Teorema di Fermat. Data una funzione f : [a, b] → R e un punto x o

Teorema di Fermat. Data una funzione f : [a, b] → R e un punto xo ∈]a, b[ tale che esiste
f 0 (xo ), se xo è un punto di massimo o di minimo relativo per f , allora f 0 (xo ) = 0
Dimostrazione. Dire che xo ∈]a, b[ significa che esiste δo > 0 tale che [xo − δo , xo + δo ] ⊂ [a, b].
Supponiamo ora per esempio che f (xo ) sia di minimo locale; allora esiste δ1 > 0 tale che per ogni
x ∈ ([a, b] ∩ [xo − δ1 , xo + δ1 ]) risulta f (x) ≥ f (xo ).
Scegliamo allora δ = min{δo , δ1 }; in questo modo [xo − δ, xo + δ] ⊂ [xo − δo , xo + δo ] ⊂ [a, b] e
[xo − δ, xo + δ] ⊂ [xo − δ1 , xo + δ1 ]
Quindi se consideriamo x ∈ [xo − δ, xo + δ], x 6= xo certamente x ∈ ([a, b] ∩ [xo − δ1 , xo + δ1 ]) e
f (x) − f (xo )
quindi nel rapporto incrementale
il numeratore è certamente non negativo.
x − xo
f (x) − f (xo )
≥ 0 per
Dunque il segno del rapporto incrementale è quello del denominatore, cioè
x − xo
f (x) − f (xo )
x ∈]xo , xo + δ],
≤ 0 per x ∈ [xo − δ, xo [.
x − xo
Allora, per il Teorema della Permanenza del Segno, risulta f+0 (xo ) ≥ 0 e f−0 (xo ) ≤ 0, e poichè per
ipotesi f è derivabile in xo , si ha
0 ≤ f+0 (xo ) = f−0 (xo ) ≤ 0
da cui la tesi.
Osserviamo che il Teorema di Fermat sussiste anche per funzioni definite in insiemi D più generali
degli intervalli chiusi; l’unica condizione cui debbono soddisfare è che se contengono il punto
xo contengano tutto un intervallo centrato in xo ; questa condizione si esprime dicendo che xo è
interno a D.
Dal Teorema di Fermat discende che per una qualsiasi funzione f : D → R gli eventuali punti
di massimo e di minimo relativo possono essere individuati solo in una di queste tre categorie
C1 = {x ∈ D : non esiste f 0 (x)}
C2 = {x ∈ D : x non è interno a D}
C3 = {x ∈ D : f 0 (x) = 0}.
La condizione f 0 (xo ) quindi non è nè necessaria nè sufficiente per avere un massimo e un minimo;
cosı̀ ad esempio la funzione f (x) = x3 ha la derivata nulla in xo = 0 ma 0 non è nè di massimo
nè di minimo; il che prova che la condizione f 0 (x) = 0 non basta (ovvero non è sufficiente) per
avere un massimo o un minimo.
Di contro, la funzione f : [−1, 1] → R definita da f (x) = |x| ammette in x = 0 un punto di minimo
assoluto, ed in x = −1, x = 1 due punti di massimo assoluto; in nessuno di questi estremanti la
derivata prima tuttavia si annulla (cioè C3 =Ø). Nel punto x = 0 la derivata infatti non esiste
(cioè 0 ∈ C1 ) mentre i punti x = 1 e x = −1 non sono interni al dominio (cioè −1, 1 ∈ C2 ).
Dunque la condizione non è nemmeno necessaria.
Corollario (Teorema di Rolle). Sia f : [a, b] → R una funzione continua, derivabile in ]a, b[ e
tale che f (a) = f (b). Allora esiste xo ∈]a, b[ tale che f 0 (xo ) = 0.
Dimostrazione. In virtù del Teorema di Weierstrass, f ammette massimo M e minimo m
assoluti; in altre parole esistono due punti x1 , x2 ∈ [a, b] tali che f (x1 ) = m, f (x2 ) = M .
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Si possono presentare solo due alternative: o almeno uno dei due punti x1 , x2 è interno all’intervallo
[a, b] o entrambe non lo sono.
Nel primo caso, se ad esempio x1 ∈]a, b[, sono soddisfatte tutte le condizioni del Teorema di
Fermat, e quindi f 0 (x1 ) = 0:
Nel secondo caso, se per esempio x1 = a, x2 = b si trova
m = f (x1 ) = f (a) = f (b) = f (x2 ) = M
ovvero il massimo ed il minimo assoluti di f coincidono; se ne deduce che f è costante in [a, b] e
quindi che la sua derivata è nulla ovunque.
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