Molle in serie e molle in parallelo

Molle in serie e molle in parallelo
Definiamo la costante elastica equivalente come la costante elastica di una molla
che possiamo sostituire all’insieme di molle in serie (parallelo) senza che avvenga
alcuna variazione nel sistema in esame.
Costante elastica equivalente per molle ideali in serie
Iniziamo esaminando la figura [1], una massa appesa al soffitto tramite una
molla di costante elastica k1 , se il sistema è in equilibrio la forza esercitata dalla
molla in modulo pari a k1 x1 sarà uguale alla forza peso applicata alla massa:
k1 x1 = mg
(1)
dove x1 è l’allungamento della molla con costante elastica k1 .
Figura 1: Una massa m è appesa al soffitto tramite una molla di costante elastica k1
Aggiungiamo al nostro sistema una seconda molla ideale di costante elastica k2
ed utilizziamola per appendere al soffitto il sistema composto dalla molla k1 e
dalla massa m, chiaramente siccome anche in questo caso la massa è in quiete, su
di essa devono agire due forze uguali ed opposte, quella della molla di costante
elastica k1 e la forza peso. La molla k2 (essendo priva di massa la molla k1 )
deve esercitare anch’essa una forza pari ad mg affinché il punto di unione delle
due molle sia in quiete figura[2].
Figura 2: La molla k2 esercita una forza pari, in modulo, ad mg
Possiamo ripetere la stessa procedura anche per una terza molla di costante
elastica k3 come in figura [3. Chiaramente è possibile continuare ad aggiungere
molle arbitrariamente. La forza che ogni molla dovrà esercitare sarà pari ad
mg.
Figura 3: La molla k3 esercita una forza pari, in modulo, ad mg
Nel caso con tre molle posso scrivere l’allungamento totale delle tre molle come:
x = x1 + x2 + x3
(2)
Una molla equivalente deve allungarsi esattamente di una quantità pari ad x e
deve esercitare una forza pari, in modulo, ad mg sulla massa sospesa, questo ci
permette di scrivere:
mg = keq x = ke q(x1 + x2 + x3 )
(3)
dato che, per quanto detto precedentemente, mg = x1 k1 = x2 k2 = x3 k3
possiamo scrivere:
mg mg mg
+
+
(4)
mg = ke q
k1
k2
k3
ovvero risolvendo per keq :
1
1
1
1
=
+
+
keq
k1
k2
k3
(5)
Costante elastica equivalente per molle in parallelo
Il calcolo della costante elastica equivalente per più molle in parallelo è più
semplice di quanto visto per le molle in serie, infatti ogni molla si allungherà
della stessa quantità x, come si può vedere in figura [4]
Figura 4: Due molle in parallelo si allungano della stessa quantità
2
la forza totale esercitata sulla massa m dalle due molle sarà quindi uguale a
k1 x + k2 x e in modulo dovrà eguagliare la forza peso mg:
k1 x1 + k2 x2 = mg
(6)
mg = keq x = (k1 + k2 )x
(7)
ovvero:
da cui deduciamo prontamente:
keq = k1 + k2
3
(8)