Appunti di analisi funzionale

36
Serie di Fourier
Disuguaglianza di Bessel. Sia H uno spazio di Hilbert e 'i un sistema ortonormale
di H . Per ogni f 2 H si ha
1 ˇ
ˇ
X
ˇ O ˇ2
2
ˇf .i/ˇ  kf kH :
i D1
Dimostrazione. Si applica il teorema della migliore approssimazione.
Teorema 2.3. Sia H uno spazio di Hilbert e 'i un sistema ortonormale di H . Le
seguenti condizioni sono equivalenti:
1. 'i è un sistema ortonormale completo di X;
2. per ogni f 2 H si ha che
kf k2X D
1 ˇ
ˇ
X
ˇ O ˇ2
ˇf .i /ˇ D fO
i D1
3. per ogni f 2 H si ha
f D
1
X
iD1
2
`2
(uguaglianza di Bessel)I
fO.i /'.i/I
4. per ogni f; g 2 H
f; g
H
D fO; gO
`2
D
1
X
i D1
fO.i /g.i
O / (identità di Parseval.)
Dimostrazione. Dimostriamo innanzitutto che 2 implica 1. Se fO.i / D 0 allora fO D
0, quindi kf k2`2 D 0 e per l’uguaglianza di Bessel si ha kf k2H D 0, pertanto f D 0;
dire che fO.i/ D 0 implica f D 0 significa dire che il sistema ortonormale è completo,
quindi si è dimostrata la 1.
Dimostriamo che 1 implica 3. Consideriamo
gD
per ogni j 2 N si ha
1
X
i D1
fO.i/'i 2 H I
.g; 'i / D g.j
O / D fO.j /:
Osserviamo che un sistema ortonormale f'i g è completo se
.f; 'i / D fO.i / D 0
per ogni i
implica f D 0, quindi se e solo se –date f e g– la relazione fO.i/ D g.i/
O
per ogni
i 2 N implica g D f . Poiché per ipotesi il sistema è completo, si ha f D g e quindi
la tesi
1
X
f D
fO.i/'i :
iD1