, +∞) ,
(7.21)
lo spettro singolare continuo è vuoto
σsc = ∅ ,
(7.22)
e infine lo spettro discreto coincide con lo spettro puramente puntuale ed è dato da
σd (H) = σpp =
(
∅
, if α > 0
,
α2
− 4 , if α < 0
(7.23)
110
7 Esempi notevoli
dove l’eventuale autovalore è non degenere ed ha autovettore associato ψ =
Infine, l’operatore di evoluzione ha la seguente forma:
h
i
e−iHt ψ (x) =
Z
R
q
|α| α|x|/2
e
.
2
Uαt (x, y)ψ(y)dy
(7.24)
il cui nucleo Uαt (x, y) ha la forma
Uαt (x, y) = U0t (x − y) + αQtα (x, y) ,
dove
Qtα
e dove

1
1 R +∞

du e− 2 αu U0t (u + |x| + |y|) ,

−2 0
(x, y) = 
0,
2

 1 ei α4 t φ (x) φ (y) +
α
α
α
U0t (ζ)
1 R +∞
2 0
se α > 0
eα=0
1
du e 2 αu U0t (u − |x| − |y|) , se α < 0
|ζ|2
1
exp −
=√
4it
4πit
é il nucleo integrale associato al problema libero.
!
(7.25)
A
La trasformata di Fourier
Uno degli strumenti più importanti nello studio degli operatori di Schrödinger è la trasformata di Fourier.
Sia f ∈ C ∞ (Rn ) l’insieme di tutte le funzioni a valori complessi che ammettono derivate
parziali di ordine qualunque. Per f ∈ C ∞ (Rn ) e α ∈ Nn noi poniamo
∂α f =
∂ |α|
, |α| = α1 + . . . + αn .
∂xα1 1 . . . ∂xαnn
(A.1)
L’elemento α ∈ Nn è detto multi-indice e |α| è detto il suo ordine, con xα si indica il
prodotto xα1 1 · · · xαnn .
Lo spazio di Schwartz
S(Rn ) = f ∈ C ∞ (Rn ) : sup |xα (∂β f )(x)| < ∞ , α, β ∈ Nn
x
(A.2)
si dimostra essere denso in L2 (Rn ); infatti si ha l’inclusione C0∞ ⊆ S ⊆ L2 . Osserviamo
inoltre anche che se f ∈ S allora anche xα f ∈ S e ∂β f ∈ S, qualunque siano i multi-indici
α, β ∈ Nn .
Definizione A.1. Per ogni f ∈ S(Rn ) noi definiamo la trasformata di Fourier di f (x)
fˆ(p) := F(f )(p) =
n
X
1 Z
n
−ipx n
xj p j .
f
(x)e
d
x
,
p
∈
R
,
px
=
[2π]n/2 Rn
j=1
(A.3)
Allora
Lemma A.2. La trasformata di Fourier mappa lo spazio di Schwartz in sé stesso:
F =S →S.
Inoltre, per ogni multi-indice α ∈ Nn ed ogni f ∈ S si ha che
αˆ
|α|
d
α
ˆ
(∂d
α f )(p) = (ip) f (p) e (x f )(p) = i ∂α f (p) .
(A.4)
Dimostrazione. Cominciamo a dimostrare la (A.4). Per integrazione per parti si ha che
112
A La trasformata di Fourier
d!
1
∂f
(p) =
∂xj
[2π]n/2
1
=
[2π]n/2
1
=
[2π]n/2
Z
∂f (x) −ipx n
e
d x
R ∂xj
!
Z
∂e−ipx n
d x
f (x) −
∂xj
Rn
Z
n
R
−ipx
dn x = ipj fˆ(p) .
n f (x) ipj e
e quindi la prima formula segue per induzione. In modo simile segue la seconda formula,
infatti:
(xαj f )(p)
1
=
[2π]n/2
1
=
[2π]n/2
∂ fˆ(p)
=i
∂pj
Z
Z
Rn
xj f (x)e−ipx dn x
!
∂e−ipx n
d x
f
(x)
i
∂pj
Rn
dove possiamo portare la derivata fuori dal segno di integrale.
Resta infine da dimostare che fˆ ∈ S; a tal fine osserviamo subito che fˆ è limitata,
infatti
ovvero
|fˆ(p)| ≤ 1 Z
1 Z
−ipx n f (x)e
d x ≤
|f (x)|dn x
[2π]n/2 Rn
[2π]n/2 Rn
kfˆk∞ ≤
1
kf k1 .
[2π]n/2
(A.5)
Pertanto
pα ∂β fˆ (p) = i−|α|−|β| (∂αd
xβ f )(p)
é limitata poiché ∂α xβ f ∈ S poiché f ∈ S.
Esercizio A.1: Nella dimostrazione della seconda formula della (A.4) si è scambiata
l’operazione di integrale con l’operazione di derivata: dimostrare la validità di questa
operazione.
Nota A.1: Il Lemma A.2 giustifica la seguente notazione: pf (x) per −i∂f .
Lemma A.3. Sia f ∈ S. Allora
e
(f (xd
+ a))(p) = eiap fˆ(p), a ∈ Rn ,
1 ˆ p
d
,
(f (λx))(p) = n f
λ
λ
λ > 0.
(A.6)
(A.7)
113
Esercizio A.2: La dimostrazione delle (A.6) e (A.7) è molto semplice ed è lasciata per
esercizio.
2
Esercizio A.3: Sia z ∈ C e tale che ℜz > 0. Osservare che e−zx /2 ∈ S e dimostrare che
F e−zx
2 /2
=
1
z n/2
e−p
2 /(2z)
(A.8)
√ n
dove z n/2 = ( z) è definita sul piano di olomorfia con il taglio lungo il semiasse negativo.
Teorema A.4. La trasformata di Fourier F : S → S è una biiezione. La sua inversa è
data da
∨
g (x) := F −1 (g)(x) =
1 Z
ipx n
d p , x ∈ Rn .
n g(p)e
n/2
[2π]
R
(A.9)
In particolare abbiamo che F 2 (f )(x) = f (−x) e quindi F 4 = I.
Dimostrazione. Introduciamo la seguente funzione, detta mollifier,
φǫ (x) = e−ǫx
2 /2
dove ǫ > 0 sarà mandato a zero. Per il Teorema della convergenza dominata (usato un
paio di volte), il Teorema di Fubini, il Lemma A.3 e la (A.8) si ha che
∨
1 Z ˆ
f (p)eipx dn p
[2π]n/2 Rn
1 Z ˆ
ipx n
d p
= lim
n f (p)φǫ (p)e
ǫ→0 [2π]n/2 R
Z
1 Z
n
ip(x−y)
n
= lim
n d yf (y)φǫ (p)e
n d p
ǫ→0 [2π]n R
R
Z
∨
1
ipx
f
(y)
= lim
φ
(p)e
(y)dn y
ǫ
n
ǫ→0 [2π]n/2 R
1 Z
1
n
= lim
n f (y) n/2 φ1/ǫ (y − x)d y
n/2
ǫ→0 [2π]
ǫ
R
√
1 Z
= lim
ǫz)dn z = f (x)
n ψ1 (z)f (x +
n/2
ǫ→0 [2π]
R
fˆ(p) =
dove abbiamo posto z =
y−x
√ .
ǫ
Nota A.2: Anzitutto osserviamo che la mappa F : S → S è lineare:
F(af1 + bf2 ) = aF(f1 ) + bF(f2 )
per la linearità dell’integrale. Pertanto la mappa F si può riguardare come un operatore
lineare da L2 in sé stesso definito sul sottoinsieme denso S ⊆ L2 .
Nota A.3: In virtù del Teoreema di Fubini noi otteniamo la identità di Parseval:
Z
R
ˆ 2 n
n |f (p)| d p =
Z
Z
1 Z
n
n ¯
ˆ
d x n d pf (x) f (p) = n |fˆ(x)|2 dn x
[2π]n/2 Rn
R
R
(A.10)
114
per ogni f ∈ S. Pertanto la mappa F è una trasformazione unitaria e quindi la si può
estendere su tutto L2 ponendo
1 Z
ˆ
f (x)e−ipx dn x .
(A.11)
f (p) = lim
R→∞ [2π]n/2 |x|<R
Si osserva infine che nel caso in cui f ∈ L1 ∩ L2 allora il limite si può omettere.
Nota A.4: Mediante la trasformata di Fourier è possibile caratterizzare gli spazi di
Sobolev
n
o
H r (Rn ) = f ∈ L2 (Rn ) : |p|r fˆ(p) ∈ L2 (Rn )
(A.12)
Infatti, ogni funzione in H r ammette derivate parziali fino all’ordine r, dove le derivate
parziali sono definite attraverso la (anti-)trasformata di Fourier:
∨
αˆ
∂α f = (p) f (p) , f ∈ H r , |α| ≤ r .
(A.13)
Collezioniamo due importanti risultati sulle trasformate di Fourier, omettendone la dimostrazione. Il primo risultato noto come Lemma di Riemann-Lebesgue sostanzialmente
afferma che la trasformata di Fourier di una funzione integrabile si annulla all’infinito.
Lemma A.5 (Lemma di Riemann-Lebesgue). Supponiamo che f ∈ L1 allora
lim fˆ(p) = 0 .
|p|→∞
Il secondo risultato riguarda invece il prodotto in convoluzione.
Definizione A.6. Siano date due funzioni f, g ∈ L1 (Rn ), si definisce prodotto in convoluzione tra f e g la seguente
Z
f (y)g(x − y)dn y
(A.14)
Rn
Nota A.5: Osserviamo anzitutto che il prodotto in convoluzione soddisfa alla proprietà
commutativa f ⋆ g = g ⋆ f . Inoltre la definizione (A.14) è ben posta e f ⋆ g ∈ L1 , più
precisamente vale la disuguaglianza di Young
(f ⋆ g) (x) :=
kf ⋆ gk1 ≤ kf k1 kgk1
(A.15)
Lemma A.7. La trasformata di Fourier mappa prodotto in convoluzione in prodotto ordinario:
(A.16)
(fd
⋆ g)(p) = (2π)n/2 fˆ(p) ĝ(p) .
Esercizio A.4: Calcolare la trasformata di Fourier delle seguenti funzioni:
i. f (x) = χ(−1,+1) (x);
1
ii. f (x) = x2 +k
2 , k ∈ R.
Esercizio A.5: Dimostrare che l’insieme S è chiuso rispetto al prodotto in convoluzione.
Esercizio A.6: Dimostrare che, date f, g ∈ L2 (Rn ), allora f ⋆ g ∈ C∞ (Rn ) e inoltre
kf ⋆ gk∞ ≤ kf k2 kgk2 .

Metodi Matematici della Meccanica Quantistica

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